Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτήν την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Αριθμητική πρόοδοςδίνεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου.
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το γείτονά του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Δίνεται αριθμητική πρόοδος τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Αλλά δεν ξέρουμε τη σημασία τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της προόδου.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν πρέπει να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Χρειάζεται να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα «κατά μέτωπο», αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των \(n\) πρώτων στοιχείων.
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων συνολικά.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχεις τα πάντα απαραίτητες πληροφορίεςγια την επίλυση σχεδόν κάθε προβλήματος αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως; Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Χρειαζόμαστε \(a_n\) για να γίνουμε Πάνω απο το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ας υπολογίσουμε...
\(n>65.333…\)		...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το ελέγξουμε αυτό.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε; Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Όταν μελετάτε άλγεβρα σε σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (9η τάξη) ένα από σημαντικά θέματαείναι η μελέτη ακολουθίες αριθμών, που περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να ορίσουμε την εν λόγω εξέλιξη, καθώς και να παρέχουμε τους βασικούς τύπους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα για την επίλυση προβλημάτων.

Αριθμητική ή είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ρητών αριθμών, κάθε μέλος των οποίων διαφέρει από το προηγούμενο κατά κάποια σταθερή τιμή. Αυτή η τιμή ονομάζεται διαφορά. Δηλαδή, γνωρίζοντας οποιοδήποτε μέλος μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών και τη διαφορά, μπορείτε να επαναφέρετε ολόκληρη την αριθμητική πρόοδο.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Η ακόλουθη ακολουθία αριθμών θα είναι μια αριθμητική πρόοδος: 4, 8, 12, 16, ..., αφού η διαφορά σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Αλλά το σύνολο των αριθμών 3, 5, 8, 12, 17 δεν μπορεί πλέον να αποδοθεί στον τύπο της εξέλιξης που εξετάζεται, καθώς η διαφορά για αυτό δεν είναι σταθερή τιμή (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Σημαντικές φόρμουλες

Ας παρουσιάσουμε τώρα τους βασικούς τύπους που θα χρειαστούν για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας αριθμητική πρόοδο. Ας συμβολίσουμε με το σύμβολο a n η θητείαακολουθίες όπου το n είναι ακέραιος αριθμός. Δηλώνουμε τη διαφορά Λατινικό γράμμαρε. Τότε δίκαιο τις παρακάτω εκφράσεις:

1. Για τον προσδιορισμό της τιμής του nου όρου, είναι κατάλληλος ο ακόλουθος τύπος: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων n όρων: S n = (a n +a 1)*n/2.

Για να κατανοήσουμε τυχόν παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις στην 9η τάξη, αρκεί να θυμηθούμε αυτούς τους δύο τύπους, αφού τυχόν προβλήματα του υπό εξέταση τύπου βασίζονται στη χρήση τους. Θα πρέπει επίσης να θυμάστε ότι η διαφορά προόδου καθορίζεται από τον τύπο: d = a n - a n-1.

Παράδειγμα #1: εύρεση άγνωστου μέλους

Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου και τους τύπους που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την επίλυσή της.

Αφήστε την ακολουθία 10, 8, 6, 4, ... να δοθεί, πρέπει να βρείτε πέντε όρους σε αυτήν.

Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ήδη ότι οι 4 πρώτοι όροι είναι γνωστοί. Το πέμπτο μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους:

1. Ας υπολογίσουμε πρώτα τη διαφορά. Έχουμε: d = 8 - 10 = -2. Ομοίως, θα μπορούσατε να πάρετε οποιαδήποτε άλλα δύο μέλη που στέκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Για παράδειγμα, d = 4 - 6 = -2. Αφού είναι γνωστό ότι d = a n - a n-1, τότε d = a 5 - a 4, από το οποίο παίρνουμε: a 5 = a 4 + d. Ας αντικαταστήσουμε γνωστές αξίες: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Η δεύτερη μέθοδος απαιτεί επίσης γνώση της διαφοράς της εν λόγω προόδου, επομένως πρέπει πρώτα να την προσδιορίσετε όπως φαίνεται παραπάνω (d = -2). Γνωρίζοντας ότι ο πρώτος όρος a 1 = 10, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον ν αριθμό της ακολουθίας. Έχουμε: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Αντικαθιστώντας το n = 5 στην τελευταία παράσταση, παίρνουμε: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο λύσεις οδήγησαν στο ίδιο αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα η διαφορά d της προόδου είναι αρνητική τιμή. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται φθίνουσες, αφού κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Παράδειγμα #2: διαφορά προόδου

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο την εργασία, δώσουμε ένα παράδειγμα για το πώς να βρείτε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

Είναι γνωστό ότι σε κάποια αλγεβρική πρόοδο ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρούμε τη διαφορά και να επαναφέρουμε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ας αντικαταστήσουμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτήν, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 = 6 + 6 * d. Από αυτή την έκφραση μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) /6 = 2. Έτσι, απαντήσαμε στο πρώτο μέρος του προβλήματος.

Για να επαναφέρετε την ακολουθία στον 7ο όρο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό αλγεβρική πρόοδος, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Παράδειγμα Νο. 3: σχεδίαση μιας εξέλιξης

Ας το περιπλέκουμε περισσότερο ισχυρότερη κατάστασηκαθήκοντα. Τώρα πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Μπορεί να δοθεί το ακόλουθο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα - 4 και 5. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αλγεβρική πρόοδος έτσι ώστε να τοποθετηθούν άλλοι τρεις όροι μεταξύ αυτών.

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 = -4 και ένας 5 = 5. Έχοντας διαπιστώσει αυτό, προχωράμε στο πρόβλημα, το οποίο είναι παρόμοιο με το προηγούμενο. Και πάλι, για τον ν ο όρο που χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 = a 1 + 4 * d. Από: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Αυτό που λάβαμε εδώ δεν είναι μια ακέραια τιμή της διαφοράς, αλλά είναι ρητός αριθμός, οπότε οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.

Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε στο 1 και ας επαναφέρουμε τους όρους που λείπουν από την εξέλιξη. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, που συνέπεσε με τις συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα Νο. 4: πρώτος όρος εξέλιξης

Ας συνεχίσουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύσεις. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Ας εξετάσουμε τώρα ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρούμε από ποιον αριθμό αρχίζει αυτή η ακολουθία.

Οι τύποι που χρησιμοποιήθηκαν μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση των 1 και δ. Στη δήλωση προβλήματος, τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς. Ωστόσο, θα γράψουμε εκφράσεις για κάθε όρο σχετικά με τις διαθέσιμες πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Λάβαμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το σύστημα είναι να εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια να συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).

Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για το 1. Για παράδειγμα, πρώτα: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που λάβατε, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε τον 43ο όρο της προόδου, ο οποίος καθορίζεται στη συνθήκη. Παίρνουμε: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Το μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι στους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε η στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά.

Παράδειγμα Νο. 5: ποσό

Τώρα ας δούμε πολλά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Ας δοθεί αριθμητική πρόοδος τον παρακάτω τύπο: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;

Χάρη στην ανάπτυξη τεχνολογία υπολογιστώνμπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα, δηλαδή να προσθέσετε όλους τους αριθμούς διαδοχικά, τα οποία Υπολογιστική μηχανήθα το κάνει μόλις το άτομο πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι ίση με 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται "Gaussian" επειδή στο αρχές XVIIIαιώνα, ο διάσημος Γερμανός, ενώ ήταν ακόμη μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο κεφάλι του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν ήξερε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε τους αριθμούς στα άκρα της ακολουθίας σε ζευγάρια, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.

Παράδειγμα Νο. 6: άθροισμα όρων από n έως m

Ενα ακόμα χαρακτηριστικό παράδειγματο άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: δίνοντας μια σειρά αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε με τι θα ισούται το άθροισμα των όρων της από το 8 έως το 14.

Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά εντατική. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιώντας μια δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.

Η ιδέα είναι να ληφθεί ένας τύπος για το άθροισμα της αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Αφού n > m, είναι προφανές ότι το 2ο άθροισμα περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), θα λάβουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.

Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι πρέπει να βρείτε και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε στη λύση.

Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε σε μια ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και Διακοπή κοινή εργασίασε ξεχωριστές υποεργασίες (σε σε αυτήν την περίπτωσηνα βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).

Εάν έχετε αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που προέκυψε, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Ανακαλύψαμε πώς να βρούμε μια αριθμητική πρόοδο. Αν το καταλάβετε, δεν είναι τόσο δύσκολο.

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφος πίνακας σε σχέση με τον πίνακα A εάν A*A -1 = E, όπου E - μήτρα ταυτότηταςντη τάξη. αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετραγωνικούς πίνακες.

Σκοπός της υπηρεσίας. Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία σε online λειτουργίαμπορεί κανείς να βρει αλγεβρικά συμπληρώματα, μετατιθέμενο πίνακα A T, συμμαχικό πίνακα και αντίστροφο πίνακα. Η απόφαση πραγματοποιείται απευθείας στον ιστότοπο (διαδικτυακά) και είναι δωρεάν. Τα αποτελέσματα υπολογισμού παρουσιάζονται σε μια αναφορά σε μορφή Word και Excel (δηλαδή, είναι δυνατός ο έλεγχος της λύσης). δείτε το παράδειγμα σχεδίασης.

Οδηγίες. Για να ληφθεί μια λύση, είναι απαραίτητο να καθοριστεί η διάσταση του πίνακα. Στη συνέχεια, συμπληρώστε τον πίνακα A στο νέο πλαίσιο διαλόγου.

Διάσταση μήτρας 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Δείτε επίσης Αντίστροφη μήτρα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jordano-Gauss

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Εύρεση του μετατιθέμενου πίνακα A T .
2. Ορισμός αλγεβρικών συμπληρωμάτων. Αντικαταστήστε κάθε στοιχείο του πίνακα με το αλγεβρικό του συμπλήρωμα.
3. Σύνταξη ενός αντίστροφου πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει διαιρείται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του αρχικού πίνακα.

Επόμενο αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακαπαρόμοια με την προηγούμενη με εξαίρεση ορισμένα βήματα: πρώτα υπολογίστε αλγεβρικές προσθήκες, και στη συνέχεια προσδιορίζεται ο πίνακας ένωσης C.

1. Προσδιορίστε εάν ο πίνακας είναι τετράγωνος. Αν όχι, τότε δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας για αυτό.
2. Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα Α. Αν δεν ισούται με μηδέν, συνεχίζουμε τη λύση, διαφορετικά ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.
3. Ορισμός αλγεβρικών συμπληρωμάτων.
4. Συμπλήρωση του ενωτικού (αμοιβαίου, παρακείμενου) πίνακα C .
5. Σύνταξη ενός αντίστροφου πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: κάθε στοιχείο του παρακείμενου πίνακα C διαιρείται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του αρχικού πίνακα.
6. Κάνουν έναν έλεγχο: πολλαπλασιάζουν τον αρχικό και τους πίνακες που προκύπτουν. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας πίνακας ταυτότητας.

Παράδειγμα Νο. 1. Ας γράψουμε τον πίνακα με τη μορφή:

Αλγεβρικές προσθήκες.

Α 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

Α 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

Α 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

Α 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

Α 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

Α 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

Α 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

Α 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

Α 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Επειτα αντίστροφη μήτραμπορεί να γραφτεί ως:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

Α -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ένας άλλος αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Ας παρουσιάσουμε ένα άλλο σχήμα για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα.

1. Βρείτε την ορίζουσα αυτού τετραγωνική μήτραΕΝΑ.
2. Βρίσκουμε αλγεβρικά συμπληρώματα σε όλα τα στοιχεία του πίνακα Α.
3. Γράφουμε αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων γραμμής σε στήλες (μεταφορά).
4. Διαιρούμε κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει με την ορίζουσα του πίνακα Α.

Όπως βλέπουμε, η πράξη μεταφοράς μπορεί να εφαρμοστεί τόσο στην αρχή, στον αρχικό πίνακα, όσο και στο τέλος, στις αλγεβρικές προσθήκες που προκύπτουν.

Ιδιαίτερη περίπτωση: Το αντίστροφο του πίνακα ταυτότητας Ε είναι ο πίνακας ταυτότητας Ε.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή.
Επίλυση αριθμητικής προόδου.
Δίνονται: a n , d, n
Βρείτε: α 1

Αυτό το μαθηματικό πρόγραμμα βρίσκει \(a_1\) μιας αριθμητικής προόδου με βάση τους αριθμούς που καθορίζονται από το χρήστη \(a_n, d\) και \(n\).
Οι αριθμοί \(a_n\) και \(d\) μπορούν να καθοριστούν όχι μόνο ως ακέραιοι, αλλά και ως κλάσματα. Εξάλλου, ένας κλασματικός αριθμόςμπορεί να εισαχθεί ως δεκαδικό κλάσμα (\(2,5\)) και ως κοινό κλάσμα(\(-5\frac(2)(7)\)).

Το πρόγραμμα όχι μόνο δίνει την απάντηση στο πρόβλημα, αλλά εμφανίζει και τη διαδικασία εύρεσης λύσης.

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορεί να είναι χρήσιμη για μαθητές γυμνασίου σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσηςσε προετοιμασία για δοκιμέςκαι εξετάσεις, κατά τον έλεγχο γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε έναν δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να το κάνετε όσο πιο γρήγορα γίνεται; εργασία για το σπίτιστα μαθηματικά ή στην άλγεβρα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με λεπτομερείς λύσεις.

Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να ξοδέψετε το δικό σας δική σας εκπαίδευσηή/και την εκπαίδευσή τους μικρότερα αδέρφιαή αδελφές, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των προβλημάτων που επιλύονται.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες για την εισαγωγή αριθμών, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.

Κανόνες για την εισαγωγή αριθμών

Οι αριθμοί \(a_n\) και \(d\) μπορούν να καθοριστούν όχι μόνο ως ακέραιοι, αλλά και ως κλάσματα.
Ο αριθμός \(n\) μπορεί να είναι μόνο θετικός ακέραιος.

Κανόνες εισαγωγής δεκαδικών κλασμάτων.
Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη στα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να διαχωριστούν είτε με τελεία είτε με κόμμα.
Για παράδειγμα, μπορείτε να εισάγετε δεκαδικάάρα 2,5 ή κάτι τέτοιο 2,5

Κανόνες εισαγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.
Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.

Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.

Κατά την είσοδο αριθμητικό κλάσμαΟ αριθμητής χωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Εισαγωγή:
Αποτέλεσμα: \(-\frac(2)(3)\)

Ολόκληρο μέροςχωρίζεται από το κλάσμα με συμπλεκτικό σύμφωνο: &
Εισαγωγή:
Αποτέλεσμα: \(-1\frac(2)(3)\)

Εισαγάγετε τους αριθμούς a n , d, n

Βρείτε ένα 1

Ανακαλύφθηκε ότι ορισμένα σενάρια που είναι απαραίτητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Για να εμφανιστεί η λύση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τη JavaScript.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που είναι πρόθυμοι να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας έχει μπει στην ουρά.
Σε λίγα δευτερόλεπτα η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Παρακαλώ περιμένετε δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε για αυτό στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Αριθμητική ακολουθία

Η αρίθμηση χρησιμοποιείται συχνά στην καθημερινή πρακτική διάφορα είδηγια να υποδείξετε τη σειρά με την οποία εμφανίζονται. Για παράδειγμα, τα σπίτια σε κάθε δρόμο είναι αριθμημένα. Στη βιβλιοθήκη, οι συνδρομές του αναγνώστη αριθμούνται και στη συνέχεια ταξινομούνται με τη σειρά των αριθμών που έχουν εκχωρηθεί σε ειδικά αρχεία καρτών.

Σε ένα ταμιευτήριο, χρησιμοποιώντας τον προσωπικό αριθμό λογαριασμού του καταθέτη, μπορείτε εύκολα να βρείτε αυτόν τον λογαριασμό και να δείτε τι κατάθεση υπάρχει σε αυτόν. Ο λογαριασμός Νο. 1 περιέχει κατάθεση a1 ρούβλια, ο λογαριασμός Νο. 2 περιέχει κατάθεση a2 ρούβλια κ.λπ. σειρά αριθμών
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
όπου N είναι ο αριθμός όλων των λογαριασμών. Εδώ, κάθε φυσικός αριθμός n από το 1 έως το N συνδέεται με έναν αριθμό a n.

Σπούδασε επίσης στα μαθηματικά άπειρες ακολουθίες αριθμών:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Ο αριθμός a 1 ονομάζεται πρώτος όρος της ακολουθίας, αριθμός α 2 - δεύτερος όρος της ακολουθίας, αριθμός α 3 - τρίτος όρος της ακολουθίαςκαι τα λοιπά.
Ο αριθμός a n ονομάζεται ντο (η) μέλος της ακολουθίας, και ο φυσικός αριθμός n είναι του αριθμός.

Για παράδειγμα, σε μια ακολουθία τετραγώνων φυσικούς αριθμούς 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... και 1 = 1 είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας. και n = n 2 είναι η θητείαακολουθίες? a n+1 = (n + 1) 2 είναι ο (n + 1)ο (n συν πρώτος) όρος της ακολουθίας. Συχνά μια ακολουθία μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο του nου όρου της. Για παράδειγμα, ο τύπος \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ορίζει την ακολουθία \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Αριθμητική πρόοδος

Η διάρκεια του έτους είναι περίπου 365 ημέρες. Μια πιο ακριβής τιμή είναι \(365\frac(1)(4)\) ημέρες, επομένως κάθε τέσσερα χρόνια συσσωρεύεται ένα σφάλμα μιας ημέρας.

Για να ληφθεί υπόψη αυτό το σφάλμα, μια ημέρα προστίθεται σε κάθε τέταρτο έτος και το παρατεταμένο έτος ονομάζεται δίσεκτο.

Για παράδειγμα, την τρίτη χιλιετία δίσεκτα έτηείναι τα έτη 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Σε αυτή την ακολουθία, κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ίσο με το προηγούμενο, που προστίθεται στον ίδιο αριθμό 4. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται αριθμητικές προόδους.

Ορισμός.
Η αριθμητική ακολουθία a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, αν για όλα τα φυσικά ν η ισότητα
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
όπου d είναι κάποιος αριθμός.

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι a n+1 - a n = d. Ο αριθμός d ονομάζεται διαφορά αριθμητική πρόοδος.

Με τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
που
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), όπου \(n>1 \)

Έτσι, κάθε όρος μιας αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο παρακείμενων όρων της. Αυτό εξηγεί το όνομα "αριθμητική" πρόοδος.

Σημειώστε ότι εάν δίνονται τα 1 και d, τότε οι υπόλοιποι όροι της αριθμητικής προόδου μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον επαναλαμβανόμενο τύπο a n+1 = a n + d. Με αυτόν τον τρόπο δεν είναι δύσκολο να υπολογιστούν οι πρώτοι όροι της προόδου, ωστόσο, για παράδειγμα, ένα 100 θα απαιτεί ήδη πολλούς υπολογισμούς. Συνήθως, ο τύπος nth όρου χρησιμοποιείται για αυτό. Εξ ορισμού της αριθμητικής προόδου
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
και τα λοιπά.
Καθόλου,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
αφού ο ντος όρος μιας αριθμητικής προόδου προκύπτει από τον πρώτο όρο προσθέτοντας (n-1) επί του αριθμού d.
Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου

Βρείτε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100.
Ας γράψουμε αυτό το ποσό με δύο τρόπους:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Ας προσθέσουμε αυτές τις ισότητες ανά όρο:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Αυτό το άθροισμα έχει 100 όρους
Επομένως, 2S = 101 * 100, επομένως S = 101 * 50 = 5050.

Ας εξετάσουμε τώρα μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Έστω S n το άθροισμα των πρώτων n όρων αυτής της προόδου:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Επειτα το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου ισούται με
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Εφόσον \(a_n=a_1+(n-1)d\), τότε αντικαθιστώντας ένα n σε αυτόν τον τύπο, έχουμε έναν άλλο τύπο για εύρεση άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Βιβλία (εγχειρίδια) Περιλήψεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης και της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης online Παιχνίδια, παζλ Σχεδίαση γραφημάτων συναρτήσεων Ορθογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας Λεξικό νεανικής αργκό Κατάλογος ρωσικών σχολείων Κατάλογος δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Ρωσίας Κατάλογος ρωσικών πανεπιστημίων Λίστα των καθηκόντων

Τι το βασικό σημείοΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι;

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε και τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά εξέλιξης ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.

Το να απομνημονεύσετε (ή να ξαπλώσετε) αυτή τη φόρμουλα δεν αρκεί. Πρέπει να κατανοήσετε την ουσία του και να εφαρμόσετε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Και μην ξεχνάτε κατάλληλη στιγμή, αλλά πως μην ξεχάσεις- Δεν γνωρίζω. Και εδώ πώς να θυμάστεΕάν χρειαστεί, θα σας συμβουλεύσω οπωσδήποτε. Για όσους ολοκληρώσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)

Λοιπόν, ας δούμε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είναι μια φόρμουλα γενικά; Παρεμπιπτόντως, ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι είναι η θητεία.

Πρόοδος σε γενική εικόναμπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:

ένα 1, ένα 2, ένα 3, ένα 4, ένα 5, .....

Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος, α 4- το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστή - s ένα 120.

Πώς μπορούμε να το ορίσουμε με γενικούς όρους; όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου, με όποιοςαριθμός; Πολύ απλό! Σαν αυτό:

a n

Αυτό είναι νος όρος αριθμητικής προόδου.Το γράμμα n κρύβει όλους τους αριθμούς μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.

Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκεφτείτε, αντί για έναν αριθμό, έγραψαν ένα γράμμα...

Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητική πρόοδο. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και λύστε ένα σωρό άλλα προβλήματα προόδου. Θα δείτε μόνοι σας περαιτέρω.

Στον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου:

a n = a 1 + (n-1)d

Α'1- ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου.

n- αριθμός μέλους.

Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n ; Α'1 ; ρεΚαι n. Όλα τα προβλήματα προόδου περιστρέφονται γύρω από αυτές τις παραμέτρους.

Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, το πρόβλημα μπορεί να λέει ότι η πρόοδος καθορίζεται από τη συνθήκη:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί να είναι αδιέξοδο... Δεν υπάρχει ούτε σειρά ούτε διαφορά... Όμως, συγκρίνοντας την συνθήκη με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι σε αυτή την εξέλιξη a 1 =5 και d=2.

Και μπορεί να είναι ακόμα χειρότερο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,Ναι, να ανοίξω την παρένθεση και να φέρεις παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:

a n = 3 + 2n.

Αυτό Απλά όχι γενικά, αλλά για συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ κρύβεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα ο πρώτος όρος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με έναν τέτοιο τροποποιημένο τύπο.

Στα προβλήματα προόδου υπάρχει μια άλλη σημείωση - ένα ν+1. Αυτός είναι, όπως μαντέψατε, ο όρος "n συν πρώτος" της προόδου. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου του οποίου ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό n κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε a nπέμπτη θητεία τότε ένα ν+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.

Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα ν+1που βρέθηκαν σε τύπους υποτροπής. Μην φοβάστε αυτήν την τρομακτική λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός μέλους μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτήν τη μορφή, χρησιμοποιώντας έναν επαναλαμβανόμενο τύπο:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αμέσως, ας πούμε, τον εικοστό όρο; ένα 20? Αλλά δεν υπάρχει περίπτωση!) Μέχρι να μάθουμε τον 19ο όρο, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τον 20ο. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του επαναλαμβανόμενου τύπου και του τύπου του nου όρου. Τα επαναλαμβανόμενα έργα μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου είναι μέσω πρώτακαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίσετε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, είναι εύκολο να μετατραπεί ένας επαναλαμβανόμενος τύπος σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη του μορφή και δουλέψτε μαζί του. Στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών, τέτοιες εργασίες συναντώνται συχνά.

Εφαρμογή του τύπου για τον νιο όρο μιας αριθμητικής προόδου.

Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση την έννοια μιας αριθμητικής προόδου. Προσθέστε και προσθέστε... Μία ή δύο ώρες.)

Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Ας αποφασίσουμε.

Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 =3, d=1/6.Μένει να καταλάβουμε τι είναι ίσο n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Γράφουμε λοιπόν:

Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε συγκεκριμένο αριθμό: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει ο όρος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαθιστούμε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Αυτό είναι. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει τον πεντακόσιο δέκατο όρο, και τον χίλια τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε παρενθέσεις, και μετράμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω το σημείο: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Ας λύσουμε το πρόβλημα με πιο πονηρό τρόπο. Ας συναντήσουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n), εάν a 17 =-2; d=-0,5.

Αν έχετε κάποιες δυσκολίες, θα σας πω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με τα χέρια σου, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:

a n = a 1 + (n-1)d

Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος... Είναι αυτό; Αν νομίζετε ότι είναι αυτό, τότε δεν θα λύσετε το πρόβλημα, ναι...

Έχουμε ακόμα έναν αριθμό n! Σε κατάσταση a 17 =-2κρυμμένος δύο παραμέτρους.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου όρου (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό», όχι το κεφάλι!) το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και... και χωρίς κεφάλι επίσης.)

Τώρα μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας με τον τύπο:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας αντικαταστήσουμε:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Αυτό είναι βασικά όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να τον υπολογίσουμε. Η απάντηση θα είναι: α 1 = 6.

Αυτή η τεχνική - η καταγραφή ενός τύπου και η απλή αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ απλές εργασίες. Λοιπόν, φυσικά, πρέπει να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, τα μαθηματικά μπορεί να μην μελετηθούν καθόλου...

Ένα άλλο δημοφιλές παζλ:

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n), αν a 1 =2; α 15 = 12.

Τι κάνουμε; Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τη φόρμουλα!)

a n = a 1 + (n-1)d

Ας εξετάσουμε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (θα τονίσω ιδιαίτερα!) n=15. Μη διστάσετε να το αντικαταστήσετε στον τύπο:

12=2 + (15-1)δ

Κάνουμε την αριθμητική.)

12=2 + 14η

ρε=10/14 = 5/7

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Έτσι, τα καθήκοντα για α ν, α 1Και ρεαποφασισμένος. Το μόνο που μένει είναι να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:

Ο αριθμός 99 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.

Αντικαθιστούμε τις γνωστές μας ποσότητες στον τύπο του nου όρου:

a n = 12 + (n-1) 3

Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα ν και ν.Αλλά a n- αυτό είναι κάποιο μέλος της εξέλιξης με έναν αριθμό n...Και γνωρίζουμε αυτό το μέλος του progression! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,Αυτός ο αριθμός λοιπόν είναι αυτό που πρέπει να βρείτε. Αντικαθιστούμε τον όρο της προόδου 99 στον τύπο:

99 = 12 + (n-1) 3

Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.

Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):

Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 είναι μέλος της αριθμητικής προόδου (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν παράμετροι; Χμ... Γιατί μας δίνονται μάτια;) Βλέπουμε τον πρώτο όρο της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 = -3,6.Διαφορά ρεμπορείς να προσδιορίσεις από μια σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Έτσι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Το μόνο που μένει είναι να ασχοληθούμε με τον άγνωστο αριθμό nκαι ο ακατάληπτος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν... Τι να κάνουμε!; Λοιπόν, τι να κάνουμε, τι να κάνουμε... Άναψε Δημιουργικές δεξιότητες!)

Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι, ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:

Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου ανάμεσα στους εκατό πρώτους και εκατό δεύτερους όρους. Αν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. είναι θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: Οχι.

Βάσει εργασιών πραγματική επιλογή GIA:

Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n = -4 + 6,8n

Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη τίθεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιος τύπος... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.

Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Δεν πειράζει, θα το βρούμε τώρα.)

Όπως και στα προηγούμενα προβλήματα, αντικαθιστούμε n=1 V αυτή τη φόρμουλα:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!

Αναζητούμε τον δέκατο όρο με τον ίδιο τρόπο:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Αυτό είναι.

Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)

Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης, Κρατική Εξέταση ή Ενιαία Κρατική Εξέταση, ξεχάσατε χρήσιμη φόρμουλανος όρος μιας αριθμητικής προόδου. Θυμάμαι κάτι, αλλά με κάποιο τρόπο αβέβαιο... Ή nεκεί, ή n+1, ή n-1...Πώς να είσαι!?

Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Όχι πολύ αυστηρά, αλλά για αυτοπεποίθηση και η σωστή απόφασησίγουρα αρκετά!) Για να βγάλουμε ένα συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθούμε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και να έχουμε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.

Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σημειώστε την πρώτη πάνω της. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώνουμε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:

Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: τι σημαίνει ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:

ένα 2 =a 1 + 1 ρε

Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.

ένα 3 =a 1 + 2 ρε

Τόπιασες; Δεν είναι τυχαίο που επισημαίνω κάποιες λέξεις με έντονους χαρακτήρες. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα).

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.

ένα 4 =a 1 + 3 ρε

Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, Πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Δηλαδή στον αριθμό n, αριθμός διαστημάτωνθα n-1.Επομένως, ο τύπος θα είναι (χωρίς παραλλαγές!):

a n = a 1 + (n-1)d

Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών στη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείτε να εισάγετε μια εικόνα στην εξίσωση...

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση.

Για προθέρμανση:

1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Βρείτε ένα 3.

Συμβουλή: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε 20 δευτερόλεπτα... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για την κυριαρχία του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας τόσο την εικόνα όσο και τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)

Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)

2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .

Τι, δεν θέλετε να ζωγραφίσετε;) Φυσικά! Καλύτερα σύμφωνα με τον τύπο, ναι...

3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Σε αυτήν την εργασία, η πρόοδος καθορίζεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν είναι όλοι ικανοί για ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα του nου όρου είναι στη δύναμη του καθενός!

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Βρείτε τον αριθμό του μικρότερου θετικού όρου της προόδου.

5. Σύμφωνα με τις προϋποθέσεις της εργασίας 4, να βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών όρων της προόδου.

6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αύξουσας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι ίσο με μηδέν. Βρείτε ένα 14.

Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι...) Η μέθοδος "δάχτυλο" δεν θα λειτουργήσει εδώ. Θα πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.

Απαντήσεις (σε αταξία):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Συνέβη; Είναι ωραία!)

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, υπάρχει ένα λεπτό σημείο στην τελευταία εργασία. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.

Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για το τέταρτο, και μια λεπτή στιγμή για το έκτο, και γενικές προσεγγίσειςγια την επίλυση τυχόν προβλημάτων που αφορούν τον τύπο του nου όρου - όλα είναι γραμμένα. Προτείνω.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.