Γιατί δύο τύποι είναι βαθμωτό προϊόν; Εισαγωγή

Scalar προϊόνφορείς (εφεξής SP). Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Η εξέταση των μαθηματικών περιλαμβάνει μια ομάδα προβλημάτων επίλυσης διανυσμάτων. Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένα προβλήματα. Μπορείτε να τα δείτε στην κατηγορία "Διανύσματα". Γενικά, η θεωρία των διανυσμάτων δεν είναι περίπλοκη, το κύριο πράγμα είναι να τη μελετήσουμε με συνέπεια. Υπολογισμοί και πράξεις με διανύσματα in σχολικό μάθημαΤα μαθηματικά είναι απλά, οι τύποι δεν είναι περίπλοκοι. Ρίξε μια ματιά στο. Σε αυτό το άρθρο θα αναλύσουμε προβλήματα στο SP των διανυσμάτων (που περιλαμβάνονται στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους). Τώρα «βύθιση» στη θεωρία:

H Για να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, πρέπει να αφαιρέσετε από τις συντεταγμένες του τέλους τουτις αντίστοιχες συντεταγμένες της προέλευσής του

Και επιπλέον:

*Το διανυσματικό μήκος (μέτρο) προσδιορίζεται ως εξής:

Αυτές οι φόρμουλες πρέπει να θυμόμαστε!!!

Ας δείξουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Είναι σαφές ότι μπορεί να κυμαίνεται από 0 έως 180 0(ή σε ακτίνια από 0 έως Pi).

Μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα σχετικά με το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου. Τα διανυσματικά μήκη είναι θετική αξία, Είναι προφανές. Αυτό σημαίνει ότι το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου εξαρτάται από την τιμή του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Πιθανές περιπτώσεις:

1. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι οξεία (από 0 0 έως 90 0), τότε το συνημίτονο της γωνίας θα έχει θετική τιμή.

2. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία (από 90 0 έως 180 0), τότε το συνημίτονο της γωνίας θα έχει αρνητική τιμή.

*Στις μηδέν μοίρες, όταν δηλαδή τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση, συνημίτονο ίσο με ένακαι ανάλογα το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Στο 180 o, δηλαδή όταν τα διανύσματα έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, το συνημίτονο είναι ίσο με μείον ένα,και ανάλογα το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Τώρα το ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ!

Στο 90 o, δηλαδή όταν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, το συνημίτονο είναι ίσο με μηδέν και επομένως το SP είναι ίσο με μηδέν. Αυτό το γεγονός (συνέπεια, συμπέρασμα) χρησιμοποιείται στην επίλυση πολλών προβλημάτων όπου μιλάμε σχετική θέσηδιανύσματα, συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων που περιλαμβάνονται σε ανοιχτή τράπεζαεργασίες μαθηματικών.

Ας διατυπώσουμε τη δήλωση: το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν αυτά τα διανύσματα βρίσκονται σε κάθετες ευθείες.

Έτσι, οι τύποι για διανύσματα SP:

Εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ή οι συντεταγμένες των σημείων των αρχών και των άκρων τους, τότε μπορούμε πάντα να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα:

27724 Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b.

Μπορούμε να βρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας έναν από τους δύο τύπους:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι άγνωστη, αλλά μπορούμε εύκολα να βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο. Εφόσον οι απαρχές και των δύο διανυσμάτων συμπίπτουν με την αρχή των συντεταγμένων, οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίσες με τις συντεταγμένες των άκρων τους, δηλαδή

Πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος περιγράφεται στο.

Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 40

Ας βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες της αρχής του από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος, που σημαίνει

Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Απάντηση: 40

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων α και β. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Έστω οι συντεταγμένες των διανυσμάτων να έχουν τη μορφή:

Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων:

Ως εκ τούτου:

Οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίσες:

Ας τα αντικαταστήσουμε στον τύπο:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 45 μοίρες.

Απάντηση: 45

Εφαρμογή. 1. Σημείο γινόμενο συναρτήσεων.

1. Σημείο γινόμενο συναρτήσεων.

Αφήστε το τμήμα [ ένα, σι] δίνεται ένα σύστημα συναρτήσεων που είναι τετραγωνικά ενσωματώσιμες στο [ ένα, σι]:

u 0 (Χ), u 1 (Χ), u 2 (Χ), …, u n(Χ), …, (1)

Παρόμοιο με το πώς μεταξύ στοιχείων διανυσματικός χώροςεισήχθη λειτουργία προϊόντος με κουκκίδες διανύσματα, που ταιριάζει με ένα ζεύγος διανυσμάτων δεδομένου χώρουκάποιο νούμερο - βαθμωτό μέγεθος , και μεταξύ των στοιχείων αυτού του συστήματος συναρτήσεων u i(Χ), u j(Χ) μπορεί να οριστεί η λειτουργία του βαθμωτό γινόμενο των συναρτήσεων, που υποδηλώνεται παρακάτω ως ( u i(Χ), u j(Χ)).

Εξ ορισμού, η βαθμωτή λειτουργία προϊόντος μεταξύ των στοιχείων Χ , y Και zπρέπει να υπάρχει κάποιος χώρος (συμπεριλαμβανομένων μεταξύ των στοιχείων του συστήματος συναρτήσεων). τις ακόλουθες ιδιότητες:

Το προϊόν με κουκκίδες μεταξύ στοιχείων του χώρου συναρτήσεων u i(Χ), u j(Χ) Εγώ, ι= 0, 1, 2,..., ενσωματώσιμο σε [ ένα, σι] με τετράγωνο, εισάγεται χρησιμοποιώντας την πράξη ολοκλήρωσης:

Ορισμός 1. Το σύστημα (1) είναι ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων στο τμήμα [ ένα, σι], εάν υπάρχουν δύο λειτουργίες u i(Χ), u j(Χ), Εγώ, ι= 0, 1, 2, ... ενός δεδομένου συστήματος
ορθογώνιο (μεταξύ τους) στις [ ένα, σι].

Ορισμός 2. Ας ονομάσουμε δύο συναρτήσεις u i(Χ), u j(Χ), Εγώ, ι= 0, 1, 2, ... συστήματα (1)
ορθογώνιο στο τμήμα [ ένα, σι], εάν η ακόλουθη συνθήκη ικανοποιείται για το βαθμωτό γινόμενο τους:

(4)

Αριθμός - που ονομάζεται κανόνας λειτουργίας u i(Χ).

Εάν όλες οι λειτουργίες u i(Χ) έχουν ενιαίο ποσοστό , δηλ.

μεγάλο Εγώ = 1, Εγώ = 0, 1, 2, ... (5)

και το σύστημα των συναρτήσεων (1) είναι ορθογώνιο σε [ ένα, σι], τότε ονομάζεται ένα τέτοιο σύστημα
ορθοκανονική ή κανονικός ορθογώνιο σύστημα στο τμήμα [ ένα, σι].

Εάν δεν πληρούνται αρχικά οι προϋποθέσεις για την κανονικότητα των λειτουργιών, από το σύστημα (1), εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να μεταβείτε στο σύστημα (6), το οποίο σίγουρα θα είναι κανονικό:

, Εγώ = 0, 1, 2, ... (6)

Σημειώστε ότι από το ακίνητο ορθογωνικότητα στοιχεία κάποιου συστήματος, θα έπρεπε να είναι γραμμική ανεξαρτησία , δηλ. αληθεύει η ακόλουθη δήλωση: Οποιοδήποτε ορθογώνιο σύστημα μη μηδενικών διανυσμάτων(στοιχεία)είναι γραμμικά ανεξάρτητη.

2 .Η έννοια των συναρτήσεων βάσης.

Από το μάθημα της γραμμικής άλγεβρας γνωρίζετε ότι στον διανυσματικό χώρο μπορείτε να εισέλθετε διανυσματική βάση- ένα σύνολο διανυσμάτων έτσι ώστε να μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάνυσμα ενός δεδομένου διανυσματικού χώρου ο μόνος τρόποςπαριστάνεται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης. Εν κανένα από τα διανύσματα βάσης δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων βάσης (γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων βάσης).

Έτσι, για παράδειγμα, οποιοδήποτε διάνυσμα Ο τρισδιάστατος χώρος μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης :

= .

Οπου ένα, σι, Και ντο- κάποιοι αριθμοί. Και λόγω γραμμική ανεξαρτησία(ορθογωνικότητα) διανυσμάτων βάσης Κανένα από τα διανύσματα μεμονωμένα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων διανυσμάτων βάσης.

Παρόμοια με τα παραπάνω, στο διάστημα πολυωνυμικές συναρτήσεις, δηλ. στο χώρο πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από n:

P n(Χ) = ένα 0 + ένα 1 Χ + ένα 2 Χ 2 + … + a n x n. (7)

μια βάση μπορεί να εισαχθεί από στοιχειώδες πολυώνυμο (ενδεικτικός) λειτουργίες :

Χ 0 , Χ, Χ 2 , Χ 3 , …, x n(8)

Επιπλέον, είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις βάσης (8) είναι γραμμικά ανεξάρτητες, δηλ. Καμία από τις συναρτήσεις βάσης (8) δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων συναρτήσεων βάσης. Επιπλέον, είναι προφανές ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο βαθμού δεν είναι μεγαλύτερο από nμπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά στη μορφή (7), δηλ. με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού συναρτήσεων βάσης (8).

j i(Χ) = ζ Εγώ(x-a) Εγώ + (x-a)i+ 1 , Εγώ= 1, 2, …, n(9)

Την εξήγηση για αυτό δίνουν εν μέρει οι γνωστοί μαθηματική ανάλυσηΤο θεώρημα του Weierstrass, σύμφωνα με το οποίο οποιαδήποτε συνεχής ευθεία στο διάστημα [ ένα, σι] λειτουργία φά(Χ) Μπορεί " Πρόστιμο» προσεγγίζεται σε αυτό το τμήμα με κάποιο πολυώνυμο P n(Χ) βαθμούς n, δηλ. αύξηση του βαθμού nπολυώνυμος P n(Χ), μπορεί πάντα να είναι όσο κοντά θέλετε ταιριάζει σε συνεχής λειτουργίαφά(Χ).

Εφόσον οποιοδήποτε πολυώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνυμικών συναρτήσεων βάσης του τύπου (8) ή (9), τότε, δυνάμει του θεωρήματος Weierstrass, μια συνεχής (δηλαδή, δύο φορές διαφοροποιήσιμη συνάρτηση που είναι μια λύση διαφορική εξίσωσηδεύτερης τάξης) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός συναρτήσεων βάσης (9), οι οποίες είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμες και κατά ζεύγη γραμμικά ανεξάρτητες.

Ερωτήσεις για το θέμα

«Μέθοδοι για την κατά προσέγγιση επίλυση προβλημάτων οριακής τιμής για συνηθισμένα
διαφορικές εξισώσεις".

(Διαλέξεις 25 - 26)

1. Βασικοί ορισμοί: Δήλωση προβλήματος γραμμικής οριακής τιμής για ODE δεύτερης τάξης. είδη και ταξινόμηση προβλημάτων οριακής τιμής.

2. Μέθοδοι για τη μείωση των προβλημάτων οριακής τιμής σε προβλήματα αρχικής τιμής: διατύπωση του προβλήματος. μέθοδος παρατήρησης· μέθοδος μείωσης? μέθοδος διαφορικής σάρωσης.

3. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών: διατύπωση του προβλήματος. καθολικότητα της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών. επιλογή τύπων προσεγγίσεων της παραγώγου για τη μείωση του προβλήματος της οριακής τιμής σε SALU με πίνακα που έχει τριδιαγώνια δομή.

4. Μέθοδος παρεμβολής ή μέθοδος συνεγκατάστασης: αναζήτηση για μια κατά προσέγγιση λύση με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού συναρτήσεων βάσης, απαιτήσεις για συναρτήσεις βάσης για την ικανοποίηση συνοριακών συνθηκών. αναζήτηση συντελεστών γραμμικού συνδυασμού με βάση την συνθήκη σύμπτωσης των ακριβών και κατά προσέγγιση λύσεων σε κόμβους συντοπισμού. επιλογή των βασικών συναρτήσεων.

5. Μέθοδος Galerkin- βασικές έννοιες της θεωρίας της μεθόδου Galerkin. Εύρεση κατά προσέγγιση λύσης με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού βασικές λειτουργίες , απαιτήσεις για βασικές λειτουργίες. Επιλογή συντελεστών ενός γραμμικού συνδυασμού που καθορίζει τον τύπο της κατά προσέγγιση λύσης από τη συνθήκη ελαχιστοποίησης υπολείμματα , λόγω αντικατάστασης της ακριβούς λύσης διαφορικό πρόβληματην επιθυμητή κατά προσέγγιση λύση.

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση

Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης Κρατικό Ινστιτούτο Μεταλλείων Αγίας Πετρούπολης. G.V. Plekhanova

(Πολυτεχνείο)

Ο Α.Π. Gospodarikov, G.A. Colton, S.A. Khachatryan

Σειρά Fourier. Ολοκλήρωμα Fourier.

Λειτουργικός λογισμός

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο

ΑΓΙΑ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

UDC 512 + 517,2 (075,80)

Το εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο παρέχει την ευκαιρία απόκτησης πρακτικών δεξιοτήτων στην ανάλυση συναρτήσεων χρησιμοποιώντας επέκταση της σειράς Fourier ή αναπαράσταση από το ολοκλήρωμα Fourier και προορίζεται για ανεξάρτητη εργασία πλήρους και μερικής απασχόλησης σπουδαστών ειδικοτήτων.

Το εγχειρίδιο εξετάζει τα κύρια ζητήματα του λειτουργικού λογισμού και μια ευρεία κατηγορία τεχνικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας τις βασικές αρχές του λειτουργικού λογισμού.

Επιστημονικός συντάκτης καθ. . Ο Α.Π. Gospodarikov

Κριτές: τμήμα ανώτερα μαθηματικάΝο. 1 Κρατικό Ηλεκτροτεχνικό Πανεπιστήμιο Αγίας Πετρούπολης. Διδάκτωρ Φυσικομαθηματικών επιστήμες V.M. Τσιστιακόφ(Κρατικό Πολυτεχνείο Αγίας Πετρούπολης).

Gospodarikov A.P.

G723. Σειρά Fourier. Ολοκλήρωμα Fourier. Λειτουργικός λογισμός: Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο / Ο Α.Π. Gospodarikov,Γ.Α. Colton,ΑΝΩΝΥΜΗ ΕΤΑΙΡΙΑ. Khachatryan; Κρατικό Ινστιτούτο Μεταλλείων Αγίας Πετρούπολης (Τεχνικό Πανεπιστήμιο). Αγία Πετρούπολη, 2005. 102 σελ.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

Εισαγωγή

Από τη θεωρία Fourier είναι γνωστό ότι με κάποια επιρροή σε φυσικά, τεχνικά και άλλα συστήματα, το αποτέλεσμά του επαναλαμβάνει το σχήμα του αρχικού σήματος εισόδου, διαφέροντας μόνο στον παράγοντα κλίμακας. Είναι σαφές ότι το σύστημα αντιδρά σε τέτοια σήματα (ονομάζονται δικά του) με τον απλούστερο τρόπο. Εάν ένα αυθαίρετο σήμα εισόδου είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των δικών του σημάτων και το σύστημα είναι γραμμικό, τότε η απόκριση του συστήματος σε αυτό το αυθαίρετο σήμα είναι το άθροισμα των αντιδράσεων στα δικά του σήματα. Και ως εκ τούτου πλήρεις πληροφορίεςπληροφορίες για ένα σύστημα μπορούν να ληφθούν από τα «δομικά στοιχεία» του—τις αποκρίσεις του συστήματος στα δικά του σήματα εισόδου. Αυτό γίνεται, για παράδειγμα, στην ηλεκτρική μηχανική κατά την εισαγωγή της απόκρισης συχνότητας του συστήματος (συνάρτηση μεταφοράς). Για τα απλούστερα γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα συστήματα (για παράδειγμα, αυτά που περιγράφονται από συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές), σε ορισμένες περιπτώσεις οι ιδιοσυναρτήσεις είναι αρμονικές της μορφής . Με αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατό να ληφθεί το αποτέλεσμα μιας αυθαίρετης επιρροής στο σύστημα, εάν το τελευταίο παρουσιάζεται με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού αρμονικών (στη γενική περίπτωση, με τη μορφή σειράς Fourier ή ολοκλήρωσης Fourier) . Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους στη θεωρία και τις εφαρμογές υπάρχει η ανάγκη χρήσης της έννοιας της τριγωνομετρικής σειράς (σειρά Fourier) ή του ολοκληρώματος Fourier.

Κεφάλαιο 1. Σειρά Fourier

§ 1. Διανυσματικοί χώροι

Εδώ είναι σύντομες πληροφορίεςαπό τη διανυσματική άλγεβρα, απαραίτητη για την καλύτερη κατανόηση των βασικών αρχών της θεωρίας των σειρών Fourier.

Ας εξετάσουμε το σύνολο  των γεωμετρικών διανυσμάτων (διανυσματικός χώρος), για το οποίο η έννοια της ισότητας των διανυσμάτων εισάγεται με τον συνήθη τρόπο, γραμμικές πράξεις(πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό) και πράξεις κλιμακωτού πολλαπλασιασμού διανυσμάτων.

Ας εισαγάγουμε μια ορθογώνια βάση στο χώρο , που αποτελείται από τρία ζεύγη ορθογώνια διανύσματα ,Και . Δωρεάν διάνυσμα
είναι ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης:

. (1.1)

Συντελεστές  Εγώ (Εγώ= 1, 2, 3), που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένες σε σχέση με τη βάση
, μπορεί να οριστεί ως εξής. Το γινόμενο κουκίδων ενός διανύσματος και ένα από τα διανύσματα βάσης

Λόγω της ορθογωνικότητας της βάσης, τα κλιμακωτά γινόμενα
στο
, επομένως, στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας μόνο ένας όρος είναι μη μηδενικός, αντίστοιχος
, Να γιατί
, που

, (1.2)

Οπου
.

Αν οι φορείς Και δίνονται από τις συντεταγμένες τους
Και
, τότε το βαθμωτό γινόμενο τους

Από πότε
κλιμακωτό προϊόν
, τότε σε διπλό άθροισμα μόνο οι όροι με ίσους δείκτες είναι μη μηδενικοί, επομένως

Ειδικότερα όταν
από (1.3) προκύπτει

. (1.4)

§ 2. Εσωτερικό γινόμενο και νόρμα συναρτήσεων

Ας υποδηλώσουμε με το σύμβολο
σύνολο συναρτήσεων που είναι τμηματικά συνεχείς στο διάστημα [ ένα, σι], δηλ. συναρτήσεις που έχουν στο διάστημα [ ένα, σι] πεπερασμένος αριθμός σημείων ασυνέχειας του πρώτου είδους και συνεχούς σε όλα τα άλλα σημεία αυτού του διαστήματος.

Σημείο γινόμενο των συναρτήσεων
καλούμενος αριθμός

Ιδιότητες του βαθμωτό γινόμενο των συναρτήσεων συμπίπτουν πλήρως με τις ιδιότητες του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Έτσι, το προϊόν με τελείες εξαρτάται γραμμικά από τα συστατικά του. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται διγραμμικότητα του βαθμωτού γινομένου.

Λειτουργίες
ονομάζονται ορθογώνιες
επί [ ένα, σι], Αν
.

Κανόνας λειτουργίας
ανάμεσα [ένα, σι] ονομάζεται μη αρνητικός αριθμός , του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο της συνάρτησης στον εαυτο μου:

Ιδιότητες του κανόνα μιας συνάρτησης συμπίπτουν σε μεγάλο βαθμό με τις ιδιότητες της διανυσματικής ενότητας:

1.
.

2. Εάν η συνάρτηση
είναι συνεχής στις [ ένα, σι] Και
, Οτι
. Επειδή
, τότε πότε

που
. Διαφοροποίηση της τελευταίας σχέσης σε σχέση με και εφαρμόζοντας το θεώρημα Barrow, παίρνουμε
και ως εκ τούτου,
.

3. Τθεώρημα συνημιτόνων .

.

Συνέπεια. Αν
, Οτι
(Πυθαγόρειο θεώρημα).

4. Γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα.Εάν οι λειτουργίες (κ = = 1, 2, …, n) είναι κατά ζεύγη ορθογώνια στο διάστημα
, Οτι

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της διγραμμικότητας του βαθμωτού γινομένου, λαμβάνουμε

Λόγω της ορθογωνικότητας των συναρτήσεων προϊόντα με κουκκίδες
στο
, Να γιατί

5. nΙσότητα Cauchy-Bunyakovsky
, ή, τι είναι το ίδιο,

Για κάθε πραγματικό

Ετσι, τετραγωνικό τριώνυμοστην αριστερή πλευρά της τελευταίας ανισότητας διατηρεί το πρόσημο σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα, επομένως, η διάκρισή του
.