Νομίζω ότι πρέπει να ξεκινήσουμε με την ιστορία ενός τόσο ένδοξου μαθηματικού εργαλείου όπως διαφορικές εξισώσεις. Όπως όλοι οι διαφορικοί και ολοκληρωτικοί λογισμοί, αυτές οι εξισώσεις επινοήθηκαν από τον Νεύτωνα στα τέλη του 17ου αιώνα. Θεώρησε αυτή την ανακάλυψή του τόσο σημαντική που κρυπτογραφούσε ακόμη και το μήνυμα, που σήμερα μπορεί να μεταφραστεί κάπως έτσι: «Όλοι οι νόμοι της φύσης περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις». Αυτό μπορεί να φαίνεται υπερβολή, αλλά είναι αλήθεια. Οποιοσδήποτε νόμος της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας μπορεί να περιγραφεί με αυτές τις εξισώσεις.

Τεράστια συνεισφορά στην ανάπτυξη και δημιουργία της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων είχαν οι μαθηματικοί Euler και Lagrange. Ήδη από τον 18ο αιώνα, ανακάλυψαν και ανέπτυξαν αυτό που σήμερα σπουδάζουν στα ανώτερα μαθήματα των πανεπιστημίων.

Ένα νέο ορόσημο στη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων ξεκίνησε χάρη στον Henri Poincare. Αυτός δημιούργησε " ποιοτική θεωρίαδιαφορικές εξισώσεις», οι οποίες, σε συνδυασμό με τη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής, συνέβαλαν σημαντικά στη θεμελίωση της τοπολογίας - της επιστήμης του χώρου και των ιδιοτήτων του.

Τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις;

Πολλοί φοβούνται μια φράση.Ωστόσο, σε αυτό το άρθρο θα αναφέρουμε αναλυτικά όλη την ουσία αυτής της πολύ χρήσιμης μαθηματική συσκευή, το οποίο στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο περίπλοκο όσο υποδηλώνει το όνομα. Για να αρχίσετε να μιλάτε για διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης, θα πρέπει πρώτα να εξοικειωθείτε με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται εγγενώς με αυτόν τον ορισμό. Ας ξεκινήσουμε με το διαφορικό.

Διαφορικός

Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν αυτή την έννοια από το σχολείο. Ωστόσο, ας το δούμε πιο προσεκτικά. Φανταστείτε ένα γράφημα μιας συνάρτησης. Μπορούμε να το αυξήσουμε σε τέτοιο βαθμό ώστε οποιοδήποτε από τα τμήματα του να πάρει τη μορφή ευθείας γραμμής. Πάνω του παίρνουμε δύο σημεία που είναι απείρως κοντά το ένα στο άλλο. Η διαφορά μεταξύ των συντεταγμένων τους (x ή y) θα είναι μια απειροελάχιστη τιμή. Ονομάζεται διαφορικό και συμβολίζεται με τα πρόσημα dy (διαφορικό από y) και dx (διαφορικό από x). Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε ότι το διαφορικό δεν είναι μια πεπερασμένη τιμή και αυτή είναι η σημασία και η κύρια λειτουργία του.

Και τώρα είναι απαραίτητο να εξετάσουμε το ακόλουθο στοιχείο, το οποίο θα μας φανεί χρήσιμο για να εξηγήσουμε την έννοια της διαφορικής εξίσωσης. Αυτό είναι παράγωγο.

Παράγωγο

Όλοι πιθανώς ακούσαμε αυτήν την έννοια στο σχολείο. Η παράγωγος λέγεται ότι είναι ο ρυθμός αύξησης ή μείωσης μιας συνάρτησης. Ωστόσο, μεγάλο μέρος αυτού του ορισμού γίνεται ακατανόητο. Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την παράγωγο με όρους διαφορών. Ας επιστρέψουμε σε ένα απειροελάχιστο τμήμα μιας συνάρτησης με δύο σημεία που βρίσκονται σε ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους. Αλλά ακόμα και για αυτή την απόσταση, η λειτουργία καταφέρνει να αλλάξει κατά ένα ποσό. Και για να περιγράψουν αυτή την αλλαγή, κατέληξαν σε μια παράγωγο, η οποία διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως λόγος διαφορικών: f (x) "=df / dx.

Τώρα αξίζει να εξεταστεί βασικές ιδιότητεςπαράγωγο. Υπάρχουν μόνο τρία από αυτά:

1. Η παράγωγος του αθροίσματος ή της διαφοράς μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ή η διαφορά των παραγώγων: (a+b)"=a"+b" και (a-b)"=a"-b".
2. Η δεύτερη ιδιότητα σχετίζεται με τον πολλαπλασιασμό. Η παράγωγος ενός προϊόντος είναι το άθροισμα των γινομένων μιας συνάρτησης και η παράγωγος μιας άλλης: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Η παράγωγος της διαφοράς μπορεί να γραφτεί ως η ακόλουθη ισότητα: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Όλες αυτές οι ιδιότητες θα μας είναι χρήσιμες για την εύρεση λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Υπάρχουν και μερικώς παράγωγα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση z που εξαρτάται από τις μεταβλητές x και y. Για να υπολογίσουμε τη μερική παράγωγο αυτής της συνάρτησης, ας πούμε, σε σχέση με το x, πρέπει να πάρουμε τη μεταβλητή y ως σταθερά και απλά να διαφοροποιήσουμε.

Αναπόσπαστο

Μια άλλη σημαντική έννοια είναι το ολοκλήρωμα. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το άμεσο αντίθετο της παραγώγου. Υπάρχουν διάφοροι τύποι ολοκληρωμάτων, αλλά για να λύσουμε τις απλούστερες διαφορικές εξισώσεις, χρειαζόμαστε τα πιο ασήμαντα

Λοιπόν, ας πούμε ότι έχουμε κάποια εξάρτηση της f από το x. Παίρνουμε το ολοκλήρωμα από αυτό και παίρνουμε τη συνάρτηση F (x) (που συχνά ονομάζεται αντιπαράγωγος), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με την αρχική συνάρτηση. Έτσι F(x)"=f(x). Επίσης προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα της παραγώγου είναι ίσο με την αρχική συνάρτηση.

Κατά την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσετε τη σημασία και τη λειτουργία του ολοκληρώματος, αφού θα πρέπει να τα παίρνετε πολύ συχνά για να βρείτε μια λύση.

Οι εξισώσεις διαφέρουν ανάλογα με τη φύση τους. Στην επόμενη ενότητα, θα εξετάσουμε τους τύπους διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης και στη συνέχεια θα μάθουμε πώς να τις λύνουμε.

Κατηγορίες διαφορικών εξισώσεων

Τα "Diffura" χωρίζονται ανάλογα με τη σειρά των παραγώγων που εμπλέκονται σε αυτά. Έτσι, υπάρχει η πρώτη, δεύτερη, τρίτη και μεγαλύτερη σειρά. Μπορούν επίσης να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες: συνηθισμένες και μερικές παράγωγες.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Θα συζητήσουμε επίσης παραδείγματα και τρόπους επίλυσής τους επόμενες ενότητες. Θα εξετάσουμε μόνο ODE, επειδή αυτοί είναι οι πιο συνηθισμένοι τύποι εξισώσεων. Τα συνηθισμένα χωρίζονται σε υποείδη: με χωριστές μεταβλητές, ομοιογενείς και ετερογενείς. Στη συνέχεια, θα μάθετε πώς διαφέρουν μεταξύ τους και θα μάθετε πώς να τα λύσετε.

Επιπλέον, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν, έτσι ώστε αφού έχουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Θα εξετάσουμε επίσης τέτοια συστήματα και θα μάθουμε πώς να τα λύσουμε.

Γιατί εξετάζουμε μόνο την πρώτη παραγγελία; Επειδή πρέπει να ξεκινήσετε με ένα απλό, και είναι απλά αδύνατο να περιγράψετε όλα όσα σχετίζονται με διαφορικές εξισώσεις σε ένα άρθρο.

Διαχωρίσιμες μεταβλητές εξισώσεις

Αυτές είναι ίσως οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Αυτά περιλαμβάνουν παραδείγματα που μπορούν να γραφτούν ως εξής: y "=f (x) * f (y). Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, χρειαζόμαστε έναν τύπο για την αναπαράσταση της παραγώγου ως αναλογία διαφορικών: y" = dy / dx. Χρησιμοποιώντας το, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: dy/dx=f(x)*f(y). Τώρα μπορούμε να στραφούμε στη μέθοδο λύσης τυπικά παραδείγματα: θα χωρίσουμε τις μεταβλητές σε μέρη, δηλαδή θα μεταφέρουμε τα πάντα με τη μεταβλητή y στο τμήμα που βρίσκεται το dy, και το ίδιο θα κάνουμε με τη μεταβλητή x. Λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής: dy/f(y)=f(x)dx, η οποία λύνεται παίρνοντας τα ολοκληρώματα και των δύο μερών. Μην ξεχνάτε τη σταθερά, η οποία πρέπει να ρυθμιστεί μετά τη λήψη του ολοκληρώματος.

Η λύση οποιασδήποτε «διάστασης» είναι συνάρτηση της εξάρτησης του x από το y (στην περίπτωσή μας) ή, αν υπάρχει αριθμητική συνθήκη, τότε η απάντηση έχει τη μορφή αριθμού. Ας ρίξουμε μια ματιά στο συγκεκριμένο παράδειγμαόλη η πορεία της λύσης:

Μεταφέρουμε μεταβλητές σε διαφορετικές κατευθύνσεις:

Τώρα παίρνουμε ολοκληρώματα. Όλα αυτά βρίσκονται σε έναν ειδικό πίνακα ολοκληρωμάτων. Και παίρνουμε:

log(y) = -2*cos(x) + C

Εάν απαιτείται, μπορούμε να εκφράσουμε το "y" ως συνάρτηση του "x". Τώρα μπορούμε να πούμε ότι η διαφορική μας εξίσωση λύνεται αν δεν δοθεί συνθήκη. Μπορεί να δοθεί μια συνθήκη, για παράδειγμα, y(n/2)=e. Τότε απλώς αντικαθιστούμε την τιμή αυτών των μεταβλητών στη λύση και βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς. Στο παράδειγμά μας, είναι ίσο με 1.

Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Τώρα ας περάσουμε στο πιο δύσκολο κομμάτι. Μπορούν να γραφτούν ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης γενική εικόναάρα: y"=z(x,y). Πρέπει να σημειωθεί ότι σωστή λειτουργίασε δύο μεταβλητές είναι ομοιογενής και δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο εξαρτήσεις: z στο x και z στο y. Ο έλεγχος αν η εξίσωση είναι ομοιογενής ή όχι είναι αρκετά απλός: κάνουμε την αντικατάσταση x=k*x και y=k*y. Τώρα ακυρώνουμε όλα τα k. Εάν όλα αυτά τα γράμματα μειωθούν, τότε η εξίσωση είναι ομοιογενής και μπορείτε να προχωρήσετε με ασφάλεια στην επίλυσή της. Κοιτάζοντας μπροστά, ας πούμε: η αρχή της επίλυσης αυτών των παραδειγμάτων είναι επίσης πολύ απλή.

Πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση: y=t(x)*x, όπου t είναι κάποια συνάρτηση που εξαρτάται επίσης από το x. Τότε μπορούμε να εκφράσουμε την παράγωγο: y"=t"(x)*x+t. Αντικαθιστώντας όλα αυτά στην αρχική μας εξίσωση και απλοποιώντας την, παίρνουμε ένα παράδειγμα με χωριστές μεταβλητές t και x. Το λύνουμε και παίρνουμε την εξάρτηση t(x). Όταν το λάβαμε, απλώς αντικαθιστούμε το y=t(x)*x στην προηγούμενη αντικατάστασή μας. Τότε παίρνουμε την εξάρτηση του y από το x.

Για να γίνει πιο σαφές, ας δούμε ένα παράδειγμα: x*y"=y-x*e y/x .

Κατά τον έλεγχο με αντικατάσταση, όλα μειώνονται. Άρα η εξίσωση είναι πραγματικά ομοιογενής. Τώρα κάνουμε άλλη μια αντικατάσταση για την οποία μιλήσαμε: y=t(x)*x και y"=t"(x)*x+t(x). Μετά την απλοποίηση, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: t "(x) * x \u003d -e t. Λύνουμε το παράδειγμα που προκύπτει με διαχωρισμένες μεταβλητές και παίρνουμε: e -t \u003dln (C * x). Χρειάζεται μόνο να αντικαταστήσουμε το t με y / x (γιατί αν y \u003d t * x, τότε t \u003d y / x), και παίρνουμε την απάντηση: e -y / x \u003d ln (x * C).

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Ήρθε η ώρα να εξετάσουμε ένα άλλο ευρύ θέμα. Θα αναλύσουμε ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε τι διαφέρουν από τα δύο προηγούμενα; Ας το καταλάβουμε. Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης σε γενική μορφή μπορούν να γραφτούν ως εξής: y " + g (x) * y \u003d z (x). Αξίζει να διευκρινιστεί ότι τα z (x) και g (x) μπορούν να είναι σταθερές τιμές .

Και τώρα ένα παράδειγμα: y" - y*x=x 2 .

Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης και θα αναλύσουμε και τους δύο με τη σειρά. Η πρώτη είναι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει πρώτα να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά με το μηδέν και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει, η οποία, μετά τη μεταφορά των μερών, θα πάρει τη μορφή:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε τη σταθερά C 1 με τη συνάρτηση v(x), την οποία πρέπει να βρούμε.

Ας αλλάξουμε την παράγωγο:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Ας αντικαταστήσουμε αυτές τις εκφράσεις στην αρχική εξίσωση:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Φαίνεται ότι δύο όροι ακυρώνονται στην αριστερή πλευρά. Εάν σε κάποιο παράδειγμα αυτό δεν συνέβη, τότε κάνατε κάτι λάθος. Ας συνεχίσουμε:

v"*e x2/2 = x 2 .

Τώρα λύνουμε τη συνηθισμένη εξίσωση στην οποία πρέπει να διαχωρίσουμε τις μεταβλητές:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Για να εξαγάγουμε το ολοκλήρωμα, πρέπει να εφαρμόσουμε την ενοποίηση ανά μέρη εδώ. Ωστόσο, αυτό δεν είναι το θέμα του άρθρου μας. Εάν ενδιαφέρεστε, μπορείτε να μάθετε πώς να εκτελείτε μόνοι σας τέτοιες ενέργειες. Δεν είναι δύσκολο, και με επαρκή επιδεξιότητα και φροντίδα, δεν χρειάζεται πολύς χρόνος.

Ας στραφούμε στη δεύτερη λύση. ομοιογενείς εξισώσεις: Μέθοδος Bernoulli. Ποια προσέγγιση είναι πιο γρήγορη και ευκολότερη εξαρτάται από εσάς.

Έτσι, όταν λύνουμε την εξίσωση με αυτή τη μέθοδο, πρέπει να κάνουμε μια αντικατάσταση: y=k*n. Εδώ τα k και n είναι μερικές συναρτήσεις που εξαρτώνται από το x. Τότε η παράγωγος θα μοιάζει με αυτό: y"=k"*n+k*n". Αντικαθιστούμε και τις δύο αντικαταστάσεις στην εξίσωση:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Ομαδοποίηση:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Τώρα πρέπει να εξισώσουμε με το μηδέν αυτό που βρίσκεται σε αγκύλες. Τώρα, αν συνδυάσουμε τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν, παίρνουμε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που πρέπει να λυθεί:

Λύνουμε την πρώτη ισότητα ως συνηθισμένη εξίσωση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαχωρίσετε τις μεταβλητές:

Παίρνουμε το ολοκλήρωμα και παίρνουμε: ln(n)=x 2 /2. Τότε, αν εκφράσουμε n:

Τώρα αντικαθιστούμε την προκύπτουσα ισότητα στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Και μετασχηματίζοντας, παίρνουμε την ίδια ισότητα όπως στην πρώτη μέθοδο:

dk=x 2 /e x2/2 .

Επίσης δεν θα αναλύσουμε περαιτέρω ενέργειες. Αξίζει να πούμε ότι αρχικά η λύση διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης προκαλεί σημαντικές δυσκολίες. Ωστόσο, με μια βαθύτερη εμβάθυνση στο θέμα, αρχίζει να γίνεται όλο και καλύτερο.

Πού χρησιμοποιούνται οι διαφορικές εξισώσεις;

Οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται πολύ ενεργά στη φυσική, αφού σχεδόν όλοι οι βασικοί νόμοι είναι γραμμένοι διαφορική μορφή, και αυτοί οι τύποι που βλέπουμε είναι η λύση αυτών των εξισώσεων. Στη χημεία, χρησιμοποιούνται για τον ίδιο λόγο: βασικοί νόμοι προέρχονται από αυτούς. Στη βιολογία, οι διαφορικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της συμπεριφοράς συστημάτων, όπως το αρπακτικό-θήραμα. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία μοντέλων αναπαραγωγής, για παράδειγμα, μιας αποικίας μικροοργανισμών.

Πώς θα βοηθήσουν οι διαφορικές εξισώσεις στη ζωή;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι απλή: δεν υπάρχει τρόπος. Εάν δεν είστε επιστήμονας ή μηχανικός, τότε είναι απίθανο να σας φανούν χρήσιμοι. Ωστόσο, για γενική ανάπτυξηΔεν βλάπτει να γνωρίζουμε τι είναι μια διαφορική εξίσωση και πώς λύνεται. Και μετά το ερώτημα ενός γιου ή μιας κόρης "τι είναι μια διαφορική εξίσωση;" δεν θα σε μπερδέψει. Λοιπόν, αν είστε επιστήμονας ή μηχανικός, τότε καταλαβαίνετε τη σημασία αυτού του θέματος σε οποιαδήποτε επιστήμη. Αλλά το πιο σημαντικό είναι ότι τώρα το ερώτημα "πώς να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης;" μπορείτε πάντα να απαντήσετε. Συμφωνώ, είναι πάντα ωραίο όταν καταλαβαίνεις αυτό που οι άνθρωποι φοβούνται να καταλάβουν.

Κύρια προβλήματα στη μάθηση

Το κύριο πρόβλημα στην κατανόηση αυτού του θέματος είναι η κακή ικανότητα ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης συναρτήσεων. Εάν δεν είστε καλοί στη λήψη παραγώγων και ολοκληρωμάτων, τότε μάλλον αξίζει να μάθετε περισσότερα, να μάθετε διαφορετικές μεθόδους ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης και μόνο τότε προχωρήστε στη μελέτη του υλικού που περιγράφηκε στο άρθρο.

Μερικοί άνθρωποι εκπλήσσονται όταν ανακαλύπτουν ότι το dx μπορεί να μεταφερθεί, επειδή νωρίτερα (στο σχολείο) αναφέρθηκε ότι το κλάσμα dy / dx είναι αδιαίρετο. Εδώ πρέπει να διαβάσετε τη βιβλιογραφία για την παράγωγο και να καταλάβετε ότι είναι η αναλογία απειροελάχιστων μεγεθών που μπορεί να χειριστεί κατά την επίλυση εξισώσεων.

Πολλοί δεν συνειδητοποιούν αμέσως ότι η λύση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης είναι συχνά μια συνάρτηση ή ένα ολοκλήρωμα που δεν μπορεί να ληφθεί, και αυτή η αυταπάτη τους δημιουργεί πολλά προβλήματα.

Τι άλλο μπορεί να μελετηθεί για καλύτερη κατανόηση;

Είναι καλύτερο να ξεκινήσετε περαιτέρω βύθιση στον κόσμο διαφορικός λογισμόςαπό εξειδικευμένα σχολικά βιβλία, για παράδειγμα, μαθηματική ανάλυσηγια μαθητές μη μαθηματικών ειδικοτήτων. Στη συνέχεια, μπορείτε να προχωρήσετε σε πιο εξειδικευμένη βιβλιογραφία.

Αξίζει να πούμε ότι, εκτός από τις διαφορικές εξισώσεις, υπάρχουν και ολοκληρωτικές εξισώσεις, οπότε θα έχετε πάντα κάτι να επιδιώξετε και κάτι να μελετήσετε.

συμπέρασμα

Ελπίζουμε ότι αφού διαβάσετε αυτό το άρθρο θα έχετε μια ιδέα για το τι είναι οι διαφορικές εξισώσεις και πώς να τις λύσετε σωστά.

Σε κάθε περίπτωση, τα μαθηματικά μας είναι κατά κάποιο τρόπο χρήσιμα στη ζωή. Αναπτύσσει τη λογική και την προσοχή, χωρίς την οποία κάθε άνθρωπος είναι σαν χωρίς χέρια.

Επί του παρόντος, σύμφωνα με το βασικό επίπεδο σπουδών των μαθηματικών, παρέχονται μόνο 4 ώρες για τη μελέτη των μαθηματικών στο Λύκειο (2 ώρες άλγεβρα, 2 ώρες γεωμετρία). Στα μικρά σχολεία της υπαίθρου, προσπαθούν να αυξήσουν τον αριθμό των ωρών σε βάρος της σχολικής συνιστώσας. Αλλά αν η τάξη είναι ανθρωπιστική, τότε σχολική συνιστώσαπροστέθηκε στη μελέτη ανθρωπιστικών θεμάτων. Σε ένα μικρό χωριό, συχνά ένας μαθητής δεν χρειάζεται να επιλέξει, σπουδάζει σε αυτήν την τάξη. τι υπάρχει στο σχολείο. Δεν πρόκειται να γίνει δικηγόρος, ιστορικός ή δημοσιογράφος (υπάρχουν τέτοιες περιπτώσεις), αλλά θέλει να γίνει μηχανικός ή οικονομολόγος, οπότε η εξέταση στα μαθηματικά πρέπει να περάσει σε υψηλές βαθμολογίες. Υπό τέτοιες συνθήκες, ο δάσκαλος των μαθηματικών πρέπει να βρει τον δικό του τρόπο να βγει από αυτή την κατάσταση, εκτός από το ότι, σύμφωνα με το εγχειρίδιο του Kolmogorov, δεν παρέχεται η μελέτη του θέματος "ομογενείς εξισώσεις". Τα περασμένα χρόνια, για να εισαγάγω αυτό το θέμα και να το ενισχύσω, χρειαζόμουν δύο διπλά μαθήματα. Δυστυχώς, ο έλεγχος της εκπαιδευτικής εποπτείας στο σχολείο μας απαγόρευσε τα διπλά μαθήματα στο σχολείο, οπότε ο αριθμός των ασκήσεων έπρεπε να μειωθεί στα 45 λεπτά και, κατά συνέπεια, το επίπεδο δυσκολίας των ασκήσεων μειώθηκε σε μεσαίο. Φέρνω στην προσοχή σας ένα σχέδιο μαθήματος για αυτό το θέμα στην τάξη 10 με επίπεδο βάσηςσπουδάζοντας μαθηματικά σε ένα αγροτικό μικρό πλήρες σχολείο.

Τύπος μαθήματος: παραδοσιακό.

Στόχος: μάθουν να λύνουν τυπικές ομοιογενείς εξισώσεις.

Καθήκοντα:

γνωστική:

Εκπαιδευτικός:

Εκπαιδευτικός:

• Εκπαίδευση της επιμέλειας μέσω της εκτέλεσης των καθηκόντων από τον ασθενή, της αίσθησης της συντροφικότητας μέσω της εργασίας σε ζευγάρια και ομάδες.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

ΕΓΩ.Οργανωτικός στάδιο(3 λεπτά)

II. Έλεγχος των απαραίτητων γνώσεων για την αφομοίωση νέου υλικού (10 λεπτά)

Προσδιορίστε τις κύριες δυσκολίες με περαιτέρω ανάλυση των εργασιών που εκτελέστηκαν. Τα παιδιά έχουν 3 επιλογές για να διαλέξουν. Οι εργασίες διαφοροποιούνται ανάλογα με το βαθμό πολυπλοκότητας και το επίπεδο ετοιμότητας των παιδιών, ακολουθούμενες από μια εξήγηση στον πίνακα.

1 επίπεδο. Λύστε τις εξισώσεις:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Απαντήσεις: 7;3

2 επίπεδο. Λύστε το πιο απλό τριγωνομετρικές εξισώσειςκαι η διτετραγωνική εξίσωση:

απαντήσεις:

β) x 4 -13x 3 +36=0 Απαντήσεις: -2; 2; -3; 3

3ο επίπεδο.Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητών:

β) x 6 -9x 3 +8=0 Απαντήσεις:

III.Θέματα μηνυμάτων, καθορισμός στόχων και στόχων.

Θέμα: Ομογενείς εξισώσεις

Στόχος: μάθουν να λύνουν τυπικές ομοιογενείς εξισώσεις

Καθήκοντα:

γνωστική:

• εξοικειωθείτε με ομοιογενείς εξισώσεις, μάθετε πώς να λύνετε τους πιο συνηθισμένους τύπους τέτοιων εξισώσεων.

Εκπαιδευτικός:

• Ανάπτυξη αναλυτικής σκέψης.
• Ανάπτυξη μαθηματικών δεξιοτήτων: μάθετε να αναγνωρίζετε τα κύρια χαρακτηριστικά με τα οποία οι ομοιογενείς εξισώσεις διαφέρουν από άλλες εξισώσεις, να είστε σε θέση να καθορίσετε την ομοιογένεια των ομοιογενών εξισώσεων στις διάφορες εκδηλώσεις τους.

IV. Αφομοίωση νέας γνώσης (15 λεπτά)

1. Στιγμή διάλεξης.

Ορισμός 1(Γράψε στο τετράδιο). Μια εξίσωση της μορφής P(x;y)=0 ονομάζεται ομοιογενής αν το P(x;y) είναι ομοιογενές πολυώνυμο.

Ένα πολυώνυμο σε δύο μεταβλητές x και y ονομάζεται ομοιογενές αν ο βαθμός καθενός από τους όρους του είναι ίσος με τον ίδιο αριθμό k.

Ορισμός 2(Μόνο μια εισαγωγή). Εξισώσεις της φόρμας

ονομάζεται ομοιογενής εξίσωση βαθμού n ως προς τα u(x) και v(x). Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με (v(x))n, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση για να λάβουμε την εξίσωση

Αυτό απλοποιεί την αρχική εξίσωση. Η περίπτωση v(x)=0 πρέπει να εξεταστεί χωριστά, καθώς είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το 0.

2. Παραδείγματα ομοιογενών εξισώσεων:

Εξηγήστε γιατί είναι ομοιογενείς, δώστε τα δικά σας παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων.

3. Εργασία για τον ορισμό ομοιογενών εξισώσεων:

Αναμεταξύ δεδομένες εξισώσειςορίστε ομοιογενείς εξισώσεις και εξηγήστε την επιλογή σας:

Αφού εξηγήσετε την επιλογή σας σε ένα από τα παραδείγματα, δείξτε έναν τρόπο επίλυσης μιας ομοιογενούς εξίσωσης:

4. Αποφασίστε μόνοι σας:

Απάντηση:

β) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το cos x, παίρνουμε 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Εμφάνιση Μπροσούρας Παράδειγμα Λύσης«P.V. Τσούλκοφ. Εξισώσεις και ανισώσεις σε σχολικό μάθημαμαθηματικά. Μόσχα Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο«Πρωτο Σεπτέμβρη» 2006 σελ.22. Ως ένα από τα πιθανά ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΤΕ παραδείγματαεπίπεδο Γ.

V. Λύστε για ενοποίηση σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο του Μπασμάκοφ

σελ. 183 Νο. 59 (1.5) ή σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο που επιμελήθηκε ο Κολμογκόροφ: σελ. 81 Αρ. 169 (α, γ)

απαντήσεις:

VI. Έλεγχος, ανεξάρτητη εργασία (7 λεπτά)

1 επιλογή	Επιλογή 2
Επίλυση εξισώσεων:
α) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	α) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
β) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	σι)

Απαντήσεις σε εργασίες:

Επιλογή 1 α) Απάντηση: arctg2+πn,n € Z; β) Απάντηση: ±π/2+ 3πn,n € Z; σε)

Επιλογή 2 α) Απάντηση: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; β) Απάντηση: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; γ) (-5; -2); (5;2)

VII. Εργασία για το σπίτι

Νο. 169 κατά τον Κολμογκόροφ, Νο. 59 κατά τον Μπασμάκοφ.

Επιπλέον, λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Απάντηση: arctg(-1±√3) +πn ,

Βιβλιογραφικές αναφορές:

1. P.V. Τσούλκοφ. Εξισώσεις και ανισώσεις στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών. - Μ .: Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιο «Πρωτο Σεπτέμβρη», 2006. σελ. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Τριγωνομετρία. - Μ .: «AST-PRESS», 1998, σελ. 389
3. Άλγεβρα για την 8η τάξη, επιμέλεια N.Ya. Vilenkin. - Μ .: "Διαφωτισμός", 1997.
4. Άλγεβρα για την 9η τάξη, επιμέλεια N.Ya. Vilenkin. Μόσχα "Διαφωτισμός", 2001.
5. ΜΙ. Μπασμάκοφ. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Για τους βαθμούς 10-11 - M .: "Διαφωτισμός" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Για 10-11 τάξεις. - Μ .: "Διαφωτισμός", 1990.
7. Ο Α.Γ. Μόρντκοβιτς. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Μέρος 1 Σχολικό βιβλίο 10-11 τάξεις. - Μ .: "Μνημοσύνη", 2004.

Έτοιμες απαντήσεις σε παραδείγματα ομοιογενών διαφορικών εξισώσεωνΠολλοί μαθητές αναζητούν την πρώτη σειρά (τα DE της 1ης τάξης είναι τα πιο συνηθισμένα στην εκπαίδευση), μετά μπορείτε να τα αναλύσετε λεπτομερώς. Αλλά προτού προχωρήσετε στην εξέταση παραδειγμάτων, σας συνιστούμε να διαβάσετε προσεκτικά τη σύντομη θεωρητικό υλικό.
Οι εξισώσεις της μορφής P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, όπου οι συναρτήσεις P(x,y) και Q(x,y) είναι ομοιογενείς συναρτήσεις ίδιας τάξης, ονομάζονται ομοιογενής διαφορική εξίσωση(ODR).

Σχέδιο επίλυσης ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης

1. Πρώτα πρέπει να εφαρμόσετε την αντικατάσταση y=z*x , όπου z=z(x) είναι μια νέα άγνωστη συνάρτηση (έτσι η αρχική εξίσωση ανάγεται σε μια διαφορική εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές.
2. Η παράγωγος του γινομένου είναι y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ή σε διαφορικά dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε νέο χαρακτηριστικό y και το παράγωγό του y" (ή dy ) in DE με χωριστές μεταβλητέςως προς τα x και z .
4. Έχοντας λύσει τη διαφορική εξίσωση με χωριστές μεταβλητές, θα κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση y=z*x, άρα z= y/x, και παίρνουμε κοινή απόφαση(γενικό ολοκλήρωμα) της διαφορικής εξίσωσης.
5. Εάν δοθεί αρχική κατάσταση y(x 0)=y 0 , τότε βρίσκουμε μια συγκεκριμένη λύση στο πρόβλημα Cauchy. Θεωρητικά, όλα ακούγονται εύκολα, αλλά στην πράξη, δεν είναι όλοι τόσο διασκεδαστικοί να λύνουν διαφορικές εξισώσεις. Επομένως, για να εμβαθύνετε τη γνώση, εξετάστε κοινά παραδείγματα. Σε εύκολες εργασίες, δεν υπάρχουν πολλά να σας διδάξουμε, επομένως θα προχωρήσουμε αμέσως σε πιο σύνθετες.

Υπολογισμοί ομογενών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης

Παράδειγμα 1

Λύση: Διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με τη μεταβλητή που είναι ένας παράγοντας κοντά στην παράγωγο. Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στο ομοιογενής διαφορική εξίσωση τάξης 0

Και εδώ έγινε ενδιαφέρον για πολλούς, πώς να προσδιορίσετε τη σειρά μιας συνάρτησης μιας ομογενούς εξίσωσης;
Η ερώτηση είναι αρκετά σχετική και η απάντηση σε αυτήν είναι η εξής:
στη δεξιά πλευρά, αντικαθιστούμε την τιμή t*x, t*y αντί για τη συνάρτηση και το όρισμα. Κατά την απλοποίηση, η παράμετρος "t" λαμβάνεται σε έναν ορισμένο βαθμό k και ονομάζεται τάξη της εξίσωσης. Στην περίπτωσή μας, το "t" θα μειωθεί, το οποίο ισοδυναμεί με τον 0ο βαθμό ή μηδενική τάξη της ομογενούς εξίσωσης.
Περαιτέρω στη δεξιά πλευρά μπορούμε να προχωρήσουμε στη νέα μεταβλητή y=zx. z=y/x .
Ταυτόχρονα, μην ξεχάσετε να εκφράσετε την παράγωγο του "y" μέσω της παραγώγου της νέας μεταβλητής. Με τον κανόνα των μερών, βρίσκουμε

Εξισώσεις σε Διαφορικάθα πάρει τη μορφή

Μειώνουμε τους συνδέσμους στη δεξιά και αριστερή πλευρά και περνάμε σε διαφορική εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές.

Ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη της ΔΕ

Για τη διευκόλυνση των περαιτέρω μετασχηματισμών, εισάγουμε αμέσως τη σταθερά κάτω από το λογάριθμο

Σύμφωνα με τις ιδιότητες των λογαρίθμων, το λαμβανόμενο λογαριθμική εξίσωσηισοδυναμεί με το παρακάτω

Αυτή η καταχώρηση δεν είναι ακόμα λύση (απάντηση), πρέπει να επιστρέψετε στην αλλαγή των μεταβλητών που εκτελέστηκαν

Έτσι βρίσκουν γενική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Εάν διαβάσατε προσεκτικά τα προηγούμενα μαθήματα, τότε είπαμε ότι θα πρέπει να μπορείτε να εφαρμόσετε ελεύθερα το σχήμα για τον υπολογισμό εξισώσεων με διαχωρισμένες μεταβλητές και τέτοιες εξισώσεις θα πρέπει να υπολογίζονται για περισσότερα σύνθετους τύπους DU.

Παράδειγμα 2 Να βρείτε το ολοκλήρωμα μιας διαφορικής εξίσωσης

Λύση: Το σχήμα για τον υπολογισμό ομοιογενών και συνοπτικών DE είναι πλέον οικείο σε εσάς. Μεταφέρουμε τη μεταβλητή στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης και επίσης στον αριθμητή και στον παρονομαστή βγάζουμε το x 2 ως κοινό παράγοντα

Έτσι, λαμβάνουμε ένα ομοιογενές DE μηδενική σειρά.
Το επόμενο βήμα είναι να εισαγάγετε την αλλαγή των μεταβλητών z=y/x, y=z*x , τις οποίες θα σας υπενθυμίζουμε συνεχώς να απομνημονεύετε

Μετά από αυτό, γράφουμε το ΔΕ σε διαφορικά

Στη συνέχεια, μετατρέπουμε την εξάρτηση σε διαφορική εξίσωση με διαχωρισμένες μεταβλητές

και να το λύσουμε με ενσωμάτωση.

Τα ολοκληρώματα είναι απλά, οι υπόλοιποι μετασχηματισμοί βασίζονται στις ιδιότητες του λογαρίθμου. Η τελευταία ενέργεια περιλαμβάνει την έκθεση του λογάριθμου. Τέλος, επιστρέφουμε στην αρχική αντικατάσταση και γράφουμε στη φόρμα

Η σταθερά "C" παίρνει οποιαδήποτε τιμή. Όλοι όσοι σπουδάζουν ερήμην έχουν προβλήματα στις εξετάσεις με αυτού του είδους τις εξισώσεις, γι' αυτό παρακαλούμε να κοιτάξετε προσεκτικά και να θυμάστε το σχήμα υπολογισμού.

Παράδειγμα 3 Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Λύση: Όπως προκύπτει από την παραπάνω τεχνική, επιλύονται διαφορικές εξισώσεις αυτού του τύπου με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής.Ας ξαναγράψουμε την εξάρτηση έτσι ώστε η παράγωγος να είναι χωρίς μεταβλητή

Περαιτέρω, αναλύοντας τη δεξιά πλευρά, βλέπουμε ότι το μέρος -ee υπάρχει παντού και συμβολίζεται με το νέο άγνωστο
z=y/x, y=z*x.
Εύρεση της παραγώγου του y

Λαμβάνοντας υπόψη την αντικατάσταση, ξαναγράφουμε το πρωτότυπο ΔΕ στη φόρμα

Απλοποιήστε τους ίδιους όρους και μειώστε όλους τους όρους που έχετε λάβει σε DE με χωριστές μεταβλητές

Ενσωματώνοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας

φτάνουμε στη λύση με τη μορφή λογαρίθμων

Εκθέτοντας τις εξαρτήσεις που βρίσκουμε γενική λύση διαφορικής εξίσωσης

το οποίο, αφού αντικαταστήσει την αρχική αλλαγή των μεταβλητών σε αυτό, παίρνει τη μορφή

Εδώ το C είναι μια σταθερά που μπορεί να επεκταθεί από την συνθήκη Cauchy. Εάν το πρόβλημα Cauchy δεν δοθεί, τότε γίνεται μια αυθαίρετη πραγματική τιμή.
Αυτή είναι όλη η σοφία στον λογισμό των ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων.

Ομοιογενής

Στο αυτό το μάθημαθα εξετάσουμε το λεγόμενο ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Μαζί με διαχωρίσιμες μεταβλητές εξισώσειςκαι γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσειςΑυτός ο τύπος τηλεχειριστηρίου βρίσκεται σχεδόν σε οποιοδήποτε εργασίες ελέγχουστο θέμα της διάχυσης. Εάν εισαγάγατε τη σελίδα από μια μηχανή αναζήτησης ή δεν είστε πολύ σίγουροι για τις διαφορικές εξισώσεις, τότε σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να επεξεργαστείτε ένα εισαγωγικό μάθημα σχετικά με το θέμα - Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Το γεγονός είναι ότι πολλές αρχές για την επίλυση ομοιογενών εξισώσεων και οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται θα είναι ακριβώς οι ίδιες με τις απλούστερες εξισώσεις με χωριστές μεταβλητές.

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων και άλλων τύπων DE; Αυτό είναι πιο εύκολο να εξηγηθεί αμέσως με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Λύση:
Τι Πρωτα απο ολαπρέπει να αναλυθεί όταν αποφασίζεται όποιοςδιαφορική εξίσωση πρώτη σειρά? Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν είναι δυνατός ο άμεσος διαχωρισμός των μεταβλητών χρησιμοποιώντας ενέργειες "σχολικής"; Συνήθως μια τέτοια ανάλυση πραγματοποιείται διανοητικά ή προσπαθεί να διαχωρίσει τις μεταβλητές σε ένα προσχέδιο.

ΣΤΟ αυτό το παράδειγμα οι μεταβλητές δεν μπορούν να διαχωριστούν(μπορείτε να προσπαθήσετε να αντιστρέψετε τους όρους από μέρος σε μέρος, να αφαιρέσετε παράγοντες από αγκύλες κ.λπ.). Παρεμπιπτόντως, σε αυτό το παράδειγμα, το γεγονός ότι οι μεταβλητές δεν μπορούν να διαιρεθούν είναι αρκετά προφανές λόγω της παρουσίας του παράγοντα .

Τίθεται το ερώτημα - πώς να λυθεί αυτή η διαφορά;

Χρειάζεται έλεγχος και Είναι ομοιογενής αυτή η εξίσωση;? Η επαλήθευση είναι απλή και ο ίδιος ο αλγόριθμος επαλήθευσης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Στην αρχική εξίσωση:

αντίυποκατάστατο, αντίυποκατάστατο, μην αγγίζετε το παράγωγο:

Το γράμμα λάμδα είναι παράμετρος υπό όρους και εδώ παίζει επόμενο ρόλο: εάν ως αποτέλεσμα μετασχηματισμών είναι δυνατό να «καταστραφούν» ΟΛΑ τα λάμδα και να ληφθεί η αρχική εξίσωση, τότε αυτή η διαφορική εξίσωση είναι ομοιογενής.

Προφανώς, τα λάμδα ακυρώνονται αμέσως στον εκθέτη:

Τώρα, στη δεξιά πλευρά, βγάζουμε το λάμδα από αγκύλες:

και διαιρούμε και τα δύο μέρη με το ίδιο λάμδα:

Σαν άποτέλεσμα όλατο λάμδα εξαφανίστηκε σαν όνειρο, σαν πρωινή ομίχλη, και πήραμε την αρχική εξίσωση.

Συμπέρασμα: Αυτή η εξίσωσηείναι ομοιογενής

Πώς να λύσετε μια ομοιογενή διαφορική εξίσωση;

Έχω πολύ καλά νέα. Απολύτως όλες οι ομοιογενείς εξισώσεις μπορούν να λυθούν με μία μόνο (!) τυπική αντικατάσταση.

Η συνάρτηση "y" πρέπει να είναι αντικαθιστώ δουλειάκάποια λειτουργία (εξαρτάται επίσης από το "x")και "x":

Σχεδόν πάντα γράφετε εν συντομία:

Ανακαλύπτουμε σε τι θα μετατραπεί το παράγωγο με μια τέτοια αντικατάσταση, χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός προϊόντος. Αν τότε:

Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση:

Τι θα δώσει μια τέτοια αντικατάσταση; Μετά από αυτή την αντικατάσταση και τις απλοποιήσεις που έγιναν, εμείς εγγυημένηπαίρνουμε μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές. ΘΥΜΑΜΑΙόπως η πρώτη αγάπη :) και, κατά συνέπεια, .

Μετά την αντικατάσταση πραγματοποιούμε μέγιστες απλουστεύσεις:

Εφόσον είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από το "x", τότε η παράγωγός της μπορεί να γραφτεί ως τυπικό κλάσμα: .
Με αυτόν τον τρόπο:

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές, ενώ στην αριστερή πλευρά πρέπει να συλλέξετε μόνο "te" και στη δεξιά πλευρά - μόνο "x":

Οι μεταβλητές διαχωρίζονται, ενσωματώνουμε:


Σύμφωνα με την πρώτη μου συμβουλή τεχνολογίας από το άρθρο Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξηςΣε πολλές περιπτώσεις είναι σκόπιμο να «διατυπωθεί» μια σταθερά με τη μορφή λογαρίθμου.

Αφού ολοκληρωθεί η εξίσωση, πρέπει να εκτελέσετε αντίστροφη αντικατάσταση, είναι επίσης στάνταρ και μοναδικό:
Αν τότε
ΣΤΟ αυτή η υπόθεση:

Σε 18-19 περιπτώσεις από τις 20, η λύση της ομοιογενούς εξίσωσης γράφεται ως γενικό ολοκλήρωμα.

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:

Γιατί η απάντηση σε μια ομοιογενή εξίσωση δίνεται σχεδόν πάντα ως γενικό ολοκλήρωμα;
Στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι αδύνατο να εκφραστεί το "y" σε ρητή μορφή (για να ληφθεί μια γενική λύση) και εάν είναι δυνατόν, τότε τις περισσότερες φορές η γενική λύση αποδεικνύεται δυσκίνητη και αδέξια.

Έτσι, για παράδειγμα, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η γενική λύση μπορεί να ληφθεί αναρτώντας λογάριθμους και στα δύο μέρη του γενικού ολοκληρώματος:

- Λοιπόν, ακόμα εντάξει. Αν και, θα συμφωνήσετε, είναι ακόμα στραβό.

Παρεμπιπτόντως, σε αυτό το παράδειγμα, δεν έγραψα αρκετά "αξιοπρεπώς" το γενικό ολοκλήρωμα. Δεν είναι λάθος, αλλά σε «καλό» ύφος, θυμίζω, συνηθίζεται να γράφεται το γενικό ολοκλήρωμα στη μορφή . Για να γίνει αυτό, αμέσως μετά την ολοκλήρωση της εξίσωσης, η σταθερά θα πρέπει να γραφεί χωρίς κανένα λογάριθμο (Αυτή είναι η εξαίρεση στον κανόνα!):

Και μετά την αντίστροφη αντικατάσταση, λάβετε το γενικό ολοκλήρωμα στην "κλασική" μορφή:

Η ληφθείσα απάντηση μπορεί να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να διαφοροποιήσετε το γενικό ολοκλήρωμα, δηλαδή να βρείτε παράγωγο μιας συνάρτησης που ορίζεται σιωπηρά:

Απαλλαγείτε από τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας κάθε πλευρά της εξίσωσης με:

Έχει ληφθεί η αρχική διαφορική εξίσωση, που σημαίνει ότι η λύση βρέθηκε σωστά.

Συνιστάται να ελέγχετε πάντα. Αλλά οι ομοιογενείς εξισώσεις είναι δυσάρεστες επειδή είναι συνήθως δύσκολο να ελέγξουμε τα γενικά ολοκληρώματά τους - αυτό απαιτεί μια πολύ, πολύ αξιοπρεπή τεχνική διαφοροποίησης. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, κατά την επαλήθευση, ήταν ήδη απαραίτητο να βρεθούν όχι τα απλούστερα παράγωγα (αν και το ίδιο το παράδειγμα είναι αρκετά απλό). Αν μπορείτε να το ελέγξετε, ελέγξτε το!

Παράδειγμα 2

Ελέγξτε την εξίσωση για ομοιογένεια και βρείτε το γενικό της ολοκλήρωμα.

Γράψτε την απάντηση στη φόρμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση- έτσι ώστε να συνηθίσετε στον ίδιο τον αλγόριθμο των ενεργειών. Ελέγξτε με τον ελεύθερο χρόνο σας, γιατί. εδώ είναι αρκετά περίπλοκο, και δεν άρχισα καν να το φέρω, διαφορετικά δεν θα έρθετε πλέον σε έναν τέτοιο μανιακό :)

Και τώρα το υποσχεμένο σημαντικό σημείο, που αναφέρθηκε στην αρχή του θέματος,
με έντονα μαύρα γράμματα:

Αν στην πορεία μετασχηματισμών «επαναφέρουμε» τον παράγοντα (όχι σταθερά)στον παρονομαστή, τότε ΚΙΝΔΥΝΕΥΟΥΜΕ να χάσουμε λύσεις!

Και μάλιστα, αυτό το συναντήσαμε στο πρώτο κιόλας παράδειγμα. εισαγωγικό μάθημα για τις διαφορικές εξισώσεις. Στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης, το "y" αποδείχθηκε ότι ήταν στον παρονομαστή: , αλλά, προφανώς, είναι μια λύση στο DE και ως αποτέλεσμα ενός μη ισοδύναμου μετασχηματισμού (διαίρεσης), υπάρχει κάθε πιθανότητα να το χάσεις! Ένα άλλο πράγμα είναι ότι μπήκε στη γενική λύση στο μηδενική τιμήσταθερές. Η επαναφορά του "x" στον παρονομαστή μπορεί επίσης να αγνοηθεί, επειδή δεν ικανοποιεί την αρχική διάχυτη.

Παρόμοια ιστορία με την τρίτη εξίσωση του ίδιου μαθήματος, κατά τη λύση της οποίας «πέσαμε» στον παρονομαστή. Αυστηρά μιλώντας, εδώ ήταν απαραίτητο να ελέγξουμε αν η δεδομένη διάχυση είναι λύση; Άλλωστε είναι! Αλλά ακόμη και εδώ "όλα λειτούργησαν", αφού αυτή η συνάρτηση μπήκε στο γενικό ολοκλήρωμα στο .

Και αν αυτό συμβαίνει συχνά με τις «διαχωρίσιμες» εξισώσεις;) «κυλάει», τότε με ομοιογενείς και κάποιες άλλες διαφωνίες μπορεί να «μη κυλήσει». Με μεγάλη πιθανότητα.

Ας αναλύσουμε τα προβλήματα που έχουν ήδη λυθεί σε αυτό το μάθημα: Παράδειγμα 1έγινε "επαναφορά" του x, ωστόσο δεν μπορεί να είναι λύση της εξίσωσης. Αλλά σε Παράδειγμα 2χωρίσαμε σε , αλλά και αυτό «ξέφυγε»: αφού οι λύσεις δεν μπορούσαν να χαθούν, απλώς δεν υπάρχουν εδώ. Αλλά, φυσικά, κανόνισα επίτηδες τις «ευτυχισμένες περιπτώσεις» και δεν είναι γεγονός ότι θα συναντήσουν στην πράξη:

Παράδειγμα 3

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Δεν είναι ένα απλό παράδειγμα; ;-)

Λύση:η ομοιογένεια αυτής της εξίσωσης είναι προφανής, αλλά ακόμα - στο πρώτο σκαλοπάτιΠΑΝΤΑ ελέγχετε εάν οι μεταβλητές μπορούν να διαχωριστούν. Γιατί η εξίσωση είναι επίσης ομοιογενής, αλλά οι μεταβλητές σε αυτήν διαχωρίζονται αθόρυβα. Ναι υπάρχουν μερικά!

Αφού ελέγξουμε για «διαχωρισιμότητα», κάνουμε μια αντικατάσταση και απλοποιούμε την εξίσωση όσο το δυνατόν περισσότερο:

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές, στα αριστερά συλλέγουμε "te", στα δεξιά - "x":

Και εδώ είναι STOP. Κατά τη διαίρεση με κινδυνεύουμε να χάσουμε δύο λειτουργίες ταυτόχρονα. Αφού , τότε αυτές είναι οι συναρτήσεις:

Η πρώτη συνάρτηση είναι προφανώς μια λύση της εξίσωσης . Ελέγχουμε το δεύτερο - αντικαθιστούμε την παράγωγή του στη διάχυσή μας:

- προκύπτει η σωστή ισότητα, που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι λύση.

Και κινδυνεύουμε να χάσουμε αυτές τις αποφάσεις.

Επιπλέον, ο παρονομαστής ήταν "Χ", Ωστόσο, η αντικατάσταση συνεπάγεται ότι είναι μη μηδενική. Θυμηθείτε αυτό το γεγονός. Αλλά! Φροντίστε να ελέγξετε, εάν είναι λύση στην ΑΡΧΙΚΗ διαφορική εξίσωση. Οχι δεν είναι.

Ας τα λάβουμε υπόψη όλα αυτά και ας συνεχίσουμε:

Πρέπει να πούμε ότι ήμασταν τυχεροί με το ολοκλήρωμα της αριστερής πλευράς, συμβαίνει πολύ χειρότερα.

Συλλέγουμε έναν μόνο λογάριθμο στη δεξιά πλευρά και επαναφέρουμε τα δεσμά:

Και μόλις τώρα η αντίστροφη αντικατάσταση:

Πολλαπλασιάστε όλους τους όρους με:

Τώρα πρέπει να ελέγξετε - αν στο γενικό ολοκλήρωμα περιλαμβάνονται «επικίνδυνες» λύσεις. Ναι, και οι δύο λύσεις περιλαμβάνονται στο γενικό ολοκλήρωμα στη μηδενική τιμή της σταθεράς: , επομένως δεν χρειάζεται να υποδεικνύονται επιπλέον στο απάντηση:

γενικό ολοκλήρωμα:

Εξέταση. Ούτε καν δοκιμή, αλλά σκέτη απόλαυση :)

Έχει ληφθεί η αρχική διαφορική εξίσωση, που σημαίνει ότι η λύση βρέθηκε σωστά.

Για μια αυτόνομη λύση:

Παράδειγμα 4

Εκτελέστε ένα τεστ ομοιογένειας και λύστε τη διαφορική εξίσωση

Το γενικό ολοκλήρωμα μπορεί να ελεγχθεί με διαφοροποίηση.

Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Εξετάστε μερικά παραδείγματα όπου δίνεται μια ομοιογενής εξίσωση με έτοιμα διαφορικά.

Παράδειγμα 5

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον παράδειγμα, κατευθείαν όλο το θρίλερ!

ΛύσηΘα συνηθίσουμε να το κάνουμε πιο συμπαγές. Πρώτα, διανοητικά ή σε προσχέδιο, βεβαιωνόμαστε ότι οι μεταβλητές δεν μπορούν να διαιρεθούν εδώ, μετά από το οποίο ελέγχουμε για ομοιομορφία - συνήθως δεν πραγματοποιείται σε καθαρό αντίγραφο (εκτός εάν απαιτείται ειδικά). Έτσι, σχεδόν πάντα η λύση ξεκινά με το λήμμα: " Αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής, ας κάνουμε μια αντικατάσταση: ...».

Εάν μια ομοιογενής εξίσωση περιέχει έτοιμα διαφορικά, τότε μπορεί να λυθεί με μια τροποποιημένη αντικατάσταση:

Αλλά δεν συμβουλεύω να χρησιμοποιήσετε μια τέτοια αντικατάσταση, καθώς το αποτέλεσμα θα είναι το υπέροχο Κινεζικό τείχοςδιαφορικά, όπου χρειάζεστε ένα μάτι και ένα μάτι. Από τεχνική άποψη, είναι πιο πλεονεκτικό να μεταβείτε στον προσδιορισμό "διακεκομμένη" της παραγώγου, γι 'αυτό διαιρούμε όλους τους όρους της εξίσωσης με:

Και ήδη εδώ έχουμε κάνει μια «επικίνδυνη» μεταμόρφωση!Το μηδενικό διαφορικό αντιστοιχεί σε - μια οικογένεια γραμμών παράλληλων προς τον άξονα. Είναι οι ρίζες του DU μας; Αντικαταστήστε στην αρχική εξίσωση:

Αυτή η ισότητα ισχύει αν, δηλαδή, όταν διαιρούμε με κινδυνεύουμε να χάσουμε τη λύση, και το χάσαμε- γιατι το δεν ικανοποιεί πλέονη εξίσωση που προκύπτει .

Πρέπει να σημειωθεί ότι αν εμείς αρχικάδόθηκε η εξίσωση , τότε η ρίζα θα ήταν εκτός συζήτησης. Το έχουμε όμως, και το «πιάσαμε» εγκαίρως.

Συνεχίζουμε τη λύση με μια τυπική αντικατάσταση:
:

Μετά την αντικατάσταση, απλοποιούμε την εξίσωση όσο το δυνατόν περισσότερο:

Διαχωρισμός μεταβλητών:

Και εδώ πάλι STOP: όταν διαιρούμε με κινδυνεύουμε να χάσουμε δύο λειτουργίες. Αφού , τότε αυτές είναι οι συναρτήσεις:

Προφανώς, η πρώτη συνάρτηση είναι μια λύση της εξίσωσης . Ελέγχουμε το δεύτερο - αντικαθιστούμε και το παράγωγό του:

– έλαβε αληθινή ισότητα, άρα η συνάρτηση είναι και λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Και όταν διαιρούμε με κινδυνεύουμε να χάσουμε αυτές τις λύσεις. Ωστόσο, μπορούν να εισέλθουν σε ένα κοινό ολοκλήρωμα. Αλλά μπορεί να μην μπουν.

Ας το λάβουμε υπόψη αυτό και ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη:

Το ολοκλήρωμα της αριστερής πλευράς συνήθως λύνεται χρησιμοποιώντας επιλογή πλήρους τετραγώνου, αλλά στους διαχυτές είναι πολύ πιο βολικό στη χρήση μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών:

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:


Με αυτόν τον τρόπο:

Βρίσκουμε ολοκληρώματα:

- αφού έχουμε σχεδιάσει μόνο λογάριθμους, σπρώχνουμε και τη σταθερά κάτω από τον λογάριθμο.

Πριν την αντικατάσταση απλοποιήστε ξανά όλα όσα μπορούν να απλοποιηθούν:

Αλυσίδες πτώσης:

Και η αντίστροφη αντικατάσταση:

Τώρα υπενθυμίζουμε τις «απώλειες»: η λύση μπήκε στο γενικό ολοκλήρωμα στο , αλλά - «πέρασε από το ταμείο», επειδή εμφανίστηκε στον παρονομαστή. Επομένως, στην απάντηση, απονέμεται μια ξεχωριστή φράση και ναι - μην ξεχνάτε τη χαμένη απόφαση, η οποία, παρεμπιπτόντως, αποδείχθηκε επίσης στο κάτω μέρος.

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα: . Περισσότερες λύσεις:

Δεν είναι τόσο δύσκολο να εκφράσουμε τη γενική λύση εδώ:
, αλλά αυτό είναι ήδη επίδειξη.

Βολικό, ωστόσο, για δοκιμή. Ας βρούμε την παράγωγο:

και υποκατάστατο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

- ως αποτέλεσμα λήφθηκε δεξί μέροςεξισώσεις, οι οποίες έπρεπε να επαληθευθούν.

Η ακόλουθη διαφορά είναι από μόνη της:

Παράδειγμα 6

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Δοκίμασε ταυτόχρονα για προπόνηση και εκφράσε τη γενική λύση εδώ.

Στο τελευταίο μέρος του μαθήματος, θα εξετάσουμε μερικές ακόμη χαρακτηριστικές εργασίες σχετικά με το θέμα:

Παράδειγμα 7

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Λύση:Πάμε στην πεπατημένη. Αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής, ας αλλάξουμε:

Με το "x" όλα είναι εντάξει, αλλά εδώ είναι το κακό τετράγωνο τριώνυμο? Εφόσον είναι αδιάσπαστο σε παράγοντες : , τότε σίγουρα δεν χάνουμε λύσεις. Πάντα έτσι θα ήταν! Επιλέξτε το πλήρες τετράγωνο στην αριστερή πλευρά και ενσωματώστε:

Δεν υπάρχει τίποτα να απλοποιηθεί εδώ, και επομένως η αντίστροφη αντικατάσταση:

Απάντηση:γενικό ολοκλήρωμα:

Παράδειγμα 8

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».

Έτσι:

Για μη ισοδύναμες μετατροπές, ελέγχετε ΠΑΝΤΑ (τουλάχιστον προφορικά), μη χάσεις τις αποφάσεις σου!Ποιες είναι αυτές οι μεταμορφώσεις; Κατά κανόνα, μείωση με κάτι ή διαίρεση με κάτι. Έτσι, για παράδειγμα, κατά τη διαίρεση με, πρέπει να ελέγξετε εάν οι συναρτήσεις είναι λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης. Ταυτόχρονα, όταν η διαίρεση με την ανάγκη για έναν τέτοιο έλεγχο εξαφανίζεται ήδη - λόγω του γεγονότος ότι αυτός ο διαιρέτης δεν εξαφανίζεται.

Εδώ είναι άλλο ένα επικίνδυνη κατάσταση:

Εδώ, για να απαλλαγούμε από το , θα πρέπει να ελέγξουμε αν είναι λύση στο ΔΕ. Συχνά, τα «x», «y» εντοπίζονται ως τέτοιος παράγοντας και μειώνοντας από αυτούς, χάνουμε συναρτήσεις που μπορεί να αποδειχθούν λύσεις.

Από την άλλη, αν κάτι είναι ΑΡΧΙΚΑ στον παρονομαστή, τότε δεν υπάρχει λόγος για τέτοια ανησυχία. Έτσι, σε μια ομοιογενή εξίσωση, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για τη συνάρτηση , αφού "δηλώνεται" στον παρονομαστή.

Οι αναφερόμενες λεπτές αποχρώσεις δεν χάνουν τη συνάφειά τους, ακόμα κι αν απαιτείται να βρεθεί μόνο μια συγκεκριμένη λύση στο πρόβλημα. Υπάρχει μια μικρή, αλλά πιθανότητα να χάσουμε ακριβώς την απαιτούμενη συγκεκριμένη λύση. Αλήθεια Πρόβλημα Cauchyσε πρακτικές εργασίεςμε ομοιογενείς εξισώσεις ζητείται αρκετά σπάνια. Ωστόσο, υπάρχουν τέτοια παραδείγματα στο άρθρο Εξισώσεις Αναγωγής σε Ομογενή, το οποίο συνιστώ να μελετήσετε "in hot pursuit" για να εδραιώσετε τις δεξιότητές σας επίλυσης.

Υπάρχουν επίσης πιο πολύπλοκες ομοιογενείς εξισώσεις. Η δυσκολία δεν έγκειται στην αλλαγή της μεταβλητής ή στις απλοποιήσεις, αλλά στα μάλλον δύσκολα ή σπάνια ολοκληρώματα που προκύπτουν ως αποτέλεσμα του διαχωρισμού των μεταβλητών. Έχω παραδείγματα λύσεων σε τέτοιες ομοιογενείς εξισώσεις - άσχημα ολοκληρώματα και άσχημες απαντήσεις. Δεν θα μιλήσουμε όμως για αυτά, γιατί στα επόμενα μαθήματα (Δες παρακάτω)Έχω καιρό ακόμα να σε βασανίσω, θέλω να σε δω φρέσκια και αισιόδοξη!

Επιτυχής προώθηση!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση:ελέγξτε την εξίσωση για ομοιογένεια, για αυτό, στην αρχική εξίσωση αντίας βάλουμε , και αντίας αντικαταστήσουμε:

Ως αποτέλεσμα, προκύπτει η αρχική εξίσωση, που σημαίνει ότι αυτή η ΔΕ είναι ομοιογενής.