πιθανότητα p = 0,7 . Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό m 0 των ατόμων που θα έρθουν στη συνάντηση και την αντίστοιχη πιθανότητα P n (m 0 ) .

Λύση. Εφόσον P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0,7)m 0 (0,3)50 − m 0 , το πρόβλημα είναι να βρεθεί ένας μη αρνητικός ακέραιος m 0 ≤ 50 που μεγιστοποιεί τη συνάρτηση P 50 (m 0 ) . Είδαμε παραπάνω ότι ένας τέτοιος αριθμός δίνεται από τον τύπο (6.4). ΣΤΟ

P 50 (35) = C 50 35 (0,7)35 (0,3)15 ≈ 0,123.

6.4. Φόρμουλα Poisson

Οι τύποι (6.1) και (6.3) δίνουν τις ακριβείς πιθανότητες που σχετίζονται με το σχήμα των ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli. Ωστόσο, οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν αυτούς τους τύπους, ειδικά για μεγάλες τιμές n και m, είναι πολύ δύσκολοι. Έχει μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον η απόκτηση αρκετά απλών κατά προσέγγιση τύπων για τον υπολογισμό των αντίστοιχων πιθανοτήτων. Για πρώτη φορά, ένας τέτοιος τύπος προέκυψε το 1837 από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Simon Poisson (1781–1840). Παρακάτω είναι η διατύπωση του αποτελέσματος του Poisson.

Εξετάστε ένα σχήμα ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli στο οποίο ο αριθμός των δοκιμών n είναι «σχετικά μεγάλος», η πιθανότητα «επιτυχίας» p είναι «σχετικά μικρή» και το γινόμενο λ= np είναι «ούτε μικρό ούτε μεγάλο»41. Υπό αυτές τις συνθήκες, ο τύπος

Αυτή είναι η περίφημη προσέγγιση Poisson για τη διωνυμική κατανομή . Η απόδειξη του τύπου (6.6) θα δοθεί στο παράρτημα αυτής της ενότητας.

41 Η ακριβής σημασία των αναφερόμενων όρων θα εξηγηθεί παρακάτω, ιδίως στην § 6e.

Η συνάρτηση στη δεξιά πλευρά του τύπου (6.6) καλείται

Κατανομή Poisson:

Με αυτόν τον συμβολισμό, το p(k, λ) θα είναι μια κατά προσέγγιση έκφραση για την πιθανότητα b(k;n, λn) όταν το n είναι "αρκετά μεγάλο".

Πριν συζητήσουμε τον τύπο (6.6), ας δώσουμε πολύ επεξηγηματικά παραδείγματα χρήσης του.

Οι τιμές της διωνυμικής κατανομής και οι τιμές της κατανομής Poisson σε n = 100, p = 0,01, λ= 1 παρουσιάζονται στον Πίνακα. 6.2. Όπως μπορούμε να δούμε, η ακρίβεια του κατά προσέγγιση τύπου είναι αρκετά υψηλή.

Όσο μεγαλύτερο το n, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια του τύπου του Poisson. Αυτό φαίνεται από το ακόλουθο παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα p k ότι σε μια κοινωνία 500 ατόμων ακριβώς k άτομα γεννήθηκαν την ίδια συγκεκριμένη ημέρα του χρόνου. Εάν αυτά τα 500 άτομα επιλεχθούν τυχαία, τότε το σχήμα του Bernoulli μπορεί να εφαρμοστεί από n = 500 δοκιμές με πιθανότητα «επιτυχίας» p = 1365. Οι υπολογισμοί με τον ακριβή τύπο (6.1) και τον κατά προσέγγιση τύπο (6.6) σε λ= 500365≈ 1.3699 παρουσιάζονται στον Πίνακα. 6.3. Όπως μπορούμε να δούμε, το σφάλμα βρίσκεται μόνο στο τέταρτο δεκαδικό ψηφίο, το οποίο είναι αρκετά αποδεκτό για πρακτική.

			Πίνακας 6.2
	β(k; 100, 1.100)		p(k; 1)

Πίνακας 6.3.

		b(k; 500,1/365)	p(k, λ)
Εξετάστε το ακόλουθο τυπικό παράδειγμα εφαρμογής του τύπου
Poisson.

Ας γίνει γνωστό ότι η πιθανότητα «αστοχίας» στη λειτουργία του τηλεφωνικού κέντρου για κάθε κλήση είναι 0,002. Δέχτηκε 1000 κλήσεις. Προσδιορίστε την πιθανότητα να συμβούν 7 «αστοχίες» σε αυτή την περίπτωση.

Λύση. Είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι υπό κανονικές συνθήκες οι κλήσεις που φτάνουν στο τηλεφωνικό κέντρο είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Θα θεωρήσουμε «επιτυχία» στη δοκιμασία – την κλήση – την αποτυχία του τηλεφωνικού κέντρου. Η πιθανότητα αποτυχίας (p = 0,002) μπορεί να θεωρηθεί ως "αρκετά μικρή" τιμή και ο αριθμός των κλήσεων (n = 1000) είναι "αρκετά μεγάλος". Έτσι, βρισκόμαστε στις συνθήκες του θεωρήματος του Poisson. Για την παράμετρο λ, λαμβάνουμε την τιμή

Ας συζητήσουμε τώρα τα όρια εφαρμογής του τύπου Poisson. Στο

Όταν χρησιμοποιείται οποιοσδήποτε κατά προσέγγιση τύπος, τίθεται φυσικά το ζήτημα των ορίων εφαρμογής του. Κάνοντας αυτό, αντιμετωπίζουμε δύο πτυχές του προβλήματος. Πρώτον, είναι φυσικό να αναρωτηθούμε υπό ποιες πραγματικές συνθήκες εφαρμόζεται ο νόμος του Poisson; Η εμπειρία δείχνει ότι η απλή κατανομή Poisson έχει σχετικά καθολική εφαρμογή. Γενικά, από την άποψη των εφαρμογών, τα μαθηματικά θεωρήματα είναι καλά και κακά με την ακόλουθη έννοια: τα καλά θεωρήματα συνεχίζουν να λειτουργούν ακόμη και αν παραβιάζονται οι συνθήκες τους και τα κακά παύουν αμέσως να ισχύουν εάν παραβιαστούν οι προϋποθέσεις για την παραγωγή τους . Το θεώρημα του Poisson (6.6) είναι καλό και μάλιστα εξαιρετικό από αυτή την άποψη. Συγκεκριμένα, ο νόμος του Poisson συνεχίζει να λειτουργεί ακόμη και όταν παραβιάζονται οι συνθήκες του συστήματος Bernoulli (δηλαδή, μπορεί κανείς να υποθέσει μια μεταβλητή πιθανότητα επιτυχίας και ακόμη και μια όχι πολύ ισχυρή εξάρτηση των αποτελεσμάτων των μεμονωμένων δοκιμών)42. Θα μπορούσε κανείς ακόμη να υποστηρίξει ότι η διανομή Poisson έχει σχετικά καθολική εφαρμογή. Αυτό πρέπει να γίνει κατανοητό με την έννοια ότι εάν τα πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι ο νόμος του Poisson δεν ισχύει, ενώ, σύμφωνα με την κοινή λογική, θα έπρεπε να λειτουργεί, τότε είναι πιο φυσικό να αμφισβητήσουμε τη στατιστική σταθερότητα των δεδομένων μας παρά να αναζητήσουμε κάποιο άλλο νόμος, διανομές Με άλλα λόγια, Η κατανομή Poisson είναι μια πολύ επιτυχημένη μαθηματική διατύπωση ενός από τους καθολικούς (εντός της θεωρίας πιθανοτήτων) νόμους της φύσης.

Δεύτερον, τίθεται το ερώτημα σχετικά με τις τάξεις μεγέθους εκείνων των παραμέτρων που περιλαμβάνονται στον τύπο Poisson και για τους οποίους παραπάνω χρησιμοποιήσαμε τους αόριστους όρους «σχετικά μεγάλο», «σχετικά μικρό», «όχι μικρό ή μεγάλο». Η πρακτική της εφαρμογής του τύπου (6.6) παρέχει διευκρινιστικές απαντήσεις. Αποδεικνύεται ότι ο τύπος του Poisson είναι αρκετά ακριβής για πρακτική χρήση εάν ο αριθμός των δοκιμών n είναι της τάξης

42 Φυσικά, αυτά τα χαρακτηριστικά της διανομής Poisson δεν πρέπει να γίνονται κατάχρηση. Για παράδειγμα, ο νόμος του Poisson παραβιάζεται προφανώς σε καταστάσεις όπου τα αποτελέσματα μεμονωμένων δοκιμών εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό.

αρκετές δεκάδες (κατά προτίμηση εκατοντάδες) και η τιμή της παραμέτρου λ = np βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 10.

Για να επεξηγήσετε την εφαρμογή του τύπου του Poisson, εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα.

Ας είναι γνωστό ότι 10.000 σταφίδες βασίζονται στο ψήσιμο 1000 γλυκών σταφιδόψυχων. Απαιτείται να βρεθεί η κατανομή του αριθμού των σταφίδων σε κάποιο τυχαία επιλεγμένο κουλούρι.

Λύση. Σχηματίζουμε την ακολουθία των ανεξάρτητων δοκιμών ως εξής. Θα υπάρξουν n = 10.000 δοκιμές συνολικά (ανάλογα με τον αριθμό των σταφίδων), και συγκεκριμένα: ο αριθμός δοκιμής k θα είναι ότι θα καθορίσουμε εάν πήραμε σταφίδες αριθμό k στο τυχαία επιλεγμένο ψωμάκι μας43. Έπειτα, αφού είναι συνολικά 1000 τσουρέκια, η πιθανότητα να μπει η κ -η σταφίδα στο τσουρέκι μας είναι p = 1/1000 (αν υποθέσουμε ότι η ζύμη έχει ανακατευτεί καλά κατά την προετοιμασία των τσουρέκια). Εφαρμόζουμε τώρα την κατανομή Poisson με την παράμετρο λ= np = 10000 11000= 10. Παίρνουμε:

P 10000 (k )≈ p (k ,10)= 10 k e − 10 .

Συγκεκριμένα, η πιθανότητα να πάρουμε ένα τσουρέκι χωρίς καθόλου σταφίδες (k = 0) ισούται με e − 10 ≈ 0,5 10 − 4 . Ο πιο πιθανός αριθμός σταφίδων θα είναι, σύμφωνα με τον τύπο (6.4), ίσος με 10. Η αντίστοιχη πιθανότητα

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . δέκα!

Το παράδειγμα των κουλούρων και της σταφίδας, παρά την κοσμική διατύπωσή του, είναι πολύ γενικό. Έτσι, αντί για σταφίδες σε ψωμάκια, μπορείτε να μιλήσετε, για παράδειγμα, για τον αριθμό των βακτηρίων σε μια σταγόνα νερού που λαμβάνεται από έναν καλά αναμεμειγμένο κουβά. Ενα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι τα άτομα μιας ραδιενεργής ουσίας διασπώνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, και σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα, η διάσπαση ενός δεδομένου ατόμου συμβαίνει με

43 Σημειώστε ότι η αγορά ενός κουλούρι σε ένα κατάστημα μπορεί να θεωρηθεί ως τυχαία επιλογή.

Αφήστε τις επαναλαμβανόμενες δοκιμές να πραγματοποιηθούν στο πείραμα σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli και ο αριθμός των δοκιμών είναι μεγάλος, η πιθανότητα εμφάνισης του παρατηρούμενου συμβάντος σε ένα τεστ είναι μικρή και η παράμετρος είναι σταθερή τιμή. Στη συνέχεια, για την πιθανότητα - την πιθανότητα το γεγονός στα τεστ να εμφανιστεί μία φορά, η σχέση είναι αληθής

. (3.1)

Κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας σε ένα τέτοιο τυχαίο πείραμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κατά προσέγγιση τύπο

, (3.2)

το οποιο ονομαζεται Φόρμουλα Poisson,και ο αριθμός είναι την παράμετρο Poisson.

Εργασία 3.1. Η πιθανότητα γάμου στην κατασκευή ενός συγκεκριμένου προϊόντος είναι 0,008. Βρείτε την πιθανότητα κατά την επιθεώρηση να μην υπάρχουν περισσότερα από δύο ελαττωματικά αντικείμενα μεταξύ 500 ειδών.

Λύση: αφού η πιθανότητα είναι μικρή και ο αριθμός των δοκιμών μεγάλος, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο Poisson με την παράμετρο . Η επιθυμητή πιθανότητα είναι η πιθανότητα του αθροίσματος τριών γεγονότων: υπήρχαν δύο ελαττωματικά προϊόντα, ένα ή κανένα. Να γιατί

Ορισμός 3.1

Η ροή των γεγονότωνείναι μια ακολουθία γεγονότων που συμβαίνουν σε τυχαίους χρόνους.

Για παράδειγμα, η ροή των συμβάντων θα είναι κλήσεις που φτάνουν στο PBX, σήματα κατά τη διάρκεια μιας ραδιοφωνικής συνεδρίας, μηνύματα που φτάνουν στον διακομιστή κ.λπ.

Ορισμός 3.2

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται Poisson(το πιο απλό) εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Στατικό ακίνητο, δηλ. ένταση ροής- σταθερό.

2. ιδιοκτησία της κανονικότητας,εκείνοι. η εμφάνιση δύο ή περισσότερων γεγονότων σε ένα μικρό διάστημα είναι σχεδόν αδύνατη.

3. Η ιδιότητα του χωρίς επιπτώσεις,εκείνοι. η πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων σε μια χρονική περίοδο δεν εξαρτάται από το πόσα γεγονότα έχουν εμφανιστεί σε οποιοδήποτε άλλο τμήμα.

Αν υποδηλώσουμε - την πιθανότητα εμφάνισης γεγονότων ροής Poisson με ένταση με την πάροδο του χρόνου, τότε ισχύει ο τύπος:

. (3.3)

Εργασία 3.2. Μια ασφαλιστική εταιρεία εξυπηρετεί 10.000 πελάτες. Η πιθανότητα να επικοινωνήσει ένας πελάτης με την εταιρεία εντός μιας ημέρας είναι 0,0003. Ποια είναι η πιθανότητα να επικοινωνήσουν 4 πελάτες εντός δύο ημερών;

Λύση:Η ένταση της ροής πελατών κατά τη διάρκεια μιας ημέρας είναι ίση με

Συνεπώς, .

Επίλυση προβλημάτων 3.1 και 3.2 στο περιβάλλον Mathcad φαίνεται στο σχ. 3.

Εργασία 3.3. Η πιθανότητα βλάβης του αναγνώστη περιστροφικών πυλώνων του μετρό μέσα σε μια ώρα είναι μικρή. Να βρείτε αυτή την πιθανότητα εάν η πιθανότητα να υπάρξει τουλάχιστον μία αποτυχία σε 8 ώρες είναι 0,98 και αν είναι γνωστό ότι κατά μέσο όρο 1000 άτομα περνούν από το τουρνικέ ανά ώρα;

Λύση:Σύμφωνα με τους τύπους (1.3) και (3.3) με , η πιθανότητα να υπάρξει τουλάχιστον μία αποτυχία εντός 8 ωρών είναι ίση με:

Χρησιμοποιώντας συμβολικές εντολές, και στη συνέχεια προσδιορίζεται η επιθυμητή πιθανότητα.

Θεωρήστε την εξίσωση

Όπου η συνάρτηση ορίζεται στο .

Αυτή η εξίσωση ορίζει τη διάδοση ενός κινούμενου κύματος σε ένα n-διάστατο ομοιογενές μέσο με ταχύτητα ένασε χρονικά σημεία t > 0 .

Για να είναι η λύση σαφής, είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι αρχικές συνθήκες. Οι αρχικές συνθήκες καθορίζουν την κατάσταση του χώρου (ή, όπως λένε, "αρχική διαταραχή") σε μια χρονική στιγμή t = 0 :

Τότε ο γενικευμένος τύπος Kirchhoff δίνει μια λύση σε αυτό το πρόβλημα.

Ο ίδιος ο Kirchhoff εξέτασε μόνο την τρισδιάστατη περίπτωση.

Η ιδέα να βρεθεί λύση

Μια απλή παραγωγή της λύσης στο κύριο πρόβλημα χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό Fourier. Ο γενικευμένος τύπος Kirchhoff έχει την ακόλουθη μορφή:

.

Αν η κυματική εξίσωση έχει δεξιά πλευρά φά, ο όρος θα εμφανιστεί στη δεξιά πλευρά του τύπου:

Φυσικές Συνέπειες

Το μέτωπο κυμάτων προπορευόμενου και συρόμενου από μια διαταραχή εντοπισμένη στο διάστημα δρουν στον παρατηρητή για περιορισμένο χρονικό διάστημα

Αφήστε τον αρχικό χρόνο t= 0 σε κάποιο συμπαγές Μυπάρχει τοπική διαταραχή ( και/ή ). Εάν βρισκόμαστε σε κάποιο σημείο, τότε, όπως φαίνεται από τον τύπο (περιοχή ολοκλήρωσης), θα νιώσουμε τη διαταραχή μετά από καιρό .

Εκτός του χρονικού διαστήματος όπου , λειτουργία u(Χ 0 , t) ισούται με μηδέν.

Έτσι, η αρχική διαταραχή, εντοπισμένη στο χώρο, προκαλεί σε κάθε σημείο του χώρου μια δράση εντοπισμένη στο χρόνο, δηλαδή η διαταραχή διαδίδεται με τη μορφή κύματος με μέτωπα που οδηγούν και ακολουθούν, που εκφράζει την αρχή Huygens). Στο αεροπλάνο αυτή η αρχή παραβιάζεται. Η αιτιολόγηση αυτού είναι το γεγονός ότι ο φορέας διαταραχής, ο οποίος είναι συμπαγής στο , δεν θα είναι πλέον συμπαγής στο , αλλά θα σχηματίζει έναν άπειρο κύλινδρο και, κατά συνέπεια, η διαταραχή θα είναι απεριόριστη χρονικά (τα κυλινδρικά κύματα δεν έχουν οπισθοπορεία) .

Ο τύπος Poisson-Parseval

Επίλυση της εξίσωσης ταλάντωσης μεμβράνης

(λειτουργία φά(Χ,t)

με αρχικές συνθήκες

δίνεται από τον τύπο:

tex" alt="(!LANG: +\frac(\partial)(\partial t)\frac(1)(2\pi a)\iint\limits_(r .

Φόρμουλα Δ «Άλαμμπερ

Λύση της εξίσωσης μονοδιάστατου κύματος

(λειτουργία φά(Χ,t) αντιστοιχεί στην κινητήρια δύναμη)

με αρχικές συνθήκες

έχει τη μορφή

Προς περιοχή IIχαρακτηριστικά προέρχονται από μία μόνο οικογένεια

Όταν χρησιμοποιείτε τον τύπο d "Alembert, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι μερικές φορές η λύση μπορεί να μην είναι μοναδική σε ολόκληρη την υπό εξέταση περιοχή. Η λύση της εξίσωσης κύματος αναπαρίσταται ως το άθροισμα δύο συναρτήσεων: u(Χ,t) = φά(Χ + έναt) + σολ(Χ − έναt) , δηλαδή προσδιορίζεται από δύο οικογένειες χαρακτηριστικών: . Το παράδειγμα που φαίνεται στο σχήμα στα δεξιά απεικονίζει την εξίσωση κύματος για μια ημι-άπειρη συμβολοσειρά και οι αρχικές συνθήκες σε αυτήν δίνονται μόνο στην πράσινη γραμμή Χ≥0. Διακρίνεται ότι στην περιοχή Εγώκαι τα ξ-χαρακτηριστικά και τα η-χαρακτηριστικά έρχονται, ενώ στην περιφέρεια IIυπάρχουν μόνο ξ-χαρακτηριστικά. Δηλαδή στην περιοχή IIΟ τύπος του D'Alembert δεν λειτουργεί.

Εφαρμογή τύπων

Γενικά, ο τύπος Kirchhoff είναι μάλλον δυσκίνητος και επομένως η επίλυση προβλημάτων μαθηματικής φυσικής με τη βοήθειά του είναι συνήθως δύσκολη. Ωστόσο, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη γραμμικότητα της κυματικής εξίσωσης με αρχικές συνθήκες και αναζητήστε μια λύση με τη μορφή αθροίσματος τριών συναρτήσεων: u(Χ,t) = ΕΝΑ(Χ,t) + σι(Χ,t) + ντο(Χ,t) , τα οποία πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

Από μόνη της, μια τέτοια λειτουργία δεν απλοποιεί τη χρήση του τύπου Kirchhoff, αλλά για ορισμένα προβλήματα είναι δυνατή η επιλογή μιας λύσης ή η μείωση ενός πολυδιάστατου προβλήματος σε μονοδιάστατο αλλάζοντας μεταβλητές. Για παράδειγμα, ας . Στη συνέχεια, κάνοντας την αντικατάσταση ξ = Χ + 3y − 2z , η εξίσωση για το πρόβλημα "Γ" θα έχει τη μορφή:

Έτσι, καταλήξαμε σε μια μονοδιάστατη εξίσωση, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο d "Alembert:

Λόγω της ισοτιμίας της αρχικής συνθήκης, η λύση θα διατηρήσει τη μορφή της σε ολόκληρη την περιοχή t > 0 .

Βιβλιογραφία

Mikhailov V.P., Mikhailova T.V., Shabunin M.I.Συλλογή τυπικών εργασιών για το μάθημα Εξισώσεις Μαθηματικής Φυσικής. - M.: MIPT, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Συνδέσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι το "Poisson Formula" σε άλλα λεξικά:

Ο τύπος Kirchhoff είναι μια αναλυτική έκφραση για την επίλυση μιας υπερβολικής μερικής διαφορικής εξίσωσης (η λεγόμενη «εξίσωση κυμάτων») σε ολόκληρο τον τρισδιάστατο χώρο. Με τη μέθοδο καθόδου (δηλαδή μειώνοντας τη διάσταση) από αυτήν μπορείτε να ... ... Wikipedia

Ο τύπος Kirchhoff είναι μια αναλυτική έκφραση για την επίλυση μιας υπερβολικής μερικής διαφορικής εξίσωσης (η λεγόμενη «εξίσωση κυμάτων») σε ολόκληρο τον χώρο. Με τη μέθοδο καθόδου (δηλαδή, με τη μείωση της διάστασης), μπορεί κανείς να αποκτήσει δισδιάστατες λύσεις από αυτό ... ... Wikipedia

Ο τύπος που αντιπροσωπεύει την ενότητα. κλασσικός λύση u(x, t) του προβλήματος Koshi για την εξίσωση κύματος στον τρισδιάστατο χωροχρόνο, (όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσης του σήματος) εάν τα αρχικά δεδομένα f(x), p(x), αντίστοιχα, είναι τρία φορές και δύο ...... Φυσική Εγκυκλοπαίδεια

Ο τύπος για τον υπολογισμό του αθροίσματος μιας σειράς της μορφής Αν ο μετασχηματισμός Fourier (κάπως διαφορετικός από το συνηθισμένο, κανονικοποιημένος) της συνάρτησης F (x), τότε (m και n είναι ακέραιοι). Αυτό είναι το P. f. Με.; μπορεί να είναι…… Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Φόρμουλα P. f. Με. ισχύει εάν, για παράδειγμα, η συνάρτηση g(x) είναι απολύτως ολοκληρωμένη σε ένα διάστημα, έχει περιορισμένη παραλλαγή και ένα P.f. Με. γράφεται επίσης με τη μορφή όπου ai και b είναι οποιοιδήποτε θετικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη συνθήκη ab = 2p, και το c (u) είναι ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

1) Το ίδιο με το ολοκλήρωμα Poisson 2) Ο τύπος που δίνει την ολοκληρωμένη αναπαράσταση της λύσης του προβλήματος Cauchy για την κυματική εξίσωση στο χώρο: και έχει τη μορφή (1) όπου είναι η μέση τιμή της συνάρτησης j στο σφαίρα Κάθισε στο διάστημα (x, y, z) της ακτίνας με… … Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Μια απείρως διαιρετή κατανομή στη θεωρία πιθανοτήτων είναι μια κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής έτσι ώστε να μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας αυθαίρετος αριθμός ανεξάρτητων, ισοκατανεμημένων όρων. Περιεχόμενα 1 Ορισμός 2 ... ... Wikipedia

Όπου το λ είναι ίσο με τον μέσο αριθμό εμφανίσεων γεγονότων στις ίδιες ανεξάρτητες δοκιμές, δηλ. λ = n × p, όπου p είναι η πιθανότητα ενός συμβάντος σε μία δοκιμή, e = 2,71828.

Η σειρά διανομής του νόμου του Poisson έχει τη μορφή:

Ανάθεση υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιείται για τη δημιουργία της κατανομής Poisson και τον υπολογισμό όλων των χαρακτηριστικών της σειράς: μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση. Η έκθεση με την απόφαση συντάσσεται σε μορφή Word.

Αριθμός δοκιμών: n= , Πιθανότητα p =
Υπολογίστε την πιθανότητα για: m =
θα έρθω μια φορά
πιο λιγο μια φορά
τουλάχιστον μια φορά
περισσότερο μια φορά
ΟΧΙ πια μια φορά
τουλάχιστον και όχι περισσότερο μια φορά
ελάτε τουλάχιστον μια φορά

Στην περίπτωση που το n είναι μεγάλο και λ = p n > 10, ο τύπος Poisson δίνει μια πολύ χονδρική προσέγγιση και για τον υπολογισμό του P n (m) χρησιμοποιήστε τα τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα Moivre-Laplace.

Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Η μαθηματική προσδοκία της κατανομής Poisson
M[X] = λ

Διακύμανση κατανομής Poisson
D[X] = λ

Παράδειγμα #1. Οι σπόροι περιέχουν 0,1% ζιζάνια. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθούν 5 σπόροι ζιζανίων σε μια τυχαία επιλογή 2000 σπόρων;
Λύση.
Η πιθανότητα p είναι μικρή και ο αριθμός n είναι μεγάλος. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Αναμενόμενη αξία: M[X] = λ = 2
Διασπορά: D[X] = λ = 2

Παράδειγμα #2. Υπάρχουν 0,4% σπόροι ζιζανίων μεταξύ των σπόρων σίκαλης. Να συντάξετε τον νόμο κατανομής του αριθμού των ζιζανίων με τυχαία επιλογή 5000 σπόρων. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.
Λύση. Προσδοκία: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Διακύμανση: D[X] = λ = 20
Νόμος διανομής:

Χ	0	1	2	…	Μ	…
Π	e-20	20ε-20	200e-20	…	20 μέτρα -20 / μέτρα!	…

Παράδειγμα #3. Στο τηλεφωνικό κέντρο γίνεται λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 1/200. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 200 συνδέσεων να υπάρχουν:
α) ακριβώς μια λάθος σύνδεση.
β) λιγότερες από τρεις εσφαλμένες συνδέσεις.
γ) περισσότερες από δύο λανθασμένες συνδέσεις.
Λύση.Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι μικρή, επομένως χρησιμοποιούμε τον τύπο Poisson (15).
α) Δίνονται: n = 200, p = 1/200, k = 1. Βρείτε P 200 (1).
Παίρνουμε: . Τότε P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
β) Δίνονται: n = 200, p = 1/200, κ< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Έχουμε: a = 1.

γ) Δίνονται: n = 200, p = 1/200, k > 2. Βρείτε P 200 (k > 2).
Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί πιο απλά: να βρείτε την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος, αφού σε αυτή την περίπτωση πρέπει να υπολογίσετε λιγότερους όρους. Λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη περίπτωση, έχουμε

Εξετάστε την περίπτωση όπου το n είναι αρκετά μεγάλο και το p είναι αρκετά μικρό. βάζουμε np = a, όπου a είναι κάποιος αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση, η επιθυμητή πιθανότητα προσδιορίζεται από τον τύπο Poisson:

Η πιθανότητα εμφάνισης k συμβάντων σε χρόνο διάρκειας t μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Poisson:
όπου λ είναι η ένταση της ροής των γεγονότων, δηλαδή ο μέσος αριθμός γεγονότων που εμφανίζονται ανά μονάδα χρόνου.

Παράδειγμα #4. Η πιθανότητα ένα εξάρτημα να είναι ελαττωματικό είναι 0,005. Ελέγχονται 400 εξαρτήματα. Καθορίστε τον τύπο για τον υπολογισμό της πιθανότητας να είναι ελαττωματικά περισσότερα από 3 μέρη.

Παράδειγμα αριθμός 5. Η πιθανότητα εμφάνισης ελαττωματικών εξαρτημάτων στη μαζική παραγωγή τους είναι ίση με p. Προσδιορίστε την πιθανότητα μια παρτίδα Ν μερών να περιέχει α) ακριβώς τρία μέρη. β) όχι περισσότερα από τρία ελαττωματικά μέρη.
p=0,001; Ν=4500
Λύση.
Η πιθανότητα p είναι μικρή και ο αριθμός n είναι μεγάλος. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει το εύρος (0,1,2,...,m). Οι πιθανότητες αυτών των τιμών μπορούν να βρεθούν από τον τύπο:

Ας βρούμε τη σειρά διανομής X.
Εδώ λ = np = 4500*0,001 = 4,5
Ρ(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Τότε η πιθανότητα ότι μια παρτίδα N μερών περιέχει ακριβώς τρία μέρη είναι ίση με:

Τότε η πιθανότητα ότι μια παρτίδα Ν μερών δεν περιέχει περισσότερα από τρία ελαττωματικά μέρη είναι:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Παράδειγμα αριθμός 6. Ένα αυτόματο τηλεφωνικό κέντρο δέχεται, κατά μέσο όρο, N κλήσεις ανά ώρα. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι σε ένα δεδομένο λεπτό θα λάβει: α) ακριβώς δύο κλήσεις. β) περισσότερες από δύο κλήσεις.
N = 18
Λύση.
Σε ένα λεπτό, το ATS λαμβάνει κατά μέσο όρο λ = 18/60 min. = 0,3
Υποθέτοντας ότι ένας τυχαίος αριθμός X κλήσεων που λαμβάνονται στο PBX σε ένα λεπτό,
υπακούει στο νόμο του Poisson, με τον τύπο βρίσκουμε την απαιτούμενη πιθανότητα

Ας βρούμε τη σειρά διανομής X.
Εδώ λ = 0,3
Ρ(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Η πιθανότητα να λάβει ακριβώς δύο κλήσεις σε ένα δεδομένο λεπτό είναι:
Ρ(2) = 0,03334
Η πιθανότητα να λάβει περισσότερες από δύο κλήσεις σε ένα δεδομένο λεπτό είναι:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Παράδειγμα αριθμός 7. Θεωρούμε δύο στοιχεία που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η διάρκεια του χρόνου λειτουργίας έχει εκθετική κατανομή με την παράμετρο λ1 = 0,02 για το πρώτο στοιχείο και λ2 = 0,05 για το δεύτερο στοιχείο. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε 10 ώρες: α) και τα δύο στοιχεία θα λειτουργήσουν άψογα. β) μόνο Πιθανότητα ότι το στοιχείο #1 δεν θα αποτύχει σε 10 ώρες:
Λύση.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 \u003d 0,8187

Η πιθανότητα να μην αποτύχει το στοιχείο #2 σε 10 ώρες είναι:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 \u003d 0,6065

α) και τα δύο στοιχεία θα λειτουργήσουν άψογα.
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
β) μόνο ένα στοιχείο θα αποτύχει.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Παράδειγμα αριθμός 7. Η παραγωγή δίνει το 1% του γάμου. Ποια είναι η πιθανότητα από τα 1100 προϊόντα που λαμβάνονται για έρευνα, να μην απορριφθούν περισσότερα από 17;
Σημείωση: αφού εδώ n*p =1100*0.01=11 > 10, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε

Σε πολλά πρακτικά προβλήματα, κάποιος πρέπει να αντιμετωπίσει τυχαίες μεταβλητές που κατανέμονται σύμφωνα με έναν περίεργο νόμο, ο οποίος ονομάζεται νόμος του Poisson.

Εξετάστε μια ασυνεχή τυχαία μεταβλητή , η οποία μπορεί να λάβει μόνο ακέραιες, μη αρνητικές τιμές:

και η ακολουθία αυτών των τιμών είναι θεωρητικά απεριόριστη.

Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson εάν η πιθανότητα να λάβει μια συγκεκριμένη τιμή εκφράζεται με τον τύπο

όπου a είναι κάποια θετική τιμή, που ονομάζεται παράμετρος νόμου Poisson.

Η σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson, έχει τη μορφή:

Ας βεβαιωθούμε πρώτα απ' όλα ότι η ακολουθία των πιθανοτήτων που δίνεται από τον τύπο (5.9.1) μπορεί να είναι μια σειρά διανομής, δηλ. ότι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι ίσο με μία. Εχουμε:

.

Στο σχ. Το 5.9.1 δείχνει τα πολύγωνα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson, που αντιστοιχεί σε διαφορετικές τιμές της παραμέτρου. Ο πίνακας 8 του παραρτήματος παραθέτει τις τιμές για διάφορα .

Ας ορίσουμε τα κύρια χαρακτηριστικά - μαθηματική προσδοκία και διακύμανση - μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson. Εξ ορισμού της μαθηματικής προσδοκίας

.

Ο πρώτος όρος του αθροίσματος (που αντιστοιχεί στο ) είναι ίσος με μηδέν, επομένως, η άθροιση μπορεί να ξεκινήσει από:

Ας υποδηλώσουμε ; έπειτα

. (5.9.2)

Έτσι, η παράμετρος δεν είναι τίποτα άλλο από τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής.

Για να προσδιορίσουμε τη διασπορά, βρίσκουμε πρώτα τη δεύτερη αρχική ροπή της ποσότητας:

Σύμφωνα με τα προηγουμένως αποδεδειγμένα

Εξάλλου,

Έτσι, η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson είναι ίση με τη μαθηματική της προσδοκία.

Αυτή η ιδιότητα της κατανομής Poisson χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη για να αποφασιστεί εάν η υπόθεση ότι μια τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson είναι εύλογη. Για να το κάνετε αυτό, προσδιορίστε από την εμπειρία σας τα στατιστικά χαρακτηριστικά - τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση - μιας τυχαίας μεταβλητής. Εάν οι τιμές τους είναι κοντινές, τότε αυτό μπορεί να χρησιμεύσει ως επιχείρημα υπέρ της υπόθεσης κατανομής Poisson. μια έντονη διαφορά σε αυτά τα χαρακτηριστικά, αντίθετα, μαρτυρεί την υπόθεση.

Για μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson, ας προσδιορίσουμε την πιθανότητα να λάβει μια τιμή όχι μικρότερη από μια δεδομένη. Ας υποδηλώσουμε αυτή την πιθανότητα:

Προφανώς, η πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα

Ωστόσο, είναι πολύ πιο εύκολο να το προσδιορίσουμε από την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος:

(5.9.4)

Ειδικότερα, η πιθανότητα ότι η τιμή θα λάβει θετική τιμή εκφράζεται με τον τύπο

(5.9.5)

Έχουμε ήδη αναφέρει ότι πολλά πρακτικά προβλήματα οδηγούν σε διανομή Poisson. Εξετάστε ένα από τα τυπικά προβλήματα αυτού του είδους.

Αφήστε τα σημεία να κατανεμηθούν τυχαία στον άξονα x Ox (Εικ. 5.9.2). Ας υποθέσουμε ότι η τυχαία κατανομή σημείων πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. Η πιθανότητα να χτυπήσετε έναν δεδομένο αριθμό σημείων σε ένα τμήμα εξαρτάται μόνο από το μήκος αυτού του τμήματος, αλλά δεν εξαρτάται από τη θέση του στον άξονα x. Με άλλα λόγια, τα σημεία κατανέμονται στον άξονα x με την ίδια μέση πυκνότητα. Ας υποδηλώσουμε αυτήν την πυκνότητα (δηλαδή τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των σημείων ανά μονάδα μήκους) ως .

2. Τα σημεία κατανέμονται στον άξονα x ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, δηλ. η πιθανότητα να χτυπήσετε έναν ή άλλο αριθμό σημείων σε ένα δεδομένο τμήμα δεν εξαρτάται από το πόσα από αυτά έπεσαν σε οποιοδήποτε άλλο τμήμα που δεν επικαλύπτεται με αυτό.

3. Η πιθανότητα να χτυπήσετε μια μικρή περιοχή δύο ή περισσότερων πόντων είναι αμελητέα σε σύγκριση με την πιθανότητα να χτυπήσετε ένα σημείο (αυτή η συνθήκη σημαίνει την πρακτική αδυναμία σύμπτωσης δύο ή περισσότερων σημείων).

Ας ξεχωρίσουμε ένα συγκεκριμένο τμήμα μήκους στον άξονα της τετμημένης και ας εξετάσουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή - τον αριθμό των σημείων που εμπίπτουν σε αυτό το τμήμα. Πιθανές τιμές της ποσότητας θα είναι

Δεδομένου ότι τα σημεία πέφτουν στο τμήμα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, είναι θεωρητικά πιθανό να υπάρχει ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός από αυτούς, δηλ. Η σειρά (5.9.6) συνεχίζεται επ' αόριστον.

Ας αποδείξουμε ότι η τυχαία μεταβλητή έχει τον νόμο κατανομής Poisson. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την πιθανότητα να πέσουν ακριβώς σημεία στο τμήμα.

Ας λύσουμε πρώτα ένα πιο απλό πρόβλημα. Θεωρήστε ένα μικρό τμήμα στον άξονα Ox και υπολογίστε την πιθανότητα να πέσει τουλάχιστον ένα σημείο σε αυτό το τμήμα. Θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής. Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των σημείων που εμπίπτουν σε αυτό το τμήμα είναι προφανώς ίση (επειδή υπάρχουν βαθμοί κατά μέσο όρο ανά μονάδα μήκους). Σύμφωνα με την συνθήκη 3, για ένα μικρό τμήμα, μπορεί να παραμεληθεί η πιθανότητα να πέσουν δύο ή περισσότερα σημεία πάνω του. Επομένως, η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των σημείων που πέφτουν στον ιστότοπο θα είναι περίπου ίση με την πιθανότητα να πέσει ένα σημείο σε αυτόν (ή, που είναι ισοδύναμο στις συνθήκες μας, τουλάχιστον ένα).

Έτσι, μέχρι απειροελάχιστα υψηλότερης τάξης, στο , μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να πέσει ένα (τουλάχιστον ένα) σημείο στην τοποθεσία είναι ίση με , και η πιθανότητα να μην πέσει κανένα είναι ίση με .

Ας το χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να χτυπήσουμε ακριβώς σημεία στο τμήμα. Διαιρέστε το τμήμα σε ίσα μέρη μήκους. Ας συμφωνήσουμε να ονομάσουμε ένα στοιχειώδες τμήμα "κενό" εάν δεν περιέχει ένα μόνο σημείο και "κατειλημμένο" εάν τουλάχιστον ένα έχει πέσει σε αυτό. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η πιθανότητα το τμήμα να είναι «κατειλημμένο» είναι περίπου ίση με? η πιθανότητα να είναι "άδειο" είναι . Εφόσον, σύμφωνα με τη συνθήκη 2, τα χτυπήματα των σημείων σε μη επικαλυπτόμενα τμήματα είναι ανεξάρτητα, τότε τα n μας τμήματα μπορούν να θεωρηθούν ως ανεξάρτητα «πειράματα», σε καθένα από τα οποία το τμήμα μπορεί να «καταληφθεί» με πιθανότητα . Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ των τμημάτων να υπάρχει ακριβώς "απασχολημένο". Σύμφωνα με το θεώρημα της επανάληψης, αυτή η πιθανότητα είναι ίση με

ή, που δηλώνει

(5.9.7)

Για μια αρκετά μεγάλη τιμή, αυτή η πιθανότητα είναι περίπου ίση με την πιθανότητα να χτυπηθούν ακριβώς σημεία στο τμήμα, αφού το χτύπημα δύο ή περισσότερων σημείων στο τμήμα έχει αμελητέα πιθανότητα. Για να βρείτε την ακριβή τιμή του , είναι απαραίτητο στην έκφραση (5.9.7) να πάτε στο όριο στο :

(5.9.8)

Ας μετατρέψουμε την έκφραση κάτω από το πρόσημο ορίου:

(5.9.9)

Το πρώτο κλάσμα και ο παρονομαστής του τελευταίου κλάσματος στην έκφραση (5.9.9) στο προφανώς τείνουν προς τη μονάδα. Η έκφραση δεν εξαρτάται από. Ο αριθμητής του τελευταίου κλάσματος μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

(5.9.10)

Πότε και η έκφραση (5.9.10) τείνει να . Έτσι, έχει αποδειχθεί ότι η πιθανότητα ακριβώς τα σημεία να πέσουν σε ένα τμήμα εκφράζεται με τον τύπο

όπου, δηλ. η ποσότητα Χ κατανέμεται σύμφωνα με τον νόμο Poisson με την παράμετρο .

Σημειώστε ότι η έννοια της τιμής είναι ο μέσος αριθμός πόντων ανά τμήμα.

Η τιμή (η πιθανότητα ότι η τιμή του X θα πάρει θετική τιμή) σε αυτήν την περίπτωση εκφράζει την πιθανότητα τουλάχιστον ένα σημείο να πέσει στο τμήμα:

Έτσι, βεβαιωθήκαμε ότι η κατανομή Poisson εμφανίζεται όπου ορισμένα σημεία (ή άλλα στοιχεία) καταλαμβάνουν μια τυχαία θέση ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, και μετράται ο αριθμός αυτών των σημείων που εμπίπτουν σε κάποια περιοχή. Στην περίπτωσή μας, μια τέτοια "περιοχή" ήταν ένα τμήμα στον άξονα x. Ωστόσο, το συμπέρασμά μας μπορεί εύκολα να επεκταθεί στην περίπτωση της κατανομής σημείων στο επίπεδο (τυχαίο επίπεδο πεδίο σημείων) και στο χώρο (τυχαίο χωρικό πεδίο σημείων). Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) τα σημεία κατανέμονται στατιστικά ομοιόμορφα στο πεδίο με μέση πυκνότητα.

2) τα σημεία εμπίπτουν ανεξάρτητα σε μη επικαλυπτόμενες περιοχές.

3) τα σημεία εμφανίζονται μεμονωμένα, και όχι σε ζεύγη, τριπλά κ.λπ., τότε ο αριθμός των σημείων που εμπίπτουν σε οποιαδήποτε περιοχή (επίπεδη ή χωρική) κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson:

όπου είναι ο μέσος αριθμός σημείων που πέφτουν στην περιοχή.

Για την επίπεδη θήκη

πού είναι η περιοχή της περιοχής; για χωροταξικά

πού είναι ο όγκος της περιοχής.

Σημειώστε ότι για την κατανομή Poisson του αριθμού των σημείων που εμπίπτουν σε ένα τμήμα ή περιοχή, η συνθήκη της σταθερής πυκνότητας () δεν είναι απαραίτητη. Εάν πληρούνται οι άλλες δύο προϋποθέσεις, τότε ο νόμος του Poisson εξακολουθεί να ισχύει, μόνο η παράμετρος a σε αυτήν αποκτά διαφορετική έκφραση: δεν προκύπτει απλώς πολλαπλασιάζοντας την πυκνότητα με το μήκος, το εμβαδόν ή τον όγκο της περιοχής, αλλά με την ολοκλήρωση η μεταβλητή πυκνότητα σε ένα τμήμα, περιοχή ή όγκο. (Για περισσότερα σχετικά, βλ. αρ. 19.4)

Η παρουσία τυχαίων σημείων διάσπαρτων σε μια γραμμή, σε ένα επίπεδο ή σε έναν όγκο δεν είναι η μόνη συνθήκη υπό την οποία εμφανίζεται η κατανομή Poisson. Μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να αποδείξει ότι ο νόμος του Poisson είναι περιοριστικός για τη διωνυμική κατανομή:

, (5.9.12)

αν κατευθύνουμε ταυτόχρονα τον αριθμό των πειραμάτων στο άπειρο, και την πιθανότητα στο μηδέν, και το γινόμενο τους παραμένει σταθερό:

Πράγματι, αυτή η περιοριστική ιδιότητα της διωνυμικής κατανομής μπορεί να γραφτεί ως:

. (5.9.14)

Όμως από την συνθήκη (5.9.13) προκύπτει ότι

Αντικαθιστώντας το (5.9.15) με το (5.9.14), λαμβάνουμε την ισότητα

, (5.9.16)

που μόλις αποδείξαμε σε άλλη περίπτωση.

Αυτή η περιοριστική ιδιότητα του διωνυμικού νόμου χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη. Ας υποθέσουμε ότι γίνεται ένας μεγάλος αριθμός ανεξάρτητων πειραμάτων, σε καθένα από τα οποία ένα γεγονός έχει πολύ μικρή πιθανότητα. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι ένα συμβάν θα συμβεί ακριβώς μία φορά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κατά προσέγγιση τύπο:

, (5.9.17)

όπου είναι η παράμετρος αυτού του νόμου του Poisson, ο οποίος αντικαθιστά περίπου τη διωνυμική κατανομή.

Από αυτή την ιδιότητα του νόμου του Poisson - να εκφράζει τη διωνυμική κατανομή με μεγάλο αριθμό πειραμάτων και μια μικρή πιθανότητα ενός γεγονότος - προέρχεται το όνομά του, που χρησιμοποιείται συχνά στα εγχειρίδια στατιστικής: ο νόμος των σπάνιων φαινομένων.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα που σχετίζονται με τη διανομή Poisson από διάφορους τομείς πρακτικής.

Παράδειγμα 1: Ένα αυτόματο τηλεφωνικό κέντρο λαμβάνει κλήσεις με μέση πυκνότητα κλήσεων ανά ώρα. Υποθέτοντας ότι ο αριθμός των κλήσεων σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, βρείτε την πιθανότητα ότι ακριβώς τρεις κλήσεις θα φτάσουν στο σταθμό σε δύο λεπτά.

Λύση. Ο μέσος αριθμός κλήσεων ανά δύο λεπτά είναι:

τ.μ. Για να χτυπήσετε τον στόχο, αρκεί τουλάχιστον ένα θραύσμα για να τον χτυπήσει. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο για μια δεδομένη θέση του σημείου ασυνέχειας.

Λύση. . Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.9.4), βρίσκουμε την πιθανότητα να χτυπήσουμε τουλάχιστον ένα κομμάτι:

(Για να υπολογίσουμε την τιμή της εκθετικής συνάρτησης, χρησιμοποιούμε τον Πίνακα 2 του Παραρτήματος).

Παράδειγμα 7. Η μέση πυκνότητα παθογόνων μικροβίων σε ένα κυβικό μέτρο αέρα είναι 100. Λαμβάνονται 2 κυβικά μέτρα για ένα δείγμα. dm αέρα. Βρείτε την πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον ένα μικρόβιο σε αυτό.

Λύση. Αποδεχόμενοι την υπόθεση της κατανομής Poisson του αριθμού των μικροβίων σε έναν όγκο, βρίσκουμε:

Παράδειγμα 8. Εκτελούνται 50 ανεξάρτητες βολές σε κάποιο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,04. Χρησιμοποιώντας την οριακή ιδιότητα της διωνυμικής κατανομής (τύπος (5.9.17)), βρείτε περίπου την πιθανότητα να χτυπήσει ο στόχος: κανένα βλήμα, ένα βλήμα, δύο βλήματα.

Λύση. Εχουμε . Σύμφωνα με τον πίνακα 8 της εφαρμογής, βρίσκουμε τις πιθανότητες.