Προετοιμασία για τους Ολυμπιακούς Αγώνες. Εργασίες ολυμπιάδας στην άλγεβρα (Ε ́ τάξη) με θέμα: Σχολική Ολυμπιάδα στα μαθηματικά

Ο Matroskin λέει στον Pechkin:
- Προσπάθησα να μάθω στον Σαρίκ να γαβγίζει όταν θέλει να φάει. Πραγματοποίησε εκατοντάδες υποδειγματικές προπονήσεις.
- Λοιπόν, τώρα γαβγίζει;
- Όχι, τώρα δεν θα φάει μέχρι να γαυγίσω...

Ο γάτος Matroskin κάθεται με ένα καλάμι - πιάνει ψάρια. Ο Pechkin περνάει με ποδήλατο:
- Τι, Ματρόσκιν, έπιασες όλο το γόνο από τη λιμνούλα;
Ο Matroskin προσβλήθηκε και είπε:
- Απελευθερώνω το μικρό, και το μεγάλο το βάζω σε ένα βαζάκι με μαγιονέζα!

***
Ο Matroskin επιστρέφει με τον Sharik από τους καλεσμένους και τον επιπλήττει:
- Όχι μόνο αποκοιμηθήκατε όταν η Baba Shura τραγούδησε ένα ειδύλλιο ... Αλλά επίσης ξυπνήσατε όταν πήρε την κορυφαία νότα και φώναξε: "Αφήστε το σκυλί να μπει στο σπίτι!"

Ο Σαρίκ ρωτάει τον κυνηγό:
- Με τι μπαρούτι φορτώνεις φυσίγγια όταν πας σε αγριογούρουνο;
- Μόνο καπνιστό.
Χτυπάει πιο δυνατά;
- Όχι, μέχρι να καθαρίσει ο καπνός, έχω χρόνο να σκαρφαλώσω σε ένα δέντρο ...

Matroskin, σήμερα είδα ένα όνειρο ότι έφαγα ένα ολόκληρο μάτσο χόρτο.
- Λοιπόν, ποτέ δεν ξέρεις ποιος θα ονειρευτεί, Σαρίκ!
- Τότε εξήγησε, Ματρόσκιν, πού πήγε το στρώμα μου;

***

***
Στον Cat Matroskin δόθηκε ένα πραγματικό γιλέκο για τα γενέθλιά του. Το έβαλε και περπατάει θαυμάζοντας τον εαυτό του. Πλησιάζει τον Sharik και λέει:
- Πες μου, Sharik, ξέρεις πόσες ρίγες είναι στο γιλέκο;
«Πώς να ξέρω», απαντά ο Σαρίκ, «αν θέλεις, θα μετρήσω τώρα…
Και η γάτα απάντησε:
- Ε, Σαρίκ, τι να μετρήσεις! Υπάρχουν πάντα δύο ρίγες στο γιλέκο - ΜΠΛΕ και ΛΕΥΚΟ ... Ω, βρήκα έναν καλλιτέχνη φωτογραφιών ...

Ο Matroskin με την αγελάδα Murka σταματάει ένα ταξί.
- Πού πηγαίνεις? ρωτάει ο οδηγός.
- Ναι, στο κοντινότερο χωριό ...
- Τι γίνεται με την αγελάδα;
- Ναι, μην ανησυχείς για αυτήν, απλά δέσε το από πίσω στον προφυλακτήρα.
Ο ταξιτζής έδεσε την αγελάδα, πάμε. Η αγελάδα τρέχει κοντά, δεν υστερεί. Ο ταξιτζής πρόσθεσε γκάζι - δεν υστερεί. Κοίταξε στον καθρέφτη και ρώτησε τον Matroskin:
- Και γιατί έκλεισε το μάτι με το αριστερό της μάτι;
- Και πήγε να προσπεράσει ...

Ο Σαρίκ λέει στον Ματρόσκιν:
- Matroskin, σήμερα ονειρεύτηκα ότι μου έδωσες ένα μικρό κόκαλο ...
Και ο Matroskin απαντά:
- Ορίστε, Sharik, και αν με ακούσεις, θα ονειρευτείς ότι σου έδωσα ένα τεράστιο κόκαλο !!!

"Αγοράσαμε ένα ποδήλατο για τον Σαρίκ για να μεταφέρει γάλα στην πόλη. Ωστόσο, έφτιαξα ένα σκύλο έλκηθρου από τον Σαρίκ! Γάτα Ματρόσκιν."

Ε, Sharik, Sharik, μπορείς, ας πούμε, να αρμέξεις μια αγελάδα;;;
- Δεν.
- Λοιπόν, τι γίνεται με το κούρεμα σανού;
- Δεν.
- Λοιπόν, τουλάχιστον πλέξτε κάλτσες;;;
- Δεν.
- Τι μπορείς να κάνεις?
- Εγώ, ο Matroskin, ξέρω πώς να απαντήσω σε όλες τις ηλίθιες ερωτήσεις σας ...

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. Περιοδικό «Fidget».
2. Περιοδικό «Classy».
3. Εφημερίδα «Ο κόσμος των παιδιών και των εφήβων».
4. Περιοδικό «Μίκυ Μάους».
5. «Αστείες σχολικές ιστορίες και ανέκδοτα». Συντάχθηκε από τη Shilova Galina Petrovna.
6. «Ανέκδοτα με χαρακτήρες κινουμένων σχεδίων». Επιμέλεια Alexander Alir.

Μαθηματικά

Τάξη

Καθήκοντα.

1. 10 θάμνοι φυτεύονται σε ευθεία γραμμή έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ τυχόν γειτονικών θάμνων να είναι ίδια. Βρείτε αυτήν την απόσταση εάν η απόσταση μεταξύ των ακραίων θάμνων είναι 90 dm.

2. Στην καταχώριση 1 ☼ 2 ☼ 3 ☼ 4 ☼ 5 = 100, αντικαταστήστε το "☼" με τα σημάδια δράσης και τακτοποιήστε τις αγκύλες έτσι ώστε να έχετε τη σωστή ισότητα.

3. Το αγόρι λέει πάντα την αλήθεια σε ζυγούς αριθμούς, και πάντα λέει ψέματα στους περιττούς αριθμούς. Κάπως έτσι, για τρεις συνεχόμενες μέρες Οκτωβρίου, τον ρωτούσαν: «Πώς σε λένε;». Την πρώτη μέρα απάντησε: "Andrey", τη δεύτερη: "Boris", την τρίτη: "Victor". Πώς λέγεται το αγόρι; Εξήγησε πώς σκέφτηκες.

4. Στις 9.00 η Γιούρα έφυγε από το σπίτι και περπάτησε σε έναν ευθύ δρόμο με ταχύτητα

6 km/h Μετά από λίγο γύρισε και πήγε σπίτι με την ίδια ταχύτητα. Στις 12.00 η Γιούρα ήταν δύο χιλιόμετρα από το σπίτι. Σε ποια απόσταση από το σπίτι γύρισε; Εξηγήστε πώς βρέθηκε η απάντηση.

5. Ο Cat Matroskin κατάλαβε ότι μπορούσε να απλώσει το πάτωμα ενός τετράγωνου δωματίου με τετράγωνα πλακάκια και δεν θα χρειαζόταν να κόψει κανένα από αυτά. Πρώτα έβαλε τα πλακάκια γύρω από τις άκρες του δωματίου και χρειάστηκαν 84 πλακάκια για να ολοκληρώσει. Πόσα πλακάκια χρειάζεται να έχει για να καλύψει όλο το δάπεδο;

Απαντήσεις, οδηγίες, λύσεις.

1. Απάντηση . 10 dm.

Απόφαση.Εφόσον έχουν φυτευτεί 10 θάμνοι, θα υπάρχουν 9 κενά μεταξύ τους, επομένως η απόσταση μεταξύ των παρακείμενων θάμνων θα είναι 90: 9 = 10 dm.

2. Απάντηση . 1 (2 + 3) 4 5 = 100.

3. Απάντηση . Μπόρις.

Απόφαση.Αφού το αγόρι έδωσε τρεις διαφορετικές απαντήσεις, είπε ψέματα δύο φορές. Ως εκ τούτου, δύο ημέρες από τις τρεις, όταν έκαναν ερωτήσεις στο αγόρι, έπεσαν σε μονούς αριθμούς. Εφόσον εναλλάσσονται οι ζυγές και οι μονές ημέρες του μήνα, αυτές πρέπει να ήταν η πρώτη και η τρίτη ημέρα. Έτσι η δεύτερη μέρα έπεσε σε ζυγό αριθμό. Την ημέρα αυτή, το αγόρι έδωσε το πραγματικό του όνομα.

4. Απάντηση.Σε απόσταση 10 χλμ.

Απόφαση.Σε 3 ώρες, από τις 9.00 έως τις 12.00, ο Γιούρα περπάτησε 18 χλμ. Αν περπατήσει άλλα δύο χιλιόμετρα, θα φτάσει σπίτι. Δηλαδή 18 + 2 = 20 χλμ. - Αυτή είναι η διαδρομή προς το σημείο καμπής και πίσω. Έτσι γύρισε σε απόσταση

20:2 = 10 χλμ από το σπίτι.

5. Απάντηση. 484.

Απόφαση.Στο περίγραμμα, χωρίς να υπολογίζουμε τα γωνιακά πλακίδια, υπάρχουν 84 - 4 = 80 πλακάκια. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 20 πλακάκια σε κάθε πλευρά, χωρίς να υπολογίζονται τα γωνιακά πλακάκια, και μαζί με τα γωνιακά πλακάκια υπάρχουν 22 πλακάκια. Επομένως, ο συνολικός αριθμός πλακιδίων είναι 22 22 = 484.

Σχολικό στάδιο της Πανρωσικής Ολυμπιάδας για μαθητές

Μαθηματικά

Τάξη

Καθήκοντα.

1. Το Jumping Dragonfly κοιμόταν τη μισή ώρα κάθε μέρας του κόκκινου καλοκαιριού, χόρευε το ένα τρίτο της ώρας κάθε μέρας και τραγουδούσε την έκτη. Τον υπόλοιπο χρόνο αποφάσισε να αφιερώσει στην προετοιμασία για το χειμώνα. Πόσες ώρες την ημέρα προετοιμαζόταν το Dragonfly για τον χειμώνα;

2. Οι εξωγήινοι είπαν στους κατοίκους της Γης ότι στο αστρικό τους σύστημα υπάρχουν τρεις πλανήτες Α, Β, Γ. Ζουν στον δεύτερο πλανήτη. Περαιτέρω, η μετάδοση του μηνύματος επιδεινώθηκε λόγω παρεμβολών, αλλά ελήφθησαν δύο ακόμη μηνύματα, τα οποία, όπως διαπίστωσαν οι επιστήμονες, αποδείχθηκαν και τα δύο ψευδή:

α) Ο Α δεν είναι ο τρίτος πλανήτης από το αστέρι.

β) Ο Β είναι ο δεύτερος πλανήτης.

Ποιοι πλανήτες από το αστέρι είναι οι Α, Β, Γ;

3. Ποντίκι, ποντίκι και τυρί μαζί ζυγίζουν 180 γρ. Ένα ποντίκι ζυγίζει 100 γραμμάρια περισσότερο από ένα ποντίκι και τυρί μαζί. Το τυρί ζυγίζει τρεις φορές λιγότερο από ένα ποντίκι. Πόσο ζυγίζει το καθένα από αυτά; Η απάντηση πρέπει να επιβεβαιωθεί με υπολογισμούς.

4. Πώς να κόψετε ένα τετράγωνο σε επτά τρίγωνα, μεταξύ των οποίων υπάρχουν έξι πανομοιότυπα;

5. Υπάρχουν 24 μπαστούνια. Το μήκος του πρώτου ραβδιού είναι 1 cm, του δεύτερου - 2 cm, ..., του εικοστού τέταρτου - 24 cm (το μήκος κάθε επόμενου ραβδιού είναι 1 cm μεγαλύτερο από το προηγούμενο). Πώς, χρησιμοποιώντας όλα αυτά τα ξυλάκια, να φτιάξετε τρία διαφορετικά τετράγωνα; Δεν μπορείτε να σπάσετε τα μπαστούνια, κάθε ραβδί πρέπει να χωράει μόνο σε ένα τετράγωνο.

Απαντήσεις, οδηγίες, λύσεις.

(μπορεί να προταθεί άλλη λύση)

1. Απάντηση . 0 ώρες. Δεν μένει χρόνος.

Απόφαση.Υπάρχουν 24 ώρες την ημέρα, εκ των οποίων η Dragonfly κοιμόταν 24:2 = 12 ώρες, χόρευε 24:3 = 8 ώρες, τραγουδούσε 24:4 = 6 ώρες. Όλα όσα ξόδεψε σε αυτά τα πράγματα

12+ 8 + 6 = 24 ώρες. Ως εκ τούτου, δεν έμεινε χρόνος για προετοιμασία για το χειμώνα.

2. Απάντηση . Ο Β είναι ο πρώτος πλανήτης, ο Γ είναι ο δεύτερος πλανήτης, ο Α είναι ο τρίτος πλανήτης.

Απόφαση.Δεδομένου ότι το δεύτερο και το τρίτο μήνυμα είναι ψευδές, τότε ο Α είναι ο τρίτος πλανήτης και ο Β δεν είναι ο δεύτερος, επομένως ο Β είναι ο πρώτος πλανήτης από το αστέρι. Τότε ο Β θα είναι ο δεύτερος πλανήτης που κατοικείται από εξωγήινους.

3. Απάντηση.Ποντίκι - 140 g, τυρί - 10 g, ποντίκι - 30 g.

Απόφαση.Από την προϋπόθεση ότι το διπλό βάρος του ποντικιού είναι 180 + 100 = 280 g. Επομένως, το βάρος του ποντικιού είναι 140 g. Στη συνέχεια, το ποντίκι και το τυρί μαζί ζυγίζουν 180 - 140 \u003d 40 g. Και το βάρος του τυριού, ανάλογα με την κατάσταση, είναι ίσο με το ένα τέταρτο αυτού του βάρους.

4. Λύση.Δύο τρόποι για να γίνει αυτό φαίνονται στο Σχ. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

Απάντηση.

Απόφαση.Ας χωρίσουμε τα ξυλάκια σε τρεις ομάδες: από 1 έως 8, από 9 έως 16, από 17 έως 24. Σε κάθε ομάδα συνδέουμε το πρώτο ραβδί με το τελευταίο, το δεύτερο με το προτελευταίο, το τρίτο με το τρίτο από το τέλος, θα συνδέσουμε και τα υπόλοιπα δύο ξυλάκια. Θα πάρουμε τέσσερα πανομοιότυπα μπαστούνια σε κάθε ομάδα, από τα οποία θα προσθέσουμε ένα τετράγωνο. Πλευρές των τετραγώνων που προκύπτουν: 9, 25, 41.

Σχόλιο.Υπάρχουν άλλοι τρόποι για να προσθέσετε τρία τετράγωνα.

Σχολικό στάδιο της Ολυμπιάδας στα μαθηματικά

Λύστε την εξίσωση (6 099 948 - 756: ((30 + x) : 336) 201) : 407 025 = 12

Τρεις τουρίστες αποφάσισαν να φάνε μαζί. Ένας από αυτούς έδωσε δύο ρολά, ο άλλος τρία ρολά και ο τρίτος - 10 ρούβλια. Πόσα από αυτά τα χρήματα πρέπει να πάρει ο πρώτος τουρίστας και πόσα ο δεύτερος τουρίστας;

Το άθροισμα έξι διαδοχικών ζυγών αριθμών είναι 3018. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς

Το μήκος του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι 250 mm, το πλάτος είναι 120 mm και το ύψος είναι 40 mm. Κόπηκε σε κυβικά εκατοστά και τοποθετήθηκε σε μια σειρά το ένα κοντά στο άλλο. Ποιο είναι το μήκος (σε μέτρα) της σειράς;

Στην έκφραση 4 + 32: 8 + 4 3, τακτοποιήστε τις αγκύλες έτσι ώστε να έχετε τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό, τον μικρότερο δυνατό αριθμό.

Βρείτε και τους τριψήφιους αριθμούς που είναι 12 φορές το άθροισμα των ψηφίων τους

Απαντήσεις:

x = 12

5 * 3 \u003d 15 (r.) - το κόστος των ρολών για τρία.

15: 5 = 3 (σελ.) - το κόστος ενός ρολού.

1 * 2 \u003d 6 (r.) - το κόστος δύο κυλίνδρων.

6 - 5 \u003d 1 (σελ.) - πρέπει να δοθεί στον πρώτο τουρίστα.

3 - 3 \u003d 9 (r.) - το κόστος τριών κυλίνδρων.

9 - 5 \u003d 4 (σελ.) - πρέπει να δοθεί στον δεύτερο τουρίστα.

Απάντηση: 1 ρούβλι πρέπει να πάρει ο πρώτος τουρίστας και 4 ρούβλια ο δεύτερος

498 + 500 + 502 + 504 + 506 + 508

12 μέτρα

Μεγαλύτερος αριθμός (4 + 32: 8 + 4) * 3 = 36. Μικρότερος αριθμός (4 + 32) : [(8 + 4) * 3] = 1

Αν τα a, b και c είναι τα ψηφία ενός τριψήφιου αριθμού, τότε μπορεί να γραφτεί ως
100a+10b+s. Το άθροισμα των ψηφίων είναι a+b+c. Εξισώστε το άθροισμα των ψηφίων και του αριθμού:
12(a+b+c) = 100a+10b+c;
12a + 12b + 12c \u003d 100a + 10b + s;
88a-11c=2c.
Το 88a και το 11c διαιρούνται με το 11, που σημαίνει ότι η διαφορά τους (2c) διαιρείται επίσης με το 11. Το 2 δεν διαιρείται με το 11, επομένως το c πρέπει να διαιρείται με το 11. Αλλά το c είναι ένας αριθμός, από όλους τους αριθμούς, μόνο το 0 είναι διαιρείται με το 11, c \u003d 0. Παίρνουμε
88a-11c=0,|:11
8a-c=0,
c=8a.
Τα a και c είναι αριθμοί, άρα a=1, c=8 (αν a>1, τότε c>10).
Πήραμε τον αριθμό 108.

Μαθηματική Ολυμπιάδα. 5η τάξη

Ορίστε ποιο ψηφίο τελειώνει η διαφορά 43 43 - 17 17 .

Το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών αριθμών είναι 7920. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

Μέρος του βιβλίου έπεσε έξω. Η πρώτη σελίδα του κομματιού που έπεσε έχει τον αριθμό 387 και ο αριθμός της τελευταίας σελίδας αποτελείται από τους ίδιους αριθμούς, αλλά γραμμένο με διαφορετική σειρά. Πόσα φύλλα έπεσαν από το βιβλίο;

Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 80 και η διαφορά τους είναι 3. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς.

Αποκρυπτογραφήστε το rebus: ΒΙΒΛΙΟ + ΒΙΒΛΙΟ + ΒΙΒΛΙΟ = ΕΠΙΣΤΗΜΗ

Επιτρέπεται η εκτέλεση δύο ενεργειών στον υπάρχοντα αριθμό: πολλαπλασιάστε τον με 2 ή προσθέστε 2 σε αυτόν. Για ποιον ελάχιστο αριθμό ενεργειών μπορείτε να πάρετε τον αριθμό 100 από τον αριθμό 1;

Απαντήσεις:

Θα πρέπει να αναζητήσετε ένα μοτίβο για το τελευταίο ψηφίο του φυσικού βαθμού ενός αριθμού που τελειώνει σε 3. Η ακολουθία αυτών των αριθμών είναι 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1 ... Τέταρτο, όγδοο, δωδέκατο , και τα λοιπά. τη θέση καταλαμβάνει ο αριθμός 1. Άρα, 43 40 τελειώνει με τον αριθμό 1 και 43 43 - αριθμός 7, τότε ομοίως 17 16 τελειώνει με τον αριθμό 1 και 17 17 - ο αριθμός 7. Εφόσον και οι δύο αριθμοί 43 και 17 τελειώνουν με τον ίδιο αριθμό 7, η διαφορά τους τελειώνει στο μηδέν.

7920 = 2*2*2*2*3*3*5*11 = 8*9*10*11

(738 - 386):2 = 176 φύλλα

41,5 και 38,5

28375 + 28375 + 28375 = 85125.

1+2*2*2*2*2+2*2. Για 7 δράσεις.

Μαθηματική Ολυμπιάδα. 5η τάξη

Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 12. Αν πολλαπλασιάσετε το ψηφίο των δεκάδων με 2, και το ψηφίο των μονάδων με 3 και προσθέσετε και τα δύο γινόμενα, τότε το αποτέλεσμα θα είναι 29. Βρείτε αυτόν τον αριθμό.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να γραφεί με τέσσερις μονάδες;

Δύο ταξιδιώτες πλησίασαν ταυτόχρονα το ποτάμι. Στην ακτή ήταν δεμένη μια βάρκα, στην οποία μπορούσε να περάσει μόνο ένα άτομο. Οι ταξιδιώτες δεν ήξεραν κολύμπι, αλλά ο καθένας τους κατάφερε να διασχίσει το ποτάμι. Πώς θα μπορούσε να συμβεί αυτό;

Κόψτε ένα παραλληλόγραμμο με μήκος 9 cm και πλάτος 4 cm σε δύο ίσα μέρη, από τα οποία μπορείτε να φτιάξετε ένα τετράγωνο.

Το αγόρι και το γουρούνι ζυγίζουν όσο 5 κουτιά. Ένα γουρούνι ζυγίζει όσο 4 γάτες. 2 γάτες και ένα γουρούνι ζυγίζουν όσο 3 κουτιά. Πόσες γάτες θα ισορροπήσουν το αγόρι;

Σχεδιάστε τέσσερις γραμμές σε 6 σημεία έτσι ώστε να υπάρχουν τρία σημεία σε κάθε γραμμή.

Απαντήσεις:

11 11

Οι ταξιδιώτες πλησίαζαν το ποτάμι από διαφορετικές όχθες.

M + P \u003d 5I

P = 4K

2K + P \u003d 3I. Από το 2 και το 3 ur παίρνουμε: 2K + 4K = 3I. I = 2K

Αντικαταστήστε στην εξίσωση 1: M + 4K = 10K, M = 6K. Απάντηση. 6 γάτες

Μαθηματική Ολυμπιάδα. 5η τάξη

1. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να διαβαστεί η λέξη "Σημείο" σε αυτό το διάγραμμα; (ξεκινήστε με "t" και κατεβείτε στο "a")

   Από έναν κάδο οκτώ λίτρων γεμάτο με γάλα, είναι απαραίτητο να ρίξετε 4 λίτρα χρησιμοποιώντας ένα κουτί 3 λίτρων και 5 λίτρων. Πως να το κάνεις?

   Ο μετρητής του αυτοκινήτου έγραφε 12.921. Δύο ώρες αργότερα, ο μετρητής έδειξε ξανά έναν αριθμό που έγραφε το ίδιο και στις δύο κατευθύνσεις. Με τι ταχύτητα ταξίδευε το αυτοκίνητο;

   Η θεία Γκρούσα πουλάει κολοκυθάκια. Πουλάει τρία κολοκυθάκια για 5 USD, 4 κολοκυθάκια για 6 USD, 5 κολοκυθάκια για 7 USD. Η θεία Γκρούσα δεν πουλάει κολοκυθάκια σε άλλη ποσότητα. Χθες πούλησε 100 κολοκυθάκια και πήρε 160 δολάρια για αυτά. Πόσες πωλήσεις έκανε χθες η θεία Γκρούσα;

   Πώς να χωρίσετε έναν κύκλο με τρεις ευθείες σε 4, 5, 6, 7 μέρη;

Απαντήσεις:

Ωχ Ώχ

H H H

Κ Κ Κ Κ

A A A A A Απάντηση. 16 τρόποι

3) (13 031 - 12 921) : 2 = 55 χλμ./ώρα

4) Έστω x πωλήσεις 3 καμπίνων σε 5 γ.ε., y εκπτώσεις - 4 καμπίνες σε 6 κ.ε.,zπωλήσεις - 5 καμπίνες σε 7 c.u.

3x + 4y + 5z = 100

5x + 6y + 7z = 160

15x + 20 ετών + 25z = 500

15x + 18 ετών + 21z= 480. Επομένως 2y + 4z= 20 ή y + 2z= 10 ήy = 10 - 2 z

9x + 12 ετών + 15z = 300

10x + 12 ετών + 14z= 320. Επομένως x -z= 20 ήx = 20 + z

Άρα x + y +z = 20 + z + 10 - 2 z + z= 30. Απάντηση. τριάντα

Μαθηματική Ολυμπιάδα. 5η τάξη

1. Τρία μήλα, τέσσερα αχλάδια και ένα ροδάκινο κοστίζουν 40 ρούβλια. Ένα μήλο, τέσσερα αχλάδια και ένα ροδάκινο κοστίζουν 32 ρούβλια. Πόσο αξίζει ένα μήλο, ένα αχλάδι και ένα ροδάκινο αν ένα ροδάκινο κοστίζει όσο δύο μήλα;

2. Αποκρυπτογραφήστε το παζλ:

ντοI N I C A

S I N I C A

____________

P T I C K I

3. Η μαμά καγκουρό πηδά 3 μέτρα σε 1 δευτερόλεπτο και ο μικρός της γιος πηδά 1 μέτρο σε μισό δευτερόλεπτο. Ξεκίνησαν ταυτόχρονα από την πισίνα στον ευκάλυπτο σε ευθεία γραμμή. Πόσα δευτερόλεπτα θα περιμένει μια μητέρα τον γιο της κάτω από ένα δέντρο αν η απόσταση από την πισίνα μέχρι το δέντρο είναι 240 μέτρα;

4. Στον αριθμό 3 728 954 106, διαγράψτε τρία ψηφία έτσι ώστε τα υπόλοιπα ψηφία στην ίδια σειρά να είναι ο μικρότερος επταψήφιος αριθμός.

5. Τέσσερις μαθητές - Vitya, Petya, Yura και Sergey - πήραν τέσσερις πρώτες θέσεις στη Μαθηματική Ολυμπιάδα. Όταν ρωτήθηκαν ποια μέρη πήραν, οι απαντήσεις δόθηκαν:

α) Petya - το δεύτερο, Vitya - το τρίτο.

β) Σεργκέι - ο δεύτερος, Petya - ο πρώτος.

γ) Yura - το δεύτερο, Vitya - το τέταρτο.

Υποδείξτε ποιος κέρδισε ποια θέση, εάν μόνο ένα μέρος κάθε απάντησης είναι σωστό. Να αιτιολογήσετε την απάντηση.

Απάντηση.

Απόφαση.

40 - 32 \u003d 8 (ρούβλια) - υπάρχουν δύο μήλα ή ένα ροδάκινο.

8:2 \u003d 4 (ρούβλια) - ένα μήλο κοστίζει.

4 + 8 \u003d 12 (ρούβλια) - υπάρχουν ένα μήλο και ένα ροδάκινο.

32 - 12 \u003d 20 (ρούβλια) - υπάρχουν τέσσερα αχλάδια.

20:4 \u003d 5 (τρίψτε.) - υπάρχει ένα αχλάδι.

Απάντηση: 4 ρούβλια, 8 ρούβλια, 5 ρούβλια.

Απόφαση.

342 457 + 342 457 = 684 914.

Απόφαση.

1ο βήμα: 240:3 = 80 (s) - η μητέρα καγκουρό πήδηξε.

Βήμα 2: σε 1 δευτερόλεπτο, ο γιος πηδά 2 μέτρα.

3 βήμα: 80 × 2 = 160 (m) - ένα καγκουρό θα πηδήξει σε 80 δευτερόλεπτα:

4ο βήμα: 240-160 = 80 (m) - μένει να πηδήξουμε το καγκουρό όταν η μαμά ήταν ήδη κάτω από τον ευκάλυπτο.

Βήμα 5: 80:2 = 40 (s).

Απάντηση. 40 δευτερόλεπτα.

Απάντηση: 2 854 106.

Απάντηση: I - Petya, II - Yura, III - Vitya, IV - Sergey.

Μαθηματική Ολυμπιάδα. 5η τάξη

Όλα τα τρίγωνα που φαίνονται στο σχήμα έχουν ίσες πλευρές. Η ακτίνα καθενός από τους κύκλους είναι 2 εκ. Οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους και τις πλευρές του τετραγώνου. Ποια είναι η περίμετρος του «αστερίσκου» που σχεδιάζεται σε παχιά γραμμή;

Σε αυτό το παράδειγμα, διαφορετικοί αριθμοί είναι κρυπτογραφημένοι με διαφορετικά γράμματα. Προσδιορίστε ποια ισότητα είναι κρυπτογραφημένη:ΑΠΑΝΤΗΣΗ + ΠΟΛΥ = ΑΠΛΗ

Πώς να τακτοποιήσετε επτά διαμάντια σε τέσσερα ίδια κουτιά, έτσι ώστε το βάρος όλων των κουτιών να είναι το ίδιο, εάν το βάρος των διαμαντιών είναι 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 γραμμάρια. Να αιτιολογήσετε την απάντηση.

Στο μάθημα της φυσικής αγωγής τα αγόρια παρατάχθηκαν. Τότε ένα κορίτσι στάθηκε ανάμεσα σε κάθε δύο αγόρια. Συνολικά στην ουρά ήταν 25 παιδιά. Πόσα αγόρια ήταν στην ουρά;

Ο Cat Matroskin κατάλαβε ότι μπορούσε να απλώσει το πάτωμα ενός τετράγωνου δωματίου με τετράγωνα πλακάκια και δεν θα χρειαζόταν να κόψει κανένα από αυτά. Πρώτα έβαλε τα πλακάκια γύρω από τις άκρες του δωματίου και χρειάστηκαν 84 πλακάκια για να ολοκληρώσει. Πόσα πλακάκια χρειάζεται να έχει για να καλύψει όλο το δάπεδο;

Απαντήσεις.

Απόφαση. Η πλευρά κάθε τριγώνου είναι 2+2+2+2=8 εκ. τότε η περίμετρος είναι 8*8=64 εκ. Απάντηση: 64 εκ.

Κρυπτογραφημένη ισότητα: 34214 + 35170 = 69384.

Το βάρος μιας μετοχής διαμαντιών είναι 7 γρ. Απάντηση: 7 + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4).

Ας αφαιρέσουμε το πιο δεξί αγόρι. Τότε αγόρια και κορίτσια θα είναι εξίσου

δηλαδή 12 ο καθένας.Ήταν λοιπόν 12 + 1 = 13 αγόρια στη σειρά.

Απάντηση. 484.

Στο περίγραμμα, χωρίς να υπολογίζουμε τα γωνιακά πλακίδια, υπάρχουν 84 - 4 = 80 πλακάκια. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν 20 πλακάκια σε κάθε πλευρά, χωρίς να υπολογίζονται τα γωνιακά πλακάκια, και μαζί με τα γωνιακά πλακάκια υπάρχουν 22 πλακάκια. Έτσι

ο συνολικός αριθμός των πλακιδίων είναι 484.

Μαθηματική Ολυμπιάδα. 5η τάξη

1. Δίνονται οι αριθμοί 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Τοποθετήστε τα έτσι ώστε το άθροισμά τους σε κάθε πλευρά του τριγώνου να είναι 20.

2. Πώς να τακτοποιήσετε τα βάρη βάρους 1, 2, ..., 9 g σε τρία κουτιά έτσι ώστε το πρώτο να έχει δύο βάρη, το δεύτερο τρία, το τρίτο τέσσερα και το συνολικό βάρος των βαρών στα κουτιά να είναι το ίδιο;

3. Το αγόρι με ζυγούς αριθμούς λέει πάντα την αλήθεια, και στους μονούς αριθμούς λέει πάντα ψέματα. Κάπως έτσι, τρεις μέρες Νοέμβρη στη σειρά, τον ρωτούσαν: «Πώς σε λένε;». Την πρώτη μέρα απάντησε: "Andrey", τη δεύτερη: "Boris", την τρίτη: "Victor". Πώς λέγεται το αγόρι; Εξήγησε πώς σκέφτηκες.

4. Το ποντίκι, το ποντίκι και το τυρί μαζί ζυγίζουν 180 γραμμάρια. Ένα ποντίκι ζυγίζει 100 γραμμάρια περισσότερο από ένα ποντίκι και τυρί μαζί. Το τυρί ζυγίζει τρεις φορές λιγότερο από ένα ποντίκι. Πόσο ζυγίζει το καθένα από αυτά; Η απάντηση πρέπει να επιβεβαιωθεί με υπολογισμούς.

5. Υπάρχουν 24 μπαστούνια. Το μήκος του πρώτου ραβδιού είναι 1 cm, του δεύτερου είναι 2 cm, ..., είκοσι

τέταρτο - 24 cm (το μήκος κάθε επόμενου ραβδιού είναι 1 cm μεγαλύτερο από το προηγούμενο). Πώς, χρησιμοποιώντας όλα αυτά τα ξυλάκια, να φτιάξετε τρία διαφορετικά τετράγωνα; Δεν μπορείτε να σπάσετε τα μπαστούνια, κάθε ραβδί πρέπει να χωράει μόνο σε ένα τετράγωνο.

Απαντήσεις.

Για παράδειγμα: 9 + 6; 8 + 5 + 2; 7 + 4 + 3 + 1.

Το συνολικό βάρος των βαρών είναι 45, άρα σε κάθε κουτί το συνολικό βάρος

Girek ισούται με 15 γρ.

Μπόρις.

Απόφαση. Αφού το αγόρι έδωσε τρεις διαφορετικές απαντήσεις, είπε ψέματα τουλάχιστον δύο φορές. Έτσι

δύο από τις τρεις μέρες που έκαναν ερωτήσεις στο αγόρι έπεσαν σε μονούς αριθμούς. Εφόσον εναλλάσσονται οι ζυγές και οι μονές ημέρες του μήνα, αυτές πρέπει να ήταν η πρώτη και η τρίτη ημέρα. Έτσι η δεύτερη μέρα έπεσε σε ζυγό αριθμό. Την ημέρα αυτή, το αγόρι έδωσε το πραγματικό του όνομα.

Ποντίκι - 140 g, τυρί - 10 g, ποντίκι - 30 g.

Απόφαση. Από την προϋπόθεση ότι το διπλό βάρος του ποντικιού είναι 180 + 100 = 280 g.

Επομένως, το βάρος του ποντικιού είναι 140 g. Στη συνέχεια, το ποντίκι και το τυρί μαζί ζυγίζουν 180 - 140 \u003d 40 g. Και βάρος

το τυρί, ανάλογα με την κατάσταση, ισούται με το ένα τέταρτο αυτού του βάρους.

Ας χωρίσουμε τα μπαστούνια σε τρεις ομάδες: από 1 έως 8, από 9 έως 16, από 17 έως 24. Σε κάθε

Στην ομάδα συνδέουμε το πρώτο ξυλάκι με το τελευταίο, το δεύτερο με το προτελευταίο, το τρίτο με το τρίτο από το τέλος, θα συνδέσουμε και τα υπόλοιπα δύο ξυλάκια. Θα πάρουμε τέσσερα πανομοιότυπα μπαστούνια σε κάθε ομάδα, από τα οποία θα προσθέσουμε ένα τετράγωνο. Πλευρές των τετραγώνων που προκύπτουν: 9, 25, 41.

5.1. Στο μάθημα της φυσικής αγωγής τα αγόρια παρατάχθηκαν. Τότε ένα κορίτσι στάθηκε ανάμεσα σε κάθε δύο αγόρια. Συνολικά στην ουρά ήταν 25 παιδιά. Πόσα αγόρια ήταν στην ουρά;

Απάντηση. 13. Απόφαση. Ας αφαιρέσουμε το πιο δεξί αγόρι. Τότε τα αγόρια και τα κορίτσια θα χωριστούν ισομερώς, δηλαδή 12 το καθένα. Άρα, υπήρχαν 12 + 1 = 13 αγόρια στη σειρά.

5.2. Αντικαταστήστε τα γράμματα A, B, C, D με αριθμούς έτσι ώστε η σωστή εξίσωση να είναι AAAA + BBB + CC + D = 2014.

Απάντηση. 1111 + 888 + 11 + 4 = 2014.

5.3. Κάντε έξι ορθογώνια 7x1, 6x1, 5x1, 4x1, 3x1, 2x1 και ένα τετράγωνο 1x1 σε ένα ορθογώνιο με κάθε πλευρά μεγαλύτερη από 1.

Απόφαση. Από ένα ορθογώνιο 6x1 και ένα τετράγωνο 1x1, προσθέτουμε ένα ορθογώνιο 7x1. Ομοίως, προσθέτουμε 7x1 παραλληλόγραμμα από ζεύγη παραλληλόγραμμων 5x1, 2x1 και 4x1, 3x1. Τα τέσσερα ορθογώνια 7x1 που προκύπτουν σχηματίζουν ένα ορθογώνιο 7x4.

5.4. Στις 9.00 ο Γιούρα έφυγε από το σπίτι και περπάτησε σε έναν ευθύ δρόμο με ταχύτητα 6 χλμ./ώρα. Μετά από λίγο γύρισε και πήγε σπίτι με την ίδια ταχύτητα. Στις 12.00 η Γιούρα ήταν δύο χιλιόμετρα από το σπίτι. Σε ποια απόσταση από το σπίτι γύρισε; Εξηγήστε πώς βρέθηκε η απάντηση.

Απάντηση. Σε απόσταση 10 χλμ. Απόφαση. Σε 3 ώρες, από τις 9.00 έως τις 12.00, ο Γιούρα περπάτησε 18 χλμ. Αν περπατήσει άλλα δύο χιλιόμετρα, θα φτάσει σπίτι. Δηλαδή 18 + 2 = 20 χλμ. - Αυτή είναι η διαδρομή προς το σημείο καμπής και πίσω. Γύρισε λοιπόν σε απόσταση 20:2 = 10 χλμ. από το σπίτι. 5.5. Ο Cat Matroskin κατάλαβε ότι μπορούσε να απλώσει το πάτωμα ενός τετράγωνου δωματίου με τετράγωνα πλακάκια και δεν θα χρειαζόταν να κόψει κανένα από αυτά. Πρώτα έβαλε τα πλακάκια γύρω από τις άκρες του δωματίου και χρειάστηκαν 84 πλακάκια για να ολοκληρώσει. Πόσα πλακάκια χρειάζεται να έχει για να καλύψει όλο το δάπεδο;Απάντηση. 484.
Απόφαση. Στο περίγραμμα, χωρίς να υπολογίζουμε τα γωνιακά πλακίδια, υπάρχουν 84 - 4 = 80 πλακάκια. Έτσι, σε κάθε
πλευρά υπάρχουν 20 πλακάκια, χωρίς να υπολογίζονται τα γωνιακά πλακάκια, και μαζί με τα γωνιακά πλακάκια - 22 πλακάκια. Έτσι
ο συνολικός αριθμός των πλακιδίων είναι 484.

Εκτη τάξη

7.1. Τον Βάσια επισκέφτηκαν οι συμμαθητές του. Η μητέρα του Βάσια τον ρώτησε πόσοι καλεσμένοι είχαν έρθει. Η Βάσια απάντησε: «Περισσότερα από έξι» και η αδερφή που στεκόταν δίπλα της είπε: «Πάνω από πέντε».
Πόσοι καλεσμένοι ήταν εκεί αν είναι γνωστό ότι η μία απάντηση είναι σωστή και η άλλη όχι;
Απάντηση. 6.
Απόφαση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν όντως περισσότεροι από έξι καλεσμένοι. Τότε και ο Βάσια και η αδερφή του έχουν δίκιο και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την κατάσταση του προβλήματος. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν περισσότεροι από έξι καλεσμένοι και η Βάσια
δεν είναι σωστό. Αλλά τότε η αδερφή πρέπει να έχει δίκιο, διαφορετικά η συνθήκη του προβλήματος θα παραβιαστεί ξανά. Έτσι υπάρχουν περισσότεροι από πέντε καλεσμένοι. Αλλά αν είναι περισσότερα από πέντε και όχι περισσότερα από έξι, τότε είναι ακριβώς έξι.
7.2. Υπάρχουν 25 κιλά καρφιά σε ένα κουτί. Πώς να μετρήσετε 19 κιλά καρφιά χρησιμοποιώντας τηγάνι ζύγισης και ένα βάρος 1 κιλό για δύο ζυγίσεις;
Απόφαση. Όταν ζυγίζουμε για πρώτη φορά, βάζουμε ένα βάρος σε μια από τις ζυγαριές και τακτοποιούμε όλα τα καρφιά στις κούπες έτσι ώστε να υπάρχει ισορροπία. Παίρνουμε 13 και 12 κιλά καρφιά.
Αφήνουμε στην άκρη το πρώτο σωρό και χωρίζουμε τα υπόλοιπα καρφιά στη μέση, ζυγίζοντας χωρίς βάρος: 12 = 6 + 6. Πήραμε τον επιθυμητό αριθμό καρφιών: 19 = 13 + 6
7.3. Η Petya έχει τέσσερα παξιμάδια. Πήρε τρία παξιμάδια με κάθε δυνατό τρόπο και τα ζύγισε στη ζυγαριά. Αποδείχτηκε 9 g, 14 g, 16 g και 18 g. Πόσο ζύγιζε κάθε καρύδι;
Απαιτείται να βρεθούν όλες οι λύσεις του προβλήματος και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν άλλες.
Απάντηση. 1, 3, 5, 10.
Απόφαση. Στο άθροισμα των 9 + 14 + 16 + 18 = 57, το βάρος κάθε παξιμαδιού μετράται τρεις φορές, πράγμα που σημαίνει ότι το συνολικό βάρος όλων των καρυδιών είναι 19 g. Η διαφορά 19 - 9 = 10 είναι το βάρος ενός από τους ξηρούς καρπούς.
Ομοίως, βρίσκουμε τα βάρη των υπόλοιπων ξηρών καρπών.
7.4. Το τετράγωνο αποτελείται από ένα εσωτερικό τετράγωνο (μαύρο) και τέσσερα ίσα λευκά ορθογώνια (βλ. Εικ. 2). Η περίμετρος κάθε ορθογωνίου είναι 40 cm.Εύρημα
την περιοχή του μαύρου τετραγώνου.
Ρύζι. 2
Απάντηση. 400.
Απόφαση. Το άθροισμα των μηκών της μικρής και της μεγάλης πλευράς του ορθογωνίου είναι 20. Αλλά αυτό το άθροισμα είναι ίσο με την πλευρά του αρχικού τετραγώνου.
7.5. Είναι δυνατόν να παρατάξετε 30 μπάλες - λευκές, μπλε και κόκκινες - έτσι ώστε ανάμεσα σε δύο μπάλες που πηγαίνουν στη σειρά να υπάρχει τουλάχιστον μία άσπρη, μεταξύ οποιωνδήποτε τριών
στη σειρά - τουλάχιστον ένα μπλε, και ανάμεσα σε πέντε που πηγαίνουν στη σειρά - τουλάχιστον ένα κόκκινο;
Εξηγήστε την απάντηση.
Απάντηση. Ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ.
Πρώτη απόφαση. Ας πούμε ότι είναι δυνατό. Ας πάρουμε μια κόκκινη μπάλα που δεν βρίσκεται στην άκρη (υπάρχει τουλάχιστον μία από τις πέντε μπάλες από τη 2η έως την 6η). Οι μπάλες δίπλα σε αυτό πρέπει
να είναι λευκές, διαφορετικά θα υπάρχουν δύο γειτονικές μπάλες, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν λευκές. Αυτό όμως σημαίνει ότι έχουμε βρει τρεις συνεχόμενες μπάλες, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχει μπλε.
Δεύτερη απόφαση. Έχοντας χωρίσει 30 μπάλες σε 15 ζεύγη διπλανών μπάλων, φροντίζουμε ανάμεσα στις απλωμένες μπάλες να υπάρχουν τουλάχιστον 15 λευκές. Σπάζοντας τα σε 10 τριάδες στη σειρά
μπάλες, φροντίζουμε ανάμεσα στις απλωμένες μπάλες να υπάρχουν τουλάχιστον 10 μπλε. Τέλος, έχοντας τις χωρίσει σε 6 πεντάδες διαδοχικών μπάλων, βλέπουμε ότι ανάμεσα στις απλωμένες μπάλες δεν υπάρχουν
λιγότερο από 6 κόκκινα. Αποδεικνύεται ότι πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 15 + 10 + 6 = 31 μπάλες και υπάρχουν μόνο 30 από αυτές.

Όγδοη τάξη

_8_klass_2014.doc Η απόφαση του σχολικού γύρου της Ολυμπιάδας 8η τάξη
8.1. Ο Βάσια είχε κάποια χρήματα στο πορτοφόλι του. Ο Βάσια έβαλε άλλα 49 ρούβλια στο πορτοφόλι του και το χρηματικό ποσό στο πορτοφόλι του αυξήθηκε 99 φορές. Πόσα χρήματα είχε ο Βάσια στο πορτοφόλι του;
Απάντηση. 49 ρούβλια 50 καπίκια.
Απόφαση. Αφήστε τη Vasya να έχει x ρούβλια στην αρχή. Από την συνθήκη του προβλήματος, προκύπτει ότι x + 49 = 99x. Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε x = 0,5 ρούβλια = 50 καπίκια.
8.2. Υπάρχουν 30 κορμοί με μήκη 3 και 4 m, το συνολικό μήκος των οποίων είναι 100 μ. Πόσες τομές μπορούν να γίνουν για να κοπούν οι κορμοί σε τετράγωνα μήκους 1 m; (Κάθε κοπή
ακριβώς ένα κούτσουρο είναι πριονισμένο.)
Απάντηση. 70.
Πρώτη απόφαση. Κολλήστε όλους τους κορμούς σε ένα κούτσουρο 100 μέτρων. Για να το χωρίσετε σε 100 μέρη, πρέπει να κάνετε 99 κοψίματα, εκ των οποίων τα 29 έχουν ήδη γίνει
έκανε.
Δεύτερη λύση. Εάν υπήρχαν m τρίμετρα και n κορμούς τεσσάρων μέτρων, τότε m + n = 30, 3m + 4n = 100, από όπου m = 20, n = 10. Επομένως, πρέπει να κάνετε 202 + 103 = 70
περικοπές.
8.3. Ο αριθμός α είναι τέτοιος ώστε οι ευθείες y = ax + 1, y = x + a και y = 3 να είναι διαφορετικές και τέμνονται σε ένα σημείο. Τι μπορεί να είναι ένα;
Απάντηση. α = 2.
Πρώτη απόφαση. Σημειώστε ότι για x = 1, ax + 1 = x + a = a + 1 ικανοποιείται, έτσι ώστε το σημείο M (1; a + 1) να είναι κοινό για τις ευθείες y = ax + 1 και y = x + a. Από ευθεία
είναι διαφορετικά, το Μ είναι το μόνο κοινό τους σημείο. Επομένως, η ευθεία y = 3 πρέπει επίσης να διέρχεται από αυτήν, από όπου a + 1 = 3 και a = 2. Είναι εύκολο να δούμε ότι για a = 2 και οι τρεις ευθείες είναι πραγματικά
διαφορετικός.
Δεύτερη λύση. Κατά συνθήκη, στο σημείο τομής a x + 1 = x + a  (a - 1)(x - 1) = 0, από όπου a = 1 ή x = 1. Αλλά η περίπτωση a = 1 είναι αδύνατη, γιατί τότε η πρώτη δύο γραμμές
θα ταίριαζε. Περαιτέρω επιχειρηματολογούμε όπως στην πρώτη λύση.