Επαναλαμβανόμενο ψηφίο σε άπειρο δεκαδικό. Άπειρα περιοδικά κλάσματα

Το γεγονός ότι πολλοί τετραγωνικές ρίζεςείναι παράλογους αριθμούς, δεν μειώνει τη σημασία τους, συγκεκριμένα, ο αριθμός $\sqrt2$ χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε διάφορους μηχανικούς και επιστημονικούς υπολογισμούς. Αυτός ο αριθμός μπορεί να υπολογιστεί με την ακρίβεια που είναι απαραίτητη σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Μπορείτε να πάρετε αυτόν τον αριθμό με όσα δεκαδικά ψηφία έχετε την υπομονή.

Για παράδειγμα, ο αριθμός $\sqrt2$ μπορεί να προσδιοριστεί με έξι δεκαδικά ψηφία: $\sqrt2=1,414214$. Αυτή η τιμή δεν είναι πολύ διαφορετική από πραγματική αξία, επειδή 1,414214 $ \ φορές 1,414214=2,000001237796 $. Αυτή η απάντηση διαφέρει από το 2 κατά λίγο περισσότερο από το ένα εκατομμυριοστό. Επομένως, η τιμή του $\sqrt2$, ίση με $1,414214$, θεωρείται αρκετά αποδεκτή για την επίλυση των περισσότερων πρακτικών προβλημάτων. Στην περίπτωση που απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, δεν είναι δύσκολο να ληφθούν όσα σημαντικά ψηφία μετά την υποδιαστολή είναι απαραίτητο σε αυτήν την περίπτωση.

Ωστόσο, αν δείξετε σπάνιο πείσμα και προσπαθήσετε να εξάγετε Τετραγωνική ρίζααπό $\sqrt2$ μέχρι να πάρετε ακριβές αποτέλεσμαδεν θα τελειώσεις ποτέ τη δουλειά σου. Είναι μια ατελείωτη διαδικασία. Ανεξάρτητα από το πόσα δεκαδικά ψηφία και να λάβετε, πάντα θα υπάρχουν μερικά περισσότερα.

Αυτό το γεγονός μπορεί να σας εκπλήξει όσο να μετατρέψετε το $\frac13$ σε άπειρο δεκαδικό $0.333333333…$ και ούτω καθεξής απεριόριστα ή να μετατρέψετε το $\frac17$ σε $0.142857142857142857…$ και ούτω καθεξής απεριόριστα. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι αυτές οι άπειρες και παράλογες τετραγωνικές ρίζες είναι φαινόμενα της ίδιας τάξης, αλλά αυτό δεν ισχύει καθόλου. Άλλωστε αυτά άπειρα κλάσματαέχει κλασματικό ισοδύναμο, ενώ το $\sqrt2$ δεν έχει τέτοιο ισοδύναμο. Και γιατί ακριβώς; Το γεγονός είναι ότι το δεκαδικό ισοδύναμο των $\frac13$ και $\frac17$, καθώς και ένας άπειρος αριθμός άλλων κλασμάτων, είναι περιοδικές πεπερασμένα κλάσματα.

Ταυτόχρονα, το δεκαδικό ισοδύναμο του $\sqrt2$ είναι ένα μη περιοδικό κλάσμα. Αυτή η δήλωση ισχύει επίσης για κάθε παράλογο αριθμό.

Το πρόβλημα είναι ότι κάθε δεκαδικό που είναι μια προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 είναι μη περιοδικό κλάσμα. Ανεξάρτητα από το πόσο προχωρήσουμε στους υπολογισμούς, όποιο κλάσμα λάβουμε θα είναι μη περιοδικό.

Φανταστείτε ένα κλάσμα τεράστιο ποσόμη περιοδικά ψηφία μετά την υποδιαστολή. Αν ξαφνικά μετά το εκατομμυριοστό ψηφίο επαναλαμβάνεται ολόκληρη η ακολουθία των δεκαδικών ψηφίων, τότε δεκαδικός- περιοδικό και για αυτό υπάρχει ένα ισοδύναμο με τη μορφή αναλογίας ακεραίων. Εάν ένα κλάσμα με τεράστιο αριθμό (δισεκατομμύρια ή εκατομμύρια) μη περιοδικών δεκαδικών ψηφίων σε κάποιο σημείο έχει μια ατελείωτη σειρά επαναλαμβανόμενων ψηφίων, όπως $…55555555555…$, αυτό σημαίνει επίσης ότι δεδομένο κλάσμα- περιοδικό και για αυτό υπάρχει ένα ισοδύναμο με τη μορφή αναλογίας ακεραίων.

Ωστόσο, στην περίπτωση των δεκαδικών τους ισοδύναμα είναι εντελώς μη περιοδικά και δεν μπορούν να γίνουν περιοδικά.

Φυσικά, μπορείτε να ρωτήσετε επόμενη ερώτηση: «Και ποιος μπορεί να ξέρει και να πει με βεβαιότητα τι συμβαίνει σε ένα κλάσμα, ας πούμε, μετά από ένα ζώδιο τρισεκατομμυρίων; Ποιος μπορεί να εγγυηθεί ότι το κλάσμα δεν θα γίνει περιοδικό; Υπάρχουν τρόποι για να το αποδείξουμε αδιαμφισβήτητα παράλογους αριθμούςείναι μη περιοδικές, αλλά τέτοιες αποδείξεις απαιτούν πολύπλοκες μαθηματική συσκευή. Αν όμως ξαφνικά αποδείχτηκε ότι ρητός αριθμόςγίνεται περιοδικό κλάσμα, αυτό θα σήμαινε πλήρης κατάρρευσηβασικές αρχές μαθηματικές επιστήμες. Και στην πραγματικότητα, αυτό δύσκολα είναι εφικτό. Αυτό δεν είναι μόνο για να το ρίξετε στις αρθρώσεις από τη μια πλευρά στην άλλη, υπάρχει μια πολύπλοκη μαθηματική θεωρία εδώ.

Αυτό το άρθρο αφορά δεκαδικά. Εδώ θα ασχοληθούμε με τον δεκαδικό συμβολισμό των κλασματικών αριθμών, εισάγουμε την έννοια δεκαδικό κλάσμακαι δώστε παραδείγματα δεκαδικών κλασμάτων. Στη συνέχεια, ας μιλήσουμε για τα ψηφία των δεκαδικών κλασμάτων, δώστε τα ονόματα των ψηφίων. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε σε άπειρα δεκαδικά κλάσματα, ας πούμε για περιοδικά και μη κλάσματα. Στη συνέχεια, παραθέτουμε τις κύριες ενέργειες με δεκαδικά κλάσματα. Συμπερασματικά, καθορίζουμε τη θέση των δεκαδικών κλασμάτων στην ακτίνα συντεταγμένων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Δεκαδικός συμβολισμός κλασματικού αριθμού

Ανάγνωση δεκαδικών αριθμών

Ας πούμε λίγα λόγια για τους κανόνες ανάγνωσης δεκαδικών κλασμάτων.

Τα δεκαδικά κλάσματα, που αντιστοιχούν στα σωστά συνηθισμένα κλάσματα, διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο όπως αυτά τα συνηθισμένα κλάσματα, μόνο το «μηδέν ολόκληρο» προστίθεται εκ των προτέρων. Για παράδειγμα, το δεκαδικό κλάσμα 0,12 αντιστοιχεί στο συνηθισμένο κλάσμα 12/100 (διαβάζει "δώδεκα εκατοστά"), επομένως, το 0,12 διαβάζεται ως "σημείο μηδέν δώδεκα εκατοστά".

Τα δεκαδικά κλάσματα, που αντιστοιχούν σε μεικτούς αριθμούς, διαβάζονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως αυτοί οι μικτές αριθμοί. Για παράδειγμα, αντιστοιχεί το δεκαδικό 56.002 μικτός αριθμός, λοιπόν, το δεκαδικό κλάσμα 56.002 διαβάζεται ως «πενήντα έξι σημεία δύο χιλιοστά».

Θέσεις σε δεκαδικά ψηφία

Στη σημειογραφία των δεκαδικών κλασμάτων, καθώς και στη σημειογραφία των φυσικών αριθμών, η τιμή κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. Πράγματι, ο αριθμός 3 στο δεκαδικό 0,3 σημαίνει τρία δέκατα, στο δεκαδικό 0,0003 - τρία δέκα χιλιοστά και στο δεκαδικό 30.000,152 - τρεις δεκάδες χιλιάδες. Έτσι, μπορούμε να μιλήσουμε για ψηφία σε δεκαδικά ψηφία, καθώς και για ψηφία σε φυσικούς αριθμούς.

Τα ονόματα των ψηφίων στο δεκαδικό κλάσμα μέχρι την υποδιαστολή συμπίπτουν πλήρως με τα ονόματα των ψηφίων σε φυσικούς αριθμούς. Και τα ονόματα των ψηφίων στο δεκαδικό κλάσμα μετά την υποδιαστολή είναι ορατά από τον παρακάτω πίνακα.

Για παράδειγμα, στο δεκαδικό κλάσμα 37.051, ο αριθμός 3 είναι στη θέση των δεκάδων, το 7 είναι στη θέση των μονάδων, το 0 είναι στη δέκατη θέση, το 5 είναι στην εκατοστή θέση, το 1 είναι στη χιλιοστή θέση.

Τα ψηφία στο δεκαδικό κλάσμα διαφέρουν επίσης ως προς την αρχαιότητα. Αν μετακινηθούμε από ψηφίο σε ψηφίο από αριστερά προς τα δεξιά στον δεκαδικό συμβολισμό, τότε θα μετακινηθούμε από αρχαιότεροςΠρος την κατώτερες τάξεις. Για παράδειγμα, το ψηφίο των εκατοντάδων είναι παλαιότερο από το ψηφίο των δέκατων και το ψηφίο των εκατομμυρίων είναι νεότερο από το ψηφίο των εκατοστών. Σε αυτό το τελικό δεκαδικό κλάσμα, μπορούμε να μιλήσουμε για τα πιο σημαντικά και λιγότερο σημαντικά ψηφία. Για παράδειγμα, σε δεκαδικό 604,9387 ανώτερος (υψηλότερος)το ψηφίο είναι το ψηφίο των εκατοντάδων, και junior (χαμηλότερο)- δέκατη χιλιάδα θέση.

Για τα δεκαδικά κλάσματα, πραγματοποιείται επέκταση σε ψηφία. Είναι ανάλογο με την επέκταση σε ψηφία των φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, η δεκαδική επέκταση του 45,6072 είναι: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . Και οι ιδιότητες της πρόσθεσης από την επέκταση ενός δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία σας επιτρέπουν να μεταβείτε σε άλλες αναπαραστάσεις αυτού του δεκαδικού κλάσματος, για παράδειγμα, 45,6072=45+0,6072 , ή 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , ή 45,6072+ .

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε μιλήσει μόνο για δεκαδικά κλάσματα, στην εγγραφή των οποίων, μετά την υποδιαστολή, υπάρχει πεπερασμένος αριθμόςψηφία. Τέτοια κλάσματα ονομάζονται τελικά δεκαδικά κλάσματα.

Ορισμός.

Τελικοί δεκαδικοί αριθμοί- Πρόκειται για δεκαδικά κλάσματα, οι εγγραφές των οποίων περιέχουν πεπερασμένο αριθμό χαρακτήρων (ψηφία).

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα τελικών δεκαδικών: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Ωστόσο, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε κοινό κλάσμα ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/13 δεν μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ίσο κλάσμα με έναν από τους παρονομαστές 10, 100, ..., επομένως, δεν μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα. Θα μιλήσουμε περισσότερα για αυτό στο τμήμα θεωρίας της μετατροπής συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά κλάσματα.

Άπειρα δεκαδικά: περιοδικά κλάσματα και μη περιοδικά κλάσματα

Κατά τη σύνταξη ενός δεκαδικού κλάσματος μετά από μια υποδιαστολή, μπορείτε να επιτρέψετε τη δυνατότητα ενός άπειρου αριθμού ψηφίων. Σε αυτή την περίπτωση, θα έρθουμε στην εξέταση των λεγόμενων άπειρων δεκαδικών κλασμάτων.

Ορισμός.

Ατελείωτα δεκαδικάείναι δεκαδικά κλάσματα, στην εγγραφή των οποίων είναι άπειρο σύνολοψηφία.

Είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να γράψουμε τα άπειρα δεκαδικά κλάσματα στο ακέραιο, επομένως, στην καταγραφή τους περιορίζονται μόνο σε έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή και βάζουν μια έλλειψη που δείχνει μια άπειρα συνεχόμενη ακολουθία ψηφίων. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα άπειρων δεκαδικών κλασμάτων: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα δύο τελευταία ατελείωτα δεκαδικά κλάσματα, τότε στο κλάσμα 2,111111111 ... ο απεριόριστα επαναλαμβανόμενος αριθμός 1 είναι σαφώς ορατός και στο κλάσμα 69,74152152152 ..., ξεκινώντας από το τρίτο δεκαδικό ψηφίο, η επαναλαμβανόμενη ομάδα αριθμών Τα 1, 5 και 2 είναι καθαρά ορατά. Τέτοια άπειρα δεκαδικά κλάσματα ονομάζονται περιοδικά.

Ορισμός.

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί(ή απλά περιοδικά κλάσματα) είναι άπειρα δεκαδικά κλάσματα, στην εγγραφή των οποίων, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο, κάποιο ψηφίο ή ομάδα ψηφίων, που λέγεται κλασματική περίοδο.

Για παράδειγμα, η περίοδος του περιοδικού κλάσματος 2,111111111… είναι ο αριθμός 1, και η περίοδος του κλάσματος 69,74152152152… είναι μια ομάδα αριθμών όπως ο 152.

Για άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, γίνεται αποδεκτό ειδικό σχήμαεγγραφές. Για συντομία, συμφωνήσαμε να γράψουμε την περίοδο μία φορά, κλείνοντάς την σε παρένθεση. Για παράδειγμα, το περιοδικό κλάσμα 2.111111111… γράφεται ως 2,(1) και το περιοδικό κλάσμα 69.74152152152… γράφεται ως 69.74(152) .

Αξίζει να σημειωθεί ότι για το ίδιο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, μπορείτε να καθορίσετε διαφορετικές περιόδους. Για παράδειγμα, το περιοδικό δεκαδικό 0,73333… μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα 0,7(3) με περίοδο 3, καθώς και κλάσμα 0,7(33) με περίοδο 33, και ούτω καθεξής 0,7(333), 0,7 (3333 ), ... Μπορείτε επίσης να δείτε το περιοδικό κλάσμα 0,73333 ... ως εξής: 0,733(3), ή όπως αυτό 0,73(333) κ.λπ. Εδώ, για να αποφευχθούν ασάφειες και ασυνέπειες, συμφωνούμε να θεωρήσουμε ως περίοδο δεκαδικού κλάσματος τη συντομότερη από όλες τις πιθανές ακολουθίες επαναλαμβανόμενων ψηφίων και ξεκινώντας από την πλησιέστερη θέση στην υποδιαστολή. Δηλαδή, η περίοδος του δεκαδικού κλάσματος 0,73333… θα θεωρείται ακολουθία ενός ψηφίου 3, και η περιοδικότητα ξεκινά από τη δεύτερη θέση μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 0,73333…=0,7(3) . Άλλο παράδειγμα: το περιοδικό κλάσμα 4,7412121212… έχει περίοδο 12, η ​​περιοδικότητα ξεκινά από το τρίτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή, δηλαδή 4,7412121212…=4,74(12) .

Τα άπειρα δεκαδικά περιοδικά κλάσματα λαμβάνονται με τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα συνηθισμένων κλασμάτων, οι παρονομαστές των οποίων περιέχουν πρωταρχικούς παράγοντες, διαφορετικό από το 2 και το 5 .

Εδώ αξίζει να αναφέρουμε περιοδικά κλάσματα με περίοδο 9. Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων κλασμάτων: 6.43(9) , 27,(9) . Αυτά τα κλάσματα είναι ένας άλλος συμβολισμός για περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0 και συνηθίζεται να τα αντικαθιστούμε με περιοδικά κλάσματα με περίοδο 0. Για να γίνει αυτό, η περίοδος 9 αντικαθίσταται από την περίοδο 0 και η τιμή του επόμενου υψηλότερου ψηφίου αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ένα κλάσμα με τελεία 9 της μορφής 7.24(9) αντικαθίσταται από ένα περιοδικό κλάσμα με περίοδο 0 της μορφής 7.25(0) ή ένα ίσο τελικό δεκαδικό κλάσμα 7.25. Άλλο παράδειγμα: 4,(9)=5,(0)=5 . Η ισότητα ενός κλάσματος με περίοδο 9 και του αντίστοιχου κλάσματος με περίοδο 0 διαπιστώνεται εύκολα μετά την αντικατάσταση αυτών των δεκαδικών κλασμάτων με τα ίσα συνηθισμένα τους κλάσματα.

Τέλος, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία δεν έχουν άπειρα επαναλαμβανόμενη ακολουθία ψηφίων. Ονομάζονται μη περιοδικές.

Ορισμός.

Μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία(ή απλά μη περιοδικά κλάσματα ) είναι άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς τελεία.

Μερικές φορές τα μη περιοδικά κλάσματα έχουν μορφή παρόμοια με αυτή των περιοδικών κλασμάτων, για παράδειγμα, το 8.02002000200002 ... είναι ένα μη περιοδικό κλάσμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, θα πρέπει να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί για να παρατηρήσετε τη διαφορά.

Σημειώστε ότι τα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα, τα άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα αντιπροσωπεύουν άρρητους αριθμούς.

Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Μία από τις ενέργειες με δεκαδικούς είναι η σύγκριση και ορίζονται επίσης τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις με δεκαδικούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Εξετάστε ξεχωριστά καθεμία από τις ενέργειες με δεκαδικά κλάσματα.

Δεκαδική Σύγκρισηβασίζονται ουσιαστικά σε σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων που αντιστοιχούν στα συγκριτικά δεκαδικά κλάσματα. Ωστόσο, η μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα είναι μια μάλλον επίπονη λειτουργία και άπειρα μη επαναλαμβανόμενα κλάσματα δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως συνηθισμένο κλάσμα, επομένως είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί μια σύγκριση των δεκαδικών κλασμάτων κατά bit. Η δυαδική σύγκριση των δεκαδικών είναι παρόμοια με τη σύγκριση των φυσικών αριθμών. Για πιο λεπτομερείς πληροφορίες, σας συνιστούμε να μελετήσετε τη σύγκριση υλικού του άρθρου δεκαδικών κλασμάτων, κανόνων, παραδειγμάτων, λύσεων.

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα - πολλαπλασιάζοντας δεκαδικούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός των τελικών δεκαδικών κλασμάτων πραγματοποιείται παρόμοια με την αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, κανόνων, παραδειγμάτων, λύσεων πολλαπλασιασμού με στήλη φυσικών αριθμών. Στην περίπτωση περιοδικών κλασμάτων, ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μειωθεί στον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων. Με τη σειρά του, ο πολλαπλασιασμός των άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων μετά τη στρογγυλοποίησή τους ανάγεται στον πολλαπλασιασμό των πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων. Συνιστούμε περαιτέρω μελέτη του υλικού του άρθρου πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων, κανόνων, παραδειγμάτων, λύσεων.

Δεκαδικοί αριθμοί στη δέσμη συντεταγμένων

Υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ κουκκίδων και δεκαδικών.

Ας υπολογίσουμε πώς κατασκευάζονται τα σημεία στην ακτίνα συντεταγμένων που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο δεκαδικό κλάσμα.

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα και άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα με συνηθισμένα κλάσματα ίσα με αυτά και στη συνέχεια να κατασκευάσουμε τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα στην ακτίνα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα δεκαδικό κλάσμα 1,4 αντιστοιχεί σε ένα συνηθισμένο κλάσμα 14/10, επομένως, το σημείο με συντεταγμένη 1,4 αφαιρείται από την αρχή στη θετική κατεύθυνση κατά 14 τμήματα ίσα με το ένα δέκατο ενός μόνο τμήματος.

Τα δεκαδικά κλάσματα μπορούν να σημειωθούν στη δέσμη συντεταγμένων, ξεκινώντας από την επέκταση αυτού του δεκαδικού κλάσματος σε ψηφία. Για παράδειγμα, ας πούμε ότι πρέπει να οικοδομήσουμε ένα σημείο με συντεταγμένη 16.3007 , αφού 16.3007=16+0.3+0.0007 , στη συνέχεια σε δεδομένο σημείομπορεί να επιτευχθεί τοποθετώντας διαδοχικά 16 τμήματα μονάδας από την αρχή, 3 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το ένα δέκατο ενός τμήματος μονάδας, και 7 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το δέκατο χιλιοστό κλάσμα ενός τμήματος μονάδας .

Αυτή η μέθοδος κατασκευής δεκαδικών αριθμών στη δέσμη συντεταγμένων σας επιτρέπει να πλησιάσετε όσο θέλετε στο σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Μερικές φορές είναι δυνατό να σχεδιάσουμε με ακρίβεια ένα σημείο που αντιστοιχεί σε ένα άπειρο δεκαδικό. Για παράδειγμα, , τότε αυτό το άπειρο δεκαδικό κλάσμα 1,41421 ... αντιστοιχεί στο σημείο δέσμη συντεταγμένων, απομακρυσμένο από την αρχή κατά το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά 1 μονάδας τμήματος.

Η αντίστροφη διαδικασία λήψης δεκαδικού κλάσματος που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο της δέσμης συντεταγμένων είναι η λεγόμενη δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος. Ας δούμε πώς γίνεται.

Αφήστε το καθήκον μας να είναι να φτάσουμε από την αρχή σε ένα δεδομένο σημείο της γραμμής συντεταγμένων (ή να το πλησιάσουμε άπειρα εάν είναι αδύνατο να φτάσουμε σε αυτό). Με μια δεκαδική μέτρηση ενός τμήματος, μπορούμε διαδοχικά να αναβάλουμε οποιονδήποτε αριθμό μονάδων τμημάτων από την αρχή, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το ένα δέκατο ενός τμήματος, μετά τμήματα των οποίων το μήκος είναι ίσο με το εκατοστό ενός μεμονωμένου τμήματος κ.λπ. . Καταγράφοντας τον αριθμό των γραφικών τμημάτων κάθε μήκους, παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σημείο της ακτίνας συντεταγμένων.

Για παράδειγμα, για να φτάσετε στο σημείο M στο παραπάνω σχήμα, πρέπει να αφήσετε κατά μέρος 1 τμήμα μονάδας και 4 τμήματα, το μήκος των οποίων είναι ίσο με το δέκατο της μονάδας. Έτσι, το σημείο Μ αντιστοιχεί στο δεκαδικό κλάσμα 1.4.

Είναι σαφές ότι τα σημεία της δέσμης συντεταγμένων, τα οποία δεν μπορούν να προσεγγιστούν στη διαδικασία δεκαδική μέτρηση, αντιστοιχούν σε άπειρα δεκαδικά.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά: σπουδές. για 5 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 280 σελ.: εικ. ISBN 5-346-00699-0.
• Μαθηματικά. 6η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., Rev. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Ήδη μέσα δημοτικό σχολείοοι μαθητές ασχολούνται με κλάσματα. Και μετά εμφανίζονται σε κάθε θέμα. Είναι αδύνατο να ξεχάσεις ενέργειες με αυτούς τους αριθμούς. Επομένως, πρέπει να γνωρίζετε όλες τις πληροφορίες για τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αυτές οι έννοιες είναι απλές, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τα πάντα με τη σειρά.

Γιατί χρειάζονται τα κλάσματα;

Ο κόσμος γύρω μας αποτελείται από ολόκληρα αντικείμενα. Επομένως, δεν υπάρχει ανάγκη για μετοχές. Αλλά καθημερινή ζωήωθεί συνεχώς τους ανθρώπους να εργάζονται με μέρη αντικειμένων και πραγμάτων.

Για παράδειγμα, η σοκολάτα αποτελείται από πολλές φέτες. Εξετάστε την κατάσταση όπου το πλακίδιο του σχηματίζεται από δώδεκα ορθογώνια. Αν το χωρίσεις στα δύο, βγάζεις 6 μέρη. Θα χωριστεί καλά στα τρία. Όμως οι πέντε δεν θα μπορέσουν να δώσουν ακέραιο αριθμό φετών σοκολάτας.

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι φέτες είναι ήδη κλάσματα. Και η περαιτέρω διαίρεση τους οδηγεί στην εμφάνιση πιο σύνθετων αριθμών.

Τι είναι το «κλάσμα»;

Αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από μέρη του ενός. Εξωτερικά, μοιάζει με δύο αριθμούς που χωρίζονται με οριζόντια ή κάθετο. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται κλασματικό. Ο αριθμός που αναγράφεται στο επάνω μέρος (αριστερά) ονομάζεται αριθμητής. Αυτό στο κάτω μέρος (δεξιά) είναι ο παρονομαστής.

Στην πραγματικότητα, η κλασματική ράβδος αποδεικνύεται ότι είναι σύμβολο διαίρεσης. Δηλαδή, ο αριθμητής μπορεί να ονομαστεί μέρισμα και ο παρονομαστής μπορεί να ονομαστεί διαιρέτης.

Ποια είναι τα κλάσματα;

Στα μαθηματικά, υπάρχουν μόνο δύο τύποι αυτών: συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αρχικά εισάγονται οι μαθητές δημοτικό σχολείο, αποκαλώντας τα απλά «κλάσματα». Το δεύτερο μαθαίνουν στην Ε' τάξη. Τότε είναι που εμφανίζονται αυτά τα ονόματα.

Κοινά κλάσματα είναι όλα αυτά που γράφονται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται από μια ράβδο. Για παράδειγμα, 4/7. Δεκαδικός είναι ένας αριθμός στον οποίο το κλασματικό μέρος έχει σημειογραφία θέσης και διαχωρίζεται από τον ακέραιο με κόμμα. Για παράδειγμα, 4.7. Οι μαθητές πρέπει να είναι ξεκάθαροι ότι τα δύο παραδείγματα που δίνονται είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί.

Κάθε απλό κλάσμαμπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό. Αυτή η δήλωση ισχύει σχεδόν πάντα σε αντίστροφη κατεύθυνση. Υπάρχουν κανόνες που σας επιτρέπουν να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως συνηθισμένο κλάσμα.

Τι υποείδη έχουν αυτοί οι τύποι κλασμάτων;

Καλύτερα να ξεκινήσετε από χρονολογική σειράκαθώς μελετώνται. Τα κοινά κλάσματα έρχονται πρώτα. Μεταξύ αυτών, διακρίνονται 5 υποείδη.

Σωστός. Ο αριθμητής του είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή.

Λανθασμένος. Ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Μειώσιμο / μη αναγώσιμο. Μπορεί να είναι είτε σωστό είτε λάθος. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες. Αν υπάρχουν, τότε υποτίθεται ότι διαιρούν και τα δύο μέρη του κλάσματος, δηλαδή το μειώνουν.

Μικτός. Ένας ακέραιος αντιστοιχίζεται στο συνηθισμένο σωστό (λανθασμένο) κλασματικό μέρος του. Και στέκεται πάντα στα αριστερά.

Σύνθετος. Σχηματίζεται από δύο κλάσματα που χωρίζονται το ένα στο άλλο. Δηλαδή, έχει τρία κλασματικά χαρακτηριστικά ταυτόχρονα.

Οι δεκαδικοί έχουν μόνο δύο υποείδη:

τελικό, δηλαδή αυτό στο οποίο το κλασματικό μέρος είναι περιορισμένο (έχει τέλος).

άπειρος - ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν (μπορούν να γραφτούν ατελείωτα).

Πώς να μετατρέψετε το δεκαδικό σε συνηθισμένο;

Εάν αυτός είναι ένας πεπερασμένος αριθμός, τότε εφαρμόζεται ένας συσχετισμός που βασίζεται στον κανόνα - όπως ακούω, έτσι γράφω. Δηλαδή, πρέπει να το διαβάσετε σωστά και να το γράψετε, αλλά χωρίς κόμμα, αλλά με κλασματική γραμμή.

Ως υπόδειξη για τον απαιτούμενο παρονομαστή, να θυμάστε ότι είναι πάντα ένα και μερικά μηδενικά. Τα τελευταία πρέπει να γραφτούν τόσα όσα και τα ψηφία στο κλασματικό μέρος του εν λόγω αριθμού.

Πώς να μετατρέψετε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα εάν αυτά ολόκληρο μέροςαπουσιάζει, δηλαδή ίσο με μηδέν; Για παράδειγμα, 0,9 ή 0,05. Αφού εφαρμόσετε τον καθορισμένο κανόνα, αποδεικνύεται ότι πρέπει να γράψετε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς. Αλλά δεν ενδείκνυται. Απομένει να γράψουμε μόνο τα κλασματικά μέρη. Για τον πρώτο αριθμό, ο παρονομαστής θα είναι 10, για τον δεύτερο - 100. Δηλαδή, τα υποδεικνυόμενα παραδείγματα θα έχουν αριθμούς ως απαντήσεις: 9/10, 5/100. Επιπλέον, το τελευταίο αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό να μειωθεί κατά 5. Επομένως, το αποτέλεσμα για αυτό πρέπει να γραφτεί 1/20.

Πώς να φτιάξετε ένα συνηθισμένο κλάσμα από ένα δεκαδικό αν το ακέραιο μέρος του είναι διαφορετικό από το μηδέν; Για παράδειγμα, 5.23 ή 13.00108. Και τα δύο παραδείγματα διαβάζουν το ακέραιο μέρος και γράφουν την τιμή του. Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι 5, στη δεύτερη - 13. Στη συνέχεια, πρέπει να προχωρήσετε στο κλασματικό μέρος. Με αυτά είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η ίδια λειτουργία. Ο πρώτος αριθμός έχει 23/100, ο δεύτερος έχει 108/100000. Η δεύτερη τιμή πρέπει να μειωθεί ξανά. Η απάντηση είναι αυτή μικτά κλάσματα: 5 23/100 και 13 27/25000.

Πώς να μετατρέψετε ένα άπειρο δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;

Εάν δεν είναι περιοδική, τότε μια τέτοια λειτουργία δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε δεκαδικό κλάσμα μετατρέπεται πάντα είτε σε τελικό είτε σε περιοδικό.

Το μόνο που επιτρέπεται να γίνει με ένα τέτοιο κλάσμα είναι να το στρογγυλοποιήσουμε. Αλλά τότε το δεκαδικό θα είναι περίπου ίσο με αυτό το άπειρο. Μπορεί ήδη να μετατραπεί σε συνηθισμένο. Αλλά η αντίστροφη διαδικασία: η μετατροπή σε δεκαδικό - δεν θα δώσει ποτέ αρχική τιμή. Δηλαδή, άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα. Αυτό πρέπει να το θυμόμαστε.

Πώς να γράψετε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου;

Σε αυτούς τους αριθμούς, ένα ή περισσότερα ψηφία εμφανίζονται πάντα μετά την υποδιαστολή, τα οποία επαναλαμβάνονται. Ονομάζονται περίοδοι. Για παράδειγμα, 0,3(3). Εδώ «3» στην περίοδο. Ταξινομούνται ως ορθολογικά, καθώς μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Όσοι έχουν συναντήσει περιοδικά κλάσματα γνωρίζουν ότι μπορούν να είναι καθαρά ή μικτά. Στην πρώτη περίπτωση, η περίοδος ξεκινά αμέσως από το κόμμα. Στο δεύτερο, το κλασματικό μέρος αρχίζει με οποιουσδήποτε αριθμούς και μετά αρχίζει η επανάληψη.

Ο κανόνας με τον οποίο πρέπει να γράψετε ένα άπειρο δεκαδικό με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος θα είναι διαφορετικός για αυτούς τους δύο τύπους αριθμών. Είναι πολύ εύκολο να γράψουμε καθαρά περιοδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Όπως και με τα τελικά, πρέπει να μετατραπούν: γράψτε την περίοδο στον αριθμητή και ο αριθμός 9 θα είναι ο παρονομαστής, επαναλαμβάνοντας όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο.

Για παράδειγμα, 0, (5). Ο αριθμός δεν έχει ακέραιο μέρος, επομένως πρέπει να προχωρήσετε αμέσως στο κλασματικό μέρος. Γράψε στον αριθμητή 5 και στον παρονομαστή το 9. Δηλαδή η απάντηση θα είναι το κλάσμα 5/9.

Ένας κανόνας για το πώς να γράψετε ένα κοινό δεκαδικό κλάσμα που είναι μικτό κλάσμα.

Δείτε τη διάρκεια της περιόδου. Τόσο το 9 θα έχει παρονομαστή.

Γράψτε τον παρονομαστή: πρώτα εννιά και μετά μηδενικά.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να γράψετε τη διαφορά δύο αριθμών. Όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή θα μειωθούν, μαζί με την τελεία. Αφαιρούμενο - είναι χωρίς περίοδο.

Για παράδειγμα, 0,5(8) - γράψτε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα. Το κλασματικό μέρος πριν από την περίοδο είναι μονοψήφιο. Άρα το μηδέν θα είναι ένα. Υπάρχει επίσης μόνο ένα ψηφίο στην περίοδο - 8. Δηλαδή, υπάρχει μόνο ένα εννέα. Δηλαδή, πρέπει να γράψετε 90 στον παρονομαστή.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή από το 58, πρέπει να αφαιρέσετε το 5. Αποδεικνύεται 53. Για παράδειγμα, θα πρέπει να γράψετε 53/90 ως απάντηση.

Πώς μετατρέπονται τα κοινά κλάσματα σε δεκαδικά;

κατά το πολύ απλή επιλογήπροκύπτει ο αριθμός στον παρονομαστή του οποίου είναι ο αριθμός 10, 100 κ.ο.κ. Στη συνέχεια, ο παρονομαστής απλώς απορρίπτεται και τοποθετείται κόμμα μεταξύ των κλασματικών και ακέραιων μερών.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο παρονομαστής μετατρέπεται εύκολα σε 10, 100 κλπ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 20, 25. Αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε με 2, 5 και 4, αντίστοιχα. Μόνο που είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε όχι μόνο τον παρονομαστή, αλλά και τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό.

Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας θα είναι χρήσιμος: διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να λάβετε δύο απαντήσεις: ένα τελικό ή ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Πράξεις με κοινά κλάσματα

Πρόσθεση και αφαίρεση

Οι μαθητές τους γνωρίζουν νωρίτερα από τους άλλους. Και πρώτα με κλάσματα ίδιοι παρονομαστέςκαι μετά διαφορετικά. Γενικοί κανόνεςμπορεί να περιοριστεί σε ένα τέτοιο σχέδιο.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Γράψτε πρόσθετους παράγοντες σε όλα τα συνηθισμένα κλάσματα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους συντελεστές που ορίζονται για αυτούς.

Προσθέστε (αφαιρέστε) τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τον κοινό παρονομαστή αμετάβλητο.

Εάν ο αριθμητής του minuend είναι μικρότερος από το subtrahend, τότε πρέπει να μάθετε αν έχουμε έναν μικτό αριθμό ή ένα σωστό κλάσμα.

Στην πρώτη περίπτωση, το ακέραιο μέρος πρέπει να πάρει ένα. Προσθέστε έναν παρονομαστή στον αριθμητή ενός κλάσματος. Και μετά κάντε την αφαίρεση.

Στο δεύτερο - είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο κανόνας της αφαίρεσης από λιγότεροιπερισσότερο. Δηλαδή, αφαιρέστε το μέτρο του δευτερεύοντος από το μέτρο του δευτερεύοντος και βάλτε το σύμβολο «-» ως απάντηση.

Δείτε προσεκτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης). Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα επιλέξει ολόκληρο το τμήμα. Δηλαδή, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Για την εφαρμογή τους, τα κλάσματα δεν χρειάζεται να μειωθούν σε κοινό παρονομαστή. Αυτό διευκολύνει την ανάληψη δράσης. Πρέπει όμως να ακολουθήσουν τους κανόνες.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι αριθμοί στους αριθμητές και στους παρονομαστές. Εάν οποιοσδήποτε αριθμητής και παρονομαστής έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορούν να μειωθούν.

Πολλαπλασιασμός αριθμητών.

Πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές.

Εάν λάβετε ένα αναγώγιμο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα απλοποιηθεί ξανά.

Κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και τον διαιρέτη (δεύτερο κλάσμα) με ένα αντίστροφο (ανταλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή).

Στη συνέχεια προχωρήστε όπως στον πολλαπλασιασμό (ξεκινώντας από το βήμα 1).

Σε εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε (διαιρέσετε) με έναν ακέραιο, ο τελευταίος υποτίθεται ότι γράφεται με τη μορφή ακατάλληλο κλάσμα. Δηλαδή με παρονομαστή 1. Στη συνέχεια προχωρήστε όπως περιγράφεται παραπάνω.



Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πρόσθεση και αφαίρεση

Φυσικά, μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα. Και ενεργήστε σύμφωνα με το ήδη περιγραφόμενο σχέδιο. Αλλά μερικές φορές είναι πιο βολικό να ενεργείς χωρίς αυτή τη μετάφραση. Τότε οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους θα είναι ακριβώς οι ίδιοι.

Εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού, δηλαδή μετά την υποδιαστολή. Εκχωρήστε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν σε αυτό.

Γράψτε κλάσματα έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα.

Προσθέστε (αφαιρέστε) όπως φυσικούς αριθμούς.

Αφαιρέστε το κόμμα.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Είναι σημαντικό να μην χρειάζεται να προσθέσετε μηδενικά εδώ. Τα κλάσματα υποτίθεται ότι αφήνονται όπως δίνονται στο παράδειγμα. Και μετά πηγαίνετε σύμφωνα με το σχέδιο.

Για πολλαπλασιασμό, πρέπει να γράψετε κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.

Πολλαπλασιάστε όπως οι φυσικοί αριθμοί.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας από το δεξί άκρο της απάντησης τόσα ψηφία όσα είναι στα κλασματικά μέρη και των δύο παραγόντων.

Για να διαιρέσετε, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον διαιρέτη: να τον κάνετε φυσικό αριθμό. Δηλαδή πολλαπλασιάστε το με 10, 100 κ.λπ., ανάλογα με το πόσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη.

Πολλαπλασιάστε το μέρισμα με τον ίδιο αριθμό.

Διαιρέστε το δεκαδικό με φυσικός αριθμός.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση τη στιγμή που τελειώνει η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.



Τι γίνεται αν υπάρχουν και οι δύο τύποι κλασμάτων σε ένα παράδειγμα;

Ναι, στα μαθηματικά υπάρχουν συχνά παραδείγματα στα οποία πρέπει να εκτελέσετε πράξεις σε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα. Πρέπει να ζυγίσετε αντικειμενικά τους αριθμούς και να επιλέξετε τον καλύτερο.

Πρώτος τρόπος: αναπαράσταση συνηθισμένων δεκαδικών

Είναι κατάλληλο εάν, κατά τη διαίρεση ή τη μετατροπή, λαμβάνονται τελικά κλάσματα. Εάν τουλάχιστον ένας αριθμός δίνει ένα περιοδικό μέρος, τότε αυτή η τεχνική απαγορεύεται. Επομένως, ακόμα κι αν δεν σας αρέσει να εργάζεστε με συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετρήσετε.

Ο δεύτερος τρόπος: γράψτε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα

Αυτή η τεχνική είναι βολική εάν υπάρχουν 1-2 ψηφία στο τμήμα μετά την υποδιαστολή. Εάν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, μπορεί να προκύψει ένα πολύ μεγάλο συνηθισμένο κλάσμα και οι δεκαδικές εγγραφές θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε την εργασία γρηγορότερα και ευκολότερα. Επομένως, είναι πάντα απαραίτητο να αξιολογείτε νηφάλια την εργασία και να επιλέξετε την απλούστερη μέθοδο λύσης.

Θυμάστε πώς στο πρώτο μάθημα σχετικά με τα δεκαδικά κλάσματα, είπα ότι υπάρχουν αριθμητικά κλάσματα που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως δεκαδικοί αριθμοί (δείτε το μάθημα «Δεκαδικά κλάσματα»); Μάθαμε επίσης πώς να παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές των κλασμάτων για να ελέγξουμε αν υπάρχουν άλλοι αριθμοί εκτός από το 2 και το 5.

Λοιπόν: είπα ψέματα. Και σήμερα θα μάθουμε πώς να μεταφράσουμε απολύτως οποιοδήποτε κλάσμασε δεκαδικό. Ταυτόχρονα, θα εξοικειωθούμε με μια ολόκληρη κατηγορία κλασμάτων με άπειρο σημαντικό μέρος.

Επαναλαμβανόμενο δεκαδικό είναι κάθε δεκαδικό που έχει:

1. Το σημαντικό μέρος αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό ψηφίων.
2. Σε ορισμένα διαστήματα επαναλαμβάνονται οι αριθμοί στο σημαντικό μέρος.

Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων που αποτελούν το σημαντικό μέρος ονομάζεται περιοδικό μέρος του κλάσματος και ο αριθμός των ψηφίων σε αυτό το σύνολο είναι η περίοδος του κλάσματος. Το υπόλοιπο τμήμα του σημαντικού μέρους, το οποίο δεν επαναλαμβάνεται, ονομάζεται μη περιοδικό μέρος.

Δεδομένου ότι υπάρχουν πολλοί ορισμοί, αξίζει να εξεταστούν λεπτομερώς μερικά από αυτά τα κλάσματα:

Αυτό το κλάσμα εμφανίζεται πιο συχνά σε προβλήματα. Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: 1.

Μη περιοδικό μέρος: 0,58; περιοδικό μέρος: 3; διάρκεια περιόδου: ξανά 1.

Μη περιοδικό μέρος: 1; περιοδικό μέρος: 54; Διάρκεια περιόδου: 2.

Μη περιοδικό μέρος: 0; περιοδικό μέρος: 641025; διάρκεια περιόδου: 6. Για ευκολία, τα επαναλαμβανόμενα μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με ένα κενό - σε αυτή τη λύση δεν είναι απαραίτητο να το κάνετε.

Μη περιοδικό μέρος: 3066; περιοδικό μέρος: 6; διάρκεια περιόδου: 1.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ορισμός ενός περιοδικού κλάσματος βασίζεται στην έννοια σημαντικό μέρος ενός αριθμού. Επομένως, εάν ξεχάσατε τι είναι, συνιστώ να το επαναλάβετε - δείτε το μάθημα "".

Μετάβαση σε περιοδικό δεκαδικό

Σκεφτείτε κοινό κλάσμαείδος α/β. Ας αναλύσουμε τον παρονομαστή του σε απλούς παράγοντες. Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Στην επέκταση υπάρχουν μόνο οι παράγοντες 2 και 5. Αυτά τα κλάσματα μειώνονται εύκολα σε δεκαδικά ψηφία - δείτε το μάθημα " Δεκαδικά κλάσματα". Δεν μας ενδιαφέρουν τέτοια?
2. Υπάρχει κάτι άλλο στην επέκταση εκτός από το 2 και το 5. Στην περίπτωση αυτή, το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως δεκαδικό, αλλά μπορεί να γίνει περιοδικό δεκαδικό.

Για να ορίσετε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να βρείτε το περιοδικό και το μη περιοδικό μέρος του. Πως? Μετατρέψτε το κλάσμα σε ακατάλληλο και μετά διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια "γωνία".

Κάνοντας αυτό, θα συμβεί το εξής:

1. Διαιρέστε πρώτα ολόκληρο μέροςαν υπαρχει;
2. Μπορεί να υπάρχουν αρκετοί αριθμοί μετά την υποδιαστολή.
3. Μετά από λίγο θα ξεκινήσουν οι αριθμοί επαναλαμβάνω.

Αυτό είναι όλο! Τα επαναλαμβανόμενα ψηφία μετά την υποδιαστολή συμβολίζονται με το περιοδικό μέρος, και αυτό που βρίσκεται μπροστά - μη περιοδικό.

Εργο. Μετατρέψτε τα συνηθισμένα κλάσματα σε περιοδικά δεκαδικά ψηφία:

Όλα τα κλάσματα δεν έχουν ακέραιο μέρος, οπότε απλά διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με μια "γωνία":

Όπως μπορείτε να δείτε, τα απομεινάρια επαναλαμβάνονται. Ας γράψουμε το κλάσμα στη «σωστή» μορφή: 1,733 ... = 1,7(3).

Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα: 0,5833 ... = 0,58(3).

Γράφουμε σε κανονική μορφή: 4.0909 ... = 4, (09).

Παίρνουμε ένα κλάσμα: 0,4141 ... = 0, (41).

Μετάβαση από το περιοδικό δεκαδικό στο συνηθισμένο

Θεωρήστε ένα περιοδικό δεκαδικό X = abc (a 1 b 1 c 1). Απαιτείται η μεταφορά του στο κλασικό «διώροφο». Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τέσσερα απλά βήματα:

1. Να βρείτε την περίοδο του κλάσματος, δηλ. μετρήστε πόσα ψηφία υπάρχουν στο περιοδικό μέρος. Έστω ο αριθμός k.
2. Να βρείτε την τιμή της παράστασης X · 10 k . Αυτό ισοδυναμεί με τη μετατόπιση της υποδιαστολής μια πλήρη περίοδο προς τα δεξιά - δείτε το μάθημα " Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων".
3. Αφαιρέστε την αρχική έκφραση από τον αριθμό που προκύπτει. Σε αυτή την περίπτωση, το περιοδικό μέρος «καίγεται» και παραμένει κοινό κλάσμα;
4. Βρείτε το Χ στην εξίσωση που προκύπτει. Όλα τα δεκαδικά κλάσματα μετατρέπονται σε συνηθισμένα.

Εργο. Μετατροπή σε συνηθισμένο ακατάλληλο κλάσμα αριθμού:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Εργασία με το πρώτο κλάσμα: X = 9,(6) = 9,666 ...

Οι αγκύλες περιέχουν μόνο ένα ψηφίο, άρα η περίοδος k = 1. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε αυτό το κλάσμα με 10 k = 10 1 = 10. Έχουμε:

10Χ = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Αφαιρέστε το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9Χ=87;
X = 87/9 = 29/3.

Τώρα ας ασχοληθούμε με το δεύτερο κλάσμα. Άρα X = 32, (39) = 32,393939 ...

Περίοδος k = 2, άρα πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Αφαιρέστε ξανά το αρχικό κλάσμα και λύστε την εξίσωση:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Ας φτάσουμε στο τρίτο κλάσμα: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Το σχήμα είναι το ίδιο, οπότε θα δώσω απλώς τους υπολογισμούς:

Περίοδος k = 1 ⇒ πολλαπλασιάστε τα πάντα με 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9Χ = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Τέλος, το τελευταίο κλάσμα: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Και πάλι, για λόγους ευκολίας, τα περιοδικά μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με κενά. Εχουμε:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Είναι γνωστό ότι αν ο παρονομαστής Πμη αναγώγιμο κλάσμα σε αυτό κανονική αποσύνθεσηέχει πρώτο παράγοντα όχι ίσο με το 2 και το 5, τότε αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα. Αν προσπαθήσουμε σε αυτή την περίπτωση να γράψουμε το αρχικό μη αναγώγιμο κλάσμα ως δεκαδικό, διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή, τότε η διαδικασία διαίρεσης δεν μπορεί να τελειώσει, γιατί Στην περίπτωση της ολοκλήρωσής του μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, θα παίρναμε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα στο πηλίκο, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με το προηγουμένως αποδεδειγμένο θεώρημα. Έτσι σε αυτή την περίπτωση δεκαδικός συμβολισμόςθετικός ρητός αριθμός ΕΝΑ= παριστάνεται ως άπειρο κλάσμα.

Για παράδειγμα, κλάσμα = 0,3636... . Είναι εύκολο να δούμε ότι τα υπόλοιπα κατά τη διαίρεση του 4 με το 11 επαναλαμβάνονται περιοδικά, επομένως, τα δεκαδικά ψηφία θα επαναλαμβάνονται περιοδικά, δηλ. αποδεικνύεται άπειρο περιοδικό δεκαδικό, το οποίο μπορεί να γραφτεί ως 0,(36).

Επαναλαμβάνοντας περιοδικά τους αριθμούς 3 και 6 σχηματίζουν μια τελεία. Μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχουν πολλά ψηφία μεταξύ του κόμματος και της αρχής της πρώτης περιόδου. Αυτοί οι αριθμοί αποτελούν την προ-περίοδο. Για παράδειγμα,

0,1931818... Η διαδικασία διαίρεσης του 17 με το 88 είναι άπειρη. Οι αριθμοί 1, 9, 3 σχηματίζουν την προ-περίοδο. 1, 8 - περίοδος. Τα παραδείγματα που εξετάσαμε αντικατοπτρίζουν ένα μοτίβο, π.χ. Κάθε θετικός ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί είτε με ένα πεπερασμένο είτε με ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Θεώρημα 1.Έστω ένα συνηθισμένο κλάσμα μη αναγώγιμο και στην κανονική επέκταση του παρονομαστή nυπάρχει ένας πρώτος παράγοντας διαφορετικός από το 2 και το 5. Τότε το συνηθισμένο κλάσμα μπορεί να παρασταθεί με ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Απόδειξη. Γνωρίζουμε ήδη ότι η διαδικασία της διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού Μσε φυσικό αριθμό nθα είναι ατελείωτο. Ας δείξουμε ότι θα είναι περιοδικό. Πράγματι, κατά τη διαίρεση Μεπί nτα υπολείμματα θα είναι μικρότερα n,εκείνοι. αριθμοί της μορφής 1, 2, ..., ( n- 1), που δείχνει ότι ο αριθμός των διαφορετικών υπολειμμάτων είναι πεπερασμένος και επομένως, ξεκινώντας από ένα ορισμένο βήμα, θα επαναληφθεί κάποιο υπόλειμμα, το οποίο θα συνεπάγεται την επανάληψη των δεκαδικών ψηφίων του πηλίκου και το άπειρο δεκαδικό κλάσμα γίνεται περιοδικό.

Υπάρχουν δύο ακόμη θεωρήματα.

Θεώρημα 2.Εάν η επέκταση του παρονομαστή ενός μη αναγώγιμου κλάσματος σε πρώτους παράγοντες δεν περιλαμβάνει τους αριθμούς 2 και 5, τότε όταν αυτό το κλάσμα μετατραπεί σε άπειρο δεκαδικό κλάσμα, θα προκύψει ένα καθαρό περιοδικό κλάσμα, δηλ. Ένα κλάσμα του οποίου η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή.

Θεώρημα 3.Εάν η επέκταση του παρονομαστή περιλαμβάνει παράγοντες 2 (ή 5) ή και τους δύο, τότε το άπειρο περιοδικό κλάσμα θα αναμειχθεί, δηλ. μεταξύ του κόμματος και της αρχής της περιόδου θα υπάρχουν πολλά ψηφία (προ-περίοδος), δηλαδή τόσα όσα ο μεγαλύτερος από τους εκθέτες των παραγόντων 2 και 5.

Τα θεωρήματα 2 και 3 καλούνται να αποδείξουν μόνα τους στον αναγνώστη.

28. Τρόποι μετάβασης από άπειρο περιοδικό
δεκαδικά κλάσματα σε κοινά κλάσματα

Έστω ένα περιοδικό κλάσμα ΕΝΑ= 0, (4), δηλ. 0,4444... .

Ας πολλαπλασιαζόμαστε ΕΝΑστις 10, παίρνουμε

10ΕΝΑ= 4.444…4…Þ 10 ΕΝΑ = 4 + 0,444….

Εκείνοι. 10 ΕΝΑ = 4 + ΕΝΑ, πήραμε την εξίσωση για ΕΝΑ, λύνοντάς το, παίρνουμε: 9 ΕΝΑ= 4 Þ ΕΝΑ = .

Σημειώστε ότι το 4 είναι και ο αριθμητής του κλάσματος που προκύπτει και η περίοδος του κλάσματος 0,(4).

κανόναςη μετατροπή σε ένα συνηθισμένο κλάσμα ενός καθαρού περιοδικού κλάσματος διατυπώνεται ως εξής: ο αριθμητής του κλάσματος είναι ίσος με την περίοδο και ο παρονομαστής αποτελείται από έναν τέτοιο αριθμό εννέα που υπάρχουν ψηφία στην περίοδο του κλάσματος.

Ας αποδείξουμε τώρα αυτόν τον κανόνα για ένα κλάσμα του οποίου η περίοδος αποτελείται από Π

ΕΝΑ= . Ας πολλαπλασιαζόμαστε ΕΝΑστις 10 n, παίρνουμε:

10n × ΕΝΑ = = + 0, ;

10n × ΕΝΑ = + ένα;

(10n – 1) ΕΝΑ = Þ α == .

Έτσι, ο προηγουμένως διατυπωμένος κανόνας αποδεικνύεται για οποιοδήποτε καθαρό περιοδικό κλάσμα.

Ας δοθεί τώρα ένα κλάσμα ΕΝΑ= 0,605(43) - μικτή περιοδική. Ας πολλαπλασιαζόμαστε ΕΝΑκατά 10 με έναν τέτοιο δείκτη όπως πόσα ψηφία είναι στην προ-περίοδο, δηλ. με 10 3 , παίρνουμε

10 3 × ΕΝΑ= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × ΕΝΑ = 605 + = 605 + = = ,

εκείνοι. 10 3 × ΕΝΑ= .

κανόναςη μετατροπή σε ένα συνηθισμένο κλάσμα ενός μικτού περιοδικού κλάσματος διατυπώνεται ως εξής: ο αριθμητής του κλάσματος είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ του αριθμού που γράφτηκε με ψηφία πριν από την έναρξη της δεύτερης περιόδου και του αριθμού που γράφτηκε με ψηφία πριν από την αρχή της πρώτης περίοδος, ο παρονομαστής αποτελείται από έναν αριθμό εννέα που υπάρχουν ψηφία στην περίοδο και από τέτοιο αριθμό μηδενικών πόσα ψηφία είναι πριν από την έναρξη της πρώτης περιόδου.

Ας αποδείξουμε τώρα αυτόν τον κανόνα για ένα κλάσμα του οποίου η προπερίοδος αποτελείται από Πψηφία και μια περίοδος Προς τηνψηφία. Έστω ένα περιοδικό κλάσμα

Δείχνω V= ; r= ,

Με= ; Επειτα Με=σε × 10k + r.

Ας πολλαπλασιαζόμαστε ΕΝΑκατά 10 με τέτοιο εκθέτη πόσα ψηφία είναι στην προ-περίοδο, δηλ. στις 10 n, παίρνουμε:

ΕΝΑ× 10 n = + .

Λαμβάνοντας υπόψη τη σημείωση που εισήχθη παραπάνω, γράφουμε:

α× 10n= V+ .

Έτσι, ο κανόνας που διατυπώθηκε παραπάνω αποδεικνύεται για οποιοδήποτε μικτό περιοδικό κλάσμα.

Οποιοδήποτε άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα είναι μια μορφή γραφής κάποιου ρητού αριθμού.

Για λόγους ομοιομορφίας, μερικές φορές ένα πεπερασμένο δεκαδικό θεωρείται επίσης άπειρο περιοδικό δεκαδικό με περίοδο «μηδέν». Για παράδειγμα, 0,27 = 0,27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3.000... .

Τώρα η ακόλουθη πρόταση γίνεται αληθής: οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να εκφραστεί (και, επιπλέον, με μοναδικό τρόπο) με ένα άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα, και κάθε άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα εκφράζει ακριβώς έναν ορθολογικό αριθμό (περιοδικά δεκαδικά κλάσματα με περίοδο 9 δεν λαμβάνονται υπόψη).