Εφαρμογή μείωσης κλασμάτων 23. Αναγωγή κλασμάτων: κανόνες και παραδείγματα

ΣΤΟ τελευταία φοράέχουμε φτιάξει ένα σχέδιο, ακολουθώντας το οποίο μπορείτε να μάθετε πώς να μειώνετε γρήγορα τα κλάσματα. Τώρα σκεφτείτε συγκεκριμένα παραδείγματασυντομογραφίες κλασμάτων.

Παραδείγματα.

Ελέγχουμε αν ένας μεγαλύτερος αριθμός διαιρείται με έναν μικρότερο (αριθμητής με παρονομαστή ή παρονομαστής με αριθμητή); Ναι, και στα τρία αυτά παραδείγματα, ο μεγαλύτερος αριθμός διαιρείται με τον μικρότερο. Έτσι, μειώνουμε κάθε κλάσμα με τον μικρότερο από τους αριθμούς (με αριθμητή ή παρονομαστή). Εχουμε:

Ελέγξτε αν ο μεγαλύτερος αριθμός διαιρείται με τον μικρότερο; Όχι, δεν μοιράζεται.

Στη συνέχεια προχωράμε στον έλεγχο του επόμενου σημείου: η εγγραφή τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή τελειώνει με ένα, δύο ή περισσότερα μηδενικά; Στο πρώτο παράδειγμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής τελειώνουν με μηδέν, στο δεύτερο - με δύο μηδενικά, στο τρίτο - με τρία μηδενικά. Έτσι, μειώνουμε το πρώτο κλάσμα κατά 10, το δεύτερο κατά 100 και το τρίτο κατά 1000:

Λάβετε μη αναγώγιμα κλάσματα.

Ένας μεγαλύτερος αριθμός δεν διαιρείται με έναν μικρότερο, η εγγραφή των αριθμών δεν τελειώνει με μηδενικά.

Τώρα ελέγχουμε αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής βρίσκονται στην ίδια στήλη στον πίνακα πολλαπλασιασμού; Το 36 και το 81 διαιρούνται και τα δύο με το 9, το 28 και το 63 - με το 7, και το 32 και το 40 - με το 8 (διαιρούνται επίσης με το 4, αλλά αν υπάρχει επιλογή, πάντα θα μειώνουμε με περισσότερο). Έτσι, φτάνουμε στις απαντήσεις:

Όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν είναι μη αναγώγιμα κλάσματα.

Ένας μεγαλύτερος αριθμός δεν διαιρείται με έναν μικρότερο. Αλλά η εγγραφή τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή τελειώνει στο μηδέν. Έτσι, μειώνουμε το κλάσμα κατά 10:

Αυτό το κλάσμα μπορεί ακόμα να μειωθεί. Ελέγχουμε σύμφωνα με τον πίνακα πολλαπλασιασμού: και το 48 και το 72 διαιρούνται με το 8. Μειώνουμε το κλάσμα κατά 8:

Μπορούμε επίσης να μειώσουμε το κλάσμα που προκύπτει κατά 3:

Αυτό το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο.

Ο μεγαλύτερος αριθμός δεν διαιρείται με τον μικρότερο. Η εγγραφή του αριθμητή και του παρονομαστή τελειώνει στο μηδέν, οπότε μειώνουμε το κλάσμα κατά 10.

Ελέγχουμε τους αριθμούς που λαμβάνονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή για και . Εφόσον το άθροισμα των ψηφίων και του 27 και του 531 διαιρείται με το 3 και το 9, αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί τόσο κατά 3 όσο και κατά 9. Επιλέγουμε το μεγαλύτερο και μειώνουμε κατά 9. Το αποτέλεσμα είναι ένα μη αναγώγιμο κλάσμα.

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση, θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται με το 4, δηλ. παραμένει το υπόλοιπο της διαίρεσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός ο αριθμός είναι 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, που δεν είναι στη συνήθη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Όταν δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο. χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Μπορείτε να ελέγξετε κατά τη διαίρεση πολλαπλασιάζοντας. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a \u003d b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο διαίρεσης των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Οι παρακάτω κανόνες είναι σωστοί:

Για να πάρετε ένα κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα με το n ίσα μέρη(μετοχές) και πάρε μ τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο με το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μείωση του κλάσματος.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε μια τέτοια ενέργεια ονομάζεται μείωση των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή .

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. μικτούς αριθμούς

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4) \) σημαίνει τα τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης ενότητας, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να δηλώσουν μέρος ενός συνόλου. ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗπροτείνει ότι το μέρος πρέπει πάντα να είναι μικρότερο από το σύνολο, αλλά τότε τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5) \) ή \(\frac(8)(5) \); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς ονομάζονται τέτοια κλάσματα, στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή. ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή κλάσματα των οποίων ο αριθμητής μικρότερο από τον παρονομαστή, που ονομάζεται κατάλληλα κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε κοινό κλάσμαΤο , τόσο σωστό όσο και λάθος, μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος «ακατάλληλο κλάσμα» δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι αυτό το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο ή ίσο με τον παρονομαστή.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει και όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο με την πρώτη ματιά να προσδιορίσουμε εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Πρόσθεση κλασμάτων.

Με τους κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Εύκολη προσθήκη κλασμάτων ίδιοι παρονομαστές. Βρείτε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7) \) και \(\frac(3)(7) \). Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Αν θέλετε να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, τότε πρέπει πρώτα να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι εγγραφές όπως \(2\frac(2)(3) \) καλούνται μικτά κλάσματα. Ο αριθμός 2 ονομάζεται ολόκληρο μέρος μικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3) \) είναι του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3) \) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Η διαίρεση του αριθμού 8 με τον αριθμό 3 δίνει δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3) \) και \(2\frac(2)(3) \). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3) \) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3) \). Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι ακατάλληλο κλάσμα ξεχώρισε το σύνολο.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Αφαίρεση κλασματικοί αριθμοί, όπως και τα φυσικά, προσδιορίζεται με βάση την πράξη της πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσουμε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Πάρτε το κλάσμα \(\frac(2)(3) \) και «αναποδογυρίστε» το ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2) \). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3) \).

Αν τώρα «αντιστρέφουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2) \), τότε παίρνουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3) \). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3) \) και \(\frac(3)(2) \) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7) \).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, η διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να μειωθεί σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Αν το μέρισμα ή ο διαιρέτης είναι φυσικός αριθμόςή μικτό κλάσμα, τότε, για να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας για τη διαίρεση των κλασμάτων, πρέπει πρώτα να αναπαρασταθεί ως ακατάλληλο κλάσμα.

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς πώς μείωση του κλάσματος. Αρχικά, ας μιλήσουμε για αυτό που ονομάζεται μείωση κλασμάτων. Μετά από αυτό, ας μιλήσουμε για τη μείωση ενός αναγώγιμου κλάσματος σε μια μη αναγώγιμη μορφή. Στη συνέχεια, παίρνουμε τον κανόνα για τη μείωση των κλασμάτων και, τέλος, εξετάζουμε παραδείγματα εφαρμογής αυτού του κανόνα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος;

Γνωρίζουμε ότι τα συνηθισμένα κλάσματα υποδιαιρούνται σε αναγώγιμα και μη αναγώγιμα κλάσματα. Από τα ονόματα, μπορείτε να μαντέψετε ότι τα αναγώγιμα κλάσματα μπορούν να μειωθούν, αλλά τα μη αναγώγιμα όχι.

Τι σημαίνει μείωση ενός κλάσματος; Μειώστε το κλάσμα- αυτό σημαίνει διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του με το θετικό και το μη ένα. Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα της αναγωγής του κλάσματος, λαμβάνεται ένα νέο κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή και, λόγω της κύριας ιδιότητας του κλάσματος, το κλάσμα που προκύπτει είναι ίσο με το αρχικό.

Για παράδειγμα, ας μειώσουμε το κοινό κλάσμα 8/24 διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με το 2. Με άλλα λόγια, ας μειώσουμε το κλάσμα 8/24 κατά 2. Αφού 8:2=4 και 24:2=12, ως αποτέλεσμα αυτής της αναγωγής, προκύπτει το κλάσμα 4/12, το οποίο είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα 8/24 (βλ. ίσα και άνισα κλάσματα). Ως αποτέλεσμα, έχουμε .

Αναγωγή συνηθισμένων κλασμάτων σε μη αναγώγιμη μορφή

Συνήθως, ο τελικός στόχος της αναγωγής του κλάσματος είναι να ληφθεί ένα μη αναγώγιμο κλάσμα που να είναι ίσο με το αρχικό αναγώγιμο κλάσμα. Αυτός ο στόχος μπορεί να επιτευχθεί με τη μείωση του αρχικού μειωμένου κλάσματος με τον αριθμητή και τον παρονομαστή του. Αυτή η μείωση οδηγεί πάντα σε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα. Πράγματι, κλάσμα είναι μη αναγώγιμη, αφού είναι γνωστό ότι και - . Εδώ λέμε ότι το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςαριθμητής και παρονομαστής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος αριθμός, με την οποία μπορεί να μειωθεί αυτό το κλάσμα.

Ετσι, αναγωγή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφήσυνίσταται στη διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή του αρχικού μειωμένου κλάσματος με το GCD τους.

Ας αναλύσουμε ένα παράδειγμα, για το οποίο επιστρέφουμε στο κλάσμα 8/24 και το μειώνουμε με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 8 και 24, που ισούται με 8. Αφού 8:8=1 και 24:8=3, φτάνουμε στο μη αναγώγιμο κλάσμα 1/3. Ετσι, .

Σημειώστε ότι η φράση "μείωση του κλάσματος" συχνά σημαίνει μείωση του αρχικού κλάσματος σε μη αναγώγιμη μορφή. Με άλλα λόγια, η μείωση του κλάσματος αναφέρεται πολύ συχνά ως διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους (και όχι με κανέναν από τους κοινούς διαιρέτες τους).

Πώς να μειώσετε ένα κλάσμα; Κανόνας και παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων

Απομένει μόνο να αναλυθεί ο κανόνας για τη μείωση των κλασμάτων, ο οποίος εξηγεί πώς γίνεται η μείωση δεδομένο κλάσμα.

Κανόνας μείωσης κλασμάτωναποτελείται από δύο βήματα:

Πρώτον, βρίσκεται το GCD του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος.
δεύτερον, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρούνται με το GCD τους, το οποίο δίνει ένα μη αναγώγιμο κλάσμα ίσο με το αρχικό.

Ας αναλύσουμε Παράδειγμα μείωσης κλασμάτωνσύμφωνα με τον δεδομένο κανόνα.

Παράδειγμα.

Μείωσε το κλάσμα 182/195.

Λύση.

Ας κάνουμε και τα δύο βήματα που ορίζονται από τον κανόνα μείωσης κλασμάτων.

Πρώτα βρίσκουμε το gcd(182, 195) . Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (βλ.): 195=182 1+13 , 182=13 14 , δηλαδή gcd(182, 195)=13 .

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος 182/195 με το 13, ενώ παίρνουμε το μη αναγώγιμο κλάσμα 14/15, το οποίο είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα. Αυτό ολοκληρώνει τη μείωση του κλάσματος.

Εν συντομία, η λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Σε αυτό, με τη μείωση των κλασμάτων, μπορείτε να ολοκληρώσετε. Αλλά για να συμπληρώσετε την εικόνα, εξετάστε δύο ακόμη τρόπους μείωσης των κλασμάτων, που συνήθως χρησιμοποιούνται σε ήπιες περιπτώσεις.

Μερικές φορές ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός μειωμένου κλάσματος είναι εύκολος. Η μείωση του κλάσματος σε αυτή την περίπτωση είναι πολύ απλή: απλά πρέπει να αφαιρέσετε όλους τους κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η μέθοδος προκύπτει άμεσα από τον κανόνα της μείωσης του κλάσματος, αφού το γινόμενο όλων των κοινών πρώτων παραγόντων του αριθμητή και του παρονομαστή είναι ίσο με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Μειώστε το κλάσμα 360/2940.

Λύση.

Ας αναλύσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε πρωταρχικούς παράγοντες: 360=2 2 2 3 3 5 και 2 940=2 2 3 5 7 7 . Με αυτόν τον τρόπο, .

Τώρα απαλλαγούμε από τους κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή, για ευκολία, απλώς τους διαγράφουμε: .

Τέλος, πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές: , και ολοκληρώνεται η αναγωγή του κλάσματος.

Εδώ σύντομη είσοδοςλύσεις: .

Απάντηση:

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο μείωσης ενός κλάσματος, ο οποίος συνίσταται στη διαδοχική αναγωγή. Εδώ, σε κάθε βήμα, το κλάσμα μειώνεται από κάποιον κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος είναι είτε προφανής είτε εύκολα προσδιοριζόμενος χρησιμοποιώντας

Όταν εργάζονται με κλάσματα, πολλοί μαθητές κάνουν τα ίδια λάθη. Και όλα αυτά γιατί ξεχνούν στοιχειώδεις κανόνες αριθμητική. Σήμερα θα επαναλάβουμε αυτούς τους κανόνες σε συγκεκριμένες εργασίες που δίνω στις τάξεις μου.

Εδώ είναι μια εργασία που προσφέρω σε όλους όσους προετοιμάζονται για τις εξετάσεις στα μαθηματικά:

Μια εργασία. Λιμενική φώκαινατρώει 150 γραμμάρια τροφής την ημέρα. Όμως μεγάλωσε και άρχισε να τρώει 20% περισσότερο. Πόσα γραμμάρια τροφής τρώει τώρα το γουρούνι;

Δεν η σωστή απόφαση. Αυτό είναι ένα ποσοστό πρόβλημα που καταλήγει στην εξίσωση:

Πολλοί (πολύ πολλοί) μειώνουν τον αριθμό 100 στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος:

Αυτό είναι το λάθος που έκανε ο μαθητής μου την ημέρα που έγραψε αυτό το άρθρο. Οι αριθμοί που έχουν μειωθεί σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Περιττό να πούμε ότι η απάντηση είναι λάθος. Κρίνετε μόνοι σας: το γουρούνι έφαγε 150 γραμμάρια και άρχισε να τρώει 3150 γραμμάρια. Αύξηση όχι κατά 20%, αλλά κατά 21 φορές, δηλ. κατά 2000%.

Για να αποφύγετε τέτοιες παρεξηγήσεις, θυμηθείτε τον βασικό κανόνα:

Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές. Οι όροι δεν μπορούν να μειωθούν!

Έτσι, η σωστή λύση στο προηγούμενο πρόβλημα μοιάζει με αυτό:

Το κόκκινο σηματοδοτεί τους αριθμούς που μειώνονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμητής είναι το γινόμενο, ο παρονομαστής είναι συνηθισμένος αριθμός. Επομένως, η μείωση είναι απολύτως νόμιμη.

Εργασία με αναλογίες

Άλλος ένας προβληματικός τομέας αναλογίες. Ειδικά όταν η μεταβλητή βρίσκεται και στις δύο πλευρές. Για παράδειγμα:

Μια εργασία. Λύστε την εξίσωση:

Λάθος απόφαση - κάποιοι κυριολεκτικά φαγούρα για να κόψουν τα πάντα κατά m :

Οι μειωμένες μεταβλητές εμφανίζονται με κόκκινο χρώμα. Αποδεικνύεται ότι η έκφραση 1/4 = 1/5 είναι πλήρης ανοησία, αυτοί οι αριθμοί δεν είναι ποτέ ίσοι.

Και τώρα - η σωστή απόφαση. Ουσιαστικά, αυτό είναι κοινό γραμμική εξίσωση . Επιλύεται είτε μεταφέροντας όλα τα στοιχεία στη μία πλευρά είτε με την κύρια ιδιότητα της αναλογίας:

Πολλοί αναγνώστες θα αντιταχθούν: "Πού είναι το σφάλμα στην πρώτη λύση;" Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. Ας θυμηθούμε τον κανόνα της εργασίας με εξισώσεις:

Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να διαιρεθεί και να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αριθμό, μη μηδενικό.

Έκοψες τσιπάκι; Μπορεί να διαιρεθεί μόνο με αριθμούς διαφορετικό από το μηδέν. Συγκεκριμένα, μπορείτε να διαιρέσετε με τη μεταβλητή m μόνο αν m != 0. Τι γίνεται όμως αν m = 0 τελικά; Αντικαταστήστε και ελέγξτε:

Πήραμε τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. m = 0 είναι η ρίζα της εξίσωσης. Για το υπόλοιπο m != 0, λαμβάνουμε μια έκφραση της μορφής 1/4 = 1/5, η οποία, φυσικά, δεν είναι αληθής. Έτσι, δεν υπάρχουν μη μηδενικές ρίζες.

Συμπεράσματα: συνδυάζοντας τα όλα μαζί

Λοιπόν, για να λυθεί κλασματικές ορθολογικές εξισώσειςθυμηθείτε τρεις κανόνες:

Μπορείτε μόνο να μειώσετε τους πολλαπλασιαστές. Ενώσεις - δεν μπορείτε. Επομένως, μάθετε να παραγοντοποιείτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας: προϊόν ακραία στοιχείαίσο με το γινόμενο των μέσων όρων·
Οι εξισώσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν μόνο με μη μηδενικούς αριθμούς k. Η περίπτωση k = 0 πρέπει να ελεγχθεί χωριστά.

Θυμηθείτε αυτούς τους κανόνες και μην κάνετε λάθη.

Διαίρεσηκαι ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πάνω τους κοινός διαιρέτης, που είναι διαφορετικό από την ενότητα, λέγεται μείωση του κλάσματος.

Για να μειώσετε ένα κοινό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.

Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος.

Τα ακόλουθα είναι πιθανά έντυπα αρχείου αποφάσεωνΠαραδείγματα αναγωγής συνηθισμένων κλασμάτων.

Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να επιλέξει οποιαδήποτε μορφή ηχογράφησης.

Παραδείγματα. Απλοποιήστε τα κλάσματα.

Μειώστε το κλάσμα κατά 3 (διαιρέστε τον αριθμητή με 3.

διαιρέστε τον παρονομαστή με το 3).

Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7.

Εκτελούμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος.

Το κλάσμα που προκύπτει μειώνεται κατά 5.

Ας μειώσουμε αυτό το κλάσμα 4) στο 5 7³- ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD) του αριθμητή και του παρονομαστή, ο οποίος αποτελείται από τους κοινούς συντελεστές του αριθμητή και του παρονομαστή που λαμβάνονται στη δύναμη με τον μικρότερο εκθέτη.

Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος σε απλούς παράγοντες.

Παίρνουμε: 756=2² 3³ 7και 1176=2³ 3 7².

Προσδιορίστε το GCD (μέγιστο κοινό διαιρέτη) του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος 5) .

Αυτό είναι το προϊόν των κοινών παραγόντων που λαμβάνονται με τους μικρότερους εκθέτες.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το GCD τους, δηλ. 2² 3 7παίρνουμε ένα μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .

Και ήταν δυνατό να γραφτούν οι επεκτάσεις του αριθμητή και του παρονομαστή ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, χωρίς να χρησιμοποιηθεί η έννοια του βαθμού, και στη συνέχεια να μειωθεί το κλάσμα διαγράφοντας τους ίδιους παράγοντες στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Πότε ίδιοι πολλαπλασιαστέςδεν θα παραμείνει - πολλαπλασιάζουμε τους υπόλοιπους παράγοντες χωριστά στον αριθμητή και χωριστά στον παρονομαστή και γράφουμε το κλάσμα που προκύπτει 9/14 .

Και τέλος, ήταν δυνατό να μειωθεί αυτό το κλάσμα 5) σταδιακά, εφαρμόζοντας τα σημάδια της διαίρεσης των αριθμών τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος. Σκεφτείτε ως εξής: αριθμοί 756 και 1176 τελειώνουν σε ζυγό αριθμό, άρα και τα δύο διαιρούνται με 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του νέου κλάσματος είναι αριθμοί 378 και 588 επίσης χωρίζεται σε 2 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 2 . Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 294 - ακόμη, και 189 είναι περίεργο και η μείωση κατά 2 δεν είναι πλέον δυνατή. Ας ελέγξουμε το πρόσημο της διαιρετότητας των αριθμών 189 και 294 στο 3 .

Το (1+8+9)=18 διαιρείται με το 3 και το (2+9+4)=15 διαιρείται με το 3, εξ ου και οι ίδιοι οι αριθμοί 189 και 294 χωρίζονται σε 3 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 3 . Περαιτέρω, 63 διαιρείται με το 3 και 98 - Οχι. Επανάληψη έναντι άλλων πρωταρχικών παραγόντων. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται με 7 . Μειώνουμε το κλάσμα κατά 7 και πάρτε το μη αναγώγιμο κλάσμα 9/14 .