Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με αριθμομηχανή πρόσθεσης. Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με πρόσθεση

Με τη μέθοδο της πρόσθεσης, οι εξισώσεις του συστήματος προστίθενται κάθε φορά, ενώ 1 ή και οι δύο (πολλές) εξισώσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν με οποιονδήποτε αριθμό. Ως αποτέλεσμα, καταλήγουν σε ένα ισοδύναμο SLE , όπου μία από τις εξισώσεις έχει μόνο μία μεταβλητή.

Για να λύσουμε το σύστημα όρος προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση)ακολουθήστε τα επόμενα βήματα:

1. Επιλέγουμε μια μεταβλητή για την οποία θα γίνουν οι ίδιοι συντελεστές.

2. Τώρα πρέπει να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε τις εξισώσεις και να πάρετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή.

Λύση συστήματοςείναι τα σημεία τομής των γραφημάτων της συνάρτησης.

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Δεδομένο σύστημα:

Αφού αναλύσετε αυτό το σύστημα, μπορείτε να δείτε ότι οι συντελεστές της μεταβλητής είναι ίσοι σε απόλυτη τιμή και διαφορετικοί στο πρόσημο (-1 και 1). Σε αυτήν την περίπτωση, οι εξισώσεις μπορούν εύκολα να προστεθούν ανά όρο:

Οι ενέργειες που κυκλώνονται με κόκκινο εκτελούνται στο μυαλό.

Το αποτέλεσμα της προσθήκης κατά τον όρο ήταν η εξαφάνιση της μεταβλητής y. Είναι σε αυτό και Αυτό, στην πραγματικότητα, είναι το νόημα της μεθόδου - να απαλλαγούμε από την πρώτη από τις μεταβλητές.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Ως σύστημα, η λύση μοιάζει με αυτό:

Απάντηση: Χ = -4 , y = 1.

Παράδειγμα 2

Δεδομένο σύστημα:

Σε αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο "σχολείο", αλλά έχει ένα αρκετά μεγάλο μείον - όταν εκφράζετε οποιαδήποτε μεταβλητή από οποιαδήποτε εξίσωση, θα λάβετε μια λύση σε συνηθισμένα κλάσματα. Και η επίλυση κλασμάτων απαιτεί αρκετό χρόνο και η πιθανότητα να γίνουν λάθη αυξάνεται.

Ως εκ τούτου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε πρόσθεση (αφαίρεση) εξισώσεων κατά όρο. Ας αναλύσουμε τους συντελεστές των αντίστοιχων μεταβλητών:

Βρείτε έναν αριθμό που μπορεί να διαιρεθεί με 3 και επάνω 4 , ενώ είναι απαραίτητο ο αριθμός αυτός να είναι όσο το δυνατόν μικρότερος. το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Εάν σας είναι δύσκολο να βρείτε τον σωστό αριθμό, τότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους συντελεστές:.

Το επόμενο βήμα:

Πολλαπλασιάστε την 1η εξίσωση με,

Πολλαπλασιάστε την 3η εξίσωση με,

Πολύ συχνά, οι μαθητές δυσκολεύονται να επιλέξουν μια μέθοδο για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε έναν από τους τρόπους επίλυσης συστημάτων - τη μέθοδο αντικατάστασης.

Αν βρεθεί κοινή απόφασηδύο εξισώσεις, τότε λέμε ότι αυτές οι εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα. Σε ένα σύστημα εξισώσεων, κάθε άγνωστος αντιπροσωπεύει τον ίδιο αριθμό σε όλες τις εξισώσεις. Για να δείξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις σχηματίζουν ένα σύστημα, συνήθως γράφονται η μία κάτω από την άλλη και συνδυάζονται με μια σγουρή αγκύλη, για παράδειγμα

Σημειώνουμε ότι για x = 15, και y = 5, και οι δύο εξισώσεις του συστήματος είναι σωστές. Αυτό το ζεύγος αριθμών είναι η λύση στο σύστημα των εξισώσεων. Κάθε ζεύγος άγνωστων τιμών που ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις του συστήματος ονομάζεται λύση του συστήματος.

Ένα σύστημα μπορεί να έχει μία λύση (όπως στο παράδειγμά μας), άπειρες λύσεις και καμία λύση.

Πώς να λύσετε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης; Αν οι συντελεστές για κάποιο άγνωστο και στις δύο εξισώσεις είναι ίσοι σε απόλυτη τιμή(αν δεν είναι ίσα, τότε εξισώνουμε), τότε προσθέτοντας και τις δύο εξισώσεις (ή αφαιρώντας τη μία από την άλλη), μπορείτε να πάρετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Τότε λύνουμε αυτή την εξίσωση. Ορίζουμε ένα άγνωστο. Αντικαθιστούμε την λαμβανόμενη τιμή του αγνώστου σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος (στην πρώτη ή στη δεύτερη). Βρίσκουμε ένα άλλο άγνωστο. Ας δούμε παραδείγματα εφαρμογής αυτής της μεθόδου.

Παράδειγμα 1Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων

Εδώ οι συντελεστές για y κατά απόλυτη τιμήείναι ίσα αλλά αντίθετα σε πρόσημο. Ας προσπαθήσουμε όρο προς όρο να προσθέσουμε τις εξισώσεις του συστήματος.

Την τιμή που προκύπτει x \u003d 4, αντικαθιστούμε σε κάποια εξίσωση του συστήματος (για παράδειγμα, στην πρώτη) και βρίσκουμε την τιμή του y:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

Το σύστημά μας έχει λύση x = 4, y = 3. Ή η απάντηση μπορεί να γραφτεί σε παρένθεση, ως συντεταγμένες ενός σημείου, στην πρώτη θέση x, στη δεύτερη y.

Απάντηση: (4; 3)

Παράδειγμα 2. Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων

Εξισώνουμε τους συντελεστές για τη μεταβλητή x, για αυτό πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 3 και τη δεύτερη με (-2), παίρνουμε

Να είστε προσεκτικοί κατά την προσθήκη εξισώσεων

Τότε y \u003d - 2. Αντικαθιστούμε τον αριθμό (-2) αντί για y στην πρώτη εξίσωση, παίρνουμε

4x + 3 (-2) \u003d - 4. Λύνουμε αυτήν την εξίσωση 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.

Απάντηση: (1/2; - 2)

Παράδειγμα 3Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με (-2)

Επίλυση του συστήματος

παίρνουμε 0 = - 13.

Δεν υπάρχει σύστημα λύσης, αφού το 0 δεν ισούται με (-13).

Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.

Παράδειγμα 4Επίλυση Συστήματος Εξισώσεων

Σημειώστε ότι όλοι οι συντελεστές της δεύτερης εξίσωσης διαιρούνται με το 3,

ας διαιρέσουμε τη δεύτερη εξίσωση με το τρία και παίρνουμε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο ίδιες εξισώσεις.

Αυτό το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση είναι ίδιες (πήραμε μόνο μια εξίσωση με δύο μεταβλητές). Πώς παρουσιάζεται η λύση αυτού του συστήματος; Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή y από την εξίσωση x + y = 5. Παίρνουμε y = 5 - x.

Επειτα απάντησηθα γραφτεί ως εξής: (x; 5-x), x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Εξετάσαμε τη λύση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης. Εάν έχετε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, εγγραφείτε για ένα μάθημα και θα διορθώσουμε όλα τα προβλήματα μαζί σας.

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

OGBOU «Κέντρο Εκπαίδευσης Παιδιών με Ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκεςΣμολένσκ

Κέντρο εκπαίδευση εξ αποστάσεως

Μάθημα Άλγεβρας στην 7η τάξη

Θέμα μαθήματος: Μέθοδος αλγεβρική προσθήκη.

1. 1. Είδος μαθήματος: Μάθημα πρωτογενούς παρουσίασης νέων γνώσεων.

Σκοπός του μαθήματος: έλεγχος του επιπέδου αφομοίωσης γνώσεων και δεξιοτήτων στην επίλυση συστημάτων εξισώσεων με αντικατάσταση. σχηματισμός δεξιοτήτων και ικανοτήτων επίλυσης συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης.

Στόχοι μαθήματος:

Θέμα: μάθουν να λύνουν συστήματα εξισώσεων με δύο μεταβλητή μέθοδοςπρόσθεση.

Μεταθέμα: Γνωστική UUD: αναλύστε (επισημάνετε το κύριο πράγμα), ορίστε έννοιες, γενικεύστε, εξάγετε συμπεράσματα. Ρυθμιστικό UUD: ορίστε τον στόχο, το πρόβλημα μέσα μαθησιακές δραστηριότητες. Επικοινωνιακό UUD: πείτε τη γνώμη σας, υποστηρίζοντάς την. Προσωπική UUD: στσχηματίζουν ένα θετικό κίνητρο για μάθηση, δημιουργούν ένα θετικό συναισθηματική στάσημαθητής στο μάθημα και το θέμα.

Μορφή εργασίας: ατομική

Βήματα μαθήματος:

1) Οργανωτικό στάδιο.

να οργανώσει την εργασία του μαθητή πάνω στο θέμα μέσα από τη δημιουργία στάσης απέναντι στην ακεραιότητα σκέψης και κατανόησης αυτού του θέματος.

2. Ερώτηση του μαθητή για την ύλη που δίνεται στο σπίτι, ενημέρωση γνώσεων.

Σκοπός: να ελέγξει τις γνώσεις του μαθητή που απέκτησε κατά την υλοποίηση εργασία για το σπίτι, εντοπίστε λάθη, δουλέψτε για σφάλματα. Δείτε το υλικό από το προηγούμενο μάθημα.

3. Εκμάθηση νέου υλικού.

ένας). αναπτύξουν την ικανότητα επίλυσης συστημάτων γραμμικές εξισώσειςμέθοδος προσθήκης?

2). ανάπτυξη και βελτίωση της υπάρχουσας γνώσης σε νέες καταστάσεις·

3). εκπαιδεύουν τις δεξιότητες ελέγχου και αυτοελέγχου, αναπτύσσουν την ανεξαρτησία.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Σκοπός: διατήρηση της όρασης, απομάκρυνση της κούρασης από τα μάτια κατά την εργασία στο μάθημα.

5. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης

Σκοπός: να δοκιμαστούν οι γνώσεις, οι δεξιότητες και οι ικανότητες που αποκτήθηκαν στο μάθημα

6. Περίληψη του μαθήματος, πληροφορίες για εργασία για το σπίτι, αντανάκλαση.

Πρόοδος μαθήματος (εργασία σε ηλεκτρονικό έγγραφο Google):

1. Σήμερα ήθελα να ξεκινήσω το μάθημα με τον φιλοσοφικό γρίφο του Walter.

Ποιο είναι το πιο γρήγορο, αλλά και το πιο αργό, το μεγαλύτερο, αλλά και το πιο μικρό, το πιο μακρύ και το πιο κοντό, το πιο ακριβό, αλλά και φτηνά αποτιμημένο από εμάς;

χρόνος

Ας θυμηθούμε τις βασικές έννοιες για το θέμα:

Έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων.

Ας θυμηθούμε πώς λύσαμε τα συστήματα εξισώσεων στο τελευταίο μάθημα.

Μέθοδος αντικατάστασης

Για άλλη μια φορά δώστε προσοχή στο λυμένο σύστημα και πείτε μου γιατί δεν μπορούμε να λύσουμε κάθε εξίσωση του συστήματος χωρίς να καταφύγουμε στη μέθοδο αντικατάστασης;

Γιατί αυτές είναι οι εξισώσεις ενός συστήματος με δύο μεταβλητές. Μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή.

Μόνο λαμβάνοντας μια εξίσωση με μία μεταβλητή καταφέραμε να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων.

3. Προχωράμε στην επίλυση του παρακάτω συστήματος:

Επιλέγουμε μια εξίσωση στην οποία είναι βολικό να εκφράσουμε μια μεταβλητή ως προς μια άλλη.

Δεν υπάρχει τέτοια εξίσωση.

Εκείνοι. σε αυτήν την περίπτωση, η μέθοδος που μελετήθηκε προηγουμένως δεν μας ταιριάζει. Ποια είναι η διέξοδος από αυτή την κατάσταση;

Βρείτε μια νέα μέθοδο.

Ας προσπαθήσουμε να διατυπώσουμε το σκοπό του μαθήματος.

Μάθετε να επιλύετε συστήματα με νέο τρόπο.

Τι πρέπει να κάνουμε για να μάθουμε πώς να λύνουμε συστήματα με μια νέα μέθοδο;

γνωρίζουν τους κανόνες (αλγόριθμο) για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων, εκτελούν πρακτικές εργασίες

Ας αρχίσουμε να αντλούμε μια νέα μέθοδο.

Δώστε προσοχή στο συμπέρασμα που καταλήξαμε μετά την επίλυση του πρώτου συστήματος. Καταφέραμε να λύσουμε το σύστημα μόνο αφού πήραμε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή.

Κοιτάξτε το σύστημα των εξισώσεων και σκεφτείτε πώς να πάρετε μια εξίσωση με μία μεταβλητή από τις δύο δεδομένες εξισώσεις.

Προσθέστε εξισώσεις.

Τι σημαίνει να προσθέτουμε εξισώσεις;

Ξεχωριστά, κάντε το άθροισμα των αριστερών μερών, το άθροισμα των δεξιών μερών των εξισώσεων και εξισώστε τα αθροίσματα που προκύπτουν.

Ας δοκιμάσουμε. Δουλεύουμε μαζί μου.

13x+14x+17y-17y=43+11

Πήραμε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή.

Έχετε λύσει το σύστημα των εξισώσεων;

Η λύση του συστήματος είναι ένα ζεύγος αριθμών.

Πώς να σε βρω;

Αντικαταστήστε την τιμή του x που βρέθηκε στην εξίσωση του συστήματος.

Έχει σημασία σε ποια εξίσωση βάζουμε την τιμή του x;

Έτσι η ευρεθείσα τιμή του x μπορεί να αντικατασταθεί σε ...

οποιαδήποτε εξίσωση του συστήματος.

Γνωριστήκαμε με μια νέα μέθοδο - τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης.

Κατά την επίλυση του συστήματος, συζητήσαμε τον αλγόριθμο για την επίλυση του συστήματος με αυτήν τη μέθοδο.

Εξετάσαμε τον αλγόριθμο. Τώρα ας το εφαρμόσουμε στην επίλυση προβλημάτων.

Η ικανότητα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων μπορεί να είναι χρήσιμη στην πράξη.

Σκεφτείτε το πρόβλημα:

Η φάρμα έχει κοτόπουλα και πρόβατα. Πόσα από αυτά και άλλα αν έχουν 19 κεφάλια και 46 πόδια μαζί;

Γνωρίζοντας ότι υπάρχουν συνολικά 19 κοτόπουλα και πρόβατα, συνθέτουμε την πρώτη εξίσωση: x + y \u003d 19

Το 4x είναι ο αριθμός των ποδιών του προβάτου

2y - ο αριθμός των ποδιών στα κοτόπουλα

Γνωρίζοντας ότι υπάρχουν μόνο 46 πόδια, συνθέτουμε τη δεύτερη εξίσωση: 4x + 2y \u003d 46

Ας φτιάξουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Ας λύσουμε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο επίλυσης με τη μέθοδο της πρόσθεσης.

Πρόβλημα! Οι συντελεστές μπροστά από το x και το y δεν είναι ούτε ίσοι ούτε αντίθετοι! Τι να κάνω?

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα!

Ας προσθέσουμε ένα ακόμη βήμα στον αλγόριθμό μας και ας το βάλουμε στην πρώτη θέση: Εάν οι συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές δεν είναι ίδιοι και όχι αντίθετοι, τότε πρέπει να εξισώσουμε τις ενότητες για κάποια μεταβλητή! Και τότε θα ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο.

4. Ηλεκτρονική φυσική αγωγή για τα μάτια: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Ολοκληρώνουμε το πρόβλημα με τη μέθοδο της αλγεβρικής πρόσθεσης, στερέωσης νέο υλικόκαι μάθετε πόσα κοτόπουλα και πρόβατα υπήρχαν στη φάρμα.

Πρόσθετες εργασίες:

6.

Αντανάκλαση.

Βάζω βαθμούς για τη δουλειά μου στην τάξη...

6. Χρησιμοποιημένοι πόροι-Διαδίκτυο:

Υπηρεσίες Google για εκπαίδευση

Καθηγήτρια μαθηματικών Sokolova N. N.

Μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης

Μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων με δύο αγνώστους διαφορετικοί τρόποι- γραφική μέθοδος ή μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής.

Σε αυτό το μάθημα, θα εξοικειωθούμε με έναν άλλο τρόπο επίλυσης συστημάτων που σίγουρα θα σας αρέσει - αυτή είναι η μέθοδος αλγεβρικής πρόσθεσης.

Και από πού ήρθε η ιδέα - να βάλουμε κάτι στα συστήματα; Κατά την επίλυση συστημάτων κυριο ΠΡΟΒΛΗΜΑείναι η παρουσία δύο μεταβλητών, γιατί δεν μπορούμε να λύσουμε εξισώσεις με δύο μεταβλητές. Επομένως, είναι απαραίτητο να αποκλειστεί ένα από αυτά με κάποιο νόμιμο τρόπο. Και τέτοια νομικά μέσαείναι μαθηματικούς κανόνεςκαι ιδιότητες.

Μία από αυτές τις ιδιότητες είναι: αντίθετους αριθμούςισούται με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι εάν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές για μία από τις μεταβλητές, τότε το άθροισμά τους θα είναι ίσο με μηδέν και θα μπορούμε να εξαιρέσουμε αυτή τη μεταβλητή από την εξίσωση. Είναι σαφές ότι δεν έχουμε το δικαίωμα να προσθέτουμε μόνο τους όρους με τη μεταβλητή που χρειαζόμαστε. Είναι απαραίτητο να προστεθούν οι εξισώσεις στο σύνολό τους, δηλ. αθροίζονται χωριστά σαν όρουςστα αριστερά, μετά στα δεξιά. Ως αποτέλεσμα, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση που περιέχει μόνο μία μεταβλητή. Ας ρίξουμε μια ματιά σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Βλέπουμε ότι στην πρώτη εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή y, και στη δεύτερη ο αντίθετος αριθμός είναι y. Άρα αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο της πρόσθεσης.

Μία από τις εξισώσεις μένει ως έχει. Όποιος σας αρέσει περισσότερο.

Αλλά η δεύτερη εξίσωση θα ληφθεί προσθέτοντας αυτές τις δύο εξισώσεις όρο προς όρο. Εκείνοι. Προσθέστε 3x στο 2x, προσθέστε το y στο -y, προσθέστε το 8 στο 7.

Παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Η δεύτερη εξίσωση αυτού του συστήματος είναι μια απλή εξίσωση με μία μεταβλητή. Από αυτό βρίσκουμε x \u003d 3. Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε y \u003d -1.

Απάντηση: (3; - 1).

Δείγμα σχεδίασης:

Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων με αλγεβρική πρόσθεση

Δεν υπάρχουν μεταβλητές με αντίθετους συντελεστές σε αυτό το σύστημα. Γνωρίζουμε όμως ότι και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό. Ας πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος επί 2.

Τότε η πρώτη εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

Τώρα βλέπουμε ότι με τη μεταβλητή x υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές. Έτσι, θα κάνουμε το ίδιο όπως στο πρώτο παράδειγμα: θα αφήσουμε μια από τις εξισώσεις αμετάβλητη. Για παράδειγμα, 2y + 2x \u003d 10. Και παίρνουμε το δεύτερο προσθέτοντας.

Τώρα έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Βρίσκουμε εύκολα από τη δεύτερη εξίσωση y = 1, και στη συνέχεια από την πρώτη εξίσωση x = 4.

Δείγμα σχεδίασης:

Ας συνοψίσουμε:

Μάθαμε πώς να λύνουμε συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους χρησιμοποιώντας την αλγεβρική μέθοδο πρόσθεσης. Έτσι, τώρα γνωρίζουμε τρεις κύριες μεθόδους για την επίλυση τέτοιων συστημάτων: τη γραφική μέθοδο, την αλλαγή της μεθόδου μεταβλητής και τη μέθοδο πρόσθεσης. Σχεδόν οποιοδήποτε σύστημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους. Σε περισσότερα δύσκολες περιπτώσειςχρησιμοποιώντας συνδυασμό αυτών των μεθόδων.

Λίστα χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας:

1. Mordkovich A.G., Άλγεβρα τάξη 7 σε 2 μέρη, Μέρος 1, Εγχειρίδιο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ Α.Γ. Μόρντκοβιτς. - 10η έκδ., αναθεωρημένη - Μόσχα, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Άλγεβρα τάξη 7 σε 2 μέρη, Μέρος 2, Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα / [A.G. Mordkovich και άλλοι]; επιμέλεια A.G. Mordkovich - 10η έκδοση, αναθεωρημένη - Μόσχα, Mnemosyne, 2007.
3. ΑΥΤΗΝ. Tulchinskaya, Άλγεβρα 7η τάξη. Έρευνα Blitz: ένας οδηγός για φοιτητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, 4η έκδοση, αναθεωρημένη και συμπληρωμένη, Μόσχα, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Άλγεβρα Βαθμός 7. Θεματικός εργασίες επαλήθευσηςσε νέα μορφήγια φοιτητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich, Μόσχα, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Άλγεβρα 7η τάξη. Ανεξάρτητη εργασίαγια φοιτητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, επιμέλεια Α.Γ. Mordkovich - 6η έκδοση, στερεότυπα, Μόσχα, "Mnemosyne", 2010.

Με αυτό το βίντεο, ξεκινάω μια σειρά μαθημάτων για συστήματα εξισώσεων. Σήμερα θα μιλήσουμε για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων μέθοδος προσθήκης- είναι ένα από τα πιο απλούς τρόπουςαλλά και ένα από τα πιο αποτελεσματικά.

Η μέθοδος προσθήκης αποτελείται από τρία απλά βήματα:

1. Κοιτάξτε το σύστημα και επιλέξτε μια μεταβλητή που έχει τους ίδιους (ή αντίθετους) συντελεστές σε κάθε εξίσωση.
2. Τρέξιμο αλγεβρική αφαίρεση(για αντίθετους αριθμούς - πρόσθεση) εξισώσεις μεταξύ τους, μετά τις οποίες φέρνουν παρόμοιους όρους.
3. Λύστε τη νέα εξίσωση που προέκυψε μετά το δεύτερο βήμα.

Εάν όλα γίνονται σωστά, τότε στην έξοδο θα πάρουμε μια ενιαία εξίσωση με μία μεταβλητή- Δεν θα είναι δύσκολο να λυθεί. Τότε μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τη ρίζα που βρέθηκε στο αρχικό σύστημα και να λάβουμε την τελική απάντηση.

Ωστόσο, στην πράξη δεν είναι τόσο απλό. Υπάρχουν διάφοροι λόγοι για αυτό:

• Η επίλυση εξισώσεων με πρόσθεση σημαίνει ότι όλες οι σειρές πρέπει να περιέχουν μεταβλητές με τους ίδιους/αντίθετους συντελεστές. Τι γίνεται αν αυτή η απαίτηση δεν πληρούται;
• Όχι πάντα, αφού προσθέσουμε / αφαιρέσουμε εξισώσεις με αυτόν τον τρόπο, θα έχουμε μια όμορφη κατασκευή που λύνεται εύκολα. Είναι δυνατόν να απλοποιηθούν με κάποιο τρόπο οι υπολογισμοί και να επιταχυνθούν οι υπολογισμοί;

Για να λάβετε απάντηση σε αυτές τις ερωτήσεις και ταυτόχρονα για να αντιμετωπίσετε μερικές επιπλέον λεπτές αποχρώσεις που πολλοί μαθητές «πέφτουν πάνω τους», παρακολουθήστε το εκπαιδευτικό μου βίντεο:

Με αυτό το μάθημα, ξεκινάμε μια σειρά διαλέξεων για συστήματα εξισώσεων. Και θα ξεκινήσουμε με τα πιο απλά από αυτά, δηλαδή αυτά που περιέχουν δύο εξισώσεις και δύο μεταβλητές. Κάθε ένα από αυτά θα είναι γραμμικό.

Τα συστήματα είναι ένα υλικό της 7ης τάξης, αλλά αυτό το μάθημα θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου που θέλουν να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους σχετικά με αυτό το θέμα.

Γενικά, υπάρχουν δύο μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων συστημάτων:

1. Μέθοδος προσθήκης;
2. Μια μέθοδος έκφρασης μιας μεταβλητής με όρους μιας άλλης.

Σήμερα θα ασχοληθούμε με την πρώτη μέθοδο - θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης και της πρόσθεσης. Αλλά για αυτό πρέπει να κατανοήσετε το εξής γεγονός: αφού έχετε δύο ή περισσότερες εξισώσεις, μπορείτε να πάρετε οποιαδήποτε από αυτές και να τις προσθέσετε μαζί. Προστίθενται κατά όρο, δηλ. Τα "Χ" προστίθενται στα "Χ" και δίνονται παρόμοια.

Τα αποτελέσματα τέτοιων μηχανορραφιών θα είναι μια νέα εξίσωση, η οποία, αν έχει ρίζες, σίγουρα θα είναι μεταξύ των ριζών της αρχικής εξίσωσης. Έτσι, το καθήκον μας είναι να κάνουμε την αφαίρεση ή την πρόσθεση με τέτοιο τρόπο ώστε είτε το $x$ είτε το $y$ να εξαφανιστεί.

Πώς να το πετύχετε και ποιο εργαλείο να χρησιμοποιήσετε για αυτό - θα μιλήσουμε για αυτό τώρα.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης

Έτσι, μαθαίνουμε να εφαρμόζουμε τη μέθοδο πρόσθεσης χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο απλών εκφράσεων.

Εργασία #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι το $y$ έχει συντελεστή $-4$ στην πρώτη εξίσωση και $+4$ στη δεύτερη. Είναι αμοιβαία αντίθετα, οπότε είναι λογικό να υποθέσουμε ότι αν τα αθροίσουμε, τότε στο ποσό που προκύπτει, τα «παιχνίδια» θα εκμηδενιστούν αμοιβαία. Προσθέτουμε και παίρνουμε:

Επιλύουμε την πιο απλή κατασκευή:

Τέλεια, βρήκαμε το X. Τι να τον κάνεις τώρα; Μπορούμε να το αντικαταστήσουμε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις. Ας το βάλουμε στο πρώτο:

\[-4y=12\αριστερά| :\αριστερά(-4 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(2;-3\δεξιά)$.

Εργασία #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εδώ, η κατάσταση είναι εντελώς παρόμοια, μόνο με τα Xs. Ας τα συνδυάσουμε:

Πήραμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση, ας τη λύσουμε:

Τώρα ας βρούμε $x$:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;3\δεξιά)$.

Σημαντικά Σημεία

Έτσι, μόλις λύσαμε δύο απλά συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης. Για άλλη μια φορά τα βασικά σημεία:

1. Εάν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές για μία από τις μεταβλητές, τότε είναι απαραίτητο να προσθέσετε όλες τις μεταβλητές στην εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, ένα από αυτά θα καταστραφεί.
2. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος για να βρούμε τη δεύτερη.
3. Η τελική καταγραφή της απάντησης μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, όπως αυτό - $x=...,y=...$, ή με τη μορφή συντεταγμένων σημείων - $\left(...;... \right)$. Η δεύτερη επιλογή είναι προτιμότερη. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι η πρώτη συντεταγμένη είναι $x$ και η δεύτερη είναι $y$.
4. Ο κανόνας για τη σύνταξη της απάντησης με τη μορφή συντεταγμένων σημείων δεν ισχύει πάντα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν ο ρόλος των μεταβλητών δεν είναι $x$ και $y$, αλλά, για παράδειγμα, $a$ και $b$.

Στα παρακάτω προβλήματα, θα εξετάσουμε την τεχνική της αφαίρεσης όταν οι συντελεστές δεν είναι αντίθετοι.

Επίλυση εύκολων προβλημάτων με τη μέθοδο της αφαίρεσης

Εργασία #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Σημειώστε ότι εδώ δεν υπάρχουν αντίθετοι συντελεστές, αλλά υπάρχουν πανομοιότυποι. Επομένως, αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την πρώτη εξίσωση:

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή $x$ σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις του συστήματος. Πάμε πρώτα:

Απάντηση: $\αριστερά(2;5\δεξιά)$.

Εργασία #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε πάλι τον ίδιο συντελεστή $5$ για $x$ στην πρώτη και δεύτερη εξίσωση. Επομένως, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι πρέπει να αφαιρέσετε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:

Έχουμε υπολογίσει μία μεταβλητή. Τώρα ας βρούμε το δεύτερο, για παράδειγμα, αντικαθιστώντας την τιμή $y$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $\αριστερά(-3;-2 \δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Τι βλέπουμε λοιπόν; Στην ουσία, το σχήμα δεν διαφέρει από τη λύση των προηγούμενων συστημάτων. Η μόνη διαφορά είναι ότι δεν προσθέτουμε εξισώσεις, αλλά τις αφαιρούμε. Κάνουμε αλγεβρική αφαίρεση.

Με άλλα λόγια, μόλις δείτε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κοιτάξετε είναι οι συντελεστές. Αν είναι ίδιες οπουδήποτε, οι εξισώσεις αφαιρούνται και αν είναι αντίθετες, εφαρμόζεται η μέθοδος πρόσθεσης. Αυτό γίνεται πάντα για να εξαφανιστεί ένα από αυτά και στην τελική εξίσωση που παραμένει μετά την αφαίρεση, θα παρέμενε μόνο μία μεταβλητή.

Φυσικά, δεν είναι μόνο αυτό. Τώρα θα εξετάσουμε συστήματα στα οποία οι εξισώσεις είναι γενικά ασυνεπείς. Εκείνοι. δεν υπάρχουν τέτοιες μεταβλητές σε αυτές που θα ήταν είτε ίδιες είτε αντίθετες. Στην περίπτωση αυτή, για την επίλυση τέτοιων συστημάτων, επιπλέον υποδοχή, δηλαδή τον πολλαπλασιασμό καθεμιάς από τις εξισώσεις με έναν ειδικό συντελεστή. Πώς να το βρείτε και πώς να λύσετε τέτοια συστήματα γενικά, τώρα θα μιλήσουμε για αυτό.

Επίλυση προβλημάτων πολλαπλασιάζοντας με έναν συντελεστή

Παράδειγμα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Βλέπουμε ότι ούτε για $x$ ούτε για $y$ οι συντελεστές όχι μόνο είναι αμοιβαία αντίθετοι, αλλά γενικά δεν συσχετίζονται με κανένα τρόπο με άλλη εξίσωση. Αυτοί οι συντελεστές δεν θα εξαφανιστούν με κανέναν τρόπο, ακόμα κι αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τις εξισώσεις μεταξύ τους. Επομένως, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο πολλαπλασιασμός. Ας προσπαθήσουμε να απαλλαγούμε από τη μεταβλητή $y$. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από τη δεύτερη εξίσωση και τη δεύτερη εξίσωση με τον συντελεστή $y$ από την πρώτη εξίσωση, χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο. Πολλαπλασιάζουμε και παίρνουμε ένα νέο σύστημα:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας το δούμε: για $y$, αντίθετοι συντελεστές. Σε μια τέτοια περίπτωση, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί η μέθοδος προσθήκης. Ας προσθέσουμε:

Τώρα πρέπει να βρούμε το $y$. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε το $x$ στην πρώτη έκφραση:

\[-9y=18\αριστερά| :\αριστερά(-9 \δεξιά) \δεξιά.\]

Απάντηση: $\αριστερά(4;-2\δεξιά)$.

Παράδειγμα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Και πάλι, οι συντελεστές για καμία από τις μεταβλητές δεν είναι συνεπείς. Ας πολλαπλασιάσουμε με τους συντελεστές στο $y$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 11x+4y=-18\αριστερά| 6 \δεξιά. \\& 13x-6y=-32\αριστερά| 4 \δεξιά. \\\τέλος (στοίχιση) \δεξιά .\]

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Μας νέο σύστημαείναι ισοδύναμο με το προηγούμενο, αλλά οι συντελεστές στο $y$ είναι αμοιβαία αντίθετοι, και επομένως είναι εύκολο να εφαρμοστεί η μέθοδος πρόσθεσης εδώ:

Τώρα βρείτε το $y$ αντικαθιστώντας το $x$ στην πρώτη εξίσωση:

Απάντηση: $\αριστερά(-2;1\δεξιά)$.

Αποχρώσεις της λύσης

Ο βασικός κανόνας εδώ είναι: πολλαπλασιάζετε πάντα μόνο με θετικούς αριθμούς- αυτό θα σας σώσει από ανόητα και προσβλητικά λάθη που σχετίζονται με την αλλαγή των ζωδίων. Γενικά, το σχέδιο λύσης είναι αρκετά απλό:

1. Εξετάζουμε το σύστημα και αναλύουμε κάθε εξίσωση.
2. Αν δούμε ότι ούτε για το $y$ ούτε για το $x$ οι συντελεστές είναι συνεπείς, π.χ. δεν είναι ούτε ίσες ούτε αντίθετες, τότε κάνουμε το εξής: επιλέξτε τη μεταβλητή που θέλετε να απαλλαγείτε και μετά κοιτάξτε τους συντελεστές σε αυτές τις εξισώσεις. Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με τον συντελεστή της δεύτερης και τη δεύτερη αντίστοιχη με τον συντελεστή της πρώτης, τότε στο τέλος θα πάρουμε ένα σύστημα που είναι εντελώς ισοδύναμο με το προηγούμενο και οι συντελεστές είναι $y $ θα είναι συνεπής. Όλες οι ενέργειες ή οι μετασχηματισμοί μας στοχεύουν μόνο στο να πάρουμε μία μεταβλητή σε μία εξίσωση.
3. Βρίσκουμε μία μεταβλητή.
4. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που βρέθηκε σε μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και βρίσκουμε τη δεύτερη.
5. Γράφουμε την απάντηση με τη μορφή συντεταγμένων σημείων, αν έχουμε μεταβλητές $x$ και $y$.

Αλλά ακόμη και ένας τόσο απλός αλγόριθμος έχει τις δικές του λεπτές αποχρώσεις, για παράδειγμα, οι συντελεστές $x$ ή $y$ μπορεί να είναι κλάσματα και άλλοι "άσχημοι" αριθμοί. Τώρα θα εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις ξεχωριστά, γιατί σε αυτές μπορείτε να ενεργήσετε με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο από ό,τι σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Επίλυση προβλημάτων με κλασματικούς αριθμούς

Παράδειγμα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αρχικά, σημειώστε ότι η δεύτερη εξίσωση περιέχει κλάσματα. Αλλά σημειώστε ότι μπορείτε να διαιρέσετε $4$ με $0,8$. Παίρνουμε 5$. Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση επί $5$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τις εξισώσεις η μία από την άλλη:

$n$ βρήκαμε, τώρα υπολογίζουμε $m$:

Απάντηση: $n=-4;m=5$

Παράδειγμα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2,5p+1,5k=-13\αριστερά| 4 \δεξιά. \\& 2p-5k=2\αριστερά| 5 \δεξιά. \\\end(στοίχιση )\ σωστά.\]

Εδώ, όπως και στο προηγούμενο σύστημα, υπάρχουν κλασματικές πιθανότητες, ωστόσο, για καμία από τις μεταβλητές οι συντελεστές δεν χωρούν μεταξύ τους κατά ακέραιο αριθμό φορών. Επομένως, χρησιμοποιούμε τον τυπικό αλγόριθμο. Ξεφορτωθείτε το $p$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αφαίρεσης:

Ας βρούμε το $p$ αντικαθιστώντας το $k$ στη δεύτερη κατασκευή:

Απάντηση: $p=-4;k=-2$.

Αποχρώσεις της λύσης

Αυτό είναι όλο βελτιστοποίηση. Στην πρώτη εξίσωση, δεν πολλαπλασιάσαμε καθόλου με τίποτα, και η δεύτερη εξίσωση πολλαπλασιάστηκε με $5$. Ως αποτέλεσμα, έχουμε λάβει μια συνεπή και ομοιόμορφη εξίσωση για την πρώτη μεταβλητή. Στο δεύτερο σύστημα, ενεργήσαμε σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο.

Αλλά πώς να βρείτε τους αριθμούς με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιάσετε τις εξισώσεις; Άλλωστε, αν πολλαπλασιάσουμε με κλασματικούς αριθμούς, παίρνουμε νέα κλάσματα. Επομένως, τα κλάσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό που θα έδινε έναν νέο ακέραιο αριθμό και μετά, οι μεταβλητές θα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με συντελεστές, ακολουθώντας τον τυπικό αλγόριθμο.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας στη μορφή του αρχείου απάντησης. Όπως είπα ήδη, δεδομένου ότι εδώ δεν έχουμε $x$ και $y$ εδώ, αλλά άλλες τιμές, χρησιμοποιούμε μια μη τυπική σημείωση της φόρμας:

Επίλυση πολύπλοκων συστημάτων εξισώσεων

Ως τελευταία συγχορδία στο σημερινό βίντεο εκμάθησης, ας δούμε μερικά πραγματικά πολύπλοκα συστήματα. Η πολυπλοκότητά τους θα συνίσταται στο γεγονός ότι θα περιέχουν μεταβλητές τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά. Επομένως, για να τα λύσουμε, θα πρέπει να εφαρμόσουμε προεπεξεργασία.

Σύστημα #1

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 3\αριστερά(2x-y \δεξιά)+5=-2\αριστερά(x+3y \δεξιά)+4 \\& 6\αριστερά(y+1 \δεξιά )-1=5\αριστερά(2x-1 \δεξιά)+8 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Κάθε εξίσωση έχει μια ορισμένη πολυπλοκότητα. Επομένως, με κάθε έκφραση, ας κάνουμε όπως με μια κανονική γραμμική κατασκευή.

Συνολικά, παίρνουμε το τελικό σύστημα, το οποίο είναι ισοδύναμο με το αρχικό:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας δούμε τους συντελεστές του $y$: το $3$ ταιριάζει σε $6$ δύο φορές, οπότε πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση επί $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Οι συντελεστές του $y$ είναι τώρα ίσοι, οπότε αφαιρούμε το δεύτερο από την πρώτη εξίσωση: $$

Τώρα ας βρούμε το $y$:

Απάντηση: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Σύστημα #2

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4\αριστερά(a-3b \δεξιά)-2a=3\αριστερά(b+4 \δεξιά)-11 \\& -3\αριστερά(b-2a \δεξιά )-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Ας μετατρέψουμε την πρώτη έκφραση:

Ας ασχοληθούμε με το δεύτερο:

\[-3\αριστερά(b-2a \δεξιά)-12=2\αριστερά(a-5 \δεξιά)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Συνολικά, το αρχικό μας σύστημα θα έχει την ακόλουθη μορφή:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Εξετάζοντας τους συντελεστές του $a$, βλέπουμε ότι η πρώτη εξίσωση πρέπει να πολλαπλασιαστεί με $2$:

\[\αριστερά\( \αρχή(στοίχιση)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(στοίχιση) \δεξιά.\]

Αφαιρούμε τη δεύτερη από την πρώτη κατασκευή:

Τώρα βρείτε το $a$:

Απάντηση: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Αυτό είναι όλο. Ελπίζω ότι αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε αυτό το δύσκολο θέμα, δηλαδή την επίλυση συστημάτων απλών γραμμικών εξισώσεων. Θα υπάρξουν πολλά περισσότερα μαθήματα σχετικά με αυτό το θέμα περαιτέρω: θα αναλύσουμε περισσότερα σύνθετα παραδείγματα, όπου θα υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές και οι ίδιες οι εξισώσεις θα είναι ήδη μη γραμμικές. Τα λέμε σύντομα!