Αριθμητικός μέσος όρος αριθμών. Πώς να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο

Ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του συνολικού όγκου ενός δεδομένου χαρακτηριστικού αδρανήΤα δεδομένα κατανέμονται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή παραγωγής ανά εργαζόμενο είναι μια τέτοια τιμή του όγκου της παραγωγής που θα έπεφτε σε κάθε εργαζόμενο εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής κατανεμήθηκε εξίσου μεταξύ όλων των εργαζομένων του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται από τον τύπο:

απλός αριθμητικός μέσος όρος- Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο

Παράδειγμα 1. Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.

Βρείτε τον μέσο μισθό Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος

Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ένας σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι προσδιορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: το συνολικό κόστος παραγωγής (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του και η τιμή μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα παραγωγής.

Το αντιπροσωπεύουμε με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος- ισούται με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής του χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών) Χρησιμοποιείται όταν εμφανίζονται οι παραλλαγές του πληθυσμού που μελετήθηκε άνισος αριθμός φορών.

Παράδειγμα 2. Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων στα καταστήματα ανά μήνα

Μισθός ενός εργάτη χιλιάδες ρούβλια. Χ	Αριθμός εργαζομένων F

Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τον συνολικό μισθό με τον συνολικό αριθμό των εργαζομένων:

Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος για μια σειρά διαστημάτων

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά απόκλισης διαστήματος, ο μέσος όρος για κάθε διάστημα προσδιορίζεται πρώτα ως μισό άθροισμα των άνω και κάτω ορίων και στη συνέχεια ο μέσος όρος ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από την τιμή των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε τη μέση ηλικία των μαθητών στο απογευματινό τμήμα.

Ηλικία σε χρόνια!!x??	Αριθμός μαθητών	Μεσοδιάστημα	Το γινόμενο του μέσου του διαστήματος (ηλικία) και του αριθμού των μαθητών
		(18 + 20) / 2 =19 18 σε αυτήν την περίπτωση, το όριο του κατώτερου διαστήματος. Υπολογίστηκε ως 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ή περισσότερα		(30 + 34) / 2 = 32

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από τον βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων μέσα στο διάστημα προσεγγίζει ομοιόμορφα.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες, αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη.

Η πιο σημαντική ιδιότητα του μέσου όρου είναι ότι αντικατοπτρίζει το κοινό που είναι εγγενές σε όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού. Οι τιμές του χαρακτηριστικού των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού ποικίλλουν υπό την επίδραση πολλών παραγόντων, μεταξύ των οποίων μπορεί να υπάρχουν τόσο βασικοί όσο και τυχαίοι. Η ουσία του μέσου όρου έγκειται στο γεγονός ότι αντισταθμίζει τις αποκλίσεις των τιμών του χαρακτηριστικού, οι οποίες οφείλονται στη δράση τυχαίων παραγόντων, και συσσωρεύει (λαμβάνει υπόψη) τις αλλαγές που προκαλούνται από τη δράση του κύριου παράγοντες. Αυτό επιτρέπει στον μέσο όρο να αντικατοπτρίζει το τυπικό επίπεδο του χαρακτηριστικού και να αφαιρεί από τα επιμέρους χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε μεμονωμένες μονάδες.

Προκειμένου ο μέσος όρος να είναι πραγματικά χαρακτηριστικός, πρέπει να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψη ορισμένες αρχές.

Βασικές αρχές για τη χρήση των μέσων όρων.

1. Ο μέσος όρος πρέπει να προσδιορίζεται για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες.

2. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για έναν πληθυσμό που αποτελείται από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μονάδων.

3. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για τον πληθυσμό σε σταθερές συνθήκες (όταν οι παράγοντες που επηρεάζουν δεν αλλάζουν ή δεν αλλάζουν σημαντικά).

4. Ο μέσος όρος θα πρέπει να υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη το οικονομικό περιεχόμενο του υπό μελέτη δείκτη.

Ο υπολογισμός των πιο συγκεκριμένων στατιστικών δεικτών βασίζεται στη χρήση:

μέσο συγκεντρωτικό?

μέση ισχύς (αρμονική, γεωμετρική, αριθμητική, τετραγωνική, κυβική).

μέση χρονολογική (βλ. ενότητα).

Όλοι οι μέσοι όροι, με εξαίρεση τον συνολικό μέσο όρο, μπορούν να υπολογιστούν σε δύο εκδόσεις - ως σταθμισμένοι ή μη σταθμισμένοι.

Μέσο άθροισμα. Ο τύπος που χρησιμοποιείται είναι:

που w i= x i* fi;

x i- i-η παραλλαγή του μέσου όρου χαρακτηριστικού.

fi, - το βάρος Εγώ- η επιλογή.

Μέσος βαθμός πτυχίου. Γενικά, ο τύπος για τον υπολογισμό:

όπου πτυχίο κ- ένας τύπος μέσης ισχύος.

Οι τιμές των μέσων όρων που υπολογίζονται με βάση τους μέσους εκθέτες για τα ίδια αρχικά δεδομένα δεν είναι ίδιες. Με την αύξηση του εκθέτη k, η αντίστοιχη μέση τιμή αυξάνεται επίσης:

Μέση χρονολογική. Για μια στιγμιαία δυναμική σειρά με ίσα διαστήματα μεταξύ ημερομηνιών, υπολογίζεται από τον τύπο:

που x 1και Χnτιμή ένδειξης για την ημερομηνία έναρξης και λήξης.

Τύποι για τον υπολογισμό των μέσων όρων ισχύος

Παράδειγμα. Σύμφωνα με τον Πίνακα. 2.1 Απαιτείται ο υπολογισμός του μέσου μισθού γενικά για τρεις επιχειρήσεις.

Πίνακας 2.1

Μισθός επιχειρήσεων ΑΟ

Εταιρία	Ο αριθμός των βιομηχανικών παραγωγήπροσωπικού (ΣΔΙΤ), προσωπ.	μηνιαίο ταμείο μισθούς, τρίψτε.	Μεσαίο μισθός,τρίψιμο.

		564840	2092
		332750	2750
		517540	2260
Σύνολο		1415130

Ο συγκεκριμένος τύπος υπολογισμού εξαρτάται από τα δεδομένα στον Πίνακα. 7 είναι πρωτότυπα. Κατά συνέπεια, είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές: στοιχεία των στηλών 1 (αριθμός ΣΔΙΤ) και 2 (μηνιαία μισθοδοσία). ή - 1 (αριθμός PPP) και 3 (μέσος όρος RFP). ή 2 (μηνιαία μισθοδοσία) και 3 (μέσος μισθός).

Εάν υπάρχουν μόνο δεδομένα για τις στήλες 1 και 2. Τα αποτελέσματα αυτών των γραφημάτων περιέχουν τις απαραίτητες τιμές για τον υπολογισμό του επιθυμητού μέσου όρου. Χρησιμοποιείται ο τύπος του μέσου αθροίσματος:

Εάν υπάρχουν μόνο δεδομένα για τις στήλες 1 και 3, τότε ο παρονομαστής του αρχικού λόγου είναι γνωστός, αλλά ο αριθμητής του δεν είναι γνωστός. Ωστόσο, η μισθοδοσία μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τον μέσο μισθό με τον αριθμό των SPP. Επομένως, ο συνολικός μέσος όρος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο αριθμητικός μέσος σταθμισμένος:

Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το βάρος ( fi) σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι γινόμενο δύο ή και τριών τιμών.

Επιπλέον, ο μέσος όρος χρησιμοποιείται επίσης στη στατιστική πρακτική. αριθμητική αστάθμητη:

όπου n είναι ο όγκος του πληθυσμού.

Αυτός ο μέσος όρος χρησιμοποιείται όταν τα βάρη ( fi) απουσιάζουν (κάθε παραλλαγή του χαρακτηριστικού εμφανίζεται μόνο μία φορά) ή είναι ίσα μεταξύ τους.

Εάν υπάρχουν μόνο δεδομένα για τις στήλες 2 και 3., δηλαδή, ο αριθμητής του αρχικού λόγου είναι γνωστός, αλλά ο παρονομαστής του δεν είναι γνωστός. Ο αριθμός των ΣΔΙΤ κάθε επιχείρησης μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τη μισθοδοσία με τον μέσο μισθό. Στη συνέχεια, ο υπολογισμός του μέσου μισθού για τις τρεις επιχειρήσεις στο σύνολό τους πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο μέση αρμονική σταθμισμένη:

Αν τα βάρη είναι ίσα ( fi) ο υπολογισμός του μέσου δείκτη μπορεί να γίνει σύμφωνα με μέση αρμονική μη σταθμισμένη:

Στο παράδειγμά μας, χρησιμοποιήσαμε διαφορετικές μορφές μέσων, αλλά πήραμε την ίδια απάντηση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για συγκεκριμένα δεδομένα εφαρμόστηκε κάθε φορά η ίδια αρχική αναλογία του μέσου όρου.

Οι μέσοι όροι μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας διακριτές σειρές διακύμανσης και διαστήματα. Στην περίπτωση αυτή, ο υπολογισμός γίνεται σύμφωνα με τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο. Για μια διακριτή σειρά, αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως στο παραπάνω παράδειγμα. Στη σειρά διαστημάτων, τα μέσα των διαστημάτων καθορίζονται για υπολογισμό.

Παράδειγμα. Σύμφωνα με τον Πίνακα. 2.2 προσδιορίστε την αξία του μέσου κατά κεφαλήν εισοδήματος σε μετρητά ανά μήνα σε μια υπό όρους περιοχή.

Πίνακας 2.2

Αρχικά δεδομένα (σειρά παραλλαγών)

Μηνιαίο μέσο κατά κεφαλήν εισόδημα σε μετρητά, х, τρίψιμο.	Πληθυσμός, % του συνόλου/
Έως 400	30,2
400 — 600	24,4
600 — 800	16,7
800 — 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 — 1600	6,7
1600 — 2000	2,7
2000 και άνω	2,3
Σύνολο	100

Οι μέσες τιμές χρησιμοποιούνται ευρέως στις στατιστικές. Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν τους ποιοτικούς δείκτες της εμπορικής δραστηριότητας: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

Μεσαίο Αυτή είναι μια από τις πιο κοινές γενικεύσεις. Η σωστή κατανόηση της ουσίας του μέσου όρου καθορίζει την ιδιαίτερη σημασία του σε μια οικονομία της αγοράς, όταν ο μέσος όρος, μέσω ενός ενιαίου και τυχαίου, καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό του γενικού και του απαραίτητου, τον προσδιορισμό της τάσης των προτύπων οικονομικής ανάπτυξης.

μέση αξία - αυτοί είναι γενικευτικοί δείκτες στους οποίους βρίσκουν έκφραση της δράσης γενικών συνθηκών, προτύπων του υπό μελέτη φαινομένου.

Οι στατιστικοί μέσοι όροι υπολογίζονται με βάση μαζικά δεδομένα σωστά οργανωμένης στατιστικά μαζικής παρατήρησης (συνεχούς και επιλεκτικής). Ωστόσο, ο στατιστικός μέσος όρος θα είναι αντικειμενικός και τυπικός εάν υπολογιστεί από μαζικά δεδομένα για έναν ποιοτικά ομοιογενή πληθυσμό (μαζικά φαινόμενα). Για παράδειγμα, αν υπολογίσουμε τους μέσους μισθούς σε συνεταιρισμούς και κρατικές επιχειρήσεις και επεκτείνουμε το αποτέλεσμα σε ολόκληρο τον πληθυσμό, τότε ο μέσος όρος είναι πλασματικός, αφού υπολογίζεται για έναν ετερογενή πληθυσμό και ένας τέτοιος μέσος όρος χάνει κάθε νόημα.

Με τη βοήθεια του μέσου όρου, υπάρχει, σαν να λέγαμε, μια εξομάλυνση των διαφορών στο μέγεθος του χαρακτηριστικού που προκύπτουν για τον ένα ή τον άλλο λόγο σε μεμονωμένες μονάδες παρατήρησης.

Για παράδειγμα, η μέση απόδοση ενός πωλητή εξαρτάται από πολλούς παράγοντες: προσόντα, διάρκεια υπηρεσίας, ηλικία, μορφή υπηρεσίας, υγεία κ.λπ.

Η μέση παραγωγή αντικατοπτρίζει τη γενική ιδιοκτησία ολόκληρου του πληθυσμού.

Η μέση τιμή είναι μια αντανάκλαση των τιμών του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, επομένως, μετράται στην ίδια διάσταση με αυτό το χαρακτηριστικό.

Κάθε μέση τιμή χαρακτηρίζει τον πληθυσμό που μελετήθηκε σύμφωνα με οποιοδήποτε χαρακτηριστικό. Προκειμένου να έχουμε μια πλήρη και ολοκληρωμένη εικόνα του υπό μελέτη πληθυσμού ως προς μια σειρά βασικών χαρακτηριστικών, είναι γενικά απαραίτητο να υπάρχει ένα σύστημα μέσων τιμών που να μπορεί να περιγράφει το φαινόμενο από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

Υπάρχουν διάφοροι μέσοι όροι:

αριθμητικός μέσος όρος;

γεωμετρικό μέσο;

μέση αρμονική?

ρίζα μέσο τετράγωνο?

χρονολογικός μέσος όρος.

Εξετάστε ορισμένους τύπους μέσων όρων που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στις στατιστικές.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος (μη σταθμισμένος) είναι ίσος με το άθροισμα των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού, διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των τιμών.

Οι μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού ονομάζονται παραλλαγές και συμβολίζονται με x (); ο αριθμός των πληθυσμιακών μονάδων συμβολίζεται με n, η μέση τιμή του χαρακτηριστικού - με . Επομένως, ο απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι:

Σύμφωνα με τα δεδομένα της διακριτής σειράς διανομής, μπορεί να φανεί ότι οι ίδιες τιμές του χαρακτηριστικού (επιλογές) επαναλαμβάνονται πολλές φορές. Έτσι, η παραλλαγή x εμφανίζεται συνολικά 2 φορές, και η παραλλαγή x - 16 φορές, κ.λπ.

Ο αριθμός των ίδιων τιμών χαρακτηριστικών στη σειρά διανομής ονομάζεται συχνότητα ή βάρος και συμβολίζεται με το σύμβολο n.

Υπολογίστε τον μέσο μισθό ανά εργαζόμενο σε ρούβλια:

Ο μισθός για κάθε ομάδα εργαζομένων είναι ίσος με το γινόμενο των επιλογών και της συχνότητας, και το άθροισμα αυτών των προϊόντων δίνει το συνολικό μισθολογικό κόστος όλων των εργαζομένων.

Σύμφωνα με αυτό, οι υπολογισμοί μπορούν να παρουσιαστούν σε μια γενική μορφή:

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.

Το στατιστικό υλικό ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας μπορεί να παρουσιαστεί όχι μόνο με τη μορφή διακριτών σειρών διανομής, αλλά και με τη μορφή σειρών μεταβολής διαστήματος με κλειστά ή ανοιχτά διαστήματα.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου για ομαδοποιημένα δεδομένα πραγματοποιείται σύμφωνα με τον σταθμισμένο μέσο αριθμητικό τύπο:

Στην πρακτική των οικονομικών στατιστικών, μερικές φορές είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του μέσου όρου με μέσους όρους ομάδας ή με μέσους όρους μεμονωμένων τμημάτων του πληθυσμού (μερικοί μέσοι όροι). Σε τέτοιες περιπτώσεις, ως επιλογές (x) λαμβάνονται ομαδικοί ή μερικοί μέσοι όροι, βάσει των οποίων ο συνολικός μέσος όρος υπολογίζεται ως ο συνήθης αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος.

Βασικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου .

Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες:

1. Από μια μείωση ή αύξηση των συχνοτήτων κάθε τιμής του χαρακτηριστικού x κατά n φορές, η τιμή του αριθμητικού μέσου όρου δεν θα αλλάξει.

Εάν όλες οι συχνότητες διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με κάποιο αριθμό, τότε η τιμή του μέσου όρου δεν θα αλλάξει.

2. Ο συνολικός πολλαπλασιαστής των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του μέσου όρου:

3. Το μέσο άθροισμα (διαφορά) δύο ή περισσότερων ποσοτήτων ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των μέσων όρων τους:

4. Εάν x \u003d c, όπου c είναι μια σταθερή τιμή, τότε
.

5. Το άθροισμα των αποκλίσεων των τιμών του χαρακτηριστικού X από τον αριθμητικό μέσο x είναι ίσο με μηδέν:

Μέση αρμονική.

Μαζί με τον αριθμητικό μέσο όρο, οι στατιστικές χρησιμοποιούν τον αρμονικό μέσο όρο, τον αντίστροφο του αριθμητικού μέσου όρου των αντίστροφων τιμών του χαρακτηριστικού. Όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, μπορεί να είναι απλός και σταθμισμένος.

Μαζί με τους μέσους όρους, τα χαρακτηριστικά της σειράς διακύμανσης είναι ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος.

Μόδα - αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού (παραλλαγή), του πιο συχνά επαναλαμβανόμενου στον πληθυσμό που μελετήθηκε. Για διακριτές σειρές διανομής, η λειτουργία θα είναι η τιμή της παραλλαγής με την υψηλότερη συχνότητα.

Για σειρές κατανομής διαστήματος με ίσα διαστήματα, ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται από τον τύπο:

που
- αρχική τιμή του διαστήματος που περιέχει τη λειτουργία.

- την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς·

- τροπική συχνότητα διαστήματος.

- συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.

- συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.

Διάμεσος είναι η παραλλαγή που βρίσκεται στη μέση της σειράς παραλλαγής. Εάν η σειρά διανομής είναι διακριτή και έχει περιττό αριθμό μελών, τότε η διάμεσος θα είναι η παραλλαγή που βρίσκεται στο μέσο της διατεταγμένης σειράς (μια διατεταγμένη σειρά είναι η διάταξη των μονάδων πληθυσμού σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά).

Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών τιμών είναι ο λόγος του αθροίσματος αυτών των τιμών προς τον αριθμό τους.

Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας συγκεκριμένης σειράς αριθμών ονομάζεται το άθροισμα όλων αυτών των αριθμών, διαιρούμενο με τον αριθμό των όρων. Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η μέση τιμή της σειράς αριθμών.

Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών; Και είναι ίσα με το άθροισμα αυτών των αριθμών, το οποίο διαιρείται με τον αριθμό των όρων σε αυτό το άθροισμα.

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο

Δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στον υπολογισμό ή την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου πολλών αριθμών, αρκεί να προσθέσετε όλους τους αριθμούς που παρουσιάζονται και να διαιρέσετε το ποσό που προκύπτει με τον αριθμό των όρων. Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των αριθμών.

Ας εξετάσουμε αυτή τη διαδικασία με περισσότερες λεπτομέρειες. Τι πρέπει να κάνουμε για να υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο και να πάρουμε το τελικό αποτέλεσμα αυτού του αριθμού.

Αρχικά, για να το υπολογίσετε, πρέπει να προσδιορίσετε ένα σύνολο αριθμών ή τον αριθμό τους. Αυτό το σετ μπορεί να περιλαμβάνει μεγάλους και μικρούς αριθμούς και ο αριθμός τους μπορεί να είναι οτιδήποτε.

Δεύτερον, όλοι αυτοί οι αριθμοί πρέπει να αθροιστούν και να ληφθεί το άθροισμά τους. Φυσικά, αν οι αριθμοί είναι απλοί και ο αριθμός τους μικρός, τότε οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν γράφοντας με το χέρι. Και αν το σύνολο των αριθμών είναι εντυπωσιακό, τότε είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή ή υπολογιστικό φύλλο.

Και, τέταρτον, το ποσό που προκύπτει από την πρόσθεση πρέπει να διαιρεθεί με τον αριθμό των αριθμών. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε το αποτέλεσμα, το οποίο θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της σειράς.

Σε τι χρησιμεύει ο αριθμητικός μέσος όρος;

Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να είναι χρήσιμος όχι μόνο για την επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων στα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά και για άλλους σκοπούς απαραίτητους στην καθημερινή ζωή ενός ατόμου. Τέτοιοι στόχοι μπορεί να είναι ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου για τον υπολογισμό της μέσης δαπάνης των οικονομικών ανά μήνα ή ο υπολογισμός του χρόνου που περνάτε στο δρόμο, επίσης για να μάθετε την παρουσία, την παραγωγικότητα, την ταχύτητα, την παραγωγικότητα και πολλά άλλα.

Λοιπόν, για παράδειγμα, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε πόσο χρόνο αφιερώνετε στη μετακίνηση στο σχολείο. Πηγαίνοντας στο σχολείο ή γυρνώντας σπίτι, περνάς διαφορετικό χρόνο στο δρόμο κάθε φορά, γιατί όταν βιάζεσαι, προχωράς πιο γρήγορα και άρα ο δρόμος παίρνει λιγότερο χρόνο. Αλλά, επιστρέφοντας στο σπίτι, μπορείτε να πάτε αργά, μιλώντας με συμμαθητές, θαυμάζοντας τη φύση και επομένως θα χρειαστεί περισσότερος χρόνος για το δρόμο.

Επομένως, δεν θα μπορείτε να προσδιορίσετε με ακρίβεια τον χρόνο που αφιερώνετε στο δρόμο, αλλά χάρη στον αριθμητικό μέσο όρο, μπορείτε να μάθετε περίπου τον χρόνο που αφιερώνετε στο δρόμο.

Ας πούμε ότι την πρώτη μέρα μετά το Σαββατοκύριακο, περάσατε δεκαπέντε λεπτά στο δρόμο από το σπίτι στο σχολείο, τη δεύτερη μέρα το ταξίδι σας κράτησε είκοσι λεπτά, την Τετάρτη διανύσατε την απόσταση σε είκοσι πέντε λεπτά, την ίδια ώρα που πήρες το δρόμο σου την Πέμπτη, και την Παρασκευή δεν βιαζόσουν και επέστρεψες για μισή ώρα.

Ας βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο, προσθέτοντας το χρόνο, και για τις πέντε ημέρες. Ετσι,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Τώρα διαιρέστε αυτό το ποσό με τον αριθμό των ημερών

Μέσω αυτής της μεθόδου, έχετε μάθει ότι η διαδρομή από το σπίτι στο σχολείο διαρκεί περίπου είκοσι τρία λεπτά από το χρόνο σας.

Εργασία για το σπίτι

1. Χρησιμοποιώντας απλούς υπολογισμούς, βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο της φοίτησης των μαθητών στην τάξη σας ανά εβδομάδα.

2. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο:

3. Λύστε το πρόβλημα:

Η πιο κοινή μορφή στατιστικών δεικτών που χρησιμοποιείται στην κοινωνικοοικονομική έρευνα είναι η μέση τιμή, η οποία είναι ένα γενικευμένο ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός σημείου ενός στατιστικού πληθυσμού. Οι μέσες τιμές είναι, όπως ήταν, "εκπρόσωποι" ολόκληρης της σειράς παρατηρήσεων. Σε πολλές περιπτώσεις, ο μέσος όρος μπορεί να προσδιοριστεί μέσω της αρχικής αναλογίας του μέσου όρου (ISS) ή του λογικού του τύπου: . Έτσι, για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε τους μέσους μισθούς των εργαζομένων μιας επιχείρησης, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το συνολικό ταμείο μισθών με τον αριθμό των εργαζομένων: Ο αριθμητής της αρχικής αναλογίας του μέσου όρου είναι ο καθοριστικός δείκτης του. Για τον μέσο μισθό, ένας τέτοιος καθοριστικός δείκτης είναι το ταμείο μισθών. Για κάθε δείκτη που χρησιμοποιείται στην κοινωνικοοικονομική ανάλυση, μπορεί να συνταχθεί μόνο ένας πραγματικός λόγος αναφοράς για τον υπολογισμό του μέσου όρου. Θα πρέπει επίσης να προστεθεί ότι για να εκτιμηθεί με μεγαλύτερη ακρίβεια η τυπική απόκλιση για μικρά δείγματα (με τον αριθμό των στοιχείων μικρότερο από 30), ο παρονομαστής της έκφρασης κάτω από τη ρίζα δεν θα πρέπει να χρησιμοποιεί n, ένα n- 1.

Η έννοια και τα είδη των μέσων όρων

Μέση αξία- αυτός είναι ένας γενικευμένος δείκτης του στατιστικού πληθυσμού, ο οποίος εξαλείφει μεμονωμένες διαφορές στις τιμές των στατιστικών μεγεθών, επιτρέποντάς σας να συγκρίνετε διαφορετικούς πληθυσμούς μεταξύ τους. Υπάρχουν 2 τάξειςμέσες τιμές: ισχύς και δομική. Οι διαρθρωτικοί μέσοι όροι είναι μόδα και διάμεσος , αλλά το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο μέσους όρους ισχύοςδιάφοροι τύποι.

Μέσος όρος ισχύος

Οι μέσοι όροι ισχύος μπορεί να είναι απλόςκαι σταθμισμένη.

Ένας απλός μέσος όρος υπολογίζεται όταν υπάρχουν δύο ή περισσότερες μη ομαδοποιημένες στατιστικές τιμές, ταξινομημένες με αυθαίρετη σειρά σύμφωνα με τον ακόλουθο γενικό τύπο του νόμου της μέσης ισχύος (για διαφορετικές τιμές k (m)):

Ο σταθμισμένος μέσος όρος υπολογίζεται από τα ομαδοποιημένα στατιστικά στοιχεία χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο γενικό τύπο:

Όπου x - τη μέση τιμή του υπό μελέτη φαινομένου. x i – i-η παραλλαγή του μέσου όρου χαρακτηριστικού ;

f i είναι το βάρος της i-ης επιλογής.

Όπου X είναι οι τιμές των επιμέρους στατιστικών τιμών ή τα μέσα των διαστημάτων ομαδοποίησης.
m - εκθέτης, από την τιμή του οποίου εξαρτώνται οι ακόλουθοι τύποι μέσου όρου ισχύος:
σε m = -1 αρμονική μέση;
για m = 0, ο γεωμετρικός μέσος όρος.
για m = 1, ο αριθμητικός μέσος όρος.
στο m = 2, η μέση τετραγωνική ρίζα.
σε m = 3, το μέσο κυβικό.

Χρησιμοποιώντας τους γενικούς τύπους για απλούς και σταθμισμένους μέσους όρους σε διαφορετικούς εκθέτες m, λαμβάνουμε συγκεκριμένους τύπους κάθε τύπου, οι οποίοι θα συζητηθούν λεπτομερώς παρακάτω.

Αριθμητικός μέσος όρος

Αριθμητικός μέσος όρος - η αρχική στιγμή της πρώτης τάξης, η μαθηματική προσδοκία των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής με μεγάλο αριθμό δοκιμών.

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέση τιμή, η οποία προκύπτει αντικαθιστώντας το m = 1 στον γενικό τύπο. Αριθμητικός μέσος όρος απλόςέχει την εξής μορφή:

Όπου X είναι οι τιμές των ποσοτήτων για τις οποίες είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η μέση τιμή. N είναι ο συνολικός αριθμός των τιμών X (ο αριθμός των μονάδων στον πληθυσμό που μελετήθηκε).

Για παράδειγμα, ένας μαθητής πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5. Υπολογίστε τη μέση βαθμολογία χρησιμοποιώντας τον απλό αριθμητικό μέσο όρο: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4 .Αριθμητικός μέσος όρος σταθμισμένηέχει την εξής μορφή:

Όπου f είναι ο αριθμός των τιμών με την ίδια τιμή X (συχνότητα). >Για παράδειγμα, ένας μαθητής πέρασε 4 εξετάσεις και έλαβε τους ακόλουθους βαθμούς: 3, 4, 4 και 5. Υπολογίστε τη μέση βαθμολογία χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .Εάν οι τιμές X δίνονται ως διαστήματα, τότε τα μεσαία σημεία των διαστημάτων X χρησιμοποιούνται για υπολογισμούς, τα οποία ορίζονται ως το ήμισυ του αθροίσματος των άνω και κάτω ορίων του διαστήματος. Και αν το διάστημα Χ δεν έχει κατώτερο ή ανώτερο όριο (ανοιχτό διάστημα), τότε για να το βρούμε, χρησιμοποιείται το εύρος (η διαφορά μεταξύ του ανώτερου και του κατώτερου ορίου) του παρακείμενου διαστήματος Χ. Για παράδειγμα, μια επιχείρηση έχει 10 υπαλλήλους με έως και 3 χρόνια εμπειρίας, 20 με εμπειρία 3 έως 5 ετών και 5 υπαλλήλους με εμπειρία άνω των 5 ετών. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη μέση προϋπηρεσία των εργαζομένων χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο, λαμβάνοντας ως Χ το μέσο των διαστημάτων διάρκειας υπηρεσίας (2, 4 και 6 έτη): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 έτη.

Συνάρτηση AVERAGE

Αυτή η συνάρτηση υπολογίζει τον μέσο όρο (αριθμητική) των ορισμάτων της.

AVERAGE (αριθμός 1, αριθμός 2, ...)

Ο αριθμός 1, ο αριθμός 2, ... είναι επιχειρήματα 1 έως 30 για τα οποία υπολογίζεται ο μέσος όρος.

Τα επιχειρήματα πρέπει να είναι αριθμοί ή ονόματα, πίνακες ή αναφορές που περιέχουν αριθμούς. Εάν το όρισμα, το οποίο είναι ένας πίνακας ή ένας σύνδεσμος, περιέχει κείμενα, booleans ή κενά κελιά, τότε αυτές οι τιμές αγνοούνται. Ωστόσο, τα κελιά που περιέχουν μηδενικές τιμές καταμετρώνται.

Συνάρτηση AVERAGE

Υπολογίζει τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών που δίνονται στη λίστα ορισμάτων. Εκτός από αριθμούς, κείμενο και λογικές τιμές, όπως TRUE και FALSE, μπορούν να συμμετέχουν στον υπολογισμό.

AVERAGE(τιμή1, τιμή2,...)

Οι τιμές 1, τιμή 2,... είναι 1 έως 30 κελιά, εύρη κελιών ή τιμές για τις οποίες υπολογίζεται ο μέσος όρος.

Τα ορίσματα πρέπει να είναι αριθμοί, ονόματα, πίνακες ή αναφορές. Οι πίνακες και οι σύνδεσμοι που περιέχουν κείμενο ερμηνεύονται ως 0 (μηδέν). Το κενό κείμενο ("") ερμηνεύεται ως 0 (μηδέν). Τα ορίσματα που περιέχουν την τιμή TRUE ερμηνεύονται ως 1, τα ορίσματα που περιέχουν την τιμή FALSE ερμηνεύονται ως 0 (μηδέν).

Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνότερα, αλλά υπάρχουν φορές που χρειάζονται άλλοι τύποι μέσου όρου. Ας εξετάσουμε περαιτέρω τέτοιες περιπτώσεις.

Μέση αρμονική

Αρμονικός μέσος για τον προσδιορισμό του μέσου αθροίσματος των αντίστροφων.

Μέση αρμονικήχρησιμοποιείται όταν τα αρχικά δεδομένα δεν περιέχουν συχνότητες f για μεμονωμένες τιμές του X, αλλά παρουσιάζονται ως γινόμενο Xf. Δηλώνοντας Xf=w, εκφράζουμε f=w/X και αντικαθιστώντας αυτούς τους χαρακτηρισμούς με τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο, λαμβάνουμε τον σταθμισμένο αρμονικό μέσο όρο:

Έτσι, ο αρμονικός σταθμισμένος μέσος όρος χρησιμοποιείται όταν οι συχνότητες f είναι άγνωστες, αλλά w=Xf είναι γνωστές. Σε περιπτώσεις όπου όλα τα w=1, δηλαδή οι επιμέρους τιμές του X εμφανίζονται 1 φορά, εφαρμόζεται ο αρμονικός απλός μέσος τύπος: ή Για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο ταξίδευε από το σημείο Α στο σημείο Β με ταχύτητα 90 km/h και πίσω με ταχύτητα 110 km/h. Για να προσδιορίσουμε τη μέση ταχύτητα, εφαρμόζουμε τον αρμονικό απλό τύπο, αφού το παράδειγμα δίνει την απόσταση w 1 \u003d w 2 (η απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Β είναι ίδια με το σημείο Β στο Α), που είναι ίση με το γινόμενο της ταχύτητας (Χ) και του χρόνου (στ). Μέση ταχύτητα = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Λειτουργία SRHARM

Επιστρέφει τον αρμονικό μέσο όρο του συνόλου δεδομένων. Ο αρμονικός μέσος όρος είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου όρου των αντίστροφων.

SGARM(αριθμός 1, αριθμός 2, ...)

Ο αριθμός 1, ο αριθμός 2, ... είναι επιχειρήματα 1 έως 30 για τα οποία υπολογίζεται ο μέσος όρος. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα ή μια αναφορά πίνακα αντί για ορίσματα διαχωρισμένα με ερωτηματικό.

Ο αρμονικός μέσος όρος είναι πάντα μικρότερος από τον γεωμετρικό μέσο όρο, ο οποίος είναι πάντα μικρότερος από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Γεωμετρικό μέσο

Γεωμετρικός μέσος όρος για την εκτίμηση του μέσου ρυθμού αύξησης των τυχαίων μεταβλητών, εύρεση της τιμής ενός χαρακτηριστικού σε ίση απόσταση από τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές.

Γεωμετρικό μέσοχρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των μέσων σχετικών μεταβολών. Η γεωμετρική μέση τιμή δίνει το πιο ακριβές αποτέλεσμα μέσου όρου εάν η εργασία είναι να βρεθεί μια τέτοια τιμή του X, η οποία θα ήταν ίση απόσταση τόσο από τη μέγιστη όσο και από την ελάχιστη τιμή του X. Για παράδειγμα, μεταξύ 2005 και 2008δείκτης πληθωρισμού στη Ρωσία ήταν: το 2005 - 1,109; το 2006 - 1.090; το 2007 - 1.119; το 2008 - 1.133. Δεδομένου ότι ο δείκτης πληθωρισμού είναι μια σχετική μεταβολή (δυναμικός δείκτης), τότε πρέπει να υπολογίσετε τη μέση τιμή χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό μέσο όρο: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, δηλαδή για την περίοδο από το 2005 έως το 2008 οι τιμές αυξήθηκαν ετησίως κατά μέσο όρο 11,26%. Ένας λανθασμένος υπολογισμός στον αριθμητικό μέσο όρο θα έδινε εσφαλμένο αποτέλεσμα 11,28%.

Λειτουργία SRGEOM

Επιστρέφει τον γεωμετρικό μέσο όρο ενός πίνακα ή ενός εύρους θετικών αριθμών. Για παράδειγμα, η συνάρτηση CAGEOM μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού ανάπτυξης εάν δίνεται σύνθετο εισόδημα με μεταβλητούς ρυθμούς.

SRGEOM(αριθμός 1; αριθμός 2; ...)

Ο αριθμός 1, ο αριθμός 2, ... είναι ορίσματα 1 έως 30 για τα οποία υπολογίζεται ο γεωμετρικός μέσος όρος. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα ή μια αναφορά πίνακα αντί για ορίσματα διαχωρισμένα με ερωτηματικό.

ρίζα μέσο τετράγωνο

Το μέσο τετράγωνο της ρίζας είναι η αρχική στιγμή της δεύτερης τάξης.

ρίζα μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται όταν οι αρχικές τιμές του X μπορεί να είναι θετικές και αρνητικές, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των μέσων αποκλίσεων.

Η κύρια χρήση του τετραγωνικού μέσου όρου είναι η μέτρηση της διακύμανσης στις τιμές Χ.

Μέσο κυβικό

Το μέσο κυβικό είναι η αρχική ροπή της τρίτης τάξης.

Μέσο κυβικόχρησιμοποιείται εξαιρετικά σπάνια, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό των δεικτών φτώχειας για τις αναπτυσσόμενες χώρες (HPI-1) και για τις ανεπτυγμένες χώρες (HPI-2), που προτείνονται και υπολογίζονται από τον ΟΗΕ.