στατιστική φυσικήκαι θερμοδυναμική

Στατιστικές και θερμοδυναμικές μέθοδοι έρευνας . Η μοριακή φυσική και η θερμοδυναμική είναι κλάδοι της φυσικής που μελετούν μακροσκοπικές διεργασίεςσε σώματα, που συνδέονται με έναν τεράστιο αριθμό ατόμων και μορίων που περιέχονται στα σώματα. Για τη μελέτη αυτών των διαδικασιών, χρησιμοποιούνται δύο ποιοτικά διαφορετικές και αλληλοσυμπληρωματικές μέθοδοι: στατιστικός (μοριακή κινητική) και θερμοδυναμικός. Το πρώτο αποτελεί τη βάση της μοριακής φυσικής, το δεύτερο - τη θερμοδυναμική.

Μοριακή φυσική - ένας κλάδος της φυσικής που μελετά τη δομή και τις ιδιότητες της ύλης με βάση μοριακές-κινητικές έννοιες με βάση το γεγονός ότι όλα τα σώματα αποτελούνται από μόρια που βρίσκονται σε συνεχή χαοτική κίνηση.

Ιδέα για ατομική δομήουσίες που εξέφρασε ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Δημόκριτος (460-370 π.Χ.). Η ατομιστική αναβίωσε ξανά μόλις τον 17ο αιώνα. και αναπτύσσεται σε έργα των οποίων οι απόψεις για τη δομή της ύλης και θερμικά φαινόμεναήταν κοντά στο σύγχρονο. Αυστηρή ανάπτυξη της μοριακής θεωρίας αναφέρεται μέσα του δέκατου ένατουσε. και συνδέεται με το έργο του Γερμανού φυσικού R. Clausius (1822-1888), J. Maxwell και L. Boltzmann.

Διαδικασίες που μελετήθηκαν μοριακή φυσική, είναι το αποτέλεσμα της αθροιστικής δράσης ενός τεράστιου αριθμού μορίων. Οι νόμοι συμπεριφοράς ενός τεράστιου αριθμού μορίων, που είναι στατιστικές κανονικότητες, μελετώνται χρησιμοποιώντας στατιστική μέθοδος . Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι οι ιδιότητες ενός μακροσκοπικού συστήματος καθορίζονται τελικά από τις ιδιότητες των σωματιδίων του συστήματος, τα χαρακτηριστικά της κίνησής τους και κατά μέσο όροτις τιμές των δυναμικών χαρακτηριστικών αυτών των σωματιδίων (ταχύτητα, ενέργεια κ.λπ.). Για παράδειγμα, η θερμοκρασία ενός σώματος καθορίζεται από την ταχύτητα της χαοτικής κίνησης των μορίων του, αλλά δεδομένου ότι ανά πάσα στιγμή διαφορετικά μόρια έχουν διάφορες ταχύτητες, τότε μπορεί να εκφραστεί μόνο ως προς τη μέση ταχύτητα των μορίων. Είναι αδύνατο να μιλήσουμε για τη θερμοκρασία ενός μορίου. Έτσι, τα μακροσκοπικά χαρακτηριστικά των σωμάτων έχουν φυσική σημασία μόνο στην περίπτωση ένας μεγάλος αριθμόςμόρια.

Θερμοδυναμικήο κλάδος της φυσικής που μελετά γενικές ιδιότητεςμακροσκοπικά συστήματα σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας και τις διαδικασίες μετάβασης μεταξύ αυτών των καταστάσεων. Η Θερμοδυναμική δεν εξετάζει τις μικροδιεργασίες που αποτελούν τη βάση αυτών των μετασχηματισμών. Αυτό θερμοδυναμική μέθοδοςδιαφορετικό από τα στατιστικά. Η θερμοδυναμική βασίζεται σε δύο αρχές - θεμελιώδεις νόμους που θεσπίζονται ως αποτέλεσμα της γενίκευσης των πειραματικών δεδομένων.

Το πεδίο της θερμοδυναμικής είναι πολύ ευρύτερο από αυτό της μοριακής κινητική θεωρία, γιατί δεν υπάρχουν τέτοιοι τομείς της φυσικής και της χημείας στους οποίους θα ήταν αδύνατη η χρήση της θερμοδυναμικής μεθόδου. Ωστόσο, από την άλλη πλευρά, η θερμοδυναμική μέθοδος είναι κάπως περιορισμένη: η θερμοδυναμική δεν λέει τίποτα για τη μικροσκοπική δομή μιας ουσίας, για τον μηχανισμό των φαινομένων, αλλά δημιουργεί μόνο συνδέσεις μεταξύ των μακροσκοπικών ιδιοτήτων μιας ουσίας. Η μοριακή-κινητική θεωρία και η θερμοδυναμική αλληλοσυμπληρώνονται, σχηματίζοντας ένα ενιαίο σύνολο, αλλά διαφέρουν σε διαφορετικές μεθόδους έρευνας.

Βασικά αξιώματα της μοριακής κινητικής θεωρίας (MKT)

1. Όλα τα σώματα στη φύση αποτελούνται από τεράστιο ποσό μικρότερα σωματίδια(άτομα και μόρια).

2. Αυτά τα σωματίδια βρίσκονται μέσα συνεχής χαώδης(τυχαία) κίνηση.

3. Η κίνηση των σωματιδίων σχετίζεται με τη θερμοκρασία του σώματος, γι' αυτό και ονομάζεται θερμική κίνηση.

4. Τα σωματίδια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Αποδεικτικά στοιχεία για την εγκυρότητα του ΜΚΤ: διάχυση ουσιών, Brownian κίνηση, θερμική αγωγιμότητα.

Φυσικές ποσότητες που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή διεργασιών σε μοριακή φυσικήχωρίζεται σε δύο κατηγορίες:

μικροπαραμέτρων- ποσότητες που περιγράφουν τη συμπεριφορά μεμονωμένων σωματιδίων (μάζα ενός ατόμου (μόριο), ταχύτητα, ορμή, κινητική ενέργειαμεμονωμένα σωματίδια).
παραμέτρους μακροεντολών- ποσότητες που δεν είναι αναγώγιμες σε μεμονωμένα σωματίδια, αλλά χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες της ουσίας στο σύνολό της. Οι τιμές των μακροπαραμέτρων καθορίζονται από το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης δράσης ενός τεράστιου αριθμού σωματιδίων. Οι μακρο παράμετροι είναι θερμοκρασία, πίεση, συγκέντρωση κ.λπ.

Η θερμοκρασία είναι μια από τις βασικές έννοιες που παίζουν σημαντικός ρόλοςόχι μόνο στη θερμοδυναμική, αλλά και στη φυσική γενικότερα. Θερμοκρασία - φυσική ποσότηταπου χαρακτηρίζει την κατάσταση της θερμοδυναμικής ισορροπίας ενός μακροσκοπικού συστήματος. Σύμφωνα με την απόφαση της XI Γενικής Διάσκεψης για τα Βάρη και τα Μέτρα (1960), μόνο δύο κλίμακες θερμοκρασίας μπορούν επί του παρόντος να χρησιμοποιηθούν - θερμοδυναμικόςκαι Διεθνής πρακτική, βαθμολογούνται αντίστοιχα σε Kelvin (K) και βαθμούς Κελσίου (°C).

Στη θερμοδυναμική κλίμακα, το σημείο πήξης του νερού είναι 273,15 K (την ίδια

πίεση όπως στη Διεθνή Πρακτική Κλίμακα), επομένως, εξ ορισμού, η θερμοδυναμική θερμοκρασία και η θερμοκρασία σύμφωνα με τη Διεθνή Πρακτική

κλίμακα σχετίζονται με την αναλογία

Τ= 273,15 + t.

Θερμοκρασία Τ = 0 K καλείται μηδέν Κέλβιν.Ανάλυση διάφορες διαδικασίεςδείχνει ότι το 0 K δεν είναι εφικτό, αν και είναι δυνατό να το προσεγγίσουμε αυθαίρετα κοντά. 0 K είναι η θερμοκρασία στην οποία, θεωρητικά, θα πρέπει να σταματήσει οποιαδήποτε θερμική κίνηση των σωματιδίων της ύλης.

Στη μοριακή φυσική, προκύπτει μια σχέση μεταξύ μακρο-παραμέτρων και μικροπαραμέτρων. Για παράδειγμα, πίεση ιδανικό αέριομπορεί να εκφραστεί με τον τύπο:

θέση:συγγενής; top:5.0pt">- μάζα ενός μορίου, - συγκέντρωση, μέγεθος γραμματοσειράς: 10.0pt"> Από τη βασική εξίσωση MKT, μπορείτε να πάρετε μια βολική για πρακτική χρήσηη εξίσωση:

font-size: 10.0pt"> Ιδανικό αέριο είναι ένα εξιδανικευμένο μοντέλο αερίου, στο οποίο θεωρείται ότι:

1. ο εγγενής όγκος των μορίων αερίου είναι αμελητέος σε σύγκριση με τον όγκο του δοχείου.

2. δεν υπάρχουν δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των μορίων (έλξη και απώθηση σε απόσταση.

3. οι συγκρούσεις μορίων μεταξύ τους και με τα τοιχώματα του αγγείου είναι απολύτως ελαστικές.

Ένα ιδανικό αέριο είναι ένα απλοποιημένο θεωρητικό μοντέλοαέριο. Όμως, η κατάσταση πολλών αερίων κάτω από ορισμένες συνθήκες μπορεί να περιγραφεί από αυτή την εξίσωση.

Να περιγράψω το κράτος πραγματικά αέριαπρέπει να εισαχθούν διορθώσεις στην εξίσωση κατάστασης. Η παρουσία απωστικών δυνάμεων που αντιτίθενται στη διείσδυση άλλων μορίων στον όγκο που καταλαμβάνει το μόριο οφείλεται στο γεγονός ότι ο πραγματικός ελεύθερος όγκος στον οποίο μπορούν να κινηθούν τα πραγματικά μόρια αερίου θα είναι μικρότερος. όπουσι - ο μοριακός όγκος που καταλαμβάνουν τα ίδια τα μόρια.

Η δράση των δυνάμεων έλξης του αερίου οδηγεί στην εμφάνιση πρόσθετης πίεσης στο αέριο, που ονομάζεται εσωτερική πίεση. Σύμφωνα με τους υπολογισμούς του Van der Waals, η εσωτερική πίεση είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο του μοριακού όγκου, δηλαδή όπου ένα -σταθερά van der Waals που χαρακτηρίζει τις δυνάμεις της διαμοριακής έλξης,VΜ - μοριακός όγκος.

Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε πραγματική εξίσωση κατάστασης αερίουή εξίσωση van der Waals:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> φυσική έννοιαθερμοκρασία: η θερμοκρασία είναι ένα μέτρο της έντασης θερμική κίνησησωματίδια ύλης. Η έννοια της θερμοκρασίας δεν είναι εφαρμόσιμη σε ένα μόνο μόριο. Απλά για αρκετά ένας μεγάλος αριθμόςμόρια που δημιουργούν μια ορισμένη ποσότητα ύλης, είναι λογικό να αναφέρεται ο όρος θερμοκρασία.

Για ένα ιδανικό μονοατομικό αέριο, η εξίσωση μπορεί να γραφεί:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>First πειραματικό ορισμόταχύτητες μορίων διεξήχθη από τον Γερμανό φυσικό O. Stern (1888-1970). Τα πειράματά του κατέστησαν επίσης δυνατή την εκτίμηση της κατανομής της ταχύτητας των μορίων.

«Αντιπαράθεση» μεταξύ των δυνητικών ενεργειών της δέσμευσης των μορίων και των ενεργειών της θερμικής κίνησης των μορίων ( κινητικά μόρια) οδηγεί στην ύπαρξη διαφόρων συγκεντρωτικά κράτηουσίες.

Θερμοδυναμική

Μετρώντας τον αριθμό των μορίων σε ένα δεδομένο σύστημα και υπολογίζοντας τη μέση κινητική τους και δυναμική ενέργεια, μπορούμε να εκτιμήσουμε την εσωτερική ενέργεια αυτού του συστήματος U.

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Για ένα ιδανικό μονοατομικό αέριο .

Εσωτερική ενέργειαενός συστήματος μπορεί να αλλάξει ως αποτέλεσμα διαφόρων διεργασιών, για παράδειγμα, γίνεται εργασία στο σύστημα ή μεταδίδεται θερμότητα σε αυτό. Έτσι, μετακινώντας το έμβολο στον κύλινδρο στον οποίο βρίσκεται το αέριο, συμπιέζουμε αυτό το αέριο, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η θερμοκρασία του, δηλ. αλλάζοντας (αυξάνοντας) την εσωτερική ενέργεια του αερίου. Από την άλλη πλευρά, η θερμοκρασία του αερίου και η εσωτερική του ενέργεια μπορούν να αυξηθούν μεταδίδοντάς του μια ορισμένη ποσότητα θερμότητας - την ενέργεια που μεταφέρεται στο σύστημα από εξωτερικά σώματα μέσω μεταφοράς θερμότητας (η διαδικασία ανταλλαγής εσωτερικών ενεργειών όταν τα σώματα εισέρχονται σε επαφή με διαφορετικές θερμοκρασίες).

Έτσι, μπορούμε να μιλάμε για δύο μορφές μεταφοράς ενέργειας από το ένα σώμα στο άλλο: εργασία και θερμότητα. Ενέργεια μηχανική κίνησημπορεί να μετατραπεί σε θερμική ενέργεια και αντίστροφα. Κατά τη διάρκεια αυτών των μετασχηματισμών, παρατηρείται ο νόμος της διατήρησης και του μετασχηματισμού της ενέργειας. εφαρμόζεται σε θερμοδυναμικές διεργασίεςαυτός ο νόμος είναι πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής, που καθιερώθηκε ως αποτέλεσμα γενίκευσης πειραματικών δεδομένων αιώνων:

σε κλειστό βρόχο, έτσι font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Απόδοση θερμικού κινητήρα: .

Από τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής προκύπτει ότι η απόδοση μιας θερμικής μηχανής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 100%.

Υπόθεση ύπαρξης διάφορες μορφέςενέργειας και τη σύνδεση μεταξύ τους, η πρώτη αρχή της TD δεν λέει τίποτα για την κατεύθυνση των διεργασιών στη φύση. Σε πλήρη συμφωνία με τον πρώτο νόμο, μπορεί κανείς να σχεδιάσει νοερά έναν κινητήρα στον οποίο, λόγω της μείωσης της εσωτερικής ενέργειας μιας ουσίας, χρήσιμη εργασία. Για παράδειγμα, αντί για καύσιμο θερμική μηχανήθα χρησιμοποιούταν νερό, και ψύχοντας το νερό και μετατρέποντάς το σε πάγο, θα γινόταν δουλειά. Αλλά τέτοιες αυθόρμητες διαδικασίες δεν συμβαίνουν στη φύση.

Όλες οι διαδικασίες στη φύση μπορούν να χωριστούν σε αναστρέψιμες και μη αναστρέψιμες.

Ένα από τα κύρια προβλήματα στην κλασική φυσική επιστήμη για μεγάλο χρονικό διάστημα παρέμεινε το πρόβλημα της εξήγησης φυσική φύσημη αναστρεψιμότητα πραγματικών διαδικασιών. Η ουσία του προβλήματος έγκειται στο γεγονός ότι η κίνηση ενός υλικού σημείου, που περιγράφεται από τον νόμο II του Νεύτωνα (F = ma), είναι αντιστρέψιμη, ενώ ένας μεγάλος αριθμός υλικά σημείασυμπεριφέρονται αμετάκλητα.

Εάν ο αριθμός των υπό μελέτη σωματιδίων είναι μικρός (για παράδειγμα, δύο σωματίδια στο σχήμα α)), τότε δεν θα μπορούμε να προσδιορίσουμε πού κατευθύνεται ο άξονας του χρόνου: από αριστερά προς τα δεξιά ή από τα δεξιά προς τα αριστερά, καθώς οποιαδήποτε ακολουθία πλαίσια είναι εξίσου δυνατή. Αυτό είναι αναστρέψιμο φαινόμενο. Η κατάσταση αλλάζει σημαντικά αν ο αριθμός των σωματιδίων είναι πολύ μεγάλος (Εικ. β)). Σε αυτή την περίπτωση, η κατεύθυνση του χρόνου καθορίζεται ξεκάθαρα: από αριστερά προς τα δεξιά, καθώς είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς ότι τα σωματίδια είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα από μόνα τους, χωρίς καμία εξωτερικές επιρροέςθα μαζευτεί στη γωνία του «κουτιού». Αυτή η συμπεριφορά, όταν η κατάσταση του συστήματος μπορεί να αλλάξει μόνο σε μια συγκεκριμένη ακολουθία, ονομάζεται μη αναστρεψιμο. Όλες οι πραγματικές διαδικασίες είναι μη αναστρέψιμες.

Παραδείγματα μη αναστρέψιμων διεργασιών: διάχυση, αγωγιμότητα θερμότητας, ιξώδης ροή. Σχεδόν όλες οι πραγματικές διεργασίες στη φύση είναι μη αναστρέψιμες: αυτή είναι η απόσβεση ενός εκκρεμούς και η εξέλιξη ενός αστεριού, και ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ζωη. Η μη αναστρεψιμότητα των διαδικασιών στη φύση, όπως λέγαμε, καθορίζει την κατεύθυνση στον άξονα του χρόνου από το παρελθόν στο μέλλον. Αυτή η ιδιότητα του χρόνου Άγγλος φυσικόςκαι ο αστρονόμος A. Eddington ονόμασε μεταφορικά «το βέλος του χρόνου».

Γιατί, παρά την αντιστρεψιμότητα της συμπεριφοράς ενός μεμονωμένου σωματιδίου, ένα σύνολο μεγάλου αριθμού τέτοιων σωματιδίων συμπεριφέρεται μη αναστρέψιμα; Ποια είναι η φύση της μη αναστρέψιμης; Πώς να δικαιολογήσετε το μη αναστρέψιμο των πραγματικών διεργασιών που βασίζονται στους νόμους της Νευτώνειας μηχανικής; Αυτά και άλλα παρόμοια ερωτήματα αναστάτωσαν το μυαλό των πιο επιφανών επιστημόνων του 18ου-19ου αιώνα.

Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής ορίζει την κατεύθυνση η τεμπελιά όλων των διαδικασιών σε μεμονωμένα συστήματα. Παρόλο σύνολοη ενέργεια σε ένα απομονωμένο σύστημα διατηρείται, η ποιοτική του σύνθεση αλλάζει αμετάκλητα.

1. Στη διατύπωση του Κέλβιν, ο δεύτερος νόμος είναι: «Δεν υπάρχει καμία διαδικασία που το μόνο της αποτέλεσμα θα ήταν η απορρόφηση της θερμότητας από τον θερμαντήρα και η πλήρης μετατροπή αυτής της θερμότητας σε εργασία».

2. Σε μια άλλη διατύπωση: «Η θερμότητα μπορεί να μεταφερθεί αυθόρμητα μόνο από ένα θερμότερο σώμα σε ένα λιγότερο καυτό».

3. Η τρίτη διατύπωση είναι: «Η εντροπία σε ένα κλειστό σύστημα μπορεί μόνο να αυξηθεί».

Δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής απαγορεύει την ύπαρξη μηχανή αέναης κίνησηςδεύτερο είδος , δηλ. μια μηχανή ικανή να κάνει εργασία μεταφέροντας θερμότητα από ένα ψυχρό σώμα σε ένα ζεστό. Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής υποδεικνύει την ύπαρξη δύο διαφορετικών μορφών ενέργειας - της θερμότητας ως μέτρο της χαοτικής κίνησης των σωματιδίων και του έργου που σχετίζεται με την διατεταγμένη κίνηση. Η εργασία μπορεί πάντα να μετατραπεί στην ισοδύναμη θερμότητά της, αλλά η θερμότητα δεν μπορεί να μετατραπεί πλήρως σε εργασία. Έτσι, μια διαταραγμένη μορφή ενέργειας δεν μπορεί να μετατραπεί σε μια διατεταγμένη μορφή χωρίς πρόσθετες ενέργειες.

Πλήρης μεταμόρφωση μηχανική εργασίαστη ζεστασιά που κάνουμε κάθε φορά που πατάμε το πεντάλ του φρένου σε ένα αυτοκίνητο. Αλλά χωρίς πρόσθετες ενέργειες σε έναν κλειστό κύκλο λειτουργίας του κινητήρα, είναι αδύνατο να μεταφερθεί όλη η θερμότητα στην εργασία. Μέρος της θερμικής ενέργειας δαπανάται αναπόφευκτα για τη θέρμανση του κινητήρα, καθώς και το κινούμενο έμβολο λειτουργεί συνεχώς ενάντια στις δυνάμεις τριβής (αυτό καταναλώνει επίσης μια παροχή μηχανικής ενέργειας).

Αλλά το νόημα του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής αποδείχθηκε ακόμη βαθύτερο.

Μια άλλη διατύπωση του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής είναι η ακόλουθη δήλωση: η εντροπία ενός κλειστού συστήματος είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση, δηλαδή, σε οποιαδήποτε πραγματική διαδικασία, είτε αυξάνεται είτε παραμένει αμετάβλητη.

Η έννοια της εντροπίας, που εισήχθη στη θερμοδυναμική από τον R. Clausius, ήταν αρχικά τεχνητή. Ο εξαιρετικός Γάλλος επιστήμονας A. Poincare έγραψε σχετικά: «Η εντροπία φαίνεται κάπως μυστηριώδης με την έννοια ότι αυτή η τιμή είναι απρόσιτη σε καμία από τις αισθήσεις μας, αν και έχει ακίνητη περιουσίαφυσικών μεγεθών, γιατί, τουλάχιστον κατ' αρχήν, είναι αρκετά μετρήσιμο.

Σύμφωνα με τον Clausius, η εντροπία είναι ένα τέτοιο φυσικό μέγεθος, η αύξηση του οποίου είναι ίση με την ποσότητα της θερμότητας που προκύπτει από το σύστημα, διαιρούμενο με την απόλυτη θερμοκρασία:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, σε μεμονωμένα συστήματα, δηλαδή συστήματα που δεν ανταλλάσσουν περιβάλλονενέργεια, μια διαταραγμένη κατάσταση (χάος) δεν μπορεί ανεξάρτητα να περάσει σε τάξη. Έτσι, σε απομονωμένα συστήματα, η εντροπία μπορεί μόνο να αυξηθεί. Αυτό το μοτίβο έχει ονομαστεί αρχή της αυξανόμενης εντροπίας. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, κάθε σύστημα τείνει σε μια κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, η οποία ταυτίζεται με το χάος. Δεδομένου ότι η αύξηση της εντροπίας χαρακτηρίζει τις αλλαγές στο χρόνο των κλειστών συστημάτων, η εντροπία λειτουργεί ως ένα είδος βέλη του χρόνου.

Ονομάσαμε την κατάσταση με τη μέγιστη εντροπία διαταραγμένη και την κατάσταση με χαμηλή εντροπία - διατεταγμένη. Ένα στατιστικό σύστημα, αν αφεθεί μόνο του, περνά από μια διατεταγμένη σε μια διαταραγμένη κατάσταση με μέγιστη εντροπία που αντιστοιχεί σε δεδομένες εξωτερικές και εσωτερικές παραμέτρους (πίεση, όγκος, θερμοκρασία, αριθμός σωματιδίων κ.λπ.).

Ο Ludwig Boltzmann συνέδεσε την έννοια της εντροπίας με την έννοια της θερμοδυναμικής πιθανότητας: font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Έτσι, κάθε απομονωμένο σύστημα, αφημένο στον εαυτό του, με την πάροδο του χρόνου μετακινείται από μια κατάσταση τάξης σε μια κατάσταση μέγιστης αταξίας (χάος).

Από αυτή την αρχή προκύπτει η απαισιόδοξη υπόθεση για θερμικός θάνατος του σύμπαντος,διατυπώθηκε από τους R. Clausius και W. Kelvin, σύμφωνα με την οποία:

· η ενέργεια του σύμπαντος είναι πάντα σταθερή.

· Η εντροπία του σύμπαντος αυξάνεται συνεχώς.

Έτσι, όλες οι διεργασίες στο Σύμπαν κατευθύνονται προς την επίτευξη της κατάστασης της θερμοδυναμικής ισορροπίας που αντιστοιχεί στην κατάσταση το μεγαλύτερο χάοςκαι αποδιοργάνωση. Όλα τα είδη ενέργειας υποβαθμίζονται, μετατρέπονται σε θερμότητα και τα αστέρια θα τερματίσουν την ύπαρξή τους, δίνοντας ενέργεια στον περιβάλλοντα χώρο. Σταθερή θερμοκρασία θα δημιουργηθεί μόνο λίγους βαθμούς υψηλότερα απόλυτο μηδενικό. Άψυχοι, ψυχροί πλανήτες και αστέρια θα διασκορπιστούν σε αυτό το διάστημα. Δεν θα υπάρχει τίποτα - ούτε πηγές ενέργειας, ούτε ζωή.

Μια τέτοια ζοφερή προοπτική είχε προβλεφθεί από τη φυσική μέχρι τη δεκαετία του '60 του εικοστού αιώνα, αν και τα συμπεράσματα της θερμοδυναμικής έρχονταν σε αντίθεση με τα αποτελέσματα της έρευνας στη βιολογία και κοινωνικές επιστήμες. Ετσι, εξελικτική θεωρίαΟ Δαρβίνος το κατέθεσε αυτό Ζωντανή φύσηαναπτύσσεται κυρίως προς την κατεύθυνση της βελτίωσης και της επιπλοκής νέων ειδών φυτών και ζώων. Η ιστορία, η κοινωνιολογία, η οικονομία και άλλες κοινωνικές και ανθρωπιστικές επιστήμες έχουν επίσης δείξει ότι στην κοινωνία, παρά τα τεθλάσματα της ανάπτυξης, γενικά σημειώνεται πρόοδος.

Εμπειρία και Πρακτικές δραστηριότητεςκατέθεσε ότι η έννοια ενός κλειστού ή απομονωμένου συστήματος είναι μια μάλλον ωμή αφαίρεση που απλοποιεί την πραγματικότητα, καθώς είναι δύσκολο να βρεθούν συστήματα στη φύση που δεν αλληλεπιδρούν με το περιβάλλον. Η αντίφαση άρχισε να επιλύεται όταν στη θερμοδυναμική, αντί για την έννοια του κλειστού απομονωμένου συστήματος, εισήχθη η θεμελιώδης έννοια του ανοιχτού συστήματος, δηλαδή ένα σύστημα που ανταλλάσσει ύλη, ενέργεια και πληροφορίες με το περιβάλλον.

Κλασική και κβαντική στατιστική φυσική. Παραγωγή της σχέσης Gibbs. Θερμοδυναμικές αρχές. Το θεώρημα του Liouville και οι κινητικές εξισώσεις Boltzmann και Ziegler. Μέθοδοι στατιστικής φυσικής σε ετερογενή μέσα.

1. Παραγωγή της σχέσης Gibbs

Εισαγωγικές παρατηρήσεις . Η παραγωγή συστατικών εξισώσεων κατέχει κεντρική θέση στη μηχανική των ετερογενών μέσων. Είναι οι συστατικές εξισώσεις που περιέχουν την προδιαγραφή, που καθιστά δυνατή τη διάκριση μεταξύ μέσων με διαφορετικές μηχανικές ιδιότητες. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εξαγωγή εξισώσεων καθορισμού, τόσο αυστηρές με βάση μεθόδους υπολογισμού μέσου όρου όσο και ευρετικές. Η πιο κοινή μέθοδος είναι ο συνδυασμός πείραμα σκέψηςλαμβάνοντας υπόψη τις θερμοδυναμικές αρχές. Και οι δύο αυτές προσεγγίσεις είναι φαινομενολογικές, αν και η θερμοδυναμική μέθοδος είναι βαθιά ανεπτυγμένη και βασίζεται σε θεμελιώδεις φυσικούς νόμους. Είναι προφανές ότι η φαινομενολογική εξαγωγή των συστατικών σχέσεων χρειάζεται να τεκμηριωθεί με βάση τις γενικές φυσικές αρχές, ιδίως με τη χρήση στατιστικών μεθόδων.

Η στατιστική φυσική μελετά συστήματα που αποτελούνται από έναν τεράστιο αριθμό πανομοιότυπων ή παρόμοιων στοιχείων (άτομα, μόρια, ιόντα, υπομοριακές δομές κ.λπ.). Στη μηχανική των ετερογενών μέσων, τέτοια στοιχεία είναι οι μικροετερογένειες (πόροι, ρωγμές, κόκκοι κ.λπ.). Είναι πρακτικά αδύνατο να μελετηθούν με ντετερμινιστικές μεθόδους. Ταυτόχρονα, ένας τεράστιος αριθμός από αυτά τα στοιχεία επιτρέπουν την εκδήλωση στατιστικών προτύπων και τη μελέτη αυτού του συστήματος με στατιστικές μεθόδους.

Οι στατιστικές μέθοδοι βασίζονται στις έννοιες του κύριου συστήματος και του υποσυστήματος. Το κύριο σύστημα (θερμοστάτης) είναι πολύ μεγαλύτερο από το υποσύστημα, αλλά και τα δύο βρίσκονται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας. Αντικείμενο μελέτης στη στατιστική φυσική είναι ακριβώς το υποσύστημα, το οποίο στη μηχανική συνεχούς ταυτίζεται με έναν στοιχειώδη όγκο και στη μηχανική ένα ετερογενές μέσο με τον όγκο των φάσεων σε έναν στοιχειώδη όγκο.

Η μέθοδος Gibbs στη στατιστική φυσική βασίζεται στις έννοιες του χώρου φάσης και των τροχιών στο χώρο φάσης. Ο χώρος φάσης είναι ένα τοπολογικό γινόμενο των χώρων συντεταγμένων και ορμής κάθε σωματιδίου που αποτελεί το υποσύστημα. Οι τροχιές στο χώρο φάσης περιέχουν πολλές περιττές πληροφορίες, για παράδειγμα, αρχικές τιμέςκαι πληροφορίες για τις οριακές συνθήκες όταν η τροχιά φτάνει στο όριο. Κατά την περιγραφή μιας μεμονωμένης τροχιάς στο χώρο φάσης, συνήθως χρησιμοποιείται η εργοδοτική υπόθεση (ή κάποια από τα υποκατάστατά της, που την τροποποιούν κάπως, αλλά προσφέρεται για αυστηρή απόδειξη). Οι λεπτότητες της απόδειξης της εργοδοτικής υπόθεσης δεν έχουν σημασία, και επομένως δεν μένουμε σε αυτές. Επιτρέπει την αντικατάσταση μιας τροχιάς από ένα ολόκληρο σύνολο κρατών. Μια ισοδύναμη περιγραφή που χρησιμοποιεί ένα σύνολο καταστάσεων καθιστά δυνατή την απαλλαγή από αυτές τις περιττές πληροφορίες. Το σύνολο των κρατών επιτρέπει μια απλή και διαφανή ερμηνεία. Μπορεί να θεωρηθεί ως κάποιο πλασματικό αέριο σε χώρο φάσης, το οποίο περιγράφεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση μεταφοράς.

Η στατιστική προσέγγιση περιλαμβάνει δύο επίπεδα έρευνας - κβαντική και κλασική. Κάθε μικροσκοπική ανομοιογένεια ενός ετερογενούς μέσου περιγράφεται από τη μηχανική του συνεχούς ως ένα ορισμένο ομοιογενές ομογενές σώμα. Υποτίθεται ότι η θεωρία της κβαντικής στατιστικής φυσικής έχει ήδη χρησιμοποιηθεί στη μελέτη των μηχανικών και θερμοδυναμικών ιδιοτήτων αυτών των ανομοιογενειών. Όταν υπολογίζουμε κατά μέσο όρο τις τυχαίες ανομοιογένειες σε ένα ετερογενές μέσο, ​​θεωρούμε αυτές τις ανομοιογένειες ως κλασικά τυχαία αντικείμενα. Η πορεία του συλλογισμού στην κβαντική και την κλασική στατιστική φυσική είναι πολύ παρόμοια, αν και έχει κάποιες διαφορές. Στην κβαντική στατιστική, ο όγκος φάσης παίρνει διακριτές τιμές. Ωστόσο, αυτή δεν είναι η μόνη διαφορά. Στην κβαντική στατιστική, ένα πλασματικό αέριο είναι ασυμπίεστο και υφίσταται μόνο μεταφορά. Στην κλασική στατιστική, η εξίσωση μεταφοράς περιέχει έναν όρο που περιγράφει διεργασίες διάχυσης σε μοριακό επίπεδο. Τυπικά, μοιάζει με πηγή. Η αποκλίνουσα μορφή αυτής της πηγής καθιστά δυνατή τη διατήρηση της συνολικής μάζας του πλασματικού αερίου, αλλά επιτρέπει την τοπική εξαφάνιση και εμφάνισή του. Αυτή η διαδικασία μοιάζει με τη διάχυση σε έναν πλασματικό χώρο φάσης.

Περαιτέρω, με βάση τις κλασικές στατιστικές, επεξηγούνται περαιτέρω η θερμοδυναμική, συμπεριλαμβανομένης της θερμοδυναμικής των μη αναστρέψιμων διεργασιών. Εισάγονται οι έννοιες των θερμοδυναμικών συναρτήσεων, με τη βοήθεια των οποίων προκύπτουν οι συστατικές εξισώσεις. Τα ποροελαστικά μέσα περιλαμβάνουν συντηρητικές και διασκορπιστικές διεργασίες. Στον σκελετό συμβαίνουν αναστρέψιμες ελαστικές παραμορφώσεις, οι οποίες αντιπροσωπεύουν ένα συντηρητικό θερμοδυναμικό σύστημα και οι διεργασίες διάχυσης συμβαίνουν στο ρευστό. Σε ένα ιξώδες μέσο πόρων, και οι δύο φάσεις (σκελετική και υγρή) είναι διασκορπιστικές.

Μικροδιαδικασίες και Μακροδιεργασίες . Στα ετερογενή μέσα, ένα υποσύστημα είναι ένας στοιχειώδης όγκος που ικανοποιεί τα αξιώματα των ετερογενών μέσων. Ειδικότερα, ικανοποιεί την συνθήκη της τοπικής στατιστικής ομοιογένειας και της τοπικής θερμοδυναμικής ισορροπίας. Αντίστοιχα, όλα τα αντικείμενα και οι διαδικασίες διαφέρουν στην κλίμακα τους σε μικροδιεργασίες και μακροδιεργασίες. Θα περιγράψουμε μακροδιαδικασίες με τη βοήθεια γενικευμένων συντεταγμένων και γενικευμένων δυνάμεων . Εδώ, οι δείκτες σημαίνουν όχι μόνο δείκτες διανυσμάτων και τανυστών, αλλά και διάφορες ποσότητες (συμπεριλαμβανομένων ποσοτήτων με διαφορετικές διαστάσεις τανυστή). Όταν εξετάζουμε μικροδιεργασίες, θα χρησιμοποιήσουμε γενικευμένες συντεταγμένεςκαι γενικευμένες ταχύτητες. Αυτές οι συντεταγμένες περιγράφουν την κίνηση μεγάλων μορίων, τις συσχετίσεις και τις ανομοιογένειές τους, που θεωρούνται κλασικά αντικείμενα. Ο χώρος φάσης του υποσυστήματος σχηματίζεται από τις συντεταγμένες και ταχύτητες όλων των σωματιδίων που αποτελούν έναν δεδομένο στοιχειώδη όγκο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι στην κβαντομηχανική η φύση των σωματιδίων είναι αυστηρά καθορισμένη. Ο αριθμός των σωματιδίων είναι πεπερασμένος και οι νόμοι της κίνησής τους είναι γνωστοί και ομοιόμορφοι για κάθε είδος σωματιδίων. Μια εντελώς διαφορετική κατάσταση προκύπτει στη μηχανική των ετερογενών μέσων. Κατά κανόνα, έχουμε συστατικές σχέσεις που προέρχονται από φαινομενολογικές μεθόδους για κάθε μία από τις φάσεις. Οι γενικές συστατικές σχέσεις για ολόκληρο τον στοιχειώδη όγκο σε μακροεπίπεδο αποτελούν συνήθως αντικείμενο έρευνας. Για το λόγο αυτό, η αλληλεπίδραση στοιχείων σε μικροεπίπεδο σε ετερογενή μέσα δεν επιδέχεται τυπικές ερευνητικές μεθόδους.

Από αυτή την άποψη, απαιτούνται νέες μέθοδοι και προσεγγίσεις, οι οποίες δεν έχουν ακόμη αναπτυχθεί πλήρως. Μια τέτοια προσέγγιση είναι η γενίκευση της θεωρίας Gibbs από τον Ziegler. Η ουσία του συνίσταται σε κάποια τροποποίηση της εξίσωσης Liouville. Αυτή η προσέγγιση θα περιγραφεί λεπτομερέστερα παρακάτω. Αρχικά δίνουμε μια τυπική έκθεση της θεωρίας Gibbs και στη συνέχεια παρουσιάζουμε ιδέες που μας επιτρέπουν να τη γενικεύσουμε.

Ενέργεια συστήματος αλλάζει με την εργασία
σε μακροεπίπεδο, το οποίο εκφράζεται από τη σχέση

. Αλλάζει επίσης λόγω της εισροής θερμότητας
σχετίζεται με την κίνηση των μορίων. Γράφουμε τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής σε διαφορική μορφή

. (1.1)

Θα περιγράψουμε μικροδιεργασίες χρησιμοποιώντας Εξισώσεις Lagrange

, (1.2) όπου
–Λειτουργία Lagrange,είναι κινητική και - δυναμική ενέργεια.

Η θεωρία Gibbs υπόκειται στους ακόλουθους περιορισμούς. Υποτίθεται ότι η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από τις μικροσυντεταγμένες και τις μακροσυντεταγμένες, ενώ η κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τις μικροσυντεταγμένες και τις ταχύτητες τους. Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η συνάρτηση Lagrange είναι ανεξάρτητη από το χρόνο και τις μακροταχύτητες.

.

Η προσέγγιση που βασίζεται στις εξισώσεις κίνησης στη μορφή Lagrange (1.2) μπορεί να αντικατασταθεί από έναν ισοδύναμο φορμαλισμό του Χαμιλτονίου εισάγοντας γενικευμένη ροπή για μικροσυντεταγμένες

,
, και Λειτουργία Hamilton
, που έχει την έννοια της συνολικής ενέργειας του σωματιδίου. Γράφουμε την προσαύξηση της συνάρτησης Hamilton

Δυνάμει του ορισμού της ροπής και των εξισώσεων κίνησης του Lagrange, αυτή η έκφραση μετασχηματίζεται

, (1.2) από όπου ακολουθούν Οι εξισώσεις κίνησης του Χάμιλτον

,
. (1.3a) όπου
έχει την έννοια της ενέργειας του συστήματος, καθώς και την πρόσθετη ταυτότητα των φυλών

. (1.3b)

Πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι οι συναρτήσεις Lagrange και Hamilton εκφράζονται με διαφορετικά ορίσματα. Επομένως, η τελευταία ταυτότητα έχει μια όχι εντελώς ασήμαντη σημασία. Γράφουμε τη διαφορική έκφραση (1.2) για ένα σωματίδιο κατά μήκος της τροχιάς του

.

Χρησιμοποιώντας το (1.3), μετασχηματίζουμε αυτήν την έκφραση

.

Κατά συνέπεια, η ενέργεια του σωματιδίου εξαρτάται μόνο από τις γενικευμένες μακροσυντεταγμένες. Εάν δεν αλλάξουν με την πάροδο του χρόνου, τότε η ενέργεια διατηρείται.

Στατιστική μέθοδος περιγραφής συστήματος . Η έλλειψη πληροφοριών σχετικά με τις αρχικές συνθήκες για το σύστημα (1.3) και τη συμπεριφορά του στα όρια του σώματος μπορεί να ξεπεραστεί εάν χρησιμοποιήσουμε μια στατιστική προσέγγιση στη μελέτη αυτού του συστήματος. Αφήστε αυτό το μηχανικό σύστημα να έχει βαθμοί ελευθερίας που σχετίζονται με μικροσκοπικές μεταβλητές. Με άλλα λόγια, η θέση όλων των σημείων στο συνηθισμένο τρισδιάστατο χώροχαρακτηρίζεται γενικευμένες συντεταγμένες(
). Εξετάστε το χώρο φάσης περισσότερων μεταβλητών
. Η κατάσταση φάσης χαρακτηρίζεται από ένα σημείο με συντεταγμένες
σε
-διαστατικός Ευκλείδειος χώρος. Στην πράξη, πάντα μελετάμε κάποιο συγκεκριμένο αντικείμενο, το οποίο είναι μέρος κάποιου μεγάλου (σε σύγκριση με αυτό το αντικείμενο) συστήματος ( εξωτερικό περιβάλλον ). Αυτό το αντικείμενο συνήθως αλληλεπιδρά με το εξωτερικό περιβάλλον. Επομένως, σε όσα ακολουθούν θα μιλήσουμε υποσύστημα(που καταλαμβάνει μέρος του χώρου φάσης) αλληλεπιδρώντας με το σύστημα (καταλαμβάνει ολόκληρο το χώρο φάσης).

Όταν οδηγείτε μέσα
-διαστατικός χώρος, μια ενιαία τροχιά γεμίζει σταδιακά όλο αυτό το χώρο φάσης. Ας βάλουμε
και δηλώνουν με
εκείνο το μέρος του όγκου του χώρου φάσης στο οποίο αυτό το υποσύστημαξοδεύει «σχεδόν όλη την ώρα». Εδώ εννοούμε το χρόνο κατά τον οποίο το υποσύστημα βρίσκεται σε κατάσταση οιονεί ισορροπίας. Για μια αρκετά μεγάλη χρονική περίοδο, η τροχιά φάσης θα διέρχεται από αυτό το τμήμα του χώρου φάσης πολλές φορές. Αποδεχόμαστε την εργοδοτική υπόθεση, σύμφωνα με την οποία, αντί για ένα ενιαίο κινούμενο σημείο στο χώρο των φάσεων, μπορούμε να εξετάσουμε ένα σύνολο σημείων που σχηματίζουν ένα στατιστικό σύνολο. Περνώντας σε έναν απειροελάχιστο στοιχειώδη όγκο φάσης

, εισάγουμε μια συνάρτηση συνεχούς διανομής χρησιμοποιώντας την αναλογία

. Εδώ είναι ο αριθμός των σημείων σε ένα στοιχείο του όγκου φάσης
,
– συνολικός αριθμόςσημεία σε ολόκληρο το χώρο φάσης, είναι κάποιος συντελεστής κανονικοποίησης που έχει τη διάσταση της δράσης. Χαρακτηρίζει το στατιστικό βάρος του επιλεγμένου στοιχείου όγκου χώρου φάσης. Η συνάρτηση κατανομής ικανοποιεί τη συνθήκη κανονικοποίησης

ή
. (1.4)

Αφήνω
είναι ο συνολικός χρόνος που ξοδεύει το σύστημα εντός του στοιχειώδους όγκου
, ένα – πλήρης απασχόλησηκίνηση ενός υλικού σημείου κατά μήκος της τροχιάς του. Σύμφωνα με την εργοδοτική υπόθεση, υποθέτουμε ότι

. (1.5)

Υποστηρίζοντας καθαρά τυπικά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο πλασματικό αέριο στον χώρο φάσης, η πυκνότητα του οποίου είναι ίση με την πυκνότητα του αριθμού των σημείων στο χώρο φάσης. Η διατήρηση του αριθμού των πλασματικών μορίων αερίου εκφράζεται με την εξίσωση μεταφοράς στο χώρο φάσης, παρόμοια με τον νόμο της διατήρησης της μάζας στον συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο. Αυτός ο νόμος διατήρησης ονομάζεται θεώρημα του Λιουβίλ

. (1.6)

Δυνάμει των εξισώσεων Hamilton, ακολουθεί η συνθήκη ασυμπίεσης του υγρού φάσης

(1.7)

Εισάγουμε τη συναγωγική παράγωγο

.

Συνδυάζοντας τα (1.6) και (1.7), παίρνουμε την εξίσωση μεταφοράς ρευστού φάσης

ή
. (1.8)

Δυνάμει της εργοδοτικής υπόθεσης, η πυκνότητα του αριθμού των σωματιδίων στον χώρο φάσης είναι ανάλογη με την πυκνότητα πιθανότητας στο σύνολο των καταστάσεων. Επομένως, η εξίσωση (1.8) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

. (1.9)

Στην κατάσταση ισορροπίας με σταθερές εξωτερικές παραμέτρους, η ενέργεια του μικροσυστήματος, που αντιπροσωπεύεται από το Hamiltonian, διατηρείται κατά μήκος της τροχιάς στο χώρο των φάσεων. Ομοίως, λόγω του (1.9), διατηρείται και η πυκνότητα πιθανότητας. Από αυτό προκύπτει ότι η πυκνότητα πιθανότητας είναι συνάρτηση της ενέργειας.

. (1.10)

Εθισμός από Είναι εύκολο να το αποκτήσετε εάν παρατηρήσετε ότι προστίθενται οι ενέργειες των υποσυστημάτων και οι πιθανότητες πολλαπλασιάζονται. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται από τη μοναδική μορφή λειτουργικής εξάρτησης

. (1.11) Αυτή η κατανομή ονομάζεται κανονική. Εδώ – Η σταθερά του Boltzmann, ποσότητες
και
έχουν τη διάσταση της ενέργειας. Ποσότητες
και ονομάζονται ελεύθερη ενέργεια και θερμοκρασία.

Ας ορίσουμε την εσωτερική ενέργεια ως μέση τιμή της πραγματικής ενέργειας

. (1.12)

Αντικαθιστώντας το (1.11) εδώ, λαμβάνουμε

.

Εντροπία οριζεται ως

Η σχέση (1.13) εισάγει μια νέα έννοια - την εντροπία. Ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος δηλώνει ότι σε μια κατάσταση μη ισορροπίας ενός συστήματος, η εντροπία του τείνει να αυξάνεται και σε μια κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, η εντροπία παραμένει σταθερή. Συνδυάζοντας τα (1.12) και (1.13), παίρνουμε

. (1.14) Η σχέση (1.14) είναι η βάση για την παραγωγή άλλων θερμοδυναμικών συναρτήσεων που περιγράφουν την κατάσταση ισορροπίας του υποσυστήματος.

Ας υποθέσουμε ότι μέσα στον όγκο φάσης
δεδομένου υποσυστήματος, η πυκνότητα πιθανότητας είναι σχεδόν σταθερή. Με άλλα λόγια, αυτό το υποσύστημα συνδέεται ασθενώς με το περιβάλλον και βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Έχει τη σχέση

. (1.15) Εδώ
είναι η συνάρτηση δέλτα.

Μια τέτοια κατανομή ονομάζεται μικροκανονική σε αντίθεση με την κανονική κατανομή (1.11). Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι και οι δύο διανομές είναι πολύ διαφορετικές και μάλιστα αντιφάσκουν μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία αντίφαση μεταξύ τους. Ας εισάγουμε την ακτίνα στον πολυδιάστατο χώρο φάσης ενός πολύ μεγάλου αριθμού διαστάσεων. Σε ένα λεπτό ισαπέχον (σε ενέργεια) σφαιρικό στρώμα, ο αριθμός των σημείων υπερβαίνει σημαντικά τον αριθμό των σημείων εντός αυτής της σφαίρας. Αυτός είναι ο λόγος που οι κατανομές (1.11) και (1.15) διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους.

Για να ικανοποιηθεί η τελευταία σχέση (1.4), είναι απαραίτητο αυτή η πυκνότητα πιθανότητας να είναι ίση με

. (1.16)

Αντικαθιστούμε την κατανομή (1.11) στην τελευταία σχέση (1.4)

και να το διαφοροποιήσεις. Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
είναι συνάρτηση μακροσυντεταγμένων, έχουμε

,
.

Με τη βοήθεια του (1.14) μετασχηματίζουμε αυτήν την έκφραση

. (1.17a) Εδώ
- ροή θερμότητας
- Δουλειά εξωτερικές δυνάμεις. Αυτή η σχέση προήλθε για πρώτη φορά από τον Gibbs και φέρει το όνομά του. Για ένα αέριο, έχει μια ιδιαίτερα απλή μορφή

. (1.17β) Εδώ - πίεση, - Ενταση ΗΧΟΥ.

Σε φαινομενολογικό επίπεδο δίνεται και ο ορισμός της θερμοκρασίας. Σημειώστε ότι η ροή θερμότητας δεν είναι διαφορικό της θερμοδυναμικής συνάρτησης· ταυτόχρονα, η εντροπία είναι εξ ορισμού τέτοια. Για το λόγο αυτό, στην έκφραση (1.17) υπάρχει ένας παράγοντας ολοκλήρωσης που ονομάζεται θερμοκρασία. Μπορείτε να πάρετε λίγο υγρό εργασίας (νερό ή υδράργυρο) και να εισάγετε μια κλίμακα αλλαγής θερμοκρασίας. Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται θερμόμετρο. Γράφουμε (1.17) στη φόρμα

. Η θερμοκρασία σε αυτή τη σχέση είναι κάποια εντατική ποσότητα.

Οι γενικευμένες δυνάμεις και μετατοπίσεις είναι θερμοδυναμικά συζευγμένα μεγέθη. Ομοίως, η θερμοκρασία και η εντροπία είναι συζευγμένα μεγέθη, από τα οποία το ένα είναι γενικευμένη δύναμη και το άλλο είναι γενικευμένη μετατόπιση. Από (1.17) ακολουθεί

. (1.18)

Λόγω (1.14) για δωρεάν ενέργειαέχουμε παρόμοια διαφορική έκφραση

. (1.19) Σε αυτή τη σχέση, η θερμοκρασία και η εντροπία ως συζευγμένες ποσότητες ανταλλάσσονται και η έκφραση (1.18) τροποποιείται

. (1.20)

Για να χρησιμοποιηθούν αυτές οι σχέσεις, είναι απαραίτητο να οριστούν ανεξάρτητες καθοριστικές παράμετροι και εκφράσεις για θερμοδυναμικές συναρτήσεις.

Για τη θερμοκρασία, μπορεί επίσης να δοθεί ένας πιο αυστηρός ορισμός. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα κλειστό (απομονωμένο) σύστημα που αποτελείται από δύο σώματα και βρίσκεται σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας. Η ενέργεια και η εντροπία είναι προσθετικές ποσότητες
,
. Σημειώστε ότι η εντροπία είναι συνάρτηση της ενέργειας, άρα
. Στην ισορροπία, η εντροπία είναι ακίνητο σημείοσχετικά με την ανακατανομή της ενέργειας μεταξύ δύο υποσυστημάτων, δηλ.

.

Από αυτό προκύπτει αμέσως

. (1.21)

Η παράγωγος της εντροπίας ως προς την ενέργεια ονομάζεται απόλυτη θερμοκρασία (ή απλά θερμοκρασία ). Το γεγονός αυτό προκύπτει επίσης άμεσα από το (1.17). Η σχέση (1.21) σημαίνει κάτι περισσότερο: σε κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας, οι θερμοκρασίες των σωμάτων είναι ίσες με

. (1.22)

Θερμοδυναμική και στατιστική φυσική

Οδηγίες και εργασίες ελέγχουγια μαθητές εξ αποστάσεως εκπαίδευσης

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Μεθοδολογικές οδηγίες και εργασίες ελέγχου για φοιτητές εξ αποστάσεως εκπαίδευσης μηχανικών και τεχνολογικών ειδικοτήτων. Περιέχουν ενότητες των προγραμμάτων "Στατιστική Φυσική", "Θερμοδυναμική", παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων και επιλογές για εργασίες ελέγχου.

Λέξεις κλειδιά: Εσωτερική ενέργεια, θερμότητα, εργασία; ισοδιεργασίες, εντροπία: συναρτήσεις κατανομής: Maxwell, Boltzmann, Bose - Einstein; Fermi - Dirac; Ενέργεια Fermi, θερμοχωρητικότητα, χαρακτηριστική θερμοκρασία Einstein και Debye.

Συντάκτης T.Yu.Artyunina

Προετοιμάστηκε για εκτύπωση δ. Μορφή 6080 1/16

R.l. ; ουχ.-εκδ.λ. 3.0; Κυκλοφορία ____ αντίτυπα. Αριθμός παραγγελίας.

___________________________________________________

RIO ESGTU, Ulan-Ude, Klyuchevskaya, 40a

Τυπωμένο στο περιστροφικό αποτύπωμα του ESGTU, Ulan-Ude,

Klyuchevskaya, 42.

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση

Κράτος της Ανατολικής Σιβηρίας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ №4

(Θερμοδυναμική και στατιστική φυσική)

Μεθοδικές οδηγίες και εργασίες ελέγχου

για μαθητές εξ αποστάσεως εκπαίδευσης

Συντάχθηκε από: Shelkunova Z.V.

Saneev E.L.

Εκδοτικός οίκος ΕΣΓΤΟΥ

Ulan-Ude, 2009

Στατιστική φυσική και θερμοδυναμική

Θέμα 1

Δυναμικοί και στατιστικοί νόμοι στη φυσική. Θερμοδυναμικές και στατιστικές μέθοδοι. Στοιχεία μοριακής-κινητικής θεωρίας. μακροσκοπική κατάσταση. Φυσικές ποσότητες και καταστάσεις φυσικών συστημάτων. Μακροσκοπικές παράμετροι ως μέσες τιμές. Θερμική ισορροπία. Ιδανικό μοντέλο αερίου. Η εξίσωση κατάστασης για ένα ιδανικό αέριο. Η έννοια της θερμοκρασίας.

Θέμα 2

μεταγραφικά φαινόμενα. Διάχυση. Θερμική αγωγιμότητα. συντελεστής διάχυσης. Συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας. θερμική διάχυση. Διάχυση σε αέρια, υγρά και στερεά. Ιξώδες. Συντελεστής ιξώδους αερίων και υγρών.

Θέμα 3

Στοιχεία θερμοδυναμικής. Πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής. Εσωτερική ενέργεια. Εντατικές και εκτεταμένες παράμετροι.

Θέμα 4

Αναστρέψιμες και μη αναστρέψιμες διεργασίες. Εντροπία. Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής. Θερμοδυναμικά δυναμικά και συνθήκες ισορροπίας. χημικό δυναμικό. Συνθήκες χημικής ισορροπίας. Κύκλος Carnot.

Θέμα 5

συναρτήσεις διανομής. μικροσκοπικές παραμέτρους. Πιθανότητες και διακυμάνσεις. Κατανομή Maxwell. Μέση κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου. Διανομή Boltzmann. Θερμοχωρητικότητα πολυατομικών αερίων. Περιορισμός της κλασικής θεωρίας της θερμοχωρητικότητας.

Θέμα 6

Διανομή Gibbs. Μοντέλο του συστήματος στον θερμοστάτη. Κανονική διανομή Gibbs. Στατιστική σημασία των θερμοδυναμικών δυναμικών και της θερμοκρασίας. Ο ρόλος της ελεύθερης ενέργειας.

Θέμα 7

Κατανομή Gibbs για ένα σύστημα με μεταβλητό αριθμό σωματιδίων. Εντροπία και πιθανότητα. Προσδιορισμός της εντροπίας ενός συστήματος ισορροπίας μέσω του στατιστικού βάρους μιας μικροκατάστασης.

Θέμα 8

Συναρτήσεις κατανομής Bose και Fermi. Ο τύπος του Planck για θερμική ακτινοβολία χωρίς βαρύτητα. Τάξη και αταξία στη φύση. Η εντροπία ως ποσοτικό μέτρο του χάους. Η αρχή της αυξανόμενης εντροπίας. Η μετάβαση από την τάξη στην αταξία αφορά την κατάσταση της θερμικής ισορροπίας.

Θέμα 9

Πειραματικές μέθοδοι μελέτης του φάσματος δόνησης των κρυστάλλων. Η έννοια των φωνονίων. Νόμοι διασποράς για ακουστικά και οπτικά φωνόνια. Θερμοχωρητικότητα κρυστάλλων σε χαμηλές και υψηλές θερμοκρασίες. Ηλεκτρονική θερμοχωρητικότητα και θερμική αγωγιμότητα.

Θέμα 10

Ηλεκτρόνια σε κρυστάλλους. Προσέγγιση ισχυρής και αδύναμης σύζευξης. Μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων. Επίπεδο Fermi. Στοιχεία της θεωρίας ζωνών των κρυστάλλων. Λειτουργία Bloch. Δομή ζώνης του ενεργειακού φάσματος των ηλεκτρονίων.

Θέμα 11

Επιφάνεια Fermi. Ο αριθμός και η πυκνότητα του αριθμού των ηλεκτρονικών καταστάσεων στη ζώνη. Γεμίσματα ζωνών: μέταλλα, διηλεκτρικά και ημιαγωγοί. Ηλεκτρική αγωγιμότητα ημιαγωγών. Η έννοια της αγωγιμότητας οπών. Εσωτερικοί και εξωγενείς ημιαγωγοί. Η εννοια του διασταύρωση p-n. Τρανζίστορ.

Θέμα 12

Ηλεκτρική αγωγιμότητα μετάλλων. Φορείς ρεύματος σε μέταλλα. Ανεπάρκεια κλασικής θεωρίας ηλεκτρονίων. Ηλεκτρονικό αέριο Fermi σε μέταλλο. Οι φορείς ρεύματος ως οιονεί σωματίδια. Το φαινόμενο της υπεραγωγιμότητας. Ζεύγος ηλεκτρονίων χαλκού. επαφή σήραγγας. Το φαινόμενο Josephson και οι εφαρμογές του. Σύλληψη και κβαντοποίηση μαγνητική ροή. Η έννοια της αγωγιμότητας σε υψηλή θερμοκρασία.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ. ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

Βασικές φόρμουλες

1. Ποσότητα ουσίας ομοιογενούς αερίου (σε moles):

όπου Ν-αριθμός μορίων αερίου. Ν ΕΝΑ- Ο αριθμός του Avogadro. Μ-μάζα αερίου.  είναι η μοριακή μάζα του αερίου.

Εάν το σύστημα είναι μείγμα πολλών αερίων, τότε η ποσότητα της ουσίας στο σύστημα

,

,

όπου  Εγώ , Ν Εγώ , Μ Εγώ ,  Εγώ - αντίστοιχα η ποσότητα της ουσίας, ο αριθμός των μορίων, η μάζα, μοριακή μάζα Εγώτο συστατικό του μείγματος.

2. Εξίσωση Clapeyron-Mendeleev (ιδανική εξίσωση κατάστασης αερίου):

όπου Μ- μάζα αερίου.  - μοριακή μάζα; R- καθολική σταθερά αερίου.  = m/ - ποσότητα ουσίας; Τείναι η θερμοδυναμική θερμοκρασία σε Kelvin.

3. Πειραματικοί νόμοι αερίων, που είναι ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης Clapeyron-Mendeleev για ισοδιεργασίες:

νόμος μποϋλ-μαριότ

(ισοθερμική διαδικασία - Τ= const; m=const):

ή για δύο καταστάσεις αερίου:

όπου Π 1 και V 1 - πίεση και όγκος αερίου στην αρχική κατάσταση. Π 2 και V 2

Ο νόμος του Gay-Lussac (ισοβαρική διαδικασία - p=const, m=const):

ή για δύο πολιτείες:

όπου V 1 και Τ 1 - τον όγκο και τη θερμοκρασία του αερίου στην αρχική κατάσταση. V 2 και Τ 2 - οι ίδιες τιμές στην τελική κατάσταση.

Νόμος του Καρόλου (ισοχωρική διαδικασία - V=const, m=const):

ή για δύο πολιτείες:

όπου R 1 και Τ 1 - πίεση και θερμοκρασία του αερίου στην αρχική κατάσταση. R 2 και Τ 2 - οι ίδιες τιμές στην τελική κατάσταση.

συνδυασμένος νόμος αερίων ( m=const):

όπου R 1 , V 1 , Τ 1 - πίεση, όγκος και θερμοκρασία του αερίου στην αρχική κατάσταση. R 2 , V 2 , Τ 2 είναι οι ίδιες τιμές στην τελική κατάσταση.

4. Ο νόμος του Dalton, που καθορίζει την πίεση ενός μείγματος αερίων:

p = p 1 + σελ 2 + ... +σελ n

όπου Π Εγώ - μερικές πιέσειςσυστατικό μείγματος? n- τον αριθμό των συστατικών του μείγματος.

5. Μοριακή μάζα μείγματος αερίων:

όπου Μ Εγώ- βάρος Εγώ-ο συστατικό του μείγματος.  Εγώ = m Εγώ / Εγώ- ποσότητα ουσίας Εγώ-ο συστατικό του μείγματος. n- τον αριθμό των συστατικών του μείγματος.

6. Κλάσμα μάζας  Εγώ Εγώ-ο συστατικό του μείγματος αερίων (σε κλάσματα μονάδας ή ποσοστού):

όπου Μείναι η μάζα του μείγματος.

7. Συγκέντρωση μορίων (αριθμός μορίων ανά μονάδα όγκου):

όπου Ν- αριθμός μορίων που περιέχονται στο σύστημα.  είναι η πυκνότητα της ουσίας. Ο τύπος ισχύει όχι μόνο για αέρια, αλλά και για οποιαδήποτε κατάσταση συσσωμάτωσης της ύλης.

8. Βασική εξίσωση της κινητικής θεωρίας των αερίων:

,

όπου<>είναι η μέση κινητική ενέργεια της μεταφορικής κίνησης του μορίου.

9. Μέση κινητική ενέργεια μεταφορικής κίνησης ενός μορίου:

,

όπου κείναι η σταθερά Boltzmann.

10. Μέση ολική κινητική ενέργεια ενός μορίου:

όπου Εγώείναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας του μορίου.

11. Εξάρτηση της πίεσης του αερίου από τη συγκέντρωση των μορίων και τη θερμοκρασία:

p = nkT.

12. Ταχύτητες μορίων:

ρίζα μέσο τετράγωνο ;

αριθμητικός μέσος όρος ;

πιθανότατα ,

Εξέχουσα θέση κατέχει η στατιστική φυσική σύγχρονη επιστήμηκαι αξίζει ιδιαίτερης προσοχής. Περιγράφει τον σχηματισμό παραμέτρων των μακροσυστημάτων από τις κινήσεις των σωματιδίων. Για παράδειγμα, τέτοιες θερμοδυναμικές παράμετροι όπως η θερμοκρασία και η πίεση μειώνονται σε ενεργειακά χαρακτηριστικά ορμής των μορίων. Το κάνει αυτό ορίζοντας κάποια κατανομή πιθανοτήτων. Το επίθετο «στατιστικό» προέρχεται από Λατινική λέξη κατάσταση(Ρωσικό - κράτος). Αυτή η λέξη από μόνη της δεν αρκεί για να εκφράσει τις ιδιαιτερότητες της στατιστικής φυσικής. Πράγματι, οποιαδήποτε φυσική επιστήμηαναφέρει μελέτες φυσικές διεργασίεςκαι τηλ. Η στατιστική φυσική ασχολείται με ένα σύνολο καταστάσεων. Το σύνολο στην υπό εξέταση περίπτωση συνεπάγεται ένα σύνολο καταστάσεων, αλλά όχι οποιεσδήποτε, αλλά συσχετισμένες με την ίδια συγκεντρωτική κατάσταση, η οποία έχει ενοποιητικά χαρακτηριστικά. Έτσι, η στατιστική φυσική περιλαμβάνει μια ιεραρχία δύο επιπέδων, τα οποία συχνά ονομάζονται μικροσκοπικά και μακροσκοπικά. Αντίστοιχα, λαμβάνει υπόψη την αναλογία μικρο- και μακροστατικών. Τα ενσωματωτικά χαρακτηριστικά που αναφέρονται παραπάνω δημιουργούνται μόνο εάν ο αριθμός των μικροκαταστάσεων είναι αρκετά μεγάλος. Για συγκεκριμένες καταστάσεις, έχει ένα κάτω και ένα άνω όριο, ο προσδιορισμός των οποίων αποτελεί ειδικό καθήκον.

Όπως ήδη σημειώθηκε, χαρακτηριστικόΗ στατιστική προσέγγιση συνίσταται στην ανάγκη αναφοράς στην έννοια της πιθανότητας. Οι συναρτήσεις κατανομής χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των μέσων στατιστικών ( μαθηματικές προσδοκίες) ορισμένα χαρακτηριστικά που είναι εγγενή, εξ ορισμού, τόσο σε μικρο- όσο και σε μακρο επίπεδο. Η σύνδεση μεταξύ των δύο επιπέδων γίνεται ιδιαίτερα σαφής. Το πιθανό μέτρο των μακροκαταστάσεων είναι η εντροπία ( μικρό). Σύμφωνα με τον τύπο Boltzmann, είναι ευθέως ανάλογο με το στατιστικό βάρος, δηλ. ο αριθμός των τρόπων υλοποίησης μιας δεδομένης μακροσκοπικής κατάστασης ( R):

Η μεγαλύτερη εντροπία βρίσκεται στην κατάσταση ισορροπίας του στατιστικού συστήματος.

Το στατιστικό έργο αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής. Φαινόταν να μην εφαρμόζεται στην κβαντική φυσική. Στην πραγματικότητα, η κατάσταση αποδείχθηκε θεμελιωδώς διαφορετική: στο κβαντικό πεδίο, η στατιστική φυσική δεν περιορίζεται στις κλασικές έννοιες και αποκτά έναν πιο καθολικό χαρακτήρα. Αλλά το ίδιο το περιεχόμενο της στατιστικής μεθόδου είναι σημαντικά εκλεπτυσμένο.

Καθοριστική σημασία για την τύχη της στατιστικής μεθόδου στην κβαντική φυσική είναι ο χαρακτήρας κυματική συνάρτηση. Δεν ορίζει ποσότητες φυσικές παραμέτρους, αλλά ο πιθανοτικός νόμος της κατανομής τους. Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιείται η κύρια προϋπόθεση της στατιστικής φυσικής, δηλ. εκχώρηση κατανομής πιθανότητας. Η παρουσία του είναι απαραίτητη και, όπως φαίνεται, επαρκής κατάστασηεπιτυχημένη επέκταση της στατιστικής προσέγγισης σε ολόκληρο το πεδίο της κβαντικής φυσικής.

Στον τομέα της κλασικής φυσικής, φαινόταν ότι η στατιστική προσέγγιση δεν ήταν απαραίτητη, και αν χρησιμοποιηθεί, τότε μόνο λόγω της προσωρινής απουσίας μεθόδων που είναι πραγματικά επαρκείς για τη φύση των φυσικών διεργασιών. Οι δυναμικοί νόμοι, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται η σαφής προβλεψιμότητα, είναι πιο σχετικοί από τις στατιστικές κανονικότητες.

Η μελλοντική φυσική, λένε, θα καταστήσει δυνατή την εξήγηση των στατιστικών νόμων με τη βοήθεια δυναμικών νόμων. Αλλά η ανάπτυξη της κβαντικής φυσικής έφερε στους επιστήμονες μια σαφή έκπληξη.

Στην πραγματικότητα, αποκαλύφθηκε η υπεροχή των όχι δυναμικών, αλλά στατιστικών νόμων. Ήταν οι στατιστικές κανονικότητες που κατέστησαν δυνατή την εξήγηση των δυναμικών νόμων. Η λεγόμενη μονοσήμαντη περιγραφή είναι απλώς μια καταγραφή των γεγονότων που συμβαίνουν με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αυτό που είναι σχετικό δεν είναι ο μονοσήμαντος λαπλασιανός, αλλά ο πιθανολογικός ντετερμινισμός (βλ. παράδοξο 4 από την παράγραφο 2.8).

Η κβαντική φυσικήαπό τη φύση της είναι μια στατιστική θεωρία. Αυτή η περίσταση μαρτυρεί τη διαρκή σημασία της στατιστικής φυσικής. ΣΤΟ κλασική φυσικήη στατιστική προσέγγιση δεν απαιτεί επίλυση των εξισώσεων κίνησης. Επομένως, έχει κανείς την εντύπωση ότι ουσιαστικά δεν είναι δυναμική, αλλά φαινομενολογική. Η θεωρία απαντά στην ερώτηση «Πώς συμβαίνουν οι διαδικασίες;», αλλά όχι στην ερώτηση «Γιατί συμβαίνουν με αυτόν τον τρόπο και όχι με άλλο τρόπο;». Η κβαντική φυσική δίνει στη στατιστική προσέγγιση δυναμικό χαρακτήρα, ενώ η φαινομενολογία αποκτά δευτερεύοντα χαρακτήρα.

Μέθοδοι Εκπαίδευση Σχετικά με αυτόν τον ιστότοπο Βιβλιοθήκη Math. φόρουμ

Βιβλιοθήκη > Βιβλία Φυσικής > Στατιστική Φυσική

Αναζήτηση στη βιβλιοθήκη κατά συγγραφείς και λέξεις-κλειδιάαπό τον τίτλο του βιβλίου:

στατιστική φυσική

• Aizenshitz R. Στατιστική θεωρία μη αναστρέψιμων διεργασιών. Μ.: Εκδ. Ξένο lit., 1963 (djvu)
• Anselm A.I. Βασικές αρχές στατιστικής φυσικής και θερμοδυναμικής. Μόσχα: Nauka, 1973 (djvu)
• Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Μέθοδοι στατιστικής φυσικής. Μόσχα: Nauka, 1977 (djvu)
• Bazarov I.P. Μεθοδολογικά προβλήματαστατιστική φυσική και θερμοδυναμική. Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. Επιλεγμένες εργασίες για τη στατιστική φυσική. Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, 1979 (djvu)
• Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Μερικές ερωτήσεις στατιστικής μηχανικής. Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1975 (djvu)
• Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Μέθοδος συνάρτησης Green στη στατιστική μηχανική. Moscow: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2,61 Mb)
• Vasiliev A.M. Εισαγωγή στη στατιστική φυσική. Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1980 (djvu)
• Vlasov A.A. Μη τοπική στατιστική μηχανική. Μόσχα: Nauka, 1978 (djvu)
• Gibbs JW Βασικές αρχές της στατιστικής μηχανικής (εξηγούνται με ειδική εφαρμογή στην ορθολογική αιτιολόγηση της θερμοδυναμικής). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
• Gurov K.P. Τα θεμέλια της κινητικής θεωρίας. Μέθοδος Ν.Ν. Μπογκολιούμποφ. Μόσχα: Nauka, 1966 (djvu)
• Zaslavsky G.M. Στατιστική μη αναστρεψιμότητα σε μη γραμμικά συστήματα. Μόσχα: Nauka, 1970 (djvu)
• Zakharov A.Yu. Μοντέλα πλέγματος στατιστικής φυσικής. Veliky Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
• Zakharov A.Yu. Λειτουργικές μέθοδοι στην κλασική στατιστική φυσική. Veliky Novgorod: NovGU, 2006 (pdf)
• Ίος Γ. Μάθημα θεωρητικής φυσικής. Μέρος 2. Θερμοδυναμική. Στατιστική φυσική. Κβαντική θεωρία. Πυρηνική φυσική. Μ.: Διαφωτισμός, 1964 (djvu)
• Ishihara A. Στατιστική Φυσική. M.: Mir, 1973 (djvu)
• Kadanov L., Beim G. Quantum statistical mechanics. Μέθοδοι των συναρτήσεων του Green στη θεωρία των διεργασιών ισορροπίας και μη ισορροπίας. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Katz M. Πιθανότητες και συναφή θέματα στη φυσική. M.: Mir, 1965 (djvu)
• Katz M. Αρκετά πιθανολογικά προβλήματα της φυσικής και των μαθηματικών. Μόσχα: Nauka, 1967 (djvu)
• Kittel Ch. Στοιχειώδης στατιστική φυσική. M.: IL, 1960 (djvu)
• Kittel C. Στατιστική θερμοδυναμική. M: Science, 1977 (djvu)
• Kozlov V.V. Θερμική ισορροπία σύμφωνα με τους Gibbs και Poincare. Moscow-Izhevsk: Institute for Computer Research, 2002 (djvu)
• Kompaneets A.S. Νόμοι της φυσικής στατιστικής. κρουστικά κύματα. Εξαιρετικά πυκνή ουσία. Μ.: Nauka, 1976 (djvu)
• Kompaneets A.S. Μάθημα θεωρητικής φυσικής. Τόμος 2. Στατιστικοί νόμοι. Μ.: Διαφωτισμός, 1975 (djvu)
• Kotkin G.L. Διαλέξεις για τη Στατιστική Φυσική, NSU (pdf)
• Krylov N.S. Εργασίες για τεκμηρίωση της στατιστικής φυσικής. M.-L.: Από την Ακαδημία Επιστημών της ΕΣΣΔ, 1950 (djvu)
• Kubo R. Στατιστική μηχανική. M.: Mir, 1967 (djvu)
• Landsberg P. (επιμ.) Προβλήματα στη θερμοδυναμική και τη στατιστική φυσική. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Levich V.G. Introduction to Statistical Physics (2η έκδ.) M.: GITTL, 1954 (djvu)
• Libov R. Εισαγωγή στη θεωρία κινητικές εξισώσεις. M.: Mir, 1974 (djvu)
• Mayer J., Geppert-Mayer M. Statistical mechanics. M.: Mir, 1980 (djvu)
• Minlos R.A. (επιμ.) Μαθηματικά. Νέο στην ξένη επιστήμη-11. Ο Gibbs δηλώνει στη στατιστική φυσική. Περίληψη άρθρων. M.: Mir, 1978 (djvu)
• Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Μάθημα στατιστικής φυσικής. Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1965 (djvu)
• Prigogine I. Μη ισορροπημένη Στατιστική Μηχανική. M.: Mir, 1964 (djvu)
• Radushkevich L.V. Μάθημα στατιστικής φυσικής (2η έκδ.) M.: Prosveshchenie, 1966 (djvu)
• Reif F. Berkeley Physics Course. Τόμος 5. Στατιστική φυσική. Μ.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Θερμοδυναμική, στατιστική φυσική και κινητική. Μ.: Nauka, 1972 (djvu)
• Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Θερμοδυναμική Στατιστική Φυσική και Κινητική (2η έκδ.). Μόσχα: Nauka, 1977 (djvu)
• Ruel D. Στατιστική μηχανική. M.: Mir, 1971 (djvu)
• Savukov V.V. Διευκρίνιση των αξιωματικών αρχών της στατιστικής φυσικής. SPb.: Balt. κατάσταση τεχν. πανεπιστημ. "Voenmeh", 2006