Επιπόλαια λύση του συστήματος. Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής

Λύση γραμμικών συστημάτων αλγεβρικές εξισώσεις(SLAU) είναι αναμφίβολα το πιο σημαντικό θέμαμάθημα γραμμικής άλγεβρας. Μεγάλο ποσόπροβλήματα από όλους τους κλάδους των μαθηματικών περιορίζεται στην επίλυση συστημάτων γραμμικές εξισώσεις. Αυτοί οι παράγοντες εξηγούν τον λόγο δημιουργίας αυτού του άρθρου. Το υλικό του άρθρου είναι επιλεγμένο και δομημένο έτσι ώστε με τη βοήθειά του να μπορείτε

• μαζεύω καλύτερη μέθοδοςλύνοντας το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων,
• μελέτη της θεωρίας της επιλεγμένης μεθόδου,
• λύστε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων σας, έχοντας εξετάσει λεπτομερώς τις λύσεις τυπικών παραδειγμάτων και προβλημάτων.

Σύντομη περιγραφή του υλικού του άρθρου.

Αρχικά, δίνουμε όλους τους απαραίτητους ορισμούς, έννοιες και εισάγουμε κάποια σημειογραφία.

Στη συνέχεια, εξετάζουμε μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και οι οποίες έχουν μια μοναδική λύση. Πρώτον, θα επικεντρωθούμε στη μέθοδο Cramer, δεύτερον, θα δείξουμε τη μέθοδο μήτρας για την επίλυση τέτοιων συστημάτων εξισώσεων, τρίτον, θα αναλύσουμε τη μέθοδο Gauss (η μέθοδος διαδοχικός αποκλεισμόςάγνωστες μεταβλητές). Για να εμπεδώσουμε τη θεωρία, σίγουρα θα λύσουμε αρκετά SLAE με διάφορους τρόπους.

Μετά από αυτό, στραφούμε στην επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενική εικόνα, στο οποίο ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών ή ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι εκφυλισμένος. Διατυπώνουμε το θεώρημα Kronecker-Capelli, το οποίο μας επιτρέπει να καθορίσουμε τη συμβατότητα των SLAE. Ας αναλύσουμε τη λύση των συστημάτων (στην περίπτωση της συμβατότητάς τους) χρησιμοποιώντας την έννοια του ελάσσονος βάσης ενός πίνακα. Θα εξετάσουμε επίσης τη μέθοδο Gauss και θα περιγράψουμε λεπτομερώς τις λύσεις των παραδειγμάτων.

Φροντίστε να μείνετε στη δομή της γενικής λύσης ομοιογενών και ανομοιογενών συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Ας δώσουμε την έννοια ενός θεμελιώδους συστήματος λύσεων και ας δείξουμε πώς να γράφουμε κοινή απόφαση SLAE με τη βοήθεια διανυσμάτων του θεμελιώδους συστήματος λύσεων. Για καλύτερη κατανόησηας δούμε μερικά παραδείγματα.

Συμπερασματικά, θεωρούμε συστήματα εξισώσεων που ανάγονται σε γραμμικά, καθώς και διάφορα προβλήματα, στην επίλυση των οποίων προκύπτουν SLAE.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμοί, έννοιες, προσδιορισμοί.

Θα εξετάσουμε συστήματα p γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές (p μπορεί να είναι ίση με n ) της μορφής

Άγνωστες μεταβλητές, - συντελεστές (μερικοί πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί), - ελεύθερα μέλη (επίσης πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί).

Αυτή η μορφή SLAE ονομάζεται συντεταγμένη.

ΣΤΟ μορφή μήτραςαυτό το σύστημα εξισώσεων έχει τη μορφή,
όπου - η κύρια μήτρα του συστήματος, - η μήτρα-στήλη άγνωστων μεταβλητών, - η μήτρα-στήλη των ελεύθερων μελών.

Αν προσθέσουμε στον πίνακα Α ως (n + 1)-η στήλη τον πίνακα-στήλη των ελεύθερων όρων, τότε παίρνουμε το λεγόμενο διευρυμένος πίνακαςσυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Συνήθως, η επαυξημένη μήτρα συμβολίζεται με το γράμμα T και η στήλη των ελεύθερων μελών χωρίζεται με μια κάθετη γραμμή από τις υπόλοιπες στήλες, δηλαδή

Με την επίλυση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεωνονομάζεται ένα σύνολο τιμών άγνωστων μεταβλητών, το οποίο μετατρέπει όλες τις εξισώσεις του συστήματος σε ταυτότητες. Εξίσωση μήτραςγια τις δεδομένες τιμές των άγνωστων μεταβλητών μετατρέπεται επίσης σε ταυτότητα.

Εάν ένα σύστημα εξισώσεων έχει τουλάχιστον μία λύση, τότε ονομάζεται άρθρωση.

Αν το σύστημα των εξισώσεων δεν έχει λύσεις, τότε καλείται ασύμβατες.

Εάν ένα SLAE έχει μια μοναδική λύση, τότε ονομάζεται βέβαιος; αν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις, τότε - αβέβαιος.

Αν οι ελεύθεροι όροι όλων των εξισώσεων του συστήματος είναι ίσοι με μηδέν , τότε καλείται το σύστημα ομοιογενής, σε διαφορετική περίπτωση - ετερογενής.

Λύση στοιχειωδών συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Εάν ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος είναι ίσος με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και η ορίζουσα του κύριου πίνακα του δεν είναι ίση με μηδέν, τότε θα ονομάσουμε τέτοια SLAE στοιχειώδης. Τέτοια συστήματα εξισώσεων έχουν μια μοναδική λύση και στην περίπτωση ενός ομοιογενούς συστήματος, όλες οι άγνωστες μεταβλητές είναι ίσες με μηδέν.

Αρχίσαμε να μελετάμε τέτοια SLAE σε Λύκειο. Όταν τα λύναμε, πήραμε μια εξίσωση, εκφράσαμε μια άγνωστη μεταβλητή ως προς τις άλλες και την αντικαταστήσαμε στις υπόλοιπες εξισώσεις, μετά πήραμε την επόμενη εξίσωση, εκφράσαμε την επόμενη άγνωστη μεταβλητή και την αντικαταστήσαμε με άλλες εξισώσεις κ.ο.κ. Ή χρησιμοποίησαν τη μέθοδο της πρόσθεσης, δηλαδή πρόσθεσαν δύο ή περισσότερες εξισώσεις για να εξαλείψουν κάποιες άγνωστες μεταβλητές. Δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτές τις μεθόδους, αφού ουσιαστικά αποτελούν τροποποιήσεις της μεθόδου Gauss.

Οι κύριες μέθοδοι επίλυσης στοιχειωδών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η μέθοδος Cramer, η μέθοδος matrix και η μέθοδος Gauss. Ας τα τακτοποιήσουμε.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Ας χρειαστεί να λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

στις οποίες ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι διαφορετική από το μηδέν, δηλαδή .

Έστω η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος, και είναι ορίζοντες πινάκων που λαμβάνονται από το Α με αντικατάσταση 1ος, 2ος,…, ντοςστήλη αντίστοιχα στη στήλη των ελεύθερων μελών:

Με τέτοια σημείωση, οι άγνωστες μεταβλητές υπολογίζονται με τους τύπους της μεθόδου του Cramer ως . Έτσι βρίσκεται η λύση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer.

Παράδειγμα.

Μέθοδος Cramer .

Λύση.

Η κύρια μήτρα του συστήματος έχει τη μορφή . Υπολογίστε την ορίζοντή του (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο):

Δεδομένου ότι η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι μη μηδενική, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο του Cramer.

Να συνθέσετε και να υπολογίσετε τις απαραίτητες ορίζουσες (η ορίζουσα λαμβάνεται αντικαθιστώντας την πρώτη στήλη στον πίνακα Α με μια στήλη ελεύθερων μελών, η ορίζουσα - αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη με μια στήλη ελεύθερων μελών, - αντικαθιστώντας την τρίτη στήλη του πίνακα Α με μια στήλη ελεύθερων μελών ):

Εύρεση άγνωστων μεταβλητών με χρήση τύπων :

Απάντηση:

Το κύριο μειονέκτημα της μεθόδου του Cramer (αν μπορεί να ονομαστεί μειονέκτημα) είναι η πολυπλοκότητα του υπολογισμού των οριζόντων όταν ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος είναι μεγαλύτερος από τρεις.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα (χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα).

Έστω το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων να δοθεί σε μορφή πίνακα , όπου ο πίνακας A έχει διάσταση n επί n και η ορίζουσά του είναι μη μηδενική.

Αφού , τότε ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας . Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας επί στα αριστερά, τότε παίρνουμε έναν τύπο για την εύρεση του πίνακα στηλών άγνωστων μεταβλητών. Έτσι πήραμε τη λύση του συστήματος των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μέθοδος μήτρας.

Παράδειγμα.

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Εξισώσεων μέθοδος μήτρας.

Λύση.

Ας ξαναγράψουμε το σύστημα εξισώσεων σε μορφή πίνακα:

Επειδή

τότε το SLAE μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο matrix. Με τη χρήση αντίστροφη μήτραη λύση σε αυτό το σύστημα μπορεί να βρεθεί ως .

Ας κατασκευάσουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον πίνακα από αλγεβρικές προσθήκεςστοιχεία του πίνακα Α (αν είναι απαραίτητο, δείτε το άρθρο):

Απομένει να υπολογίσουμε - τον πίνακα άγνωστων μεταβλητών πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο πίνακα στη μήτρα-στήλη των ελεύθερων μελών (αν είναι απαραίτητο, δείτε το άρθρο):

Απάντηση:

ή σε άλλη σημειογραφία x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Το κύριο πρόβλημα στην εύρεση λύσης σε συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα είναι η πολυπλοκότητα της εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, ειδικά για τετράγωνες μήτρεςτάξη υψηλότερη από την τρίτη.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια λύση σε ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές
η ορίζουσα του κύριου πίνακα του οποίου είναι διαφορετική από το μηδέν.

Η ουσία της μεθόδου Gaussσυνίσταται στη διαδοχική εξαίρεση άγνωστων μεταβλητών: πρώτον, το x 1 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη, μετά το x 2 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη και ούτω καθεξής, μέχρι μόνο η άγνωστη μεταβλητή Το x n παραμένει στην τελευταία εξίσωση. Μια τέτοια διαδικασία μετασχηματισμού των εξισώσεων του συστήματος για τη διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών ονομάζεται άμεση μέθοδος Gauss. Μετά την ολοκλήρωση της μπροστινής διαδρομής της μεθόδου Gauss, το x n βρίσκεται από την τελευταία εξίσωση, το x n-1 υπολογίζεται από την προτελευταία εξίσωση χρησιμοποιώντας αυτήν την τιμή και ούτω καθεξής, το x 1 βρίσκεται από την πρώτη εξίσωση. Ονομάζεται η διαδικασία υπολογισμού άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση του συστήματος στην πρώτη αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Ας περιγράψουμε εν συντομία τον αλγόριθμο για την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Εξαιρούμε την άγνωστη μεταβλητή x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, προσθέστε την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί στην τρίτη εξίσωση και ούτω καθεξής, προσθέστε την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί στην nη εξίσωση. Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

όπου ένας .

Θα καταλήξαμε στο ίδιο αποτέλεσμα αν εκφράσαμε x 1 ως προς άλλες άγνωστες μεταβλητές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαθιστούσαμε την έκφραση που προκύπτει με όλες τις άλλες εξισώσεις. Έτσι, η μεταβλητή x 1 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, ενεργούμε παρόμοια, αλλά μόνο με ένα μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην τρίτη εξίσωση του συστήματος, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην τέταρτη εξίσωση και ούτω καθεξής, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην nη εξίσωση. Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

όπου ένας . Έτσι, η μεταβλητή x 2 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια, προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου x 3, ενώ ενεργούμε παρόμοια με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την απευθείας πορεία της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από εδώ και πέρα ​​ξεκινάμε αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιοΜέθοδος Gauss: υπολογίζουμε το x n από την τελευταία εξίσωση καθώς, χρησιμοποιώντας την τιμή του x n που προκύπτει, βρίσκουμε x n-1 από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε x 1 από την πρώτη εξίσωση.

Παράδειγμα.

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Εξισώσεων Γκαουσιανή μέθοδος.

Λύση.

Ας εξαιρέσουμε την άγνωστη μεταβλητή x 1 από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, και στα δύο μέρη της δεύτερης και της τρίτης εξίσωσης, προσθέτουμε τα αντίστοιχα μέρη της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα επί και επί, αντίστοιχα:

Τώρα αφαιρούμε το x 2 από την τρίτη εξίσωση προσθέτοντας στα αριστερά της και σωστά μέρητην αριστερή και τη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενη επί:

Σε αυτό, ολοκληρώνεται η προς τα εμπρός πορεία της μεθόδου Gauss, ξεκινάμε την αντίστροφη πορεία.

Από την τελευταία εξίσωση του προκύπτοντος συστήματος εξισώσεων, βρίσκουμε το x 3:

Από τη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε .

Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε την υπόλοιπη άγνωστη μεταβλητή και αυτό ολοκληρώνει την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss.

Απάντηση:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής.

ΣΤΟ γενική περίπτωσηο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος p δεν ταιριάζει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών n:

Τέτοια SLAE μπορεί να μην έχουν λύσεις, να έχουν μία μόνο λύση ή να έχουν άπειρες λύσεις. Αυτή η δήλωση ισχύει επίσης για συστήματα εξισώσεων των οποίων ο κύριος πίνακας είναι τετράγωνος και εκφυλισμένος.

Θεώρημα Kronecker-Capelli.

Πριν βρεθεί μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να εξακριβωθεί η συμβατότητά του. Η απάντηση στο ερώτημα πότε το SLAE είναι συμβατό και πότε είναι ασύμβατο, δίνει Θεώρημα Kronecker–Capelli:
για να είναι συνεπές ένα σύστημα p εξισώσεων με n αγνώστους (το p μπορεί να είναι ίσο με n), είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος να είναι ίσο με τον βαθμόεπαυξημένος πίνακας, δηλαδή Rank(A)=Rank(T) .

Ας εξετάσουμε την εφαρμογή του θεωρήματος Kronecker-Cappelli για τον προσδιορισμό της συμβατότητας ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων ως παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Μάθετε αν το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει λύσεις.

Λύση.

. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της οριοθέτησης ανηλίκων. Ανήλικο δεύτερης τάξης διαφορετικό από το μηδέν. Ας δούμε τους ανηλίκους τρίτης τάξης που το περιβάλλουν:

Δεδομένου ότι όλα τα συνοριακά ανήλικα τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, η κατάταξη του κύριου πίνακα είναι δύο.

Με τη σειρά του, η κατάταξη του επαυξημένου πίνακα ισούται με τρία, αφού η ελάσσονα τρίτης τάξης

διαφορετικό από το μηδέν.

Με αυτόν τον τρόπο, Rang(A) , επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Kronecker-Capelli, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ασυνεπές.

Απάντηση:

Δεν υπάρχει σύστημα λύσης.

Έτσι, μάθαμε να προσδιορίζουμε την ασυνέπεια του συστήματος χρησιμοποιώντας το θεώρημα Kronecker-Capelli.

Πώς όμως να βρεθεί η λύση του SLAE εάν διαπιστωθεί η συμβατότητά του;

Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε την έννοια του ελάσσονος βάσης ενός πίνακα και το θεώρημα για την κατάταξη ενός πίνακα.

Ανήλικος υψηλότερη τάξηΟ πίνακας Α που είναι μη μηδενικός ονομάζεται βασικός.

Από τον ορισμό του ελάσσονος βάσης προκύπτει ότι η σειρά του είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα. Για έναν μη μηδενικό πίνακα Α, μπορεί να υπάρχουν πολλά ελάσσονα βάσης, ένα βασικό μικρόυπάρχει πάντα.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη μήτρα .

Όλα τα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, αφού τα στοιχεία της τρίτης σειράς αυτού του πίνακα είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων της πρώτης και της δεύτερης σειράς.

Τα παρακάτω δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία είναι βασικά, αφού είναι μη μηδενικά

Ανήλικοι δεν είναι βασικές, αφού είναι ίσες με μηδέν.

Θεώρημα κατάταξης πίνακα.

Εάν η κατάταξη ενός πίνακα της τάξης p κατά n είναι r, τότε όλα τα στοιχεία των σειρών (και των στηλών) του πίνακα που δεν αποτελούν το επιλεγμένο βασικό ελάσσονα εκφράζονται γραμμικά ως προς τα αντίστοιχα στοιχεία των σειρών (και των στηλών ) που αποτελούν τη βάση ελάσσονος σημασίας.

Τι μας δίνει το θεώρημα κατάταξης του πίνακα;

Εάν, με το θεώρημα Kronecker-Capelli, έχουμε καθορίσει τη συμβατότητα του συστήματος, τότε επιλέγουμε οποιαδήποτε βασική ελάσσονα του κύριου πίνακα του συστήματος (η σειρά του είναι ίση με r) και αποκλείουμε από το σύστημα όλες τις εξισώσεις που δεν αποτελούν το επιλεγμένο βασικό δευτερεύον. Το SLAE που λαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο θα είναι ισοδύναμο με το αρχικό, καθώς οι εξισώσεις που απορρίπτονται εξακολουθούν να είναι περιττές (σύμφωνα με το θεώρημα κατάταξης του πίνακα, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων εξισώσεων).

Ως αποτέλεσμα, μετά την απόρριψη των υπερβολικών εξισώσεων του συστήματος, είναι πιθανές δύο περιπτώσεις.

Εάν ο αριθμός των εξισώσεων r στο προκύπτον σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών, τότε θα είναι οριστικός και η μόνη λύση μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο Cramer, τη μέθοδο matrix ή τη μέθοδο Gauss.

Παράδειγμα.

.

Λύση.

Κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος ισούται με δύο, αφού η ελάσσονα δεύτερης τάξης διαφορετικό από το μηδέν. Εκτεταμένη κατάταξη μήτρας ισούται επίσης με δύο, αφού το μόνο δευτερεύον της τρίτης τάξης είναι ίσο με μηδέν

και το δευτερεύον της δεύτερης τάξης που εξετάστηκε παραπάνω είναι διαφορετικό από το μηδέν. Με βάση το θεώρημα Kronecker-Capelli, μπορεί κανείς να υποστηρίξει τη συμβατότητα του αρχικού συστήματος γραμμικών εξισώσεων, αφού Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ως δευτερεύουσα βάση, παίρνουμε . Σχηματίζεται από τους συντελεστές της πρώτης και δεύτερης εξίσωσης:


Η τρίτη εξίσωση του συστήματος δεν συμμετέχει στον σχηματισμό του βασικού δευτερεύοντος, επομένως την αποκλείουμε από το σύστημα που βασίζεται στο θεώρημα κατάταξης του πίνακα:


Έτσι έχουμε αποκτήσει ένα στοιχειώδες σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Ας το λύσουμε με τη μέθοδο του Cramer:


Απάντηση:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Αν ο αριθμός των εξισώσεων r στο SLAE που προκύπτει μικρότερο από τον αριθμόάγνωστες μεταβλητές n, στη συνέχεια στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων αφήνουμε τους όρους που σχηματίζουν τη βασική ελάσσονα και μεταφέρουμε τους υπόλοιπους όρους στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων του συστήματος με το αντίθετο πρόσημο.

Οι άγνωστες μεταβλητές (υπάρχουν r από αυτές) που παραμένουν στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων ονομάζονται κύριος.

Οι άγνωστες μεταβλητές (υπάρχουν n - r από αυτές) που κατέληξαν στη δεξιά πλευρά καλούνται Ελεύθερος.

Τώρα υποθέτουμε ότι οι ελεύθερες άγνωστες μεταβλητές μπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιμές, ενώ οι r κύριες άγνωστες μεταβλητές θα εκφραστούν ως οι ελεύθερες άγνωστες μεταβλητές με μοναδικό τρόπο. Η έκφρασή τους μπορεί να βρεθεί λύνοντας το SLAE που προκύπτει με τη μέθοδο Cramer, τη μέθοδο matrix ή τη μέθοδο Gauss.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Λύστε Σύστημα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων .

Λύση.

Βρείτε την κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος με τη μέθοδο των οριοθετημένων ανηλίκων. Ας πάρουμε ένα 1 1 = 1 ως μη μηδενικό δευτερεύον πρώτης τάξης. Ας ξεκινήσουμε την αναζήτηση για ένα μη μηδενικό δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο που περιβάλλει αυτό το δευτερεύον:


Βρήκαμε λοιπόν ένα μη μηδενικό μινόρε δεύτερης τάξης. Ας ξεκινήσουμε την αναζήτηση για ένα μη μηδενικό συνοριακό δευτερεύον της τρίτης τάξης:


Έτσι, η κατάταξη του κύριου πίνακα είναι τρεις. Η κατάταξη του επαυξημένου πίνακα είναι επίσης ίση με τρία, δηλαδή το σύστημα είναι συνεπές.

Ως βασικό θα λαμβάνεται το μη μηδενικό μινόρε της τρίτης τάξης που βρέθηκε.

Για λόγους σαφήνειας, δείχνουμε τα στοιχεία που αποτελούν τη βασική ελάσσονα:


Αφήνουμε τους όρους που συμμετέχουν στο βασικό δευτερεύον στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος και μεταφέρουμε τους υπόλοιπους από αντίθετα σημάδιαστη δεξιά πλευρά:


Δίνουμε δωρεάν άγνωστες μεταβλητές x 2 και x 5 αυθαίρετες τιμές, δηλαδή παίρνουμε , όπου υπάρχουν αυθαίρετοι αριθμοί. Σε αυτήν την περίπτωση, το SLAE παίρνει τη μορφή


Λύνουμε το στοιχειώδες σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που προέκυψαν με τη μέθοδο Cramer:


Συνεπώς, .

Στην απάντηση, μην ξεχάσετε να υποδείξετε δωρεάν άγνωστες μεταβλητές.

Απάντηση:

Πού είναι αυθαίρετοι αριθμοί.

Συνοψίζω.

Για να λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής, ανακαλύπτουμε πρώτα τη συμβατότητά του χρησιμοποιώντας το θεώρημα Kronecker-Capelli. Εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα δεν είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα, τότε συμπεραίνουμε ότι το σύστημα είναι ασυνεπές.

Εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα, τότε επιλέγουμε το βασικό δευτερεύον και απορρίπτουμε τις εξισώσεις του συστήματος που δεν συμμετέχουν στον σχηματισμό του επιλεγμένου βασικού δευτερεύοντος πίνακα.

Αν η σειρά του ελάσσονος βάσης ισούται με τον αριθμόάγνωστες μεταβλητές, τότε το SLAE έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί με οποιαδήποτε γνωστή σε εμάς μέθοδο.

Εάν η τάξη της ελάσσονος βάσης είναι μικρότερη από τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών, τότε αφήνουμε τους όρους με τις κύριες άγνωστες μεταβλητές στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος, μεταφέρουμε τους υπόλοιπους όρους στις δεξιές πλευρές και εκχωρούμε αυθαίρετες τιμές . στις ελεύθερες άγνωστες μεταβλητές. Από το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων, βρίσκουμε τους κύριους άγνωστους μεταβλητές μεθόδου Cramer, μέθοδος matrix ή μέθοδος Gauss.

Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορεί κανείς να λύσει συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων οποιουδήποτε είδους χωρίς την προκαταρκτική τους έρευνα για συμβατότητα. Η διαδικασία διαδοχικής εξάλειψης άγνωστων μεταβλητών καθιστά δυνατή την εξαγωγή συμπερασμάτων τόσο για τη συμβατότητα όσο και για την ασυνέπεια του SLAE και, εάν υπάρχει λύση, καθιστά δυνατή την εύρεση της.

Από την άποψη της υπολογιστικής εργασίας, προτιμάται η μέθοδος Gaussian.

Δες το Λεπτομερής περιγραφήκαι ανέλυσε παραδείγματα στο άρθρο Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γενικής μορφής.

Καταγραφή της γενικής λύσης ομογενών και ανομοιογενών γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων χρησιμοποιώντας τα διανύσματα του θεμελιώδους συστήματος λύσεων.

Σε ΑΥΤΗΝ την ΕΝΟΤΗΤΑ θα μιλήσουμεσε κοινά ομοιογενή και ανομοιογενή συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που έχουν άπειρο σύνολολύσεις.

Ας ασχοληθούμε πρώτα με τα ομοιογενή συστήματα.

Σύστημα θεμελιωδών αποφάσεωνΈνα ομοιογενές σύστημα p γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές είναι ένα σύνολο (n – r) γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων αυτού του συστήματος, όπου r είναι η τάξη του ελάσσονος βάσης του κύριου πίνακα του συστήματος.

Αν ορίσουμε γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις ενός ομοιογενούς SLAE ως X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) είναι πίνακες στήλες διάστασης n με 1 ), τότε η γενική λύση αυτού του ομοιογενούς συστήματος αναπαρίσταται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων του θεμελιώδους συστήματος λύσεων με αυθαίρετα σταθερούς συντελεστέςС 1 , С 2 , …, С (n-r) , δηλαδή, .

Τι σημαίνει ο όρος γενική λύση ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (οροσλάου);

Το νόημα είναι απλό: ο τύπος ορίζει τα πάντα ΠΙΘΑΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣτο αρχικό SLAE, με άλλα λόγια, λαμβάνοντας οποιοδήποτε σύνολο τιμών αυθαίρετων σταθερών С 1 , С 2 , …, С (n-r) , σύμφωνα με τον τύπο παίρνουμε μια από τις λύσεις του αρχικού ομοιογενούς SLAE.

Έτσι, εάν βρούμε ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων, τότε μπορούμε να ορίσουμε όλες τις λύσεις αυτού του ομοιογενούς SLAE ως .

Ας δείξουμε τη διαδικασία κατασκευής ενός θεμελιώδους συστήματος λύσεων για ένα ομοιογενές SLAE.

Επιλέγουμε τη βασική ελάσσονα του αρχικού συστήματος γραμμικών εξισώσεων, αποκλείουμε όλες τις άλλες εξισώσεις από το σύστημα και μεταφέρουμε στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων του συστήματος με αντίθετα πρόσημα όλους τους όρους που περιέχουν ελεύθερες άγνωστες μεταβλητές. Ας δώσουμε δωρεάν αγνώστους μεταβλητές τιμές 1,0,0,…,0 και υπολογίστε τους κύριους αγνώστους λύνοντας το προκύπτον στοιχειώδες σύστημα γραμμικών εξισώσεων με οποιονδήποτε τρόπο, για παράδειγμα, με τη μέθοδο Cramer. Έτσι, θα ληφθεί το Χ (1) - η πρώτη λύση του θεμελιώδους συστήματος. Αν δοθεί δωρεάν άγνωστες τιμές 0,1,0,0,…,0 και υπολογίστε τους κύριους αγνώστους, τότε παίρνουμε Χ (2) . Και ούτω καθεξής. Αν δώσουμε στις ελεύθερες άγνωστες μεταβλητές τις τιμές 0,0,…,0,1 και υπολογίσουμε τους κύριους αγνώστους, τότε παίρνουμε X (n-r) . Έτσι θα κατασκευαστεί το θεμελιώδες σύστημα λύσεων του ομοιογενούς SLAE και η γενική του λύση μπορεί να γραφτεί στη μορφή .

Για ανομοιογενή συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, η γενική λύση παριστάνεται ως

Ας δούμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων και τη γενική λύση ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων .

Λύση.

Η κατάταξη του κύριου πίνακα ομοιογενών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι πάντα ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα. Ας βρούμε την κατάταξη του κύριου πίνακα με τη μέθοδο του περιθωρίου ανηλίκων. Ως μη μηδενικό ελάσσονα πρώτης τάξης, παίρνουμε το στοιχείο a 1 1 = 9 του κύριου πίνακα του συστήματος. Βρείτε το συνοριακό μη μηδενικό ελάσσονα δεύτερης τάξης:

Βρίσκεται ένα δευτερεύον δεύτερης τάξης, διαφορετικό από το μηδέν. Ας περάσουμε από τα ανήλικα τρίτης τάξης που το συνορεύουν σε αναζήτηση ενός μη μηδενικού:

Όλα τα συνοριακά ανήλικα της τρίτης τάξης είναι ίσα με μηδέν, επομένως, η κατάταξη του κύριου και του εκτεταμένου πίνακα είναι δύο. Ας πάρουμε το βασικό ελάσσονα. Για λόγους σαφήνειας, σημειώνουμε τα στοιχεία του συστήματος που το σχηματίζουν:

Η τρίτη εξίσωση του αρχικού SLAE δεν συμμετέχει στον σχηματισμό του βασικού δευτερεύοντος, επομένως, μπορεί να αποκλειστεί:

Αφήνουμε τους όρους που περιέχουν τους κύριους αγνώστους στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων και μεταφέρουμε τους όρους με ελεύθερους αγνώστους στις δεξιές πλευρές:

Ας κατασκευάσουμε ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων στο αρχικό ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Θεμελιώδες σύστημαΟι λύσεις αυτού του SLAE αποτελούνται από δύο λύσεις, καθώς το αρχικό SLAE περιέχει τέσσερις άγνωστες μεταβλητές και η σειρά του βασικού δευτερεύοντος είναι δύο. Για να βρούμε το X (1), δίνουμε στις ελεύθερες άγνωστες μεταβλητές τις τιμές x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, μετά βρίσκουμε τους κύριους αγνώστους από το σύστημα εξισώσεων
.

Ακόμη και στο σχολείο, ο καθένας μας μελετούσε εξισώσεις και, σίγουρα, συστήματα εξισώσεων. Αλλά δεν γνωρίζουν πολλοί ότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσής τους. Σήμερα θα αναλύσουμε λεπτομερώς όλες τις μεθόδους για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, που αποτελούνται από περισσότερες από δύο ισότητες.

Ιστορία

Σήμερα είναι γνωστό ότι η τέχνη της επίλυσης εξισώσεων και των συστημάτων τους ξεκίνησε Αρχαία Βαβυλώνακαι την Αίγυπτο. Ωστόσο, οι ισότητες στη συνήθη τους μορφή εμφανίστηκαν μετά την εμφάνιση του σημείου ίσων "=", το οποίο εισήχθη το 1556. Άγγλος μαθηματικόςΡεκόρ. Παρεμπιπτόντως, αυτό το σύμβολο επιλέχθηκε για έναν λόγο: σημαίνει δύο παράλληλα ίσα τμήματα. Και η αλήθεια είναι καλύτερο παράδειγμαη ισότητα δεν μπορεί να φανταστεί.

Ο ιδρυτής των σύγχρονων χαρακτηρισμών γραμμάτων των αγνώστων και των σημείων των βαθμών είναι Γάλλος μαθηματικόςΩστόσο, οι χαρακτηρισμοί του διέφεραν σημαντικά από τους σημερινούς. Για παράδειγμα, ένα τετράγωνο άγνωστος αριθμόςόρισε το γράμμα Q (λατ. "quadratus"), και τον κύβο - το γράμμα C (λατ. "cubus"). Αυτές οι σημειώσεις φαίνονται περίεργες τώρα, αλλά τότε ήταν ο πιο κατανοητός τρόπος να γραφτούν συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Ωστόσο, ένα μειονέκτημα των τότε μεθόδων λύσης ήταν ότι οι μαθηματικοί εξέταζαν μόνο θετικές ρίζες. Ίσως αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αρνητικές τιμέςδεν είχε κανένα Πρακτική εφαρμογη. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αλλά το πρώτο που πρέπει να ληφθεί υπόψη αρνητικές ρίζεςΉταν οι Ιταλοί μαθηματικοί Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano και Rafael Bombelli που το ξεκίνησαν τον 16ο αιώνα. ΑΛΛΑ μοντέρνα εμφάνιση, η κύρια μέθοδος λύσης (μέσω της διακριτικής) δημιουργήθηκε μόλις τον 17ο αιώνα χάρη στο έργο του Ντεκάρτ και του Νεύτωνα.

Στα μέσα του 18ου αιώνα, ο Ελβετός μαθηματικός Gabriel Cramer βρήκε νέος τρόποςπροκειμένου να διευκολύνει την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτή η μέθοδος πήρε το όνομά του στη συνέχεια και μέχρι σήμερα τη χρησιμοποιούμε. Αλλά για τη μέθοδο του Cramer θα μιλήσουμε λίγο αργότερα, αλλά προς το παρόν θα συζητήσουμε γραμμικές εξισώσεις και μεθόδους επίλυσής τους ξεχωριστά από το σύστημα.

Γραμμικές εξισώσεις

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι οι απλούστερες ισότητες με μεταβλητές. Ταξινομούνται ως αλγεβρικά. γράψτε σε γενική μορφή ως εξής: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... και n * x n \u003d β. Θα χρειαστούμε την αναπαράστασή τους σε αυτή τη μορφή κατά την περαιτέρω μεταγλώττιση συστημάτων και πινάκων.

Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ο ορισμός αυτού του όρου είναι ο εξής: είναι ένα σύνολο εξισώσεων που έχουν κοινούς αγνώστους και κοινή λύση. Κατά κανόνα, στο σχολείο, τα πάντα λύνονταν από συστήματα με δύο ή και τρεις εξισώσεις. Υπάρχουν όμως συστήματα με τέσσερα ή περισσότερα στοιχεία. Ας δούμε πρώτα πώς να τα γράψουμε, ώστε να είναι βολικό να τα λύσουμε αργότερα. Πρώτον, τα συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων θα φαίνονται καλύτερα εάν όλες οι μεταβλητές γράφονται ως x με τον κατάλληλο δείκτη: 1,2,3 κ.ο.κ. Δεύτερον, όλες οι εξισώσεις πρέπει να φέρουν την κανονική μορφή: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Μετά από όλες αυτές τις ενέργειες, μπορούμε να αρχίσουμε να μιλάμε για το πώς να βρούμε μια λύση σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Οι μήτρες είναι πολύ χρήσιμες για αυτό.

μήτρες

Ο πίνακας είναι ένας πίνακας που αποτελείται από γραμμές και στήλες και στη διασταύρωση τους βρίσκονται τα στοιχεία του. Αυτές μπορεί να είναι είτε συγκεκριμένες τιμές είτε μεταβλητές. Τις περισσότερες φορές, για να οριστούν στοιχεία, τοποθετούνται δείκτες κάτω από αυτά (για παράδειγμα, ένα 11 ή ένα 23). Το πρώτο ευρετήριο σημαίνει τον αριθμό της σειράς και το δεύτερο τον αριθμό στήλης. Πάνω από πίνακες, όπως πάνω από κάθε άλλο μαθηματικό στοιχείομπορείτε να εκτελέσετε διάφορες λειτουργίες. Έτσι, μπορείτε:

2) Πολλαπλασιάστε έναν πίνακα με κάποιον αριθμό ή διάνυσμα.

3) Μεταφορά: μετατρέψτε τις γραμμές μήτρας σε στήλες και τις στήλες σε γραμμές.

4) Πολλαπλασιάστε πίνακες αν ο αριθμός των γραμμών της μιας εξ αυτών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών της άλλης.

Θα συζητήσουμε όλες αυτές τις τεχνικές με περισσότερες λεπτομέρειες, καθώς θα μας φανούν χρήσιμες στο μέλλον. Η αφαίρεση και η προσθήκη πινάκων είναι πολύ εύκολη. Εφόσον παίρνουμε πίνακες του ίδιου μεγέθους, κάθε στοιχείο ενός πίνακα αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο ενός άλλου. Έτσι, προσθέτουμε (αφαιρούμε) αυτά τα δύο στοιχεία (είναι σημαντικό να βρίσκονται στις ίδιες θέσεις στους πίνακές τους). Όταν πολλαπλασιάζετε έναν πίνακα με έναν αριθμό ή διάνυσμα, χρειάζεται απλώς να πολλαπλασιάσετε κάθε στοιχείο του πίνακα με αυτόν τον αριθμό (ή διάνυσμα). Η μεταφορά είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα διαδικασία. Είναι πολύ ενδιαφέρον μερικές φορές να τον βλέπεις μέσα πραγματική ζωή, για παράδειγμα, όταν αλλάζετε τον προσανατολισμό του tablet ή του τηλεφώνου σας. Τα εικονίδια στην επιφάνεια εργασίας είναι μια μήτρα και όταν αλλάζετε τη θέση, μετατίθεται και γίνεται ευρύτερο, αλλά μειώνεται σε ύψος.

Ας αναλύσουμε μια τέτοια διαδικασία όπως Αν και δεν θα μας φανεί χρήσιμο, θα είναι ακόμα χρήσιμο να τη γνωρίζουμε. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε δύο πίνακες μόνο εάν ο αριθμός των στηλών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον άλλο. Τώρα ας πάρουμε τα στοιχεία μιας γραμμής ενός πίνακα και τα στοιχεία της αντίστοιχης στήλης ενός άλλου. Τα πολλαπλασιάζουμε το ένα με το άλλο και μετά τα προσθέτουμε (δηλαδή, για παράδειγμα, το γινόμενο των στοιχείων a 11 και a 12 επί b 12 και b 22 θα είναι ίσο με: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Έτσι, λαμβάνεται ένα στοιχείο του πίνακα και συμπληρώνεται περαιτέρω με παρόμοια μέθοδο.

Τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να εξετάζουμε πώς λύνεται το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων.

Μέθοδος Gauss

Αυτό το θέμα ξεκινά από το σχολείο. Γνωρίζουμε καλά την έννοια του «σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων» και ξέρουμε πώς να τις λύσουμε. Τι γίνεται όμως αν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από δύο; Αυτό θα μας βοηθήσει

Φυσικά, αυτή η μέθοδος είναι βολική στη χρήση εάν κάνετε μια μήτρα από το σύστημα. Αλλά δεν μπορείτε να το μεταμορφώσετε και να το λύσετε στην καθαρή του μορφή.

Λοιπόν, πώς λύνεται το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων Gauss με αυτή τη μέθοδο; Παρεμπιπτόντως, αν και αυτή η μέθοδος πήρε το όνομά του, ανακαλύφθηκε στην αρχαιότητα. Ο Gauss προτείνει τα ακόλουθα: να πραγματοποιηθούν πράξεις με εξισώσεις προκειμένου τελικά να μειωθεί ολόκληρος ο πληθυσμός σε κλιμακωτή όψη. Δηλαδή, είναι απαραίτητο από πάνω προς τα κάτω (αν τοποθετηθεί σωστά) από την πρώτη εξίσωση μέχρι την τελευταία να μειώνεται ένας άγνωστος. Με άλλα λόγια, πρέπει να φροντίσουμε να λάβουμε, ας πούμε, τρεις εξισώσεις: στην πρώτη - τρεις άγνωστους, στη δεύτερη - δύο, στην τρίτη - μία. Στη συνέχεια, από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε την πρώτη άγνωστη, αντικαθιστούμε την τιμή της με τη δεύτερη ή την πρώτη εξίσωση και μετά βρίσκουμε τις υπόλοιπες δύο μεταβλητές.

Μέθοδος Cramer

Για να κατακτήσετε αυτή τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να κατακτήσετε τις δεξιότητες πρόσθεσης, αφαίρεσης πινάκων και πρέπει επίσης να είστε σε θέση να βρείτε ορίζοντες. Επομένως, εάν τα κάνετε όλα αυτά άσχημα ή δεν ξέρετε καθόλου πώς, θα πρέπει να μάθετε και να εξασκηθείτε.

Ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου και πώς να την κάνουμε έτσι ώστε να λαμβάνεται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων Cramer; Όλα είναι πολύ απλά. Πρέπει να κατασκευάσουμε έναν πίνακα από αριθμητικούς (σχεδόν πάντα) συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Για να γίνει αυτό, απλώς παίρνουμε τους αριθμούς μπροστά από τους αγνώστους και τους βάζουμε στον πίνακα με τη σειρά που είναι γραμμένοι στο σύστημα. Αν του αριθμού προηγείται το σύμβολο "-", τότε σημειώνουμε έναν αρνητικό συντελεστή. Έτσι, έχουμε συντάξει τον πρώτο πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, χωρίς να συμπεριλαμβάνονται οι αριθμοί μετά τα ίσα (φυσικά, η εξίσωση πρέπει να μειωθεί στην κανονική μορφή, όταν μόνο ο αριθμός είναι στα δεξιά και όλοι οι άγνωστοι με οι συντελεστές είναι στα αριστερά). Στη συνέχεια, πρέπει να δημιουργήσετε αρκετούς ακόμη πίνακες - έναν για κάθε μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, στον πρώτο πίνακα, με τη σειρά μας, αντικαθιστούμε κάθε στήλη με συντελεστές με μια στήλη αριθμών μετά το σύμβολο ίσου. Έτσι, λαμβάνουμε αρκετούς πίνακες και στη συνέχεια βρίσκουμε τις ορίζουσες τους.

Αφού βρήκαμε τις ορίζουσες, το θέμα είναι μικρό. Έχουμε έναν αρχικό πίνακα και υπάρχουν αρκετοί προκύπτοντες πίνακες που αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεταβλητές. Για να πάρουμε τις λύσεις του συστήματος, διαιρούμε την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο αριθμός που προκύπτει είναι η τιμή μιας από τις μεταβλητές. Ομοίως, βρίσκουμε όλα τα άγνωστα.

Άλλες Μέθοδοι

Υπάρχουν πολλές ακόμη μέθοδοι για την απόκτηση μιας λύσης σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, η λεγόμενη μέθοδος Gauss-Jordan, η οποία χρησιμοποιείται για την εύρεση λύσεων στο σύστημα τετραγωνικές εξισώσειςκαι σχετίζεται επίσης με τη χρήση πινάκων. Υπάρχει επίσης μια μέθοδος Jacobi για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Είναι το πιο εύκολο να προσαρμοστεί σε υπολογιστή και χρησιμοποιείται στην τεχνολογία υπολογιστών.

Δύσκολες περιπτώσεις

Η πολυπλοκότητα συνήθως προκύπτει όταν ο αριθμός των εξισώσεων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μεταβλητών. Τότε μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι είτε το σύστημα είναι ασυνεπές (δηλαδή δεν έχει ρίζες), είτε ο αριθμός των λύσεών του τείνει στο άπειρο. Αν έχουμε τη δεύτερη περίπτωση, τότε πρέπει να γράψουμε τη γενική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων. Θα περιέχει τουλάχιστον μία μεταβλητή.

συμπέρασμα

Εδώ φτάνουμε στο τέλος. Ας συνοψίσουμε: έχουμε αναλύσει τι είναι ένα σύστημα και ένας πίνακας, μάθαμε πώς να βρίσκουμε μια γενική λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Επιπλέον, εξετάστηκαν και άλλες επιλογές. Ανακαλύψαμε πώς λύνεται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων: τη μέθοδο Gauss και μιλήσαμε δύσκολες περιπτώσειςκαι άλλους τρόπους εξεύρεσης λύσεων.

Στην πραγματικότητα, αυτό το θέμα είναι πολύ πιο εκτεταμένο και αν θέλετε να το κατανοήσετε καλύτερα, τότε σας συμβουλεύουμε να διαβάσετε πιο εξειδικευμένη βιβλιογραφία.

Η μέθοδος Gaussian έχει μια σειρά από μειονεκτήματα: είναι αδύνατο να γνωρίζουμε εάν το σύστημα είναι συνεπές ή όχι έως ότου πραγματοποιηθούν όλοι οι μετασχηματισμοί που είναι απαραίτητοι στη μέθοδο Gauss. η μέθοδος Gauss δεν είναι κατάλληλη για συστήματα με συντελεστές γραμμάτων.

Εξετάστε άλλες μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούν την έννοια της κατάταξης ενός πίνακα και μειώνουν τη λύση οποιουδήποτε σύστημα άρθρωσηςστη λύση ενός συστήματος στο οποίο ισχύει ο κανόνας του Cramer.

Παράδειγμα 1Βρείτε μια γενική λύση επόμενο σύστημαγραμμικές εξισώσεις που χρησιμοποιούν το θεμελιώδες σύστημα λύσεων του ανηγμένου ομογενούς συστήματος και μια συγκεκριμένη λύση του ανομοιογενούς συστήματος.

1. Φτιάχνουμε μια μήτρα ΕΝΑκαι η επαυξημένη μήτρα του συστήματος (1)

2. Εξερευνήστε το σύστημα (1) για συμβατότητα. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τις τάξεις των πινάκων ΕΝΑκαι https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Εάν αποδειχθεί ότι , τότε το σύστημα (1) ασύμβατες. Αν το καταλάβουμε , τότε αυτό το σύστημα είναι συνεπές και θα το λύσουμε. (Η μελέτη συνέπειας βασίζεται στο θεώρημα Kronecker-Capelli).

ένα. Βρίσκουμε rA.

Να βρω rA, θα θεωρήσουμε διαδοχικά μη μηδενικά δευτερεύοντα της πρώτης, δεύτερης κ.λπ. τάξεων του πίνακα ΕΝΑκαι οι ανήλικοι που τους περιβάλλουν.

Μ1=1≠0 (παίρνουμε 1 από αριστερά πάνω γωνίαμήτρες ΑΛΛΑ).

Σύνορα Μ1τη δεύτερη σειρά και τη δεύτερη στήλη αυτού του πίνακα. . Συνεχίζουμε τα σύνορα Μ1η δεύτερη γραμμή και η τρίτη στήλη..gif" width="37" height="20 src=">. Τώρα περιορίζουμε το μη μηδενικό δευτερεύον М2′δεύτερη παραγγελία.

Εχουμε: (γιατί οι δύο πρώτες στήλες είναι ίδιες)

(γιατί η δεύτερη και η τρίτη γραμμή είναι ανάλογες).

Το βλέπουμε αυτό rA=2, και είναι το βασικό ελάσσονα του πίνακα ΕΝΑ.

σι. Βρίσκουμε .

Επαρκώς βασικό δευτερεύον М2′μήτρες ΕΝΑπερίγραμμα με μια στήλη ελεύθερων μελών και όλες τις γραμμές (έχουμε μόνο την τελευταία γραμμή).

. Από αυτό προκύπτει ότι М3′′παραμένει η βασική ελάσσονα του πίνακα https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Επειδή М2′- ελάσσονος βάσης του πίνακα ΕΝΑσυστήματα (2) , τότε αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα (3) , που αποτελείται από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος (2) (Για М2′βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές του πίνακα Α).

(3)

Δεδομένου ότι το βασικό δευτερεύον είναι https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Σε αυτό το σύστημα, δύο ελεύθερα άγνωστα ( x2 και x4 ). Να γιατί FSR συστήματα (4) αποτελείται από δύο λύσεις. Για να τα βρούμε, εκχωρούμε δωρεάν αγνώστους (4) αξίες πρώτα x2=1 , x4=0 , και μετά - x2=0 , x4=1 .

Στο x2=1 , x4=0 παίρνουμε:

.

Αυτό το σύστημα έχει ήδη το μόνο πράγμα λύση (μπορεί να βρεθεί με τον κανόνα του Cramer ή με οποιαδήποτε άλλη μέθοδο). Αφαιρώντας την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε:

Η απόφασή της θα είναι x1= -1 , x3=0 . Δεδομένων των αξιών x2 και x4 , που έχουμε δώσει, παίρνουμε το πρώτο θεμελιώδης λύσησυστήματα (2) : .

Τώρα βάζουμε (4) x2=0 , x4=1 . Παίρνουμε:

.

Επιλύουμε αυτό το σύστημα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Cramer:

.

Λαμβάνουμε τη δεύτερη θεμελιώδη λύση του συστήματος (2) : .

Λύσεις β1 , β2 και μακιγιάζ FSR συστήματα (2) . Τότε θα είναι η γενική του λύση

γ= Γ1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Εδώ Γ1 , Γ2 είναι αυθαίρετες σταθερές.

4. Βρείτε ένα ιδιωτικός λύση ετερογενές σύστημα(1) . Όπως στην παράγραφο 3 , αντί για το σύστημα (1) εξετάστε το ισοδύναμο σύστημα (5) , που αποτελείται από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος (1) .

(5)

Μεταφέρουμε τους ελεύθερους αγνώστους στα δεξιά x2και x4.

(6)

Ας δώσουμε δωρεάν αγνώστους x2 και x4 αυθαίρετες τιμές, για παράδειγμα, x2=2 , x4=1 και συνδέστε τα (6) . Ας πάρουμε το σύστημα

Αυτό το σύστημα έχει μια μοναδική λύση (γιατί ο καθοριστικός του παράγοντας М2′0). Λύνοντάς το (χρησιμοποιώντας το θεώρημα Cramer ή τη μέθοδο Gauss), παίρνουμε x1=3 , x3=3 . Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές των ελεύθερων αγνώστων x2 και x4 , παίρνουμε συγκεκριμένη λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος(1)α1=(3,2,3,1).

5. Τώρα μένει να γράψουμε γενική λύση α ενός ανομοιογενούς συστήματος(1) : ισούται με το άθροισμα ιδιωτική απόφασηαυτό το σύστημα και γενική λύση του μειωμένου ομοιογενούς του συστήματος (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Αυτό σημαίνει: (7)

6. Εξέταση.Για να ελέγξετε αν έχετε λύσει σωστά το σύστημα (1) , χρειαζόμαστε μια γενική λύση (7) υποκατάστατο σε (1) . Αν κάθε εξίσωση γίνει ταυτότητα ( Γ1 και Γ2 πρέπει να καταστραφεί), τότε η λύση βρίσκεται σωστά.

Θα αντικαταστήσουμε (7) για παράδειγμα, μόνο στην τελευταία εξίσωση του συστήματος (1) (Χ1 + Χ2 + Χ3 ‑9 Χ4 =‑1) .

Παίρνουμε: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Όπου -1=-1. Πήραμε ταυτότητα. Αυτό το κάνουμε με όλες τις άλλες εξισώσεις του συστήματος (1) .

Σχόλιο.Η επαλήθευση είναι συνήθως αρκετά δυσκίνητη. Μπορούμε να προτείνουμε την ακόλουθη «μερική επαλήθευση»: στη συνολική λύση του συστήματος (1) αντιστοιχίστε μερικές τιμές σε αυθαίρετες σταθερές και αντικαταστήστε την προκύπτουσα συγκεκριμένη λύση μόνο στις απορριφθείσες εξισώσεις (δηλ. σε αυτές τις εξισώσεις από (1) που δεν περιλαμβάνονται σε (5) ). Αν πάρεις ταυτότητες, τότε πιθανότατα, λύση του συστήματος (1) βρέθηκε σωστά (αλλά ένας τέτοιος έλεγχος δεν παρέχει πλήρη εγγύηση ορθότητας!). Για παράδειγμα, εάν σε (7) βάζω C2=- 1 , C1=1, τότε παίρνουμε: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση του συστήματος (1), έχουμε: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , δηλαδή –1=–1. Πήραμε ταυτότητα.

Παράδειγμα 2Βρείτε μια γενική λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (1) , εκφράζοντας τους κύριους αγνώστους με όρους ελεύθερων.

Λύση.Οπως λέμε παράδειγμα 1, συνθέτουν πίνακες ΕΝΑκαι https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> αυτών των πινάκων. Τώρα αφήνουμε μόνο αυτές τις εξισώσεις του συστήματος (1) , οι συντελεστές των οποίων περιλαμβάνονται σε αυτή τη βασική ελάσσονα (δηλαδή, έχουμε τις δύο πρώτες εξισώσεις) και θεωρούμε το σύστημα που αποτελείται από αυτές, το οποίο είναι ισοδύναμο με το σύστημα (1).

Ας μεταφέρουμε τους ελεύθερους αγνώστους στη δεξιά πλευρά αυτών των εξισώσεων.

Σύστημα (9) λύνουμε με τη μέθοδο Gauss, θεωρώντας τα σωστά μέρη ως ελεύθερα μέλη.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Επιλογή 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Επιλογή 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Επιλογή 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Επιλογή 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Λέγεται ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων στο οποίο όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν ομοιογενής :

Οποιοδήποτε ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού πάντα είχε μηδέν (ασήμαντος ) λύση. Τίθεται το ερώτημα υπό ποιες συνθήκες ένα ομοιογενές σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση.

Θεώρημα 5.2.Ένα ομοιογενές σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν και μόνο εάν η κατάταξη του υποκείμενου πίνακα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων του.

Συνέπεια. Ένα τετράγωνο ομοιογενές σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν και μόνο εάν η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν.

Παράδειγμα 5.6.Προσδιορίστε τις τιμές της παραμέτρου l για την οποία το σύστημα έχει μη τετριμμένες λύσεις και βρείτε αυτές τις λύσεις:

Λύση. Αυτό το σύστημα θα έχει μια μη τετριμμένη λύση όταν η ορίζουσα του κύριου πίνακα είναι ίση με μηδέν:

Έτσι, το σύστημα είναι μη τετριμμένο όταν l=3 ή l=2. Για l=3, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 1. Τότε, αφήνοντας μόνο μία εξίσωση και υποθέτοντας ότι y=ένακαι z=σι, παίρνουμε x=b-a, δηλ.

Για l=2, η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι 2. Στη συνέχεια, επιλέγοντας ως βασικό δευτερεύον:

έχουμε ένα απλοποιημένο σύστημα

Από εδώ το βρίσκουμε x=z/4, y=z/2. Υποθέτοντας z=4ένα, παίρνουμε

Το σύνολο όλων των λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος έχει ένα πολύ σημαντικό γραμμική ιδιότητα : αν Χ στήλες 1 και Χ 2 - διαλύματα του ομογενούς συστήματος AX = 0, τότε οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τουςένα Χ 1+β Χ 2 θα είναι και η λύση αυτού του συστήματος. Πράγματι, επειδή ΤΣΕΚΟΥΡΙ 1 = 0 και ΤΣΕΚΟΥΡΙ 2 = 0 , έπειτα ΕΝΑ(ένα Χ 1+β Χ 2) = α ΤΣΕΚΟΥΡΙ 1+β ΤΣΕΚΟΥΡΙ 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Λόγω αυτής της ιδιότητας, αν ένα γραμμικό σύστημα έχει περισσότερες από μία λύσεις, τότε θα υπάρχουν άπειρες από αυτές τις λύσεις.

Γραμμικά ανεξάρτητες στήλες μι 1 , μι 2 , Ε κ, που είναι διαλύματα ενός ομογενούς συστήματος, λέγεται θεμελιώδες σύστημα αποφάσεων ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων εάν η γενική λύση αυτού του συστήματος μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των στηλών:

Αν ένα ομοιογενές σύστημα έχει nμεταβλητές και η κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος είναι ίση με r, έπειτα κ = n-r.

Παράδειγμα 5.7.Να βρείτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων του παρακάτω συστήματος γραμμικών εξισώσεων:

Λύση. Βρείτε την κατάταξη του κύριου πίνακα του συστήματος:

Έτσι, το σύνολο των λύσεων αυτού του συστήματος εξισώσεων σχηματίζει έναν γραμμικό υποχώρο διαστάσεων n - r= 5 - 2 = 3. Επιλέγουμε ως βασικό δευτερεύον

.

Στη συνέχεια, αφήνοντας μόνο τις βασικές εξισώσεις (οι υπόλοιπες θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των εξισώσεων) και βασικές μεταβλητές (τις υπόλοιπες, τις λεγόμενες ελεύθερες μεταβλητές, τις μεταφέρουμε προς τα δεξιά), παίρνουμε ένα απλοποιημένο σύστημα εξισώσεων:

Υποθέτοντας Χ 3 = ένα, Χ 4 = σι, Χ 5 = ντο, βρίσκουμε

, .

Υποθέτοντας ένα= 1, b=c= 0, λαμβάνουμε την πρώτη βασική λύση. υποθέτοντας σι= 1, α = γ= 0, λαμβάνουμε τη δεύτερη βασική λύση. υποθέτοντας ντο= 1, α = β= 0, λαμβάνουμε την τρίτη βασική λύση. Ως αποτέλεσμα, το κανονικό θεμελιώδες σύστημα λύσεων παίρνει τη μορφή

Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες σύστημα, η γενική λύση του ομογενούς συστήματος μπορεί να γραφτεί ως

Χ = aE 1 + είναι 2 + cE 3 . ένα

Ας σημειώσουμε μερικές ιδιότητες λύσεων του ανομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων AX=Bκαι τη σχέση τους με το αντίστοιχο ομοιογενές σύστημα εξισώσεων AX = 0.

Γενική λύση ανομοιογενούς συστήματοςισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος AX = 0 και μιας αυθαίρετης συγκεκριμένης λύσης του ανομοιογενούς συστήματος. Πράγματι, ας ΥΤο 0 είναι μια αυθαίρετη συγκεκριμένη λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος, δηλ. AY 0 = σι, και Υείναι η γενική λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος, δηλ. AY=B. Αφαιρώντας τη μία ισότητα από την άλλη, παίρνουμε
ΕΝΑ(Υ-Υ 0) = 0, δηλ. Υ-ΥΤο 0 είναι η γενική λύση του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος ΤΣΕΚΟΥΡΙ=0. Συνεπώς, Υ-Υ 0 = Χ, ή Υ=Υ 0 + Χ. Q.E.D.

Αφήνω ετερογενές σύστημαέχει τη μορφή AX = B 1 + σι 2 . Τότε η γενική λύση ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να γραφτεί ως X = X 1 + Χ 2 , όπου AX 1 = σι 1 και AX 2 = σι 2. Αυτή η ιδιότητα εκφράζει την καθολική ιδιότητα οποιουδήποτε γραμμικά συστήματα(αλγεβρικό, διαφορικό, λειτουργικό κ.λπ.). Στη φυσική, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης, στην ηλεκτρική και ραδιομηχανική - αρχή της επικάλυψης. Για παράδειγμα, στη θεωρία της γραμμικής ηλεκτρικά κυκλώματατο ρεύμα σε οποιοδήποτε κύκλωμα μπορεί να ληφθεί ως αλγεβρικό άθροισμαρεύματα που προκαλούνται από κάθε πηγή ενέργειας ξεχωριστά.

Θα συνεχίσουμε να γυαλίζουμε την τεχνική στοιχειώδεις μεταμορφώσεις στο ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Σύμφωνα με τις πρώτες παραγράφους, το υλικό μπορεί να φαίνεται βαρετό και συνηθισμένο, αλλά αυτή η εντύπωση είναι απατηλή. Εκτός από την περαιτέρω ανάπτυξη τεχνικέςθα υπάρξουν πολλά ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ, επομένως προσπαθήστε να μην αμελήσετε τα παραδείγματα σε αυτό το άρθρο.

Τι είναι ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων;

Η απάντηση υποδηλώνεται από μόνη της. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ομοιογενές εάν ο ελεύθερος όρος Ολοιη εξίσωση του συστήματος είναι μηδέν. Για παράδειγμα:

Είναι απολύτως σαφές ότι ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, δηλαδή έχει πάντα λύση. Και, πρώτα απ 'όλα, το λεγόμενο ασήμαντοςλύση . Trivial, για όσους δεν καταλαβαίνουν καθόλου την έννοια του επιθέτου, σημαίνει bespontovoe. Όχι ακαδημαϊκά, φυσικά, αλλά κατανοητά =) ... Γιατί να νικήσουμε τον θάμνο, ας μάθουμε αν αυτό το σύστημα έχει άλλες λύσεις:

Παράδειγμα 1

Λύση: για να λυθεί ένα ομοιογενές σύστημα είναι απαραίτητο να γραφτεί μήτρα συστήματοςκαι με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών το φέρνουν σε κλιμακωτή μορφή. Σημειώστε ότι δεν χρειάζεται να γράψετε την κάθετη γραμμή και τη στήλη μηδέν των ελεύθερων μελών εδώ - σε τελική ανάλυση, ό,τι και να κάνετε με τα μηδενικά, θα παραμείνουν μηδέν:

(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -3.

(2) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -1.

Η διαίρεση της τρίτης σειράς με το 3 δεν έχει πολύ νόημα.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προκύπτει ένα ισοδύναμο ομοιογενές σύστημα , και, εφαρμόζοντας την αντίστροφη κίνηση της μεθόδου Gauss, είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι η λύση είναι μοναδική.

Απάντηση:

Ας διατυπώσουμε ένα προφανές κριτήριο: ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μόνο ασήμαντη λύση, αν κατάταξη μήτρας συστήματος(σε αυτή η υπόθεση 3) ισούται με τον αριθμό των μεταβλητών (σε αυτήν την περίπτωση, 3 τεμ.).

Ζεσταίνουμε και συντονίζουμε το ραδιόφωνό μας σε ένα κύμα στοιχειωδών μετασχηματισμών:

Παράδειγμα 2

Να λύσετε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Για να διορθώσουμε τελικά τον αλγόριθμο, ας αναλύσουμε την τελική εργασία:

Παράδειγμα 7

Λύστε ένα ομοιογενές σύστημα, γράψτε την απάντηση σε διανυσματική μορφή.

Λύση: γράφουμε τον πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε κλιμακωτή μορφή:

(1) Το πρόσημο της πρώτης γραμμής έχει αλλάξει. Για άλλη μια φορά, εφιστώ την προσοχή στην τεχνική που συναντήθηκε επανειλημμένα, η οποία σας επιτρέπει να απλοποιήσετε σημαντικά την ακόλουθη ενέργεια.

(1) Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στη 2η και 3η γραμμή. Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 2 προστέθηκε στην 4η γραμμή.

(3) Οι τρεις τελευταίες γραμμές είναι αναλογικές, δύο από αυτές έχουν αφαιρεθεί.

Το αποτέλεσμα είναι ένα πρότυπο μήτρα βημάτων, και η λύση συνεχίζεται κατά μήκος της διαδρομής του αντίχειρα:

– βασικές μεταβλητές.
είναι ελεύθερες μεταβλητές.

Εκφράζουμε τις βασικές μεταβλητές ως ελεύθερες μεταβλητές. Από τη 2η εξίσωση:

- αντικαταστάτης στην 1η εξίσωση:

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Εφόσον υπάρχουν τρεις ελεύθερες μεταβλητές στο υπό εξέταση παράδειγμα, το θεμελιώδες σύστημα περιέχει τρία διανύσματα.

Ας αντικαταστήσουμε μια τριάδα τιμών στη γενική λύση και λάβετε ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες ικανοποιούν κάθε εξίσωση του ομογενούς συστήματος. Και πάλι, επαναλαμβάνω ότι είναι πολύ επιθυμητό να ελέγξετε κάθε λαμβανόμενο διάνυσμα - δεν θα πάρει τόσο πολύ χρόνο, αλλά θα εξοικονομήσει εκατό τοις εκατό από σφάλματα.

Για ένα τριπλό αξιών βρείτε το διάνυσμα

Και τέλος για το τριπλό παίρνουμε το τρίτο διάνυσμα:

Απάντηση: , όπου

Θέλοντας να δραπετεύσουν κλασματικές τιμέςμπορεί να εξετάσει τρίδυμα και λάβετε την απάντηση στην αντίστοιχη μορφή:

Μιλώντας για κλάσματα. Ας δούμε τον πίνακα που προκύπτει στο πρόβλημα και κάντε το ερώτημα - είναι δυνατόν να απλοποιηθεί η περαιτέρω λύση; Εξάλλου, εδώ εκφράσαμε πρώτα τη βασική μεταβλητή ως προς τα κλάσματα, μετά τη βασική μεταβλητή ως προς τα κλάσματα, και, πρέπει να πω, αυτή η διαδικασία δεν ήταν η πιο εύκολη και όχι η πιο ευχάριστη.

Η δεύτερη λύση:

Η ιδέα είναι να προσπαθήσουμε επιλέξτε άλλες βασικές μεταβλητές. Ας δούμε τον πίνακα και ας παρατηρήσουμε δύο στην τρίτη στήλη. Γιατί λοιπόν να μην πάρουμε το μηδέν στην κορυφή; Ας κάνουμε έναν ακόμη στοιχειώδη μετασχηματισμό: