Korrapärase kolmnurkpüramiidi ruumala valemid. Näited probleemide lahendamisest

Teoreem.

Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga aluse pindala ja kõrguse korrutisest..

Tõestus:

Esmalt tõestame teoreemi kolmnurkpüramiidi, seejärel suvalise teoreemi kohta.

1. Vaatleme kolmnurkset püramiidiOABCmahuga V, aluspindS ja kõrgus h. Joonista telg oh (OM2- kõrgus), kaaluge lõikuA1 B1 C1püramiidid, mille tasapind on teljega ristiOhja seetõttu paralleelne aluse tasapinnaga. TähistageX abstsisspunkt M1 selle tasandi lõikumine x-teljega ja läbiS(x)- ristlõike pindala. Ekspress S(x) läbi S, h Ja X. Pange tähele, et kolmnurgad A1 IN1 KOOS1 Ja ABC on sarnased. Tõepoolest A1 IN1 II AB, seega kolmnurk OA 1 IN 1 sarnane kolmnurgaga OAB. KOOS järelikult A1 IN1 : AB= OA 1: OA .

täisnurksed kolmnurgad OA 1 IN 1 ja OAB on samuti sarnased (neil on tipuga O ühine teravnurk). Seetõttu OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Seega A 1 IN 1 : A B = x: h.Samamoodi on tõestatud, etB1 C1:päike = X: h Ja A1 C1:AC = X: h.Seega kolmnurkA1 B1 C1 Ja ABCsarnane sarnasuskoefitsiendiga X: h.Seetõttu S(x): S = (x: h)² või S(x) = S x²/ h².

Rakendame nüüd kehade ruumalade arvutamise põhivalemit kella= 0, b=h saame

2. Tõestame nüüd teoreemi suvalise kõrgusega püramiidi kohta h ja baaspindala S. Sellise püramiidi saab jagada kogukõrgusega kolmnurkseteks püramiidideks h. Avaldame iga kolmnurkpüramiidi ruumala enda tõestatud valemi järgi ja liidame need mahud. Võttes sulgudest välja ühisteguri 1/3h, saame sulgudes kolmnurksete püramiidide aluste summa, s.o. algse püramiidi aluste pindala S.

Seega on algse püramiidi maht 1/3Sh. Teoreem on tõestatud.

Tagajärg:

Kõrguse h ja aluspindadega S ja S kärbitud püramiidi ruumala V1 , arvutatakse valemiga

h - püramiidi kõrgus

S top - ülemise aluse pindala

Aeglasemalt - alumise aluse pindala

Püramiidi ruumala leidmiseks peate teadma mitut valemit. Vaatleme neid.

Kuidas leida püramiidi ruumala - 1. viis

Püramiidi ruumala leiate selle aluse kõrguse ja pindala järgi. V = 1/3*S*h. Näiteks kui püramiidi kõrgus on 10 cm ja selle aluse pindala on 25 cm 2, on ruumala võrdne V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Kuidas leida püramiidi ruumala – 2. meetod

Kui tavaline hulknurk asub püramiidi põhjas, saab selle ruumala leida järgmise valemi abil: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), kus a on hulknurga külg, mis asub alus ja n on selle külgede arv. Näiteks: Alus on korrapärane kuusnurk, st n = 6. Kuna see on korrapärane, on selle kõik küljed võrdsed, st kõik a on võrdsed. Oletame, et a = 10 ja h - 15. Sisestame arvud valemisse ja saame ligikaudse vastuse - 1299 cm 3

Kuidas leida püramiidi ruumala - 3. viis

Kui püramiidi põhjas asub võrdkülgne kolmnurk, saab selle ruumala leida järgmise valemiga: V = ha 2 /4√3, kus a on võrdkülgse kolmnurga külg. Näiteks: püramiidi kõrgus on 10 cm, aluse külg on 5 cm. Maht on võrdne V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Tavaliselt juhtus see, mis juhtus nimetajat ei arvutata ja jäetakse samale kujule. Samuti saate nii lugeja kui ka nimetaja korrutada 4√3-ga, et saada 1000√3/48. Vähendades saame 125√ 3/6 cm 3.

Kuidas leida püramiidi ruumala - 4. viis

Kui ruut asub püramiidi põhjas, saab selle ruumala leida järgmise valemiga: V = 1/3*h*a 2, kus a on ruudu küljed. Näiteks: kõrgus - 5 cm, ruudu külg - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Kuidas leida püramiidi ruumala - 5. viis

Kui püramiid on tetraeeder, st kõik selle tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, saate püramiidi ruumala leida järgmise valemi abil: V = a 3 √2/12, kus a on tetraeedri serv. Näiteks: tetraeedri serv \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Sõna "püramiid" seostub tahes-tahtmata Egiptuse majesteetlike hiiglastega, kes hoiavad truult vaaraode rahu. Võib-olla sellepärast tunnevad püramiidi eksimatult ära kõik, isegi lapsed.

Siiski proovime anda sellele geomeetrilise definitsiooni. Kujutagem ette mitut punkti (A1, A2,..., An) tasapinnal ja veel ühte (E), mis sinna ei kuulu. Seega, kui punkt E (ülemine) on ühendatud hulknurga tippudega, mille moodustavad punktid A1, A2, ..., An (alus), saate hulktahuka, mida nimetatakse püramiidiks. Ilmselgelt võib püramiidi põhjas oleval hulknurgal olla suvaline arv tippe ja sõltuvalt nende arvust võib püramiidi nimetada kolmnurkseks ja nelinurkseks, viisnurkseks jne.

Kui püramiidi tähelepanelikult vaadata, saab selgeks, miks see on ka teisiti defineeritud - geomeetrilise kujuna, mille põhjas on hulknurk ja külgtahkudena kolmnurgad, mida ühendab ühine tipp.

Kuna püramiid on ruumiline kujund, siis on sellel ka selline kvantitatiivne karakteristik, kuna see arvutatakse püramiidi aluse ja selle kõrguse korrutise üldtuntud võrdsest kolmandikust:

Püramiidi ruumala arvutatakse valemi tuletamisel algselt kolmnurkse jaoks, võttes aluseks selle väärtuse konstantse suhte sama aluse ja kõrgusega kolmnurkse prisma ruumalaga, mis, nagu selgub, on sellest mahust kolm korda suurem.

Ja kuna iga püramiid jaguneb kolmnurkseteks ja selle maht ei sõltu tõestuses tehtud konstruktsioonidest, on ülaltoodud mahuvalemi kehtivus ilmne.

Kõikide püramiidide vahel on eraldiseisvad need õiged, milles asub alus, mis peaks "lõpema" aluse keskel.

Kui aluses on ebakorrapärane hulknurk, on aluse pindala arvutamiseks vaja:

• jagage see kolmnurkadeks ja ruutudeks;

• arvutage nende pindala;

• lisada saadud andmed.

Püramiidi põhjas asuva korrapärase hulknurga puhul arvutatakse selle pindala valmis valemite abil, seega arvutatakse tavalise püramiidi ruumala väga lihtsalt.

Näiteks nelinurkse püramiidi ruumala arvutamiseks, kui see on korrapärane, ruudustatakse korrapärase nelinurga (ruudu) külje pikkus aluses ja korrutades püramiidi kõrgusega, jagatakse saadud korrutis kolm.

Püramiidi ruumala saab arvutada teiste parameetrite abil:

• kolmandikuna püramiidi sisse kirjutatud kuuli raadiuse ja selle kogupinna pindala korrutisest;

• kui kaks kolmandikku kahe suvaliselt võetud ristuva serva vahelise kauguse ja rööpküliku pindala korrutisest, mis moodustab ülejäänud nelja serva keskpunktid.

Püramiidi ruumala arvutatakse ka lihtsalt juhul, kui selle kõrgus langeb kokku ühe külgservaga, see tähendab ristkülikukujulise püramiidi puhul.

Rääkides püramiididest, ei saa ignoreerida kärbitud püramiide, mis saadakse püramiidi lõikamisel alusega paralleelse tasapinnaga. Nende ruumala on peaaegu võrdne kogu püramiidi ja äralõigatud tipu mahtude vahega.

Püramiidi esimese mahu, ehkki mitte päris tänapäevasel kujul, vaid võrdne 1/3 meile teadaoleva prisma mahust, leidis Demokritos. Archimedes nimetas oma loendusmeetodit "tõenditeta", kuna Demokritos lähenes püramiidile kui lõpmata õhukestest sarnastest plaatidest koosneva kujuga.

Vektoralgebra "käsitles" ka püramiidi ruumala leidmise küsimust, kasutades selleks selle tippude koordinaate. Vektorite a,b,c kolmikule ehitatud püramiid on võrdne ühe kuuendikuga antud vektorite segakorrutise moodulist.

Definitsioon. Külg nägu- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi tipus ja selle vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on nii palju servi kui hulknurki.

Definitsioon. püramiidi kõrgus on püramiidi tipust põhja langenud risti.

Definitsioon. Apoteem- see on püramiidi külgpinna risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid- See on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. püramiidi maht läbi aluse pindala ja kõrgus:

püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber piirata ringi ja aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib ülevalt alla lastud risti aluse (ringi) keskpunkti.

Kui kõik külgmised ribid on võrdsed, on need alustasandi suhtes samade nurkade all.

Külgmised ribid on võrdsed, kui nad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes ühe nurga all kallutatud, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on alustasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes sama nurga all.

4. Kõikide külgpindade apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Kirjeldatud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab sisse kirjutada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis on tipu tasanurkade summa π või vastupidi, üks nurk on võrdne π / n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Püramiidi seos sfääriga

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas asub hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringi (vajalik ja piisav tingimus). Kera keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Sfääri saab alati kirjeldada mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sissekirjutatuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ühendus silindriga

Püramiidi kohta öeldakse, et see on silindrisse kantud, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindri saab püramiidi ümber piirata, kui püramiidi aluse ümber saab piirata ringi.

Definitsioon. Kärbitud püramiid (püramiidprisma)- See on hulktahukas, mis asub püramiidi aluse ja alusega paralleelse lõiketasandi vahel. Seega on püramiidil suur alus ja väiksem alus, mis sarnaneb suuremaga. Külgpinnad on trapetsikujulised.

Definitsioon. Kolmnurkne püramiid (tetraeeder)- see on püramiid, mille kolm tahku ja alus on suvalised kolmnurgad.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval pole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades ülalt.

Definitsioon. kaldus püramiid on püramiid, mille üks servadest moodustab põhjaga nürinurga (β).

Definitsioon. Ristkülikukujuline püramiid on püramiid, mille üks külgpindadest on aluse suhtes risti.

Definitsioon. Terava nurgaga püramiid on püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. nüri püramiid on püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. korrapärane tetraeeder Tetraeeder, mille neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder Nimetatakse tetraeedrit, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja alus on korrapärane kolmnurk. Sellise tetraeedri tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. tähe püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.

Definitsioon. Bipüramiid- polühedron, mis koosneb kahest erinevast püramiidist (püramiide ​​saab ka ära lõigata), millel on ühine alus ja mille tipud asuvad alustasandi vastaskülgedel.

Üks lihtsamaid mahulisi kujundeid on kolmnurkne püramiid, kuna see koosneb väikseimast arvust tahkudest, millest saab ruumis kujundi moodustada. Selles artiklis käsitleme valemeid, mille abil saate kolmnurkse korrapärase püramiidi ruumala leida.

kolmnurkne püramiid

Ülddefinitsiooni järgi on püramiid hulknurk, mille kõik tipud on ühendatud ühe punktiga, mis ei asu selle hulknurga tasapinnal. Kui viimane on kolmnurk, siis kogu kujundit nimetatakse kolmnurkseks püramiidiks.

Vaadeldav püramiid koosneb alusest (kolmnurgast) ja kolmest külgpinnast (kolmnurgast). Punkti, kus kolm külgpinda on ühendatud, nimetatakse joonise tipuks. Sellest tipust alusele langetatud risti on püramiidi kõrgus. Kui risti ja alusega lõikumispunkt langeb kokku kolmnurga mediaanide lõikepunktiga aluses, siis räägitakse korrapärasest püramiidist. Vastasel juhul on see kaldus.

Nagu öeldud, võib kolmnurkse püramiidi alus olla üldkolmnurk. Kui see aga on võrdkülgne ja püramiid ise on sirge, siis räägitakse õigest kolmemõõtmelisest kujundist.

Igal neist on 4 tahku, 6 serva ja 4 tippu. Kui kõigi servade pikkused on võrdsed, nimetatakse sellist kujundit tetraeedriks.

üldine tüüp

Enne tavalise kolmnurkpüramiidi üleskirjutamist anname selle füüsikalise suuruse avaldise üldtüüpi püramiidi jaoks. See väljend näeb välja selline:

Siin S o on aluse pindala, h on joonise kõrgus. See võrdsus kehtib nii püramiidi hulknurga mis tahes tüüpi aluse kui ka koonuse puhul. Kui põhjas on kolmnurk, mille külje pikkus on a ja kõrgus h o, siis kirjutatakse mahu valem järgmiselt:

Korrapärase kolmnurkpüramiidi ruumala valemid

Kolmnurksel on põhjas võrdkülgne kolmnurk. On teada, et selle kolmnurga kõrgus on seotud selle külje pikkusega võrrandiga:

Asendades selle avaldise eelmises lõigus kirjutatud kolmnurkse püramiidi ruumala valemis, saame:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Kolmnurkse põhjaga korrapärase püramiidi ruumala on aluse külje pikkuse ja kujundi kõrguse funktsioon.

Kuna ringi, mille raadius määrab üheselt hulknurga külje pikkuse, saab kirjutada iga korrapärase hulknurga, saab selle valemi kirjutada vastava raadiusega r:

Seda valemit on eelmisest lihtne saada, arvestades, et kolmnurga külje a pikkusega piiritletud ringi raadius r määratakse avaldisega:

Tetraeedri ruumala määramise ülesanne

Näitame, kuidas kasutada ülaltoodud valemeid konkreetsete geomeetriaülesannete lahendamisel.

On teada, et tetraeedri serva pikkus on 7 cm Leidke korrapärase kolmnurkse püramiid-tetraeedri ruumala.

Tuletame meelde, et tetraeeder on korrapärane kolmnurkne püramiid, mille kõik alused on üksteisega võrdsed. Tavalise kolmnurkse püramiidi ruumala valemi kasutamiseks peate arvutama kaks suurust:

• kolmnurga külje pikkus;
• figuuri kõrgus.

Esimene väärtus on teada probleemi tingimusest:

Kõrguse määramiseks võtke arvesse joonisel näidatud joonist.

Märgitud kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk, mille nurk ABC on 90o. Vahelduvvoolu pool on hüpotenuus, mille pikkus on a. Lihtsa geomeetrilise arutluskäiguga saab näidata, et külje BC pikkus on:

Pange tähele, et pikkus BC on kolmnurka ümbritseva ringjoone raadius.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2/3) \u003d a * √ (2/3).

Nüüd saate h ja a asendada vastava mahu valemiga:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Seega oleme saanud tetraeedri ruumala valemi. On näha, et maht sõltub ainult ribi pikkusest. Kui asendame ülesande tingimuse väärtuse avaldisega, saame vastuse:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40,42 cm 3.

Kui võrrelda seda väärtust sama servaga kuubi ruumalaga, saame, et tetraeedri ruumala on 8,5 korda väiksem. See näitab, et tetraeeder on kompaktne kujund, mis realiseerub mõnes looduslikus aines. Näiteks metaani molekul on tetraeedriline ja iga teemandi süsinikuaatom on ühendatud nelja teise aatomiga, moodustades tetraeedri.

Probleem homoteetiliste püramiididega

Lahendame ühe kurioosse geomeetrilise ülesande. Oletame, et on olemas kolmnurkne korrapärane püramiid, mille ruumala on V 1 . Mitu korda tuleks selle kuju suurust vähendada, et saada sellega homoteetiline püramiid, mille ruumala on kolm korda väiksem kui algne?

Alustame ülesande lahendamist, kirjutades algse regulaarpüramiidi valemi:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Olgu ülesande tingimuse poolt nõutav joonise maht, korrutades selle parameetrid koefitsiendiga k. Meil on:

V 2 = √3/12*k2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 * V 1 .

Kuna figuuride mahtude suhe on tingimusest teada, saame koefitsiendi k väärtuse:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0,693.

Pange tähele, et me oleksime saanud sarnase koefitsiendi k väärtuse suvalise tüüpi püramiidi jaoks, mitte ainult tavalise kolmnurkse püramiidi jaoks.