Tasased hulknurgad, mis moodustavad hulktahuka pinna. Hulktahukas on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest

Kuubik, pall, püramiid, silinder, koonus - geomeetrilised kehad. Nende hulgas on hulktahukaid. Polüheder on geomeetriline keha, mille pind koosneb lõplikust hulgast hulknurkadest. Kõiki neid hulknurki nimetatakse hulktahuka küljeks, nende hulknurkade küljed ja tipud on vastavalt hulktahuka servad ja tipud.

Kahepoolne nurgad külgnevate tahkude vahel, st. näod, millel on ühine külg – hulktahuka serv – on samuti olemas hulktahuka kahetahulised meeled. Hulknurkade nurgad - kumera hulknurga tahud - on hulktahuka lamedad meeled. Lisaks lame- ja kahetahulistele nurkadele on ka kumeral hulktahukal hulktahulised nurgad. Need nurgad moodustavad tahke, millel on ühine tipp.

Hulktahukate hulgas on prismad Ja püramiidid.

Prisma - on hulktahukas, mille pind koosneb kahest võrdsest hulknurgast ja rööpkülikust, millel on kummagi aluse ühised küljed.

Nimetatakse kahte võrdset hulknurka põhjustel ggrizmg ja rööpkülikud on tema külgmine servad. Külgpinnad moodustuvad külgmine pind prismad. Nimetatakse servi, mis ei asu aluses külgmised ribid prismad.

Prismat nimetatakse p-süsi, kui selle alused on i-gonid. Joonisel fig. 24.6 näitab nelinurkset prismat ABCDA"B"C"D".

Prismat nimetatakse otse, kui selle külgpinnad on ristkülikud (joon. 24.7).

Prismat nimetatakse õige , kui see on sirge ja selle alused on korrapärased hulknurgad.

Nimetatakse nelinurkne prisma rööptahukas , kui selle alused on rööpkülikud.

Rööptahukaks nimetatakse ristkülikukujuline, kui selle kõik tahud on ristkülikud.

Rööptahuka diagonaal on segment, mis ühendab selle vastandtippe. Rööptahukal on neli diagonaali.

On tõestatud, et Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja on selle punktiga poolitatud. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalid on võrdsed.

Püramiid on hulktahukas, mille pind koosneb hulknurgast - püramiidi alusest ja kolmnurkadest, millel on ühine tipp, mida nimetatakse püramiidi külgpindadeks. Nende kolmnurkade ühist tippu nimetatakse üleval püramiidid, ülalt ulatuvad ribid, - külgmised ribid püramiidid.

Püramiidi tipust alusele langenud risti, samuti selle risti pikkust nimetatakse kõrgus püramiidid.

Lihtsaim püramiid - kolmnurkne või tetraeeder (joon. 24.8). Kolmnurkse püramiidi eripära on see, et iga tahku võib pidada aluseks.

Püramiidi nimetatakse õige, kui selle alus on korrapärane hulknurk ja kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed.

Pange tähele, et peame eristama korrapärane tetraeeder(st tetraeeder, mille kõik servad on üksteisega võrdsed) ja korrapärane kolmnurkne püramiid(selle põhjas asub korrapärane kolmnurk ja külgservad on üksteisega võrdsed, kuid nende pikkus võib erineda prisma aluseks oleva kolmnurga külje pikkusest).

Eristama punnis Ja mittekumer hulktahukas. Kumera hulktahuka saab defineerida, kui kasutada kumera geomeetrilise keha mõistet: polüeedrit nimetatakse nn. kumer. kui see on kumer kujund, st. koos mis tahes kahe punktiga sisaldab see täielikult ka neid ühendavat lõiku.

Kumerat hulktahukat saab defineerida erinevalt: nimetatakse hulktahukat kumer, kui see asub täielikult iga seda piirava hulknurga ühel küljel.

Need määratlused on samaväärsed. Me ei esita selle fakti tõestust.

Kõik seni käsitletud hulktahukad on olnud kumerad (kuubik, rööptahukas, prisma, püramiid jne). Joonisel fig. 24,9, ei ole kumer.

On tõestatud, et kumeras hulktahukas on kõik tahud kumerad hulknurgad.

Vaatleme mitut kumerat hulktahukat (tabel 24.1)

Sellest tabelist järeldub, et kõigi vaadeldavate kumerate hulktahukate puhul on võrdsus B - P + G= 2. Selgus, et see kehtib ka iga kumera hulktahuka kohta. Selle omaduse tõestas esmakordselt L. Euler ja seda nimetati Euleri teoreemiks.

Kumerat hulktahukat nimetatakse õige kui selle tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igas tipus koondub sama arv tahke.

Kasutades kumera hulktahulise nurga omadust, saab seda tõestada Tavalisi hulktahukaid pole rohkem kui viis erinevat tüüpi.

Tõepoolest, kui lehvik ja hulktahukas on korrapärased kolmnurgad, võivad 3, 4 ja 5 koonduda ühte tippu, kuna 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Kui polüfaani igas tipus koonduvad kolm korrapärast kolmnurka, siis saame paremakäeline tetraeeder, mis tõlkes phetic tähendab "tetraeedrit" (joon. 24.10, A).

Kui hulktahuka igas tipus kohtuvad neli korrapärast kolmnurka, siis saame oktaeeder(Joonis 24.10, V). Selle pind koosneb kaheksast korrapärasest kolmnurgast.

Kui hulknurkse igas tipus koonduvad viis korrapärast kolmnurka, siis saame ikosaeeder(Joon. 24.10, d). Selle pind koosneb kahekümnest korrapärasest kolmnurgast.

Kui polüfaani küljed on ruudud, siis ainult kolm neist saavad ühes tipus koonduda, kuna 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также kuuseeder(Joonis 24.10, b).

Kui polüfaani servad on korrapärased viisnurgad, saab ainult phi koonduda ühes tipus, kuna 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodekaeeder(Joonis 24.10, d). Selle pind koosneb kaheteistkümnest korrapärasest viisnurgast.

Hulktahuka pinnad ei saa olla kuusnurksed või rohkem, sest isegi kuusnurga puhul 120° 3 = 360°.

Geomeetrias on tõestatud, et kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis on täpselt viis erinevat tüüpi korrapäraseid hulktahukaid.

Hulktahuka mudeli tegemiseks peate selle valmistama pühkima(täpsemalt selle pinna areng).

Hulktahuka areng on kujund tasapinnal, mis saadakse siis, kui hulktahuka pind lõigatakse mööda teatud servi ja volditakse lahti nii, et kõik sellesse pinda kuuluvad hulknurgad asuvad samal tasapinnal.

Pange tähele, et hulktahukal võib olla mitu erinevat arengut sõltuvalt sellest, milliseid servi me lõikame. Joonisel 24.11 on kujutatud kujundeid, mis kujutavad endast korrapärase nelinurkse püramiidi, st püramiidi, mille põhjas on ruut ja kõik külgservad on üksteisega võrdsed, erinevad arendused.

Selleks, et tasapinnal olev kujund oleks kumera hulktahuka edasiarendus, peab see vastama mitmele hulktahuka tunnustega seotud nõuetele. Näiteks joonisel fig. 24.12 ei ole tavalise nelinurkse püramiidi edasiarendused: joonisel fig. 24.12, A, tipus M neli tahku koonduvad, mida tavalises nelinurkses püramiidis juhtuda ei saa; ja joonisel fig. 24.12, b, külgmised ribid A B Ja Päike pole võrdne.

Üldiselt saab hulktahuka väljaarendamise saavutada selle pinna lõikamisega mitte ainult mööda servi. Sellise kuubi arenduse näide on näidatud joonisel fig. 24.13. Seetõttu võib polüeedri arengut täpsemalt defineerida kui tasast hulknurka, millest saab ilma kattumisteta teha selle hulktahuka pinna.

Pöörlevad kehad

Pöörlemiskeha nimetatakse kehaks, mis saadakse mingi kujundi (tavaliselt lame) ümber sirgjoone pöörlemise tulemusena. Seda rida nimetatakse pöörlemistelg.

Silinder- ego keha, mis saadakse ristküliku pöörlemise tulemusena ümber selle ühe külje. Sel juhul on määratud osapool silindri telg. Joonisel fig. 24.14 näitab teljega silindrit OO', mis saadakse ristküliku pööramisel AA"O"Oümber sirgjoone OO". Punktid KOHTA Ja ABOUT"- silindrite aluste keskpunktid.

Nimetatakse silindrit, mis tekib ristküliku pööramisel ümber selle ühe külje sirge ringikujuline silinder, kuna selle alused on kaks võrdset ringi, mis asetsevad paralleelsetel tasapindadel, nii et ringide keskpunkte ühendav segment on nende tasanditega risti. Silindri külgpinna moodustavad segmendid, mis on võrdsed ristküliku silindri teljega paralleelse küljega.

Pühkima Parempoolse ringikujulise silindri külgpind, kui see on lõigatud piki generatriksit, on ristkülik, mille üks külg on võrdne generatriksi pikkusega ja teine ​​​​aluse ümbermõõdu pikkusega.

Koonus- see on keha, mis saadakse täisnurkse kolmnurga ümber ühe jala pöörlemise tulemusena.

Sel juhul on näidatud jalg liikumatu ja kutsutakse koonuse telg. Joonisel fig. Joonisel 24.15 on kujutatud koonust teljega SO, mis saadakse täisnurgaga O täisnurkse kolmnurga SOA pööramisel ümber jala S0. Punkti S nimetatakse koonuse tipp, OA- selle aluse raadius.

Koonust, mis tekib täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber selle ühe jala, nimetatakse sirge ringikujuline koonus kuna selle alus on ring ja selle ülaosa projitseeritakse selle ringi keskele. Koonuse külgpinna moodustavad kolmnurga hüpotenuusiga võrdsed segmendid, mille pöörlemisel moodustub koonus.

Kui koonuse külgpind lõigata mööda generatrixit, saab selle tasapinnale “lahti voltida”. Pühkima Parempoolse ringkoonuse külgpind on ringikujuline sektor, mille raadius on võrdne generatriksi pikkusega.

Kui silinder, koonus või mõni muu pöörlev keha lõikub pöörlemistelge sisaldava tasapinnaga, selgub aksiaalne sektsioon. Silindri telglõik on ristkülik, koonuse telglõik on võrdhaarne kolmnurk.

Pall- see on keha, mis saadakse poolringi ümber selle läbimõõdu pöörlemise tulemusena. Joonisel fig. 24.16 näitab palli, mis on saadud poolringi ümber läbimõõdu pööramisel AA". Täispeatus KOHTA helistas palli keskpunkt, ja ringi raadius on kuuli raadius.

Palli pinda nimetatakse sfäär. Kera ei saa tasapinnaks pöörata.

Iga palli lõik tasapinnal on ring. Kuuli ristlõike raadius on suurim, kui tasapind läbib kuuli keskpunkti. Seetõttu nimetatakse palli lõiku palli keskpunkti läbiva tasapinnaga suur palli ring, ja ring, mis seda piirab suur ring.

GEOMEETRILISTE KEHADE KUJUT TASANDIL

Erinevalt tasapinnalistest kujunditest ei saa geomeetrilisi kehasid täpselt kujutada näiteks paberilehel. Tasapinnal olevate jooniste abil saab aga ruumifiguuridest üsna selge pildi. Selleks kasutatakse selliste figuuride tasapinnal kujutamiseks spetsiaalseid meetodeid. Üks neist on paralleelne disain.

Olgu antud tasapind ja sirge, mis ristuvad a A. Võtame ruumis suvalise punkti A, mis ei kuulu sirgele A, ja me juhendame teid läbi X otsene A", joonega paralleelne A(Joon. 24.17). Otse A" lõikub tasapinnaga mingil hetkel X", mida nimetatakse punkti X paralleelprojektsioon tasapinnale a.

Kui punkt A asub sirgel A, siis paralleelprojektsiooniga X" on punkt, kus joon A ristub tasapinnaga A.

Kui punkt X kuulub tasapinnale a, siis punkt X" langeb kokku punktiga X.

Seega, kui on antud tasapind a ja seda ristuv sirge A. siis iga punkt X ruumi saab seostada ühe punktiga A" – punkti paralleelprojektsioon X tasapinnale a (joonisega paralleelselt projekteerimisel A). Lennuk A helistas projektsioonitasand. Liinist A nad ütlevad, et ta haugub disaini suund - ggri asendus otse A muud sellega paralleelsed otsesed disainitulemused ei muutu. Kõik sirgega paralleelsed sirged A, määrake sama kujundussuund ja neid kutsutakse koos sirgjoonega A sirgjoonte projitseerimine.

Projektsioon arvud F kutsu komplekti F' kõigi punktide projektsioon. Iga punkti kaardistamine X arvud F"selle paralleelprojektsioon on punkt X" arvud F", helistas paralleelne disain arvud F(Joon. 24.18).

Reaalse objekti paralleelprojektsioon on selle vari, mis langeb päikesevalguse käes tasasele pinnale, kuna päikesekiiri võib pidada paralleelseteks.

Paralleelprojekteerimisel on mitmeid omadusi, mille tundmine on vajalik geomeetriliste kehade tasapinnal kujutamisel. Sõnastagem peamised ilma nende tõestust esitamata.

Teoreem 24.1. Paralleelprojekteerimisel on projekteerimissuunaga mitteparalleelsete sirgjoonte ja nendel paiknevate segmentide puhul täidetud järgmised omadused:

1) sirge projektsioon on sirge ja lõigu projektsioon on lõik;

2) paralleelsete sirgete projektsioonid on paralleelsed või langevad kokku;

3) samal sirgel või paralleelsel sirgel paiknevate lõikude projektsioonide pikkuste suhe on võrdne lõikude endi pikkuste suhtega.

Sellest teoreemist järeldub tagajärg: paralleelprojektsiooni korral projitseeritakse lõigu keskosa selle projektsiooni keskele.

Geomeetriliste kehade tasapinnal kujutamisel tuleb jälgida, et määratud omadused oleksid täidetud. Vastasel juhul võib see olla meelevaldne. Seega võivad mitteparalleelsete lõikude nurgad ja pikkuste suhted suvaliselt muutuda, st näiteks paralleelselt kujundatud kolmnurk on kujutatud suvalise kolmnurgana. Aga kui kolmnurk on võrdkülgne, siis peab selle mediaani projektsioon ühendama kolmnurga tipu vastaskülje keskkohaga.

Ruumikehade tasapinnal kujutamisel tuleb järgida veel ühte nõuet - aidata luua neist õige ettekujutus.

Kujutagem näiteks kaldprismat, mille alused on ruudud.

Ehitame esmalt prisma alumise aluse (alustada võib ülevalt). Paralleelprojekteerimise reeglite kohaselt kujutatakse oggot suvalise rööpkülikuna ABCD (joonis 24.19, a). Kuna prisma servad on paralleelsed, siis ehitame paralleelsed sirgjooned, mis läbivad konstrueeritud rööpküliku tippe ja asetame neile võrdsed lõigud AA", BB', CC", DD", mille pikkus on suvaline. Punkte ühendades A", B", C", D seerias ", saame nelinurga A" B "C" D", mis kujutab prisma ülemist alust. Pole raske tõestada, et A"B"C"D"- rööpkülik võrdne rööpkülikuga ABCD ja järelikult on meil prisma kujutis, mille alused on võrdsed ruudud ja ülejäänud tahud on rööpkülikukujulised.

Kui teil on vaja kujutada sirget prismat, mille alused on ruudud, siis saate näidata, et selle prisma külgmised servad on alusega risti, nagu on tehtud joonisel fig. 24.19, b.

Lisaks on joonisel fig. 24.19, b Seda võib pidada tavalise prisma kujutiseks, kuna selle alus on ruut - tavaline nelinurk ja ka ristkülikukujuline rööptahukas, kuna kõik selle tahud on ristkülikud.

Uurime nüüd, kuidas püramiidi tasapinnal kujutada.

Tavalise püramiidi kujutamiseks tõmmake esmalt põhjale korrapärane hulknurk ja selle keskpunkt on punkt KOHTA. Seejärel joonistage vertikaalne segment OS mis kujutab püramiidi kõrgust. Pange tähele, et segmendi vertikaalsus OS annab joonisele suurema selguse. Lõpuks on punkt S ühendatud kõigi aluse tippudega.

Kujutagem näiteks korrapärast püramiidi, mille alus on korrapärane kuusnurk.

Tavalise kuusnurga korrektseks kujutamiseks paralleelse projekteerimise ajal peate pöörama tähelepanu järgmisele. Olgu ABCDEF korrapärane kuusnurk. Siis on ALLF ristkülik (joonis 24.20) ja seetõttu kujutatakse seda paralleelprojekteerimisel suvalise rööpkülikuna B"C"E"F". Kuna diagonaal AD läbib punkti O - hulknurga ABCDEF keskpunkt ja on segmentidega paralleelne. BC ja EF ja AO = OD, siis paralleelse kujundusega tähistatakse seda suvalise segmendiga A "D" , punkti läbimine ABOUT" paralleelselt B"C" Ja E"F" ja pealegi, A"O" = O"D".

Seega on kuusnurkse püramiidi aluse konstrueerimise järjekord järgmine (joonis 24.21):

§ kujutavad suvalist rööpkülikut B"C"E"F" ja selle diagonaalid; märkige nende ristumispunkt O";

§ läbi punkti ABOUT" tõmmake paralleelne sirgjoon V'S"(või E"F');

§ vali konstrueeritud joonel suvaline punkt A" ja märkige punkt D" selline, et O"D" = A"O" ja ühendage punkt A" täppidega IN" Ja F", ja punkt D" - koos punktid KOOS" Ja E".

Püramiidi ehitamise lõpuleviimiseks tõmmake vertikaalne segment OS(selle pikkus valitakse meelevaldselt) ja ühenda punkt S kõigi aluse tippudega.

Paralleelprojektsioonis on kuul kujutatud sama raadiusega ringina. Palli kujutise visuaalsemaks muutmiseks joonistage projektsioon mõnest suurest ringist, mille tasapind ei ole projektsioonitasandiga risti. See projektsioon on ellips. Palli keskpunkti tähistab selle ellipsi keskpunkt (joonis 24.22). Nüüd leiame vastavad poolused N ja S tingimusel, et neid ühendav segment on risti ekvaatoritasapinnaga. Selleks läbi punkti KOHTA tõmmake sirgjoon risti AB ja märkige punkt C - selle sirge ristumiskoht ellipsiga; siis läbi punkti C tõmbame ekvaatorit kujutava ellipsi puutuja. On tõestatud, et vahemaa CM võrdne kaugusega palli keskpunktist iga pooluse vahel. Seetõttu jättes segmendid kõrvale PEAL Ja OS võrdne CM, saame postid N ja S.

Vaatleme üht ellipsi konstrueerimise tehnikat (see põhineb tasandi teisendusel, mida nimetatakse kokkusurumiseks): konstrueerida läbimõõduga ring ja tõmmata läbimõõduga risti olevad kõõlused (joon. 24.23). Pool igast akordist jagatakse pooleks ja saadud punktid ühendatakse sujuva kõveraga. See kõver on ellips, mille põhitelg on segment AB, ja keskpunkt on punkt KOHTA.

Seda tehnikat saab kasutada sirge ringsilindri (joonis 24.24) ja sirge ringikujulise koonuse (joonis 24.25) kujutamiseks tasapinnal.

Sirge ümmargune koonus on kujutatud nii. Esiteks ehitavad nad ellipsi - aluse, seejärel leiavad aluse keskpunkt - punkti KOHTA ja joonestada joonelõik risti OS mis tähistab koonuse kõrgust. Punktist S tõmmatakse ellipsi puutujad (seda tehakse “silma järgi”, joonlaua abil) ja valitakse lõigud SC Ja SD need sirged punktist S puutepunktidesse C ja D. Pange tähele, et segment CD ei lange kokku koonuse aluse läbimõõduga.

“Polüheedrite tüübid” – tavaline tähtkujuline hulktahukas. Dodekaeeder. Väike tähtkujuline dodekaeeder. Polyhedra. Kuueeder. Platoni tahked ained. Prismatoidne. Püramiid. Ikosaeeder. Oktaeeder. Lõpliku arvu tasanditega piiratud keha. Tähe oktaeeder. Kaks nägu. Vastastikkuse seadus. matemaatik. Tetraeeder.

"Geomeetriline keha polühedron" - Polyhedra. Prismad. Võrreldamatute koguste olemasolu. Poincare. Edge. Helitugevuse mõõtmine. Rööptahuka näod. Ristkülikukujuline rööptahukas. Sageli näeme tänaval püramiidi. Polüheder. Huvitavaid fakte. Aleksandria tuletorn. Geomeetrilised kujundid. Lennukite vaheline kaugus. Memphis.

“Polühedra kaskaadid” – kuubi serv. Oktaeedri serv. Kuubik ja dodekaeeder. Ühiktetraeeder. Dodekaeeder ja ikosaeeder. Dodekaeeder ja tetraeeder. Oktaeeder ja ikosaeeder. Polüheder. Regulaarne hulktahukas. Oktaeeder ja dodekaeeder. Ikosaeeder ja oktaeedr. Ühik ikosaeeder. Tetraeeder ja ikosaeeder. Ühik dodekaeeder. Oktaeedr ja tetraeeder. Kuubik ja tetraeeder.

"Polyhedra" stereomeetria - Polyhedra arhitektuuris. Polüheedri läbilõige. Andke hulktahukale nimi. Giza suur püramiid. Platoonilised tahked ained. Parandage loogiline ahel. Polüheder. Ajalooline viide. Polüheedri parim tund. Probleemi lahendamine. Tunni eesmärgid. "Mängimine pealtvaatajatega" Kas geomeetrilised kujundid ja nende nimed vastavad?

“Polüheedrite tähevormid” – suur tähekujuline dodekaeeder. Joonisel kujutatud hulktahukas. Tähtede hulktahukas. Külgmised ribid. Tähekuboktaeedrid. Tähtkujuline kärbitud ikosaeeder. Hulktahukas, mis saadakse tähtkujulise kärbitud ikosaeedri kärpimisel. Suure tähtkujulise dodekaeedri tipud. Tähtkujulised ikosaeedrid. Suur dodekaeeder.

“Polüheedri läbilõige tasapinnaga” – hulktahuka läbilõige. Hulknurgad. Lõiked moodustasid viisnurga. Lõiketasandi jälg. jaotis. Leiame sirgete lõikepunkti. Lennuk. Kuubi ristlõike konstrueerimine. Ehitage prisma ristlõige. Leiame punkti. Prisma. Sektsioonide ehitamise meetodid. Saadud kuusnurk. Kuubi osa. Aksiomaatiline meetod.

Kokku on 29 ettekannet

Geomeetrilised kehad

Sissejuhatus

Stereomeetrias uuritakse kujundeid ruumis, mida nimetatakse geomeetrilised kehad.

Meid ümbritsevad objektid annavad meile ettekujutuse geomeetrilistest kehadest. Erinevalt reaalsetest objektidest on geomeetrilised kehad kujuteldavad objektid. Selge geomeetriline keha seda tuleb ette kujutada osana ruumist, mis on hõivatud ainega (savi, puit, metall jne) ja mida piirab pind.

Kõik geomeetrilised kehad jagunevad hulktahukas Ja ümarad kehad.

Polyhedra

Polüheder on geomeetriline keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest.

Servad hulktahukas, nimetatakse selle pinna moodustavaid hulknurki.

Ribid hulktahuka tahkude külgi nimetatakse.

Tipud hulktahuka tippe nimetatakse hulktahuka tahkude tippudeks.

Polüheedrid jagunevad kumer Ja mittekumer.

Hulktahukat nimetatakse kumer, kui see asetseb täielikult oma mis tahes näo ühel küljel.

Harjutus. Täpsustage servad, ribid Ja tipud joonisel näidatud kuubik.

Kumerad hulktahukad jagunevad prismad Ja püramiidid.

Prisma

Prisma on hulktahukas, millel on kaks võrdset ja paralleelset tahku
n-gons ja ülejäänud n tahud on rööpkülikukujulised.

Kaks n- gons nimetatakse prisma alused, rööpkülik – külgmised näod. Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma ribid, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised servad on servad, mis ei kuulu aluste hulka.

Hulknurgad A 1 A 2 ...A n ja B 1 B 2 ...B n on prisma alused.

Parallelogrammid A 1 A 2 B 2 B 1, ... - külgpinnad.

Prisma omadused:

· Prisma alused on võrdsed ja paralleelsed.

· Prisma külgmised servad on võrdsed ja paralleelsed.

Prisma diagonaal nimetatakse segmendiks, mis ühendab kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale.

Prismat nimetatakse 3-nurkseks, 4-nurkseks, ..., n- kivisüsi, kui selle alus
3-gons, 4-gons, ..., n-gons.

Otsene prisma nimetatakse prismaks, mille külgmised ribid on alustega risti. Sirge prisma külgmised pinnad on ristkülikud.

Kaldprisma nimetatakse prismaks, mis ei ole sirge. Kaldprisma külgpinnad on rööpkülikukujulised.

Õige prismaga helistas otse prisma, mille põhjas on korrapärased hulknurgad.

Piirkond täispind prismad nimetatakse kõigi selle tahkude pindalade summaks.

Piirkond külgmine pind prismad nimetatakse selle külgpindade pindalade summaks.

S täis = S külg + 2 S põhilised

Polüheder

• Polüheder- see on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest.

Hulktahukat nimetatakse kumer

• Hulktahukat nimetatakse kumer ,kui see asub oma pinnal iga tasase hulknurga ühel küljel.

• Euclid (arvatavasti 330-277 eKr) - Vana-Kreeka Aleksandria koolkonna matemaatik, esimese meieni jõudnud matemaatikateemalise traktaadi "Elements" autor (15 raamatus)

külgmised näod.

• Prisma on hulktahukas, mis koosneb kahest lamedast hulknurgast, mis asetsevad eri tasanditel ja on ühendatud paralleeltranslatsiooni teel, ning kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest lõikudest. Paralleeltasandil asetsevaid hulknurki Ф ja Ф1 nimetatakse prisma alusteks ja ülejäänud tahke nimetatakse külgmised näod.

• Prisma pind koosneb seega kahest võrdsest hulknurgast (alusest) ja rööpkülikukujulisest (külgpinnast). On kolmnurkseid, nelinurkseid, viisnurkseid jne prismasid. sõltuvalt aluse tippude arvust.

• Kui prisma külgserv on risti tema aluse tasapinnaga, siis sellist prismat nimetatakse otse ; kui prisma külgserv ei ole risti selle aluse tasapinnaga, siis sellist prismat nimetatakse kaldu . Sirgel prismal on ristkülikukujulised külgpinnad.

Prisma alused on võrdsed.

• Prisma alused on võrdsed.

• Prisma alused asuvad paralleelsetes tasandites.

• Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

• Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus.

• Selgub, et prisma võib olla mitte ainult geomeetriline keha, vaid ka kunstiline meistriteos.Just prismast sai Picasso, Braque, Grissi jne maalide alus.

• Selgub, et lumehelves võib võtta kuusnurkse prisma kuju, kuid see sõltub õhutemperatuurist.

• 3. sajandil eKr. e. ehitati tuletorn, et laevad saaksid teel Aleksandria lahte riffidest ohutult mööduda. Öösiti aitas neid selles leekide peegeldus, päeval aga suitsusammas. See oli maailma esimene tuletorn ja see püsis 1500 aastat.

• Tuletorn ehitati väikesele Pharose saarele Vahemeres, Aleksandria ranniku lähedal. Selle ehitamiseks kulus 20 aastat ja see valmis umbes 280 eKr.

• 14. sajandil hävis tuletorni maavärin. Selle prahti kasutati sõjaväelinnuse ehitamisel. Kindlust on mitu korda ümber ehitatud ja see seisab siiani maailma esimese tuletorni kohas.

Mausolus oli Caria valitseja. Piirkonna pealinn oli Halikarnassos. Mausolus abiellus oma õe Artemisiaga. Ta otsustas ehitada endale ja oma kuningannale haua. Mavsol unistas majesteetlikust monumendist, mis tuletaks maailmale meelde tema rikkust ja võimu. Ta suri enne, kui hauakambris töö lõpetati. Artemisia jätkas ehituse juhtimist. Haud ehitati aastal 350 eKr. e. Seda nimetati kuninga järgi mausoleumiks.

Kuningliku paari tuhka hoiti kuldsetes urnides hoone jalamil asuvas hauakambris. Seda ruumi valvas rida kivilõvisid. Struktuur ise meenutas Kreeka templit, mida ümbritsevad sambad ja kujud. Hoone tipus oli astmeline püramiid. 43 m kõrgusel maapinnast kroonis seda hobuste veetava vankri skulptuur. Tõenäoliselt olid sellel kuninga ja kuninganna kujud.

• Kaheksateist sajandit hiljem hävitas maavärin mausoleumi maani. Möödus veel kolmsada aastat, enne kui arheoloogid väljakaevamisi alustasid. 1857. aastal transporditi kõik leiud Londoni Briti muuseumisse. Nüüd on kohas, kus kunagi asus mausoleum, alles vaid käputäis kive.

kristallid.

Ei ole ainult inimkätega loodud geomeetrilisi kujundeid. Looduses endas on neid palju.Selliste looduslike tegurite nagu tuul, vesi, päikesevalgus mõju maapinna välimusele on väga spontaanne ja kaootiline.Kuid liivaluited kivikesed mererannas, Kustunud vulkaani kraater on reeglina geomeetriliselt korrapärase kujuga. Mõnikord leitakse maa seest sellise kujuga kive, nagu oleks keegi need hoolikalt välja lõiganud, lihvinud ja lihvinud. See on - kristallid.

rööptahukas.

• Kui prisma alus on rööpkülik, siis seda nimetatakse rööptahukas.

• Ristkülikukujulise rööptahuka mudelid on järgmised:

• lahe tuba

• Selgub, et kaltsiidikristallid, olenemata sellest, kui palju neid väiksemateks osadeks purustatakse, lagunevad alati rööptahuka kujulisteks kildudeks.

• Linnahooned on enamasti hulktahuka kujuga.Reeglina on need tavalised rööptahukad.Ja linnu kaunistavad vaid ootamatud arhitektuursed lahendused.

• 1. Kas prisma on korrapärane, kui selle servad on võrdsed?

• a) jah; c) ei. Põhjenda oma vastust.

• 2. Korrapärase kolmnurkse prisma kõrgus on 6 cm. Aluse külg on 4 cm. Leidke selle prisma kogupindala.

• 3. Kaldkujulise kolmnurkse prisma kahe külgpinna pindalad on 40 ja 30 cm2. Nende tahkude vaheline nurk on sirge. Leidke prisma külgpindala.

• 4. Rööptahukas ABCDA1B1C1D1 on joonestatud lõigud A1BC ja CB1D1. Millises vahekorras need tasandid jagavad diagonaali AC1?

• 1) tetraeeder, millel on 4 tahku, 4 tippu, 6 serva;

• 2) kuubik - 6 tahku, 8 tippu, 12 serva;

• 3) oktaeeder - 8 tahku, 6 tippu, 12 serva;

• 4) dodekaeeder - 12 tahku, 20 tippu, 30 serva;

• 5) ikosaeeder - 20 tahku, 12 tippu, 30 serva.

Mileetose Thales, asutaja joonia Samose Pythagoras

Vana-Kreeka teadlased ja filosoofid võtsid üle ja töötasid ümber Vana-Ida kultuuri ja teaduse saavutused. Thales, Pythagoras, Demokritos, Eudoxus ja teised reisisid Egiptusesse ja Babülooniasse muusikat, matemaatikat ja astronoomiat õppima. Pole juhus, et Kreeka geomeetriateaduse algust seostatakse nimega Mileetose Thales, asutaja joonia koolid. Idamaadega piirneval territooriumil asunud jooonlased olid esimesed, kes laenasid idaalaseid teadmisi ja asusid neid arendama. Joonia koolkonna teadlased olid esimesed, kes allutasid iidsetelt idarahvastelt, eriti babüloonlastelt laenatud matemaatilise teabe loogilisele töötlemisele ja süstematiseerisid. Proclus ja teised ajaloolased omistavad selle koolkonna juhile Thalesele palju geomeetrilisi avastusi. Suhtumisest Samose Pythagoras geomeetria kohta kirjutab Proclus oma kommentaaris raamatule Euclid’s Elements järgmist: "Ta uuris seda teadust (st geomeetriat), alustades selle esimestest alustest ja püüdis saada teoreeme puhtalt loogilise mõtlemise abil." Proclus omistab Pythagorasele lisaks üldtuntud teoreemile hüpotenuusi ruudu kohta viie korrapärase hulktahuka konstruktsiooni:

Platoni tahked ained

Platoni tahked ained on kumerad hulktahukad, mille kõik tahud on korrapärased hulknurgad. Korrapärase hulktahuka kõik hulktahukad nurgad on kongruentsed. Nagu selgub tipu tasandinurkade summa arvutamisest, pole kumerat regulaarset hulktahukat rohkem kui viis. Kasutades alltoodud meetodit, saab tõestada, et korrapäraseid hulktahukaid on täpselt viis (seda tõestas Eukleides). Need on korrapärased tetraeedrid, kuubikud, oktaeedrid, dodekaeedrid ja ikosaeedrid.

Oktaeeder (joonis 3).

• Oktaeeder -oktaeeder; kaheksa kolmnurgaga piiratud keha; korrapärast oktaeedrit piirab kaheksa võrdkülgset kolmnurka; üks viiest tavalisest hulktahukast. (joonis 3).

• Dodekaeeder -dodekaeeder, kaheteistkümne hulknurgaga piiratud keha; tavaline viisnurk; üks viiest tavalisest hulktahukast . (joonis 4).

• Ikosaeeder -twenty-hedron, kahekümne hulknurgaga piiratud keha; korrapärane ikosaeeder on piiratud kahekümne võrdkülgse kolmnurgaga; üks viiest tavalisest hulktahukast. (joonis 5).

Dodekaeedri tahud on korrapärased viisnurgad. Korrapärase viisnurga diagonaalid moodustavad nn tähtviisnurga - kuju, mis toimis Pythagorase õpilaste embleemina, tunnusmärgina. Teatavasti oli Pythagorase Liiga ühtaegu nii filosoofiline koolkond, erakond kui ka usuvennaskond. Legendi järgi haigestus üks Pythagorase võõral maal ega suutnud enne surma maksta tema eest hoolitsenud majaomanikule. Viimane maalis oma maja seinale tähekujulise viisnurga. Mõni aasta hiljem seda märki nähes uuris teine ​​uitav Pythagorean omanikult juhtunu kohta ja premeeris teda heldelt.

• Usaldusväärset teavet Pythagorase elu ja teadustegevuse kohta pole säilinud. Teda tunnustatakse figuuride sarnasuse doktriini loomise eest. Tõenäoliselt oli ta üks esimesi teadlasi, kes vaatles geomeetriat mitte praktilise ja rakendusliku distsipliinina, vaid abstraktse loogikateadusena.

Pythagorase koolkond avastas võrreldamatute suuruste olemasolu, st need, mille suhet ei saa väljendada ühegi täis- ega murdarvuga. Näiteks on ruudu diagonaali pikkuse ja selle külje pikkuse suhe, mis on võrdne C2-ga. See arv ei ole ratsionaalne (st täisarv või kahe täisarvu suhe) ja seda nimetatakse irratsionaalseks, st. irratsionaalne (ladina keelest ratio - suhtumine).

Tetraeeder (Joonis 1).

• Tetraeeder -tetraeeder, mille kõik tahud on kolmnurgad, s.t. kolmnurkne püramiid; korrapärane tetraeeder on piiratud nelja võrdkülgse kolmnurgaga; üks viiest korrapärasest hulknurgast. (Joonis 1).

• Kuubik või tavaline heksaeeder (joonis 2).

Tetraeeder -tetraeeder, mille kõik tahud on kolmnurgad, s.t. kolmnurkne püramiid; korrapärane tetraeeder on piiratud nelja võrdkülgse kolmnurgaga; üks viiest korrapärasest hulknurgast. (Joonis 1).

• Tetraeeder -tetraeeder, mille kõik tahud on kolmnurgad, s.t. kolmnurkne püramiid; korrapärane tetraeeder on piiratud nelja võrdkülgse kolmnurgaga; üks viiest korrapärasest hulknurgast. (Joonis 1).

• Kuubik või tavaline heksaeeder - korrapärane nelinurkne võrdsete servadega prisma, mis on piiratud kuue ruuduga. (joonis 2).

Püramiid

• Püramiid- hulktahukas, mis koosneb tasasest hulknurgast - püramiidi alusest, punktidest, mis ei asu püramiidi aluse tipu tasapinnas ja kõigist segmentidest, mis ühendavad püramiidi tippu aluse punktidega

Pildil on viisnurkne püramiid SABCDE ja selle areng. Nimetatakse kolmnurki, millel on ühine tipp külgmised näod püramiidid; külgmiste tahkude ühine tipp - üleval püramiidid; hulknurk, kuhu see tipp ei kuulu, on alus püramiidid; püramiidi servad koonduvad selle tipus - külgmised ribid püramiidid. Kõrgus püramiid on risti asetsev segment, mis on tõmmatud läbi selle tipu alustasandiga ja mille otsad on püramiidi ülaosas ja alustasandil. Joonisel on segment NII- püramiidi kõrgus.

• Definitsioon . Püramiidi, mille alus on korrapärane hulknurk ja mille tipp on projitseeritud selle keskpunkti, nimetatakse regulaarseks.

• Joonisel on kujutatud korrapärast kuusnurkset püramiidi.

Viljalautade ja muude kuubikute, prismade ja silindrite kujul olevate ehitiste mahud arvutasid egiptlased ja babüloonlased, hiinlased ja indiaanlased, korrutades aluspinna kõrgusega. Vana-Ida teadis aga peamiselt vaid teatud eksperimentaalselt leitud reegleid, mille abil leiti kujundite pindaladele mahtusid. Hilisemal ajal, kui geomeetria teadusena kujunes, leiti polüheedrite ruumalade arvutamisel üldine lähenemine.

• V-IV sajandi tähelepanuväärsete Kreeka teadlaste hulgas. eKr, kes töötasid välja mahtude teooria, olid Abdera Demokritos ja Cniduse Eudoxus.

• Euclid ei kasuta mõistet "maht". Tema jaoks tähendab mõiste “kuubik” näiteks ka kuubi mahtu. "Põhimõtete" XI raamatus esitatakse muu hulgas järgmised teoreemid.

• 1. Võrdse kõrguse ja võrdse põhjaga rööptaelikud on võrdse suurusega.

• 2. Kahe võrdse kõrgusega rööptahuka ruumalade suhe on võrdne nende aluste pindalade suhtega.

• 3. Võrdse pindalaga rööptahukatel on aluste pindalad pöördvõrdelised kõrgustega.

• Eukleidese teoreemid puudutavad ainult ruumalade võrdlemist, kuna ilmselt pidas Euclid kehade ruumalade otsest arvutamist praktiliste geomeetria käsiraamatute asjaks. Aleksandria Heroni rakenduslikes töödes on kuubiku, prisma, rööptahuka ja muude ruumikujude ruumala arvutamise reeglid.

• Prismat, mille alus on rööptahukas, nimetatakse rööptahukaks.

• Definitsiooni järgi rööptahukas on nelinurkne prisma, mille kõik tahud on rööpkülikukujulised. Rööptorud, nagu prismad, võivad olla otse Ja kaldu. Joonisel 1 on kujutatud kaldus rööptahukat ja joonisel 2 sirget rööptahukat.

• Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline rööptahukas. Ristkülikukujulise rööptahuka kõik tahud on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mudelid on klassiruum, telliskivi ja tikutoosi.

• Nimetatakse ühise otsaga ristkülikukujulise rööptahuka kolme serva pikkust mõõdud. Näiteks on tikutopse, mille mõõtmed on 15, 35, 50 mm. Kuup on võrdsete mõõtmetega ristkülikukujuline rööptahukas. Kuubi kõik kuus tahku on võrdsed ruudud.

• Vaatleme rööptahuka mõningaid omadusi.

• Teoreem. Rööptahukas on oma diagonaali keskkoha ümber sümmeetriline.

• See tuleneb otseselt teoreemist rööptahuka olulised omadused:

• 1. Mis tahes segment, mille otsad kuuluvad rööptahuka pinnale ja läbivad selle diagonaali keskosa, jagatakse sellega pooleks; eelkõige kõik rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja poolitatakse selle poolt. 2. Rööptahuka vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed

Sissejuhatus

Hulknurkadest koosnevat pinda, mis piirab mõnda geomeetrilist keha, nimetatakse hulktahuliseks pinnaks või hulktahukaks.

Hulktahukas on piiratud keha, mille pind koosneb piiratud arvust hulknurkadest. Hulknurki, mis seovad hulktahukat, nimetatakse tahkudeks ja tahkude lõikejooni servadeks.

Polüeedritel võib olla mitmekesine ja väga keeruline struktuur. Mitmesugused ehitised, näiteks majad, mis on ehitatud tellistest ja betoonplokkidest, on näited polüeedritest. Mööbli hulgast võib leida teisigi näiteid, näiteks laua. Keemias on süsivesinike molekulide kuju tetraeeder, tavaline kahekümneeedrik, kuubik. Füüsikas on polühedra näideteks kristallid.

Iidsetest aegadest on ideid ilu kohta seostatud sümmeetriaga. See ilmselt seletab inimeste huvi polüeedrite vastu – hämmastavad sümmeetria sümbolid, mis äratasid silmapaistvate mõtlejate tähelepanu, keda hämmastas nende kujundite ilus, täiuslikkus ja harmoonia.

Esmakordsed mainimised polühedratest on teada kolm tuhat aastat eKr Egiptuses ja Babüloonias. Piisab, kui meenutada kuulsaid Egiptuse püramiide ​​ja kuulsaimat neist, Cheopsi püramiidi. See on tavaline püramiid, mille põhjas on ruut, mille külg on 233 m ja mille kõrgus ulatub 146,5 m. Pole juhus, et nad ütlevad, et Cheopsi püramiid on vaikne traktaat geomeetriast.

Regulaarsete hulktahukate ajalugu ulatub iidsetesse aegadesse. Alates 7. sajandist eKr loodi Vana-Kreekas filosoofilised koolkonnad, kus toimus järk-järguline üleminek praktilisest geomeetriast filosoofilisele. Nendes koolkondades omandas suure tähtsuse arutluskäik, mille abil oli võimalik saada uusi geomeetrilisi omadusi.

Üks esimesi ja kuulsamaid koolkondi oli Pythagorase koolkond, mis sai nime selle asutaja Pythagorase järgi. Pythagoorlaste eristav märk oli pentagramm, matemaatika keeles on see korrapärane mittekumer või tähekujuline viisnurk. Pentagrammile määrati võime kaitsta inimest kurjade vaimude eest.

Pythagoraslased uskusid, et aine koosneb neljast põhielemendist: tulest, maast, õhust ja veest. Viie korrapärase hulktahuka olemasolu seostasid nad mateeria ja universumi struktuuriga. Selle arvamuse kohaselt peavad põhielementide aatomid olema erinevate kehade kujul:

§ Universum on dodekaeeder

§ Maa – kuubik

§ Tuli – tetraeeder

§ Vesi – ikosaeeder

§ Õhk – oktaeeder

Hiljem visandas pütagoorlaste õpetuse korrapärase hulktahuka kohta oma töödes teine ​​Vana-Kreeka teadlane, idealistlik filosoof Platon. Sellest ajast alates on tavalised hulktahukad saanud tuntuks kui platoonilised tahked ained.

Platoonilised tahkised on korrapärased homogeensed kumerad hulktahukad, st kumerad hulktahukad, mille kõik tahud ja nurgad on võrdsed ning tahud on korrapärased hulknurgad. Tavalise hulktahuka igasse tippu läheneb sama arv servi. Kõik korrapärase hulknurga äärtes olevad kahetahulised nurgad ja kõik hulktahuka nurgad tippude juures on võrdsed. Platoonilised tahked ained on lamedate korrapäraste hulknurkade kolmemõõtmeline analoog.

Polüheedrite teooria on kaasaegne matemaatika haru. See on tihedalt seotud topoloogia, graafiteooriaga ning omab suurt tähtsust nii geomeetria teoreetiliseks uurimiseks kui ka praktilisteks rakendusteks teistes matemaatikaharudes, näiteks algebra, arvuteooria, rakendusmatemaatika – lineaarprogrammeerimine, optimaalse juhtimise teooria. Seega on see teema aktuaalne ja teadmised selle teema kohta on kaasaegse ühiskonna jaoks olulised.

Põhiosa

Hulktahukas on piiratud keha, mille pind koosneb piiratud arvust hulknurkadest.

Anname hulktahuka definitsiooni, mis on samaväärne polüeedri esimese definitsiooniga.

Polüheder – See on arv, mis on piiratud arvu tetraeedrite liit, mille jaoks on täidetud järgmised tingimused:

1) igal kahel tetraeedril ei ole ühiseid punkte või neil on ühine tipp või ainult ühine serv või terve ühine tahk;

2) igast tetraeedrist teise saate liikuda mööda tetraeedrite ahelat, milles iga järgnev külgneb eelmisega terve näo ulatuses.

Polüeedri elemendid

Hulktahu tahk on teatud hulknurk (hulknurk on piiratud suletud ala, mille piir koosneb lõplikust arvust lõikudest).

Tahkude külgi nimetatakse hulktahuka servadeks, tahkude tippe aga hulktahuka tippudeks. Hulktahuka elementide hulka kuuluvad lisaks tippudele, servadele ja tahkudele ka selle tahkude tasapinnalised nurgad ja dihedrilised nurgad servades. Hulktahuka serva kahetahulise nurga määravad selle servale lähenevad tahud.

Polüheedrite klassifikatsioon

Kumer hulktahukas - on hulktahukas, mille mis tahes kahte punkti saab segmendiga ühendada. Kumeratel hulktahukatel on palju tähelepanuväärseid omadusi.

Euleri teoreem. Iga kumera hulktahuka jaoks V-R+G=2,

Kus IN – selle tippude arv, R - selle ribide arv, G - selle nägude arv.

Cauchy teoreem. Kaks suletud kumerat hulktahukat, mis koosnevad identselt vastavalt võrdsetest tahkudest, on võrdsed.

Kumerat hulktahukat loetakse korrapäraseks, kui selle kõik tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad ja igas tipus koondub sama arv servi.

Regulaarne hulktahukas

Hulktahukut nimetatakse korrapäraseks, kui esiteks on see kumer, teiseks, kõik selle tahud on võrdsed korrapärased hulknurgad, kolmandaks kohtub igas tipus sama arv tahke ja neljandaks on kõik selle kahetahulised nurgad võrdsed.

Seal on viis kumerat regulaarset hulktahukat – kolmnurksete tahkudega tetraeedr, oktaeedr ja ikosaeeder, ruudukujuliste tahkudega kuup (heksaeedr) ja viisnurksete tahkudega dodekaeedr. Selle fakti tõestus on olnud teada rohkem kui kaks tuhat aastat; selle tõestuse ja viie regulaarkeha uurimisega valmivad Eukleidese elemendid (Vana-Kreeka matemaatik, esimeste meieni jõudnud matemaatikateoreetiliste traktaatide autor). Miks said tavalised hulktahukad sellised nimed? See on tingitud nende nägude arvust. Tetraeedril on 4 tahku, tõlgitud kreeka keelest "tetra" - neli, "eeder" - nägu. Kuueedril (kuubikul) on 6 tahku, "kuubil" on kuus; oktaeedr - oktaeeder, "oktaeeder" - kaheksa; dodekaeeder - dodekaeeder, "dodekaeeder" - kaksteist; Ikosaeedril on 20 tahku ja icosil on kakskümmend tahku.

2.3. Tavaliste hulktahukate tüübid:

1) Regulaarne tetraeeder(koosneb neljast võrdkülgsest kolmnurgast. Iga selle tipp on kolme kolmnurga tipp. Seetõttu on iga tipu tasapinna nurkade summa 180 0);

2)Kuubik- rööptahukas, mille kõik näod on ruudukujulised. Kuubik koosneb kuuest ruudust. Iga kuubi tipp on kolme ruudu tipp. Seetõttu on iga tipu tasapinna nurkade summa 270 0.

3) Regulaarne oktaeeder või lihtsalt oktaeeder– hulktahukas, mille igas tipus kohtuvad kaheksa korrapärast kolmnurkset tahku ja neli tahku. Oktaeedr koosneb kaheksast võrdkülgsest kolmnurgast. Oktaeedri iga tipp on nelja kolmnurga tipp. Seetõttu on iga tipu tasapindade nurkade summa 240 0. Seda saab ehitada kahe püramiidi aluse voltimisel, mille alused on ruudud ja külgpinnad korrapärased kolmnurgad. Oktaeedri servad saab saada kuubi kõrvuti asetsevate tahkude keskpunktide ühendamisel, aga kui ühendada tavalise oktaeedri külgnevate tahkude keskpunktid, saame kuubi servad. Nad ütlevad, et kuubik ja oktaeeder on teineteisega kaksikud.

4)Ikosaeeder- koosneb kahekümnest võrdkülgsest kolmnurgast. Ikosaeedri iga tipp on viie kolmnurga tipp. Seetõttu on iga tipu tasapinna nurkade summa 300 0.

5) Dodekaeeder- polühedron, mis koosneb kaheteistkümnest korrapärasest viisnurgast. Dodekaeedri iga tipp on kolme korrapärase viisnurga tipp. Seetõttu on iga tipu tasapinna nurkade summa 324 0.

Dodekaeedr ja ikosaeedr on omavahel duaalsed ka selles mõttes, et ühendades ikosaeedri külgnevate tahkude keskpunktid segmentidega, saame dodekaeedri ja vastupidi.

Regulaarne tetraeeder on iseendaga duaalne.

Pealegi pole olemas regulaarset hulktahukat, mille tahud oleksid korrapärased kuus-, seitsenurksed ja üldiselt n-nurgad, kui n ≥ 6.

Korrapärane hulktahukas on hulktahukas, mille kõik tahud on korrapärased võrdsed hulknurgad ja kõik kahetahulised nurgad on võrdsed. Kuid on ka hulktahukaid, mille kõik hulknurgad on võrdsed ja tahud on korrapärased, kuid korrapäraste hulknurkade vastas. Seda tüüpi polüeedreid nimetatakse võrdnurkseteks poolregulaarseteks hulktahukateks. Seda tüüpi polüeedrid avastas esmakordselt Archimedes. Ta kirjeldas üksikasjalikult 13 hulktahukat, mida hiljem nimetati suure teadlase auks Archimedese kehadeks. Need on kärbitud tetraeeder, kärbitud oksaeedr, kärbitud ikosaeeder, kärbitud kuubik, kärbitud dodekaeeder, kuboctaeeder, ikosidodekaeeder, kärbitud kubooktaeedr, kärbitud ikosidodekaeedr, kärbitud ikosidodekaeeder, rhombiboubohedron, rhombichoubcahedron, rhombichoubcahedron olema, "snub" (kur nina) dodekaeeder.

2.4. Poolregulaarsed hulktahukad ehk Archimedese tahked ained on kumerad hulktahukad, millel on kaks omadust:

1. Kõik tahud on kahte või enamat tüüpi korrapärased hulknurgad (kui kõik tahud on sama tüüpi korrapärased hulknurgad, on tegemist korrapärase hulktahukaga).

2. Iga tipupaari puhul on polühedri sümmeetria (st liikumine, mis muudab hulktahuka endaks), mis kannab ühe tipu teise. Eelkõige on kõik hulktahuliste tippude nurgad kongruentsed.

Lisaks poolregulaarsetele hulktahukatele saab tavalistest hulktahukatest – platoonilistest tahketest ainetest – saada nn tavalisi stellate polüeedreid. Neid on ainult neli, neid nimetatakse ka Kepleri-Poinsoti kehadeks. Kepler avastas väikese dodekaeedri, mida ta nimetas torkivaks või siiliks, ja suure dodekaeedri. Poinsot avastas veel kaks regulaarset stellaatilist hulktahukat, mis on vastavalt kahesugused esimesega kaks: suur tähekujuline dodekaeeder ja suur ikosaeedr.

Kaks teineteist läbivat tetraeedrit moodustavad oktaeedri. Johannes Kepler andis sellele figuurile nime "stella octangula" - "kaheksanurkne täht". Seda leidub ka looduses: see on nn topeltkristall.

Korrapärase hulktahuka määratluses ei rõhutatud sõna "kumer" teadlikult - näilise ilmselguse tõttu. Ja see tähendab lisanõuet: "ja mille kõik küljed asetsevad neid läbiva tasapinna ühel küljel." Kui me sellisest piirangust loobume, peame platoni tahkistele lisaks "laiendatud oktaeedrile" lisama veel neli hulktahukat (neid nimetatakse Kepleri-Poinsoti tahketeks), millest igaüks on "peaaegu korrapärane". Kõik need on saadud Platonovi "peaosas" keha, st pikendades selle servi, kuni need ristuvad üksteisega, ja seetõttu nimetatakse neid tähtkujuks. Kuubik ja tetraeeder ei genereeri uusi kujundeid – nende näod, ükskõik kui palju jätkad, ei ristu.

Kui pikendate oktaeedri kõiki tahke, kuni need üksteisega ristuvad, saate kujundi, mis ilmub kahe tetraeedri vastastikuse läbitungimisel - "stella octangula", mida nimetatakse "pikenduseks" oktaeeder."

Ikosaeeder ja dodekaeeder annavad maailmale korraga neli “peaaegu regulaarset hulktahukat”. Üks neist on väike tähtkujuline dodekaeeder, mille sai esmakordselt Johannes Kepler.

Matemaatikud ei tunnustanud sajandeid igasuguste tähtede õigust nimetada hulknurkadeks, kuna nende küljed ristuvad. Ludwig Schläfli ei visanud polüeedrite perekonnast välja geomeetrilist keha lihtsalt seetõttu, et selle näod lõikuvad, jäi ta siiski kindlaks niipea, kui vestlus väikese tähekujulise dodekaeedri poole pöördus. Tema argument oli lihtne ja kaalukas: see Kepleri loom ei allu Euleri valemile! Selle ogad on moodustatud kaksteist tahku, kolmkümmend serva ja kaksteist tippu ning seetõttu ei võrdu B+G-R üldse kahega.

Schläflil oli nii õigus kui vale. Muidugi pole geomeetriline siil nii kipitav, et eksimatu valemi vastu mässaks. Peate lihtsalt mitte arvestama, et selle moodustavad kaksteist lõikuvat tähekujulist tahku, vaid vaadake seda kui lihtsat, ausat geomeetrilist keha, mis koosneb 60 kolmnurgast, millel on 90 serva ja 32 tippu.

Siis B+G-R=32+60-90 on ootuspäraselt võrdne 2-ga. Aga siis sõna “õige” selle hulktahuka kohta ei kehti – pole ju selle tahud nüüd võrdkülgsed, vaid lihtsalt võrdhaarsed kolmnurgad. Kepler seda ei teinud sai aru, et saadud figuuril oli topelt.

Polüeedri, mida nimetatakse "suureks dodekaeedriks", ehitas Prantsuse geomeeter Louis Poinsot kakssada aastat pärast Kepleri tähekujusid.

Suurt ikosaeedrit kirjeldas esmakordselt Louis Poinsot 1809. aastal. Ja jälle jättis Kepler, olles näinud suurt tähtkujulist dodekaeedrit, teise kuju avastamise au Louis Poinsot'le. Need arvud järgivad pooleldi ka Euleri valemit.

Praktiline kasutamine

Polüheedrid looduses

Tavalised hulktahukad on kõige soodsamad kujundid, mistõttu on nad looduses laialt levinud. Seda kinnitab mõne kristalli kuju. Näiteks lauasoola kristallid on kuubikukujulised. Alumiiniumi tootmisel kasutatakse alumiinium-kaaliumkvartsi, mille monokristall on tavalise oktaeedri kujuga. Väävelhappe, raua ja eritüüpi tsemendi tootmine ei saa toimuda ilma väävelpüriitideta. Selle kemikaali kristallid on dodekaeedri kujulised. Teadlaste sünteesitud ainet, antimonnaatriumsulfaati kasutatakse erinevates keemilistes reaktsioonides. Naatriumantimonsulfaadi kristall on tetraeedri kujuga. Viimane korrapärane hulktahukas, ikosaeeder, annab edasi boorikristallide kuju.

Tähekujulised polüeedrid on väga dekoratiivsed, mis võimaldab neid laialdaselt kasutada juveelitööstuses igasuguste ehete valmistamisel. Neid kasutatakse ka arhitektuuris. Paljud tähtkujuliste hulktahukate vormid on välja pakutud looduse enda poolt. Lumehelbed on tähekujulised hulktahukad. Juba iidsetest aegadest on inimesed püüdnud kirjeldada kõiki võimalikke lumehelbetüüpe ja koostanud spetsiaalseid atlaseid. Nüüdseks on teada mitu tuhat erinevat tüüpi lumehelbeid.

Regulaarseid hulktahukaid leidub ka eluslooduses. Näiteks üherakulise organismi Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) skelett on ikosaeedri kujuga. Enamik feodariat elab meresügavustes ja on korallide saagiks. Kuid kõige lihtsam loom kaitseb end kaheteistkümne selgrooga, mis väljuvad luustiku 12 tipust. See näeb välja rohkem nagu tähtpolühedron.

Polüheedreid võime jälgida ka lillede kujul. Ilmekas näide on kaktused.

Seotud Informatsioon.