Tunnid: trigonomeetria. Trigonomeetria tegi lihtsaks ja selgeks Trigonomeetria õppimine

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

1. Sissejuhatus.

Koolile lähenedes kuulen jõusaalist kuttide hääli, liigun edasi - nad laulavad, joonistavad... emotsioonid ja tunded on igal pool. Minu kontor, algebratund, kümnenda klassi õpilased. Siin on meie õpik, milles trigonomeetria kursus moodustab poole oma mahust ja selles on kaks järjehoidjat - need on kohad, kust ma leidsin sõnad, mis pole trigonomeetria teooriaga seotud.

Väheste seas on õpilasi, kes armastavad matemaatikat, tunnetavad selle ilu ega küsi, miks on vaja trigonomeetriat õppida, kus õpitud materjali rakendatakse? Suurem osa on neid, kes lihtsalt täidavad ülesandeid, et mitte halba hinnet saada. Ja me usume kindlalt, et matemaatika rakenduslik väärtus on saada teadmisi, mis on piisavad ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks ja ülikooli astumiseks (registreerumine ja unustamine).

Esitletava tunni põhieesmärk on näidata trigonomeetria rakenduslikku väärtust erinevates inimtegevuse valdkondades. Toodud näited aitavad õpilastel näha seost selle matemaatika osa ja teiste koolis õpitavate ainete vahel. Selle tunni sisu on õpilaste erialase koolituse element.

Räägi midagi uut näiliselt ammu teada fakti kohta. Näidake loogilist seost selle vahel, mida me juba teame, ja selle vahel, mida veel õppida. Avage uks veidi ja vaadake kooli õppekavast kaugemale. Ebatavalised ülesanded, seosed tänaste sündmustega – need on võtted, mida kasutan oma eesmärkide saavutamiseks. Koolimatemaatika kui õppeaine ei panusta ju niivõrd õppimisse, kuivõrd indiviidi, tema mõtlemise ja kultuuri arengusse.

2. Tunni kokkuvõte algebrast ja analüüsi põhimõtetest (10. klass).

Korraldamise aeg: Paiguta kuus tabelit poolringi (protraktori mudel), laudadele töölehed õpilastele (1. lisa).

Tunni teema väljakuulutamine: "Trigonomeetria on lihtne ja selge."

Algebra ja elementaaranalüüsi käigus hakkame õppima trigonomeetriat, tahaksin rääkida selle matemaatika lõigu rakenduslikust tähendusest.

Tunni lõputöö:

"Suurt loodusraamatut saavad lugeda ainult need, kes teavad keelt, milles see on kirjutatud, ja see keel on matemaatika."
(G. Galileo).

Tunni lõpus mõtleme koos, kas suutsime sellesse raamatusse sisse vaadata ja aru saada keelest, milles see on kirjutatud.

Teravnurga trigonomeetria.

Trigonomeetria on kreeka sõna ja tõlkes tähendab "kolmnurkade mõõtmist". Trigonomeetria tekkimist seostatakse maapealsete mõõtmiste, ehituse ja astronoomiaga. Ja teie esimene tutvus sellega juhtus siis, kui võtsite kätte kraadiklaasi. Kas olete märganud, kuidas lauad on paigutatud? Mõelge sellele oma mõtetes: kui me võtame ühe tabeli akordina, siis milline on selle kaare aste, mida see allutab?

Meenutagem nurkade mõõtmist: 1 ° = 1/360 ringi osa (“kraad” – ladinakeelsest sõnast grad – samm). Kas tead, miks ring jagunes 360 osaks, miks mitte 10, 100 või 1000 osaks, nagu juhtub näiteks pikkuste mõõtmisel? Ma ütlen teile ühe versiooni.

Varem uskusid inimesed, et Maa on universumi keskpunkt ja see on liikumatu ning Päike teeb päevas ühe tiiru ümber Maa, maailma geotsentrilise süsteemi, “geo” - Maa ( Joonis nr 1). Astronoomilisi vaatlusi teinud Babüloonia preestrid avastasid, et pööripäeva päeval kirjeldab Päike päikesetõusust päikeseloojanguni taevavõlvis poolringi, millesse Päikese nähtav läbimõõt (läbimõõt) mahub täpselt 180 korda, 1 ° - Päikese jälg. ( Joonis nr 2).

Trigonomeetria oli pikka aega puhtalt geomeetriline. Jätkate trigonomeetria sissejuhatust täisnurksete kolmnurkade lahendamisega. Saate teada, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe, koosinus on külgneva külje ja hüpotenuusi suhe, puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe ja kotangens on külgneva külje ja vastaskülje suhe. Ja pidage meeles, et antud nurgaga täisnurkses kolmnurgas ei sõltu külgede suhe kolmnurga suurusest. Õppige siinuse ja koosinuse teoreeme suvaliste kolmnurkade lahendamiseks.

2010. aastal sai Moskva metroo 75-aastaseks. Iga päev läheme metroosse ega märka, et...

Ülesanne nr 1. Kõigi Moskva metroo eskalaatorite kaldenurk on 30 kraadi. Teades seda, eskalaatori lampide arvu ja lampide ligikaudset kaugust, saate arvutada jaama ligikaudse sügavuse. Jaamas Tsvetnoy Boulevard on eskalaatoril 15 lampi ja Pražskaja jaamas 2 lampi. Arvutage nende jaamade sügavus, kui laternate vahelised kaugused eskalaatori sissepääsust esimese laternani ja viimasest laternast eskalaatori väljapääsuni on 6 m ( Joonis nr 3). Vastus: 48 m ja 9 m

Kodutöö. Moskva metroo sügavaim jaam on Võidu park. Mis on selle sügavus? Soovitan teil iseseisvalt leida puuduvad andmed, et lahendada oma kodutöö.

Mul on käes laserkursor, mis on ühtlasi ka kaugusmõõtja. Mõõdame näiteks kaugust tahvlist.

Hiina disainer Huan Qiaokun arvas, et ühendab kaks laserkaugusmõõtjat ja kraadiklaasi üheks seadmeks ning hankis tööriista, mis võimaldab teil määrata kahe tasapinna punkti vahelise kauguse ( Joonis nr 4). Mis teoreem teie arvates selle probleemi lahendab? Pidage meeles koosinusteoreemi sõnastust. Kas olete minuga nõus, et teie teadmised on sellise leiutise tegemiseks juba piisavad? Lahendage geomeetriaülesandeid ja tehke iga päev väikseid avastusi!

Sfääriline trigonomeetria.

Lisaks Eukleidese tasasele geomeetriale (planimeetria) võib olla ka teisi geomeetriaid, kus kujundite omadusi ei käsitleta mitte tasapinnal, vaid muudel pindadel, näiteks kuuli pinnal ( Joonis nr 5). Esimene matemaatik, kes pani aluse mitteeukleidiliste geomeetriate arendamisele, oli N.I. Lobatševski – “Geomeetria Kopernik”. Alates 1827. aastast oli ta 19 aastat Kaasani ülikooli rektor.

Sfääriline trigonomeetria, mis on osa sfäärilisest geomeetriast, võtab arvesse kolmnurkade külgede ja nurkade vahelisi seoseid sfääril, mille moodustavad sfääril paiknevad suurte ringide kaared ( Joonis nr 6).

Ajalooliselt tekkis sfääriline trigonomeetria ja geomeetria astronoomia, geodeesia, navigatsiooni ja kartograafia vajadustest. Mõelge, milline neist valdkondadest on viimastel aastatel saanud nii kiire arengu, et selle tulemusi kasutatakse juba tänapäevastes kommunikaatorites. ... Kaasaegne navigatsioonirakendus on satelliitnavigatsioonisüsteem, mis võimaldab määrata objekti asukohta ja kiirust selle vastuvõtja signaali järgi.

Globaalne navigatsioonisüsteem (GPS). Vastuvõtja pikkus- ja laiuskraadi määramiseks on vaja signaale vastu võtta vähemalt kolmelt satelliidilt. Neljanda satelliidi signaali vastuvõtmine võimaldab määrata objekti kõrguse pinnast ( Joonis nr 7).

Vastuvõtjaarvuti lahendab neli võrrandit neljas tundmatus, kuni leitakse lahendus, mis tõmbab kõik ringid läbi ühe punkti ( Joonis nr 8).

Teravnurga trigonomeetria tundmine osutus keerukamate praktiliste ülesannete lahendamiseks ebapiisavaks. Pöörlemis- ja ringliikumise uurimisel ei ole nurga ja ringkaare väärtus piiratud. Tekkis vajadus liikuda üldistatud argumendi trigonomeetriale.

Üldistatud argumendi trigonomeetria.

Ring ( Joonis nr 9). Positiivsed nurgad joonistatakse vastupäeva, negatiivsed päripäeva. Kas olete sellise lepingu ajalooga kursis?

Teatavasti on mehaanilised ja päikesekellad disainitud nii, et nende käed pöörlevad “mööda päikest”, st. samas suunas, milles näeme Päikese näilist liikumist ümber Maa. (Pidage meeles tunni algust - maailma geotsentriline süsteem). Kuid kuna Kopernik avastas Maa tõelise (positiivse) liikumise ümber Päikese, on Päikese liikumine ümber Maa, mida me näeme (st näiline), fiktiivne (negatiivne). Maailma heliotsentriline süsteem (helio - päike) ( Joonis nr 10).

Soojendama.

Sirutage parem käsi enda ette, paralleelselt laua pinnaga, ja sooritage 720-kraadine ringpööre.
Sirutage vasak käsi enda ette paralleelselt laua pinnaga ja sooritage (–1080) kraadi ringikujuline pööre.
Asetage käed õlgadele ja tehke 4 ringikujulist liigutust edasi-tagasi. Mis on pöördenurkade summa?

2010. aastal peeti Vancouveris taliolümpiamängud, kus õpime ülesande lahendamise teel uisutaja harjutuse hindamise kriteeriume.

Ülesanne nr 2. Kui uisutaja teeb harjutust “kruvi” sooritades 12 sekundiga 10 800-kraadise pöörde, saab ta hinde “suurepärane”. Määrake, mitu pööret uisutaja selle aja jooksul teeb ja tema pöörlemiskiirus (pööret sekundis). Vastus: 2,5 pööret/sek.

Kodutöö. Millise nurga all pöörab "mitterahuldava" hinnangu saanud uisutaja, kui tema kiirus oli samal pöörlemisajal 2 pööret sekundis.

Pöörlemisliigutustega seotud kaare ja nurkade kõige mugavamaks mõõtmiseks osutus radiaan (raadius) kui nurga või kaare suurem mõõtühik ( Joonis nr 11). See nurkade mõõtmise mõõt jõudis teadusesse Leonhard Euleri tähelepanuväärsete tööde kaudu. Sünnilt šveitslane, elas 30 aastat Venemaal ja oli Peterburi Teaduste Akadeemia liige. Just temale võlgneme kogu trigonomeetria "analüütilise" tõlgenduse, ta tuletas valemid, mida praegu uurite, tutvustas ühtseid märke: patt x, cos x, tg x,ctg x.

Kui kuni 17. sajandini oli trigonomeetriliste funktsioonide õpetuse väljatöötamine üles ehitatud geomeetrilisele alusele, siis alates 17. sajandist hakati trigonomeetrilisi funktsioone rakendama mehaanika, optika, elektriülesannete lahendamisel, võnkeprotsesside ja lainetuse kirjeldamisel. paljundamine. Kus iganes peame tegelema perioodiliste protsesside ja võnkumistega, on trigonomeetrilised funktsioonid leidnud rakendust. Perioodiliste protsesside seadusi väljendavatel funktsioonidel on ainult neile omane eriline omadus: nad kordavad oma väärtusi sama argumentide muutumise intervalli kaudu. Muutused mis tahes funktsioonis on kõige selgemalt edasi antud selle graafikul ( Joonis nr 12).

Oleme juba pöördunud oma keha poole abi saamiseks rotatsiooniga seotud probleemide lahendamisel. Kuulame oma südamelööke. Süda on iseseisev organ. Aju kontrollib kõiki meie lihaseid, välja arvatud süda. Sellel on oma juhtimiskeskus - siinusõlm. Iga südame kokkutõmbumisega levib elektrivool üle kogu keha – alustades siinussõlmest (hirsitera suurune). Seda saab registreerida elektrokardiograafi abil. Ta teeb elektrokardiogrammi (sinusoidi) ( Joonis nr 13).

Räägime nüüd muusikast. Matemaatika on muusika, see on intelligentsuse ja ilu liit.
Muusika on arvutamisel matemaatika, abstraktsioonis algebra, ilu osas trigonomeetria. Harmooniline võnkumine (harmooniline) on sinusoidne võnkumine. Graafik näitab, kuidas muutub õhurõhk kuulaja trummikile: perioodiliselt üles-alla kaarekujuliselt. Õhk surub, nüüd tugevam, nüüd nõrgem. Löögijõud on väga väike ja vibratsioon tekib väga kiiresti: sadu ja tuhandeid lööke igas sekundis. Selliseid perioodilisi vibratsioone tajume helina. Kahe erineva harmoonilise lisamine annab keerukama kujuga vibratsiooni. Kolme harmoonilise summa on veelgi keerulisem ning loomulikud helid ja muusikariistade helid koosnevad suurest hulgast harmoonilistest. ( Joonis nr 14.)

Iga harmoonilist iseloomustavad kolm parameetrit: amplituud, sagedus ja faas. Võnkesagedus näitab, mitu õhurõhu lööki toimub ühes sekundis. Kõrgeid sagedusi tajutakse "kõrgete", "õhukeste" helidena. Üle 10 KHz – kriuks, vile. Väikesi sagedusi tajutakse kui “madalat”, “bassi” heli, mürinat. Amplituud on vibratsiooni vahemik. Mida suurem on ulatus, seda suurem on mõju kuulmekile ja seda valjem on heli, mida kuuleme ( Joonis nr 15). Faas on võnkumiste nihkumine ajas. Faasi saab mõõta kraadides või radiaanides. Sõltuvalt faasist nihkub graafiku nullpunkt. Harmooniku seadistamiseks piisab faasi määramisest vahemikus –180 kuni +180 kraadi, kuna suurte väärtuste korral kordub võnkumine. Algebraliselt liidetakse kaks sama amplituudi ja sagedusega, kuid erinevate faasidega sinusoidset signaali ( Joonis nr 16).

Tunni kokkuvõte. Kas arvate, et suutsime lugeda paar lehekülge Suurest Looduse Raamatust? Olles õppinud tundma trigonomeetria rakenduslikku tähendust, sai teile selgemaks selle roll erinevates inimtegevuse valdkondades, kas saite esitatud materjalist aru? Seejärel pidage meeles ja loetlege trigonomeetria rakendusalasid, mida täna kohtasite või teadsite varem. Loodan, et igaüks teist leidis tänasest õppetunnist midagi uut ja huvitavat. Võib-olla näitab see uus asi teile, kuidas tulevase elukutse valikul teete, kuid olenemata sellest, kelleks te saate, aitab teie matemaatiline haridus teil saada professionaaliks ja intellektuaalselt arenenud inimeseks.

Kodutöö. Lugege tunni kokkuvõtet (

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni valitsusasutuste avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

- -
Tavaliselt, kui tahetakse kedagi hirmutada ÕUDVA MATEMAATIKAGA, tuuakse näiteks kõikvõimalikud siinused ja koosinused, kui midagi väga keerulist ja vastikut. Aga tegelikult on see ilus ja huvitav lõik, mida saab mõista ja lahendada.
Teema algab 9. klassist ja alati ei saa kõik esimese korraga selgeks, seal on palju peensusi ja nippe. Üritasin teema kohta midagi öelda.

Sissejuhatus trigonomeetria maailma:
Enne ülepeakaela valemitesse tormamist tuleb geomeetriast aru saada, mis on siinus, koosinus jne.
Nurga siinus- vastaskülje (nurga) suhe hüpotenuusiga.
Koosinus- külgnevate ja hüpotenuusi suhe.
Tangent- külgneva külje vastaskülg
Kotangent- külgneb vastassuunas.

Nüüd kaaluge koordinaattasandil ühikulise raadiusega ringi ja märkige sellele mõni nurk alfa: (pildid on klõpsatavad, vähemalt mõned)
-
-
Peenikesed punased jooned on risti ringjoone ja täisnurga lõikepunktist härja ja oy teljel. Punased x ja y on x- ja y-koordinaadi väärtused telgedel (hallid x ja y näitavad, et need on koordinaatteljed, mitte ainult jooned).
Tuleb märkida, et nurgad arvutatakse härja telje positiivsest suunast vastupäeva.
Leiame selle jaoks siinuse, koosinuse jne.
sin a: vastaskülg on võrdne y-ga, hüpotenuus on võrdne 1-ga.
sin a = y / 1 = y
Et oleks täiesti selge, kust ma y ja 1 saan, korraldame selguse huvides tähed ja vaatame kolmnurki.
- -
AF = AE = 1 - ringi raadius.
Seetõttu on raadius AB = 1. AB - hüpotenuus.
BD = CA = y – oh väärtusena.
AD = CB = x - väärtusena vastavalt oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Järgmine on koosinus:
cos a: külgnev külg - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Toodame ka välja puutuja ja kotangent.
tg a = y / x = sin a / cos a
võrevoodi a = x / y = cos a / sin a
Järsku oleme tuletanud puutuja ja kotangensi valemi.

Noh, vaatame konkreetselt, kuidas see lahendatakse.
Näiteks a = 45 kraadi.
Saame täisnurkse kolmnurga, mille üks nurk on 45 kraadi. Mõnele on kohe selge, et see on võrdkülgne kolmnurk, kuid ma kirjeldan seda siiski.
Leiame kolmnurga kolmanda nurga (esimene on 90, teine on 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Kui kaks nurka on võrdsed, siis on nende küljed võrdsed, nii see kõlas.
Seega selgub, et kui liita kaks sellist kolmnurka üksteise peale, saame ruudu, mille diagonaal on raadiusega = 1. Pythagorase teoreemi järgi teame, et ruudu a diagonaal on võrdne juur kahest.
Nüüd mõtleme. Kui 1 (hüpotenuus ehk diagonaal) on võrdne ruudu küljega, mis on korrutatud kahe juurega, siis peaks ruudu külg olema võrdne 1/sqrt(2) ja kui korrutame selle murru lugeja ja nimetaja kahe juurega saame sqrt(2)/2 . Ja kuna kolmnurk on võrdhaarne, siis AD = AC => x = y
Meie trigonomeetriliste funktsioonide leidmine:
sin 45 = ruut(2)/2 / 1 = ruut(2)/2
cos 45 = ruut(2)/2/1 = ruut(2)/2
tg 45 = ruut(2)/2 / ruut(2)/2 = 1
ctg 45 = ruut(2)/2 / ruut(2)/2 = 1
Ülejäänud nurgaväärtustega peate töötama samal viisil. Ainult kolmnurgad ei ole võrdhaarsed, kuid küljed on Pythagorase teoreemi abil sama lihtsalt leitavad.
Nii saame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabeli erinevate nurkade alt:
-
-
Pealegi on see laud petmine ja väga mugav.
Kuidas seda ise ilma probleemideta koostada: Joonistage selline tabel ja kirjutage lahtritesse numbrid 1 2 3.
-
-
Nüüd võtate nendest 1 2 3-st juure ja jagate 2-ga. See selgub järgmiselt:
-
-
Nüüd kriipsutame siinuse läbi ja kirjutame koosinuse. Selle väärtused on peegelsiinus:
-
-
Puutujat on sama lihtne tuletada - peate siinuse väärtuse jagama koosinusjoone väärtusega:
-
-
Kootangensi väärtus on puutuja ümberpööratud väärtus. Selle tulemusena saame midagi sellist:
- -

Märge seda puutujat näiteks P/2-s ei eksisteeri. Mõtle, miks. (Te ei saa nulliga jagada.)

Mida peate siin meeles pidama: siinus on y väärtus, koosinus on x väärtus. Puutuja on y ja x suhe ja kotangens on vastupidine. nii et siinuste/koosinuste väärtuste määramiseks piisab, kui joonistada ülalpool kirjeldatud tabel ja koordinaattelgedega ring (mugav on vaadata väärtusi nurkade 0, 90, 180, 360).
- -

Noh, ma loodan, et saate vahet teha veerandid:
- -
Selle siinuse, koosinuse vms märk sõltub sellest, millises veerandis nurk asub. Kuigi absoluutselt primitiivne loogiline mõtlemine viib teid õige vastuseni, kui võtta arvesse, et teisel ja kolmandal kvartalil on x negatiivne ning y kolmandas ja neljandas. Ei midagi hirmutavat ega hirmutavat.

Ma arvan, et seda poleks mõttetu mainida redutseerimisvalemid ala kummitused, nagu kõik kuulevad, milles on tõetera. Valemeid kui selliseid pole, kuna need on ebavajalikud. Kogu selle toimingu tähendus: nurga väärtused leiame hõlpsalt ainult esimese kvartali jaoks (30 kraadi, 45, 60). Trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, nii et võime esimesse kvartalisse tõmmata mis tahes suure nurga. Siis leiame kohe selle tähenduse. Kuid lihtsalt lohistamisest ei piisa - peate märgi kohta meeles pidama. Selleks on redutseerimisvalemid.
Niisiis, meil on suur nurk või pigem rohkem kui 90 kraadi: a = 120. Ja me peame leidma selle siinuse ja koosinuse. Selleks jagame 120 järgmisteks nurkadeks, millega saame töötada:
sin a = patt 120 = patt (90 + 30)
Näeme, et see nurk jääb teisele kvartalile, siinus on positiivne, seetõttu säilib siinuse ees olev + märk.
90 kraadist vabanemiseks muudame siinuse koosinuse vastu. Noh, see on reegel, mida peate meeles pidama:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Või võite seda ette kujutada muul viisil:
patt 120 = patt (180–60)
180 kraadist vabanemiseks me funktsiooni ei muuda.
sin (180–60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Meil on sama väärtus, nii et kõik on õige. Nüüd koosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Teise veerandi koosinus on negatiivne, seega panime miinusmärgi. Ja muudame funktsiooni vastupidiseks, kuna peame eemaldama 90 kraadi.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Või:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Mida peate teadma, suutma teha ja tegema nurkade ülekandmiseks esimesse kvartalisse:
- lagundada nurk seeditavateks terminiteks;
-arvesta, millises veerandis nurk on ja pane vastav märk, kui selle kvartali funktsioon on negatiivne või positiivne;
- vabaneda mittevajalikest asjadest:
*kui on vaja vabaneda 90-st, 270-st, 450-st ja ülejäänud 90+180n-st, kus n on suvaline täisarv, siis funktsioon on vastupidine (siinus koosinus, puutuja kootangensiga ja vastupidi);
*kui on vaja lahti saada 180-st ja ülejäänud 180+180n-st, kus n on suvaline täisarv, siis funktsioon ei muutu. (Siin on üks omadus, kuid seda on raske sõnadega seletada, aga noh).
See on kõik. Ma arvan, et valemeid pole vaja pähe õppida, kui mäletate mõnda reeglit ja saate neid hõlpsalt kasutada. Muide, neid valemeid on väga lihtne tõestada:
-
-
Ja nad koostavad ka tülikaid tabeleid, siis me teame:
-
-

Trigonomeetria põhivõrrandid: sa pead neid väga-väga hästi tundma, peast.
Põhiline trigonomeetriline identiteet(võrdsus):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Kui te seda ei usu, on parem seda ise kontrollida ja veenduda. Asendage erinevate nurkade väärtused.
See valem on väga-väga kasulik, pidage seda alati meeles. seda kasutades saab väljendada siinust läbi koosinuse ja vastupidi, mis on mõnikord väga kasulik. Kuid nagu iga muu valemiga, peate teadma, kuidas sellega toime tulla. Pidage alati meeles, et trigonomeetrilise funktsiooni märk sõltub kvadrandist, milles nurk asub. Sellepärast juure ekstraheerimisel peate teadma kvartalit.

Tangent ja kotangent: Me tuletasime need valemid juba päris alguses.
tg a = sin a / cos a
võrevoodi a = cos a / sin a

Tangensi ja kotangensi korrutis:
tg a * ctg a = 1
Sest:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - murrud tühistatakse.

Nagu näete, on kõik valemid mäng ja kombinatsioon.
Siin on veel kaks, mis saadakse esimese valemi koosinusruudu ja siinusruuduga jagamisel:
-
-
Pange tähele, et kahte viimast valemit saab kasutada nurga a väärtuse piiranguga, kuna nulliga jagada ei saa.

Lisamise valemid: on tõestatud vektoralgebra abil.
- -
Vähe kasutatud, aga täpselt. Skannimisel on valemeid, kuid need võivad olla loetamatud või digitaalset vormi on lihtsam tajuda:
- -

Topeltnurga valemid:
Need saadakse liitmisvalemite põhjal, näiteks: topeltnurga koosinus on cos 2a = cos (a + a) - kas see meenutab midagi? Nad lihtsalt asendasid betta alfaga.
- -
Kaks järgnevat valemit on tuletatud esimesest asendusest sin^2(a) = 1 - cos^2(a) ja cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Topeltnurga siinus on lihtsam ja seda kasutatakse palju sagedamini:
- -
Ja eriperverdid saavad tuletada topeltnurga puutuja ja kotangensi, arvestades, et tan a = sin a / cos a jne.
-
-

Eespool nimetatud isikutele Kolmiknurga valemid: need tuletatakse nurkade 2a ja a liitmisel, kuna me teame juba topeltnurkade valemeid.
-
-

Poolnurga valemid:
- -
Ma ei tea, kuidas need tuletatakse või täpsemalt, kuidas seda seletada... Kui me need valemid välja kirjutame, asendades trigonomeetrilise peamise identiteedi a/2-ga, siis vastus läheneb.

Trigonomeetriliste funktsioonide liitmise ja lahutamise valemid:
-
-
Need saadakse liitmisvalemitest, aga see ei huvita kedagi. Neid ei juhtu sageli.

Nagu aru saate, on veel hunnik valemeid, mille loetlemine on lihtsalt mõttetu, sest ma ei oska nende kohta midagi adekvaatset kirjutada ja kuivi valemeid võib leida igalt poolt ja need on mäng varasemate olemasolevate valemitega. Kõik on kohutavalt loogiline ja täpne. Ma ütlen teile viimasena abinurga meetodi kohta:
Avaldise a cosx + b sinx teisendamist kujule Acos(x+) või Asin(x+) nimetatakse abinurga (või lisaargumendi) sisestamise meetodiks. Meetodit kasutatakse trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, funktsioonide väärtuste hindamisel, äärmusülesannetes ning on oluline märkida, et mõnda ülesannet ei saa lahendada ilma abinurka kehtestamata.
Ükskõik, kuidas proovisite seda meetodit selgitada, ei tulnud sellest midagi välja, nii et peate seda ise tegema.
-
-
Hirmus asi, aga kasulik. Kui probleemid lahendate, peaks see lahenema.
Siit näiteks: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Järgmisena on kursusel trigonomeetriliste funktsioonide graafikud. Kuid sellest piisab üheks õppetunniks. Arvestades, et koolis õpetatakse seda kuus kuud.

Kirjutage oma küsimused, lahendage probleeme, küsige mõne ülesande skannimist, mõelge välja, proovige seda.
Alati sinu, Dan Faraday.

Siinus, koosinus, puutuja - hääldades neid sõnu gümnasistide juuresolekul, võite olla kindel, et kahel kolmandikul neist kaob huvi edasise vestluse vastu. Põhjus peitub selles, et koolis õpetatakse trigonomeetria põhitõdesid reaalsusest täielikus isolatsioonis ning seetõttu ei näe õpilased valemite ja teoreemide õppimisel mõtet.

Tegelikult osutub see teadmiste valdkond lähemal uurimisel väga huvitavaks ja ka rakenduslikuks - trigonomeetriat kasutatakse astronoomias, ehituses, füüsikas, muusikas ja paljudes muudes valdkondades.

Tutvume põhimõistetega ja nimetame mitmeid põhjuseid, miks seda matemaatikateaduse haru uurida.

Lugu

Pole teada, millisel ajahetkel hakkas inimkond tuleviku trigonomeetriat nullist looma. Küll aga on dokumenteeritud, et juba teisel aastatuhandel eKr olid egiptlased selle teaduse põhitõdedega kursis: arheoloogid leidsid papüüruse ülesandega, milles oli vaja leida püramiidi kaldenurk kahel teadaoleval küljel.

Vana-Babüloni teadlased saavutasid tõsisemaid edusamme. Sajandite jooksul omandasid nad astronoomiat õppides mitmeid teoreeme, võtsid kasutusele spetsiaalsed nurkade mõõtmise meetodid, mida, muide, ka tänapäeval kasutame: kraadid, minutid ja sekundid laenas Euroopa teadus kreeka-rooma kultuuris, millesse need üksused tulid babüloonlastelt.

Eeldatakse, et kuulus Pythagorase teoreem, mis puudutab trigonomeetria põhialuseid, oli babüloonlastele teada peaaegu neli tuhat aastat tagasi.

Nimi

Sõna otseses mõttes võib terminit "trigonomeetria" tõlkida kui "kolmnurkade mõõtmist". Selle teaduse osa põhiliseks uurimisobjektiks oli paljude sajandite jooksul täisnurkne kolmnurk või täpsemalt nurkade suuruste ja selle külgede pikkuste suhe (tänapäeval algab trigonomeetria uurimine nullist selle lõiguga). . Tihti tuleb elus ette olukordi, kus objekti kõiki vajalikke parameetreid (või kaugust objektist) on praktiliselt võimatu mõõta ja siis tekib vajadus puuduvate andmete hankimine läbi arvutuste.

Näiteks varem ei saanud inimesed mõõta kaugust kosmoseobjektideni, kuid katseid neid vahemaid arvutada tehti ammu enne meie ajastu tulekut. Trigonomeetria mängis ka navigeerimisel üliolulist rolli: teatud teadmistega oskas kapten alati öösel tähtede järgi navigeerida ja kurssi kohandada.

Põhimõisted

Trigonomeetria nullist omandamine nõuab mitme põhimõiste mõistmist ja meeles pidamist.

Teatud nurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe. Selgitame, et vastasjalg on vaadeldava nurga vastas asuv külg. Seega, kui nurk on 30 kraadi, on selle nurga siinus kolmnurga mis tahes suuruse korral alati võrdne ½-ga. Nurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Tangens on vastaskülje ja külgneva külje suhe (või, mis on sama, siinuse ja koosinuse suhe). Kotangens on puutujaga jagatud ühik.

Märkimist väärib kuulus arv Pi (3,14...), mis on pool ühe ühiku raadiusega ringi pikkust.

Populaarsed vead

Inimesed, kes õpivad trigonomeetriat nullist, teevad mitmeid vigu – enamasti tähelepanematuse tõttu.

Esiteks, geomeetriaülesannete lahendamisel tuleb meeles pidada, et siinuste ja koosinuste kasutamine on võimalik ainult täisnurkses kolmnurgas. Juhtub, et õpilane võtab “automaatselt” hüpotenuusiks kolmnurga pikima külje ja saab valesid arvutustulemusi.

Teiseks on alguses lihtne segi ajada valitud nurga siinuse ja koosinuse väärtusi: pidage meeles, et 30 kraadi siinus on arvuliselt võrdne koosinusega 60 ja vastupidi. Kui asendate vale numbri, on kõik edasised arvutused valed.

Kolmandaks, kuni probleem on täielikult lahendatud, ei tohiks te väärtusi ümardada, juurtest välja võtta ega kirjutada harilikku murru kümnendkohana. Sageli püüavad õpilased trigonomeetriaülesandes saada "ilusat" numbrit ja eraldada kohe kolme juure, kuigi täpselt ühe toimingu järel saab seda juurt vähendada.

Sõna "sine" etümoloogia

Sõna "sine" ajalugu on tõeliselt ebatavaline. Fakt on see, et selle sõna sõnasõnaline tõlge ladina keelest tähendab "õõnest". Põhjus on selles, et ühest keelest teise tõlkimisel kadus sõnast õige arusaam.

Põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide nimetused pärinevad Indiast, kus siinuse mõistet tähistati sanskriti keeles sõnaga "string" - fakt on see, et segment koos ringi kaarega, millele see toetus, nägi välja nagu vibu. . Araabia tsivilisatsiooni hiilgeaegadel laenati India saavutusi trigonomeetria vallas ja see termin läks araabia keelde transkriptsioonina. Juhtus nii, et selles keeles oli juba sarnane depressiooni tähistav sõna ja kui araablased mõistsid emakeelse ja laenatud sõna foneetilist erinevust, siis eurooplased tõlkisid teaduslikke traktaate ladina keelde ekslikult sõna-sõnalt araabia sõna, millel polnud midagi. siinuse mõistega pistmist . Kasutame seda siiani.

Väärtuste tabelid

Seal on tabelid, mis sisaldavad kõigi võimalike nurkade siinuste, koosinuste ja puutujate arvväärtusi. Allpool on toodud andmed nurkade 0, 30, 45, 60 ja 90 kraadi kohta, mis tuleb “mannekeenide” trigonomeetria kohustusliku osana selgeks õppida, õnneks on neid üsna lihtne meelde jätta.

Kui juhtub, et mingi nurga siinuse või koosinuse arvväärtus "peast välja läks", on võimalus see ise tuletada.

Geomeetriline esitus

Joonistame ringi ja joonestame läbi selle keskpunkti abstsiss- ja ordinaatteljed. Abstsisstelg on horisontaalne, ordinaattelg vertikaalne. Tavaliselt on need tähistatud vastavalt "X" ja "Y" all. Nüüd tõmbame ringi keskpunktist sirge, nii et selle ja X-telje vahel saadakse vajalik nurk. Lõpuks, punktist, kus sirge lõikub ringiga, langetame risti X-teljega. Saadud segmendi pikkus võrdub meie nurga siinuse arvväärtusega.

See meetod on väga asjakohane, kui unustasite nõutava väärtuse näiteks eksami ajal ja teil pole käepärast trigonomeetriaõpikut. Sel viisil ei saa te täpset arvu, kuid näete kindlasti erinevust ½ ja 1,73/2 (30-kraadise nurga siinus ja koosinus) vahel.

Rakendus

Mõned esimesed eksperdid, kes trigonomeetriat kasutasid, olid meremehed, kellel polnud avamerel muud võrdluspunkti peale taeva pea kohal. Tänapäeval ei otsi laevade (lennukite ja muude transpordiliikide) kaptenid tähtede abil lühimat teed, vaid kasutavad aktiivselt GPS-navigatsiooni, mis oleks trigonomeetriat kasutamata võimatu.

Peaaegu igast füüsika osast leiate arvutusi siinuste ja koosinuste abil: olgu selleks siis jõu rakendamine mehaanikas, objektide teekonna arvutamine kinemaatikas, vibratsioon, laine levimine, valguse murdumine - lihtsalt ei saa ilma elementaarse trigonomeetriata. valemites.

Teine elukutse, mis pole mõeldav ilma trigonomeetriata, on maamõõtja. Teodoliidi ja loodi või keerukama seadme – tahhomeetri – abil mõõdavad need inimesed maapinna erinevate punktide kõrguste erinevust.

Korratavus

Trigonomeetria ei tegele ainult kolmnurga nurkade ja külgedega, kuigi see on koht, kus see oma olemasolu sai alguse. Kõigis valdkondades, kus esineb tsüklilisust (bioloogia, meditsiin, füüsika, muusika jne) kohtate graafikut, mille nimi on teile ilmselt tuttav – see on siinuslaine.

Selline graafik on piki ajatelge lahtivolditud ring ja näeb välja nagu laine. Kui olete kunagi füüsikatunnis ostsilloskoobiga töötanud, teate, millest me räägime. Nii muusika ekvalaiser kui ka pulsikell kasutavad oma töös trigonomeetria valemeid.

Lõpuks

Mõeldes trigonomeetria õppimisele, hakkab enamik kesk- ja keskkooliõpilasi pidama seda raskeks ja ebapraktiliseks teaduseks, kuna igava teabega tutvuvad nad alles õpikust.

Mis puutub ebapraktilisusesse, siis oleme juba näinud, et ühel või teisel määral on siinuste ja puutujate käsitlemise oskust nõutav peaaegu igas tegevusvaldkonnas. Mis keerukusse puutub... Mõelge: kui inimesed kasutasid neid teadmisi rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi, kui täiskasvanul oli vähem teadmisi kui tänasel gümnasistil, siis kas teil isiklikult on reaalne seda teadusvaldkonda algtasemel õppida? Paar tundi läbimõeldud ülesannete lahendamise harjutamist – ja saavutad oma eesmärgi, õppides algkursust, nn mannekeenide trigonomeetriat.

Aastal 1905 võisid vene lugejad lugeda William Jamesi raamatust "Psühholoogia" tema arutluskäiku teemal "miks on juhuslik õppimine nii halb õppimisviis?"

“Lihtsa päheõppega omandatud teadmised ununevad peaaegu paratamatult täiesti jäljetult. Vastupidi, vaimne materjal, mida mälu omandab järk-järgult, päevast päeva, seoses erinevate kontekstidega, seostatakse assotsiatiivselt teiste väliste sündmustega ja mida korduvalt arutletakse, moodustab sellise süsteemi, astub sellisesse ühendusse meie teiste aspektidega. intellekt, taastatakse mällu hõlpsasti paljude väliste sündmustega, mis jääb pikaks ajaks püsivaks omandamiseks.

Sellest ajast on möödunud rohkem kui 100 aastat ja need sõnad on endiselt hämmastavalt aktuaalsed. Selles veendute iga päev koolilastega töötades. Massilised lüngad teadmistes on nii suured, et võib vaielda: kooli matemaatikakursus didaktilises ja psühholoogilises mõttes ei ole süsteem, vaid omamoodi seade, mis soodustab lühimälu ja ei hooli üldse pikaajalisest mälust. .

Kooli matemaatikakursuse tundmine tähendab iga matemaatikavaldkonna materjali valdamist ja võimalust neid igal ajal värskendada. Selle saavutamiseks peate süstemaatiliselt kontakteeruma igaühega, mis pole mõnikord tunni suure töökoormuse tõttu alati võimalik.

Faktide ja valemite pikaajaliseks meeldejätmiseks on veel üks viis - need on võrdlussignaalid.

Trigonomeetria on koolimatemaatika üks suuremaid sektsioone, mida õpitakse 8. ja 9. klassis geomeetria ning 9. klassis algebra, 10. klassis algebra ja elementaaranalüüsi kursusel.

Suurim maht trigonomeetrias õpitavast materjalist langeb 10. klassile. Enamikku sellest trigonomeetria materjalist saab õppida ja pähe õppida trigonomeetriline ring(ühikraadiusega ring, mille keskpunkt on ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktis). Lisa1.ppt

Need on järgmised trigonomeetria mõisted:

nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid;
radiaaninurga mõõtmine;
trigonomeetriliste funktsioonide määratluspiirkond ja väärtuste vahemik
trigonomeetriliste funktsioonide väärtused mõnede arv- ja nurkargumendi väärtuste jaoks;
trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisus;
trigonomeetriliste funktsioonide ühtlus ja veidrus;
trigonomeetriliste funktsioonide suurendamine ja vähendamine;
redutseerimisvalemid;
trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtused;
lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine;
lihtsate võrratuste lahendamine;
trigonomeetria põhivalemid.

Kaaluge nende mõistete uurimist trigonomeetrilisel ringil.

1) Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon.

Pärast trigonomeetrilise ringi kontseptsiooni (ühikraadiusega ring, mille keskpunkt on lähtepunktis), algraadiuse (ringi raadius Ox-telje suunas) ja pöördenurga tutvustamist saavad õpilased iseseisvalt definitsioonid. siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks trigonomeetrilisel ringil, kasutades kursi geomeetria definitsioone, st võttes arvesse täisnurkset kolmnurka, mille hüpotenuus on võrdne 1-ga.

Nurga koosinus on ringjoone punkti abstsiss, kui algraadiust pööratakse etteantud nurga võrra.

Nurga siinus on ringjoone punkti ordinaat, kui algraadius on antud nurga võrra pööratud.

2) Nurkade radiaanmõõtmine trigonomeetrilisel ringil.

Pärast nurga radiaani mõõtmise tutvustamist (1 radiaan on kesknurk, mis vastab kaare pikkusele, mis on võrdne ringi raadiuse pikkusega) järeldavad õpilased, et nurga radiaani mõõt on nurga numbriline väärtus. pöördenurk ringil, mis on võrdne vastava kaare pikkusega, kui algraadius on antud nurga võrra pööratud. .

Trigonomeetriline ring jaguneb ringi läbimõõtude järgi 12 võrdseks osaks. Teades, et nurk on radiaanides, saate määrata radiaani mõõtmise nurkadele, mis on kordsed.

Ja nurkade radiaani mõõtmised, kordajad, saadakse sarnaselt:

3) Trigonomeetriliste funktsioonide määratlusvaldkond ja väärtuste vahemik.

Kas pöördenurkade ja ringi punkti koordinaatide väärtuste vastavus on funktsioon?

Iga pöördenurk vastab ringi ühele punktile, mis tähendab, et see vastavus on funktsioon.

Funktsioonide hankimine

Trigonomeetrilisel ringil näete, et funktsioonide määratluspiirkond on kõigi reaalarvude kogum ja väärtuste vahemik on .

Tutvustame trigonomeetrilise ringi puutujate ja kotangentide sirgete mõisteid.

1) Lase Toome sisse Oy teljega paralleelse abisirge, millel määratakse igale arvulisele argumendile puutujad.

2) Samamoodi saame kotangentide rea. Olgu y=1, siis . See tähendab, et kotangensi väärtused määratakse Ox-teljega paralleelsel sirgel.

Trigonomeetrilisel ringil saate hõlpsalt määrata trigonomeetriliste funktsioonide määratluspiirkonna ja väärtuste vahemiku:

puutuja jaoks -

kotangensi jaoks -

4) Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused trigonomeetrilisel ringil.

Nurga in vastas olev jalg võrdub poolega hüpotenuusist, see tähendab Pythagorase teoreemi järgi teise jalaga:

See tähendab, et siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi defineerimisega saate määrata nurkade väärtused, mis on kordsed või radiaanid. Siinusväärtused määratakse piki Oy-telge, koosinus piki Ox-telge ning puutuja ja kotangensi väärtusi saab määrata vastavalt Oy- ja Ox-telgedega paralleelsete lisatelgede abil.

Siinuse ja koosinuse tabeliväärtused paiknevad vastavatel telgedel järgmiselt:

Tangensi ja kotangensi tabeliväärtused -

5) Trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisus.

Trigonomeetrilisel ringil näete, et siinuse ja koosinuse väärtused korduvad iga radiaaniga ning puutuja ja kotangent - iga radiaani väärtus.

6) Trigonomeetriliste funktsioonide ühtlus ja veidrus.

Seda omadust saab saada trigonomeetriliste funktsioonide positiivsete ja vastassuunaliste pöördenurkade väärtuste võrdlemisel. Me saame sellest aru

See tähendab, et koosinus on paarisfunktsioon, kõik muud funktsioonid on paaritud.

7) Trigonomeetriliste funktsioonide suurendamine ja vähenemine.

Trigonomeetriline ring näitab, et siinusfunktsioon suureneb ja väheneb

Sarnaselt arutledes saame koosinuse, puutuja ja kotangensi suurenemise ja kahanemise funktsioonide intervallid.

8) Taandusvalemid.

Nurga jaoks võtame trigonomeetrilisel ringil oleva nurga väiksema väärtuse. Kõik valemid saadakse valitud täisnurksete kolmnurkade jalgade trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste võrdlemisel.

Reduktsioonivalemite rakendamise algoritm:

1) Määra funktsiooni märk läbi etteantud nurga pööramisel.

Nurka keerates funktsioon säilib nurga võrra pööramisel - täisarv, paaritu arv, kaasfunktsioon (

9) Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtused.

Tutvustame trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioone, kasutades funktsiooni definitsiooni.

Iga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtus trigonomeetrilisel ringil vastab ainult ühele pöördenurga väärtusele. See tähendab, et funktsiooni definitsioonipiirkond on väärtuste vahemik - Funktsiooni definitsioonipiirkond on väärtuste vahemik. Samamoodi saame koosinuse ja kotangensi pöördfunktsioonide määratluspiirkonna ja väärtusvahemiku.

Algoritm trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtuste leidmiseks:

1) pöördtrigonomeetrilise funktsiooni argumendi väärtuse leidmine vastaval teljel;

2) algraadiuse pöördenurga leidmine, võttes arvesse trigonomeetrilise pöördfunktsiooni väärtuste vahemikku.

Näiteks:

10) Lihtvõrrandite lahendamine trigonomeetrilisel ringil.

Vormiga võrrandi lahendamiseks leiame ringilt punktid, mille ordinaadid on võrdsed, ja kirjutame üles vastavad nurgad, võttes arvesse funktsiooni perioodi.

Võrrandi jaoks leiame ringilt punktid, mille abstsissid on võrdsed ja kirjutame üles vastavad nurgad, võttes arvesse funktsiooni perioodi.

Samamoodi vormi võrrandite puhul Väärtused määratakse puutujate ja kotangentide joontel ning vastavad pöördenurgad registreeritakse.

Kõik trigonomeetria mõisted ja valemid õpivad õpilased ise selgeks õpetaja juhendamisel trigonomeetrilise ringi abil. Tulevikus on see "ring" neile võrdlussignaaliks või väliseks teguriks trigonomeetria mõistete ja valemite mällu taastoomiseks.

Trigonomeetria uurimine trigonomeetrilisel ringil aitab:

antud tunni jaoks optimaalse suhtlusstiili valimine, hariduskoostöö korraldamine;
tunni eesmärgid muutuvad iga õpilase jaoks isiklikult oluliseks;
uus materjal põhineb õpilase isiklikul tegevus-, mõtlemis- ja tunnekogemusel;
tund hõlmab erinevaid töövorme ning teadmiste saamise ja omastamise viise; on vastastikuse ja iseõppimise elemente; enese- ja vastastikune kontroll;
arusaamatuse ja vea korral reageeritakse kiiresti (ühisarutelu, tuginõuanded, vastastikused konsultatsioonid).