Trigonomeetria ehituses. Trigonomeetria täiendavad rakendused elus

align=center>

Trigonomeetria- matemaatika mikrolõige, milles uuritakse nurkade väärtuste ja kolmnurkade külgede pikkuste vahelisi seoseid, samuti trigonomeetriliste funktsioonide algebralisi identiteete.
On palju valdkondi, kus kasutatakse trigonomeetriat ja trigonomeetrilisi funktsioone. Trigonomeetriat ehk trigonomeetrilisi funktsioone kasutatakse astronoomias, mere- ja õhunavigatsioonis, akustikas, optikas, elektroonikas, arhitektuuris ja muudes valdkondades.

Trigonomeetria loomise ajalugu

Trigonomeetria kui kolmnurga nurkade ja külgede ning teiste geomeetriliste kujundite vaheliste suhete teaduse ajalugu hõlmab rohkem kui kahte aastatuhandet. Enamikku neist seostest ei saa tavaliste algebraliste tehtetega väljendada ja seetõttu tuli kasutusele võtta spetsiaalsed trigonomeetrilised funktsioonid, mis algselt esitati numbriliste tabelite kujul.
Ajaloolased usuvad, et trigonomeetria lõid iidsed astronoomid ja veidi hiljem hakati seda kasutama arhitektuuris. Aja jooksul on trigonomeetria ulatus pidevalt laienenud, tänapäeval hõlmab see peaaegu kõiki loodusteadusi, tehnoloogiat ja mitmeid muid tegevusvaldkondi.

Sajandite alguses

Tuttav nurkade mõõtmine kraadides, minutites ja sekundites pärineb Babüloonia matemaatikast (nende ühikute kasutuselevõtt Vana-Kreeka matemaatikas on tavaliselt omistatud 2. sajandile eKr).

Selle perioodi peamiseks saavutuseks oli jalgade ja hüpotenuusi vaheline suhe täisnurkses kolmnurgas, mis hiljem sai tuntuks Pythagorase teoreemina.

Vana-Kreeka

Vana-Kreeka geomeetrias tekkis trigonomeetriliste suhete üldine ja loogiliselt sidus esitus. Kreeka matemaatikud ei olnud trigonomeetriat veel eraldi teadusena määratlenud, nende jaoks oli see osa astronoomiast.
Iidse trigonomeetrilise teooria peamiseks saavutuseks oli "kolmnurkade lahendamise" ülesande üldine lahendus, st kolmnurga tundmatute elementide leidmine selle kolme antud elemendi (millest vähemalt üks on külg) põhjal.
Rakendatavad trigonomeetrilised ülesanded on väga mitmekesised - näiteks saab määrata loetletud suuruste kohta praktiliselt mõõdetavad toimingute tulemused (näiteks nurkade summa või külgede pikkuste suhe).
Paralleelselt tasapinnalise trigonomeetria arenguga arendasid kreeklased astronoomia mõjul sfäärilist trigonomeetriat oluliselt edasi. Eukleidese elementides on sellel teemal vaid teoreem erineva läbimõõduga sfääride ruumalade suhte kohta, kuid astronoomia ja kartograafia vajadused tingisid sfäärilise trigonomeetria ja sellega seotud valdkondade – taevakoordinaadisüsteemide, kartograafiliste projektsioonide teooria – kiire arengu. ja astronoomiliste instrumentide tehnoloogiat.

keskaeg

Esimene trigonomeetria spetsiaalne traktaat oli Kesk-Aasia teadlase (X-XI sajand) töö "Astronoomiateaduse võtmete raamat" (995-996). Terve trigonomeetria kursus sisaldas Al-Biruni põhiteost - "Mas'udi kaanon" (III raamat). Lisaks siinuste tabelitele (15" sammuga) andis Al-Biruni puutujate tabelid (1° sammuga).

Pärast araabia traktaatide ladina keelde tõlkimist 12.–13. sajandil said paljud India ja Pärsia matemaatikute ideed Euroopa teaduse omandiks. Ilmselt sai eurooplaste esimene tutvus trigonomeetriaga teoks tänu zij’le, millest 12. sajandil tehti kaks tõlget.

Esimest täielikult trigonomeetriale pühendatud Euroopa teost nimetab inglise astronoom Richard Wallingfordist (umbes 1320) sageli "neljaks traktaadiks otse- ja ümberpööratud akordidest". Trigonomeetrilised tabelid, mis on sageli tõlgitud araabia keelest, kuid mõnikord on need originaalid, sisalduvad paljude teiste 14.–15. sajandi autorite teostes. Samal ajal võttis trigonomeetria oma koha ülikoolide kursuste hulgas.

Uus aeg

Trigonomeetria arendamine kaasajal sai ülimalt oluliseks mitte ainult astronoomia ja astroloogia, vaid ka muude rakenduste, eelkõige suurtükiväe, optika ja navigatsiooni jaoks pikkadel merereisidel. Seetõttu uurisid seda teemat pärast 16. sajandit paljud silmapaistvad teadlased, sealhulgas Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Francois Viète. Kopernik pühendas oma traktaadis Taevasfääride pöörlemisest (1543) trigonomeetriale kaks peatükki. Peagi (1551) ilmusid Koperniku õpilase Rheticuse 15-kohalised trigonomeetrilised tabelid. Kepler avaldas "Astronoomia optilise osa" (1604).

Viet sisaldas oma “Matemaatilise kaanoni” (1579) esimeses osas mitmesuguseid tabeleid, sealhulgas trigonomeetrilisi tabeleid, ja teises osas esitas üksikasjaliku ja süstemaatilise, kuigi ilma tõestuseta, tasapinnalise ja sfäärilise trigonomeetria esituse. 1593. aastal koostas Viet sellest suurest teosest laiendatud väljaande.
Tänu Albrecht Dureri töödele sündis siinuslaine.

XVIII sajand

Trigonomeetria andis moodsa ilme. Oma traktaadis "Sissejuhatus lõpmatute analüüsimisse" (1748) andis Euler trigonomeetriliste funktsioonide määratluse, mis on samaväärne tänapäevase funktsiooniga, ja defineeris vastavalt pöördfunktsioonid.

Euler pidas lubatavaks negatiivseid nurki ja nurki, mis on suuremad kui 360°, mis võimaldas defineerida trigonomeetrilisi funktsioone tervel reaalarvu real ja seejärel laiendada neid komplekstasandile. Kui tekkis küsimus trigonomeetriliste funktsioonide laiendamise kohta nürinurkadele, valiti nende funktsioonide märgid enne Euleri sageli valesti; paljud matemaatikud pidasid positiivseks näiteks nürinurga koosinust ja puutujat. Euler määras need märgid nurkade jaoks erinevates koordinaatkvadrantides redutseerimisvalemite alusel.
Euler ei uurinud trigonomeetriliste ridade üldist teooriat ega uurinud saadud ridade konvergentsi, kuid sai mitmeid olulisi tulemusi. Eelkõige tuletas ta siinuse ja koosinuse täisarvude laiendused.

Trigonomeetria rakendamine

Omal moel on õigus neil, kes ütlevad, et päriselus pole trigonomeetriat vaja. Mis on selle tavalised rakendusülesanded? Mõõtke ligipääsmatute objektide vaheline kaugus.
Suur tähtsus on triangulatsioonitehnikal, mis võimaldab mõõta kaugusi lähedalasuvate tähtedeni astronoomias, maamärkide vahel geograafias ja juhtida satelliitnavigatsioonisüsteeme. Tähelepanuväärne on ka trigonomeetria rakendamine sellistes valdkondades nagu navigatsioonitehnoloogia, muusikateooria, akustika, optika, finantsturgude analüüs, elektroonika, tõenäosusteooria, statistika, bioloogia, meditsiin (sh ultraheli ja kompuutertomograafia), farmaatsia, keemia, arvuteooria ( ja sellest tulenevalt krüptograafia), seismoloogia, meteoroloogia, okeanoloogia, kartograafia, paljud füüsikaharud, topograafia ja geodeesia, arhitektuur, foneetika, majandus, elektroonikatehnika, masinaehitus, arvutigraafika, kristallograafia jne.
Järeldus: trigonomeetria on meie igapäevaelus tohutu abimees.

uuring, mille algus meenutab väikest lainet, mille järel täheldatakse süstoolse tõusu. Väike laine näitab tavaliselt kodade kokkutõmbumist. Tõusu algus langeb kokku vere aordi väljutamise algusega. Samal lindil on näha veel üks maksimaalne tipp, mis annab märku poolkuu klappide sulgumisest. Antud maksimaalse tõusu segmendi kuju võib olla üsna mitmekesine, mis viib selle uuringu erinevate tulemusteni. Pärast maksimaalset tõusu toimub kurvi laskumine, mis jätkub päris lõpuni. Selle apikaalse kardiogrammi segmendiga kaasneb mitraalklapi avanemine. Pärast seda on laine kerge tõus. See näitab kiiret täitmise aega. Kogu ülejäänud kõvera segment on määratud passiivse ventrikulaarse täitmise ajaks. Selline parema vatsakese uurimine võib viidata võimalikele patoloogilistele kõrvalekalletele.

MBOU Tselinnaya keskkool

Teatage trigonomeetriast päriselus

Valmistatud ja teostatud

matemaatika õpetaja

kvalifikatsioonikategooria

Iljina V.P.

Tselinny küla märts 2014

Sisukord.

1. Sissejuhatus .

2. Trigonomeetria loomise ajalugu:

Sajandite alguses.

Vana-Kreeka.

keskaeg.

Uus aeg.

Sfäärilise geomeetria kujunemise ajaloost.

3. Trigonomeetria ja tegelik elu:

Trigonomeetria rakendamine navigatsioonis.

Trigonomeetria algebras.

Trigonomeetria füüsikas.

Trigonomeetria meditsiinis ja bioloogias.

Trigonomeetria muusikas.

Trigonomeetria arvutiteaduses

Trigonomeetria ehituses ja geodeesias.

4. Järeldus .

5. Kasutatud kirjanduse loetelu.

Sissejuhatus

Matemaatikas on juba ammu väljakujunenud praktika, et süstemaatiliselt matemaatikat õppides peame trigonomeetriaga kokku puutuma kolm korda. Seetõttu näib selle sisu koosnevat kolmest osast. Koolituse käigus on need osad ajaliselt üksteisest eraldatud ega ole üksteisega sarnased nii põhimõistete selgitamisse panustatud tähenduse kui ka arendatava aparaadi ja teenindusfunktsioonide (rakenduste) poolest.

Tõepoolest, trigonomeetrilise materjaliga puutusime esimest korda kokku 8. klassis teemat “Täisnurkse kolmnurga külgede ja nurkade vahelised seosed” õppides. Nii õppisime, mis on siinus, koosinus ja puutuja, ning õppisime lahendama tasapinnalisi kolmnurki.

Möödus aga mõni aeg ja 9. klassis pöördusime taas trigonomeetria juurde tagasi. Kuid see trigonomeetria pole selline, nagu varem uuriti. Selle seosed määratakse nüüd pigem ringi (ühikpoolringi) kui täisnurkse kolmnurga abil. Kuigi neid defineeritakse endiselt nurkade funktsioonidena, on need nurgad juba meelevaldselt suured.

10. klassi liikudes puutusime taas kokku trigonomeetriaga ja nägime, et see on muutunud veelgi keerulisemaks, võeti kasutusele nurga radiaanmõõdu mõiste ning trigonomeetrilised identiteedid, ülesannete sõnastamine ja nende lahenduste tõlgendamine nägid teistsugused välja. . Tutvustatakse trigonomeetriliste funktsioonide graafikuid. Lõpuks ilmuvad trigonomeetrilised võrrandid. Ja kogu see materjal ilmus meie ette algebra osana, mitte geomeetriana. Ja meil tekkis suur huvi uurida trigonomeetria ajalugu, selle rakendamist igapäevaelus, sest ajaloolise teabe kasutamine matemaatikaõpetaja poolt pole tunnimaterjali esitamisel kohustuslik. Siiski, nagu märgib K. A. Malygin, "... ekskursioonid ajaloolisesse minevikku elavdavad õppetundi, leevendavad vaimset pinget, tõstavad huvi uuritava materjali vastu ja aitavad kaasa selle tugevale assimilatsioonile." Pealegi on matemaatika ajaloo materjal väga mahukas ja huvitav, kuna matemaatika areng on tihedalt seotud tsivilisatsiooni kõigil eksisteerimise perioodidel tekkinud pakiliste probleemide lahendamisega.

Olles õppinud tundma trigonomeetria tekkimise ajaloolisi põhjuseid ja uurinud, kuidas suurte teadlaste töö viljad mõjutasid selle matemaatikavaldkonna arengut ja konkreetsete probleemide lahendamist, suurendame meie, kooliõpilased, huvi selle aine vastu. uuritakse ja me näeme selle praktilist tähtsust.

Projekti eesmärk - huvi tekkimine teema “Trigonomeetria” õppimiseks algebra käigus ja analüüsi alustamine läbi õpitava materjali rakendusväärtuse prisma; trigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate graafiliste esituste laiendamine; trigonomeetria kasutamine sellistes teadustes nagu füüsika, bioloogia jne.

Trigonomeetria seos välismaailmaga, trigonomeetria tähtsus paljude praktiliste probleemide lahendamisel ja trigonomeetriliste funktsioonide graafilised võimalused võimaldavad kooliõpilaste teadmisi “materialiseerida”. See võimaldab paremini mõista trigonomeetria õppimisel omandatud teadmiste elulist vajalikkust ja suurendab huvi selle teema uurimise vastu.

Uurimise eesmärgid:

1. Vaatleme trigonomeetria tekkimise ja arengu ajalugu.

2. Näidake konkreetsete näidete abil trigonomeetria praktilisi rakendusi erinevates teadustes.

3. Tuvastage konkreetsete näidete abil trigonomeetriliste funktsioonide kasutamise võimalused, mis võimaldavad muuta "vähe huvitavad" funktsioonid funktsioonideks, mille graafikud on väga originaalse välimusega.

"Üks asi jääb selgeks: maailm on ähvardavalt ja kaunilt üles ehitatud."

N. Rubtsov

trigonomeetria - see on matemaatika haru, milles uuritakse nurkade väärtuste ja kolmnurkade külgede pikkuste vahelisi seoseid, samuti trigonomeetriliste funktsioonide algebralisi identiteete. Seda on raske ette kujutada, kuid me kohtame seda teadust mitte ainult matemaatikatundides, vaid ka igapäevaelus. Võib-olla poleks me seda kahtlustanud, kuid trigonomeetriat leidub sellistes teadustes nagu füüsika, bioloogia, see mängib meditsiinis olulist rolli ja mis kõige huvitavam, isegi muusika ja arhitektuur ei saa ilma selleta hakkama. Praktilise sisuga seotud probleemid mängivad olulist rolli matemaatikaõppes omandatud teoreetiliste teadmiste praktikas rakendamise oskuste kujunemisel. Iga matemaatikaõpilast huvitab, kuidas ja kus omandatud teadmisi rakendatakse. See töö annab sellele küsimusele vastuse.

Trigonomeetria loomise ajalugu

Sajandite alguses

Tuttav nurkade mõõtmine kraadides, minutites ja sekundites pärineb Babüloonia matemaatikast (nende ühikute kasutuselevõtt Vana-Kreeka matemaatikas on tavaliselt omistatud 2. sajandile eKr).

Selle perioodi peamine saavutus oli jalgade ja hüpotenuusi vaheline suhe täisnurkses kolmnurgas, mis hiljem sai nime.

Vana-Kreeka

keskaeg

4. sajandil, pärast antiikteaduse surma, kolis matemaatika arengukeskus Indiasse. Nad muutsid mõningaid trigonomeetria mõisteid, lähendades neid tänapäevastele: näiteks võtsid nad esimestena kasutusele koosinuse.
Esimene trigonomeetria spetsiaalne traktaat oli Kesk-Aasia teadlase (X-XI sajand) töö "Astronoomiateaduse võtmete raamat" (995-996). Terve trigonomeetria kursus sisaldas Al-Biruni põhiteost - "Mas'udi kaanon" (III raamat). Lisaks siinuste tabelitele (15" sammuga) andis Al-Biruni puutujate tabelid (1° sammuga).

Esimest täielikult trigonomeetriale pühendatud Euroopa teost nimetab inglise astronoom sageli "neljaks traktaadiks sirgetest ja ümberpööratud akordidest" (umbes 1320). Trigonomeetrilised tabelid, mis on sageli tõlgitud araabia keelest, kuid mõnikord on need originaalid, sisalduvad paljude teiste 14.–15. sajandi autorite teostes. Samal ajal võttis trigonomeetria oma koha ülikoolide kursuste hulgas.

Uus aeg

Sõna "trigonomeetria" esineb esmakordselt (1505) saksa teoloogi ja matemaatiku Pitiscuse raamatu pealkirjas, mille päritolu on kreeka keeles: kolmnurk, mõõt. Teisisõnu, trigonomeetria on kolmnurkade mõõtmise teadus. Kuigi nimi tekkis suhteliselt hiljuti, olid paljud trigonomeetriaga seotud mõisted ja faktid teada juba kaks tuhat aastat tagasi.

Siinuse mõistel on pikk ajalugu. Tegelikult leidub kolmnurga ja ringi lõikude (ja sisuliselt trigonomeetriliste funktsioonide) erinevaid suhteid juba 8. sajandil. eKr e Vana-Kreeka suurte matemaatikute – Eukleidese, Archimedese, Apollonios Pergast – töödes. Rooma ajal uuris neid suhteid üsna süstemaatiliselt juba Menelaus (Ӏ sajand eKr), kuigi nad ei saanud erilist nime. Näiteks tänapäevast miinusnurka uuriti kui selle poolkõla korrutist, millele kesknurk toetub, või kui kahekordse kaare kõõlu.

Järgneval perioodil arendasid matemaatikat pikka aega kõige aktiivsemalt India ja Araabia teadlased. Aastal ӀV- Vsajandite jooksul Eelkõige ilmus spetsiaalne termin India suure teadlase Aryabhata (476-u 550) astronoomiaalastesse töödesse, kelle järgi nimetati esimene India satelliit Maa peal.

Hiljem võeti kasutusele lühem nimi jiva. Araabia matemaatikud ΙXV. sõna jiva (või jiba) asendati araabia sõnaga jaib (kumerus). Araabiakeelsete matemaatiliste tekstide tõlkimisel keeldeXΙΙV. see sõna asendati ladina siinusega (sinus- painutamine, kumerus)

Sõna koosinus on palju noorem. Koosinus on ladinakeelse väljendi lühendtäiendadasinus, st "lisasiinus" (või muul viisil "lisakaare siinus"; pidage meelescosa= patt(90°- a)).

Trigonomeetriliste funktsioonide käsitlemisel läheme märkimisväärselt kaugemale kolmnurkade mõõtmise ülesandest. Seetõttu tegi kuulus matemaatik F. Klein (1849-1925) ettepaneku nimetada “trigonomeetriliste” funktsioonide doktriini teisiti – goniomeetriaks (nurgaks). See nimi aga külge ei hakanud.

Puutujad tekkisid seoses varju pikkuse määramise probleemi lahendamisega. Tangens (nagu ka kotangens, sekant ja kosekants) viiakse sisseXV. Araabia matemaatik Abu-l-Wafa, kes koostas esimesed tabelid puutujate ja kotangentide leidmiseks. Need avastused jäid aga Euroopa teadlastele pikka aega tundmatuks ja puutujad taasavastati aastal.XΙVV. algul inglise teadlane T. Braverdin ja hiljem saksa matemaatik ja astronoom Regiomontanus (1467). Nimi "tangent" pärineb ladina keelesttanger(puudutus), ilmus 1583. aastalPuutujadtõlgitud kui "tangentsiaalne" (pidage meeles: puutuja on ühikuringi puutuja)

Kaasaegsed nimetusedarcsin Ja arctgilmuvad 1772. aastal Viini matemaatiku Scherferi ja kuulsa prantsuse teadlase J. L. Lagrange'i töödes, kuigi mõnevõrra varem oli neid käsitlenud juba erinevat sümboolikat kasutav J. Bernoulli. Kuid need sümbolid said üldtunnustatud alles lõpusXVΙΙΙsajandite jooksul. Eesliide "kaar" pärineb ladina keelestarcusxNäiteks on nurk (ja võib öelda ka kaar), mille siinus on võrdnex.

Pikka aega arenes trigonomeetria geomeetria osana, s.o. faktid, mida me nüüd trigonomeetriliste funktsioonidena sõnastame, sõnastati ja tõestati geomeetriliste mõistete ja väidete abil. Võimalik, et suurimad stiimulid trigonomeetria arendamiseks tekkisid seoses astronoomiaülesannete lahendamisega, mis pakkusid suurt praktilist huvi (näiteks laeva asukoha määramise, päikesevarjutuste ennustamise jms probleemide lahendamiseks).

Astronoomid tundsid huvi sfääriliste kolmnurkade külgede ja nurkade vahel, mis koosnevad sfääril asuvatest suurtest ringidest. Ja tuleb märkida, et iidsed matemaatikud tulid edukalt toime ülesannetega, mis olid oluliselt raskemad kui tasapinnaliste kolmnurkade lahendamise ülesanded.

Igatahes geomeetrilisel kujul avastasid ja taasavastasid paljud meile tuntud trigonomeetria valemid Vana-Kreeka, India ja Araabia matemaatikud (trigonomeetriliste funktsioonide erinevuse valemid said aga tuntuks alles a.XVΙӀ sajand – need töötas välja inglise matemaatik Napier, et lihtsustada arvutusi trigonomeetriliste funktsioonidega. Ja esimene siinuslaine joonis ilmus 1634.

C. Ptolemaiose esimese siinuste tabeli koostamine (pikka aega nimetati seda akorditabeliks) oli põhimõttelise tähtsusega: ilmus praktiline vahend mitmete rakendusprobleemide ja eelkõige astronoomiaprobleemide lahendamiseks.

Valmistabelitega tegeledes või kalkulaatorit kasutades me sageli ei mõtle sellele, et oli aeg, mil tabeleid ei olnud veel leiutatud. Nende koostamiseks oli vaja teha mitte ainult palju arvutusi, vaid ka välja mõelda viis tabelite koostamiseks. Ptolemaiose tabelid on viie kümnendkoha täpsusega (kaasa arvatud).

Trigonomeetria tänapäevase vormi andis suurim matemaatikXV2. sajand L. Euler (1707-1783), sünnilt šveitslane, kes töötas aastaid Venemaal ja oli Peterburi Teaduste Akadeemia liige. Just Euler tutvustas esmakordselt trigonomeetriliste funktsioonide üldtuntud definitsioone, hakkas arvestama suvalise nurgaga funktsioone ja hankis redutseerimisvalemid. See kõik on väike osa sellest, millega Euler oma pika eluea jooksul matemaatikas hakkama sai: ta jättis maha üle 800 töö ja tõestas paljusid klassikaks saanud teoreeme, mis on seotud erinevate matemaatikavaldkondadega. Kuid kui proovite opereerida trigonomeetriliste funktsioonidega geomeetrilisel kujul, st nagu paljud matemaatikute põlvkonnad enne Eulerit, saate hinnata Euleri eeliseid trigonomeetria süstematiseerimisel. Pärast Eulerit omandas trigonomeetria arvutuse uue vormi: trigonomeetria valemite formaalse rakendamise kaudu hakati tõestama erinevaid fakte, tõestused muutusid palju kompaktsemaks ja lihtsamaks.

Sfäärilise geomeetria kujunemise ajaloost .

On laialt teada, et eukleidiline geomeetria on üks iidsemaid teadusi: juba aastalIIIsajandil eKr Ilmus Eukleidese klassikaline teos "Elements". Vähem teatakse, et sfääriline geomeetria on vaid veidi noorem. Selle esimene süstemaatiline esitlus viitabI- IIsajandite jooksul. Kreeka matemaatiku Menelaose kirjutatud raamatus "Sfäärid"Ic.), uuriti sfääriliste kolmnurkade omadusi; Eelkõige tõestati, et sfäärilise kolmnurga nurkade summa on suurem kui 180 kraadi. Teine kreeka matemaatik Claudius Ptolemaios (IIV.). Sisuliselt oli ta esimene, kes koostas trigonomeetriliste funktsioonide tabeleid ja võttis kasutusele stereograafilise projektsiooni.

Nii nagu eukleidiline geomeetria, tekkis ka sfääriline geomeetria praktilist laadi ja eelkõige astronoomiaprobleemide lahendamisel. Need ülesanded olid vajalikud näiteks ränduritele ja meremeestele, kes navigeerisid tähtede järgi. Ja kuna astronoomilistes vaatlustes on mugav eeldada, et Päike ja Kuu ja tähed liiguvad mööda kujutatud "taevasfääri", on loomulik, et nende liikumise uurimiseks oli vaja teadmisi sfääri geomeetriast. Seetõttu pole juhus, et Ptolemaiose kuulsaim teos kandis pealkirja "Astronoomia suur matemaatiline konstruktsioon 13 raamatus".

Sfäärilise trigonomeetria ajaloo kõige olulisem periood on seotud Lähis-Ida teadlaste tegevusega. India teadlased lahendasid edukalt sfäärilise trigonomeetria probleeme. Ptolemaiose kirjeldatud ja Menelaose teoreemil põhinevat täieliku nelinurga meetodit nad aga ei kasutanud. Ja sfäärilises trigonomeetrias kasutasid nad projektiivseid meetodeid, mis vastasid Ptolemaiose Analemma meetoditele. Selle tulemusena said nad konkreetsete arvutusreeglite komplekti, mis võimaldas lahendada peaaegu kõik sfäärilise astronoomia probleemid. Nende abiga taandus see ülesanne lõpuks sarnaste lamedate täisnurksete kolmnurkade võrdlemisele. Ülesannete lahendamisel kasutati sageli ruutvõrrandite teooriat ja järjestikuste lähenduste meetodit. Näide astronoomilisest probleemist, mille India teadlased tema väljatöötatud reeglite abil lahendasid, on Varahamihira teoses "Panga Siddhantika" käsitletud probleem (V- VI). See seisneb Päikese kõrguse leidmises, kui on teada koha laiuskraad, Päikese deklinatsioon ja tunninurk. Selle ülesande lahendamise tulemusena luuakse pärast mitmeid konstruktsioone seos, mis on võrdne sfäärilise kolmnurga kaasaegse koosinusteoreemiga. Seda seost ja teist samaväärset siinuste teoreemi ei ole aga üldistatud ühegi sfäärilise kolmnurga suhtes kohaldatavate reeglitena.

Esimeste idamaade teadlaste seas, kes pöördusid Menelaose teoreemi üle arutlema, tuleks nimetada vennad Banu Moussa - Muhammad, Hassan ja Ahmad, Moussa ibn Shakiri pojad, kes töötasid Bagdadis ning õppisid matemaatikat, astronoomiat ja mehaanikat. Kuid varaseim säilinud teos Menelaose teoreemi kohta on nende õpilase Thabit ibn Qorra (836-901) "Traktaat sekantide kujust".

Thabit ibn Qorra traktaat on meieni jõudnud araabiakeelses originaalis. Ja ladinakeelses tõlkesXIIV. See Cremona Gerando (1114–1187) tõlge sai keskaegses Euroopas laialt levinud.

Rakendatavad trigonomeetrilised ülesanded on väga mitmekesised - näiteks saab määrata loetletud suuruste kohta praktiliselt mõõdetavad toimingute tulemused (näiteks nurkade summa või külgede pikkuste suhe).

Paralleelselt tasapinnalise trigonomeetria arenguga arendasid kreeklased astronoomia mõjul sfäärilist trigonomeetriat oluliselt edasi. Eukleidese elementides on sellel teemal vaid teoreem erineva läbimõõduga sfääride ruumalade suhte kohta, kuid astronoomia ja kartograafia vajadused tingisid sfäärilise trigonomeetria ja sellega seotud valdkondade – taevakoordinaadisüsteemide, kartograafiliste projektsioonide teooria – kiire arengu. ja astronoomiliste instrumentide tehnoloogiat.

kursused.

Trigonomeetria ja päriselu

Trigonomeetrilised funktsioonid on leidnud rakendust matemaatilises analüüsis, füüsikas, arvutiteaduses, geodeesias, meditsiinis, muusikas, geofüüsikas ja navigatsioonis.

Trigonomeetria rakendamine navigatsioonis

Navigeerimine (see sõna pärineb ladina keelestnavigatsiooni- laeval purjetamine) on üks iidsemaid teadusi. Kõige lihtsamad navigeerimisülesanded, nagu lühima marsruudi määramine ja sõidusuuna valimine, seisid silmitsi kõige esimeste navigaatoritega. Praegu peavad need samad ja muud probleemid lahendama mitte ainult meremehed, vaid ka piloodid ja astronaudid. Vaatame üksikasjalikumalt mõnda navigeerimise kontseptsiooni ja ülesandeid.

Ülesanne. Geograafilised koordinaadid on teada - punktide A ja B pikkus- ja laiuskraad maapinnal:, Ja,. Tuleb leida lühim vahemaa punktide A ja B vahel piki maapinda (eeldatakse, et maa raadius on teada:R= 6371 km)

Lahendus. Tuletagem esmalt meelde, et punkti M laiuskraad maapinnal on nurga väärtus, mille moodustab raadius OM, kus O on Maa keskpunkt, ekvaatoritasapinnaga: ≤ ja laiuskraad põhja pool. ekvaatorit peetakse positiivseks ja lõunas negatiivseks (joonis 1)

Punkti M pikkuskraad on tasandite COM ja SON vahelise kahetahulise nurga väärtus, kus C on Maa põhjapoolus ja H on Greenwichi observatooriumile vastav punkt: ≤ (Greenwichi meridiaanist ida pool, pikkuskraadi peetakse positiivseks, läänes negatiivseks).

Nagu juba teada, on maapinna punktide A ja B vaheline lühim vahemaa A-d ja B-d ühendava suure ringjoone väiksema kaare pikkus (sellist kaare nimetatakse ortodroomiks - kreeka keelest tõlgituna tähendab "sirge jooksmine"). ). Seetõttu taandub meie ülesanne sfäärilise kolmnurga ABC külje AB pikkuse määramisele (C on põhjapoolus).

Kasutades kolmnurga ABC elementide standardset tähistust ja vastavat kolmnurknurka OABC, leiame ülesandetingimustest: α = = - , β = (joonis 2).

Nurka C ei ole keeruline väljendada punktide A ja B koordinaatide kaudu. Definitsiooni järgi on ≤ seega kas nurk C =, kui ≤ või -, kui. Teadmine = koosinusteoreemi kasutades: = + (-). Teades ja seega ka nurka, leiame vajaliku kauguse: =.

Trigonomeetria navigeerimisel 2.

Laeva kursi joonistamiseks Gerhard Mercatori (1569) projektsioonis tehtud kaardile oli vaja määrata laiuskraad. Vahemerel sõites suundades kuniXVIIV. laiuskraad ei olnud määratud. Edmond Gunther (1623) oli esimene, kes kasutas navigatsioonis trigonomeetrilisi arvutusi.

Trigonomeetria aitab arvutada tuule mõju lennuki lennule. Kiiruskolmnurk on kolmnurk, mille moodustab õhukiiruse vektor (V), tuulevektor (W), maakiiruse vektor (V P ). PU – suunanurk, UL – tuulenurk, KUV – suunatuule nurk.

Navigeerimiskiiruse kolmnurga elementide vaheline suhe on järgmine:

V P = V cos DC + W cos UV; patt DC = * patt UV, tg HC =

Kiiruste navigatsioonikolmnurk lahendatakse arvutusseadmete abil, navigatsioonijoonlaual ja ligikaudu meeles.

Trigonomeetria algebras.

Siin on näide kompleksvõrrandi lahendamisest trigonomeetrilise asendusega.

Arvestades võrrandit

Lase , saame

;

kus: või

võttes arvesse piiranguid, mida saame:

Trigonomeetria füüsikas

Kus iganes peame tegelema perioodiliste protsesside ja võnkumistega – olgu selleks siis akustika, optika või pendli kõikumine, on meil tegemist trigonomeetriliste funktsioonidega. Võnkumise valemid:

Kus A– võnke amplituud, – võnke nurksagedus, – võnke algfaas

Võnkumise faas.

Kui esemed on vette kastetud, ei muuda nad ei kuju ega suurust. Kogu saladus on optiline efekt, mis paneb meie nägemuse objekti erinevalt tajuma. Kõige lihtsamad trigonomeetrilised valemid ning kiire langemisnurga ja murdumisnurga siinuse väärtused võimaldavad arvutada konstantse murdumisnäitaja, kui valguskiir liigub keskmisest keskmisele. Näiteks vikerkaar tekib seetõttu, et päikesevalgust murravad õhus hõljuvad veepiisad vastavalt murdumisseadusele:

patt α /patt β = n 1 /n 2

Kus:

n 1 - esimese keskkonna murdumisnäitaja
n 2 - teise keskkonna murdumisnäitaja

α - langemisnurk, β - valguse murdumisnurk.

Laetud päikesetuuleosakeste tungimise planeetide atmosfääri ülakihti määrab planeedi magnetvälja koosmõju päikesetuulega.

Magnetväljas liikuvale laetud osakesele mõjuvat jõudu nimetatakse Lorentzi jõuks. See on võrdeline osakese laenguga ja välja vektorkorrutisega ning osakese kiirusega.

Vaatleme praktilise näitena füüsilist ülesannet, mida saab lahendada trigonomeetria abil.

Ülesanne. Kaldtasandil, mis moodustab horisondiga nurga 24,5 O , seal on 90 kg kaaluv keha. Leidke jõud, millega see keha surub kaldtasandit (st kui palju survet keha sellele tasapinnale avaldab).

Lahendus:

Pärast X- ja Y-telgede määramist hakkame teljele jõudude projektsioone koostama, kasutades esmalt seda valemit:

ma = N + mg , siis vaadake joonist,

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N – mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

Asendame massi ja leiame, et jõud on 819 N.

Vastus: 819 N

Trigonomeetria meditsiinis ja bioloogias

Üks neist põhiomadusedelusloodus on enamiku selles toimuvate protsesside tsüklilisus.

Bioloogilised rütmid, biorütmid– need on enam-vähem korrapärased muutused bioloogiliste protsesside olemuses ja intensiivsuses.

Põhiline maa rütm– päevaraha.

Biorütmide mudelit saab koostada trigonomeetriliste funktsioonide abil.

Biorütmimudeli koostamiseks tuleb sisestada inimese sünnikuupäev, võrdluskuupäev (päev, kuu, aasta) ja prognoositav kestus (päevade arv).

Isegi mõnda ajupiirkonda nimetatakse siinusteks.

Siinuste seinad moodustavad kõvakesta, mis on vooderdatud endoteeliga. Erinevalt teistest veenidest puuduvad siinuste valendik, klapid ja lihaskoe. Siinusõõnes on endoteeliga kaetud kiulised vaheseinad. Siinustest voolab veri sisemistesse kägiveeni, lisaks on reservveenide väljavooluavade kaudu ühendus siinuste ja kolju välispinna veenide vahel.

Kalade liikumine vees toimub siinuse või koosinuse seaduse järgi, kui fikseerida punkt sabal ja seejärel arvestada liikumise trajektoori.

Ujumisel võtab kala keha kõvera kuju, mis meenutab graafikut

funktsioonid y= tgx.

Trigonomeetria muusikas

Kuulame muusikat formaadismp3.

Helisignaal on laine, siin on selle "graafik".

Nagu näete, kuigi see on väga keeruline, on see sinusoid, mis järgib trigonomeetria seadusi.

2003. aasta kevadel toimus Moskva Kunstiteatris grupi “Night Snipers”, solist Diana Arbenina, albumi “Trigonomeetria” esitlus. Albumi sisu paljastab sõna “trigonomeetria” – Maa mõõtmise – algse tähenduse.

Trigonomeetria arvutiteaduses

Täpsete arvutuste tegemiseks saab kasutada trigonomeetrilisi funktsioone.

Trigonomeetriliste funktsioonide abil saate ligikaudselt hinnata mis tahes

(teatud mõttes "hea") funktsioon, laiendades selle Fourier' seeriaks:

a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + a 3 cos 3x + b 3 sin 3x + ...

Numbrite õige valimine a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Sellise (lõpmatu) summa kujul on võimalik vajaliku täpsusega esitada arvutis peaaegu iga funktsiooni.

Trigonomeetrilised funktsioonid on kasulikud graafilise teabega töötamisel. Vajalik on simuleerida (arvutis kirjeldada) mingi objekti pöörlemist ümber kindla telje. Pöörlemine toimub teatud nurga all. Punktide koordinaatide määramiseks peate korrutama siinuste ja koosinustega.

Justin Windell, programmeerija ja disainerGoogle Graafika Lab , avaldas demo, mis näitab näiteid trigonomeetriliste funktsioonide kasutamisest dünaamilise animatsiooni loomiseks.

Trigonomeetria ehituses ja geodeesias

Tasapinnal oleva suvalise kolmnurga külgede pikkused ja nurkade väärtused on omavahel seotud teatud seostega, millest olulisemad on koosinuste ja siinuste teoreemid.

2ab

= =

Nendes valemites a,b, c- kolmnurga ABC külgede pikkused, mis asuvad vastavalt nurkade A, B, C vastassuunas. Need valemid võimaldavad rekonstrueerida kolm ülejäänud kolm elementi kolmnurga kolmest elemendist - külgede pikkused ja nurgad. Neid kasutatakse praktiliste ülesannete lahendamisel, näiteks geodeesias.

Kogu “klassikaline” geodeesia põhineb trigonomeetrial. Tegelikult on maamõõtjad iidsetest aegadest saati tegelenud kolmnurkade "lahendamisega".

Hoonete, teede, sildade ja muude ehitiste ehitusprotsess algab mõõdistus- ja projekteerimistöödega. Kõik ehitusplatsil tehtavad mõõtmised tehakse mõõtmisvahenditega, nagu teodoliit ja trigonomeetriline tase. Trigonomeetrilise nivelleerimisega määratakse maapinna mitme punkti kõrguste erinevus.

Järeldus

Trigonomeetria äratas ellu nurkade mõõtmise vajadus, kuid aja jooksul arenes see trigonomeetriliste funktsioonide teaduseks.

Trigonomeetria on tihedalt seotud füüsikaga ning seda leidub looduses, muusikas, arhitektuuris, meditsiinis ja tehnikas.

Trigonomeetria peegeldub meie elus ja valdkonnad, milles see olulist rolli mängib, laienevad, seega on selle seaduste tundmine vajalik kõigile.

Matemaatika seos välismaailmaga võimaldab kooliõpilaste teadmisi “materialiseerida”. See aitab meil paremini mõista koolis omandatud teadmiste elulist vajalikkust.

Praktilise sisuga matemaatikaprobleemi (rakenduslikku laadi probleem) all peame silmas probleemi, mille süžee näitab matemaatika rakendusi seotud akadeemilistes distsipliinides, tehnoloogias ja igapäevaelus.

Lugu trigonomeetria tekke ajaloolistest põhjustest, selle arengust ja praktilisest rakendamisest äratab meie koolinoorte seas huvi õpitava aine vastu, kujundab meie maailmapilti ja parandab üldkultuuri.

See töö on kasulik keskkooliõpilastele, kes pole veel trigonomeetria ilu näinud ega tunne selle rakendusvaldkondi ümbritsevas elus.

Bibliograafia:

Muud jaotised

Sõna "trigonomeetria" esmakordselt leitud (1505) saksa teoloogi ja matemaatiku Pitiscuse raamatu pealkirjas. Selle sõna päritolu on kreeka keel: xpiyrovov - kolmnurk, tsetreso - mõõt. Teisisõnu, trigonomeetria on kolmnurkade mõõtmise teadus. Kuigi nimi tekkis suhteliselt hiljuti, olid paljud trigonomeetriaga seotud mõisted ja faktid teada juba kaks tuhat aastat tagasi.

Kontseptsioonil on pikk ajalugusinus Tegelikult leiti kolmnurga ja ringi lõikude (ja sisuliselt trigonomeetriliste funktsioonide) erinevaid suhteid juba 3. sajandil. eKr e. Vana-Kreeka suurte matemaatikute – Eukleidese, Archimedese, Perga Apolloniose – töödes. Rooma ajal uuris neid suhteid üsna süstemaatiliselt juba Menelaus (1. sajand pKr), kuigi nad ei saanud erilist nime.

Järgneval perioodil arendasid matemaatikat pikka aega kõige aktiivsemalt India ja Araabia teadlased. IV-V sajandil. Eelkõige ilmus spetsiaalne termin India suure teadlase Aryabhata (476 - ca 550) astronoomiaalastesse töödesse, kelle järgi sai nime esimene India satelliit Maa peal. Ta nimetas segmenti ardhajivaks.

Hiljem võeti kasutusele lühem nimi jiva. Araabia matemaatikud 9. sajandil. sõna jiva (või jiba) asendati araabia sõnaga jaib (kumerus). Araabiakeelsete matemaatiliste tekstide tõlkimisel 12. sajandil. see sõna on asendatud ladinakeelsegasinus (siinus - painutus, kumerus).

Sõna koosinus on palju noorem.Koosinus on lühend ladinakeelsest väljendist Complementy sinus, st "lisasiinus" (või muul viisil "lisakaare siinus"; pidage meeles, cos a = sin (90° - a)).

Puutujad tekkis seoses varju pikkuse määramise probleemi lahendamisega. Tangens (nagu ka kotangent, sekant ja kosekant) võeti kasutusele 10. sajandil. Araabia matemaatik Abul-Wafa, kes koostas esimesed tabelid puutujate ja kotangentide leidmiseks. Need avastused jäid aga Euroopa teadlastele pikaks ajaks tundmatuks ja puutujad taasavastati 14. sajandil. algul inglise teadlane T. Braverdin ja hiljem saksa matemaatik ja astronoom Regiomontanus (1467).

Nimetus "puutuja", mis tuleneb ladinakeelsest sõnast tanger (puudutada), ilmus aastal 1583. Tangens on tõlgitud kui "puudutav" (puutuja on ühikuringi puutuja).

Kaasaegsed nimetusedarcsin ja arctg ilmuvad 1772. aastal Viini matemaatiku Scherferi ja kuulsa prantsuse teadlase Lagrange'i töödes, kuigi mõnevõrra varem oli neid käsitlenud juba erinevat sümboolikat kasutav J. Bernoulli. Kuid need sümbolid said üldtunnustatud alles 18. sajandi lõpus. Eesliide "kaar" pärineb ladina keelest arcus(vibu, kaar), mis on üsna kooskõlas mõiste tähendusega: näiteks arcsin x on nurk (ja võib öelda ka kaar), mille siinus võrdub x-ga.

Pikka aega arenes trigonomeetria geomeetria osana. Vahest suurimad stiimulid trigonomeetria arendamiseks tekkisid seoses astronoomiaülesannete lahendamisega, mis pakkusid suurt praktilist huvi (näiteks laeva asukoha määramise ülesannete lahendamiseks, varjutuste ennustamiseks jne).

Astronoomid tundsid huvi sfääriliste kolmnurkade külgede ja nurkade vahel, mis koosnevad sfääril asuvatest suurtest ringidest.

Igal juhul geomeetrilisel kujul avastasid ja taasavastasid paljud trigonomeetria valemid Vana-Kreeka, India ja Araabia matemaatikud. (Tõsi, trigonomeetriliste funktsioonide erinevuse valemid said tuntuks alles 17. sajandil – need tuletas inglise matemaatik Napier, et lihtsustada arvutusi trigonomeetriliste funktsioonidega. Ja esimene siinuslaine joonis ilmus 1634. aastal.)

C. Ptolemaiose esimese siinuste tabeli koostamine (pikka aega nimetati seda akorditabeliks) oli põhimõttelise tähtsusega: ilmus praktiline vahend mitmete rakendusprobleemide ja eelkõige astronoomiaprobleemide lahendamiseks.

Trigonomeetria tänapäevase vormi andis 18. sajandi suurim matemaatikL . Euler(1707-1783), sünnilt šveitslane, töötas aastaid Venemaal ja oli Peterburi Teaduste Akadeemia liige. Just Euler tutvustas esmakordselt trigonomeetriliste funktsioonide üldtuntud definitsioone, hakkas arvestama suvalise nurgaga funktsioone ja hankis redutseerimisvalemid. See kõik on väike osa sellest, millega Euler oma pika eluea jooksul matemaatikas hakkama sai: ta kirjutas üle 800 töö ja tõestas paljusid klassikaks saanud teoreeme, mis on seotud erinevate matemaatikavaldkondadega. (Vaatamata sellele, et Euler kaotas 1776. aastal nägemise, dikteeris ta üha uusi teoseid kuni oma viimaste päevadeni.)

Pärast Eulerit omandas trigonomeetria arvutuse vormi: erinevaid fakte hakati tõestama trigonomeetria valemite formaalse rakendamise kaudu, tõestused muutusid palju kompaktsemaks ja lihtsamaks.

Trigonomeetria ulatus hõlmab mitmesuguseid matemaatika valdkondi, mõningaid loodusteaduste ja tehnoloogia valdkondi.

Trigonomeetriat on mitut tüüpi:

Sfääriline trigonomeetria tegeleb sfääriliste kolmnurkade uurimisega.

Sirgjooneline või tasapinnaline trigonomeetria uurib tavaliselt kolmnurki.

Vana-Kreeka ja hellenistlikud teadlased arendasid trigonomeetriat märkimisväärselt. Eukleidese ja Archimedese töödes on trigonomeetria aga esitatud geomeetrilisel kujul. Akordi pikkuse teoreeme rakendatakse siinuste seadustele. Ja Archimedese akordide jagamise teoreem vastab nurkade summa ja erinevuse siinuste valemitele.

Praegu kasutavad matemaatikud tuntud teoreemide uut tähistust, näiteks sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Oletatavasti koostati esimesed trigonomeetrilised tabelid Nikaia Hipparkhos, keda peetakse õigustatult "trigonomeetria isaks". Teda tunnustatakse nurkade seeria kaare ja kõõlude suurusjärkude kokkuvõtliku tabeli loomise eest. Veelgi enam, Nikaia Hipparkhos hakkas esmakordselt kasutama 360° ringi.

Claudius Ptolemaios arendas ja laiendas oluliselt Hipparkhose õpetusi. Ptolemaiose teoreem väidab: tsüklilise nelinurga vastaskülgede korrutiste summa on võrdne diagonaalide korrutisega. Ptolemaiose teoreemi tagajärg oli siinuse ja koosinuse nelja summa- ja erinevusvalemi samaväärsuse mõistmine. Lisaks tuletas Ptolemaios poolnurga valemi. Ptolemaios kasutas kõiki oma tulemusi trigonomeetriliste tabelite koostamisel. Kahjuks pole tänapäevani säilinud ühtki autentset Hipparkhose ja Ptolemaiose trigonomeetrilist tabelit.

Trigonomeetrilised arvutused on leidnud oma rakenduse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades.
Trigonomeetria (triangulatsioonitehnika) abil saate mõõta tähtede vahelisi kaugusi, geograafia orientiiride vahel ning juhtida satelliitnavigatsioonisüsteeme.

Trigonomeetriat kasutatakse edukalt navigatsioonitehnikas, muusikateoorias, akustikas, optikas, finantsturgude analüüsis, elektroonikas, tõenäosusteoorias, statistikas, bioloogias ja meditsiinis, keemias ja arvuteoorias (krüptograafia), seismoloogias, meteoroloogias, okeanoloogias, kartograafias, topograafias ja geodeesia, arhitektuur ja foneetika, masinaehitus ja arvutigraafika e.

Trigonomeetria rakendamine füüsikas ja selle probleemid

Trigonomeetriliste võrrandite praktiline rakendamine reaalses elus

Trigonomeetriat kasutatakse paljudes valdkondades. Näiteks kasutatakse triangulatsioonimeetodit astronoomias kauguse mõõtmiseks lähedalasuvate tähtedeni, geograafias objektide vahekauguste mõõtmiseks ja satelliitnavigatsioonisüsteemides. Siinus ja koosinus on perioodiliste funktsioonide teooria põhialused, näiteks heli- ja valguslainete kirjeldamisel.

Trigonomeetriat kasutatakse astronoomias (eelkõige taevaobjektide asukohtade arvutamisel, kui on vajalik sfääriline trigonomeetria), mere- ja õhunavigatsioonis, muusikateoorias, akustikas, optikas, finantsturu analüüsis, elektroonikas, tõenäosusteoorias, statistika, bioloogia, meditsiiniline pildistamine (nt kompuutertomograafia ja ultraheli), farmaatsia, keemia, arvuteooria, meteoroloogia, okeanograafia, paljud füüsikateadused, maamõõtmine ja mõõdistamine, arhitektuur, foneetika, majandus, elektrotehnika, masinaehitus, tsiviilehitus, arvutigraafika, kartograafia, kristallograafia, mänguarendus ja paljud teised valdkonnad.

Meid ümbritsevas maailmas peame tegelema perioodiliste protsessidega, mis korduvad korrapäraste ajavahemike järel. Neid protsesse nimetatakse võnkuvateks. Erineva füüsikalise olemusega võnkumisnähtused alluvad üldistele seadustele ja neid kirjeldatakse samade võrranditega. Neid on erinevaid võnkuvate nähtuste tüübid.

Harmooniline võnkumine on mis tahes suuruse perioodilise muutumise nähtus, mille puhul sõltuvus argumendist on siinus- või koosinusfunktsiooni iseloomuga. Näiteks suurus võngub harmooniliselt ja muutub aja jooksul järgmiselt:

Kus x on muutuva suuruse väärtus, t on aeg, A on võnkumiste amplituud, ω on võnkumiste tsükliline sagedus, on võnkumiste täisfaas, r on võnkumiste algfaas.

Üldistatud harmooniline võnkumine diferentsiaalkujul x’’ + ω²x = 0.

Kivi visatakse mäe nõlvale selle pinna suhtes nurga α all. Määrata kivi lennuulatus, kui kivi algkiirus on v 0, mäe kaldenurk horisondi suhtes on β. Ignoreeri õhutakistust.

Lahendus. Kivi keerulist liikumist mööda parabooli tuleb kujutada kahe sirgjoonelise liikumise superpositsiooni tulemusena: üks piki Maa pinda, teine mööda selle normaalset.

Valime ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi, mille alguspunkt on kiviviskepunktis nii, et teljed HÄRG Ja OY langes kokku näidatud suundadega ning leiame algkiiruse v 0 ja raskuskiirenduse g vektorite komponendid piki telgesid. Nende komponentide projektsioonid teljel HÄRG Ja OY on vastavalt võrdsed:
v 0 cosα v 0 ; -g sinβ -g cosβ

Pärast seda võib keerulist liikumist pidada kaheks lihtsamaks: ühtlaselt aeglane liikumine piki Maa pinda kiirendusega g sinβ ja ühtlaselt muutuv mäe nõlvaga risti asetsev liikumine kiirendusega g cosβ.

Koostame liikumisvõrrandid iga suuna jaoks, võttes arvesse asjaolu, et kogu liikumise aja t jooksul liigub kivi mööda normaalset pinnani (piki telge). OY) osutus nulliks ja piki pinda (piki telge HÄRG) – võrdne s-ga:

Vastavalt ülesande tingimustele on meile antud v 0 , α ja β, seetõttu on koostatud võrrandites kaks tundmatut suurust s ja t1.

Esimesest võrrandist määrame kivi lennuaja:

Asendades selle avaldise teise võrrandiga, leiame:

S= v 0 cosα∙ =
=

Eeltoodud probleemi lahendust analüüsides võime järeldada, et matemaatika omab aparaati ning selle kasutamine füüsika ja matemaatika interdistsiplinaarsete seoste rakendamisel viib teadvustamiseni maailma ühtsusest ja teaduslike teadmiste integreerimisest.

Matemaatika toimib omamoodi keelena, mis on vajalik tähendusliku füüsilise teabe kodeerimiseks.

Füüsika ja matemaatika ainetevaheliste seoste kasutamine toob kaasa nende kahe teaduse võrdluse ning võimaldab tugevdada õpilaste kvaliteetset teoreetilist ja praktilist koolitust.

Kolmnurkade lahendamise vajadus avastati esmakordselt astronoomias; seetõttu arendati ja uuriti pikka aega trigonomeetriat kui üht astronoomia haru.

Hipparkhose koostatud Päikese ja Kuu positsioonide tabelid võimaldasid eelnevalt välja arvutada varjutuste alguse hetked (veaga 1-2 tundi). Hipparkhos oli esimene, kes kasutas astronoomias sfäärilise trigonomeetria meetodeid. Ta suurendas vaatluste täpsust, kasutades valgustile osutamiseks goniomeetriliste instrumentide – sekstantide ja kvadrantide – niitide risti. Teadlane koostas tohutu kataloogi nende aegade 850 tähe asukohtadest, jagades need heleduse järgi 6 kraadiks (tähesuurused). Hipparkhos võttis kasutusele geograafilised koordinaadid – laius- ja pikkuskraad ning teda võib pidada matemaatilise geograafia rajajaks. (umbes 190 eKr – umbes 120 eKr)