Õppetund "hulkade ristumine ja liit". Arvhulkade lõikepunkti ja liidu leidmine, mis on hulkade lõikepunkt

Mingi lahendus matemaatilisi probleeme paneb sind leidma arvuhulkade ristmik ja liit. Oleme juba tutvunud numbrihulkade aktsepteeritud tähistusega ning selles artiklis mõistame hoolikalt ja näidete abil, kuidas leida arvuhulkade ristmikku ja liitu. Need oskused tulevad kasuks eelkõige protsessi käigus lahendusi ebavõrdsuseleühe muutujaga ja nende süsteemid.

Leheküljel navigeerimine.

Lihtsamad juhtumid

Lihtsamate juhtumite all peame silmas numbrihulkade lõikepunkti ja liidu leidmist, mis on üksikute arvude hulk. Sellistel juhtudel piisab kasutamisest ristumiskoha ja hulkade ühenduse määratlused.

Tuletame teile seda meelde

Definitsioon.

ühendamine kaks hulka on hulk, mille iga element on mis tahes algse hulga element ja ristmik komplektid on komplekt, mis koosneb kõigist ühised elemendid originaal komplektid.

Nendest määratlustest on lihtne saada järgmised reeglid hulkade lõikepunkti ja liidu leidmiseks:

• Kahe lõpliku arvu elemente sisaldava arvulise hulga liidu moodustamiseks peate kirja panema kõik ühe hulga elemendid ja lisama neile teisest puuduvad elemendid.
• Kahe arvulise hulga ristumiskoha tegemiseks peate järjestikku võtma esimese hulga elemendid ja kontrollima, kas need kuuluvad teise hulka, moodustavad ristmiku.

Tõepoolest, esimese reegliga saadud hulk koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad vähemalt ühte alghulgast, ja on seetõttu definitsiooni järgi nende hulkade liit. Ja teise reegli järgi koostatud komplekt sisaldab kõiki alghulkade ühiseid elemente, see tähendab, et see on algsete komplektide ristumiskoht.

Vaatame edasi konkreetsed näited sätestatud reeglite rakendamine hulkade ristumiskoha ja ühenduse leidmiseks.

Näiteks oletame, et peame leidma arvuhulkade A=(3, 5, 7, 12) ja B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) ühenduse. Paneme kirja kõik elemendid, näiteks hulga A, meil on 3, 5, 7, 12 ja nendele lisame hulga B puuduvad elemendid ehk 2, 8, 11 ja 13 tulemuseks meil on numbrite komplekt (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13) . Saadud komplekti elementide tellimine ei tee haiget, saame soovitud liidu: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Nüüd leiame eelmisest näitest kahe arvulise hulga ristumiskohad A=(3, 5, 7, 12) ja B=(2, 5, 8, 11, 12, 13). Reegli järgi käime järjestikku läbi esimese hulga A elemendid ja kontrollime, kas need kuuluvad hulka B. Võtame esimese elemendi 3, see ei kuulu hulka B, seega ei ole see soovitud ristmiku element. Võtame hulga A teise elemendi, see on arv 5. See kuulub hulka B, seega kuulub ta ka hulkade A ja B ristumiskohta. Nii leitakse soovitud ristmiku esimene element - number 5. Liigume edasi hulga A kolmanda elemendi juurde, see on number 7. See ei kuulu B-sse, mis tähendab, et see ei kuulu ristmikule. Lõpuks jääb komplekti A viimane element - arv 12. See kuulub hulka B, seega on see ka ristumiselement. Seega on hulkade A=(3, 5, 7, 12) ja B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) ristumiskoht hulk, mis koosneb kahest elemendist 5 ja 12, st A∩ B = (5, 12).

Nagu märkasite, rääkisime eespool kahe arvulise hulga ristumiskoha ja ühenduse leidmisest. Mis puutub kolme või enama hulga lõikepunkti ja liitu, siis selle leidmise saab taandada kahe hulga lõikumiskoha ja ühenduse järjestikuse leidmiseni. Näiteks kolme hulga A, B ja D ristumiskoha leidmiseks võite esmalt leida A ja B lõikepunkti ning seejärel leida saadud tulemuse ristumiskoha hulgaga D. Ja nüüd konkreetselt: võtame arvude hulgad A=(3, 9, 4, 3, 5, 21), B=(2, 7, 9, 21) ja D=(7, 9, 1, 3) ja leiame nende ristmik. Meil on A∩B=(9, 21) , ja saadud hulga ja hulga D lõikepunkt on (9) . Seega A∩B∩D=(9) .

Praktikas aga kolme, nelja jne ristumiskoha leidmiseks. lihtsaimad arvuhulgad, mis koosnevad lõplik arvüksikute numbrite puhul on mugav kasutada ülaltoodud reeglitega sarnaseid reegleid.

Niisiis, selleks, et saada kolme või enama näidatud tüüpi komplekti liit, peame esimese numbrikomplekti numbritele lisama teise puuduvad numbrid, lisama kirjutatud numbritele kolmanda komplekti puuduvad numbrid, ja nii edasi. Selle punkti selgitamiseks võtame arvude hulgad A=(1, 2) , B=(2, 3) ja D=(1, 3, 4, 5) . Numbrihulga A elementidele 1 ja 2 liidame hulga B puuduva arvu 3, saame 1, 2, 3 ning nendele arvudele lisame hulga D puuduvad arvud 4 ja 5, mille tulemusena saame saame kolme vajaliku liidu: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Mis puutub kolme, nelja jne ristumiskoha leidmisse. Lõplikust arvust üksikutest numbritest koosnevate arvuliste komplektide puhul peate järjestikku läbima esimese komplekti numbrid ja kontrollima, kas kontrollitav arv kuulub igasse ülejäänud hulka. Kui jah, siis see arv on ristmiku element, kui ei, siis ei ole. Siinkohal märgime vaid, et komplekt on soovitav kaasa võtta väikseim number elemendid. Näiteks võtame neli arvulist hulka A=(3, 1, 7, 12, 5, 2) , B=(1, 0, 2, 12) , D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) ja leidke nende ristumispunkt. Ilmselt sisaldab hulk B kõige vähem elemente, nii et nelja algse hulga ristumiskoha leidmiseks võtame hulga B elemendid ja kontrollime, kas need sisalduvad ülejäänud hulkades. Niisiis, me võtame 1, see arv on nii hulga A kui ka D ja E elemendid, seega on see soovitud ristmiku esimene element. Võtame hulga B teise elemendi – see on null. See arv ei ole hulga A element, seega ei ole see ristmiku element. Kontrollime hulga B kolmandat elementi – arvu 2. See arv on kõigi teiste hulkade element, seega on see teine ​​leitud ristumiselement. Lõpuks jääb komplekti B neljas element. See arv on 12, see ei ole hulga D element, seega ei ole see soovitud ristmiku element. Selle tulemusena saame A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Koordinaadirida ja arvuintervallid nende osade ühendusena

Meie näites on meil kirjed

JA

vastavalt arvuhulkade lõikumiseks ja liitmiseks.

Järgmiseks tõmmatakse teine ​​koordinaatjoon, see on mugav paigutada olemasolevate alla. See kuvab soovitud ristmiku või ühenduse. Sellele koordinaatjoonele on märgitud kõik algsete arvhulkade piiripunktid. Sel juhul märgitakse need punktid esmalt kriipsudega, hiljem, kui nende koordinaatidega punktide olemus on selgunud, asendatakse kriipsud torgatud või punkteerimata punktidega. Meie puhul on need punktid koordinaatidega −3 ja 7.
Meil on

Ja

Algoritmi eelmises etapis alumisel koordinaatjoonel kujutatud punktid võimaldavad käsitleda koordinaatjoont hulgana numbrite intervallid ja punktid, millest me rääkisime. Meie puhul käsitleme koordinaatjoont järgmise viie arvulise hulga komplektina: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

Ja jääb üle vaid ükshaaval kontrollida, kas iga kirjapandud kogum sisaldub soovitud ristmikus või ühenduses. Kõik tehtud järeldused märgitakse samm-sammult alumisele koordinaadijoonele: kui intervall on ristumiskohas või liidus, siis selle kohale tõmmatakse luuk, kui punkt sisaldub ristumispunktis või ühenduses, siis seda tähistav tõmme on asendatakse tahke otsaga, kui see pole kaasas, siis teeme selle torgatud. Sel juhul tuleks järgida järgmisi reegleid:

• ristumiskohas sisaldub tühimik, kui see sisaldub samaaegselt nii hulgas A kui ka hulgas B (teisisõnu, kui selle pilu kohal on varjutus mõlema hulgale A ja B vastavate ülemiste koordinaatjoonte kohal);
• punkt kaasatakse lõikepunkti, kui see on samaaegselt kaasatud nii hulka A kui ka hulka B (teisisõnu, kui see punkt on mõlema arvulise hulga A ja B mis tahes intervalli läbimurdmata või sisepunkt);
• intervall kaasatakse ühendusse, kui see sisaldub vähemalt ühes hulgast A või B (teisisõnu, kui selle intervalli kohal on viiruk vähemalt ühe hulgale A ja B vastava koordinaatjoone kohal) ;
• punkt arvatakse liitu, kui see sisaldub vähemalt ühes hulgast A või B (teisisõnu, kui see punkt ei ole läbi löödud või sisemine punkt mis tahes intervall vähemalt ühest hulgast A ja B).

Lihtsamalt öeldes on arvuhulkade A ja B ristumiskoht kogumite A ja B kõigi samaaegselt viirutatud arvuvahemike ja kõigi üksikute punktide liit, mis kuuluvad korraga nii A-sse kui ka B-sse. Ja kahe numbrihulga liit on kõigi arvuliste intervallide liit, mille üle vähemalt ühel hulgal A või B on varjund, aga ka kõigi punktideta üksikute punktide liit.

Tuleme tagasi meie näite juurde. Lõpetame hulkade ristumiskoha leidmise. Selleks kontrollime järjestikku hulki (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Alustame tähega (−∞, −3), selguse huvides tõstame selle joonisel esile:

Me ei lisa seda tühimikku nõutavasse ristmikusse, kuna see ei sisaldu ei A ega B (selle pilu kohal pole varjundit). Nii et selles etapis ei märgi me oma joonisel midagi ja see säilitab oma esialgse välimuse:

Liigume edasi järgmise komplekti (−3) juurde. Arv −3 kuulub hulka B (see on läbitorkamata punkt), kuid ilmselgelt ei kuulu hulka A, seega ei kuulu ta soovitud lõikepunkti. Seetõttu teeme alumisele koordinaadijoonele punkti, mille koordinaat −3 on läbistatud:

Kontrollime järgmist komplekti (−3, 7) .

See sisaldub komplektis B (selle intervalli kohal on luuk), kuid ei sisaldu komplektis A (selle intervalli kohal pole luuki), mistõttu seda ristumiskohta ei kaasata. Seetõttu ei märgi me alumisele koordinaadireale midagi:

Liigume edasi komplekti (7). See sisaldub komplektis B (koordinaadiga punkt 7 on intervalli [−3, +∞) sisepunkt), kuid ei sisaldu komplektis A (see punkt on punkteeritud), seega ei kaasata seda soovitud hulka. ristmik. Märkige punkt koordinaadiga 7 läbitorkaks:

Jääb üle kontrollida intervalli (7, +∞) .

See sisaldub nii komplektis A kui ka komplektis B (selle pilu kohal on varjutus), seetõttu on see kaasatud ka ristmikusse. Panime sellele vahele varju:

Selle tulemusena saime alumisel koordinaatjoonel kujutise hulkade A=(7, +∞) ja B=[−3, +∞) soovitud lõikepunktist. Ilmselgelt esindab see kõigi komplekti reaalarvud, suurem kui seitse, st A∩B=(7, +∞) .

Nüüd leiame hulkade A ja B ühenduse. Alustame hulkade (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) järjestikust kontrollimist, kas need on kaasatud kahe arvulise hulga A soovitud liitu ja B.

Esimene komplekt (−∞, −3) ei sisaldu ei A-s ega B-s (selle intervalli kohal pole varjundit), seega ei kaasata seda komplekti soovitud liitu:

Hulk (−3) sisaldub komplektis B, seega kaasatakse see ka hulkade A ja B liitu:

Intervall (−3, 7) sisaldub ka B-s (selle intervalli kohal on luuk), seetõttu on see lahutamatu osa soovitud liit:

Soovitud liitu kaasatakse ka komplekt (7), kuna see sisaldub numbrite komplektis B:

Lõpuks on (7, +∞) kaasatud nii hulka A kui ka hulka B, seega kaasatakse see ka soovitud liitu:

Hulkade A ja B ühenduse saadud kujutise põhjal järeldame, et A∩B=[−3, +∞) .

Saanud mõned praktiline kogemus, saab üksikute intervallide ja numbrite ristumiskohta või ühendusse kaasamist kontrollida verbaalselt. Tänu sellele saate tulemuse väga kiiresti salvestada. Näitame, milline näeb välja näite lahendus, kui me selgitust ei anna.

Näide.

Leidke hulkade ristumiskoht ja liit A=(−∞, −15)∪(−5)∪∪(12) Ja B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Lahendus.

Kujutagem neid arvulisi komplekte koordinaatjoontel, see võimaldab meil saada pilte nende ristumiskohast ja ühendusest:

Vastus:

A∩B=(−20, −15)∪(−5)∪(2, 3) Ja A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

On selge, et õige arusaamise korral saab ülaltoodud algoritmi optimeerida. Näiteks hulkade ristumiskoha leidmisel ei pea kontrollima kõiki intervalle ja hulki, mis koosnevad üksikarvudest, millesse alghulkade piiripunktid on koordinaatjoonele jagatud. Saate piirduda ainult nende intervallide ja numbrite kontrollimisega, mis moodustavad komplekti A või B. Ülejäänud intervalle ei kaasata ristmikusse, kuna need ei kuulu ühte algsesse komplekti. Illustreerime seda näite lahenduse analüüsimisega.

Näide.

Mis on arvuhulkade A=(−2)∪(1, 5) ja B=[−4, 3] lõikepunkt?

Lahendus.

Koostame arvuhulkade A ja B geomeetrilised kujutised:

Antud hulkade piiripunktid jagavad arvujoone järgmisteks hulkadeks: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) ​​, (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

On lihtne näha, et arvulise hulga A saab äsja kirjutatud hulkadest “kokku panna”, kombineerides (−2) , (1, 3) , (3) ja (3, 5) . Hulkade A ja B ristumiskoha leidmiseks piisab, kui kontrollida, kas viimased hulgad kuuluvad hulka B. Need, mis kuuluvad B-sse, moodustavad soovitud ristmiku. Teeme vastava kontrolli.

Ilmselgelt on (−2) kaasatud hulka B (kuna punkt koordinaadiga −2 on lõigu [−4, 3] sisepunkt). Intervall (1, 3) sisaldub ka B-s (selle kohal on luuk). Hulk (3) sisaldub ka B-s (koordinaadiga punkt 3 on hulga B piir- ja läbitorkamata punkt). Ja intervall (3, 5) ei sisaldu arvulises komplektis B (selle kohal pole varjundit). Pärast joonisele tehtud järelduste märkimist saab see sellisel kujul

Seega on kahe algse arvuhulga A ja B soovitud lõikepunkt järgmiste hulkade (−2) , (1, 3) , (3) liit, mille saab kirjutada kujul (−2)∪(1, 3]). .

Vastus:

{−2}∪(1, 3] .

Jääb vaid arutleda, kuidas leida kolme ja ristmikku ning liit rohkem numbrikomplektid. Selle probleemi saab taandada kahe hulga ristumiskoha ja ühenduse järjestikuse leidmiseni: kõigepealt esimene teisega, seejärel saadud tulemus kolmandaga, seejärel saadud tulemus neljandaga jne. Või võite kasutada juba teatatud algoritmiga sarnast algoritmi. Selle ainus erinevus seisneb selles, et üksikutest numbritest koosnevate intervallide ja komplektide esinemist tuleb kontrollida mitte kahe, vaid kõigi alghulkade kaupa. Vaatleme näidet kolme hulga ristumiskoha ja ühenduse leidmisest.

Näide.

Leidke kolme arvuhulga A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) lõikekoht ja liit.

Lahendus.

Esiteks, nagu tavaliselt, kujutame arvulisi komplekte koordinaatjoontel ja nendest vasakule asetame ristumiskohta tähistava lokkis sulg ja nurksulu ühendamiseks ning allpool kujutame koordinaatjooni joontega tähistatud numbrihulkade piiripunktidega:

Seega selgub, et koordinaatjoon on esitatud arvuliste hulkadega (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) ), (40) , (40, ∞) .

Selleks alustame ristmike otsimist ja vaatame kordamööda, kas salvestatud hulgad sisalduvad igas komplektis A, B ja D. Kõik kolm algset arvulist komplekti sisaldavad intervalli (−3, 12) ja hulka (12) . Need moodustavad komplektide A, B ja D soovitud ristumiskoha. Meil on A∩B∩D=(−3, 12] .

Soovitud liit koosneb omakorda komplektidest (−∞, −3) (sisaldub A-s), (−3) (kaasas A-s), (−3, 12) (kaasas A-s), (12) ( kuuluvad kategooriasse A ), (12, 25) (kaasatud kategooriasse B ), (25) (kuuluvad kategooriasse B) ja (40) (kuuluvad kategooriasse D). Seega A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Vastus:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) ).

Kokkuvõtteks pange tähele, et arvuhulkade ristumiskoht on sageli tühi hulk. See vastab juhtudele, kui algsetes komplektides ei ole elemente, mis üheaegselt kuuluvad kõigisse.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Ükski kirjalik hulk ei kuulu samaaegselt nelja alghulga hulka, mis tähendab, et hulkade A, B, D ja E ristumiskoht on tühi hulk.

Vastus:

A∩B∩D∩E=∅.

Viited.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 9. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Mõnede matemaatiliste ülesannete lahendamine hõlmab arvuliste hulkade lõikepunkti ja liidu leidmist. Allolevas artiklis käsitleme neid toiminguid üksikasjalikult, sealhulgas konkreetseid näiteid. Omandatud oskus on rakendatav ühe muutujaga võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisel.

Lihtsamad juhtumid

Kui räägime vaadeldava teema kõige lihtsamatest juhtudest, siis peame silmas arvuhulkade, mis on üksikarvude hulk, ristumiskoha ja liidu leidmist. Sellistel juhtudel piisab ristumiskoha ja hulkade ühenduse määratluse kasutamisest.

Definitsioon 1

Kahe komplekti liit on hulk, milles iga element on ühe algse hulga element.

Hulkade ristumiskoht on komplekt, mis koosneb kõigist algsete komplektide ühistest elementidest.

Nendest määratlustest tulenevad loogiliselt järgmised reeglid:

Kahe arvulise hulga lõpliku arvu elementidega ühenduse moodustamiseks on vaja kirja panna kõik ühe hulga elemendid ja lisada neile teisest hulgast puuduvad elemendid;

Kahe arvulise hulga ristumiskoha loomiseks on vaja esimese hulga elemente ükshaaval kontrollida, kas need kuuluvad teise hulka. Need, mis osutuvad kuuluvaks mõlemasse hulka, moodustavad ristmiku.

Esimese reegli järgi saadud komplekt sisaldab kõiki elemente, mis kuuluvad vähemalt ühte algkogumitest, s.t. saab definitsiooni järgi nende komplektide liiduks.

Teise reegli järgi saadud komplekt sisaldab kõiki algsete komplektide ühiseid elemente, st. muutub algsete komplektide ristumiskohaks.

Vaatleme saadud reeglite rakendamist praktiliste näidete abil.

Näide 1

Algandmed: arvulised hulgad A = (3, 5, 7, 12) ja B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). On vaja leida alghulkade liit ja ristumiskoht.

Lahendus

1. Määratleme alghulkade ühenduse. Kirjutame üles näiteks hulga A kõik elemendid: 3, 5, 7, 12. Lisame neile hulga B puuduvad elemendid: 2, 8, 11 ja 13. Lõppkokkuvõttes on meil arvuline komplekt: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Järjestame saadud hulga elemendid ja saame soovitud ühenduse: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. Määratleme alghulkade ristumiskoha. Reegli järgi käime ükshaaval läbi kõik esimese hulga A elemendid ja kontrollime, kas need kuuluvad hulka B. Vaatleme esimest elementi - arvu 3: see ei kuulu hulka B, mis tähendab, et see ei ole soovitud ristmiku element. Kontrollime hulga A teist elementi, s.o. number 5: see kuulub hulka B, mis tähendab, et sellest saab soovitud ristmiku esimene element. Hulgi A kolmas element on arv 7. See ei ole hulga B element ja seetõttu ei ole ka ristumiskoha element. Vaatleme komplekti A viimast elementi: arvu 1. See kuulub ka hulka B ja muutub vastavalt üheks ristumiselemendiks. Seega on alghulkade ristumiskohaks hulk, mis koosneb kahest elemendist: 5 ja 12, s.o. A ∩ B = (5, 12).

Vastus: alghulkade liit – A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); alghulkade lõikepunkt - A ∩ B = (5, 12).

Kõik ülaltoodu kehtib kahe komplektiga töötamise kohta. Mis puudutab kolme või enama hulga ristumiskoha ja ühenduse leidmist, siis selle probleemi lahenduse saab taandada kahe hulga ristumiskoha ja liidu järjestikusele leidmisele. Näiteks kolme hulga A, B ja C lõikepunkti määramiseks on võimalik esmalt määrata A ja B lõikepunkt ning seejärel leida saadud tulemuse ja hulga C lõikekoht. Näidet kasutades näeb see välja järgmine: andke arvulised hulgad: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) ja C = (7, 9) , 1, 3) . Kahe esimese hulga lõikepunkt on: A ∩ B = (9, 21) ja saadud hulga lõikepunkt hulgaga A ∩ B = (9, 21). Selle tulemusena: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Kuid praktikas on kolme või enama lihtsa arvulise hulga, mis koosnevad lõplikust arvust üksikutest numbritest, ühenduse ja lõikepunkti leidmiseks mugavam rakendada ülalnimetatutega sarnaseid reegleid.

See tähendab, et kolme või enama kindlaksmääratud tüüpi komplekti liidu leidmiseks on vaja teise komplekti puuduvad elemendid lisada esimese komplekti elementidele, seejärel kolmandale jne. Selguse huvides võtame arvulised hulgad: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Esimese komplekti A elementidele lisatakse komplekti B number 3 ning seejärel komplektist C puuduvad numbrid 4 ja 5. Seega alghulkade liit: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Mis puutub kolme või enama lõplikust arvust üksikutest arvudest koosneva arvuhulga ristumiskoha leidmise ülesande lahendamiseks, siis tuleb esimese hulga arvud ükshaaval läbi käia ja samm-sammult kontrollida, kas kõnealune arv kuulub igasse ülejäänud komplekti. Selguse huvides kaaluge numbrikomplekte:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

Leiame alghulkade ristumiskoha. Ilmselt on komplektil B kõige vähem elemente, seega kontrollime neid, et teha kindlaks, kas need sisalduvad ülejäänud komplektides. Hulga B number 1 on teiste hulkade element ja seetõttu on see soovitud lõikepunkti esimene element. Hulgi B teine ​​arv – arv 0 – ei ole hulga A element ja seetõttu ei muutu sellest lõikumiselemendiks. Jätkame kontrollimist: hulga B number 2 on teiste hulkade element ja muutub ristumiskoha teiseks osaks. Lõpuks, hulga B viimane element – ​​arv 12 – ei ole hulga D element ega ka lõikeelement. Seega saame: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1 , 2 ) .

Koordinaadirida ja arvuintervallid nende osade ühendusena

Märgistame koordinaatjoonele suvaline punkt, näiteks koordinaadiga - 5, 4. Määratud punkt jagab koordinaatjoone kaheks numbriliseks intervalliks – kaheks avatud kiirteks (-∞, -5,4) ja (-5,4, +∞) ning punkt ise. On lihtne näha, et vastavalt hulkade ühenduse definitsioonile kuulub iga reaalarv liitu (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). Need. kõigi reaalarvude hulka R = (- ∞ ; + ∞) saab esitada ülaltoodud ühenduse kujul. Vastupidi, saadud liit on kõigi reaalarvude hulk.

Pange tähele, et antud punkti on võimalik kinnitada mis tahes avatud kiirte külge, siis muutub see lihtsaks numbrikiir(- ∞ , - 5 , 4 ] või [ - 5 , 4 , + ∞) . Sel juhul kirjeldatakse hulka R järgmiste ühendustega: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) või (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Sarnane arutluskäik ei kehti mitte ainult koordinaatjoone punkti suhtes, vaid ka mis tahes arvulise intervalli punkti suhtes. See tähendab, et kui me võtame mis tahes suvalise intervalli sisemise punkti, saab seda kujutada selle osade ühendusena, mis saadakse pärast jagamist antud punkt, ja mõte ise. Näiteks antakse sellesse numbrivahemikku kuuluv poolintervall (7, 32] ja punkt 13. Seejärel saab antud poolintervalli kujutada ühendusena (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) ] ja vastupidi Saame lisada arvu 13 mis tahes intervalli ja siis saab antud hulka (7 , 32 ] esitada kujul (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] või (7 , 13 ] ∪ 13). , 32 ] Võime võtta ka mitte antud poolintervalli sisepunkti ja selle lõppu (punkti koordinaadiga 32), siis võib antud poolintervalli esitada intervalli (7, 32) ühendusena. ja ühe elemendi hulk (32) Seega: (7, 32] = (7, . 32) ∪ ( 32 ) .

Teine võimalus: kui koordinaatjoonele või numbrilisele intervallile ei võeta ühte, vaid mitu punkti. Need punktid jagavad koordinaatjoone või arvulise intervalli mitmeks numbriliseks intervalliks ja nende intervallide liit moodustab algsed komplektid. Näiteks koordinaatjoone punktid on antud koordinaatidega - 6, 0, 8, mis jagab selle intervallideks: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞) . Sel juhul saab kõigi reaalarvude komplekti, mis on isikustatud koordinaatjoonega, esitada saadud intervallide ja näidatud arvude kombinatsioonina:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Hulkade ristumiskoha ja liidu leidmise teemast saab selgelt aru, kui kasutada antud hulgade kujutisi koordinaatjoonel (kui me just ei räägi kõige lihtsamatest juhtumitest, mida käsitletakse artikli alguses).

Me kaalume üldine lähenemine, mis võimaldab määrata kahe numbrihulga lõike ja liitmise tulemuse. Kirjeldame lähenemist algoritmi kujul. Vaatleme selle samme järk-järgult, viidates iga kord konkreetse näite lahendamise järgmisele etapile.

Näide 2

Algandmed: antud arvulised hulgad A = (7, + ∞) ja B = [ - 3, + ∞). On vaja leida nende hulkade ristumiskoht ja liit.

Lahendus

1. Kujutame antud arvulisi hulki koordinaatjoontel. Need tuleb asetada üksteise kohale. Mugavuse huvides on üldiselt aktsepteeritud, et antud hulkade lähtepunktid langevad kokku ja punktide asukoht üksteise suhtes säilib: iga suurema koordinaadiga punkt asub väiksema koordinaadiga punktist paremal. Veelgi enam, kui meid huvitab hulkade liit, kombineeritakse koordinaatjooned vasakul nurksulg täitematerjalid; kui sind huvitab ristmik, siis kasuta süsteemi lokkis sulgu.

Meie näites on numbriliste hulkade lõikepunkti ja liidu kirjutamiseks: ja

Joonistame veel ühe koordinaatjoone, asetades selle olemasolevate alla. Seda on vaja soovitud ristmiku või ühenduse kuvamiseks. Sellel koordinaadijoonel on tähistatud kõik algsete arvuhulkade piiripunktid: esmalt kriipsudega ja hiljem, pärast nende koordinaatidega punktide olemuse selgitamist, asendatakse kriipsud torgatud või punktita punktidega. Meie näites on need punktid koordinaatidega - 3 ja 7.

Ja

Algoritmi eelmises etapis alumisel koordinaatjoonel kujutatud punktid võimaldavad käsitleda koordinaatjoont arvuliste intervallide ja punktide kogumina (sellest rääkisime eespool). Meie näites kujutame koordinaatjoont viie arvulise hulga komplektina: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Nüüd peate ükshaaval kontrollima, kas iga salvestatud komplekt kuulub soovitud ristumiskohta või liitu. Saadud järeldused märgitakse etapiviisiliselt alumisele koordinaadijoonele: kui vahe on osa ristmikul või ühendusest, tõmmatakse selle kohale luuk. Kui punkt siseneb ristumiskohta või liitu, asendatakse tõmme pideva punktiga; kui punkt ei ole ristmiku või ühenduskoha osa, tehakse see läbi. Nendes toimingutes peate järgima järgmisi reegleid:

Lõhe muutub lõikumiskohaks, kui see on samaaegselt osa hulgast A ja hulgast B (või teisisõnu, kui selle pilu kohal on varjutus mõlemal hulki A ja B tähistaval koordinaatjoonel);

Punkt saab lõikumiskoha osaks, kui see on samaaegselt osa igast hulgast A ja B (teisisõnu, kui punkt on mõlema arvulise hulga A ja B mis tahes intervalli läbimurdmata või sisemine punkt);

Vahe muutub ühenduse osaks, kui see on osa vähemalt ühest hulgast A või B (teisisõnu, kui selle tühimiku kohal on varjutus vähemalt ühel hulka A ja B esindaval koordinaatjoonel.

Punkt saab ühenduse osaks, kui see on osa vähemalt ühest hulgast A ja B (teisisõnu, punkt on vähemalt ühe hulga A ja B mis tahes intervalli punkt- või sisepunkt) .

Lühidalt kokkuvõtvalt: arvuhulkade A ja B ristumiskoht on kogumite A ja B kõigi arvuliste intervallide ristumiskoht, mille kohal on samaaegselt varjutus, ning kõigi nii hulka A kui ka hulka B kuuluvate üksikpunktide lõikekoht. Arvhulkade A liit ja B on kõigi arvuliste intervallide liit, mille üle on varjutatud vähemalt ühes komplektis A või B, aga ka kõigis punktideta üksikutes punktides.

1. Läheme tagasi näite juurde ja defineerime antud hulkade ristumiskoha. Selleks kontrollime hulki ükshaaval: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Alustame komplektiga (- ∞, - 3), tuues selle joonisel selgelt esile:

Seda tühimikku ristumiskohta ei kaasata, kuna see ei kuulu komplekti A ega komplekti B (varjuta). Ja nii säilitab meie joonis oma esialgse välimuse:

Vaatleme järgmist komplekti (-3). Arv - 3 on osa komplektist B (mitte läbitorkatud punkt), kuid ei kuulu komplekti A ja seetõttu ei saa sellest soovitud ristmiku osa. Vastavalt sellele teeme alumisel koordinaadijoonel punkti koordinaadiga - 3:

Hindame järgmist komplekti (- 3, 7).

See on osa komplektist B (intervalli kohal on varjutus), kuid ei sisaldu komplektis A (intervalli kohal varjutust pole): seda ei kaasata soovitud ristmikule, mis tähendab, et sellele ei ilmu uusi märke alumine koordinaatjoon:

Järgmine kontrollitav komplekt on (7). See on osa hulgast B (koordinaadiga punkt 7 on intervalli [ - 3, + ∞) sisepunkt), kuid ei kuulu hulka A (punkteeritud punkt), seega kõnealune intervall ei saada soovitud ristmiku osaks. Märgistame punkti, mille koordinaat on 7:

Ja lõpuks kontrollime järelejäänud vahet (7, + ∞).

Vahe sisaldub nii komplektis A kui ka B (lõhe kohal on viirutus), seetõttu saab sellest ristmiku osa. Varjutame koha vaadeldava tühimiku kohal:

Lõppkokkuvõttes moodustati alumisel koordinaatjoonel pilt etteantud hulkade soovitud lõikepunktist. Ilmselgelt on see kõigi reaalarvude hulk rohkem numbrit 7, st: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Järgmine samm on defineerida antud hulkade A ja B liit. Kontrollime järjestikku komplekte (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞), tuvastades nende lisamise või mittekaasamise fakti soovitud liitu .

Esimene komplekt (- ∞, - 3) ei ole osa ühestki algsest komplektist A ja B (intervallide kohal pole varjundeid), seetõttu ei kaasata komplekti (- ∞, - 3) soovitud hulka liit:

Komplekt ( - 3) sisaldub komplektis B, mis tähendab, et see sisaldub komplektide A ja B soovitud ühenduses:

Hulk (- 3, 7) on komplekti B lahutamatu osa (intervalli kohal on varjutus) ja sellest saab hulk A ja B ühenduse elemendiks:

Komplekt 7 sisaldub numbrikomplektis B, seega kaasatakse see ka soovitud liitu:

Hulk (7, + ∞), olles samaaegselt nii hulga A kui ka B element, saab soovitud ühenduse teiseks osaks:

Lähtudes alghulgade A ja B ühenduse lõppkujutisest, saame: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Omades mõningaid praktilisi kogemusi ristmike ja komplektide ühenduste leidmise reeglite rakendamisel, on kirjeldatud kontrolle lihtne suuliselt läbi viia, mis võimaldab teil kiiresti üles kirjutada lõpptulemus. Me demonstreerime kl praktiline näide milline näeb välja tema lahendus ilma üksikasjalike selgitusteta.

Näide 3

Algandmed: komplektid A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) ja B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2, 3) ​∪ (17). On vaja määrata antud hulkade ristumiskoht ja liit.

Lahendus

Märgistame etteantud arvuhulgad koordinaatjoontele, et saaksime vajaliku ristmiku ja ühenduse illustratsiooni:

Vastus: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10 ) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ).

Samuti on selge, et protsessi piisava mõistmisega saab määratud algoritmi optimeerida. Näiteks ei pea te ristmiku leidmisel aega raiskama kõigi üksikuid numbreid esindavate intervallide ja komplektide kontrollimisele, piirdudes ainult nende intervallide ja arvudega, mis moodustavad hulga A või B. Muud intervallid ristmikusse ei võeta igal juhul, st To. ei kuulu originaalkomplektidesse. Illustreerime öeldut praktilise näitega.

Näide 4

Algandmed: hulgad A = ( - 2 ) ∪ [ 1 , 5 ] ja B = [ - 4 , 3 ] .

On vaja kindlaks määrata algsete komplektide ristumiskoht.

Lahendus

Esitame arvulisi hulki A ja B geomeetriliselt:

Algsete kogumite piiripunktid jagavad arvujoone mitmeks hulgaks:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

On lihtne näha, et arvulist hulka A saab kirjutada, kombineerides mõnda loetletud hulkadest, nimelt: ( - 2), (1, 3), (3) ja (3, 5). Piisab, kui kontrollida, kas need komplektid on kaasatud ka komplekti B, et leida soovitud ristmik. Need, mis kaasatakse komplekti B ja millest saavad ristumiskoha elemendid. Kontrollime.

On täiesti selge, et ( - 2) on osa hulgast B, sest punkt koordinaadiga - 2 on lõigu sisepunkt [ - 4, 3). Intervall (1, 3) ja hulk (3) sisalduvad ka komplektis B (intervalli kohal on varjutus ja punkt koordinaadiga 3 on piirjoonega ja pole komplekti B jaoks punktsioonitud). Hulk (3, 5) ei ole ristumiselement, sest ei kuulu komplekti B (selle kohal pole varjundit). Märkame kõik ülaltoodud joonisel:

Selle tulemusena saab kahe antud hulga soovitud lõikepunktiks hulkade liit, mille kirjutame järgmiselt: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] ).

Vastus: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Artikli lõpus käsitleme ka seda, kuidas lahendada mitme hulga (rohkem kui 2) ristumiskoha ja ühenduse leidmise probleem. Taandagem see, nagu varem soovitatud, vajadusele määrata kahe esimese hulga ristumiskoht ja liit, seejärel saadud tulemus kolmanda hulgaga jne. Või võite kasutada ülalkirjeldatud algoritmi selle ainsa erinevusega, et üksikuid numbreid esindavate intervallide ja komplektide esinemise kontrollimine peab toimuma mitte kahe, vaid kõigi antud komplektide kaupa. Vaatame näidet.

Näide 5

Algandmed: hulgad A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40) Vajalik on määrata antud hulkade lõikekoht ja liit.

Lahendus

Antud arvuhulgad kuvame koordinaatjoontel ja asetame nende vasakusse serva ristumiskohta tähistava lokkis sulg, samuti liitu tähistava nurksulu. Allpool kuvame joontega tähistatud arvuliste kogumite piiripunktidega koordinaatjooned:

Seega on koordinaatjoon kujutatud järgmiste hulkadega: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40) ), ( 40 ), (40 , + ∞) .

Hakkame otsima ristmikke, kontrollides vaheldumisi kirjutatud hulgasid, et näha, kas need kuuluvad igasse algsesse hulka. Kõik kolm antud komplekti sisaldavad intervalli (- 3, 12) ja hulka (- 12): neist saavad soovitud ristmiku elemendid. Seega saame: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Antud hulkade liit moodustab järgmised hulgad: (- ∞ , - 3) - hulga A element; ( - 3 ) – hulga A element; (- 3, 12) – hulga A element; ( 12 ) – hulga A element; (12, 25) – hulga B element; (25) on hulga B element ja (40) on hulga D element. Seega saame: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Vastus: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40 ).

Pange tähele ka seda, et arvuliste hulkade soovitud ristumiskoht on sageli tühi hulk. See juhtub juhtudel, kui antud komplektid ei sisalda elemente, mis kuuluvad samaaegselt kõigisse.

Näide 6

Algandmed: A = [-7, 7]; B = ( - 15 ) ∪ [ - 12 , 0) ∪ ( 5 ); D = [-15, -10] ∪ [10, + ∞); E = (0, 27). Määrake antud hulkade ristumiskoht.

Lahendus

Esitame algsed hulgad koordinaatjoontel ja nende hulkade piiripunktid lisajoonel joontega.

Märgitud punktid jagavad numbrirea komplektideks: (- ∞, - 15), (- 15), (- 15, - 12), (- 12), (- 12, - 10), (- 10), (- 10 , - 7) , ( - 7 ) , ( - 7 , 0) , ( 0 ), (0 , 5 , ( 5 ), (5 , 7) , (7 ), (7 , 10), ( 10 ), (10, 27), (27) , (27, + ∞) .

Ükski neist ei ole samaaegselt kõigi alghulkade element, seetõttu on antud hulkade ristumiskohaks tühi hulk.

Vastus: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Hulke on mugav esitada ringidena, mida nimetatakse Euleri ringideks.

Joonisel on hulkade X ja Y ristumiskoht oranžiks värvitud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ületamise teel kaks komplektid on komplekt, mis koosneb kõigist nende komplektide ühistest elementidest.

Näide:
Võtame arvud 12 ja 18. Leiame nende jagajad, tähistades kogu nende jagajate hulka vastavalt tähtedega A ja B:
A = (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Näeme, et numbritel 12 ja 18 on ühised jagajad: 1, 2, 3, 6. Tähistame need tähega C:
C = (1, 2, 3, 6).

Hulk C on hulkade A ja B ristumiskoht. Nad kirjutavad selle järgmiselt:
A ∩B=C.

Kui kahel hulgal pole ühiseid elemente, siis on nende hulkade ristumiskoht tühi paljud.
Tühja komplekti tähistatakse märgiga Ø ja kasutatakse järgmist tähistust:

X∩Y = Ø.

Ühing kaks komplekti on komplekt, mis koosneb kõigist nende komplektide elementidest.

Näiteks pöördume tagasi arvude 12 ja 18 ning nende elementide hulga A ja B juurde. Kirjutame esmalt üles hulga A elemendid, seejärel liidame neile hulga B elemendid, mida hulgas A ei ole. Saame elementide hulk, mis A-l ja B-l koos on. Tähistame seda D-tähega:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Hulk D on hulkade A ja B liit. See on kirjutatud järgmiselt:

D=A U B.

Peamised komplektidega tehtavad toimingud on lisamine (ühing), korrutamine (ristmik) ja lahutamine . Need toimingud, nagu näeme hiljem, ei ole identsed numbritega sooritatavate samanimeliste toimingutega.

Definitsioon : Ühing Kahe hulga A ja B (või summa) on hulk, mis sisaldab kõiki selliseid ja ainult selliseid elemente, mis on vähemalt ühe hulga elemendid. Hulkade A ja B ühendust tähistatakse kui A  B.

See definitsioon tähendab, et hulkade A ja B liitmine on kõigi nende elementide liitmine üheks hulgaks A  B. Kui samad elemendid sisalduvad mõlemas hulgas, siis kaasatakse need elemendid liitu ainult üks kord.

Defineeritud sarnaselt kolme ühendamine ja rohkem komplekte.

Definitsioon : Ületamise teel Kahe hulga A ja B korrutamine (või korrutamine) on hulk, mis koosneb nendest ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad samaaegselt hulka A ja hulka B. Hulkade A ja B lõikepunkti tähistatakse kui A  B.

Kolme või enama hulga ristumiskoht on defineeritud sarnaselt.

Definitsioon : Hulkade A ja B erinevus on hulk, mis koosneb nendest ja ainult nendest hulga A elementidest, mis ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B erinevust tähistatakse kui A \ B. Tehe, millega hulkade leidmist nimetatakse lahutamiseks.

Kui B  A, siis erinevust A \ B nimetatakse hulga B täienduseks hulgale A. Kui hulk B on universaalse hulga U alamhulk, siis tähistatakse B ja U komplementi, st. =U\B.

Harjutused :

Mõelge kolmele komplektile N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) ja P=(1,3,9,11). Otsi

1. A= N  M

   B=N M

   C=N P

Vastake, milliseid antud hulga tehteid tuleks kasutada allpool kirjeldatud hulgade saamiseks.

1. Arvestades: A- palju kõiki õppejõudude üliõpilased, IN– palju akadeemiliste võlgadega tudengeid. Defineeri KOOS– paljud teaduskonna edukad üliõpilased.

   Arvestades: A- teaduskonna kõigi suurepäraste üliõpilaste komplekt, IN– palju õpilasi, kellel pole akadeemilised võlad, KOOS– palju edukaid õpilasi, kellel on vähemalt üks C-klass. Defineeri D– paljud teaduskonna üliõpilased, kes saavutavad ilma C-hinneteta.

   Arvestades: U– kõigi õpperühma õpilaste kogum, A- paljud selle rühma õpilased, kes said kehalise kasvatuse läbimise, IN– paljud sama rühma õpilased, kes sooritasid edukalt isamaa ajaloo testi. Defineeri KOOS– palju õpilasi samast õpperühmast, kes on mõlemal erialal silma paistnud, D– paljud sama rühma õpilased, kes „läbi kukkusid” vähemalt ühes testis.

1. Hulkade liitumise ja ristumiskoha omadused

Hulkade ühenduse ja lõikumispunkti definitsioonidest tulenevad nende tehete omadused, mis on esitatud võrduste kujul, mis kehtivad mis tahes hulga jaoks A , B Ja KOOS .

A  B = B  A - kommutatiivne assotsiatsioon;

A  B = B  A - ristmiku kommutatiivsus;

A  (B  KOOS ) = (A  B )  KOOS - assotsiatiivsus;

A  (B  KOOS ) = (A  B )  KOOS - ristmiku assotsiatiivsus;

A  (B  KOOS ) = (A  B )  (A  KOOS) - ristmiku jaotus liidu suhtes;

A  (B  KOOS ) = (A  B )  (A  KOOS) - liidu jaotus ristmiku suhtes;

Neeldumise seadused:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Tuleb märkida, et erinevusel ei ole kommutatiivsuse ja assotsiatiivsuse omadusi, st A \ B ≠ B \ A Ja A \ (B \ KOOS ) ≠ (A \ B ) \ KOOS .

Seda saab hõlpsasti kontrollida, koostades Euleri-Venni diagramme. Paljud - mis tahes objektide kogu. Komplektid on tähistatud suurtähtedega Ladina tähestik A- alates juurde.

Z Põhilised arvulised hulgad: komplekt naturaalarvud

N ja täisarvude komplekti tähistatakse alati samade tähtedega:

juurde- naturaalarvude kogum

- täisarvude komplekt Määra element

on mis tahes objekt, mis on komplekti osa. Objekti kuulumist hulka näidatakse märgi ∈ abil. Salvestus juurde kõlab nii: 5 kuulub komplekti juurde .

või 5 - komplekti element Hulgad jagunevad lõplikeks ja lõpmatuteks. Lõplik komplekt - teatud (lõpliku) arvu elemente sisaldav hulk. Lõpmatu komplekt - lõpmatult palju elemente sisaldav komplekt. TO lõpmatute hulkadeni

võib sisaldada naturaal- ja täisarvude komplekte.

Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada = {2, 4, 6, 8}

L Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada tähendab, et paljud

koosneb neljast paarisarvust. Mõistet komplekt kasutatakse olenemata sellest, kui palju elemente see sisaldab. Kutsutakse komplekte, mis ei sisalda ühtki elementi.

tühi

Alamhulk Alamhulk

on hulk, mille kõik elemendid on teise hulga osad. Saate visuaalselt demonstreerida hulga ja selle alamhulga vahelist seost kasutades Euleri ringid . Euleri ringid on, mis aitab visualiseerida erinevate objektide, meie puhul komplektide, seoseid.

Vaatleme kahte komplekti:

Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada= (2, 4, 6, 8) ja M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Iga komplekti element Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada kuulub paljudele M, tähendab palju Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada M. Seda hulkade suhet tähistatakse märgiga ⊂:

Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada⊂M

Salvestus Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada⊂M loeb nii: palju Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada on hulga alamhulk M .

Kutsutakse komplekte, mis koosnevad samadest elementidest, sõltumata nende järjestusest võrdne ja neid tähistatakse =.

Vaatleme kahte komplekti:

Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada= (2, 4, 6) ja M = {4, 6, 2}

kuna mõlemad hulgad koosnevad samadest elementidest, siis Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada = M.

Hulkade ristumine ja liit

Kahe hulga ristumiskoht on igasse komplekti kuuluvate elementide kogum, st nende üldosa. Ristmik on tähistatud märgiga ∩.

Näiteks kui

Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada= (1, 3, 7, 11) ja M= (3, 11, 17, 19), siis Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada∩M = {3, 11}.

Salvestus Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada∩M loeb nii: hulkade ristumiskoht Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada Ja M .

Alates see näide sellest järeldub hulkade ristumiskoht on hulk, mis sisaldab ainult neid elemente, mis esinevad kõigis lõikuvates hulkades.

Kahe komplekti liit on komplekt, mis sisaldab kõiki algsete komplektide elemente ühes eksemplaris, st kui sama element on leitud mõlemas komplektis, kaasatakse see element uude komplekti ainult üks kord. Ühendust tähistatakse märgiga ∪.

Näiteks kui

Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada= (1, 3, 7, 11) ja M = {3, 11, 17, 19},

See Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Salvestus Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada∪M kõlab järgmiselt: hulkade liit Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada Ja M .

Võrdsete hulkade liitmisel võrdub liit mis tahes antud hulgaga:

Kui Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada = M, See Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada∪M = Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada Ja Hulga määratlemiseks kasutatakse lokkis sulgusid, milles elemendid on loetletud komadega eraldatuna. Näiteks salvestada∪M = M.