Korištenje metode najmanjih kvadrata za aproksimaciju. Aproksimacija izvornih podataka linearnom ovisnošću

NASTAVNI RAD

disciplina: informatika

Tema: Metoda aproksimacije funkcije najmanjih kvadrata

Uvod

1. Izjava problema

2.Formule za izračun

Izračun pomoću tablica izrađenih sredstvima Microsoft Excel

Dijagram algoritma

Izračun u MathCad-u

Rezultati dobiveni korištenjem linearne funkcije

Prikaz rezultata u obliku grafikona

Uvod

Svrha kolegija je produbiti znanja iz informatike, razviti i učvrstiti vještine rada s tabličnim procesorom Microsoft Excel i softverski proizvod MathCAD i njihova primjena za rješavanje problema pomoću računala iz predmetno područje vezano uz istraživanje.

Aproksimacija (od latinskog "approximare" - "prići bliže") - približan izraz bilo kojeg matematički objekti(na primjer, brojevi ili funkcije) preko drugih koji su jednostavniji, praktičniji za korištenje ili jednostavno poznatiji. U znanstveno istraživanje aproksimacija se koristi za opisivanje, analizu, generalizaciju i daljnju upotrebu empirijskih rezultata.

Kao što je poznato, između veličina može postojati egzaktna (funkcionalna) veza, kada jedna određena vrijednost odgovara jednoj vrijednosti argumenta, i manje precizna (korelacijska) veza, kada jedna određena vrijednost argumenta odgovara približnoj vrijednosti ili određeni skup funkcijskih vrijednosti, u jednoj ili drugoj mjeri bliskih jedna drugoj. Kada provodite znanstveno istraživanje, obrađujete rezultate promatranja ili eksperimenta, obično se morate pozabaviti drugom opcijom.

Pri proučavanju kvantitativnih ovisnosti različitih pokazatelja, čije se vrijednosti određuju empirijski, u pravilu postoji određena varijabilnost. Dijelom je određen heterogenošću proučavanih objekata nežive i, posebice, žive prirode, a dijelom je određen pogreškom opažanja i kvantitativne obrade materijala. Posljednju komponentu nije moguće uvijek u potpunosti eliminirati, već je jedino moguće minimizirati pažljivim odabirom odgovarajuće istraživačke metode i pažljivim radom. Stoga, pri izvođenju bilo kojeg istraživačkog rada, pojavljuje se problem identificiranja prave prirode ovisnosti proučavanih pokazatelja, ovaj ili onaj stupanj maskiran neuspjehom uzimanja u obzir varijabilnosti: vrijednosti. U tu svrhu koristi se aproksimacija - približan opis korelacijske ovisnosti varijabli odgovarajućom jednadžbom funkcionalne ovisnosti koja prenosi glavnu tendenciju ovisnosti (ili njezin "trend").

Pri izboru aproksimacije treba poći od konkretnog problema istraživanja. Obično, što je jednostavnija jednadžba korištena za aproksimaciju, to je rezultirajući opis odnosa približniji. Stoga je važno pročitati koliko su značajna i što uzrokuje odstupanja pojedinih vrijednosti od rezultirajućeg trenda. Kada se ovisnost opisuje empirijski određene vrijednosti možete postići puno veću točnost koristeći neke složenije, mnoge parametarska jednadžba. Međutim, nema smisla nastojati prenijeti slučajna odstupanja vrijednosti u određenim nizovima empirijskih podataka s maksimalnom točnošću. Mnogo je važnije shvatiti opći obrazac koji u ovom slučaju se najlogičnije i s prihvatljivom točnošću izražava upravo dvoparametarskom jednadžbom funkcija snage. Stoga, pri odabiru metode aproksimacije, istraživač uvijek čini kompromis: on odlučuje u kojoj je mjeri u ovom slučaju uputno i prikladno "žrtvovati" detalje i, sukladno tome, kako općenito treba izraziti ovisnost uspoređivanih varijabli. Uz identificiranje maskiranih uzoraka slučajna odstupanja empirijski podaci iz opći obrazac, aproksimacija nam također omogućuje rješavanje mnogih drugih važne zadatke: formalizirati pronađenu ovisnost; pronaći nepoznate vrijednosti zavisna varijabla interpolacijom ili, ako je prikladno, ekstrapolacijom.

U svakom zadatku formulirani su uvjeti problema, početni podaci, obrazac za izdavanje rezultata i naznačene su glavne matematičke ovisnosti za rješavanje problema. U skladu s metodom rješavanja problema razvija se algoritam rješenja koji je prikazan u grafičkom obliku.

1. Izjava problema

1. Koristeći metodu najmanjih kvadrata, aproksimirajte funkciju danu u tablici:

a) polinom prvog stupnja;

b) polinom drugog stupnja;

c) eksponencijalna ovisnost.

Za svaku ovisnost izračunajte koeficijent determinizma.

Izračunajte koeficijent korelacije (samo u slučaju a).

Za svaku ovisnost nacrtajte liniju trenda.

Koristite funkciju LINEST za izračun numeričke karakteristike ovisno o.

Usporedite svoje izračune s rezultatima dobivenim pomoću funkcije LINEST.

Zaključite koju od dobivenih formula najbolji način aproksimira funkciju.

Napišite program na jednom od programskih jezika i usporedite rezultate izračuna s gore dobivenim.

Opcija 3. Funkcija je dana u tablici. 1.

Stol 1.

xyxyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.656.432.7717.973.5542 .44 4.9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8556.945.14120.457.13275.742.088.083.0623.754.0175.085.23139. 657. 25321.43

2. Formule za izračun

Često se pri analizi empirijskih podataka javlja potreba za pronalaženjem funkcionalnog odnosa između veličina x i y, koje su dobivene kao rezultat iskustva ili mjerenja.

Xi ( neovisna varijabla) postavlja eksperimentator, a yi, zvane empirijske ili eksperimentalne vrijednosti, dobiva se kao rezultat eksperimenta.

Analitički oblik funkcionalnog odnosa koji postoji između veličina x i y obično je nepoznat, pa se postavlja praktički važan zadatak - pronaći empirijsku formulu

(gdje su parametri), čije bi se vrijednosti malo razlikovale od eksperimentalnih vrijednosti.

Prema metodi najmanjih kvadrata, najbolji su oni koeficijenti za koje je zbroj kvadrata odstupanja pronađene empirijske funkcije od postavljene vrijednosti funkcije će biti minimalne.

Korištenje nužan uvjet ekstrem funkcije nekoliko varijabli - jednakost nuli parcijalnih derivacija, pronaći skup koeficijenata koji daju minimum funkcije definirane formulom (2) i dobiti normalan sustav za određivanje koeficijenata:

Stoga se pronalaženje koeficijenata svodi na rješavanje sustava (3).

Vrsta sustava (3) ovisi o klasi empirijske formule tražimo ovisnost (1). U slučaju linearne ovisnosti sustav (3) će imati oblik:

U slučaju kvadratne ovisnosti sustav (3) će imati oblik:

U nekim slučajevima se kao empirijska formula uzima funkcija u kojoj nesigurni koeficijenti ulaze nelinearno. U ovom slučaju ponekad se problem može linearizirati, tj. svesti na linearno. Takve ovisnosti uključuju eksponencijalnu ovisnost

gdje su a1 i a2 nedefinirani koeficijenti.

Linearizacija se postiže logaritmiranjem jednakosti (6), nakon čega se dobiva relacija

Označimo i, odnosno, s i, tada se ovisnost (6) može napisati u obliku koji nam omogućuje primjenu formula (4) uz zamjenu a1 s i s.

Graf rekonstruirane funkcionalne ovisnosti y(x) na temelju rezultata mjerenja (xi, yi), i=1,2,…,n naziva se regresijska krivulja. Za provjeru slaganja konstruirane regresijske krivulje s eksperimentalnim rezultatima obično se uvode sljedeće numeričke karakteristike: koeficijent korelacije (linearna ovisnost), omjer korelacije i koeficijent determinacije.

Koeficijent korelacije je mjera linearnog odnosa između zavisnih slučajne varijable: Pokazuje koliko se dobro, u prosjeku, jedna od veličina može prikazati kao linearna funkcija druge.

Koeficijent korelacije izračunava se pomoću formule:

gdje je prosjek aritmetička vrijednost redom u x, y.

Koeficijent korelacije između slučajnih varijabli u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi 1. Što je bliži 1, to je bliži linearna veza između x i y.

U slučaju nelinearne korelacije, uvjetne prosječne vrijednosti nalaze se u blizini zakrivljene linije. U ovom slučaju preporuča se koristiti omjer korelacije kao karakteristiku jakosti veze, čija interpretacija ne ovisi o vrsti ovisnosti koja se proučava.

Omjer korelacije izračunava se pomoću formule:

gdje a brojnik karakterizira disperziju uvjetnih prosjeka oko bezuvjetnog prosjeka.

Stalno. Jednakost = odgovara slučajnim nekoreliranim vrijednostima; = ako i samo ako postoji točna funkcionalna veza između x i y. U slučaju linearne ovisnosti y o x, omjer korelacije podudara se s kvadratom koeficijenta korelacije. Vrijednost se koristi kao pokazatelj odstupanja regresije od linearne.

Omjer korelacije je mjera korelacije između y i x u bilo kojem obliku, ali ne može dati ideju o stupnju približavanja empirijskih podataka posebnom obliku. Da bismo saznali koliko točno izgrađena krivulja odražava empirijske podatke, uvodi se još jedna karakteristika - koeficijent determinacije.

gdje je Srest = - preostali iznos kvadrati, koji karakteriziraju odstupanje eksperimentalnih podataka od teoretskih. ukupno - ukupni iznos kvadrata, gdje je prosječna vrijednost yi.

Regresijska suma kvadrata koja karakterizira širenje podataka.

Što je rezidualni zbroj kvadrata manji u usporedbi s ukupni iznos kvadrati, one više vrijednosti koeficijent determinacije r2, koji pokazuje koliko je dobra jednadžba dobivena korištenjem regresijska analiza, objašnjava odnose između varijabli. Ako je jednak 1, tada postoji potpuna korelacija s modelom, tj. nema razlike između stvarnih i procijenjenih vrijednosti y. U suprotnom slučaju, ako je koeficijent determinacije 0, tada je regresijska jednadžba neuspješna u predviđanju vrijednosti y.

Koeficijent determinizma uvijek ne prelazi omjer korelacije. U slučaju kada je jednakost zadovoljena, možemo pretpostaviti da konstruirana empirijska formula najtočnije odražava empirijske podatke.

3. Izračun pomoću tablica izrađenih u programu Microsoft Excel

Za izračune je preporučljivo složiti podatke u obliku tablice 2, koristeći alate stolni procesor Microsoft Excel.

tablica 2

ABCDEFGHI10,281,050,07840,2940,0219520,0061470,082320,048790,01366120,872,870,75692,49690,6585030,5728982,1723031,0543120,917 2 5131,656,432,722510,60954,4921257,41200617,505681,8609753,07060841 , 998,963,960117,83047,88059915,6823935,48252,192774,36361352,088,084,326416,80648,99891218,7177434,957312,0893924,345935 62 ,349,115,475621,317412,812929,982249,882722,2093735,16993272,6516 , 867,022544,67918,6096349,31551118,39942,8249447,48610182,7717,977,672949,776921,2539358,87339137,8822,8887048,00170992, 83 18,998,008953,741722,6651964,14248152,0892,9439138, 331272103,0623,759,363672,67528,6526287,677222,38553,1675839,692803113,3329,4311,088998,001936,92604122,9637326,34633,382 01511,26211123,4137,4511,6281127,704539,65182135,2127435 , 47233,62300712,35445133,5542,4412,6025150,66244,73888158,823534,85013,74809113,30572143,8556,9414,8225219,21957,0666321 9, 7065843,99324,04199815,56169154,0175,0816,0801301,070864 , 4812258,56961207,2944,31855417,3174164,2386,4417,8929365,641275,68697320,15591546,6624,45945118,86348174,8390,8523,3289 43 8.8055112.6786544.23762119.4314.5092121.77948184.9299.0624, 2064487,3752119,0955585, 94982397,8864,59572622,61097195,14120,4526,4196619,113135,7967697,99533182,2414,79123524,62695205 ,23139,6527,3529730,369 5143,0557748,18113819,8324,93913925,8317215, 55187,5430,80251040, 847170,9539948,7945776,7015,23399229,04866226,32200,4539,94241266,844252,4361595,3958006,4545,3005653 3,49957236,66212,97 44,35561418,38295,40831967,4199446,4125, 36115135,70527247,13275 ,7450,83691966,026362,46712584,3914017,775,61945840,06674257,25321,4352,56252330,368381,07812762,8 1616895,165,7727841,85 2652695,932089,99453,310511850,652417,56813982, 9971327.3490.97713415.0797 S U M M S Objasnimo kako se sastavlja tablica 2.

Korak 1. U ćelije A1:A25 unosimo vrijednosti xi.

Korak 2. U ćelije B1:B25 unosimo vrijednosti yi.

Korak 3. U ćeliju C1 unesite formulu = A1^2.

Korak 4. Ova se formula kopira u ćelije C1:C25.

Korak 5. U ćeliju D1 unesite formulu = A1 * B1.

Korak 6. Ova se formula kopira u ćelije D1:D25.

Korak 7. U ćeliju F1 unesite formulu = A1^4.

Korak 8. Ova formula se kopira u ćelije F1:F25.

Korak 9. U ćeliju G1 unesite formulu = A1^2*B1.

Korak 10. Ova formula se kopira u ćelije G1:G25.

Korak 11. U ćeliju H1 unesite formulu = LN(B1).

Korak 12. Ova formula se kopira u ćelije H1:H25.

Korak 13. U ćeliju I1 unesite formulu = A1*LN(B1).

Korak 14. Ova formula se kopira u ćelije I1:I25.

Sljedeće korake izvodimo pomoću automatskog zbrajanja S .

Korak 15. U ćeliju A26 unesite formulu = SUM(A1:A25).

Korak 16. U ćeliju B26 unesite formulu = SUM(B1:B25).

Korak 17. U ćeliju C26 unesite formulu = SUM(C1:C25).

Korak 18. U ćeliju D26 unesite formulu = SUM(D1:D25).

Korak 19. U ćeliju E26 unesite formulu = SUM(E1:E25).

Korak 20. U ćeliju F26 unesite formulu = SUM(F1:F25).

Korak 21. U ćeliju G26 unesite formulu = SUM(G1:G25).

Korak 22. U ćeliju H26 unesite formulu = SUM(H1:H25).

Korak 23. U ćeliju I26 unesite formulu = SUM(I1:I25).

Aproksimirajmo funkciju linearna funkcija. Za određivanje koeficijenata koristit ćemo se sustavom (4). Koristeći zbrojeve tablice 2, koji se nalaze u ćelijama A26, B26, C26 i D26, zapisujemo sustav (4) u obliku

rješavajući koji, dobivamo i.

Sustav je riješen Cramerovom metodom. Suština toga je sljedeća. Razmotrimo sustav od n algebarskih linearne jednadžbe sa n nepoznanica:

Determinanta sustava je determinanta matrice sustava:

Označimo - determinantu koja se dobiva iz determinante sustava Δ zamjenom j-tog stupca stupcem

Dakle, linearna aproksimacija ima oblik

Sustav (11) rješavamo pomoću programa Microsoft Excel. Rezultati su prikazani u tablici 3.

Tablica 3

ABCDE282595.932089.992995.93453.310511850.653031 Inverzna matrica320.212802-0.04503a1=-88.9208133-0.045030.011736a2=44.95997

U tablici 3 u ćelijama A32:B33 zapisana je formula (=MOBR(A28:B29)).

U ćelijama E32:E33 zapisana je formula (=MULTIPLE(A32:B33),(C28:C29)).

Zatim aproksimiramo funkciju kvadratna funkcija. Za određivanje koeficijenata a1, a2 i a3 koristimo sustav (5). Koristeći zbrojeve tablice 2, koji se nalaze u ćelijama A26, B26, C26, D26, E26, F26, G26, zapisujemo sustav (5) u obliku

rješavajući koji, dobivamo a1=10,663624, i

Dakle, kvadratna aproksimacija ima oblik

Sustav (16) rješavamo pomoću programa Microsoft Excel. Rezultati su prikazani u tablici 4.

Tablica 4

ABCDEF362595,93453,31052089,993795,93453,31052417,56811850,65538453,31052417,56813982,9971327,3453940Inverzna matrica410.632687-0.3143 9 0,033846a1=10,66362442-0,314390,184534-0,021712a2=-18, 924512430,033846-0,021710,002728a3=8,0272305

U tablici 4 u ćelijama A41:C43 zapisana je formula (=MOBR(A36:C38)).

U ćelijama F41:F43 zapisana je formula (=MULTIPLE(A41:C43),(D36:D38)).

Sada aproksimirajmo funkciju eksponencijalnom funkcijom. Da bismo odredili koeficijente i, uzimamo logaritam vrijednosti i, koristeći zbrojeve tablice 2, koji se nalaze u ćelijama A26, C26, H26 i I26, dobivamo sustav

Nakon što smo riješili sustav (18), dobivamo i.

Nakon potenciranja dobivamo.

Dakle, eksponencijalna aproksimacija ima oblik

Sustav (18) rješavamo pomoću programa Microsoft Excel. Rezultati su prikazani u tablici 5.

Tablica 5

BCDEF462595.9390.977134795.93453.3105415.07974849 MATRICE KRMAČA = 0,667679 500,212802-0,04503A2 = 0,774368 51-0,0450.011736A1 = 1,94970 7

U ćelijama A50:B51 zapisana je formula (=MOBR(A46:B47)).

U ćeliji E51 zapisana je formula =EXP(E49).

Izračunajmo aritmetičku sredinu pomoću formula:

Rezultati proračuna u programu Microsoft Excel prikazani su u tablici 6.

Tablica 6

BC54Xav=3,837255Yav=83,5996

U ćeliji B54 zapisana je formula = A26/25.

U ćeliji B55 zapisana je formula = B26/25

Tablica 7

ABJKLMNO10,281,05293,645412,653676814,4365987,97624,444081,88177520,872,87239,54098,8042766517,2682774,7226,7334610,91071731 , 656,43168,78534,7838445955,147448,035726,395820,32073741, 998,96137,87433,4121485571,0770,7358817,368220,02062652,088,08132,7033,0877525703,2112,138714,2039422,82478262,349,11111, 52582,2416085548,70151,488211,4985887,99584272,6516, 8679,233251,4094444454,174178,5730,000622,83382582,7717,9770,039911,1389164307,244311,46313,4777091,73059692,8318,9965,07 4791,0144524174,4373,4915,7914362,382273103,0623,7546 , 515110,604043581,975620,344117,375498,423061113,3329,4327,474820,2572522934,346983,819852,2462113,94466123,4137,4519,71 51 10,18252129,786725,90914,090409102,2541133,5542,4411, 821040, 0824841694,113797,89844,861044143,3219143,8556,94-0,341240,000164710,7343741,750,023142342,3946154,0175,08-1,4721 90,02986 72.58358265.3212126.0007996.9257164.2386.441, 1157090,1542928 ,067872219,6288148,75781214,778174,8390,857,1981970,98565252,56831397,703245,695876,64891184,9299,0616,740 521,172456239, 0241103,718163,9776121,868195,14120,4548,00871, 6972881357, 952471,908425,17881258,6007205,23139,6578,0671,9398923141,64743,1629470,45155769,9408215,55187,54178,02912,933 68410803,6 1725,38421200,5291951,06226,32200,45290,11626,16429613654, 0227 ,28786126,28273577,409236,66212,97365,18687,968216736,76,038755767,788515795,87247,13275,74632,679910,8425336917,9319 44. 47565,1469344766,92257,25321,43811,667611,647256563,37121, 842677, 966445516,82695,932089,93830,94585,207919964427404,823786,286115678,1C u m m Preostali iznosiXY linearna.četverostruka ekspozicija

Objasnimo kako se sastavlja.

Ćelije A1:A26 i B1:B26 već su popunjene.

Korak 1. U ćeliju J1 unesite formulu = (A1-$B$54)*(B1-$B$55).

Korak 2. Ova se formula kopira u ćelije J2:J25.

Korak 3. U ćeliju K1 unesite formulu = (A1-$B$54)^2.

Korak 4. Ova formula se kopira u ćelije k2:K25.

Korak 5. U ćeliju L1 unesite formulu = (B1-$B$55)^2.

Korak 6. Ova formula se kopira u ćelije L2:L25.

Korak 7. U ćeliju M1 unesite formulu = ($E$32+$E$33*A1-B1)^2.

Korak 8. Ova formula se kopira u ćelije M2:M25.

Korak 9. U ćeliju N1 unesite formulu = ($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2.

Korak 10. Ova formula se kopira u ćelije N2:N25.

Korak 11. U ćeliju O1 unesite formulu = ($E$51*EXP($E$50*A1)-B1)^2.

Korak 12. Ova formula se kopira u ćelije O2:O25.

Sljedeće korake izvodimo pomoću automatskog zbrajanja S .

Korak 13. U ćeliju J26 unesite formulu = SUM(J1:J25).

Korak 14. U ćeliju K26 unesite formulu = SUM(K1:K25).

Korak 15. U ćeliju L26 unesite formulu = CUM(L1:L25).

Korak 16. U ćeliju M26 unesite formulu = SUM(M1:M25).

Korak 17. U ćeliju N26 unesite formulu = SUM(N1:N25).

Korak 18. U ćeliju O26 unesite formulu = SUM(O1:O25).

Izračunajmo sada koeficijent korelacije pomoću formule (8) (samo za linearnu aproksimaciju) i koeficijent determinacije pomoću formule (10). Rezultati izračuna u programu Microsoft Excel prikazani su u tablici 8.

Tablica 8

AB57 Koeficijent korelacije 0,92883358 Koeficijent determinizma (linearna aproksimacija) 0,8627325960 Koeficijent determinizma (kvadratna aproksimacija) 0,9810356162 Koeficijent determinizma (eksponencijalna aproksimacija) 0,42057863 U ćeliji E57 formula je zapisana =J26/(K26*L26)^(1/2).

U ćeliji E59 zapisana je formula = 1-M26/L26.

U ćeliji E61 zapisana je formula = 1-N26/L26.

U ćeliji E63 zapisana je formula = 1-O26/L26.

Analiza rezultata proračuna pokazuje da kvadratna aproksimacija najbolje opisuje eksperimentalne podatke.

Dijagram algoritma

Riža. 1. Dijagram algoritma za računski program.

5. Izračun u MathCadu

Linearna regresija

· linija (x, y) - vektor dva elementa (b, a) koeficijenti linearne regresije b+ax;

· x je vektor podataka stvarnog argumenta;

· y je vektor stvarnih vrijednosti podataka iste veličine.

Slika 2.

Polinomska regresija znači aproksimaciju podataka (x1, y1) polinomom k-ti stupanj Za k=i polinom je prava linija, za k=2 je parabola, za k=3 je kubna parabola itd. U pravilu, u praksi k<5.

· regresija (x,y,k) - vektor koeficijenata za konstruiranje polinomske regresije podataka;

· interp (s,x,y,t) - rezultat polinomske regresije;

· s=regresija(x,y,k);

· x je vektor podataka stvarnog argumenta, čiji su elementi poredani uzlaznim redoslijedom;

· y je vektor stvarnih vrijednosti podataka iste veličine;

· k - stupanj regresijskog polinoma (pozitivan cijeli broj);

· t je vrijednost argumenta regresijskog polinoma.

Slika 3

Osim navedenih, u Mathcad je ugrađeno još nekoliko vrsta regresije s tri parametra, čija se implementacija donekle razlikuje od gornjih opcija regresije po tome što je za njih, osim niza podataka, potrebno navesti neke početne vrijednosti. koeficijenata a, b, c. Koristite odgovarajuću vrstu regresije ako imate dobru predodžbu o tome koja vrsta ovisnosti opisuje vaš skup podataka. Kada vrsta regresije ne odražava dobro niz podataka, rezultat je često nezadovoljavajući, pa čak i vrlo različit ovisno o izboru početnih vrijednosti. Svaka od funkcija proizvodi vektor preciznih parametara a, b, c.

Rezultati dobiveni pomoću funkcije LINEST

Pogledajmo svrhu funkcije LINEST.

Ova funkcija koristi najmanje kvadrate za izračunavanje ravne linije koja najbolje odgovara danim podacima.

Funkcija vraća niz koji opisuje rezultirajući redak. Jednadžba za ravnu liniju je:

M1x1 + m2x2 + ... + b ili y = mx + b,

tablični algoritam Microsoftov softver

Za dobivanje rezultata potrebno je izraditi tabelarnu formulu koja će zauzimati 5 redaka i 2 stupca. Taj se interval može nalaziti bilo gdje na radnom listu. Tijekom tog intervala morate unijeti funkciju LINEST.

Kao rezultat, sve ćelije intervala A65:B69 trebaju biti popunjene (kao što je prikazano u tablici 9).

Tablica 9.

AV6544,95997-88,9208663,73946615,92346670,86273234,5183168144,55492369172239,227404,82

Objasnimo namjenu nekih veličina koje se nalaze u tablici 9.

Vrijednosti koje se nalaze u ćelijama A65 i B65 karakteriziraju nagib odnosno pomak - koeficijent determinacije - F-opažena vrijednost - broj stupnjeva slobode - regresijski zbroj kvadrata - rezidualni zbroj kvadrata.

Prikaz rezultata u obliku grafikona

Riža. 4. Linearni aproksimacijski graf

Riža. 5. Graf kvadratne aproksimacije

Riža. 6. Eksponencijalni fiting graf

zaključke

Izvucimo zaključke na temelju rezultata dobivenih podataka.

Analiza rezultata proračuna pokazuje da kvadratna aproksimacija najbolje opisuje eksperimentalne podatke, jer linija trenda za to najtočnije odražava ponašanje funkcije u ovom području.

Uspoređujući rezultate dobivene pomoću funkcije LINEST, vidimo da se oni u potpunosti podudaraju s gore izvedenim izračunima. To znači da su izračuni točni.

Rezultati dobiveni pomoću programa MathCad u potpunosti se podudaraju s gore navedenim vrijednostima. To ukazuje na točnost izračuna.

Bibliografija

B.P. Demidovich, I.A. Kesten. Osnove računalne matematike. M: Državna naklada fizikalne i matematičke literature.
Računalstvo: udžbenik, prir. prof. N.V. Makarova. M: Financije i statistika, 2007.
Informatika: Radionica računalne tehnike, ur. prof. N.V. Makarova. M: Financije i statistika, 2010.
V.B. Komyagin. Programiranje u Excelu korištenjem Visual Basica. M: Radio i komunikacije, 2007.
N. Nicole, R. Albrecht. Excel. Proračunske tablice. M: Ed. "ECOM", 2008.
Upute za izradu kolegija iz računarstva (za dopisne studente svih specijalnosti), ur. Zhurova G. N., Sankt-Peterburški državni hidrološki institut (TU), 2011.

Približavanje, ili aproksimacija- znanstvena metoda koja se sastoji u zamjeni nekih predmeta s drugima, u jednom ili drugom smislu bliskim izvornim, ali jednostavnijim.

Aproksimacija vam omogućuje proučavanje numeričkih karakteristika i kvalitativnih svojstava objekta, smanjujući problem na proučavanje jednostavnijih ili prikladnijih objekata (na primjer, onih čije se karakteristike lako izračunavaju ili čija su svojstva već poznata). U teoriji brojeva proučavaju se Diofantove aproksimacije, posebice aproksimacije iracionalnih brojeva racionalnim brojevima. U geometriji se razmatraju aproksimacije krivulja izlomljenim linijama. Neke su grane matematike u biti u potpunosti posvećene aproksimaciji, na primjer, teorija aproksimacije funkcija, numeričke metode analize.

U prenesenom značenju koristi se u filozofiji kao metoda aproksimacije, naznaka približne, ne-konačne prirode. Na primjer, u tom je smislu pojam "aproksimacija" aktivno koristio Søren Kierkegaard (1813.-1855.) u "Završnom neznanstvenom pogovoru..."

Ako se funkcija koristi samo za interpolaciju, tada je dovoljno točke aproksimirati polinomom, recimo, petog stupnja:

Situacija je puno kompliciranija ako gornji prirodni podaci služe kao referentne točke za identificiranje zakona promjene s poznatim rubnim uvjetima. Na primjer: i . Ovdje kvaliteta rezultata ovisi o profesionalnosti istraživača. U ovom slučaju najprikladniji zakon bi bio:

Za optimalan odabir parametara jednadžbe obično se koristi metoda najmanjih kvadrata.

Metoda najmanjih kvadrata (LSM,EngleskiObični Najmanje Trgovi , O.L.S. ) - matematička metoda koja se koristi za rješavanje različitih problema, a temelji se na minimiziranju zbroja kvadrata određenih funkcija željenih varijabli. Može se koristiti za "rješavanje" predeterminiranih sustava jednadžbi (kada broj jednadžbi premašuje broj nepoznanica), za pronalaženje rješenja u slučaju običnih (ne predeterminiranih) nelinearnih sustava jednadžbi, za aproksimaciju točkastih vrijednosti s neku funkciju. OLS je jedna od osnovnih metoda regresijske analize za procjenu nepoznatih parametara regresijskih modela iz podataka uzorka.

Ako određena fizikalna veličina ovisi o drugoj veličini, tada se ta ovisnost može proučavati mjerenjem y na različitim vrijednostima x. Kao rezultat mjerenja dobiva se niz vrijednosti:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Na temelju podataka takvog eksperimenta moguće je konstruirati graf ovisnosti y = ƒ(x). Dobivena krivulja omogućuje prosuđivanje oblika funkcije ƒ(x). Međutim, konstantni koeficijenti koji ulaze u ovu funkciju ostaju nepoznati. Mogu se odrediti metodom najmanjih kvadrata. Eksperimentalne točke u pravilu ne leže točno na krivulji. Metoda najmanjih kvadrata zahtijeva da zbroj kvadrata odstupanja eksperimentalnih točaka od krivulje, tj. 2 je bio najmanji.

U praksi se ova metoda najčešće (i najjednostavnije) koristi u slučaju linearnog odnosa, tj. Kada

y = kx ili y = a + bx.

Linearna ovisnost vrlo je raširena u fizici. Pa čak i kada je odnos nelinearan, obično pokušavaju konstruirati grafikon tako da dobiju ravnu liniju. Na primjer, ako se pretpostavi da je indeks loma stakla n povezan s valnom duljinom svjetlosti λ relacijom n = a + b/λ 2, tada se na grafu iscrtava ovisnost n o λ -2.

Razmotrite ovisnost y = kx(ravna crta koja prolazi kroz ishodište). Sastavimo vrijednost φ - zbroj kvadrata odstupanja naših točaka od ravne crte

Vrijednost φ je uvijek pozitivna i ispada da je manja što su naše točke bliže pravoj liniji. Metoda najmanjih kvadrata navodi da vrijednost za k treba odabrati tako da φ ima minimum

ili (19)

Izračun pokazuje da je srednja kvadratna pogreška u određivanju vrijednosti k jednaka

, (20) gdje je n broj mjerenja.

Razmotrimo sada malo teži slučaj, kada točke moraju zadovoljiti formulu y = a + bx(ravna linija koja ne prolazi kroz ishodište).

Zadatak je pronaći najbolje vrijednosti a i b iz dostupnog skupa vrijednosti x i, y i.

Sastavimo opet kvadratni oblik φ, jednak zbroju kvadrata odstupanja točaka x i, y i od pravca

i pronaći vrijednosti a i b za koje φ ima minimum

;

Zajedničko rješavanje ovih jednadžbi daje

(21)

Srednje kvadratne pogreške određivanja a i b su jednake

(23)

. (24)

Prilikom obrade rezultata mjerenja ovom metodom prikladno je sve podatke sažeti u tablicu u kojoj su prethodno izračunati svi iznosi uključeni u formule (19)–(24). Oblici ovih tablica dani su u primjerima u nastavku.

Primjer 1. Proučavana je osnovna jednadžba dinamike rotacijskog gibanja ε = M/J (pravac koji prolazi kroz ishodište). Pri različitim vrijednostima momenta M izmjereno je kutno ubrzanje ε određenog tijela. Potrebno je odrediti moment tromosti ovog tijela. U drugom i trećem stupcu navedeni su rezultati mjerenja momenta sile i kutne akceleracije tablica 5.

Tablica 5

Pomoću formule (19) određujemo:

Za određivanje srednje kvadratne pogreške koristimo formulu (20)

0.005775 kg-1 · m -2 .

Prema formuli (18) imamo

S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m 2 .

Postavivši pouzdanost P = 0,95, koristeći tablicu Studentovih koeficijenata za n = 5, nalazimo t = 2,78 i određujemo apsolutnu pogrešku ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m 2 .

Zapišimo rezultate u obliku:

J = (3,0 ± 0,2) kg m 2 ;

Primjer 2. Izračunajmo temperaturni koeficijent otpora metala metodom najmanjih kvadrata. Otpor linearno ovisi o temperaturi

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Slobodni član određuje otpor R 0 pri temperaturi od 0 °C, a nagib je umnožak temperaturnog koeficijenta α i otpora R 0 .

Rezultati mjerenja i proračuna dati su u tablici ( vidi tablicu 6).

Tablica 6

							(r - bt - a) 2 .10 -6

Pomoću formula (21), (22) određujemo

R 0 = ¯R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm .

Pronađimo grešku u definiciji α. Budući da , tada prema formuli (18) imamo:

Koristeći formule (23), (24) imamo

;

0.014126 Ohm.

Postavivši pouzdanost na P = 0,95, koristeći tablicu Studentovih koeficijenata za n = 6, nalazimo t = 2,57 i određujemo apsolutnu pogrešku Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 tuča -1 .

α = (23 ± 4) 10 -4 tuča-1 pri P = 0,95.

Primjer 3. Potrebno je odrediti polumjer zakrivljenosti leće pomoću Newtonovih prstenova. Izmjereni su polumjeri Newtonovih prstenova r m i određeni su brojevi tih prstenova m. Polumjeri Newtonovih prstenova povezani su s polumjerom zakrivljenosti leće R i brojem prstena jednadžbom

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

gdje je d 0 debljina razmaka između leće i planparalelne ploče (ili deformacija leće),

λ je valna duljina upadne svjetlosti.

λ = (600 ± 6) nm; r 2 m = y; m = x; λR = b; -2d 0 R = a,

tada će jednadžba poprimiti oblik y = a + bx.

Upisuju se rezultati mjerenja i proračuna tablica 7.

Tablica 7

y = r 2, 10 -2 mm 2	y - bx - a, 10 -4	(y - bx - a) 2 , 10 -6

Računamo:

1. a i b prema formulama (21), (22).

a = ¯r 2 - b¯m = (0,208548333 - 0,0594957 3,5) = 0,0003133 mm 2 .

2. Izračunajte srednje kvadratne pogreške za vrijednosti b i a pomoću formula (23), (24)

3. Uz pouzdanost od P = 0,95, koristeći tablicu Studentovih koeficijenata za n = 6, nalazimo t = 2,57 i određujemo apsolutne pogreške

Δb = 2,57 · 0,000211179 = 6·10 -4 mm 2 ;

Δa = 2,57 0,000822424 = 3 10 -3 mm 2 .

4. Zabilježite rezultate

b = (595 ± 6) 10 -4 mm 2 kod P = 0,95;

a = (0,3 ± 3)·10 -3 mm 2 kod P = 0,95;

Iz dobivenih eksperimentalnih rezultata proizlazi da, unutar pogreške ovog eksperimenta, pravac r 2 m = ƒ(m) prolazi kroz ishodište koordinata, jer ako se pogreška u vrijednosti bilo kojeg parametra pokaže usporedivom ili većom od vrijednosti parametra, to znači da je najvjerojatnije stvarna vrijednost tog parametra nula.

Pod uvjetima ovog eksperimenta, vrijednost a nije od interesa. Stoga se time više nećemo baviti.

5. Izračunajte radijus zakrivljenosti leće:

R = b / λ = 594,5 / 6 = 99,1 mm.

6. Budući da je dana sustavna pogreška za valnu duljinu, izračunajmo i sustavnu pogrešku za R pomoću formule (16), uzimajući kao sustavnu pogrešku veličine b njezinu slučajnu pogrešku Δb.

Zapisujemo konačni rezultat R = (99 ± 2) mmε ≈ 3% pri P = 0,95.

Primjer.

Eksperimentalni podaci o vrijednostima varijabli x I na dati su u tablici.

Kao rezultat njihovog poravnanja dobiva se funkcija

Korištenje metoda najmanjih kvadrata, te podatke aproksimirajte linearnom ovisnošću y=ax+b(pronađi parametre A I b). Utvrdite koja od dvije linije bolje (u smislu metode najmanjih kvadrata) usklađuje eksperimentalne podatke. Napravite crtež.

Suština metode najmanjih kvadrata (LSM).

Zadatak je pronaći koeficijente linearne ovisnosti pri kojima je funkcija dviju varijabli A I b uzima najmanju vrijednost. Odnosno dano A I b zbroj kvadrata odstupanja eksperimentalnih podataka od nađene ravne linije bit će najmanji. Ovo je cijela poanta metode najmanjih kvadrata.

Dakle, rješavanje primjera se svodi na pronalaženje ekstremuma funkcije dviju varijabli.

Izvođenje formula za određivanje koeficijenata.

Sastavlja se i rješava sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice. Određivanje parcijalnih derivacija funkcije po varijablama A I b, te izvodnice izjednačujemo s nulom.

Dobiveni sustav jednadžbi rješavamo bilo kojom metodom (npr metodom supstitucije ili Cramerova metoda) i dobiti formule za pronalaženje koeficijenata metodom najmanjih kvadrata (LSM).

S obzirom A I b funkcija uzima najmanju vrijednost. Dokaz ove činjenice je dan ispod u tekstu na kraju stranice.

To je cijela metoda najmanjih kvadrata. Formula za pronalaženje parametra a sadrži zbrojeve ,,, i parametar n- količina eksperimentalnih podataka. Preporučujemo da se vrijednosti ovih iznosa izračunaju zasebno. Koeficijent b pronađeno nakon proračuna a.

Vrijeme je da se prisjetimo izvornog primjera.

Riješenje.

U našem primjeru n=5. Ispunjavamo tablicu radi lakšeg izračunavanja iznosa koji su uključeni u formule potrebnih koeficijenata.

Vrijednosti u četvrtom retku tablice dobivene su množenjem vrijednosti 2. retka s vrijednostima 3. retka za svaki broj. ja.

Vrijednosti u petom redu tablice dobivene su kvadriranjem vrijednosti u 2. redu za svaki broj ja.

Vrijednosti u posljednjem stupcu tablice su zbrojevi vrijednosti u redovima.

Za pronalaženje koeficijenata koristimo se formulama metode najmanjih kvadrata A I b. Zamjenjujemo odgovarajuće vrijednosti iz posljednjeg stupca tablice u njih:

Stoga, y = 0,165x+2,184- željena aproksimativna ravna linija.

Ostaje otkriti koji od redaka y = 0,165x+2,184 ili bolje aproksimira izvorne podatke, odnosno daje procjenu metodom najmanjih kvadrata.

Procjena pogreške metode najmanjih kvadrata.

Da biste to učinili, morate izračunati zbroj kvadrata odstupanja izvornih podataka od ovih redaka I , manja vrijednost odgovara liniji koja bolje aproksimira izvorne podatke u smislu metode najmanjih kvadrata.

Od , zatim ravno y = 0,165x+2,184 bolje približava izvorne podatke.

Grafički prikaz metode najmanjih kvadrata (LS).

Na grafikonima se sve jasno vidi. Crvena linija je pronađena ravna linija y = 0,165x+2,184, plava linija je , ružičaste točkice su izvorni podaci.

U praksi, pri modeliranju različitih procesa - posebno ekonomskih, fizičkih, tehničkih, društvenih - naširoko se koristi jedna ili druga metoda izračunavanja približnih vrijednosti funkcija iz njihovih poznatih vrijednosti na određenim fiksnim točkama.

Ova vrsta problema aproksimacije funkcije često se javlja:

pri izradi približnih formula za izračunavanje vrijednosti karakterističnih veličina procesa koji se proučava pomoću tabličnih podataka dobivenih kao rezultat eksperimenta;

u numeričkoj integraciji, diferencijaciji, rješavanju diferencijalnih jednadžbi itd.;

ako je potrebno, izračunajte vrijednosti funkcija u srednjim točkama razmatranog intervala;

pri određivanju vrijednosti karakterističnih veličina procesa izvan razmatranog intervala, posebice pri predviđanju.

Ako za modeliranje određenog procesa određenog tablicom konstruiramo funkciju koja približno opisuje taj proces na temelju metode najmanjih kvadrata, nazvat ćemo je aproksimirajuća funkcija (regresija), a sam zadatak konstruiranja aproksimirajućih funkcija nazvat ćemo problem aproksimacije.

U ovom se članku govori o mogućnostima MS Excel paketa za rješavanje ove vrste problema, osim toga, daje metode i tehnike za konstruiranje (kreiranje) regresija za tablične funkcije (što je temelj regresijske analize).

Excel ima dvije mogućnosti za izradu regresija.

Dodavanje odabranih regresija (trendova) dijagramu izgrađenom na temelju tablice podataka za karakteristiku procesa koja se proučava (dostupno samo ako je dijagram konstruiran);

Korištenje ugrađenih statističkih funkcija Excel radnog lista, koje vam omogućuju dobivanje regresija (linija trenda) izravno iz izvorne tablice podataka.

Dodavanje linija trenda na grafikon

Za tablicu podataka koja opisuje proces i predstavljena je dijagramom, Excel ima učinkovit alat za regresijsku analizu koji vam omogućuje da:

graditi na temelju metode najmanjih kvadrata i dodati pet tipova regresija dijagramu, koji modeliraju proces koji se proučava s različitim stupnjevima točnosti;

dodati konstruiranu regresijsku jednadžbu u dijagram;

odrediti stupanj podudarnosti odabrane regresije s podacima prikazanim na grafikonu.

Na temelju podataka grafikona, Excel vam omogućuje dobivanje linearnih, polinomskih, logaritamskih, potencijskih, eksponencijalnih vrsta regresija, koje su navedene jednadžbom:

y = y(x)

gdje je x nezavisna varijabla koja često uzima vrijednosti niza prirodnih brojeva (1; 2; 3; ...) i proizvodi, na primjer, odbrojavanje vremena procesa koji se proučava (karakteristike).

1 . Linearna regresija je dobra za modeliranje karakteristika čije vrijednosti rastu ili opadaju konstantnom brzinom. Ovo je najjednostavniji model za konstrukciju procesa koji se proučava. Konstruiran je u skladu s jednadžbom:

y = mx + b

gdje je m tangens nagiba linearne regresije na x-os; b - koordinata točke presjeka linearne regresije s osi ordinata.

2 . Polinomna linija trenda korisna je za opisivanje karakteristika koje imaju nekoliko različitih ekstrema (maksimuma i minimuma). Izbor stupnja polinoma određen je brojem ekstrema karakteristike koja se proučava. Prema tome, polinom drugog stupnja može dobro opisati proces koji ima samo jedan maksimum ili minimum; polinom trećeg stupnja - ne više od dva ekstrema; polinom četvrtog stupnja - ne više od tri ekstrema itd.

U ovom slučaju, linija trenda konstruirana je u skladu s jednadžbom:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

gdje su koeficijenti c0, c1, c2,... c6 konstante čije se vrijednosti određuju tijekom konstrukcije.

3 . Logaritamska linija trenda uspješno se koristi pri modeliranju karakteristika čije se vrijednosti u početku brzo mijenjaju, a zatim se postupno stabiliziraju.

y = c ln(x) + b

4 . Linija trenda zakona snage daje dobre rezultate ako vrijednosti proučavanog odnosa karakteriziraju stalne promjene u stopi rasta. Primjer takve ovisnosti je graf jednoliko ubrzanog gibanja automobila. Ako u podacima postoje nulte ili negativne vrijednosti, ne možete koristiti liniju trenda snage.

Konstruirano u skladu s jednadžbom:

y = c xb

gdje su koeficijenti b, c konstante.

5 . Eksponencijalnu liniju trenda treba koristiti kada se stopa promjene u podacima kontinuirano povećava. Za podatke koji sadrže nulte ili negativne vrijednosti, ova vrsta aproksimacije također nije primjenjiva.

Konstruirano u skladu s jednadžbom:

y = c ebx

gdje su koeficijenti b, c konstante.

Prilikom odabira linije trenda, Excel automatski izračunava vrijednost R2, koja karakterizira pouzdanost aproksimacije: što je vrijednost R2 bliža jedinici, to linija trenda pouzdanije aproksimira proces koji se proučava. Ako je potrebno, vrijednost R2 uvijek se može prikazati na grafikonu.

Određeno formulom:

Da biste nizu podataka dodali liniju trenda:

aktivirajte grafikon na temelju niza podataka, tj. kliknite unutar područja grafikona. U glavnom izborniku pojavit će se stavka Dijagram;

nakon klika na ovu stavku na ekranu će se pojaviti izbornik u kojem treba odabrati naredbu Dodaj liniju trenda.

Iste radnje mogu se jednostavno provesti pomicanjem pokazivača miša preko grafikona koji odgovara jednoj od serija podataka i desnim klikom; U kontekstnom izborniku koji se pojavi odaberite naredbu Dodaj liniju trenda. Na zaslonu će se pojaviti dijaloški okvir Trendline s otvorenom karticom Vrsta (slika 1).

Nakon ovoga trebate:

Odaberite potrebnu vrstu linije trenda na kartici Vrsta (vrsta Linearna odabrana je prema zadanim postavkama). Za tip Polinom u polju Stupanj odredite stupanj odabranog polinoma.

1 . Polje Izgrađeno na seriji navodi sve serije podataka u dotičnom grafikonu. Da biste dodali liniju trenda određenoj seriji podataka, odaberite njezin naziv u polju Izgrađeno na seriji.

Ako je potrebno, odlaskom na karticu Parametri (slika 2) možete postaviti sljedeće parametre za liniju trenda:

promijenite naziv linije trenda u polju Naziv aproksimirajuće (izglađene) krivulje.

postavite broj razdoblja (unaprijed ili unatrag) za prognozu u polju Prognoza;

prikazati jednadžbu linije trenda u području dijagrama, za što trebate omogućiti potvrdni okvir Prikaži jednadžbu na dijagramu;

prikazati vrijednost pouzdanosti aproksimacije R2 u području dijagrama, za što treba uključiti potvrdni okvir Postavi vrijednost pouzdanosti aproksimacije na dijagram (R^2);

postavite točku sjecišta linije trenda s osi Y, za koju treba uključiti potvrdni okvir za sjecište krivulje s osi Y u točki;

Pritisnite gumb U redu za zatvaranje dijaloškog okvira.

Kako biste počeli uređivati već iscrtanu liniju trenda, postoje tri načina:

koristite naredbu Selected trend line iz izbornika Format, nakon što ste prethodno odabrali trend trend;

odaberite naredbu Format trend line iz kontekstnog izbornika koji se poziva desnim klikom na liniju trenda;

dvaput kliknite na liniju trenda.

Na ekranu će se pojaviti dijaloški okvir Trend Line Format (Slika 3), koji sadrži tri kartice: View, Type, Parameters, a sadržaj posljednja dva potpuno se podudara sa sličnim karticama dijaloškog okvira Trend Line (Slika 1). -2). Na kartici Pogled možete postaviti vrstu linije, njenu boju i debljinu.

Za brisanje linije trenda koja je već nacrtana, odaberite liniju trenda koju želite izbrisati i pritisnite tipku Delete.

Prednosti razmatranog alata za regresijsku analizu su:

relativna jednostavnost konstruiranja linije trenda na grafikonima bez stvaranja podatkovne tablice za nju;

prilično širok popis vrsta predloženih linija trenda, a ovaj popis uključuje najčešće korištene vrste regresije;

sposobnost predviđanja ponašanja procesa koji se proučava proizvoljnim (u granicama zdravog razuma) brojem koraka naprijed i unatrag;

sposobnost dobivanja jednadžbe linije trenda u analitičkom obliku;

mogućnost, ako je potrebno, dobivanja ocjene pouzdanosti aproksimacije.

Nedostaci uključuju sljedeće:

izgradnja linije trenda provodi se samo ako postoji dijagram izgrađen na nizu podataka;

proces generiranja serije podataka za karakteristiku koja se proučava na temelju jednadžbi linije trenda dobivenih za nju je donekle pretrpan: potrebne regresijske jednadžbe ažuriraju se sa svakom promjenom vrijednosti izvorne serije podataka, ali samo unutar područja grafikona , dok serija podataka formirana na temelju stare jednadžbe trenda ostaje nepromijenjena;

U izvješćima zaokretnog grafikona promjena prikaza grafikona ili pridruženog izvješća zaokretne tablice ne čuva postojeće crte trenda, što znači da prije crtanja linija trenda ili na drugi način formatirate izvješće zaokretnog grafikona, trebali biste provjeriti ispunjava li izgled izvješća potrebne zahtjeve.

Linije trenda mogu se koristiti za dopunu nizova podataka prikazanih na grafikonima kao što su grafikon, histogram, ravni nestandardizirani površinski grafikoni, stupčasti grafikoni, raspršeni grafikoni, mjehurasti grafikoni i burzovni grafikoni.

Ne možete dodavati linije trenda nizovima podataka u 3D, normaliziranim, radarskim, kružnim i kružnim grafikonima.

Korištenje ugrađenih funkcija programa Excel

Excel također ima alat za regresijsku analizu za iscrtavanje linija trenda izvan područja grafikona. Postoji niz funkcija statističkih radnih listova koje možete koristiti u tu svrhu, ali sve vam one omogućuju samo izradu linearnih ili eksponencijalnih regresija.

Excel ima nekoliko funkcija za izradu linearne regresije, posebno:

TREND;

KOSINA i USJEK.

Kao i nekoliko funkcija za konstruiranje eksponencijalne linije trenda, posebno:

LGRFPRIBL.

Treba napomenuti da su tehnike za konstruiranje regresija pomoću funkcija TREND i GROWTH gotovo iste. Isto se može reći i za par funkcija LINEST i LGRFPRIBL. Za ove četiri funkcije, stvaranje tablice vrijednosti koristi značajke programa Excel kao što su formule polja, što donekle otežava proces izgradnje regresija. Napomenimo također da se konstrukcija linearne regresije, po našem mišljenju, najlakše postiže pomoću funkcija SLOPE i INTERCEPT, pri čemu prva od njih određuje nagib linearne regresije, a druga određuje segment presječen regresijom na y-os.

Prednosti alata ugrađenih funkcija za regresijsku analizu su:

prilično jednostavan, ujednačen proces generiranja serije podataka karakteristike koja se proučava za sve ugrađene statističke funkcije koje definiraju linije trenda;

standardna metodologija za konstruiranje linija trenda na temelju generiranih serija podataka;

sposobnost predviđanja ponašanja procesa koji se proučava potrebnim brojem koraka naprijed ili natrag.

Nedostaci uključuju činjenicu da Excel nema ugrađene funkcije za stvaranje drugih (osim linearnih i eksponencijalnih) vrsta linija trenda. Ova okolnost često ne dopušta odabir dovoljno preciznog modela procesa koji se proučava, kao i dobivanje prognoza koje su bliske stvarnosti. Osim toga, kada se koriste funkcije TREND i GROWTH, jednadžbe linija trenda nisu poznate.

Treba napomenuti da autori nisu imali za cilj cjelovito prikazati tijek regresijske analize. Njegova glavna zadaća je na konkretnim primjerima pokazati mogućnosti Excel paketa pri rješavanju aproksimacijskih problema; pokazati koje učinkovite alate Excel ima za izradu regresija i predviđanja; ilustriraju kako takve probleme relativno lako može riješiti čak i korisnik koji nema opsežno znanje o regresijskoj analizi.

Primjeri rješavanja konkretnih problema

Pogledajmo rješavanje konkretnih problema pomoću navedenih Excel alata.

Problem 1

Uz tablicu podataka o dobiti autotransportnog poduzeća za 1995.-2002. morate učiniti sljedeće:

Izgradite dijagram.

Dodajte linearne i polinomske (kvadratne i kubične) linije trenda na grafikon.

Pomoću jednadžbi linije trenda dobiti tablične podatke o dobiti poduzeća za svaku liniju trenda za 1995.-2004.

Napravite prognozu dobiti poduzeća za 2003. i 2004. godinu.

Rješenje problema

U raspon ćelija A4:C11 radnog lista programa Excel unesite radni list prikazan na sl. 4.

Odabravši raspon ćelija B4:C11, gradimo dijagram.

Aktiviramo konstruirani dijagram i, prema gore opisanoj metodi, nakon odabira vrste linije trenda u dijaloškom okviru Trend Line (vidi sl. 1), dijagramu naizmjenično dodajemo linearne, kvadratne i kubične linije trenda. U istom dijaloškom okviru otvorite karticu Parametri (vidi sl. 2), u polje Naziv aproksimirajuće (izglađene) krivulje unesite naziv trenda koji se dodaje, au polje Prognoza naprijed za: razdoblja postavite vrijednost 2, jer se planira napraviti prognoza dobiti za dvije godine unaprijed. Za prikaz jednadžbe regresije i vrijednosti pouzdanosti aproksimacije R2 u području dijagrama, omogućite potvrdne okvire za prikaz jednadžbe na zaslonu i postavite vrijednost pouzdanosti aproksimacije (R^2) na dijagram. Za bolju vizualnu percepciju mijenjamo vrstu, boju i debljinu konstruiranih linija trenda, za što koristimo karticu View dijaloškog okvira Format linije trenda (vidi sl. 3). Rezultirajući dijagram s dodanim linijama trenda prikazan je na sl. 5.

Za dobivanje tabličnih podataka o dobiti poduzeća za svaku liniju trenda za 1995.-2004. Upotrijebimo jednadžbe linije trenda prikazane na sl. 5. Da biste to učinili, u ćelije raspona D3:F3 unesite tekstualne informacije o vrsti odabrane linije trenda: Linearni trend, Kvadratni trend, Kubični trend. Zatim unesite formulu linearne regresije u ćeliju D4 i pomoću markera za popunjavanje kopirajte ovu formulu s relativnim referencama na raspon ćelija D5:D13. Treba napomenuti da svaka ćelija s formulom linearne regresije iz raspona ćelija D4:D13 ima kao argument odgovarajuću ćeliju iz raspona A4:A13. Slično, za kvadratnu regresiju ispunite raspon ćelija E4:E13, a za kubičnu regresiju ispunite raspon ćelija F4:F13. Tako je sastavljena prognoza dobiti poduzeća za 2003. i 2004. godinu. koristeći tri trenda. Rezultirajuća tablica vrijednosti prikazana je na sl. 6.

Problem 2

Izgradite dijagram.

Grafikonu dodajte logaritamske, potencijske i eksponencijalne linije trenda.

Izvedite jednadžbe dobivenih linija trenda, kao i vrijednosti pouzdanosti aproksimacije R2 za svaku od njih.

Pomoću jednadžbi linije trenda dobiti tablične podatke o dobiti poduzeća za svaku liniju trenda za 1995.-2002.

Napravite prognozu dobiti poduzeća za 2003. i 2004. koristeći ove linije trenda.

Rješenje problema

Slijedeći metodologiju danu u rješavanju problema 1, dobivamo dijagram s dodanim logaritamskim, potencijskim i eksponencijalnim linijama trenda (slika 7). Zatim, koristeći dobivene jednadžbe linije trenda, ispunjavamo tablicu vrijednosti za dobit poduzeća, uključujući predviđene vrijednosti za 2003. i 2004. godinu. (slika 8).

Na sl. 5 i sl. vidljivo je da model s logaritamskim trendom odgovara najnižoj vrijednosti aproksimacijske pouzdanosti

R2 = 0,8659

Najveće vrijednosti R2 odgovaraju modelima s polinomskim trendom: kvadratni (R2 = 0,9263) i kubni (R2 = 0,933).

Problem 3

Uz tablicu podataka o dobiti autoprijevoznog poduzeća za 1995.-2002., danu u zadatku 1, morate izvršiti sljedeće korake.

Dobijte serije podataka za linearne i eksponencijalne linije trenda pomoću funkcija TREND i GROW.

Pomoću funkcija TREND i RAST napravite prognozu dobiti poduzeća za 2003. i 2004. godinu.

Konstruirajte dijagram za izvorne podatke i rezultirajuće serije podataka.

Rješenje problema

Upotrijebimo radni list za problem 1 (vidi sliku 4). Počnimo s funkcijom TREND:

odaberite raspon ćelija D4: D11, koji treba ispuniti vrijednostima funkcije TREND koje odgovaraju poznatim podacima o dobiti poduzeća;

Pozovite naredbu Function iz izbornika Insert. U dijaloškom okviru čarobnjaka za funkcije koji se pojavi odaberite funkciju TREND iz kategorije Statistika, a zatim kliknite gumb U redu. Ista se operacija može izvesti klikom na gumb (Umetni funkciju) na standardnoj alatnoj traci.

U dijaloškom okviru Argumenti funkcije koji se pojavi unesite raspon ćelija C4:C11 u polje Known_values_y; u polju Poznate_vrijednosti_x - raspon ćelija B4:B11;

Kako bi unesena formula postala formula polja, upotrijebite kombinaciju tipki + + .

Formula koju smo unijeli u traku formule izgledat će ovako: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).

Kao rezultat toga, raspon ćelija D4:D11 ispunjen je odgovarajućim vrijednostima funkcije TREND (slika 9).

Izraditi prognozu dobiti poduzeća za 2003. i 2004. godinu. potrebno:

odaberite raspon ćelija D12:D13 gdje će se unijeti vrijednosti predviđene funkcijom TREND.

pozovite funkciju TREND i u dijaloškom okviru Function Arguments koji se pojavi unesite u polje Known_values_y - raspon ćelija C4:C11; u polju Poznate_vrijednosti_x - raspon ćelija B4:B11; a u polju Nove_vrijednosti_x - raspon ćelija B12:B13.

pretvorite ovu formulu u formulu polja pomoću kombinacije tipki Ctrl + Shift + Enter.

Unesena formula izgledat će ovako: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), a raspon ćelija D12:D13 popunit će se predviđenim vrijednostima funkcije TREND (vidi sl. 9).

Niz podataka se na sličan način popunjava pomoću funkcije GROWTH, koja se koristi u analizi nelinearnih ovisnosti i radi na potpuno isti način kao i njen linearni pandan TREND.

Slika 10 prikazuje tablicu u načinu prikaza formule.

Za početne podatke i dobivene serije podataka, dijagram prikazan na Sl. jedanaest.

Problem 4

Uz tablicu podataka o primitku zahtjeva za usluge od strane dispečerske službe autoprijevoznika za razdoblje od 1. do 11. tekućeg mjeseca, morate izvršiti sljedeće radnje.

Dohvaćanje serije podataka za linearnu regresiju: pomoću funkcija SLOPE i INTERCEPT; pomoću funkcije LINEST.

Pribavite niz podataka za eksponencijalnu regresiju pomoću funkcije LGRFPRIBL.

Koristeći navedene funkcije napravite prognozu zaprimanja zahtjeva u dispečersku službu za razdoblje od 12. do 14. u tekućem mjesecu.

Napravite dijagram za izvornu i primljenu seriju podataka.

Rješenje problema

Imajte na umu da, za razliku od funkcija TREND i GROWTH, nijedna od gore navedenih funkcija (SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) nije regresija. Ove funkcije igraju samo pomoćnu ulogu, određujući potrebne regresijske parametre.

Za linearne i eksponencijalne regresije izgrađene pomoću funkcija SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB, izgled njihovih jednadžbi je uvijek poznat, za razliku od linearnih i eksponencijalnih regresija koje odgovaraju funkcijama TREND i GROWTH.

1 . Izgradimo linearnu regresiju s jednadžbom:

y = mx+b

pomoću funkcija SLOPE i INTERCEPT, pri čemu je regresijski nagib m određen funkcijom SLOPE, a slobodni član b funkcijom INTERCEPT.

Da bismo to učinili, provodimo sljedeće radnje:

unesite izvornu tablicu u raspon ćelija A4:B14;

vrijednost parametra m bit će određena u ćeliji C19. Odaberite funkciju Slope iz Statističke kategorije; unesite raspon ćelija B4:B14 u polje poznate_vrijednosti_y i raspon ćelija A4:A14 u polje poznate_vrijednosti_x. Formula će biti upisana u ćeliju C19: =NAGIB(B4:B14,A4:A14);

Sličnom tehnikom određuje se vrijednost parametra b u ćeliji D19. A njegov sadržaj će izgledati ovako: =SEGMENT(B4:B14,A4:A14). Dakle, vrijednosti parametara m i b potrebne za konstrukciju linearne regresije bit će pohranjene u ćelijama C19, odnosno D19;

Zatim unesite formulu linearne regresije u ćeliju C4 u obliku: =$C*A4+$D. U ovoj formuli ćelije C19 i D19 ispisane su apsolutnim referencama (adresa ćelije se ne smije mijenjati tijekom eventualnog kopiranja). Apsolutni referentni znak $ može se upisati s tipkovnice ili pomoću tipke F4, nakon postavljanja kursora na adresu ćelije. Koristeći ručicu za punjenje, kopirajte ovu formulu u raspon ćelija C4:C17. Dobivamo potrebne serije podataka (slika 12). Zbog činjenice da je broj zahtjeva cijeli broj, trebate postaviti format broja s brojem decimalnih mjesta na 0 na kartici Broj u prozoru Format ćelije.

2 . Izgradimo sada linearnu regresiju danu jednadžbom:

y = mx+b

pomoću funkcije LINEST.

Za ovo:

Unesite funkciju LINEST kao formulu polja u raspon ćelija C20:D20: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Kao rezultat dobivamo vrijednost parametra m u ćeliji C20, a vrijednost parametra b u ćeliji D20;

unesite formulu u ćeliju D4: =$C*A4+$D;

kopirajte ovu formulu pomoću markera za popunjavanje u raspon ćelija D4:D17 i dobijete željenu seriju podataka.

3 . Gradimo eksponencijalnu regresiju pomoću jednadžbe:

pomoću funkcije LGRFPRIBL izvodi se na sličan način:

U raspon ćelija C21:D21 unosimo funkciju LGRFPRIBL kao formulu polja: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). U ovom slučaju, vrijednost parametra m bit će određena u ćeliji C21, a vrijednost parametra b bit će određena u ćeliji D21;

formula se unosi u ćeliju E4: =$D*$C^A4;

korištenjem markera za popunjavanje, ova se formula kopira u raspon ćelija E4:E17, gdje će se nalaziti serija podataka za eksponencijalnu regresiju (vidi sliku 12).

Na sl. Slika 13 prikazuje tablicu u kojoj možete vidjeti funkcije koje koristimo s potrebnim rasponima ćelija, kao i formule.

Veličina R 2 nazvao koeficijent odlučnosti.

Zadatak konstruiranja regresijske ovisnosti je pronaći vektor koeficijenata m modela (1) pri kojem koeficijent R poprima najveću vrijednost.

Za procjenu značajnosti R koristi se Fisherov F test izračunat pomoću formule

Gdje n- veličina uzorka (broj pokusa);

k je broj koeficijenata modela.

Ako F prijeđe neku kritičnu vrijednost za podatke n I k i prihvaćenu vjerojatnost pouzdanosti, tada se vrijednost R smatra značajnom. Tablice kritičnih vrijednosti F dane su u referentnim knjigama o matematičkoj statistici.

Dakle, značaj R je određen ne samo njegovom vrijednošću, već i omjerom između broja eksperimenata i broja koeficijenata (parametara) modela. Doista, omjer korelacije za n=2 za jednostavan linearni model jednak je 1 (jedna ravna linija uvijek se može povući kroz 2 točke na ravnini). Međutim, ako su eksperimentalni podaci slučajne varijable, takvoj vrijednosti R treba vjerovati s velikim oprezom. Obično, za dobivanje značajnog R i pouzdane regresije, nastoje osigurati da broj eksperimenata značajno premašuje broj koeficijenata modela (n>k).

Za konstruiranje linearne regresijski model potrebno:

1) pripremite popis od n redaka i m stupaca koji sadrže eksperimentalne podatke (stupac koji sadrži izlaznu vrijednost Y mora biti prvi ili zadnji na popisu); Na primjer, uzmimo podatke iz prethodnog zadatka, dodamo stupac pod nazivom "Br. razdoblja", numeriramo brojeve razdoblja od 1 do 12. (to će biti vrijednosti x)

2) idite na izbornik Podaci/Analiza podataka/Regresija

Ako nedostaje stavka "Analiza podataka" u izborniku "Alati", trebali biste otići na stavku "Dodaci" u istom izborniku i potvrditi okvir "Paket analize".

3) u dijaloškom okviru "Regresija" postavite:

· ulazni interval Y;

· ulazni interval X;

· izlazni interval - gornja lijeva ćelija intervala u koji će se smjestiti rezultati izračuna (preporuča se smjestiti ih na novi radni list);

4) kliknite "U redu" i analizirajte rezultate.

Izjava problema aproksimacije korištenjem najmanjih kvadrata. Uvjeti za najbolju aproksimaciju.

Ako je skup eksperimentalnih podataka dobiven sa značajnom greškom, tada interpolacija ne samo da nije potrebna, nego je i nepoželjna! Ovdje je potrebno konstruirati krivulju koja bi reproducirala graf izvornog eksperimentalnog uzorka, tj. bio što bliži eksperimentalnim točkama, ali bi u isto vrijeme bio neosjetljiv na slučajna odstupanja izmjerene vrijednosti.

Predstavimo se kontinuirana funkcija φ(x) za aproksimaciju diskretne ovisnosti f(x ja ) , i = 0… n. Pretpostavit ćemo da φ(x) građena prema stanju najbolja kvadratna aproksimacija, Ako

. (1)

Težina ρ Za ja-bodovi daju značenje točnosti mjerenja dana vrijednost: više ρ , što je bliže aproksimirajuća krivulja "privučena" danoj točki. U nastavku ćemo pretpostaviti zadano ρ = 1 za sve točke.

Razmotrite slučaj linearna aproksimacija:

φ(x) = c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + … + c m φ m (x), (2)

Gdje φ 0 …φ m– proizvoljno osnovne funkcije, c 0 …c m– nepoznati koeficijenti, m < n. Ako uzmemo broj koeficijenata aproksimacije jednak brojučvorova, tada će se aproksimacija srednjeg kvadrata podudarati s Lagrangeovom interpolacijom, dok, ako se računska pogreška ne uzme u obzir, Q = 0.

Ako je poznata pogreška eksperimentalnog (početnog) podatka ξ , zatim izbor broja koeficijenata, odnosno vrijednosti m, određuje se uvjetom:

Drugim riječima, ako , broj koeficijenata aproksimacije nije dovoljan za ispravnu reprodukciju grafa eksperimentalna ovisnost. Ako , mnogi koeficijenti u (2) neće imati fizičko značenje.

Za rješavanje problema linearne aproksimacije u opći slučaj potrebno je pronaći uvjete minimuma zbroja kvadrata odstupanja za (2). Problem nalaženja minimuma može se svesti na problem nalaženja korijena sustava jednadžbi, k = 0…m. (4) .

Zamjena (2) u (1) i zatim izračunavanje (4) u konačnici će dovesti do sljedeći sustav linearni algebarski jednadžbe:

Zatim biste trebali riješiti rezultirajući SLAE s obzirom na koeficijente c 0 …c m. Za rješavanje SLAE obično se sastavlja proširena matrica koeficijenata koja se naziva Gram matrica, čiji su elementi točkasti proizvodi osnovne funkcije i stupac slobodnih koeficijenata:

Gdje , , j = 0… m, k = 0…m.

Nakon korištenja, na primjer, Gaussove metode, nalaze se koeficijenti c 0 …c m, možete izgraditi aproksimirajuću krivulju ili izračunati koordinate dana točka. Time je problem aproksimacije riješen.

Aproksimacija kanonskim polinomom.

Izaberimo bazne funkcije u obliku niza potencija argumenta x:

φ 0 (x) = x 0 = 1; φ 1 (x) = x 1 = x; φm(x) = x m, m < n.

Proširena Gram matrica za osnovu snage izgledala bi ovako:

Osobitost izračuna takve matrice (kako bi se smanjio broj izvršenih radnji) je u tome što je potrebno brojati samo elemente prvog retka i zadnja dva stupca: preostali elementi se popunjavaju pomicanjem prethodnog retka (s iznimka zadnja dva stupca) jednu poziciju ulijevo. U nekim programskim jezicima gdje ne postoji brzi postupak za stepenovanje, algoritam za izračunavanje Gramove matrice, prikazan u nastavku, je koristan.

Odabir baznih funkcija u obliku potencija x nije optimalan sa stajališta postizanja najmanje greške. Ovo je posljedica neortogonalnost odabrane osnovne funkcije. Vlasništvo ortogonalnost je da za svaki tip polinoma postoji segment [ x 0 , x n], na kojoj skalarni produkti polinoma različitih redova nestaju:

, j ≠ k, ρ– neka funkcija težine.

Kada bi bazne funkcije bile ortogonalne, tada bi svi nedijagonalni elementi Gramove matrice bili blizu nule, što bi povećalo točnost izračuna, inače kada determinanta Gramove matrice vrlo brzo teži nuli, tj. sustav postaje loše uvjetovan.

Aproksimacija ortogonalnim klasičnim polinomima.

Donji polinomi se odnose na Jacobijevi polinomi, imaju svojstvo ortogonalnosti u gore opisanom smislu. Odnosno postići visoka preciznost izračuna, preporuča se odabrati bazne funkcije za aproksimaciju u obliku ovih polinoma.

Aproksimacija (od latinskog "približno" - "približiti se") je približan izraz bilo kojeg matematičkog objekta (na primjer, brojeva ili funkcija) kroz druge koji su jednostavniji, praktičniji za korištenje ili jednostavno poznatiji. U znanstvenom istraživanju aproksimacija se koristi za opisivanje, analizu, generalizaciju i daljnju upotrebu empirijskih rezultata.

Kao što je poznato, egzaktna (funkcionalna) veza između veličina može postojati kada jedna vrijednost argumenta odgovara jednoj određenoj vrijednosti.

Pri izboru aproksimacije treba poći od konkretnog problema istraživanja. Obično, što je jednostavnija jednadžba korištena za aproksimaciju, to je rezultirajući opis odnosa približniji. Stoga je važno pročitati koliko su značajna i što uzrokuje odstupanja pojedinih vrijednosti od rezultirajućeg trenda. Pri opisivanju ovisnosti empirijski određenih vrijednosti puno veća točnost može se postići nekom složenijom, višeparametarskom jednadžbom. Međutim, nema smisla nastojati prenijeti slučajna odstupanja vrijednosti u određenim nizovima empirijskih podataka s maksimalnom točnošću. Pri odabiru aproksimacijske metode istraživač uvijek čini kompromis: on odlučuje u kojoj je mjeri u ovom slučaju uputno i prikladno „žrtvovati“ detalje i, sukladno tome, kako općenito treba izraziti ovisnost uspoređivanih varijabli. Uz identificiranje obrazaca maskiranih slučajnim odstupanjima empirijskih podataka od općeg uzorka, aproksimacija također omogućuje rješavanje mnogih drugih važnih problema: formaliziranje pronađene ovisnosti; pronaći nepoznate vrijednosti zavisne varijable interpolacijom ili, ako je prikladno, ekstrapolacijom.

Svrha ovog kolegija je proučavanje teorijske osnove aproksimacija tablične funkcije metodom najmanjih kvadrata i korištenje teorijsko znanje, pronalaženje aproksimirajućih polinoma. Pronalaženje aproksimirajućih polinoma u okviru ovog kolegija trebalo bi se izvesti pisanjem programa u Pascalu koji implementira razvijeni algoritam za pronalaženje koeficijenata aproksimativnog polinoma, te rješavanje istog problema korištenjem MathCad-a.

U ovom kolegiju program na jeziku Pascal razvijen je u ljusci PascalABC verzije 1.0 beta. Problem je riješen u MathCad okruženju koristeći Mathcad verziju 14.0.0.163.

Formulacija problema

U ovom tečaju morate ispuniti sljedeće:

1. Razviti algoritam za pronalaženje koeficijenata triju aproksimirajućih polinoma (polinoma) oblika

za tabličnu funkciju y=f(x):

za stupanj polinoma n=2, 4, 5.

2. Konstruirajte blok dijagram algoritma.

3. Napravite program u Pascalu koji implementira razvijeni algoritam.

5. Konstruirajte grafove 3 dobivene aproksimativne funkcije u jednom koordinatnom sustavu. Graf također mora sadržavati početne točke (X ja , y i ) .

6. Riješite problem koristeći MathCAD.

Rezultate rješavanja problema korištenjem izrađenog programa u jeziku Pascal iu MathCAD okruženju potrebno je prikazati u obliku triju polinoma konstruiranih pomoću pronađenih koeficijenata; tablicu koja sadrži vrijednosti funkcije u točkama xi i standardne devijacije dobivene pomoću pronađenih polinoma.

Konstrukcija empirijskih formula metodom najmanjih kvadrata

Vrlo često, posebno pri analizi empirijskih podataka, postoji potreba da se eksplicitno pronađe funkcionalni odnos između vrijednosti x i y, koje su dobivene kao rezultat mjerenja.

U analitičkoj studiji odnosa između dviju veličina x i y, provodi se niz promatranja, a rezultat je tablica vrijednosti:

x			¼		¼
g			¼		¼

Ova se tablica obično dobiva kao rezultat nekih pokusa u kojima