Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija Rad je dostupan u kartici "Datoteke rada" u PDF formatu

1. Uvod

U daljinu povijesna vremena osoba je morala postupno shvaćati ne samo umijeće brojanja, već i mjerenja. Izrađujući najjednostavnije alate, gradeći nastambe, dobivajući hranu, postaje potrebno mjeriti udaljenosti, a zatim površine, kapacitete, masu, vrijeme. Naš predak je imao samo svoju visinu, duljinu ruku i nogu. Ako se pri brojanju osobe

za mjerenje udaljenosti koristili su se prsti na rukama i nogama, zatim ruke i noge.

Danas, bez oklijevanja, radimo izračune u metrima, centimetrima, kilometrima itd. Zgodno je, jedan sustav Mjerenje odgovara gotovo svima. Ali, naravno, nije uvijek bilo tako. Počevši od davnih vremena poganstva, pa sve do 19. stoljeća, naši su preci koristili druge mjere i jedinice. Nerijetko čujemo riječi: inč, sazhen, ali ne znamo koliko se to prevodi u jedinice duljine koje su nam poznate.

Relevantnost odabrane teme: Zainteresirale su me "neobične" mjere duljine, koje su se više puta spominjale u književna djela(inč u djelu G.H. Andersena, sazhen na ruskom Narodne priče i tako dalje.). I odlučio sam naučiti više o tim mjerama i utvrditi odnos između starih i novih mjernih sustava.

Svrha studije: istražiti berba mjera duljine, usporedite ih s novim mjernim sustavom

Hipoteza: je li moguće u današnje vrijeme koristiti stare mjere za duljinu, koliko su točne i savršene.

Predmet proučavanja: stare ruske mjere za duljinu.

Zadaci:

Upoznati mjerni sustav koji je postojao prije, - utvrditi odnos između starog i novog mjernog sustava;

Pratiti odraz starih mjera u ruskom folkloru.

Metode istraživanja:

Analiza korištene literature;- praktični rad(mjerenje udaljenosti, visine, visine, duljine, u starim jedinicama);

Traženje informacija na globalnom internetu;

Savjeti specijalista matematike.

2.Glavni dio

Čovjek je od davnina uvijek bio mjera dužine i težine: koliko će ispružiti ruku, koliko može podići na ramena itd.

Sustav drevnih ruskih mjera duljine uključivao je sljedeće glavne mjere: verst, sazhen, aršin, lakat, pedalj i vershok.

2.1 Aršin

Aršin je stara ruska mjera za duljinu (od perzijske riječi "arš" - "lakat"), koja je iznosila 71 cm, a mjeri se od srednjeg prsta do ramena. Otuda i izreka "Svojim aršinom mjeri". Aršin je bio podijeljen na 16 inča. Kada su govorili o visini osobe, samo su naznačili koliko veršoka prelazi 2 aršina. Prema tome, riječi "čovjek visok 12 inča" značile su da je njegova visina bila 2 aršina 12 inča, to jest 196 cm, 3 aršina bila su sazhen. Aršin se nazivao i mjerno ravnalo, na koje su se obično stavljale podjele u veršocima.

Jesti razne verzije podrijetlo aršinske mjere za duljinu. Možda je izvorno "aršin" označavao duljinu ljudskog koraka (oko sedamdeset centimetara, kada se hoda po ravnici, prosječnim tempom) i bio je osnovna vrijednost za druge velike mjere za određivanje duljine, udaljenosti (sazhen, verst). Korijen "AR" u riječi a r sh i n - in staroruski(a kod drugih susjednih) znači "ZEMLJA", "površina zemlje" i ukazuje da bi se ovom mjerom mogla odrediti dužina pješačkog puta. Postojao je još jedan naziv za ovu mjeru KORAK.

Trgovci, koji su prodavali robu, u pravilu su je mjerili vlastitim aršinom (ravnalom) ili su je brzo mjerili "s ramena". Da biste izbjegli mjerenje,

vlasti su kao standard uvele "državni aršin", koji je drveni lenjir, na čijim su krajevima zakovani metalni vrhovi s državnim žigom. KORAK - prosječna duljina ljudskog koraka = 71 cm.Jedna od najstarijih mjera za duljinu.

"Svaki trgovac mjeri svojim aršinom" - o osobi koja sve prosuđuje sama, na temelju svojih interesa, svaki trgovac mjeri svojih 71 cm.

2.2. Verst

Versta - od riječi vrtiti, stare ruske putne mjere (njen rani naziv- "polje""). Tom se riječju izvorno nazivala udaljenost prijeđena od jednog do drugog okreta pluga tijekom oranja. Ta dva naziva dugo su se koristila paralelno, kao sinonimi. Poznati spomeni u pisani izvori 11. stoljeće. Rukopisi 15. stoljeća postoji zapis: "polje sazhena je 7 stotina i 50" (dugo 750 sazhens). Prije cara Alekseja Mihajloviča računalo se 1000 hvati u 1 versti. Pod Petrom Velikim, jedna versta bila je jednaka 500 sazhens, u modernom smislu - 213,36 X 500 \u003d 1066,8 m. "Milja" se također nazivala prekretnicom na putu.

Granična versta- (od riječi boundary - granica zemljišni posjedi u obliku uske trake) je stara ruska mjerna jedinica jednaka dvije verste. Versta od 1000 sazhena (2,16 km) široko se koristila kao granična mjera, obično pri određivanju pašnjaka oko veliki gradovi, te na periferiji Rusije, osobito u Sibiru - i za mjerenje udaljenosti između naselja.

Kolomna verst- "veliki čovjek" - razigrano ime je vrlo visok čovjek. Potječe iz vremena cara Alekseja Mihajloviča, koji je vladao od 1545. do 1576. godine. Naredio je da se duž ceste koja vodi od predstraže Kaluga u Moskvi do ljetne palače u selu Kolomenskoye, postave stupovi s hordama na vrhu na udaljenosti od 700 hvati jedan od drugog. Visina svakog od njih bila je otprilike dva hvata (4 metra).

"Od riječi do djela - cijela milja" - kažu tako da se osoba hvali

učinjeno djelo, a ne riječi, od riječi do djela - 1.067 km.

2.3. Lakat

Lakat- iskonski stara ruska mjera duljina, poznata već u 11. stoljeću, bila je jednaka duljini ruke od prstiju do lakta u ravnoj liniji. Vrijednost ovoga prastara mjera duljina, prema različiti izvori, kretao se od 38 do 47 cm.Od 16. st. postupno je zamijenjen aršinom da bi se u 19. st. gotovo uopće ne upotrebljavao. Vrijednost staroruskog lakta od 10,25-10,5 inča (približno 46-47 cm u prosjeku) dobivena je usporedbom mjerenja u jeruzalemskom hramu, koje je napravio opat Daniel, i kasnijih mjerenja istih dimenzija u točnoj kopiji ovaj hram u glavnom hramu novojeruzalemskog samostana na Istri (XVII. stoljeće). Koristio se u seljačkom gospodarstvu kada je trebalo izmjeriti duljinu domaće vunene pređe ili konoplje (takvi proizvodi su se motali oko lakta). Lakat je bio dosta korišten u trgovini kao posebno zgodna mjera. U trgovini na malo platnom, suknom, platnom - lakat je bio glavna mjera. U velikoj trgovini na veliko - platno, sukno i sl. dolazilo je u obliku velikih komada "kompleta", čija je duljina bila drugačije vrijeme a na različitim mjestima varirao je od 30 do 60 lakata (u mjestima trgovine te su mjere imale određeno, sasvim određeno značenje).

"Lakat je blizu, ali nećete ugristi" - o nekom jednostavnom, ali neostvarenom poslu.

2.4. Vershok

Vershok— stara ruska mjerna jedinica, izvorno jednaka duljini glavne falange kažiprsta. Riječ dolazi od "gore", odnosno izdanak, izdanak - stabljika koja se probila iz zemlje. Mjera inča u modernom smislu iznosi približno 4,45 cm.

Vershok je bio jednak 1/16 aršina, 1/4 četvrtine. U Književnost XVII V. postoje i fractions of an inch – pola inča i četvrtina inča.

Riječ "VERSHOK" je svima poznata - nešto kratko, beznačajno.

Pri određivanju visine osobe ili životinje, rezultat se vodio nakon dva aršina (obavezno za normalnu odraslu osobu): ako je rečeno da je osoba koja se mjeri visoka 10 inča, onda je to značilo da ima 2 aršina 10 inča, odnosno 187 cm Postoji izreka o nezreloj osobi, još uvijek kažu bebi: "Od lonca dva palca." Dva inča je oko 9 cm, ljudi ove visine ne postoje, što znači 2 aršina i 2 inča. Dva inča od lonca je 151,14 cm, odnosno čovjek malog rasta.

2.5. dokučiti

dokučiti- jedna od najčešćih mjera duljine u Rusiji. Bilo je više od deset sazhena različitih po namjeni (i, prema tome, po veličini).

Ovu drevnu mjeru za duljinu spominje Nestor 1017. godine. Naziv sazhen dolazi od glagola syagat (dohvatiti) - dokle god se moglo dosegnuti rukom. Za utvrđivanje vrijednosti drevnog ruskog sazhena veliku je ulogu odigralo otkriće kamena na kojem je isklesan slavenska slova natpis: "U ljeto 6576. (1068.) indikta 6 dana, princ Gleb je izmjerio ... 10.000 i 4.000 sazhens." Usporedbom ovog rezultata s mjerenjima topografa dobivena je vrijednost sazhena od 151,4 cm, s kojom su se podudarali rezultati mjerenja hramova i vrijednosti ruskih narodnih mjera. Postojala su sazhen mjerna užad i drvena "skladišta" koja su se koristila za mjerenje udaljenosti iu gradnji.

jednostavan fathom- udaljenost između palčevi izdužen u suprotne strane ljudske ruke (približno 152 cm).

letjeti fathom- udaljenost između krajeva srednjih prstiju šake osobe prosječne visine raširenih u stranu iznosila je približno 1,76 m.

Kosi hvat- (izvorno "koso") udaljenost od prstiju desne (lijeve) noge stojeći čovjek do kraja prstiju ispruženih dijagonalno

lijeva (desna) ruka (jednaka oko 216 cm) Koristi se u frazi: "on ima koso hvat u ramenima" (što znači - heroj, div).

Vrste hvati

policajac - 284,8 cm,

crkva - 186,4 cm,

folk - 176,0 cm,

zidanje - 159,7 cm,

jednostavno - 150,8 cm,

veliki - 244,0 cm,

grčki - 230,4 cm,

stražnjica - 217,6 cm,

kraljevski - 197,4 cm,

Fatomi su se koristili prije uvođenja metričkog sustava mjera.

2.6. Raspon

Raspon- jedna od najstarijih mjera za duljinu. Zgodan je u tome što ga, kao lakat i dlan, svatko nosi sa sobom. Raspon je udaljenost između krajeva razmaknutog palca i kažiprsta (ili srednjeg) prsta. Bio je jednak 17,78 cm. Razlikuju se: mali raspon, veliki raspon i salto raspon.

“Ne odustaj ni centimetar” - ne odustaj ni od najmanje stvari, ne odustaj ni od 27 cm.

"Sedam raspona na čelu" - otprilike vrlo pametna osoba, 189 cm na čelu.

veliki raspon- udaljenost između krajeva palac i mali prst (22-23 cm).

Okret sa saltom - s dodatkom dva zgloba kažiprsta 27-31 cm.

Mali raspon - udaljenost između krajeva ispruženog palca i kažiprsta.

2.7 Palma

dlan - za mjerenje malih udaljenosti korišten je dlan - to je širina kista. Dlan je 1/6 lakta (šest palmarnih lakata).

2,8 inča

inča - nemetrička jedinica udaljenosti i duljine u nekim sustavima mjera. Općenito se vjeruje da je inč izvorno definiran kao širina palca. Drugi dodatak povezuje inč sa tri suha ječmena zrna, izvađena iz srednjeg dijela klasa i stavljena krajevima jedno uz drugo. Riječ inč uveo je u ruski jezik Petar Prvi na samom početku osamnaestog stoljeća. Duljina inča je otprilike 25,3 mm. Nakon što je SSSR prešao na metrički sustav, inči su se koristili u ograničenoj mjeri: neki topnički kalibri "tri inča" - topovi kalibra 76,2 mm, 2 "trolinijska" streljačka oružja - 7,62 mm; duljina noktiju, debljina ploče; promjer navoja cijevi itd.

2.9 Međunarodni sustav jedinice

Godine 1960. XI CGPM usvojio je standard koji je prvi put nazvan "Međunarodni sustav jedinica" i uspostavio međunarodnu kraticu za ovaj sustav "SI". Glavne jedinice u njemu bile su metar, kilogram, sekunda, amper, stupanj Kelvina i kandela.

Dana 1. siječnja 1963. GOST 9867-61 "Međunarodni sustav jedinica" SI uveden je u SSSR kao preferirani u svim područjima znanosti, tehnologije i Nacionalna ekonomija tako i u nastavi

Zaključak: Vjerujem da sve mjerne jedinice koje sam proučavao treba što prije povući iz prometa, tamo gdje se trenutno koriste, jer " ovaj sustav mjerenja" nije savršen. Budući da svaka osoba ima svoju visinu, odnosno svoje mjere, postalo je jasno koliko je takav sustav mjera bio nezgodan. Stoga su s vremenom ljudi prešli na metrički sustav: uostalom, metar, decimetar, centimetar ne ovise

od ljudskog rasta.

2.10.Praktični dio

Verst

Izračunao sam udaljenost od kuće do škole u verstama.

Vershok

Odlučio sam izmjeriti duljinu knjige prihvaćena oznaka inča i s vašim rezultatom mjerenja

Aršin

Izmjerio sam aršin članova svoje obitelji.

Mjerila sam visinu članova svoje obitelji mjernim štapom.

dokučiti

Izmjerio sam jednostavan i kosi sazhen članova svoje obitelji

Duljinu svoje sobe izmjerio sam u hvatima.

Lakat

Izmjerio sam dužinu lakta svim članovima svoje obitelji.

Izmjerio sam visinu članova obitelji u laktovima

Raspon

Izmjerio sam visinu klavira rasponom prosječno prihvaćene oznake i svojim rasponom

Dlan

Izmjerio sam duljinu klavira dlanom, prosječno prihvaćenom oznakom i dlanom

inča

Izmjerio sam visinu stakla u inčima kao i širinu svog palca.

3. Zaključak

Tijekom svog rada saznao sam koje su drevne mjere duljine postojale u antičko doba i usporedio ih s novim mjernim sustavom. Tijekom istraživanja naučio sam koliko je kilometara od kuće do škole, kolika je duljina koraka, dlana, raspona, lakta za sve članove moje obitelji. Duljina je jedna od prvih geometrijski pojmovi ušao čovjek. Prve mjere za duljinu bile su prirodne i najjednostavnije. Lakat, aršin, raspon, korak - ove mjere su uvijek s vama, ali su netočne, jer razliciti ljudi ove jedinice su različite. I iako se sada ove mjere ne koriste kao prije, one se odražavaju u folkloru i još uvijek se koriste, odražavajući mudrost naroda.

Na kraju rada doživio sam veliko zadovoljstvo prvi put odrađenim radom pod vodstvom učitelja, roditelja i nadam se da sam u tome i uspio.

4.Književnost

Dal V.I. Izreke ruskog naroda, M., "Astrel", 2008

Metodički aspekti učenja matematike. Drevne ruske mjere. Subbotina A.A., 7. razred, MBOU "Ilyinskaya srednja škola br. 1", Ilyinsky okrug, Putilova Elena Borisovna, učiteljica matematike prve kategorije. Perm, 2015.

3. http://rusprawda.info Staroruske mjere za duljinu

4. http://philolog.petrusu.ru/dahl/html/texst.hlm.- Tekstovi djela Vladimira Ivanoviča Dahla.

5. http://ru.wikipedia.org sustav jedinica - Wikipedia

Centrirano u točki A.
α je kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Graf funkcije sinusa, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y= grijeh x i y= cos x periodički s periodom 2 pi.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.

Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane na svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihovo osnovna svojstva prikazani su u tablici (n je cijeli broj).

	y= grijeh x	y= cos x
Opseg i kontinuitet	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Uzlazni
Silazni
Maksimumi, y= 1
Minimalni, y = - 1
Nule, y= 0
Točke presjeka s osi y, x = 0	y= 0	y= 1

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Formule sinusa i kosinusa za zbroj i razliku

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izraz sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izraz kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izraz preko tangente

; .

Za imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za neke vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula >>>

Derivacije n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije na sinus i kosinus su arksinus i arkosinus.

Arksinus, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Koordinate x točke koje leže na kružnici jednake su cos(θ), a koordinate g odgovaraju sin(θ), gdje je θ veličina kuta.

• Ako vam je teško zapamtiti ovo pravilo, sjetite se samo da u paru (cos; sin) "sinus dolazi zadnji".
• Ovo se pravilo može zaključiti razmatranjem pravokutni trokuti i definicija podataka trigonometrijske funkcije(sinus kuta jednak je omjeru duljine suprotnog, a kosinusa susjedne katete prema hipotenuzi).

Zapiši koordinate četiri točke na kružnici. "jedinični krug" je krug čiji je polumjer jednako jedan. Koristite ovo za određivanje koordinata x I g u četiri točke sjecišta koordinatnih osi s kružnicom. Gore smo radi jasnoće te točke označili kao "istok", "sjever", "zapad" i "jug", iako nemaju utvrđena imena.

• "Istok" odgovara točki s koordinatama (1; 0) .
• "Sjever" odgovara točki s koordinatama (0; 1) .
• "Zapad" odgovara točki s koordinatama (-1; 0) .
• "Jug" odgovara točki s koordinatama (0; -1) .
• Ovo je slično normalnom grafikonu, tako da nema potrebe pamtiti ove vrijednosti, dovoljno je zapamtiti osnovni princip.

Zapamtite koordinate točaka u prvom kvadrantu. Prvi kvadrant nalazi se u gornjem desnom dijelu kruga, gdje su koordinate x I g prihvatiti pozitivne vrijednosti. Ovo su jedine koordinate koje trebate zapamtiti:

• točka π / 6 ima koordinate () ;
• točka π / 4 ima koordinate () ;
• točka π / 3 ima koordinate () ;
• imajte na umu da brojnik ima samo tri vrijednosti. Ako se krećete u pozitivnom smjeru (slijeva nadesno po osi x a odozdo prema gore po osi g), brojnik ima vrijednosti 1 → √2 → √3.

Nacrtajte ravne linije i odredite koordinate točaka njihova sjecišta s kružnicom. Ako povučete ravne vodoravne i okomite crte iz točaka jednog kvadranta, druge točke sjecišta tih linija s krugom imat će koordinate x I g s istim apsolutnim vrijednostima, ali različitim predznacima. Drugim riječima, možete povući vodoravne i okomite crte iz točaka prvog kvadranta i označiti točke sjecišta krugom s istim koordinatama, ali istovremeno ostaviti mjesta za točan znak ("+" ili "-" ") na lijevo.

• Na primjer, može se povući vodoravna crta između točaka π / 3 i 2π / 3 . Budući da prva točka ima koordinate ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), koordinate druge točke bit će (? 12 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), gdje se umjesto znaka "+" ili "-" stavlja upitnik.
• Upotrijebite najjednostavniji način: obratite pozornost na nazivnike koordinata točke u radijanima. Sve točke s nazivnikom 3 imaju isti apsolutne vrijednosti koordinate. Isto vrijedi i za bodove s nazivnicima 4 i 6.

Koristite pravila simetrije za određivanje predznaka koordinata. Postoji nekoliko načina da odredite gdje staviti znak "-":

• zapamtite osnovna pravila za redovne karte. Os x negativna na lijevoj i pozitivna na desnoj strani. Os g negativan odozdo i pozitivan odozgo;
• počnite od prvog kvadranta i povucite linije do ostalih točaka. Ako pravac siječe os g, Koordinirati x promijenit će predznak. Ako pravac siječe os x, predznak koordinate će se promijeniti g;
• zapamtite da su u prvom kvadrantu sve funkcije pozitivne, u drugom kvadrantu samo je sinus pozitivan, u trećem kvadrantu samo je tangens pozitivan, au četvrtom kvadrantu samo je kosinus pozitivan;
• koju god metodu koristili, trebali biste dobiti (+,+) u prvom kvadrantu, (-,+) u drugom, (-,-) u trećem i (+,-) u četvrtom.

Provjerite jeste li pogriješili. Ispod je puni popis koordinate "posebnih" točaka (osim četiri točke na koordinatne osi) ako se krećemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu duž jedinične kružnice. Zapamtite da je za određivanje svih ovih vrijednosti dovoljno zapamtiti koordinate točaka samo u prvom kvadrantu:

• prvi kvadrant :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• drugi kvadrant :( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• treći kvadrant :( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• četvrti kvadrant :( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija koristi znak √ za označavanje korijen. Za označavanje razlomka - simbol "/".

vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu crte koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus od 30 stupnjeva - tražimo stupac s naslovom sin (sinus) i nalazimo sjecište ovog stupca tablice s linijom "30 stupnjeva", na njihovom sjecištu čitamo rezultat - jedan drugi. Slično, nalazimo kosinus 60 stupnjevi, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin (sinus) i reda od 60 stupnjeva nalazimo vrijednost grijeha 60 = √3/2), itd. Na isti način se pronalaze vrijednosti sinusa, kosinusa i tangensa drugih "popularnih" kutova.

Sinus od pi, kosinus od pi, tangens od pi i drugi kutovi u radijanima

Tablica kosinusa, sinusa i tangensa u nastavku također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dano u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugi stupac vrijednosti kuta. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih kutova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega pročitaj njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π/3 radijana.

Broj pi jednoznačno izražava ovisnost opsega o stupanjska mjera kut. Dakle, pi radijana je jednako 180 stupnjeva.

Svaki broj izražen u pi (radijan) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom broja pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
prema tome, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
prema tome, tangens od pi je isti kao tangens od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kutove 0 - 360 stupnjeva (česte vrijednosti)

kut α (stupnjevi)	kut α u radijanima (putem pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	uzrok (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije navedena crtica (tangens (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada kada dana vrijednost funkcija nema stupanjsku mjeru kuta određena vrijednost. Ako nema crtice - ćelija je prazna, tada još nismo ušli željenu vrijednost. Zanima nas po kakvim zahtjevima nam se korisnici obraćaju i dopunjuju tablicu novim vrijednostima, unatoč tome što su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangensa najčešćih vrijednosti kutova dovoljni za rješavanje većine problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(brojčane vrijednosti "prema Bradisovim tablicama")

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Ovaj članak je sakupio tablice sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata. Prvo dajemo tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata kutova 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupnjeva ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga ćemo dati tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangensa i kotangensa V. M. Bradisa, te pokazati kako se koristiti ovim tablicama pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Navigacija po stranici.

Tablica sinusa, kosinusa, tangensa i kotangenata za kutove 0, 30, 45, 60, 90, ... stupnjeva

Bibliografija.

• Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosj. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjetljenje, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. prosj. škola - 3. izd. - M.: Prosvjetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.
• Bradis V. M.Četveroznamenkaste matematičke tablice: Za opće obrazovanje. udžbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2