Hoe de kans op een gebeurtenis te berekenen. Grondbeginselen van spelbalans: willekeur en de waarschijnlijkheid van verschillende gebeurtenissen

In de economie, maar ook op andere gebieden van menselijke activiteit of in de natuur, hebben we voortdurend te maken met gebeurtenissen die niet nauwkeurig kunnen worden voorspeld. Het verkoopvolume van goederen hangt dus af van de vraag, die aanzienlijk kan variëren, en van een aantal andere factoren waarmee bijna geen rekening kan worden gehouden. Daarom moet men bij het organiseren van productie en verkoop de uitkomst van dergelijke activiteiten voorspellen op basis van ofwel iemands eigen eerdere ervaring, of soortgelijke ervaring van andere mensen, of intuïtie, die ook grotendeels gebaseerd is op experimentele gegevens.

Om het evenement in kwestie op de een of andere manier te evalueren, is het noodzakelijk om rekening te houden met of speciaal de omstandigheden te organiseren waarin dit evenement wordt geregistreerd.

De implementatie van bepaalde voorwaarden of acties om de gebeurtenis in kwestie te identificeren, wordt genoemd beleven of experiment.

Het evenement heet willekeurig als het, als gevolg van het experiment, al dan niet gebeurt.

Het evenement heet betrouwbaar, als het noodzakelijkerwijs verschijnt als gevolg van deze ervaring, en onmogelijk als het niet in deze ervaring kan verschijnen.

Sneeuwval in Moskou op 30 november is bijvoorbeeld een willekeurige gebeurtenis. De dagelijkse zonsopgang kan worden beschouwd als een bepaalde gebeurtenis. Sneeuwval op de evenaar kan worden gezien als een onmogelijke gebeurtenis.

Een van de belangrijkste problemen in de kansrekening is het probleem van het bepalen van een kwantitatieve maatstaf voor de mogelijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt.

Algebra van gebeurtenissen

Gebeurtenissen worden onverenigbaar genoemd als ze niet samen in dezelfde ervaring kunnen worden waargenomen. De aanwezigheid van twee en drie auto's in één winkel die tegelijkertijd te koop staan, zijn dus twee onverenigbare gebeurtenissen.

som gebeurtenissen is een gebeurtenis die bestaat uit het optreden van ten minste één van deze gebeurtenissen

Een voorbeeld van een som van gebeurtenissen is de aanwezigheid van ten minste één van twee producten in een winkel.

werk gebeurtenissen wordt een gebeurtenis genoemd die bestaat uit het gelijktijdig optreden van al deze gebeurtenissen

Een evenement bestaande in het verschijnen van twee goederen tegelijkertijd in de winkel is een product van gebeurtenissen: - het uiterlijk van een product, - het uiterlijk van een ander product.

Gebeurtenissen vormen een complete groep van gebeurtenissen als er tenminste één noodzakelijkerwijs in de ervaring voorkomt.

Voorbeeld. De haven heeft twee ligplaatsen voor schepen. Er kan worden gedacht aan drie gebeurtenissen: - de afwezigheid van vaartuigen op de ligplaatsen, - de aanwezigheid van één vaartuig op een van de ligplaatsen, - de aanwezigheid van twee vaartuigen op twee ligplaatsen. Deze drie evenementen vormen een complete groep evenementen.

Tegenovergestelde twee unieke mogelijke gebeurtenissen die een complete groep vormen, worden genoemd.

Als een van de gebeurtenissen die tegenovergesteld zijn, wordt aangeduid met , dan wordt de tegenovergestelde gebeurtenis gewoonlijk aangeduid met .

Klassieke en statistische definities van de kans op een gebeurtenis

Elk van de even mogelijke testresultaten (experimenten) wordt een elementaire uitkomst genoemd. Ze worden meestal aangeduid met letters. Er wordt bijvoorbeeld met een dobbelsteen gegooid. Er kunnen zes elementaire uitkomsten zijn volgens het aantal punten aan de zijkanten.

Van elementaire uitkomsten kun je een complexere gebeurtenis samenstellen. Dus de gebeurtenis van een even aantal punten wordt bepaald door drie uitkomsten: 2, 4, 6.

Een kwantitatieve maatstaf voor de mogelijkheid dat de betreffende gebeurtenis zich voordoet, is de waarschijnlijkheid.

Twee definities van de kans op een gebeurtenis worden het meest gebruikt: klassiek en statistisch.

De klassieke definitie van waarschijnlijkheid houdt verband met het idee van een gunstige uitkomst.

Exodus heet gunstig deze gebeurtenis, indien het optreden ervan het optreden van deze gebeurtenis met zich meebrengt.

In het gegeven voorbeeld heeft de beschouwde gebeurtenis een even aantal punten op de neergelaten rand, en heeft drie gunstige uitkomsten. In dit geval is de algemene
het aantal mogelijke uitkomsten. Dus hier kun je de klassieke definitie van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis gebruiken.

Klassieke definitie is gelijk aan de verhouding van het aantal gunstige uitkomsten tot het totale aantal mogelijke uitkomsten

waarbij de kans op de gebeurtenis is, het aantal gunstige uitkomsten voor de gebeurtenis is, het totale aantal mogelijke uitkomsten is.

In het beschouwde voorbeeld

De statistische definitie van waarschijnlijkheid hangt samen met het concept van de relatieve frequentie van optreden van een gebeurtenis in experimenten.

De relatieve frequentie van optreden van een gebeurtenis wordt berekend met de formule

waar is het aantal keren dat een gebeurtenis in een reeks experimenten (tests) voorkomt.

statistische definitie. De kans op een gebeurtenis is het getal ten opzichte waarvan de relatieve frequentie is gestabiliseerd (vastgesteld) met een onbeperkte toename van het aantal experimenten.

Bij praktische problemen wordt de relatieve frequentie voor een voldoende groot aantal proeven genomen als de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis.

Uit deze definities van de kans op een gebeurtenis blijkt dat de ongelijkheid altijd geldt

Om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te bepalen op basis van formule (1.1), worden vaak combinatorische formules gebruikt om het aantal gunstige uitkomsten en het totale aantal mogelijke uitkomsten te vinden.

• Waarschijnlijkheid - de mate (relatieve maatstaf, kwantitatieve beoordeling) van de mogelijkheid van het optreden van een gebeurtenis. Wanneer de redenen voor een mogelijke gebeurtenis die daadwerkelijk plaatsvinden, zwaarder wegen dan de tegenovergestelde redenen, dan wordt deze gebeurtenis waarschijnlijk genoemd, anders - onwaarschijnlijk of onwaarschijnlijk. Het overwicht van positieve gronden over negatieve, en vice versa, kan in verschillende mate zijn, waardoor de kans (en onwaarschijnlijkheid) groter of kleiner is. Daarom wordt waarschijnlijkheid vaak op kwalitatief niveau beoordeeld, vooral in gevallen waar een min of meer nauwkeurige kwantitatieve beoordeling onmogelijk of uiterst moeilijk is. Er zijn verschillende gradaties van "niveaus" van waarschijnlijkheid mogelijk.

  De studie van waarschijnlijkheid vanuit wiskundig oogpunt is een speciale discipline - de waarschijnlijkheidstheorie. In kansrekening en wiskundige statistiek wordt het concept van waarschijnlijkheid geformaliseerd als een numeriek kenmerk van een gebeurtenis - een kansmaat (of de waarde ervan) - een maatstaf voor een reeks gebeurtenissen (subsets van een reeks elementaire gebeurtenissen), waarbij waarden worden aangenomen ​van

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Betekenis

  (\displaystyle 1)

  Komt overeen met een geldige gebeurtenis. Een onmogelijke gebeurtenis heeft een kans van 0 (het omgekeerde is over het algemeen niet altijd waar). Als de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt gelijk is aan

  (\displaystyle p)

  Dan is de kans dat het niet voorkomt gelijk aan

  (\displaystyle 1-p)

  Met name de waarschijnlijkheid

  (\displaystyle 1/2)

  Betekent gelijke waarschijnlijkheid van het optreden en niet plaatsvinden van de gebeurtenis.

  De klassieke definitie van waarschijnlijkheid is gebaseerd op het concept van de equiwaarschijnlijkheid van uitkomsten. De kans is de verhouding tussen het aantal uitkomsten dat gunstig is voor een bepaalde gebeurtenis en het totale aantal even waarschijnlijke uitkomsten. De kans om "kop" of "munt" te krijgen bij een willekeurige toss is bijvoorbeeld 1/2, als wordt aangenomen dat alleen deze twee mogelijkheden voorkomen en dat ze even waarschijnlijk zijn. Deze klassieke "definitie" van waarschijnlijkheid kan worden gegeneraliseerd naar het geval van een oneindig aantal mogelijke waarden - bijvoorbeeld als een gebeurtenis met gelijke waarschijnlijkheid kan plaatsvinden op een willekeurig punt (het aantal punten is oneindig) van een beperkt gebied van ​​ruimte (vlak), dan is de kans dat het zich in een deel van dit toelaatbare gebied zal voordoen gelijk aan de verhouding van het volume (oppervlak) van dit deel tot het volume (oppervlak) van het gebied van alle mogelijke punten .

  De empirische "definitie" van waarschijnlijkheid is gerelateerd aan de frequentie van het optreden van een gebeurtenis, gebaseerd op het feit dat bij een voldoende groot aantal proeven, de frequentie zou moeten neigen naar de objectieve mate van mogelijkheid van deze gebeurtenis. In de moderne presentatie van de waarschijnlijkheidstheorie wordt waarschijnlijkheid axiomatisch gedefinieerd, als een speciaal geval van de abstracte theorie van de maat van een verzameling. Niettemin is het verband tussen de abstracte maatstaf en de waarschijnlijkheid, die de mate van mogelijkheid van een gebeurtenis uitdrukt, juist de frequentie van de waarneming.

  De probabilistische beschrijving van bepaalde verschijnselen is wijdverbreid geworden in de moderne wetenschap, met name in de econometrie, statistische fysica van macroscopische (thermodynamische) systemen, waar zelfs in het geval van een klassieke deterministische beschrijving van de beweging van deeltjes, een deterministische beschrijving van het hele systeem van deeltjes is praktisch niet mogelijk en passend. In de kwantumfysica zijn de beschreven processen zelf probabilistisch van aard.

Het is onwaarschijnlijk dat veel mensen nadenken over de vraag of het mogelijk is om gebeurtenissen te berekenen die min of meer willekeurig zijn. In eenvoudige bewoordingen, is het realistisch om te weten welke kant van de dobbelsteen als volgende zal vallen. Het was deze vraag die twee grote wetenschappers stelden, die de basis legden voor een wetenschap als de waarschijnlijkheidstheorie, waarin de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis vrij uitgebreid wordt bestudeerd.

Oorsprong

Als je zo'n concept als kanstheorie probeert te definiëren, krijg je het volgende: dit is een van de takken van de wiskunde die de constantheid van willekeurige gebeurtenissen bestudeert. Natuurlijk onthult dit concept niet echt de hele essentie, dus het is noodzakelijk om het in meer detail te bekijken.

Ik zou willen beginnen met de makers van de theorie. Zoals hierboven vermeld, waren het er twee, en zij waren een van de eersten die probeerden de uitkomst van een gebeurtenis te berekenen met behulp van formules en wiskundige berekeningen. Over het algemeen ontstond het begin van deze wetenschap in de Middeleeuwen. In die tijd probeerden verschillende denkers en wetenschappers gokken te analyseren, zoals roulette, craps, enzovoort, en zo een patroon en percentage vast te stellen van een bepaald aantal dat uitviel. De basis werd in de zeventiende eeuw gelegd door bovengenoemde wetenschappers.

Aanvankelijk kon hun werk niet worden toegeschreven aan de grote prestaties op dit gebied, omdat alles wat ze deden eenvoudigweg empirische feiten waren en de experimenten visueel werden opgesteld, zonder het gebruik van formules. Na verloop van tijd bleek het geweldige resultaten te behalen, die verschenen als gevolg van het observeren van het gooien van dobbelstenen. Het was deze tool die hielp om de eerste begrijpelijke formules af te leiden.

Mensen die hetzelfde denken

Het is onmogelijk om iemand als Christian Huygens niet te noemen, terwijl hij bezig is met het bestuderen van een onderwerp dat 'waarschijnlijkheidstheorie' wordt genoemd (de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis wordt precies in deze wetenschap behandeld). Deze persoon is erg interessant. Hij probeerde, net als de hierboven gepresenteerde wetenschappers, de regelmaat van willekeurige gebeurtenissen af ​​te leiden in de vorm van wiskundige formules. Het is opmerkelijk dat hij dit niet samen met Pascal en Fermat deed, dat wil zeggen dat al zijn werken op geen enkele manier met deze geesten kruisten. Huygens naar buiten gebracht

Een interessant feit is dat zijn werk lang voor de resultaten van het werk van de ontdekkers verscheen, of liever twintig jaar eerder. Onder de aangewezen concepten zijn de meest bekende:

• het concept van waarschijnlijkheid als een grootte van kans;
• wiskundige verwachting voor discrete gevallen;
• stellingen van vermenigvuldiging en optelling van kansen.

Het is ook onmogelijk om niet te onthouden wie ook een belangrijke bijdrage heeft geleverd aan de studie van het probleem. Door zijn eigen tests uit te voeren, onafhankelijk van wie dan ook, slaagde hij erin een bewijs te leveren van de wet van de grote getallen. Op hun beurt konden de wetenschappers Poisson en Laplace, die aan het begin van de negentiende eeuw werkten, de oorspronkelijke stellingen bewijzen. Vanaf dit moment begon de kansrekening te worden gebruikt om fouten in de loop van waarnemingen te analyseren. Ook Russische wetenschappers, of liever Markov, Chebyshev en Dyapunov, konden niet om deze wetenschap heen. Op basis van het werk van de grote genieën hebben ze dit onderwerp als een tak van de wiskunde vastgelegd. Deze figuren werkten al aan het einde van de negentiende eeuw, en dankzij hun bijdrage, fenomenen als:

• wet van grote aantallen;
• theorie van Markov-ketens;
• centrale limietstelling.

Dus met de geschiedenis van de geboorte van de wetenschap en met de belangrijkste mensen die haar hebben beïnvloed, is alles min of meer duidelijk. Nu is het tijd om alle feiten te concretiseren.

Basisconcepten

Alvorens in te gaan op wetten en stellingen, is het de moeite waard om de basisconcepten van de kansrekening te bestuderen. Het evenement neemt daarin de hoofdrol. Dit onderwerp is behoorlijk omvangrijk, maar zonder dit is het niet mogelijk om al het andere te begrijpen.

Een gebeurtenis in de kanstheorie is een reeks uitkomsten van een experiment. Er zijn niet zo veel concepten van dit fenomeen. Dus de wetenschapper Lotman, die in dit gebied werkt, zei dat we het in dit geval hebben over wat er is gebeurd, hoewel het misschien niet is gebeurd.

Willekeurige gebeurtenissen (waarschijnlijkheidstheorie besteedt speciale aandacht aan hen) is een concept dat absoluut elk fenomeen impliceert dat kan optreden. Of omgekeerd gebeurt dit scenario mogelijk niet wanneer aan veel voorwaarden wordt voldaan. Het is ook de moeite waard om te weten dat het willekeurige gebeurtenissen zijn die het hele volume van verschijnselen die hebben plaatsgevonden vastleggen. Waarschijnlijkheidstheorie geeft aan dat alle voorwaarden constant kunnen worden herhaald. Het was hun gedrag dat "experiment" of "test" werd genoemd.

Een bepaalde gebeurtenis is er een die 100% zal plaatsvinden in een bepaalde test. Dienovereenkomstig is een onmogelijke gebeurtenis er een die niet zal plaatsvinden.

De combinatie van een paar acties (voorwaardelijk geval A en geval B) is een fenomeen dat gelijktijdig optreedt. Ze worden aangeduid als AB.

De som van paren van gebeurtenissen A en B is C, met andere woorden, als ten minste één van hen plaatsvindt (A of B), dan wordt C. De formule van het beschreven fenomeen wordt als volgt geschreven: C \u003d A + B.

Disjuncte gebeurtenissen in de kansrekening impliceren dat de twee gevallen elkaar uitsluiten. Ze kunnen nooit tegelijkertijd gebeuren. Gezamenlijke gebeurtenissen in de kansrekening zijn hun tegenpool. Dit houdt in dat als A is gebeurd, dit B op geen enkele manier verhindert.

Tegengestelde gebeurtenissen (waarschijnlijkheidstheorie behandelt ze in detail) zijn gemakkelijk te begrijpen. Het is het beste om ze in vergelijking te behandelen. Ze zijn bijna hetzelfde als onverenigbare gebeurtenissen in de kansrekening. Maar hun verschil ligt in het feit dat een van de vele verschijnselen in ieder geval moet optreden.

Even waarschijnlijke gebeurtenissen zijn die acties, waarvan de kans op herhaling even groot is. Om het duidelijker te maken, kunnen we ons het opgooien van een munt voorstellen: het verlies van een van zijn zijden is even waarschijnlijk om uit de andere te vallen.

Een gunstige gebeurtenis is gemakkelijker te zien met een voorbeeld. Laten we zeggen dat er aflevering B en aflevering A is. De eerste is de worp van de dobbelsteen met het uiterlijk van een oneven getal, en de tweede is het verschijnen van het getal vijf op de dobbelsteen. Dan blijkt dat A in het voordeel is van B.

Onafhankelijke gebeurtenissen in de waarschijnlijkheidstheorie worden alleen op twee of meer gevallen geprojecteerd en impliceren de onafhankelijkheid van elke actie van een andere. A is bijvoorbeeld het verlies van kop wanneer een munt wordt opgeworpen en B is het trekken van een boer van het kaartspel. Het zijn onafhankelijke gebeurtenissen in de kansrekening. Op dit punt werd het duidelijker.

Afhankelijke gebeurtenissen in de kanstheorie zijn ook alleen toelaatbaar voor hun verzameling. Ze impliceren de afhankelijkheid van de een van de ander, dat wil zeggen dat het fenomeen B alleen kan optreden als A al is gebeurd of, integendeel, niet is gebeurd wanneer dit de belangrijkste voorwaarde voor B is.

De uitkomst van een willekeurig experiment bestaande uit één component zijn elementaire gebeurtenissen. Waarschijnlijkheidstheorie legt uit dat dit een fenomeen is dat slechts één keer is voorgekomen.

Basisformules

Dus de concepten "gebeurtenis", "waarschijnlijkheidstheorie" werden hierboven overwogen, de definitie van de belangrijkste termen van deze wetenschap werd ook gegeven. Nu is het tijd om direct kennis te maken met de belangrijke formules. Deze uitdrukkingen bevestigen wiskundig alle hoofdconcepten in zo'n moeilijk onderwerp als kansrekening. Ook hier speelt de kans op een gebeurtenis een grote rol.

Het is beter om met de belangrijkste te beginnen. En voordat u doorgaat, is het de moeite waard om te overwegen wat het is.

Combinatoriek is in de eerste plaats een tak van de wiskunde, het houdt zich bezig met de studie van een groot aantal gehele getallen, evenals verschillende permutaties van zowel de getallen zelf als hun elementen, verschillende gegevens, enz., Wat leidt tot het verschijnen van een aantal combinaties. Naast de kansrekening is deze tak van belang voor statistiek, informatica en cryptografie.

U kunt nu dus verder gaan met de presentatie van de formules zelf en hun definitie.

De eerste hiervan is een uitdrukking voor het aantal permutaties, het ziet er als volgt uit:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

De vergelijking is alleen van toepassing als de elementen alleen in hun volgorde verschillen.

Nu wordt gekeken naar de plaatsingsformule, deze ziet er als volgt uit:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Deze uitdrukking is niet alleen van toepassing op de volgorde van het element, maar ook op de samenstelling ervan.

De derde vergelijking uit combinatoriek, en het is ook de laatste, wordt de formule voor het aantal combinaties genoemd:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Een combinatie wordt een selectie genoemd die respectievelijk niet is geordend en deze regel is op hen van toepassing.

Het bleek gemakkelijk om de formules van combinatoriek te achterhalen, nu kunnen we overgaan tot de klassieke definitie van kansen. Deze uitdrukking ziet er als volgt uit:

In deze formule is m het aantal gunstige voorwaarden voor gebeurtenis A, en is n het aantal absoluut alle even mogelijke en elementaire uitkomsten.

Er zijn een groot aantal uitdrukkingen, het artikel zal ze niet allemaal behandelen, maar de belangrijkste zullen worden besproken, zoals bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid van de som van gebeurtenissen:

P(A + B) = P(A) + P(B) - deze stelling is alleen bedoeld om onverenigbare gebeurtenissen toe te voegen;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - en deze is voor het toevoegen van alleen compatibele.

Waarschijnlijkheid van het produceren van evenementen:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - deze stelling is voor onafhankelijke gebeurtenissen;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - en deze is voor personen ten laste.

De gebeurtenisformule zal de lijst beëindigen. De kansrekening vertelt ons over de stelling van Bayes, die er als volgt uitziet:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

In deze formule is H 1 , H 2 , …, H n de volledige groep hypothesen.

Voorbeelden

Als je een tak van de wiskunde zorgvuldig bestudeert, is het niet compleet zonder oefeningen en voorbeeldoplossingen. Dat geldt ook voor de waarschijnlijkheidstheorie: gebeurtenissen, voorbeelden hier zijn een integraal onderdeel dat wetenschappelijke berekeningen bevestigt.

Formule voor aantal permutaties

Laten we zeggen dat er dertig kaarten in een kaartspel zitten, te beginnen met de nominale waarde één. Volgende vraag. Hoeveel manieren zijn er om het kaartspel zo te stapelen dat kaarten met een nominale waarde van één en twee niet naast elkaar liggen?

De taak is ingesteld, laten we nu verder gaan met het oplossen ervan. Eerst moet je het aantal permutaties van dertig elementen bepalen, hiervoor nemen we de bovenstaande formule, het blijkt P_30 = 30!.

Op basis van deze regel zullen we ontdekken hoeveel opties er zijn om het kaartspel op verschillende manieren te vouwen, maar we moeten diegene aftrekken waarin de eerste en tweede kaart de volgende zijn. Om dit te doen, beginnen we met de optie wanneer de eerste boven de tweede staat. Het blijkt dat de eerste kaart negenentwintig plaatsen kan innemen - van de eerste tot de negenentwintigste, en de tweede kaart van de tweede tot de dertigste, het blijken slechts negenentwintig plaatsen te zijn voor een paar kaarten. De rest kan op zijn beurt achtentwintig plaatsen innemen, en in willekeurige volgorde. Dat wil zeggen, voor een permutatie van achtentwintig kaarten zijn er achtentwintig opties P_28 = 28!

Het resultaat is dat als we kijken naar de oplossing als de eerste kaart boven de tweede ligt, er 29 ⋅ 28 extra mogelijkheden zijn! = 29!

Met dezelfde methode moet u het aantal overtollige opties berekenen voor het geval dat de eerste kaart zich onder de tweede bevindt. Het wordt ook 29 ⋅ 28! = 29!

Hieruit volgt dat er 2 ⋅ 29! extra opties zijn, terwijl er 30 noodzakelijke manieren zijn om het deck te bouwen! - 2 ⋅ 29!. Het blijft alleen om te tellen.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu moet je alle getallen van één tot negenentwintig met elkaar vermenigvuldigen en aan het eind alles met 28 vermenigvuldigen. Het antwoord is 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Voorbeeld oplossing. Formule voor plaatsingsnummer

In deze opgave moet je uitzoeken hoeveel manieren er zijn om vijftien delen op één plank te zetten, maar op voorwaarde dat er in totaal dertig delen zijn.

In dit probleem is de oplossing iets eenvoudiger dan in het vorige. Met behulp van de al bekende formule is het nodig om het totale aantal arrangementen te berekenen uit dertig delen van vijftien.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Het antwoord is respectievelijk 202.843.204.931.727.360.000.

Laten we de taak nu iets moeilijker nemen. Je moet uitzoeken hoeveel manieren er zijn om dertig boeken op twee boekenplanken te rangschikken, op voorwaarde dat er maar vijftien delen op één plank kunnen staan.

Voordat ik met de oplossing begin, wil ik graag verduidelijken dat sommige problemen op verschillende manieren worden opgelost, dus er zijn twee manieren in deze, maar in beide wordt dezelfde formule gebruikt.

In deze opgave kun je het antwoord uit de vorige nemen, want daar hebben we berekend hoe vaak je op verschillende manieren een plank met vijftien boeken kunt vullen. Het bleek A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

We berekenen de tweede plank volgens de permutatieformule, omdat er vijftien boeken in worden geplaatst, terwijl er nog maar vijftien over zijn. We gebruiken de formule P_15 = 15!.

Het blijkt dat er in totaal A_30^15 ⋅ P_15 manieren zijn, maar bovendien moet het product van alle getallen van dertig tot zestien worden vermenigvuldigd met het product van getallen van één tot vijftien, waardoor de product van alle getallen van één tot dertig wordt verkregen, dat wil zeggen, het antwoord is gelijk aan 30!

Maar dit probleem kan op een andere manier worden opgelost - gemakkelijker. Om dit te doen, kun je je voorstellen dat er één plank is voor dertig boeken. Ze zijn allemaal op dit vlak geplaatst, maar aangezien de voorwaarde vereist dat er twee planken zijn, snijden we een lange doormidden, het worden er twee vijftien elk. Hieruit blijkt dat de plaatsingsopties P_30 = 30! kunnen zijn.

Voorbeeld oplossing. Formule voor combinatienummer

Nu zullen we een variant van het derde probleem uit de combinatoriek beschouwen. Je moet uitzoeken hoeveel manieren er zijn om vijftien boeken te rangschikken, op voorwaarde dat je moet kiezen uit dertig absoluut identieke.

Voor de oplossing wordt uiteraard de formule voor het aantal combinaties toegepast. Uit de conditie blijkt dat de volgorde van de identieke vijftien boeken niet belangrijk is. Daarom moet u in eerste instantie het totale aantal combinaties van dertig boeken van vijftien weten.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : vijftien ! = 155 117 520

Dat is alles. Met behulp van deze formule was het in de kortst mogelijke tijd mogelijk om een ​​dergelijk probleem op te lossen, het antwoord is respectievelijk 155 117 520.

Voorbeeld oplossing. De klassieke definitie van waarschijnlijkheid

Met behulp van de bovenstaande formule kunt u het antwoord vinden in een eenvoudig probleem. Maar het zal helpen om het verloop van acties visueel te zien en te volgen.

Het probleem is dat er tien absoluut identieke ballen in de urn zitten. Hiervan zijn er vier geel en zes blauw. Er wordt één bal uit de urn gehaald. Je moet weten hoe groot de kans is dat je blauw wordt.

Om het probleem op te lossen, is het noodzakelijk om het krijgen van de blauwe bal aan te duiden als gebeurtenis A. Deze ervaring kan tien uitkomsten hebben, die op hun beurt elementair en even waarschijnlijk zijn. Tegelijkertijd zijn zes van de tien gunstig voor gebeurtenis A. We lossen het op met de formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Door deze formule toe te passen, kwamen we erachter dat de kans op het krijgen van een blauwe bal 0,6 is.

Voorbeeld oplossing. Waarschijnlijkheid van de som van gebeurtenissen

Nu wordt een variant gepresenteerd, die wordt opgelost met de formule voor de kans op de som van gebeurtenissen. Dus, in de voorwaarde dat er twee dozen zijn, bevat de eerste één grijze en vijf witte ballen, en de tweede bevat acht grijze en vier witte ballen. Als gevolg hiervan werd een van hen uit de eerste en tweede doos gehaald. Het is noodzakelijk om erachter te komen wat de kans is dat de uitgenomen ballen grijs en wit zijn.

Om dit probleem op te lossen, is het noodzakelijk om gebeurtenissen aan te wijzen.

• Dus A - neem een ​​grijze bal uit het eerste vak: P(A) = 1/6.
• A '- ze namen ook een witte bal uit het eerste vak: P (A ") \u003d 5/6.
• B - er werd al een grijze bal uit de tweede doos gehaald: P(B) = 2/3.
• B' - ze namen een grijze bal uit het tweede vak: P(B") = 1/3.

Afhankelijk van de toestand van het probleem is het noodzakelijk dat een van de verschijnselen optreedt: AB 'of A'B. Met behulp van de formule krijgen we: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nu is de formule voor het vermenigvuldigen van de kans gebruikt. Om vervolgens het antwoord te vinden, moet u de vergelijking toepassen voor hun toevoeging:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Dus met behulp van de formule kunt u vergelijkbare problemen oplossen.

Resultaat

Het artikel gaf informatie over het onderwerp "Waarschijnlijkheidstheorie", waarin de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis een cruciale rol speelt. Natuurlijk werd niet met alles rekening gehouden, maar op basis van de gepresenteerde tekst kan men theoretisch kennis maken met dit deel van de wiskunde. De wetenschap in kwestie kan niet alleen nuttig zijn in het professionele werk, maar ook in het dagelijks leven. Met zijn hulp kunt u elke mogelijkheid van een evenement berekenen.

De tekst raakte ook belangrijke data in de geschiedenis van de vorming van de waarschijnlijkheidstheorie als wetenschap, en de namen van mensen wiens werken erin geïnvesteerd waren. Dit is hoe menselijke nieuwsgierigheid ertoe leidde dat mensen zelfs willekeurige gebeurtenissen leerden berekenen. Ooit waren ze er gewoon in geïnteresseerd, maar tegenwoordig weet iedereen het al. En niemand zal zeggen wat ons in de toekomst te wachten staat, welke andere briljante ontdekkingen met betrekking tot de beschouwde theorie zullen worden gedaan. Maar één ding is zeker: het onderzoek staat niet stil!

In zijn blog een vertaling van de volgende lezing van de cursus "Principles of Game Balance" van gamedesigner Jan Schreiber, die meewerkte aan projecten als Marvel Trading Card Game en Playboy: the Mansion.

Tot vandaag was bijna alles waar we het over hadden deterministisch, en vorige week hebben we de transitieve mechanica onder de loep genomen en het zo gedetailleerd als ik kan uitleggen. Maar tot nu toe hebben we geen aandacht besteed aan andere aspecten van veel games, namelijk niet-deterministische momenten - met andere woorden, willekeur.

Het begrijpen van de aard van willekeur is erg belangrijk voor game-ontwerpers. We creëren systemen die de gebruikerservaring in een bepaald spel beïnvloeden, dus we moeten weten hoe deze systemen werken. Als er willekeur in het systeem is, moeten we de aard van deze willekeur begrijpen en weten hoe we deze kunnen veranderen om de resultaten te krijgen die we nodig hebben.

Dobbelsteen

Laten we beginnen met iets simpels: dobbelstenen gooien. Wanneer de meeste mensen aan dobbelstenen denken, denken ze aan een zeszijdige dobbelsteen die bekend staat als een d6. Maar de meeste gamers hebben veel andere dobbelstenen gezien: vierzijdig (d4), achtzijdig (d8), twaalfzijdig (d12), twintigzijdig (d20). Als je een echte nerd bent, heb je misschien ergens 30 of 100 korrels dobbelstenen.

Als u niet bekend bent met deze terminologie, staat d voor een dobbelsteen, en het nummer erachter is het aantal gezichten. Als het nummer vóór d komt, geeft het het aantal dobbelstenen aan bij het werpen. In Monopoly gooi je bijvoorbeeld 2d6.

Dus in dit geval is de uitdrukking "dobbelstenen" een conventionele aanduiding. Er zijn tal van andere generatoren voor willekeurige getallen die er niet uitzien als plastic figuren, maar dezelfde functie hebben - ze genereren een willekeurig getal van 1 tot n. Een gewone munt kan ook worden weergegeven als een dihedral d2-dobbelsteen.

Ik zag twee ontwerpen van een zevenzijdige dobbelsteen: een ervan leek op een dobbelsteen en de tweede leek meer op een zevenzijdig houten potlood. Een tetraëdrische dreidel, ook bekend als een titotum, is een analoog van een tetraëdrisch bot. Het spelbord met een draaiende pijl in Chutes & Ladders, waar het resultaat van 1 tot 6 kan zijn, komt overeen met een zeszijdige dobbelsteen.

Een willekeurige getallengenerator in een computer kan elk getal van 1 tot 19 genereren als de ontwerper zo'n opdracht geeft, hoewel de computer geen 19-zijdige dobbelstenen heeft (in het algemeen zal ik meer praten over de kans op het krijgen van getallen op een computer volgende week). Al deze items zien er anders uit, maar in feite zijn ze equivalent: je hebt een gelijke kans op elk van meerdere mogelijke uitkomsten.

Dobbelstenen hebben een aantal interessante eigenschappen waarover we moeten weten. Ten eerste is de kans op het krijgen van een van de gezichten hetzelfde (ik neem aan dat je een gewone geometrische dobbelsteen gooit). Als je de gemiddelde waarde van een worp wilt weten (bekend als de wiskundige verwachting voor degenen die dol zijn op kansrekening), tel dan de waarden op alle randen op en deel dit aantal door het aantal randen.

De som van de waarden van alle vlakken voor een standaard zeszijdige dobbelsteen is 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Deel 21 door het aantal vlakken en krijg de gemiddelde waarde van de worp: 21 / 6 = 3,5. Dit is een speciaal geval omdat we aannemen dat alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn.

Wat als je speciale dobbelstenen hebt? Ik zag bijvoorbeeld een spel met een zeszijdige dobbelsteen met speciale stickers op de gezichten: 1, 1, 1, 2, 2, 3, dus het gedraagt ​​​​zich als een vreemde driezijdige dobbelsteen, die meer kans heeft om de nummer 1 dan 2, en de kans is groter dat er een 2 wordt gegooid dan een 3. Wat is de gemiddelde worpwaarde voor deze dobbelsteen? Dus, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, deel door 6 - je krijgt 5/3, of ongeveer 1,66. Dus als je een speciale dobbelsteen hebt en spelers gooien drie dobbelstenen en tellen de resultaten bij elkaar op, dan weet je dat hun totaal ongeveer 5 zal zijn en kun je het spel op basis van die veronderstelling in evenwicht brengen.

Dobbelstenen en onafhankelijkheid

Zoals ik al zei, gaan we ervan uit dat de uitval van elk vlak even waarschijnlijk is. Het maakt niet uit hoeveel dobbelstenen je hier gooit. Elke worp van de dobbelsteen is onafhankelijk, wat betekent dat eerdere worpen geen invloed hebben op de resultaten van volgende worpen. Als je genoeg pogingen doet, zul je ongetwijfeld een reeks getallen opmerken - bijvoorbeeld, meestal hogere of lagere waarden gooien - of andere kenmerken, maar dat betekent niet dat de dobbelstenen "heet" of "koud" zijn. We zullen hier later over praten.

Als je een standaard zeszijdige dobbelsteen gooit en het getal 6 komt twee keer achter elkaar naar voren, dan is de kans dat het resultaat van de volgende worp een 6 is ook 1/6. De kans neemt niet toe omdat de dobbelsteen "opwarmt" ". Tegelijkertijd neemt de kans niet af: het is onjuist om te stellen dat het getal 6 al twee keer achter elkaar is uitgevallen, waardoor er nu een ander gezicht moet uitvallen.

Als je twintig keer met een dobbelsteen gooit en elke keer komt het getal 6 naar voren, dan is de kans dat er de eenentwintigste keer een 6 komt vrij groot: je hebt misschien gewoon de verkeerde dobbelsteen. Maar als de dobbelsteen correct is, is de kans om elk van de gezichten te krijgen hetzelfde, ongeacht de resultaten van andere worpen. Je kunt je ook voorstellen dat we elke keer de dobbelsteen vervangen: als het getal 6 twee keer achter elkaar is gegooid, verwijder dan de "hete" dobbelsteen uit het spel en vervang deze door een nieuwe. Het spijt me als iemand van jullie dit al wist, maar ik moest dit verduidelijken voordat ik verder ging.

Hoe dobbelstenen min of meer willekeurig kunnen rollen

Laten we het hebben over hoe u verschillende resultaten kunt krijgen met verschillende dobbelstenen. Als je de dobbelsteen slechts één of meerdere keren gooit, zal het spel meer willekeurig aanvoelen als de dobbelsteen meer randen heeft. Hoe vaker je de dobbelstenen gooit en hoe meer dobbelstenen je gooit, hoe meer de resultaten het gemiddelde benaderen.

Bijvoorbeeld, in het geval van 1d6 + 4 (dat wil zeggen, als u een standaard zeszijdige dobbelsteen één keer gooit en 4 bij het resultaat optelt), is het gemiddelde een getal tussen 5 en 10. Als u 5d2 gooit, is het gemiddelde zal ook een getal tussen 5 en 10 zijn. Het resultaat van het rollen van 5d2 zal meestal de getallen 7 en 8 zijn, minder vaak andere waarden. Dezelfde reeks, zelfs dezelfde gemiddelde waarde (7,5 in beide gevallen), maar de aard van de willekeur is anders.

Wacht even. Zei ik net niet dat dobbelstenen niet "opwarmen" of "afkoelen"? En nu zeg ik: als je veel dobbelstenen gooit, liggen de resultaten van de worpen dichter bij de gemiddelde waarde. Waarom?

Laat het me uitleggen. Als je een enkele dobbelsteen gooit, is de kans dat elk van de gezichten naar boven komt hetzelfde. Dit betekent dat als je in de loop van de tijd veel dobbelstenen gooit, elk vlak ongeveer hetzelfde aantal keer zal verschijnen. Hoe meer dobbelstenen je gooit, hoe meer het totale resultaat het gemiddelde zal benaderen.

Dit is niet omdat het gerolde nummer "ervoor zorgt" dat een ander nummer wordt gegooid dat nog niet is gegooid. Omdat een kleine reeks van het werpen van het getal 6 (of 20, of een ander getal) uiteindelijk niet veel uitmaakt als je de dobbelstenen nog tienduizend keer gooit en het is meestal het gemiddelde. Nu heb je een paar grote getallen en later een paar kleine - en na verloop van tijd zullen ze de gemiddelde waarde benaderen.

Dit is niet omdat eerdere worpen de dobbelstenen beïnvloeden (serieus, een dobbelsteen is gemaakt van plastic, hij heeft niet de hersens om te denken: "Oh, het is lang geleden dat er een 2 opkwam"), maar omdat het meestal gebeurt met veel rollen, dobbelstenen.

Het is dus vrij eenvoudig om te berekenen voor één willekeurige worp van een dobbelsteen - bereken in ieder geval de gemiddelde waarde van de worp. Er zijn ook manieren om te berekenen "hoe willekeurig" iets is en te zeggen dat de resultaten van een worp van 1d6 + 4 "meer willekeurig" zullen zijn dan 5d2. Voor 5d2 worden de gerolde resultaten gelijkmatiger verdeeld. Om dit te doen, moet u de standaarddeviatie berekenen: hoe groter de waarde, hoe willekeuriger de resultaten zullen zijn. Ik zou vandaag niet zoveel berekeningen willen geven, ik zal dit onderwerp later uitleggen.

Het enige dat ik je wil vragen te onthouden, is dat, als algemene regel, hoe minder dobbelstenen je gooit, hoe willekeuriger. En hoe meer kanten de dobbelsteen heeft, hoe meer willekeur, aangezien er meer opties zijn voor de waarde.

Hoe de kans te berekenen met behulp van tellen

U vraagt ​​zich misschien af: hoe kunnen we de exacte kans op een bepaalde uitkomst berekenen? In feite is dit voor veel spellen heel belangrijk: als je de dobbelsteen aanvankelijk gooit, is er waarschijnlijk een optimaal resultaat. Het antwoord is: we moeten twee waarden berekenen. Ten eerste het totale aantal uitkomsten bij het werpen van een dobbelsteen en ten tweede het aantal gunstige uitkomsten. Door de tweede waarde te delen door de eerste, krijg je de gewenste kans. Om een ​​percentage te krijgen, vermenigvuldigt u het resultaat met 100.

Voorbeelden

Hier is een heel eenvoudig voorbeeld. Je wilt een 4 of hoger gooien en een keer een zeszijdige dobbelsteen gooien. Het maximale aantal uitkomsten is 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Hiervan zijn 3 uitkomsten (4, 5, 6) gunstig. Dus, om de kans te berekenen, delen we 3 bij 6 en krijgen 0,5 of 50%.

Hier is een voorbeeld dat iets gecompliceerder is. U wilt dat de worp van 2d6 een even getal oplevert. Het maximale aantal uitkomsten is 36 (6 opties voor elke dobbelsteen, de ene dobbelsteen heeft geen invloed op de andere, dus we vermenigvuldigen 6 met 6 en krijgen 36). De moeilijkheid met dit soort vragen is dat het gemakkelijk is om twee keer te tellen. Bij een worp van 2d6 zijn er bijvoorbeeld twee mogelijke uitkomsten van 3:1+2 en 2+1. Ze zien er hetzelfde uit, maar het verschil is welk nummer op de eerste dobbelsteen staat en welke op de tweede.

Je kunt je ook voorstellen dat de dobbelstenen verschillende kleuren hebben: in dit geval is bijvoorbeeld de ene dobbelsteen rood, de andere blauw. Tel dan het aantal mogelijke voorkomens van een even getal:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Het blijkt dat er 18 opties zijn voor een gunstige uitkomst van de 36 - zoals in het vorige geval is de kans 0,5 of 50%. Misschien onverwacht, maar heel nauwkeurig.

Monte Carlo simulatie

Wat als je te veel dobbelstenen hebt voor deze berekening? U wilt bijvoorbeeld weten wat de kans is dat er in totaal 15 of meer op een worp van 8d6 komen. Er zijn enorm veel verschillende uitkomsten voor acht dobbelstenen, en het handmatig tellen ervan zou erg lang duren - zelfs als we een goede oplossing zouden kunnen vinden om de verschillende series dobbelstenen te groeperen.

In dit geval is de gemakkelijkste manier om niet handmatig te tellen, maar een computer te gebruiken. Er zijn twee manieren om de kans op een computer te berekenen. De eerste manier kan het exacte antwoord krijgen, maar het vereist een beetje programmeren of scripten. De computer doorloopt elke mogelijkheid, evalueert en telt het totale aantal iteraties en het aantal iteraties dat overeenkomt met het gewenste resultaat, en geeft vervolgens de antwoorden. Uw code kan er ongeveer zo uitzien:

Als je geen programmeur bent en je wilt geen exact antwoord, maar een antwoord bij benadering, dan kun je deze situatie in Excel simuleren, waar je 8d6 een paar duizend keer gooit en het antwoord krijgt. Gebruik de formule om 1d6 in Excel te rollen: =VERDIEPING(ASELECT()*6)+1.

Er is een naam voor de situatie waarin je het antwoord niet weet en het gewoon vaak probeert - Monte Carlo-simulatie. Dit is een geweldige oplossing om op terug te vallen als het te moeilijk is om de kans te berekenen. Het mooie is dat we in dit geval niet hoeven te begrijpen hoe de wiskunde werkt, en we weten dat het antwoord "best goed" zal zijn, want, zoals we al weten, hoe meer rollen, hoe meer het resultaat de gemiddelde waarde.

Hoe onafhankelijke proeven combineren?

Als u vraagt ​​naar meerdere herhaalde maar onafhankelijke proeven, heeft de uitkomst van één worp geen invloed op de uitkomst van andere worpen. Er is nog een eenvoudigere verklaring voor deze situatie.

Hoe onderscheid te maken tussen iets afhankelijks en onafhankelijks? Als je elke worp (of reeks worpen) van een dobbelsteen als een afzonderlijke gebeurtenis kunt isoleren, is deze in principe onafhankelijk. We gooien bijvoorbeeld 8d6 en willen in totaal 15 gooien. Dit evenement kan niet worden opgedeeld in verschillende onafhankelijke dobbelstenen. Om het resultaat te krijgen, berekent u de som van alle waarden, dus het resultaat dat op één dobbelsteen wordt gegooid, heeft invloed op de resultaten die op andere moeten worden gegooid.

Hier is een voorbeeld van onafhankelijke worpen: je speelt een dobbelspel en je gooit een paar keer met zeszijdige dobbelstenen. De eerste worp moet een 2 of hoger gooien om in het spel te blijven. Voor de tweede worp - 3 of hoger. De derde vereist 4 of meer, de vierde vereist 5 of meer en de vijfde vereist 6. Als alle vijf de worpen succesvol zijn, wint u. In dit geval zijn alle worpen onafhankelijk. Ja, als een worp mislukt, heeft dit invloed op de uitkomst van het hele spel, maar de ene worp heeft geen invloed op de andere. Als uw tweede worp met de dobbelstenen bijvoorbeeld erg goed is, betekent dit niet dat de volgende worpen net zo goed zullen zijn. Daarom kunnen we de kans op elke worp van de dobbelstenen afzonderlijk bekijken.

Als je onafhankelijke kansen hebt en je wilt weten wat de kans is dat alle gebeurtenissen zullen plaatsvinden, bepaal je elke individuele kans en vermenigvuldig je ze. Een andere manier: als u "en" gebruikt om verschillende omstandigheden te beschrijven (bijvoorbeeld, wat is de kans op een willekeurige gebeurtenis en een andere onafhankelijke willekeurige gebeurtenis?) - bereken de individuele kansen en vermenigvuldig ze.

Het maakt niet uit wat je denkt - tel nooit de onafhankelijke kansen op. Dit is een veel voorkomende fout. Om te begrijpen waarom dit verkeerd is, stelt u zich een situatie voor waarin u een munt opgooit en u wilt weten wat de kans is dat u twee keer achter elkaar kop krijgt. De kans om uit elke kant te vallen is 50%. Als je deze twee kansen bij elkaar optelt, krijg je 100% kans om kop te krijgen, maar we weten dat dat niet waar is, omdat er twee opeenvolgende kansen op kunnen komen. Als je in plaats daarvan de twee kansen vermenigvuldigt, krijg je 50% * 50% = 25% - wat het juiste antwoord is voor het berekenen van de kans om twee keer achter elkaar kop te krijgen.

Voorbeeld

Laten we teruggaan naar het spel van de zeszijdige dobbelstenen, waarbij je eerst een getal groter dan 2 moet gooien, dan meer dan 3 - en zo verder tot 6. Wat is de kans dat in een bepaalde reeks van vijf worpen alle zullen de resultaten gunstig zijn?

Zoals hierboven vermeld, zijn dit onafhankelijke proeven, dus we berekenen de kans voor elke afzonderlijke worp en vermenigvuldigen deze vervolgens. De kans dat de uitkomst van de eerste worp gunstig is, is 5/6. De tweede - 4/6. Derde - 3/6. De vierde - 2/6, de vijfde - 1/6. We vermenigvuldigen alle resultaten met elkaar en krijgen ongeveer 1,5%. Winsten in dit spel zijn vrij zeldzaam, dus als je dit element aan je spel toevoegt, heb je een behoorlijk grote jackpot nodig.

Negatie

Hier is nog een handige hint: soms is het moeilijk om de kans te berekenen dat een gebeurtenis zal plaatsvinden, maar het is gemakkelijker om de kans te bepalen dat een gebeurtenis niet zal plaatsvinden. Stel dat we een ander spel hebben: je gooit 6d6 en je wint als je minstens één keer een 6 gooit. Wat is de kans om te winnen?

In dit geval zijn er veel opties om te overwegen. Het is mogelijk dat een nummer 6 eruit valt, dat wil zeggen dat het nummer 6 op een van de dobbelstenen valt en de nummers van 1 tot 5 op de anderen, dan zijn er 6 opties voor welke van de dobbelstenen a 6. Je kunt het getal 6 krijgen op twee dobbelstenen, of drie, of zelfs meer, en elke keer moet je een aparte berekening maken, dus het is gemakkelijk om hier in de war te raken.

Maar laten we het probleem eens van de andere kant bekijken. Je verliest als geen van de dobbelstenen een 6 gooit. In dit geval hebben we 6 onafhankelijke proeven. De kans dat elke dobbelsteen een ander getal dan 6 gooit, is 5/6. Vermenigvuldig ze - en krijg ongeveer 33%. De kans om te verliezen is dus één op drie. Daarom is de kans om te winnen 67% (of twee tot drie).

Uit dit voorbeeld is het duidelijk dat als u de kans berekent dat een gebeurtenis niet zal plaatsvinden, u het resultaat van 100% moet aftrekken. Als de kans om te winnen 67% is, dan is de kans om te verliezen 100% minus 67% of 33% en vice versa. Als het moeilijk is om één kans te berekenen, maar het is gemakkelijk om het tegenovergestelde te berekenen, bereken dan het tegenovergestelde en trek dit getal vervolgens van 100% af.

Aansluitvoorwaarden voor één onafhankelijke test

Ik zei iets eerder dat je kansen nooit mag optellen in onafhankelijke onderzoeken. Zijn er gevallen waarin het mogelijk is om de kansen op te tellen? Ja, in een bepaalde situatie.

Als u de kans wilt berekenen op meerdere niet-gerelateerde gunstige uitkomsten voor hetzelfde onderzoek, tel dan de kansen van elke gunstige uitkomst bij elkaar op. Bijvoorbeeld, de kans op het gooien van een 4, 5 of 6 op 1d6 is gelijk aan de som van de kans op het gooien van een 4, de kans op het gooien van een 5 en de kans op het gooien van een 6. Deze situatie kan worden weergegeven als volgt: de kans op een of andere uitkomst van een willekeurige gebeurtenis?) - bereken de individuele kansen en som ze op.

Let op: wanneer u alle mogelijke uitkomsten van het spel berekent, moet de som van de kansen op hun optreden gelijk zijn aan 100%, anders is uw berekening onjuist gemaakt. Dit is een goede manier om uw berekeningen dubbel te controleren. Je hebt bijvoorbeeld de kans geanalyseerd om alle combinaties in poker te krijgen. Als je alle resultaten die je krijgt bij elkaar optelt, zou je precies 100% moeten krijgen (of in ieder geval een waarde die dicht bij 100% ligt: ​​als je een rekenmachine gebruikt, kan er een kleine afrondingsfout zijn, maar als je de exacte cijfers met de hand, alles zou moeten kloppen.). Klopt de som niet, dan heb je waarschijnlijk sommige combinaties niet in aanmerking genomen of de kansen op sommige combinaties niet goed berekend en moeten de berekeningen opnieuw worden gecontroleerd.

Ongelijke kansen

Tot nu toe hebben we aangenomen dat elk vlak van de dobbelsteen er met dezelfde frequentie uit valt, want zo werkt de dobbelsteen. Maar soms kun je een situatie tegenkomen waarin verschillende uitkomsten mogelijk zijn en ze verschillende kansen hebben om uit elkaar te vallen.

Zo is er in een van de toevoegingen aan het kaartspel Nuclear War een speelveld met een pijl, die het resultaat van een raketlancering bepaalt. Meestal richt het normale schade aan, min of meer, maar soms wordt de schade verdubbeld of verdrievoudigd, of de raket explodeert op het lanceerplatform en verwondt je, of er vindt een andere gebeurtenis plaats. In tegenstelling tot het pijlbord in Chutes & Ladders of A Game of Life, zijn de resultaten van het bord in Nuclear War niet even waarschijnlijk. Sommige delen van het speelveld zijn groter en de pijl stopt er veel vaker op, terwijl andere delen erg klein zijn en de pijl er zelden op stopt.

Dus op het eerste gezicht ziet het bot er ongeveer zo uit: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - we hebben het er al over gehad, het is zoiets als een gewogen 1d3. Daarom moeten we al deze secties in gelijke delen verdelen, de kleinste maateenheid vinden, de deler, waarvan alles een veelvoud is, en dan de situatie voorstellen als d522 (of een andere), waar de reeks dobbelstenen zal vertegenwoordigen dezelfde situatie, maar met meer resultaten. Dit is een manier om het probleem op te lossen, en het is technisch haalbaar, maar er is een eenvoudigere optie.

Laten we teruggaan naar onze standaard zeszijdige dobbelstenen. We zeiden dat om de gemiddelde waarde van een worp voor een normale dobbelsteen te berekenen, je de waarden van alle vlakken moet optellen en delen door het aantal vlakken, maar hoe wordt de berekening precies uitgevoerd? Je kunt het anders uiten. Voor een zeszijdige dobbelsteen is de kans dat elk gezicht omhoog komt precies 1/6. Nu vermenigvuldigen we de uitkomst van elk facet met de kans op die uitkomst (in dit geval 1/6 voor elk facet) en tellen vervolgens de resulterende waarden op. Dus optellen (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), we krijgen hetzelfde resultaat (3.5) als in de bovenstaande berekening. In feite berekenen we dit elke keer: we vermenigvuldigen elke uitkomst met de kans op die uitkomst.

Kunnen we dezelfde berekening doen voor de pijl op het spelbord in Nuclear War? Natuurlijk kunnen we. En als we alle gevonden resultaten bij elkaar optellen, krijgen we de gemiddelde waarde. Het enige wat we hoeven te doen is de waarschijnlijkheid van elke uitkomst voor de pijl op het speelveld berekenen en vermenigvuldigen met de waarde van de uitkomst.

Een ander voorbeeld

De genoemde methode om het gemiddelde te berekenen is ook geschikt als de resultaten even waarschijnlijk zijn, maar andere voordelen hebben - bijvoorbeeld als je een dobbelsteen gooit en op sommige gezichten meer wint dan op andere. Laten we bijvoorbeeld een spel nemen dat in een casino plaatsvindt: je plaatst een weddenschap en gooit 2d6. Als er drie getallen met een lage waarde (2, 3, 4) of vier getallen met een hoge waarde (9, 10, 11, 12) verschijnen, win je een bedrag dat gelijk is aan je inzet. Bijzonder zijn de getallen met de laagste en hoogste waarde: als er een 2 of 12 komt, win je twee keer zoveel als je inzet. Als er een ander nummer verschijnt (5, 6, 7, 8) verliest u uw inzet. Dit is een vrij eenvoudig spel. Maar wat is de kans om te winnen?

Laten we beginnen met te tellen hoe vaak je kunt winnen. Het maximale aantal uitkomsten op een 2d6 worp is 36. Wat is het aantal gunstige uitkomsten?

• Er is 1 optie die 2 gooit en 1 optie die 12 gooit.
• Er zijn 2 opties voor een 3 en 2 opties voor een 11.
• Er zijn 3 opties voor een 4 en 3 opties voor een 10.
• Er zijn 4 opties die 9 zullen werpen.

Als we alle opties bij elkaar optellen, krijgen we 16 gunstige uitkomsten van de 36. Dus onder normale omstandigheden win je 16 van de 36 mogelijke keren - de kans om te winnen is iets minder dan 50%.

Maar twee keer van die zestien win je twee keer zoveel - het is alsof je twee keer wint. Als je dit spel 36 keer speelt, waarbij je elke keer $ 1 inzet, en alle mogelijke uitkomsten komen één keer voor, dan win je in totaal $ 18 (je wint eigenlijk 16 keer, maar twee ervan tellen als twee overwinningen). ). Als je 36 keer speelt en $ 18 wint, betekent dat dan niet dat de kansen gelijk zijn?

Neem je tijd. Als je het aantal keren telt dat je kunt verliezen, krijg je 20, niet 18. Als je 36 keer speelt en elke keer $ 1 inzet, win je in totaal $ 18 als alle kansen rollen. Maar u verliest in totaal $ 20 op alle 20 slechte resultaten. Als gevolg hiervan loop je iets achter: je verliest gemiddeld $ 2 netto voor elke 36 spellen (je kunt ook zeggen dat je gemiddeld $ 1/18 per dag verliest). Nu zie je hoe gemakkelijk het is om in dit geval een fout te maken en de kans verkeerd te berekenen.

Permutatie

Tot nu toe hebben we aangenomen dat de volgorde waarin de getallen worden gegooid er niet toe doet bij het werpen van de dobbelstenen. Een worp van 2 + 4 is hetzelfde als een worp van 4 + 2. In de meeste gevallen tellen we handmatig het aantal gunstige uitkomsten, maar soms is deze methode onpraktisch en is het beter om een ​​wiskundige formule te gebruiken.

Een voorbeeld van deze situatie is van het Farkle-dobbelspel. Voor elke nieuwe ronde gooi je 6d6. Als je geluk hebt en alle mogelijke uitkomsten van 1-2-3-4-5-6 (Straight) naar voren komen, krijg je een grote bonus. Wat is de kans dat dit gebeurt? In dit geval zijn er veel opties voor het verlies van deze combinatie.

De oplossing is als volgt: op een van de dobbelstenen (en alleen op één) zou het cijfer 1 moeten vallen. Hoeveel opties heeft het cijfer 1 om op één dobbelsteen te vallen? Er zijn 6 opties, aangezien er 6 dobbelstenen zijn, en nummer 1 kan op elk van hen vallen. Neem daarom één dobbelsteen en leg deze opzij. Nu moet het getal 2 op een van de overgebleven dobbelstenen vallen, hier zijn 5 mogelijkheden voor. Neem nog een dobbelsteen en leg deze opzij. Dan mogen er 4 van de overgebleven dobbelstenen op een 3 landen, 3 van de overgebleven dobbelstenen op een 4 en 2 van de overgebleven dobbelstenen op een 5. Als resultaat blijft er één dobbelsteen over, waarop het nummer 6 moet vallen (in het laatste geval is er bij een dobbelsteen maar één bot en is er geen keuze).

Om het aantal gunstige uitkomsten voor een rechte combinatie te tellen, vermenigvuldigen we alle verschillende onafhankelijke opties: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - er lijkt een vrij groot aantal opties te zijn voor deze combinatie te komen.

Om de kans op een rechte combinatie te berekenen, moeten we 720 delen door het aantal van alle mogelijke uitkomsten voor het rollen van 6d6. Wat is het aantal van alle mogelijke uitkomsten? Elke dobbelsteen kan 6 vlakken rollen, dus we vermenigvuldigen 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (een veel groter aantal dan de vorige). We delen 720 door 46656 en we krijgen een kans gelijk aan ongeveer 1,5%. Als je dit spel aan het ontwerpen was, zou het handig zijn om dit te weten, zodat je een geschikt scoresysteem kunt maken. Nu begrijpen we waarom je in Farkle zo'n grote bonus krijgt als je een straight-combinatie raakt: deze situatie is vrij zeldzaam.

Het resultaat is ook om een ​​andere reden interessant. Het voorbeeld laat zien hoe zelden in een korte periode het resultaat dat overeenkomt met de kans uitvalt. Natuurlijk, als we enkele duizenden dobbelstenen zouden gooien, zouden verschillende kanten van de dobbelstenen vrij vaak naar voren komen. Maar wanneer we slechts zes dobbelstenen gooien, gebeurt het bijna nooit dat elke dobbelsteen opduikt. Het wordt duidelijk dat het dwaas is om te verwachten dat er nu een gezicht uit zal vallen dat er nog niet is geweest, want "we hebben het getal 6 al heel lang niet meer laten vallen." Kijk, je random number generator is kapot.

Dit leidt ons tot de algemene misvatting dat alle uitkomsten in korte tijd in hetzelfde tempo optreden. Als we de dobbelstenen meerdere keren gooien, zal de frequentie van elk van de gezichten niet hetzelfde zijn.

Als je ooit eerder aan een online game hebt gewerkt met een soort willekeurige nummergenerator, dan ben je hoogstwaarschijnlijk een situatie tegengekomen waarin een speler naar de technische ondersteuning schrijft met de klacht dat de willekeurige nummergenerator geen willekeurige nummers weergeeft. Hij kwam tot deze conclusie omdat hij 4 monsters achter elkaar doodde en 4 exact dezelfde beloningen ontving, en deze beloningen zouden slechts 10% van de tijd moeten dalen, dus dit zou natuurlijk bijna nooit moeten gebeuren.

Je bent aan het rekenen. De kans is 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, dat wil zeggen, 1 uitkomst op 10 duizend is een vrij zeldzaam geval. Dat is wat de speler je probeert te vertellen. Is er in dit geval een probleem?

Alles hangt af van de omstandigheden. Hoeveel spelers zijn er nu op je server? Stel je hebt een redelijk populair spel en elke dag spelen 100.000 mensen het. Hoeveel spelers zullen vier monsters op rij doden? Waarschijnlijk alles, meerdere keren per dag, maar laten we aannemen dat de helft van hen gewoon verschillende items ruilt op veilingen, chat op RP-servers of andere spelactiviteiten doet - dus slechts de helft van hen jaagt op monsters. Hoe groot is de kans dat iemand dezelfde beloning krijgt? In deze situatie kunt u verwachten dat dit minstens een paar keer per dag zal gebeuren.

Trouwens, daarom lijkt het alsof om de paar weken iemand de loterij wint, zelfs als die iemand nog nooit jou is geweest of iemand die je kent. Als er genoeg mensen regelmatig spelen, is de kans groot dat er ergens minstens één gelukkige persoon is. Maar als je zelf meedoet aan de loterij, dan is de kans klein dat je wint, de kans is groter dat je wordt uitgenodigd om bij Infinity Ward te komen werken.

Kaarten en verslaving

We hebben onafhankelijke gebeurtenissen besproken, zoals het gooien van een dobbelsteen, en nu kennen we veel krachtige hulpmiddelen voor het analyseren van willekeur in veel games. De kansberekening is iets gecompliceerder als het gaat om het trekken van kaarten uit de stapel, omdat elke kaart die we verwijderen invloed heeft op de kaarten die in de stapel blijven.

Als je een standaard kaartspel van 52 kaarten hebt, trek je er 10 harten uit en wil je de kans weten dat de volgende kaart van dezelfde kleur is - de kans is veranderd ten opzichte van het origineel omdat je al één hartenkaart uit de kaart hebt gehaald. dek. Elke kaart die je verwijdert, verandert de kans dat de volgende kaart in de stapel verschijnt. In dit geval heeft de vorige gebeurtenis invloed op de volgende, dus we noemen dit kansafhankelijk.

Merk op dat als ik "kaarten" zeg, ik elke game-monteur bedoel die een set objecten heeft en je verwijdert een van de objecten zonder deze te vervangen. Een "spel kaarten" is in dit geval analoog aan een zak chips waaruit je een chip haalt, of een urn waaruit gekleurde ballen worden gehaald (ik heb nog nooit spellen gezien met een urn waaruit gekleurde ballen zouden worden genomen uit, maar docenten van kansrekening over wat om de een of andere reden dit voorbeeld de voorkeur heeft).

Afhankelijkheidseigenschappen

Ik wil graag verduidelijken dat als het om kaarten gaat, ik ervan uit ga dat je kaarten trekt, ernaar kijkt en ze van de stapel haalt. Elk van deze acties is een belangrijke eigenschap. Als ik een pak van bijvoorbeeld zes kaarten had, genummerd van 1 tot 6, zou ik ze schudden en één kaart trekken, en dan alle zes de kaarten opnieuw schudden - dit zou vergelijkbaar zijn met het gooien van een zeszijdige dobbelsteen, omdat één resultaat niet invloed hier voor de volgende. En als ik kaarten trek en ze niet vervang, dan vergroot ik door een 1 kaart te trekken de kans dat ik de volgende keer dat ik een kaart trek met het cijfer 6. De kans zal toenemen totdat ik uiteindelijk deze kaart trek of de stapel schud.

Het feit dat we naar kaarten kijken is ook belangrijk. Als ik een kaart uit de stapel neem en er niet naar kijk, heb ik geen aanvullende informatie en verandert de waarschijnlijkheid niet. Dit klinkt misschien onlogisch. Hoe kan het simpelweg omdraaien van een kaart de kansen op magische wijze veranderen? Maar het is mogelijk omdat je de kans op onbekende items alleen kunt berekenen op basis van wat je weet.

Als u bijvoorbeeld een standaard kaartspel schudt en 51 kaarten onthult en geen van hen is een klaverenvrouw, dan kunt u er 100% zeker van zijn dat de resterende kaart een klaverenvrouw is. Als je een standaard kaartspel schudt en 51 kaarten trekt zonder ernaar te kijken, dan is de kans dat de overgebleven kaart de klaverenvrouw is nog steeds 1/52. Naarmate u elke kaart opent, krijgt u meer informatie.

Het berekenen van de waarschijnlijkheid voor afhankelijke gebeurtenissen volgt dezelfde principes als voor onafhankelijke gebeurtenissen, behalve dat het een beetje ingewikkelder is, omdat de kansen veranderen wanneer u de kaarten onthult. U moet dus veel verschillende waarden vermenigvuldigen in plaats van dezelfde waarde te vermenigvuldigen. In feite betekent dit dat we alle berekeningen die we hebben gedaan in één combinatie moeten combineren.

Voorbeeld

Je schudt een standaard kaartspel van 52 kaarten en trekt twee kaarten. Hoe groot is de kans dat je een paar eruit haalt? Er zijn verschillende manieren om deze kans te berekenen, maar misschien is de eenvoudigste de volgende: wat is de kans dat je na het trekken van één kaart geen paar kunt trekken? Deze kans is nul, dus het maakt niet echt uit welke eerste kaart je trekt, zolang deze maar overeenkomt met de tweede. Het maakt niet uit welke kaart we als eerste trekken, we hebben nog steeds een kans om een ​​paar te trekken. Daarom is de kans om een ​​paar te nemen na het pakken van de eerste kaart 100%.

Wat is de kans dat de tweede kaart overeenkomt met de eerste? Er zijn nog 51 kaarten in de stapel en 3 daarvan komen overeen met de eerste kaart (eigenlijk zou het 4 van de 52 zijn, maar je hebt al een van de overeenkomende kaarten verwijderd toen je de eerste kaart trok), dus de kans is 1/ 17. Dus de volgende keer dat de man tegenover je aan de tafel Texas Hold'em speelt, zegt hij: 'Cool, nog een paar? Ik heb geluk vandaag", zult u weten dat hij met een grote waarschijnlijkheid bluft.

Wat als we twee jokers toevoegen, dus we hebben 54 kaarten in de stapel, en we willen weten wat de kans is om een ​​paar te trekken? De eerste kaart kan een joker zijn, en dan zal er maar één kaart in het kaartspel zijn die overeenkomt, niet drie. Hoe de kans in dit geval te vinden? We delen de kansen en vermenigvuldigen elke mogelijkheid.

Onze eerste kaart kan een joker zijn of een andere kaart. De kans om een ​​joker te trekken is 2/54, de kans om een ​​andere kaart te trekken is 52/54. Als de eerste kaart een joker is (2/54), dan is de kans dat de tweede kaart overeenkomt met de eerste 1/53. We vermenigvuldigen de waarden (we kunnen ze vermenigvuldigen omdat het afzonderlijke gebeurtenissen zijn en we willen dat beide gebeurtenissen plaatsvinden) en we krijgen 1/1431 - minder dan een tiende van een procent.

Als je eerst een andere kaart trekt (52/54), is de kans dat je de tweede kaart matcht 3/53. We vermenigvuldigen de waarden en krijgen 78/1431 (iets meer dan 5,5%). Wat doen we met deze twee resultaten? Ze kruisen elkaar niet, en we willen de waarschijnlijkheid van elk van hen weten, dus we vatten de waarden samen. We krijgen het eindresultaat 79/1431 (nog steeds ongeveer 5,5%).

Als we zeker willen zijn van de juistheid van het antwoord, kunnen we de waarschijnlijkheid van alle andere mogelijke uitkomsten berekenen: de joker trekken en niet overeenkomen met de tweede kaart, of een andere kaart trekken die niet overeenkomt met de tweede kaart. Als we deze kansen en de kans om te winnen bij elkaar optellen, zouden we precies 100% krijgen. Ik zal de wiskunde hier niet geven, maar je kunt de wiskunde proberen om te controleren.

De Monty Hall-paradox

Dit brengt ons bij een vrij bekende paradox die velen vaak in verwarring brengt, de Monty Hall Paradox. De paradox is genoemd naar de presentator van het tv-programma Let's Make a Deal. Voor degenen die dit tv-programma nog nooit hebben gezien, zal ik zeggen dat het het tegenovergestelde was van The Price Is Right.

In The Price Is Right is de host (voorheen gehost door Bob Barker, nu Drew Carey? Nevermind) je vriend. Hij wil dat je geld of coole prijzen wint. Het probeert je alle kansen te geven om te winnen, zolang je maar kunt raden hoeveel de gesponsorde items werkelijk waard zijn.

Monty Hall gedroeg zich anders. Hij was als de boze tweelingbroer van Bob Barker. Zijn doel was om je er als een idioot uit te laten zien op de nationale televisie. Als je op de show was, was hij je tegenstander, je speelde tegen hem en de kansen waren in zijn voordeel. Misschien ben ik overdreven hard, maar kijkend naar een show waar je meer kans op hebt als je een belachelijk kostuum draagt, is dat precies waar ik naar toe kom.

Een van de bekendste memes van de show was deze: er zijn drie deuren voor je, deur nummer 1, deur nummer 2 en deur nummer 3. Je mag gratis één deur kiezen. Achter een van hen ligt een prachtige prijs, bijvoorbeeld een nieuwe auto. Er zijn geen prijzen achter de andere twee deuren, beide hebben geen waarde. Ze zouden je moeten vernederen, dus achter hen is niet zomaar iets, maar iets stoms, bijvoorbeeld een geit of een enorme tube tandpasta - allesbehalve een nieuwe auto.

Je kiest een van de deuren, Monty staat op het punt hem te openen om je te laten weten of je gewonnen hebt of niet... maar wacht. Laten we, voordat we het weten, eens kijken naar een van die deuren die je niet hebt gekozen. Monty weet achter welke deur de prijs zit, en hij kan altijd een deur openen waar geen prijs achter zit. “Kies je deur nummer 3? Laten we dan deur nummer 1 openen om te laten zien dat er geen prijs achter zat." En nu biedt hij je uit vrijgevigheid de mogelijkheid om de gekozen deur nummer 3 in te ruilen voor wat zich achter deur nummer 2 bevindt.

Op dit punt rijst de vraag naar waarschijnlijkheid: vergroot deze kans uw winkans, of verlaagt deze, of blijft deze ongewijzigd? Wat denk je?

Correct antwoord: de mogelijkheid om een ​​andere deur te kiezen verhoogt de winkans van 1/3 naar 2/3. Dit is onlogisch. Als je deze paradox nog niet eerder bent tegengekomen, dan denk je hoogstwaarschijnlijk: wacht, hoe is het: door één deur te openen, hebben we op magische wijze de kans veranderd? Zoals we bij het voorbeeld van de kaart zagen, is dit precies wat er gebeurt als we meer informatie krijgen. Het is duidelijk dat wanneer je voor de eerste keer kiest, de kans om te winnen 1/3 is. Wanneer een deur opengaat, verandert dat niets aan de kans om te winnen voor de eerste keuze: de kans is nog steeds 1/3. Maar de kans dat de andere deur klopt is nu 2/3.

Laten we dit voorbeeld eens van de andere kant bekijken. Je kiest een deur. De kans om te winnen is 1/3. Ik stel voor dat je de andere twee deuren verandert, wat Monty Hall doet. Natuurlijk opent hij een van de deuren om te laten zien dat er geen prijs achter zit, maar hij kan dit altijd doen, dus het verandert eigenlijk niets. Natuurlijk wil je een andere deur kiezen.

Als je de vraag niet helemaal begrijpt en een meer overtuigende uitleg nodig hebt, klik dan op deze link om naar een geweldige kleine Flash-toepassing te gaan waarmee je deze paradox in meer detail kunt onderzoeken. Je kunt beginnen met ongeveer 10 deuren en dan geleidelijk opklimmen naar een spel met drie deuren. Er is ook een simulator waar je met een willekeurig aantal deuren van 3 tot 50 kunt spelen of duizenden simulaties kunt uitvoeren en kunt zien hoe vaak je zou winnen als je zou spelen.

Kies een van de drie deuren - de kans om te winnen is 1/3. Nu heb je twee strategieën: de keuze wijzigen nadat je de verkeerde deur hebt geopend of niet. Als u uw keuze niet verandert, blijft de kans 1/3, aangezien de keuze zich pas in de eerste fase bevindt en u meteen moet raden. Als je verandert, kun je winnen als je eerst de verkeerde deur kiest (daarna openen ze een andere verkeerde, de goede blijft - verander de beslissing, je neemt hem gewoon). De kans dat je in het begin de verkeerde deur kiest is 2/3 - dus het blijkt dat door je beslissing te veranderen, je de kans om te winnen verdubbelt.

Een opmerking van een leraar hogere wiskunde en een specialist in spelbalans Maxim Soldatov - natuurlijk had Schreiber het niet, maar zonder het is het vrij moeilijk om deze magische transformatie te begrijpen

De Monty Hall-paradox opnieuw bezoeken

Wat de show zelf betreft, zelfs als de rivalen van Monty Hall niet goed waren in wiskunde, was hij er wel goed in. Dit is wat hij deed om het spel een beetje te veranderen. Als je de deur koos waarachter de prijs zat, met een kans van 1/3, bood hij je altijd de mogelijkheid om een ​​andere deur te kiezen. Je kiest een auto en ruilt die dan voor een geit en je ziet er behoorlijk dom uit - en dat is precies wat je nodig hebt, want Hall is een beetje een slechte kerel.

Maar als je een deur kiest die geen prijs heeft, biedt hij je maar de helft van de tijd een andere deur aan, of hij laat je gewoon je nieuwe geit zien en je verlaat het podium. Laten we eens kijken naar dit nieuwe spel waarin Monty Hall kan beslissen of we je de kans geven om een ​​andere deur te kiezen of niet.

Stel dat hij dit algoritme volgt: als je een deur kiest met een prijs, biedt hij je altijd de mogelijkheid om een ​​andere deur te kiezen, anders is de kans even groot dat hij je aanbiedt om een ​​andere deur te kiezen of je een geit geeft. Wat is de kans dat je wint?

Bij een van de drie opties kies je meteen de deur waarachter de prijs zich bevindt, en de gastheer nodigt je uit om een ​​andere te kiezen.

Van de overige twee van de drie opties (u kiest in eerste instantie de deur zonder prijs), zal in de helft van de gevallen de gastheer u aanbieden uw beslissing te wijzigen, en in de andere helft van de gevallen niet.

De helft van 2/3 is 1/3, dat wil zeggen, in één van de drie gevallen krijg je een geit, in één van de drie gevallen kies je de verkeerde deur en zal de gastheer je aanbieden om een ​​andere te kiezen, en in één van de drie gevallen kies je de juiste deur, maar hij biedt weer een andere aan.

Als de begeleider aanbiedt om een ​​andere deur te kiezen, weten we al dat een van de drie gevallen waarin hij ons een geit geeft en we vertrekken niet is gebeurd. Dit is nuttige informatie: het betekent dat onze winkansen zijn veranderd. Twee van de drie gevallen waarin we een keuze hebben: in het ene geval betekent dit dat we goed hebben geraden, en in het andere geval dat we verkeerd hebben geraden, dus als we überhaupt een keuze zouden krijgen, dan is de kans dat we winnen 1 /2 , en wiskundig maakt het niet uit of je bij je keuze blijft of een andere deur kiest.

Net als poker is het een psychologisch spel, geen wiskundig spel. Waarom bood Monty je een keuze aan? Denkt hij dat je een sukkel bent die niet weet dat het kiezen van een andere deur de “juiste” beslissing is en koppig vasthoudt aan zijn keuze (de situatie is immers psychologisch ingewikkelder wanneer je een auto kiest en hem dan verliest )?

Of biedt hij, die besluit dat je slim bent en een andere deur kiest, je deze kans, omdat hij weet dat je in eerste instantie goed geraden hebt en aan de haak valt? Of misschien is hij ongewoon aardig en dwingt hij je om iets goeds voor je te doen, omdat hij al lang geen auto's meer heeft gedoneerd en de producenten zeggen dat het publiek zich verveelt, en dat het beter zou zijn om snel een grote prijs uit te reiken, dus dat zijn de kijkcijfers gedaald?

Zo slaagt Monty er soms in om een ​​keuze te bieden, terwijl de totale winkans gelijk blijft aan 1/3. Onthoud dat de kans dat je direct verliest 1/3 is. Er is 1/3 kans dat je meteen raadt, en 50% van die keren win je (1/3 x 1/2 = 1/6).

De kans dat je in eerste instantie verkeerd gokt, maar dan kans maakt om een ​​andere deur te kiezen is 1/3, en in de helft van deze gevallen win je (ook 1/6). Tel twee onafhankelijke winstmogelijkheden bij elkaar op en je krijgt een kans van 1/3, dus het maakt niet uit of je bij je keuze blijft of een andere deur kiest - de totale kans dat je wint gedurende het spel is 1/3.

De kans wordt niet groter dan in de situatie dat je de deur geraden hebt en de gastheer je gewoon liet zien wat er achter zit, zonder aan te bieden een andere deur te kiezen. Het doel van het voorstel is niet om de kans te veranderen, maar om het besluitvormingsproces voor televisiekijken leuker te maken.

Dit is trouwens een van de redenen waarom poker zo interessant kan zijn: in de meeste formaten tussen rondes, wanneer inzetten worden gedaan (bijvoorbeeld de flop, turn en river in Texas Hold'em), worden de kaarten geleidelijk onthuld, en als je aan het begin van het spel één kans hebt om te winnen, dan verandert deze kans na elke inzetronde, wanneer er meer kaarten open zijn.

Jongen en meisje paradox

Dit brengt ons bij een andere bekende paradox die iedereen in verwarring brengt, de jongens-meisje-paradox. Het enige waar ik vandaag over schrijf dat niet direct gerelateerd is aan games (hoewel ik denk dat ik je gewoon moet pushen om geschikte spelmechanica te creëren). Dit is meer een puzzel, maar een interessante, en om het op te lossen, moet je de voorwaardelijke kans begrijpen waar we het hierboven over hadden.

Taak: Ik heb een vriend met twee kinderen, in ieder geval één van hen is een meisje. Hoe groot is de kans dat het tweede kind ook een meisje is? Laten we aannemen dat in elk gezin de kans op een meisje en een jongen 50/50 is, en dit geldt voor elk kind.

Sommige mannen hebben zelfs meer sperma met een X-chromosoom of een Y-chromosoom in hun sperma, dus de kans varieert enigszins. Als je weet dat het ene kind een meisje is, is de kans op een tweede meisje iets groter en zijn er andere aandoeningen, zoals hermafroditisme. Maar om dit probleem op te lossen, zullen we hier geen rekening mee houden en aannemen dat de geboorte van een kind een onafhankelijke gebeurtenis is en dat de geboorte van een jongen en een meisje even waarschijnlijk is.

Omdat we het hebben over een 1/2 kans, verwachten we intuïtief dat het antwoord 1/2 of 1/4 is, of een ander veelvoud van twee in de noemer. Maar het antwoord is 1/3. Waarom?

De moeilijkheid in dit geval is dat de informatie die we hebben het aantal mogelijkheden vermindert. Stel dat de ouders fan zijn van Sesamstraat en ongeacht het geslacht van de kinderen die ze A en B noemen. Onder normale omstandigheden zijn er vier even waarschijnlijke mogelijkheden: A en B zijn twee jongens, A en B zijn twee meisjes, A is een jongen en B is een meisje, A is een meisje en B is een jongen. Aangezien we weten dat ten minste één kind een meisje is, kunnen we de mogelijkheid uitsluiten dat A en B twee jongens zijn. Er blijven dus drie mogelijkheden over - nog steeds even waarschijnlijk. Als alle mogelijkheden even waarschijnlijk zijn en er zijn er drie, dan is de kans op elk ervan 1/3. Slechts in een van deze drie opties zijn beide kinderen meisjes, dus het antwoord is 1/3.

En weer over de paradox van een jongen en een meisje

De oplossing voor het probleem wordt nog onlogischer. Stel je voor dat mijn vriend twee kinderen heeft en een van hen is een meisje dat op dinsdag is geboren. Laten we aannemen dat een kind onder normale omstandigheden evenveel kans heeft om op elk van de zeven dagen van de week geboren te worden. Hoe groot is de kans dat het tweede kind ook een meisje is?

Je zou denken dat het antwoord nog steeds 1/3 is: wat betekent dinsdag? Maar in dit geval laat de intuïtie ons in de steek. Het antwoord is 13/27, wat niet alleen niet intuïtief is, maar ook heel vreemd. Wat is er in dit geval aan de hand?

Eigenlijk verandert dinsdag de kans omdat we niet weten welke baby op dinsdag is geboren, of misschien zijn beide op dinsdag geboren. In dit geval gebruiken we dezelfde logica: we tellen alle mogelijke combinaties als tenminste één kind een meisje is dat op dinsdag is geboren. Stel, net als in het vorige voorbeeld, dat de kinderen A en B heten. De combinaties zien er als volgt uit:

• A is een meisje dat op dinsdag is geboren, B is een jongen (in deze situatie zijn er 7 mogelijkheden, één voor elke dag van de week waarop een jongen geboren had kunnen worden).
• B - een meisje dat op dinsdag is geboren, A - een jongen (ook 7 mogelijkheden).
• A is een meisje dat op dinsdag is geboren, B is een meisje dat op een andere dag van de week is geboren (6 mogelijkheden).
• B - een meisje dat op dinsdag is geboren, A - een meisje dat niet op dinsdag is geboren (ook 6 kansen).
• A en B zijn twee meisjes die dinsdag zijn geboren (1 mogelijkheid, hier moet je op letten om niet dubbel te tellen).

We tellen en krijgen 27 verschillende even mogelijke combinaties van de geboorte van kinderen en dagen met minstens één kans dat een meisje op dinsdag wordt geboren. Hiervan zijn 13 mogelijkheden wanneer twee meisjes worden geboren. Het ziet er ook volkomen onlogisch uit - het lijkt erop dat deze taak alleen is uitgevonden om hoofdpijn te veroorzaken. Mocht je er toch nog niet uitkomen, de website van speltheoreticus Jesper Juhl heeft hier een goede uitleg over.

Als je momenteel aan een game werkt

Als er willekeur is in het spel dat je aan het ontwerpen bent, is dit een geweldige kans om het te analyseren. Selecteer een element dat u wilt analyseren. Vraag jezelf eerst af wat je zou verwachten van de waarschijnlijkheid van een bepaald element in de context van het spel.

Als je bijvoorbeeld een RPG maakt en je bedenkt hoe waarschijnlijk het moet zijn dat een speler een monster verslaat in een gevecht, vraag jezelf dan af welk winstpercentage voor jou goed voelt. Meestal, in het geval van console-RPG's, raken spelers erg overstuur als ze verliezen, dus het is beter dat ze niet vaak verliezen - 10% van de tijd of minder. Als je een RPG-ontwerper bent, weet je het waarschijnlijk beter dan ik, maar je moet een basisidee hebben van wat de kans zou moeten zijn.

Vraag jezelf dan af of je kansen afhankelijk zijn (zoals bij kaarten) of onafhankelijk (zoals bij dobbelstenen). Bespreek alle mogelijke uitkomsten en hun kansen. Zorg ervoor dat de som van alle kansen 100% is. En vergelijk natuurlijk uw resultaten met uw verwachtingen. Is het mogelijk om te dobbelen of kaarten te trekken zoals je het bedoeld hebt, of is het duidelijk dat de waardes aangepast moeten worden. En natuurlijk, als u fouten vindt, kunt u dezelfde berekeningen gebruiken om te bepalen hoeveel u de waarden moet wijzigen.

Huiswerk

Uw "huiswerk" deze week zal u helpen uw waarschijnlijkheidsvaardigheden aan te scherpen. Hier zijn twee dobbelspellen en een kaartspel dat je moet analyseren met behulp van waarschijnlijkheid, evenals een vreemd spelmechanisme dat ik ooit heb ontwikkeld - je zult de Monte Carlo-methode testen op zijn voorbeeld.

Spel #1 - Drakenbotten

Dit is een dobbelspel dat mijn collega's en ik ooit bedachten (dankzij Jeb Havens en Jesse King) - het verbaast mensen met opzet met zijn kansen. Dit is een eenvoudig casinospel genaamd "Dragon Dice" en het is een gokdobbelwedstrijd tussen de speler en de gevestigde orde.

Je krijgt een gewone 1d6-dobbelsteen. Het doel van het spel is om een ​​getal hoger te gooien dan dat van het huis. Tom krijgt een niet-standaard 1d6 - dezelfde als die van jou, maar op een van zijn gezichten in plaats van één - de afbeelding van een draak (het casino heeft dus een draak-2-3-4-5-6 dobbelsteen). Als de instelling een draak krijgt, wint deze automatisch en verliest u. Als beide hetzelfde nummer krijgen, is het een gelijkspel en gooi je de dobbelstenen opnieuw. Degene die het hoogste aantal gooit, wint.

Natuurlijk is niet alles helemaal in het voordeel van de speler, want het casino heeft een voordeel in de vorm van een drakengezicht. Maar is het echt zo? Dit is wat je moet berekenen. Maar check eerst je intuïtie.

Laten we zeggen dat de winst 2 tegen 1 is. Dus als u wint, behoudt u uw inzet en krijgt u het dubbele bedrag. Als u bijvoorbeeld $ 1 inzet en wint, houdt u die dollar en krijgt u er nog eens $ 2 bovenop, voor een totaal van $ 3. Als je verliest, verlies je alleen je inzet. Zou je spelen? Voel je intuïtief dat de kans groter is dan 2 op 1, of denk je nog steeds dat het minder is? Met andere woorden, verwacht u gemiddeld over 3 games meer dan één keer, of minder, of één keer te winnen?

Zodra je je intuïtie uit de weg hebt geruimd, pas je de wiskunde toe. Er zijn slechts 36 mogelijke posities voor beide dobbelstenen, dus je kunt ze gemakkelijk allemaal tellen. Als je twijfelt over deze 2-tegen-1 aanbieding, overweeg dan het volgende: Laten we zeggen dat je het spel 36 keer hebt gespeeld (elke keer $ 1 hebt ingezet). Voor elke overwinning krijg je $ 2, voor elk verlies dat je $ 1 verliest, en een gelijkspel verandert niets. Tel al uw waarschijnlijke winsten en verliezen en beslis of u wat dollars zult verliezen of winnen. Vraag jezelf dan af hoe juist je intuïtie bleek te zijn. En besef dan wat een schurk ik ben.

En ja, als je al over deze vraag hebt nagedacht - ik breng je opzettelijk in verwarring door de echte mechanica van dobbelspellen te verdraaien, maar ik weet zeker dat je dit obstakel met slechts een goede gedachte kunt overwinnen. Probeer dit probleem zelf op te lossen.

Spel #2 - Roll of Luck

Dit is een dobbelspel genaamd Roll of Luck (ook Birdcage, omdat de dobbelstenen soms niet worden gegooid maar in een grote draadkooi worden geplaatst, die doet denken aan de Bingo-kooi). Het spel is simpel, het komt er eigenlijk op neer: Zet bijvoorbeeld $1 in op een getal tussen 1 en 6. Dan gooi je 3d6. Voor elke dobbelsteen die uw nummer raakt, krijgt u $ 1 (en behoudt u uw oorspronkelijke inzet). Als uw nummer niet op een van de dobbelstenen landt, krijgt het casino uw dollar en krijgt u niets. Dus als je inzet op 1 en je krijgt drie keer 1 op het gezicht, dan krijg je $3.

Intuïtief lijkt het erop dat in dit spel de kansen gelijk zijn. Elke dobbelsteen is een individuele kans van 1 op 6 om te winnen, dus uw kans om te winnen is 3 tot 6 bij drie worpen. Houd er echter rekening mee dat u natuurlijk drie afzonderlijke dobbelstenen stapelt, en u mag alleen toevoegen als we hebben het over afzonderlijke winnende combinaties van dezelfde dobbelsteen. Iets wat je moet vermenigvuldigen.

Als je eenmaal alle mogelijke uitkomsten hebt berekend (waarschijnlijk gemakkelijker te doen in Excel dan met de hand, het zijn er 216), ziet het spel er op het eerste gezicht nog steeds even vreemd uit. In feite heeft het casino nog steeds meer kans om te winnen - hoeveel meer? In het bijzonder, hoeveel geld verwacht u gemiddeld te verliezen per spelronde?

Het enige wat u hoeft te doen is de winsten en verliezen van alle 216 resultaten bij elkaar op te tellen en vervolgens te delen door 216, wat vrij eenvoudig zou moeten zijn. Maar zoals je kunt zien, zijn er een paar valkuilen waar je in kunt vallen, en daarom zeg ik dat als je denkt dat er een gelijke kans is om te winnen in dit spel, je het verkeerd hebt begrepen.

Spel #3 - 5 Card Stud

Als je al een warming-up hebt gehad in eerdere spellen, laten we dan eens kijken wat we weten over voorwaardelijke kans door dit kaartspel als voorbeeld te gebruiken. Laten we ons poker voorstellen met een kaartspel van 52 kaarten. Laten we ons ook een 5 kaart stud voorstellen waarbij elke speler slechts 5 kaarten krijgt. Je kunt geen kaart weggooien, geen nieuwe trekken, geen gemeenschappelijk kaartspel - je krijgt maar 5 kaarten.

Een royal flush is 10-J-Q-K-A in één hand, voor een totaal van vier, dus er zijn vier mogelijke manieren om een ​​royal flush te krijgen. Bereken de kans dat je een van deze combinaties krijgt.

Ik moet je voor één ding waarschuwen: onthoud dat je deze vijf kaarten in willekeurige volgorde kunt trekken. Dat wil zeggen, in het begin kun je een aas of een tien trekken, het maakt niet uit. Houd er dus bij het maken van uw berekeningen rekening mee dat er in feite meer dan vier manieren zijn om een ​​royal flush te krijgen, ervan uitgaande dat de kaarten op volgorde zijn gedeeld.

Spel #4 - IMF Loterij

De vierde taak zal niet zo eenvoudig op te lossen zijn met behulp van de methoden waar we het vandaag over hadden, maar je kunt de situatie eenvoudig simuleren met behulp van programmeren of Excel. Aan de hand van het voorbeeld van dit probleem kun je de Monte Carlo-methode uitwerken.

Ik noemde eerder het Chron X-spel waar ik ooit aan werkte, en er was een zeer interessante kaart: de IMF-loterij. Hier is hoe het werkte: je gebruikte het in een spel. Nadat de ronde was afgelopen, werden de kaarten opnieuw verdeeld en was er een kans van 10% dat de kaart uit het spel zou zijn en dat een willekeurige speler 5 eenheden zou ontvangen van elk type grondstof dat op die kaart aanwezig was. Een kaart werd in het spel gebracht zonder een enkele token, maar elke keer dat deze in het spel bleef aan het begin van de volgende ronde, ontving deze één token.

Er was dus een kans van 10% dat je hem in het spel zou brengen, de ronde zou eindigen, de kaart het spel zou verlaten en niemand iets zou krijgen. Als dat niet het geval is (met een kans van 90%), is er een kans van 10% (eigenlijk 9%, want dat is 10% van 90%) dat ze het spel in de volgende ronde verlaat en iemand 5 grondstoffen krijgt. Als de kaart het spel verlaat na één ronde (10% van de 81% die beschikbaar is, dus de kans is 8,1%), krijgt iemand 10 eenheden, nog een ronde - 15, nog eens 20, enzovoort. Vraag: wat is de verwachte waarde van het aantal grondstoffen dat je van deze kaart krijgt als deze het spel uiteindelijk verlaat?

Normaal gesproken zouden we dit probleem proberen op te lossen door de waarschijnlijkheid van elke uitkomst te berekenen en te vermenigvuldigen met het aantal van alle uitkomsten. Er is een kans van 10% dat je 0 krijgt (0,1 * 0 = 0). 9% dat je 5 eenheden grondstoffen zult ontvangen (9% * 5 = 0,45 middelen). 8,1% van wat je krijgt is 10 (8,1% * 10 = 0,81 middelen - in het algemeen de verwachte waarde). Enzovoort. En dan zouden we het allemaal samenvatten.

En nu is het probleem voor jou duidelijk: er is altijd een kans dat de kaart het spel niet verlaat, hij kan voor altijd in het spel blijven, voor een oneindig aantal rondes, dus er is geen manier om enige kans te berekenen. Met de methoden die we vandaag hebben geleerd, kunnen we de oneindige recursie niet berekenen, dus we zullen deze kunstmatig moeten creëren.

Als je goed genoeg bent in programmeren, schrijf dan een programma dat deze kaart simuleert. Je zou een tijdlus moeten hebben die de variabele naar de beginpositie van nul brengt, een willekeurig getal laat zien en met een kans van 10% dat de variabele de lus verlaat. Anders voegt het 5 toe aan de variabele en wordt de lus herhaald. Wanneer het uiteindelijk de lus verlaat, verhoogt u het totale aantal proefruns met 1 en het totale aantal bronnen (met hoeveel hangt af van waar de variabele stopte). Stel vervolgens de variabele opnieuw in en begin opnieuw.

Voer het programma enkele duizenden keren uit. Deel uiteindelijk de totale middelen door het totale aantal runs - dit is uw verwachte waarde van de Monte Carlo-methode. Voer het programma meerdere keren uit om er zeker van te zijn dat de getallen die u krijgt ongeveer hetzelfde zijn. Als de spreiding nog steeds groot is, verhoog dan het aantal herhalingen in de buitenste lus totdat je lucifers begint te krijgen. U kunt er zeker van zijn dat de cijfers die u krijgt ongeveer correct zijn.

Als je nieuw bent met programmeren (zelfs als je dat bent), is hier een kleine oefening om je Excel-vaardigheden te testen. Als je een gamedesigner bent, zijn deze vaardigheden nooit overbodig.

Nu zullen de if- en rand-functies erg handig voor je zijn. Rand vereist geen waarden, het produceert alleen een willekeurig decimaal getal tussen 0 en 1. We combineren het meestal met vloer en plussen en minnen om een ​​dobbelsteenworp te simuleren, wat ik eerder noemde. In dit geval laten we echter een kans van 10% dat de kaart het spel verlaat, dus we kunnen gewoon controleren of de rand kleiner is dan 0,1 en er geen zorgen meer over maken.

Als heeft drie waarden. In volgorde, de voorwaarde die waar is of niet, dan de waarde die wordt geretourneerd als de voorwaarde waar is, en de waarde die wordt geretourneerd als de voorwaarde onwaar is. Dus de volgende functie retourneert 5% van de tijd, en 0 de andere 90% van de tijd: =ALS(ASELECT()<0.1,5,0) .

Er zijn veel manieren om deze opdracht in te stellen, maar ik zou deze formule gebruiken voor de cel die de eerste ronde vertegenwoordigt, laten we zeggen dat het cel A1 is: =ALS(ASELECT()<0.1,0,-1) .

Hier gebruik ik een negatieve variabele die betekent "deze kaart heeft het spel niet verlaten en heeft nog geen middelen gegeven". Dus als de eerste ronde voorbij is en de kaart uit het spel is, is A1 0; anders is het -1.

Voor de volgende cel die de tweede ronde vertegenwoordigt: =ALS(A1>-1, A1, ALS(ASELECT()<0.1,5,-1)) . Dus als de eerste ronde eindigde en de kaart onmiddellijk het spel verliet, is A1 0 (aantal grondstoffen) en zal deze cel die waarde gewoon kopiëren. Anders is A1 -1 (de kaart heeft het spel nog niet verlaten), en deze cel blijft willekeurig bewegen: 10% van de tijd zal het 5 eenheden grondstoffen teruggeven, de rest van de tijd is de waarde nog steeds - 1. Als we deze formule toepassen op extra cellen, krijgen we extra rondes, en met welke cel je ook eindigt, je krijgt het eindresultaat (of -1 als de kaart het spel niet heeft verlaten na alle rondes die je hebt gespeeld).

Neem deze rij cellen, de enige ronde met deze kaart, en kopieer en plak een paar honderd (of duizenden) rijen. We kunnen misschien geen oneindige test voor Excel doen (er is een beperkt aantal cellen in de tabel), maar we kunnen in ieder geval de meeste gevallen dekken. Selecteer vervolgens een cel waar u het gemiddelde van de resultaten van alle rondes plaatst - Excel biedt hiervoor de functie gemiddelde() aan.

In Windows kun je tenminste op F9 drukken om alle willekeurige getallen opnieuw te berekenen. Doe dit zoals eerder een paar keer en kijk of je dezelfde waarden krijgt. Als de spreiding te groot is, verdubbel dan het aantal runs en probeer het opnieuw.

onopgeloste problemen

Als je toevallig een graad hebt in kansrekening en de bovenstaande problemen lijken je te gemakkelijk - hier zijn twee problemen waar ik al jaren mijn hoofd over krab, maar helaas ben ik niet zo goed in wiskunde om ze op te lossen.

Onopgelost probleem #1: IMF-loterij

Het eerste onopgeloste probleem is de vorige huiswerkopdracht. Ik kan gemakkelijk de Monte Carlo-methode gebruiken (met behulp van C++ of Excel) en zeker zijn van het antwoord op de vraag "hoeveel middelen de speler zal ontvangen", maar ik weet niet precies hoe ik wiskundig een exact aanwijsbaar antwoord moet geven (dit is een oneindige reeks).

Onopgelost probleem #2: Vormreeksen

Deze taak (het gaat ook veel verder dan de taken die in deze blog worden opgelost) werd mij meer dan tien jaar geleden toegeworpen door een bekende gamer. Tijdens het spelen van blackjack in Vegas merkte hij een interessant kenmerk op: toen hij kaarten trok van een 8-deks schoen, zag hij tien stukken op een rij (een stuk- of gezichtskaart is 10, Joker, Koning of Koningin, dus er zijn in totaal 16 in een standaardspel van 52 kaarten of 128 in een schoen van 416 kaarten).

Wat is de kans dat deze schoen minstens één reeks van tien of meer stukken bevat? Laten we aannemen dat ze eerlijk zijn geschud, in willekeurige volgorde. Of, als u wilt, wat is de kans dat er nergens een reeks van tien of meer vormen is?

We kunnen de taak vereenvoudigen. Hier is een reeks van 416 delen. Elk deel is 0 of 1. Er zijn 128 enen en 288 nullen willekeurig verspreid over de reeks. Hoeveel manieren zijn er om 128 enen willekeurig te verweven met 288 nullen, en hoe vaak zal er op deze manieren minstens één groep van tien of meer enen zijn?

Telkens als ik dit probleem begon op te lossen, leek het me gemakkelijk en voor de hand liggend, maar zodra ik me in de details verdiepte, viel het plotseling uit elkaar en leek het gewoon onmogelijk.

Dus neem de tijd om het antwoord eruit te flappen: ga zitten, denk goed na, bestudeer de omstandigheden, probeer echte cijfers in te voeren, want alle mensen met wie ik over dit probleem sprak (inclusief verschillende afgestudeerde studenten die op dit gebied werken) reageerden vrijwel hetzelfde manier: "Het is volkomen duidelijk ... oh nee, wacht, helemaal niet duidelijk." Dit is het geval wanneer ik geen methode heb om alle opties te berekenen. Natuurlijk zou ik het probleem bruut kunnen forceren door middel van een computeralgoritme, maar het zou veel interessanter zijn om de wiskundige manier te vinden om het op te lossen.

Ik begrijp dat iedereen van tevoren wil weten hoe een sportevenement afloopt, wie er wint en wie verliest. Met deze informatie kun je zonder angst wedden op sportevenementen. Maar is het überhaupt mogelijk, en zo ja, hoe de kans op een gebeurtenis te berekenen?

Waarschijnlijkheid is een relatieve waarde en kan daarom niet met nauwkeurigheid spreken over een gebeurtenis. Met deze waarde kunt u de noodzaak analyseren en evalueren om op een bepaalde competitie te wedden. De definitie van waarschijnlijkheden is een hele wetenschap die zorgvuldige studie en begrip vereist.

Waarschijnlijkheidscoëfficiënt in kansrekening

Bij sportweddenschappen zijn er verschillende opties voor de uitslag van de competitie:

• overwinning van het eerste team;
• overwinning van het tweede team;
• tekenen;
• totaal

Elke uitkomst van de wedstrijd heeft zijn eigen waarschijnlijkheid en frequentie waarmee deze gebeurtenis zal plaatsvinden, op voorwaarde dat de oorspronkelijke kenmerken behouden blijven. Zoals eerder vermeld, is het onmogelijk om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis nauwkeurig te berekenen - deze kan al dan niet samenvallen. Je inzet kan dus zowel winnen als verliezen.

Er kan geen exacte 100% voorspelling van de resultaten van de competitie zijn, aangezien veel factoren de uitkomst van de wedstrijd beïnvloeden. Uiteraard kennen de bookmakers de uitkomst van de wedstrijd niet van tevoren en gaan ze alleen uit van het resultaat, nemen ze een beslissing over hun analysesysteem en bieden ze bepaalde kansen voor weddenschappen aan.

Hoe de kans op een gebeurtenis berekenen?

Laten we zeggen dat de odds van de bookmaker 2,1/2 is - we krijgen 50%. Het blijkt dat de coëfficiënt 2 gelijk is aan de kans van 50%. Volgens hetzelfde principe kunt u een break-even kansverhouding krijgen - 1 / waarschijnlijkheid.

Veel spelers denken dat er na verschillende herhaalde verliezen zeker een overwinning zal komen - dit is een verkeerde mening. De kans op het winnen van een weddenschap is niet afhankelijk van het aantal verliezen. Zelfs als je meerdere keren kop achter elkaar gooit in een muntspel, blijft de kans om munt te gooien hetzelfde - 50%.