Як добре розумів Фехнер, він не перший намагався знайти функцію, що пов'язує психологічну інтенсивність з фізичною силою стимулу. У 1738 році швейцарський вчений Данило Бернуллі передбачив пояснення Фехнера і застосував їх до відносин між

25. Рівняння Бернуллі

25. Рівняння Бернуллі Рівняння Громеки підходить для опису руху рідини, якщо компоненти функції руху містять якусь вихрову величину. Наприклад, ця вихрова величина міститься в компонентах ?x, ?y,?z кутової швидкості w.Умовою того, що рух

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Бернуллі рівняння (інтеграл Бернуллі)

Бернуллі рівняння(інтеграл Бернуллі) в гідроаеромеханіці [[на ім'я швейцарського вченого Д. Бернуллі (D. Bernoulli)], одне з основних рівнянь гідромеханіки, яке при встановленому русі несжимаемой ідеальної рідини в однорідному полі сил тяжіння має вигляд:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
де v – швидкість рідини, ρ – її щільність, р – тиск у ній, h – висота рідкої частинки над деякою горизонтальною площиною, g – прискорення вільного падіння, С – величина, постійна на кожній лінії струму, але в загальному випадку змінює своє значення при переході від однієї лінії струму до іншої.

Сума перших двох членів у лівій частині рівняння (1) дорівнює повній потенційній, а третій член - кінетичній енергіям, віднесеним до од. маси рідини; отже, все рівняння виражає для рідини, що рухається, закон збереження механічної енергії і встановлює важливу залежність між v, p і h. Наприклад, якщо при незмінній h швидкість течії вздовж лінії струму зростає, тиск падає, і навпаки. Цей закон використовують при вимірюванні швидкості за допомогою вимірювальних трубок і при інших аеродинамічних вимірюваннях.

Рівняння Бернуллі подають також у вигляді
h + p/γ + v 2 /2g = C або
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(де γ = ρg - Питома вага рідини). У 1-му рівністі всі доданки мають розмірність довжини і називаються відповідної геометричної (нівелірної), п'єзометричної та швидкісної висотами, а в 2-му - розмірності тиску і відповідно називаються ваговим, статичним і динамічним тисками.

У загальному випадку, коли рідина є стисливою (газ), але баротропною, тобто р в ній залежить тільки від ρ, і коли її рух відбувається в будь-якому, але потенційному полі об'ємних (масових) сил (див. Силове поле), рівняння Бернуллі виходить як наслідок Ейлера рівнянь гідромеханіки і має вигляд:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
де П - Потенційна енергія (потенціал) поля об'ємних сил, віднесена до од. маси рідини. При перебігу газів значення П мало змінюється вздовж лінії струму, і його можна включити до константи, представивши (3) у вигляді:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

У технічних додатках для течії, опосередкованого поперечним перерізом каналу, застосовують т.з. узагальнене рівняння Бернуллі: зберігаючи форму рівнянь (1) і (3), ліву частину включають роботу сил тертя і подолання гідравлічних опорів, а також механічну роботу рідини або газу (роботу компресора або турбін) з відповідним знаком. Узагальнене рівняння Бернуллі широко застосовується в гідравліці при розрахунку перебігу рідин та газів у трубопроводах та в машинобудуванні при розрахунку компресорів, турбін, насосів та інших гідравлічних та газових машин.

Зміст статті

ГІДРОАЕРОМЕХАНІКА-Наука про рух і рівновагу рідин і газів. При плануванні фізичних експериментів або їх проведенні необхідно створювати теоретичні моделі, які або передбачають можливі результати цих експериментів, або пояснюють вже отримані. Тільки в тісній взаємодії теорії та експерименту можна зрозуміти те, що відбувається в навколишньому фізичному світі. Для створення тієї чи іншої кількісної чи якісної моделі фізичного явища потрібний математичний фундамент, на основі якого будуються такі моделі. Під математичним фундаментом у разі маються на увазі ті диференціальні рівняння і ті граничні і початкові умови, з допомогою яких можна було б описувати аналізоване фізичне явище. Гідромеханіка і пропонує моделі та апарат для дослідження явищ, що відбуваються в рідинах та газах.

Про гіпотезу суцільності середовища.

Гідроаеромеханіка вивчає рухи рідин та газів у наближенні, коли вони можуть розглядатися як суцільні середовища, тобто. середовища, безперервним чином заповнюють простір течії, що розглядається. Щоб вирішувати математичні проблеми, пов'язані з розрахунком руху різних об'єктів (літаків, ракет, кораблів та ін.) у повітрі або воді, з вивченням хвильових процесів у рідинах та газах, з їх течіями по трубах і каналах тощо, необхідний математичний апарат, що описує ці явища. Цим апаратом є рівняння гідроаеромеханіки, які спираються на гіпотезу суцільності середовища, тобто. на гіпотезу про те, що частинки рідини або газу безперервним чином заповнюють частину фізичного простору, яку вони займають.

Виникає природне питання: за яких припущень справедлива ця гіпотеза? Якщо для рідин (води, рідких металів тощо) ця гіпотеза більш менш очевидна, то для досить розріджених газів (наприклад, що займають космічний простір, включаючи атмосфери зірок, планет і Сонця), які складаються з окремих атомів або молекул, а також інших фізичних об'єктів, до яких застосовується апарат гідроаеромеханіки, вона вимагає свого обґрунтування. Так, наприклад, при розрахунку гальмування штучних супутників Землі використання математичного апарату гідроаеромеханіки неможливо, тоді як саме цей апарат використовується при розрахунку гальмування космічних об'єктів, що входять в щільні шари атмосфер Землі і планет (наприклад, метеоритів або космічних кораблів, що повертаються на Землю). та ін.). На це питання легко відповісти під час виведення рівнянь. Однак з цього висновку випливає, що гіпотеза суцільності середовища справедлива, зокрема, у тому випадку, коли характерний розмір тіла, що обтікає. L(наприклад, радіус сферичного супутника) набагато більше довжини вільного пробігу атомів чи молекул газу l, тобто. довжини між послідовними зіткненнями.

Замкнена система рівнянь гідроаеромеханіки.

Рівняння гідроаеромеханіки в їх спрощеному вигляді є складною системою нелінійних диференціальних рівнянь для масової щільності r (маса рідини або газу в одиниці об'єму), вектора швидкості Vта тиску p, які, своєю чергою, є функціями просторових координат (наприклад, x, yі zв декартовій системі координат) та часу t. Не вдаючись у математичні подробиці виведення цих рівнянь, можна розглянути основні ідеї цього висновку, тим більше, що ці рівняння є відомими навіть зі шкільних підручників законами збереження маси, імпульсу та енергії. Для цього розглядається певний фізичний обсяг, безперервним чином заповнений рідиною чи газом. На рис. 1 зображена рідина, що рухається (або газ), безперервним чином заповнює деяку частину фізичного простору. Виділимо з неї певний обсяг U(обмежений поверхнею S), який протягом усього часу руху складається з тих самих частинок рідини (цей обсяг заштрихований).

Очевидно, що при своєму русі маса рідини укладена в обсязі U, Залишається постійною (якщо, звичайно, немає будь-яких додаткових джерел цієї маси), хоча сам обсяг може сильно деформуватися, оскільки частинки не скріплені жорстко, як у твердому тілі. Якщо виділити з об'єму, що розглядається, нескінченно малий елемент D U, то очевидно, що в цьому елементі маса рідини або газу дорівнюватиме rD U. Тоді закон збереження маси, укладеної у виділеному обсязі U, можна записати у вигляді

тобто. маса рідини або газу, укладена у виділеному обсязі U, Не змінюється з часом. Тут інтеграл береться за виділеним обсягом U, який змінюється з часом t. Якщо використовувати формулу похідної за часом від інтеграла за об'ємом, що рухається, можна отримати рівняння

Це рівняння у гідроаеромеханіці зазвичай називається рівнянням нерозривності.

Аналогічно можна записати закон збереження імпульсу. Імпульс одиниці об'єму рідини дорівнює r V , в елементарному обсязі rD U, а у виділеному обсязі U –

де p n - Вектор поверхневої сили, який діє на елемент поверхні S з одиничним вектором нормалі n.Однією з основних проблем гідроаеромеханіки, остаточно вирішеної в середині 19 ст, є явне визначення поверхневих сил. В рамках використовуваного тут так званого феноменологічного підходу до отримання рівнянь гідроаеромеханіки поверхневі сили визначаються емпірично. Диференціюючи за часом інтеграл ліворуч у рівнянні імпульсу, як це робилося при виведенні рівняння нерозривності, і переходячи від поверхневого інтеграла праворуч до об'ємного, можна написати диференціальні рівняння руху для безперервних функцій у вигляді

а величини u, vі w, а також є проекціями векторів швидкості Vта градієнта тиску на осі Ox, Ойі Ozвідповідно.

Це рівняння, зване рівнянням Навье – Стокса, виписано у найпростішій формі для рідини, що не стискається, де поверхневі сили зводяться до нормального тиску р, а останній член праворуч є «в'язкі» сили (m – коефіцієнт в'язкості) у припущенні, що r = const.

Вперше рівняння руху було виведено у середині 18 в. Л. Ейлером, коли він працював у Петербурзькій Академії наук. Оскільки ефекти в'язкості рідини на той час ще були відомі, то Ейлер отримав це рівняння при m = 0. На честь його ці рівняння були названі рівняннями Ейлера. Тільки в 1822 французьким інженером Навье в рівняння Ейлера були введені сили, пов'язані з в'язкістю, що визначається коефіцієнтом m. У загальній формі, справедливій і для газу, що стискається, рівняння отримано Стоксом і отримало назву рівняння Навье - Стокса.

Для несжимаемой рідини диференціальні рівняння нерозривності та імпульсу (одне скалярне та одне векторне) є замкнутою системою рівнянь для визначення вектора швидкості Vта скалярного тиску р(R = const). Якщо ж r № const, потрібно додаткове рівняння. Це рівняння виходить із закону збереження енергії.

Узагальнення закону збереження енергії на випадок руху рідин і газів виходить аналогічно до узагальнення другого закону Ньютона, однак, через наявність теплового руху в рідинах і газах, енергія, що припадає на одиницю об'єму, складається з кінетичної енергії rV 2 /2 і внутрішньої енергією re, пов'язаної з тепловим рухом частинок газу чи рідини. Повна енергія елемента об'єму D Uдорівнює r(V 2 /2 + e)D U.

Зміна повної енергії у виділеному обсязі Uдорівнює припливу тепла через поверхню S з допомогою теплопровідності, і навіть роботі масових і поверхневих сил, тобто. замість закону збереження імпульсу, виходить рівняння

де n- Поодинокий вектор нормалі до поверхні S.

Для досконалого газу e = c v T, де з v– теплоємність при постійному обсязі, T- Температура, а для вектора потоку тепла зазвичай приймається емпіричний закон Фур'є q= - l T(l – коефіцієнт теплопровідності). Після відповідного диференціювання за часом лівої частини рівняння енергії, переходу від поверхневих інтегралів до об'ємних і при використанні рівняння нерозривності та рівняння руху можна отримати так зване рівняння припливу тепла для безперервних функцій

Всі ці рівняння, разом із рівнянням стану для досконалого газу

p = r R T,

де R = (з р - з v) - газова постійна, а з р– теплоємність при постійному тиску, та законом Фур'є

Утворюють замкнуту систему рівнянь гідроаеромеханіки для визначення вектора швидкості V, тиску p, щільності r та температури Т.

Якщо якесь фізичне явище мало залежить від диссипативних процесів (в'язкості та теплопровідності), то рівняння ці рівняння зводяться до рівнянь гідроаеромеханіки ідеальної рідини. У цьому випадку замкнута система рівнянь для визначення р, r, Vі Тє система

Останнє рівняння є адіабатичний закон, який легко зводиться до закону збереження ентропії. Тут g = з p/cv- Показник адіабати, тобто. відношення теплоємності при постійному тиску до теплоємності при постійному обсязі.

Гідростатика

є окремий випадок гідроаеромеханіки, який вивчає рівновагу рідин і газів, тобто. їх стан за відсутності гідродинамічної швидкості ( V= 0). Результати та методи гідростатики мають велике значення для багатьох завдань, важливих як з практичної, так і загальнонаукової точок зору. У гідростатиці розглядаються завдання, пов'язані з рівновагою води у водних басейнах, повітря в атмосфері Землі, вирішуються завдання розрахунку сил, які діють на тіла, занурені в рідину або газ, визначаються розподілу тиску, щільності, температури в атмосферах планет, зірок, Сонця та безліч інших завдань.

Рівняння гідростатики виходять з рівнянь гідроаеромеханіки при V=0. Зокрема, рівняння збереження імпульсу дає

Звідки, зокрема, випливає відомий ще зі шкільних підручників закон Паскаля, згідно з яким за відсутності зовнішніх масових сил ( F= 0) тиск усюди є постійним (p = const).

Рівновага досконалого газу в полі сил тяжіння.

Нехай є газ у центральному полі сил тяжіння. Рівняння рівноваги у сферичній системі координат будуть у цьому випадку записуються як:

Тут r, qі c– відповідно відстань до центру маси, що притягує М, поміщеного на початок координат, кут, що відраховується від полярної осі Оz, і кут у площині Оxy, G- гравітаційна стала, рівна 6,67Ч10 -8 дин см 2 г -2 .

З цих рівнянь видно, що у центрально-симетричному полі гравітації тиск залежить від відстані до цього центру (легко показати, що тиск залежить і від часу). Легко також показати, що щільність і температура залежать тільки від координати r. Інтегрування першого з цих рівнянь призводить до так званої барометричної формули, якщо під Мрозуміти масу Землі, планети, зірки, Сонця та ін. При використанні рівняння стану барометрична формула має вигляд

де p 0- Тиск на деякій відстані r = r 0від центру, що притягує (для Землі, наприклад, це може бути тиск на рівні моря). Ця формула визначає розподіл тиску в атмосферах зірок, Землі, планет, Сонця та ін., якщо відомий розподіл температури Т(r), проте цю температуру часто не можна визначити з написаного раніше рівняння припливу тепла, оскільки в ньому враховується лише приплив тепла за рахунок теплопровідності, тоді як для перерахованих атмосфер є інші джерела тепла, невраховані у наведеному рівнянні. Наприклад, атмосфера Сонця розігрівається різного роду хвильовими процесами, а атмосфера Землі переробляє енергію сонячного випромінювання тощо. Тому для визначення розподілу тиску в атмосферах небесних тіл за допомогою барометричної формули часто використовуються емпіричні залежності. Т(r).

Можна, наприклад, розрахувати розподіл тиску в атмосфері Землі до відстаней в 11 км від її поверхні. Якщо вибрати декартову систему координат із початком на поверхні Землі та направити вісь Ozвертикально нагору, тоді в барометричній формулі замість координати r потрібно брати координату z = r – RЕ, де RЕ – радіус Землі. Оскільки цей радіус набагато більше товщини атмосфери ( z R Е) то барометричну формулу для плоскої атмосфери можна переписати у вигляді

Тут введено позначення для прискорення земного тяжіння

де Т 0 - Абсолютна температура на поверхні моря ( z= 0), D - емпірична величина, що фізично означає зменшення температури при підйомі на 100м. Для реальної атмосфери часто приймається D = 0,65, Т 0= 288К.

Якщо прийняти такий розподіл температури, тиск записується у вигляді

Звідси видно, що прийнята емпірична лінійна залежність Т(z) неприйнятна для всієї атмосфери Землі, оскільки на висотах, більших за 44 км, тиск стає негативним. Однак вона прийнятна для висот, що мають важливе практичне значення. З експериментів, виконаних за допомогою супутників, висотних ракет і т.п., виявляється, що на великих висотах температура є дуже складною та немонотонною функцією висоти. Ця немонотонність обумовлена ​​складним процесом переробки сонячної енергії верхніми шарами атмосфери Землі, які враховуються рівнянням припливу тепла.

Рівновагу стисливих рідин.

Якщо розглянути простий приклад рівноваги несжимаемой рідини в гравітаційному полі Землі, то з умов рівноваги при r = const виходить, що

p = p 0- r gzабо р = p 0+ r gh,

де h– глибина рідини під її поверхнею, р 0- Тиск на поверхні (рис. 2). Ця формула, відома із шкільних підручників, показує, як тиск у рідині зростає з її глибиною. За допомогою цієї формули легко розрахувати тиск на дно судини, заповненої рідиною. Цікаво, що цей тиск залежить від глибини, але не залежить від форми судини. Зокрема, на рис. 3 тиск на дно судин 1 та 2 однакової площі дна S буде однаковим або сила, що діє на дно цих судин внаслідок тиску рідин, буде однаковою.

Багато важливих додатків ґрунтується на рішеннях рівнянь гідростатики (закон Архімеда, стійкість рівноваги атмосфер зірок та планет тощо).

ДЕЯКІ ВАЖЛИВІ У ДОДАТКАХ РЕЗУЛЬТАТИ РІШЕНЬ РІВНЯНЬ ГІДРОАЕРОМЕХАНІКИ.

1. Модель стисливої ​​рідини.

Рівняння гідроаеромеханіки для в'язких та теплопровідних рідин або газів у більшості дуже важливих для практики проблем піддаються вирішенню лише чисельними методами. Однак ці рівняння істотно спрощуються в припущенні, що для течії, що розглядається, справедливе припущення про його стисливість (r = const). Хоча строго стисливих рідин або газів у природі не існує, проте, у багатьох випадках, наприклад, газ можна розглядати як стисливу рідину, оскільки зміною щільності в багатьох течіях можна знехтувати. При цьому рівняння нерозривності для стисканої рідини набуває вигляду. div = 0.

Разом із рівнянням збереження імпульсу воно утворює замкнуту систему рівнянь для визначення тиску рта швидкості V.Два критерії визначають можливість використання моделі стисливої ​​рідини для, взагалі кажучи, газу, що стискається.

де M- так зване число Маха, a - швидкість поширення звуку в газі, V* – характерна швидкість течії (наприклад, швидкість руху повітря щодо літака, що летить), t* – характерний час нестаціонарності руху (наприклад, характерний час пульсацій параметрів повітря перед літаком, що летить), L– характерний розмір завдання (наприклад, розмір тіла, що обтікається). Для стаціонарного перебігу достатній лише перший критерій. Ці критерії мають ясний фізичний зміст. Наприклад, при польоті літаків з великою дозвуковою швидкістю модель стисканої рідини можна використовувати при розрахунку характеристик обтікання такого літака (опір, підйомну силу та ін.). Якщо літак летить з надзвуковою швидкістю, перед ним утворюється так звана ударна хвиля , характерною особливістю якої є різкі стрибки в ній тиску, швидкості, щільності і температури. Освіта ударної хвилі – це типова ознака суттєвості зміни густини, тобто. типова ознака стисливості течії.

Течія в'язкої рідини в циліндричній трубі (течія Гагена - Пуазейля).

Важливим завданням є розгляд течій в'язких стисливих рідин у циліндричній трубі круглого перерізу радіусу. R(Рис. 4) під дією перепаду тиску на кінцях цієї труби P = (p 2 – p 1)/L, де L- Довжина труби. Якщо припустити, що довжина труби настільки велика, що вхід, де тиск p 2 , і вихід, де тиск p 1 (p 2 > p 1), не впливають на перебіг у більшій частині цієї труби, то легко отримати точне аналітичне рішення рівняння Навье – Стокса у вигляді

де u- швидкість рідини вздовж осі х, що збігається з віссю симетрії труби, а r- Відстань від цієї осі. З цієї видно, що профіль швидкості трубі є параболическим. На стінках труби швидкість перетворюється на нуль внаслідок прилипання рідини через ефект в'язкості. Така течія була вивчена в середині 19 ст. Пуазейлем і Гагеном з прикладу течій рідин у капілярах і назва течії Гагена – Пуазейля.

Очевидно, при постійному потоці (що не залежить від r) рідини біля входу в трубу та на її початковій ділянці профіль швидкості не збігатиметься з наведеним рішенням. Параболічний профіль встановлюється лише на досить великій відстані від вхідної ділянки, тому для отримання рішення потрібно припустити, що труба досить довга, при цьому для таких труб це рішення добре збігається з експериментальними даними.

Отримане рішення описує стаціонарне, гладко-шарувате протягом, яке зазвичай називають ламінарним. Однак з практики відомо, що в трубах іноді перебіг буває нестаціонарним, з пульсаціями швидкості, з перемішуванням між шарами, цей перебіг зазвичай називається турбулентним. Досліди Рейнольдса, проведені в 1883 році, показали, що при досить великих значеннях числа r U L/m, де U– середня за перерізом труби швидкість рідини, параболічний профіль стає нестійким по відношенню до малих збурень, а при подальшому збільшенні цього числа протягом у трубі стає турбулентним. Це число отримало назву числа Рейнольдса (Re), яка відіграє дуже важливу роль у різних задачах гідроаеромеханіки. Зокрема воно характеризує відношення інерційних сил (ліва частина рівняння) до сил в'язкості, при цьому часто силами в'язкості можна знехтувати і використовувати рівняння гідроаеромеханіки ідеальної рідини. Re >> 1.

Течії ідеальних рідин та газів.

Часто важливі у додатках завдання розглядають на основі рівнянь гідроаеромеханіки ідеальної рідини, а не на повних рівняннях. Це з тим, що математично рівняння ідеальної гідроаеромеханіки значно простіше. Якщо потрібно визначити підйомну силу крила літака при малих дозвукових швидкостях, то в'язкі сили дуже малі і немає необхідності використовувати рівняння Навье - Стокса. Однак для визначення опору такого крила під час руху його в повітрі в'язкі сили виявляються визначальними і необхідно використовувати складніший математичний апарат, пов'язаний із рівняннями Навье – Стокса.

Інтеграл Бернуллі.

При деяких припущеннях рівняння гідромеханіки ідеальної рідини можна один раз проінтегрувати, вони мають рішення, одним з яких є інтеграл Бернуллі для стаціонарних течій.

де P (p) = т dp/r(p) – функція тиску, U- потенціал зовнішніх масових сил, З- Постійна вздовж лінії струму l (лінія струму збігається з вектором швидкості течії V).Так, наприклад, для несжимаемой рідини в полі земного тяжіння це рівняння має вигляд

Для адіабатичних течій інтеграл Бернуллі без зовнішніх масових сил має вигляд

Як приклад використання інтегралу Бернуллі можна визначити швидкість закінчення стисканої рідини з судини (рис. 5). При закінченні рідини із цієї судини рівень рідини знижується, тобто. швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкій посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V z 1 – z 2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V 2 » 3,1 м/сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, що називається інтегралом Коші – Лагранжа. Він справедливий для течій, у яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують під час розгляду хвильових рухів рідини чи газу.

Ударні хвилі як один із важливих проявів стисливості газу.

Математично рівняння ідеальної гідроаеромеханіки допускають розривні рішення, тобто. рішення, які мають стрибки параметрів газу (щільності, тиску, швидкості та температури). Одним з таких проявів у природі є утворення ударної хвилі біля тіла, що летить із надзвуковою швидкістю, в щільних шарах атмосфери Землі. Наприклад, утворення ударної хвилі біля надзвукових літаків, що літають, або ударних хвиль біля метеоритів, що вторгаються в щільні шари атмосфери Землі з великими надзвуковими швидкостями. В умовах космічного простору добре відомі міжпланетні ударні хвилі, які найчастіше є результатом активних процесів на Сонці (наприклад, спалахів).

Відомо, що біля пасажирських літаків, що літають головним чином із великими дозвуковими, жодні ударні хвилі не утворюються. Нехай є сферичне тіло радіусу R(рис. 6), яке летить у повітрі із надзвуковою швидкістю. Тоді попереду такого тіла утворюється ударна хвиля Ує межею між областями 1 і 2, які відрізняються значеннями параметрів газу. У системі координат, пов'язаної з тілом, що летить. потік газу набігає на тіло, що покоїться. Нехай вісь Оxспрямована вздовж швидкості потоку, а V 1 , p 1 , r1 та T 1 – швидкість, тиск, щільність і температура, відповідно, у невозмущенном тілом потоці газу (до ударної хвилі). В область 1 обурення від тіла не потрапляють, оскільки тіло рухається із надзвуковою швидкістю. Оскільки швидкість газу в лобовій точці тіла Азвертається в нуль, то від точки Адо точки Зна ударній хвилі є область дозвукової швидкості газу, якої досягають обурення повітря від тіла, що летить. Фізичний сенс утворення ударної хвилі і полягає у поділі незбуреного та обуреного потоків газу. Якщо через V

Це означає, що швидкість ударної хвилею зменшується, а тиск, щільність і температура зростають. Сильним зростанням температури за ударною хвилею і пояснюється оплавлення космічних апаратів і метеоритів, що повертаються на Землю, вторгаються в атмосферу з великими надзвуковими швидкостями. Такі ударні хвилі називаються ударними хвилями стискування (густина газу зростає). Цікаво, що у природі будь-коли спостерігалися ударні хвилі розрідження, у яких щільність падає. Математично утворення ударних хвиль розрідження забороняється відомою в гідроаеромеханіці теоремою Цемплена

Співвідношення між параметрами з індексами «1» і «2» можна отримати з інтегральних законів збереження маси, імпульсу та енергії, оскільки вони є справедливими і для розривних функцій. Такі співвідношення називаються співвідношеннями Гюгоніо та мають вигляд (у системі координат, пов'язаної з ударною хвилею)

r1 V n 1 = r2 V n 2; r1 V n 1V 1 + p 1 n=r2 V n 2V 2 + p 2 n ;

V n 1 = V n 2.

Разом із рівнянням стану ці співвідношення дозволяють визначити значення параметрів газу за ударною хвилею (індекс «2») за значеннями параметрів непорушеного ударною хвилею потоку газу (індекс «1»).

Описаний математичний апарат гідроаеромеханіки використовується у багатьох галузях природничих наук, причому для коректності використання цього апарату потрібно лише виконання критерію суцільності середовища, тобто. для газів, наприклад, довжина вільного пробігу частинок повинна бути набагато меншою за характерні розміри об'єктів обтікання, що розглядаються. Зокрема, за умов космічного простору часто середовище дуже розріджене. У таких середовищах, звісно ж, довжина вільного пробігу часток дуже велика, але розміри самих об'єктів дослідження виявляються у багатьох випадках значно більшими, тобто. методи гідроаеромеханіки можна застосувати і до таких об'єктів.

У біомеханіці з допомогою методів гідромеханіки досліджуються цікаві особливості течій біологічних рідин по судинах, а гідрогеології досліджуються, наприклад, завдання динаміки внутрішніх верств Землі. Все це свідчить про важливість науки, яка називається «гідроаеромеханіка».

Володимир Баранов

Бернуллі рівнянняодне з основних рівнянь гідромеханіки, яке при встановленому русі несжимаемой ідеальної рідини в однорідному полі сил тяжіння має вигляд:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
де v – швидкість рідини, ρ – її щільність, р – тиск у ній, h – висота рідкої частинки над деякою горизонтальною площиною, g – прискорення вільного падіння, С – величина, постійна на кожній лінії струму, але в загальному випадку змінює своє значення при переході від однієї лінії струму до іншої.

Сума перших двох членів у лівій частині рівняння (1) дорівнює повній потенційній, а третій член – кінетичній енергіям, віднесеним до од. маси рідини; отже, все рівняння виражає для рідини, що рухається, закон збереження механічної енергії і встановлює важливу залежність між v, p і h. Наприклад, якщо при незмінній h швидкість течії вздовж лінії струму зростає, тиск падає, і навпаки. Цей закон використовують при вимірюванні швидкості за допомогою вимірювальних трубок і при інших аеродинамічних вимірюваннях.

Рівняння Бернуллі подають також у вигляді
h + p/γ + v 2 /2g = C або
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(де γ = ρg - питома вага рідини). У 1-й рівності всі доданки мають розмірність довжини і називаються відповідною геометричною (нівелірною), п'єзометричною та швидкісною висотами, а в 2-му - розмірності тиску і відповідно називаються ваговим, статичним та динамічним тисками.

У загальному випадку, коли рідина є стисливою (газ), але баротропною, тобто р в ній залежить тільки від ρ, і коли її рух відбувається в будь-якому, але потенційному полі об'ємних (масових) сил (див. Силове поле), рівняння Бернуллі виходить як наслідок Ейлера рівнянь гідромеханіки і має вигляд:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
де П – потенційна енергія (потенціал) поля об'ємних сил, віднесена до од. маси рідини. При перебігу газів значення П мало змінюється вздовж лінії струму, і його можна включити до константи, представивши (3) у вигляді:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

У технічних додатках для течії, опосередкованого поперечним перерізом каналу, застосовують т.з. узагальнене рівняння Бернуллі: зберігаючи форму рівнянь (1) і (3), ліву частину включають роботу сил тертя і подолання гідравлічних опорів, а також механічну роботу рідини або газу (роботу компресора або турбін) з відповідним знаком. Узагальнене рівняння Бернуллі широко застосовується в гідравліці при розрахунку перебігу рідин та газів у трубопроводах та в машинобудуванні при розрахунку компресорів, турбін, насосів та інших гідравлічних та газових машин.