Що означає цілі вирази. Урок « Алгебраїчні дроби, раціональні та дробові вирази

«Урок Многочлен» - І виконати перевірку: 2.Виконати множення многочленів: 4.Виконати поділ многочлена A(x) на В(х). 3. Розкласти многочлен на множники. 1.Виконати додавання та віднімання багаточленів: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 і Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Дії із багаточленами. Урок 15

«Перетворення цілого вираження на многочлен» - Розвивати обчислювальні навички учнів. Ввести поняття цілого виразу. Перетворення цілих виразів. Багаточлени і, зокрема, одночлени є цілими виразами. Вправляти учнів у приведенні таких доданків. Прикладами цілих виразів є такі вирази: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c) )/5+2,5ac.

«Множення багаточленів» - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. презентація. Позиційне число багаточлену. Множення багаточленів з використанням позиційного числа. Рябов Павло Юрійович. Керівник: Калетурін А. С.

"Многочлен стандартного виду" - Стандартний вид багаточлена. приклади. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Додавання багаточленів. Підготовка до с/р №6. Словник. Глава 2, §1b. Для багаточленів з однією літерою старшого члена визначено однозначно. Перевір себе. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

"Многочлени" - Одночлен вважають багаточленом, що складається з одного члена. Винесення загального множника за дужки. Алгебра. Багаточлени. Помножимо многочлен a+b багаточлен c+d. Добуток одночлена та багаточлена Множення одночлена на багаточлен. Подібними доданками є і члени 2 і -7, які не мають буквену частину. Членами багаточлена 4xz-5xy+3x-1 є 4xz, -5xy, 3x та -1.

"Урок Розкладання на множники" - Застосування ФСУ. Формули скороченого множення. Тема уроку: Відповіді: вар 1: б, г, б, г, в; вар 2: а, г, в, б, а; вар 3: в, в, в, а, б; Вар 4: г, г, в, б, г. Ну як? Винесення загального множника за дужки. 3. Закінчіть розкладання на множники: Робота в групах: Винесіть загальний множник за дужки. 1. Закінчіть розкладання на множники: а).

Завдяки курсу алгебри відомо, що всі висловлювання вимагають перетворення для зручнішого рішення. Визначення цілих виразів сприяє тому, що спочатку виконуються тотожні перетворення. Перетворюватимемо вираз у многочлен. Наприкінці розберемо кілька прикладів.

Визначення та приклади цілих виразів

Визначення 1

Цілі вирази– це числа, змінні або вирази зі складанням або відніманням, які записуються у вигляді ступеня з натуральним показником, які також мають дужки або поділ, відмінний від нуля.

Виходячи з визначення, маємо, що приклади цілих виразів: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 і так далі, причому змінні види a , b , p , q , x , z вважають за цілі вирази. Після їх перетворення сум, різниць, творів виразу набудуть вигляду

x + 1 , 5 · y 3 · 2 · 3 · 7 − 2 · y − 3 , 3 − x · y · z 4 , - 6 7 , 5 · (2 · x + 3 · y 2) 2 − - ( 1 − x) · (1 + x) · (1 + x 2)

Якщо у виразі є розподіл на число, відмінне від нуля виду x: 5 + 8: 2: 4 або (x + y) : 6 , тоді поділ може позначатися за допомогою дробової риси, як x + 3 5 - 3 , 2 · x + 2 . При розгляді виразів виду x: 5 + 5: x або 4 + a 2 + 2 · a - 6 a + b + 2 · c видно, що такі вирази не можуть бути цілими, тому що в першому є поділ на змінну x , а у другому на вираз із змінною.

Многочлен і одночлен є цілими висловлюваннями, із якими зустрічаємося у шкільництві під час роботи з раціональними числами. Інакше кажучи, цілі вирази не включають записи ірраціональних дробів. Інша назва – це цілі ірраціональні вирази.

Які перетворення цілих виразів можливі?

Цілі висловлювання розглядаються під час вирішення як основні тотожні перетворення, розкриття дужок, групування, приведення подібних.

Приклад 1

Розкрити дужки і навести подібні доданки в 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) .

Рішення

Для початку необхідно застосувати правило розкриття дужок. Отримаємо вираз виду 2 · (a 3 + 3 · a · b - 2 · a) - 2 · a 3 - (5 · a · b - 6 · a + b) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · (−2 · a) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b

Після цього можемо навести такі складові:

2 · a 3 + 6 · a · b - 4 · a - 2 · a 3 - 5 · a · b + 6 · a - b = = (2 · a 3 - 2 · a 3) + (6 · a · b − 5 · a · b) + (−4 · a + 6 · a) − b = = 0 + a · b + 2 · a − b = a · b + 2 · a − b .

Після їх приведення отримуємо багаточлен виду a · b + 2 · a - b.

Відповідь: 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) = a · b + 2 · a − b.

Приклад 2

Зробити перетворення (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Рішення

Наявне поділ можна замінювати множенням, але зворотне число. Тоді необхідно виконати перетворення, після яких вираз набуде вигляду (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Тепер слід зайнятися приведенням подібних доданків. Отримаємо, що

(x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 = 3 2 · (x - 1) + 2 21 · x 2 + 1 = = 3 2 · x - 3 2 + 2 21 · x 2 + 2 21 = 2 21 · x 2 + 3 2 · x - 59 42 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42

Відповідь: (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 · x 2 + 1 1 2 · x - 1 17 42 .

Приклад 3

Подати вираз 6 · x 2 · y + 18 · x · y - 6 · y - (x 2 + 3 · x - 1) · (x 3 + 4 · x) у вигляді твору.

Рішення

Розглянувши вираз, видно, що перші три доданки мають загальний множник виду 6 · y, який слід винести за дужки під час перетворення. Тоді отримаємо, що 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x)

Видно, що отримали різницю двох виразів виду 6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) та (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) із загальним множником x 2 + 3 · x − 1 , який потрібно винести за дужки. Отримаємо, що

6 · y · (x 2 + 3 · x − 1) − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · (6 · y − (x 3 + 4 · x))

Розкривши дужки, маємо вираз виду (x 2 + 3 · x - 1) · (6 · y - x 3 - 4 · x), яке необхідно було знайти за умовою.

Відповідь:6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − (x 2 + 3 · x − 1) · (x 3 + 4 · x) = = (x 2 + 3 · x − 1) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x)

Тотожні перетворення вимагають суворе виконання порядку дій.

Приклад 4

Перетворити вираз (3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8.

Рішення

Ви насамперед виконуються дії у дужках. Тоді маємо, що 3 · 2 − 6 2: 9 = 3 · 2 − 3 6: 9 = 6 − 4 = 2. Після перетворень вираз набуває вигляду 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . Відомо що 2 3 = 8 і (x 2) 4 = x 2 · 4 = x 8, Тоді можна дійти виразу виду 8 · x 8 + 4 · x: 8 . Другий доданок вимагає заміни поділу на множення з 4 · x: 8. Згрупувавши множники, отримуємо, що

8 · x 8 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x

Відповідь:(3 · 2 − 6 2: 9) 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 = 8 · x 8 + 1 2 · x .

Перетворення на багаточлен

Більшість випадків перетворення цілих виразів – це уявлення як многочлена. Будь-яке вираз можна у вигляді многочлена.Будь-який вираз може бути розглянуто як багаточлени, з'єднані арифметичними знаками. Будь-яка дія над многочленами у результаті дає многочлен.

Для того, щоб вираз був представлений у вигляді багаточлена, необхідно виконувати всі дії з багаточленами згідно з алгоритмом.

Приклад 5

Подати у вигляді многочлена 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (4 · x - x · (15 · x + 1)).

Рішення

У цьому виразі почати перетворення з виразу виду 4 · x − x · (15 · x + 1) , причому за правилом на початку виконавши множення або поділ, після чого додавання або віднімання. Помножимо – x на 15 · x + 1 тоді отримаємо 4 · x − x · (15 · x + 1) = 4 · x − 15 · x 2 − x = (4 · x − x) − 15 · x 2 = 3 · x − 15 · x 2. Задане вираз набуде вигляду 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (3 · x - 15 · x 2) .

Далі потрібно зробити будівництво в 2 рівень многочлена 2 · x − 1, отримаємо вираз виду (2 · x − 1) 2 = (2 · x − 1) · (2 · x − 1) = 4 · x 2 + 2 · x · (− 1) − 1 · 2 · x − 1 · (− 1 ) = = 4 · x 2 − 4 · x + 1

Тепер можна перейти до вигляду 2 · (2 · x 3 - 1) + (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) + (3 · x - 15 · x 2).

Розберемо множення. Видно, що 2 · (2 · x 3 - 1) = 4 · x 3 - 2 і (4 · x 2 - 4 · x + 1) · (3 - x) = 12 · x 2 - 4 · x 3 - 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3

тоді можна зробити перехід до виразу виду (4 · x 3 - 2) + (16 · x 2 - 4 · x 3 - 13 · x + 3) + (3 · x - 15 · x 2).

Виконуємо додавання, після чого прийдемо до виразу:

(4 · x 3 − 2) + (16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3) + (3 · x − 15 · x 2) = = 4 · x 3 − 2 + 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3 + 3 · x − 15 · x 2 = = (4 · x 3 − 4 · x 3) + (16 · x 2 − 15 · x 2) + (− 13 · x + 3 · x) + (−2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 · x + 1 = x 2 − 10 · x + 1 .

Звідси випливає, що вихідний вираз має вигляд x 2 − 10 · x + 1.

Відповідь: 2 · (2 · x 3 - 1) + (2 · x - 1) 2 · (3 - x) + (4 · x - x · (15 · x + 1)) = x 2 - 10 · x + 1.

Множення та зведення в ступінь багаточлена говорить про те, що необхідно використовувати формули скороченого множення для прискорення процесу перетворення. Це сприяє тому, що дії будуть виконані раціонально та правильно.

Приклад 6

Перетворити 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) .

Рішення

З формули квадрата отримаємо, що (2 · m + n) 2 = (2 · m) 2 + 2 · (2 · m) · n + n 2 = 4 · m 2 + 4 · m · n + n 2, Тоді добуток (m − 2 · n) · (m + 2 · n) дорівнює різниці квадратів m і 2 · n , таким чином, дорівнює m 2 − 4 · n 2. Отримаємо, що вихідний вираз набуде вигляду 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) = 4 · (4 · m 2 + 4 · m · n + n 2) + (m 2 - 4) · n 2) = = 16 · m 2 + 16 · m · n + 4 · n 2 + m 2 - 4 · n 2 = 17 · m 2 + 16 · m · n

Відповідь: 4 · (2 · m + n) 2 + (m - 2 · n) · (m + 2 · n) = 17 · m 2 + 16 · m · n.

Щоб перетворення було занадто довгим, необхідно заданий вираз приводити до стандартного виду.

Приклад 7

Спростити вираз виду (2 · a · (−3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2 ) + (5 · a · b · (− 3) · b 2)

Рішення

Найчастіше багаточлени та одночлени даються не стандартного виду, тому доводиться виконувати перетворення. Слід перетворити, щоб отримати вираз виду − 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3. Для того, щоб навести подібні, необхідно попередньо зробити множення за правилами перетворення складного виразу. Отримуємо вираз виду

− 6 · a 3 · b · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (2 · a 2 + 1) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + (2 · a 3 · b + a · b) · (6 · a + 15 · b 2) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b - 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 - 15 · a · b 3 = = (−12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b) + (− 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3) + 6 · a 2 · b + (15 · a · b 3 − 15 · a · b 3) = 6 · a 2 · b

Відповідь: (2 · a · (−3) · a 2 · b) · (2 · a + 5 · b 2) + a · b · (a 2 + 1 + a 2) · (6 · a + 15 · b 2 ) + + (5 · a · b · (− 3) · b 2) = 6 · a 2 · b

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

«Алгебраїчні дроби, раціональні та дробові вирази.»

Цілі уроку:

Освітня: введення поняття алгебраїчного дробу, раціональних та дробових виразів, області допустимих значень,

Розвиваюча: формування навичок критичного мислення, самостійного пошуку інформації, дослідницьких навичок.

Виховна: виховання свідомого ставлення до праці, формування комунікативних навичок, формування самооцінки.

Хід уроку

1. Організаційний момент:

Вітання. Оголошення теми уроку.

2. Мотивація уроку.

У німців є така приказка "Потрапити в дріб", що означає потрапити в глухий кут, скрутне становище. Це тим, що довгий час дії з дробовими числами, які іноді називали “ламаними”, вважалися по праву дуже складними.

Але зараз прийнято розглядати не лише числові, а й алгебраїчні дроби, чим ми сьогодні й займемося.

Успіх – це пункт призначення. Цей рух

Т. Фастер.

3. Актуалізація опорних знань.

Фронтальне опитування.

Що таке цілі вирази? З чого вони складені? Ціле вираз має сенс за будь-яких значеннях змінних, що входять до нього.

Наведіть приклади.

Що таке дріб?

Що означає скоротити дріб?

Що означає розкласти на множники?

Які способи розкладання знаєте?

Чому дорівнює квадрат суми (різниці)?

Чому дорівнює різниця квадратів?

4. Вивчення нового матеріалу.

У 8 класі ми познайомимося і з дрібними виразами.

Вони відрізняються від цілих тим, що вони містять дію поділ на вираз зі змінною.

Якщо вираз алгебри складено з чисел і змінних за допомогою дій складання, віднімання, множення, зведення в ступінь з натуральним показником і поділу, причому використовуючи розподіл на вирази зі змінними, то його називають дробовим виразом.

Дробові вирази немає сенсу при значеннях змінних, які перетворюють знаменник нанівець.

Області допустимих значень (ОДЗ) алгебраїчного виразу називають безліч всіх допустимих сукупностей значень букв, що входять до цього виразу.

Цілі та дробові вирази називають раціональними виразами

окремим видом раціонального виразу є раціональний дріб. Це дріб, чисельник і знаменник якого багаточлени.

Які вирази є цілими, які дробовими? (або №1)

5. Фізмінутка

6. Закріплення нового матеріалу.

Вирішити №2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Самостійна робота учнів (у групах).

Вирішити № 3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Рефлексія.

Чи важким тобі був матеріал уроку?

На якому з етапів уроку було найважче, найлегше?

Що нового ти дізнався на уроці? Чому навчився?

Чи працював ти на уроці на повну міру сил?

Як емоційно ти почував себе на уроці?

Д/з: вивчити п.1, питання с.7 вирішити № 4, 6, 8.

Синквейн.

Кожна група складає синквейн до слова «дроб».

Якщо будеш дроби знати

Точно сенс їх розуміти,

Чи стане легкою навіть важке завдання.

Ціле вираз - це математичне вираз, складене з чисел і літерних змінних за допомогою дій складання, віднімання та множення. Також до цілих відносяться вирази, які мають у своєму складі розподіл на якесь число, відмінне від нуля.

Приклади цілого виразу

Нижче наведено кілька прикладів цілих виразів:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Дробові вирази

Якщо ж у виразі присутній розподіл на змінну або на інший вираз містить змінну, то такий вираз не є цілим. Такий вираз називається дробовим. Дамо повне визначення дробового виразу.

Дробне вираз - це математичне вираз, яке крім дій складання, віднімання та множення, виконаних з числами і буквеними змінними, а також поділу на число не рівне нулю, містить так само поділ на вирази з буквеними змінними.

Приклади дробових виразів:

1. (12 * a ^ 3 +4) / a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Дробові та цілі вирази становлять дві великі множини математичних виразів. Якщо ці множини об'єднати, то отримаємо нову множину, яка називається раціональними виразами. Тобто раціональні вирази це все цілий і дрібні вирази.

Нам відомо, що цілі вирази мають сенс за будь-яких значень змінних, які до нього входять. Це випливає з того, що для знаходження значення цілого виразу необхідно виконувати дії, які завжди можливі: додавання, віднімання, множення, розподіл на число відмінне від нуля.

Дрібні ж висловлювання, на відміну цілих, можуть і мати сенсу. Так як присутня операція поділу на змінну або вираз, що містить змінні, і цей вираз може звернутися в нуль, а ділити на нуль не можна. Значення змінних, у яких дробове вираз матиме сенс, називають допустимими значеннями змінних.

Раціональний дріб

Одним з окремих випадків раціональних виразів буде дріб, чисельник і знаменник якої багаточлени. Для такого дробу в математиці теж існує своя назва - раціональний дріб.

Раціональна дріб матиме сенс у тому випадку, якщо її знаменник не дорівнює нулю. Тобто допустимими будуть всі значення змінних, у яких знаменник дробу відмінний від нуля.