Економіко-математичні методи застосовуються для. Викладач мацнь а.п

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Список використаних джерел

1. Економіко-математичні методи, що застосовуються в аналізі господарської діяльності

Одним із напрямів удосконалення аналізу господарської діяльності є впровадження економіко-математичних методів та сучасних ЕОМ. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, що вивчаються, обґрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанта використання господарських ресурсів, виявлення та мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва

Математичні методи спираються на методологію економіко-математичного моделювання та науково обґрунтовану класифікацію завдань аналізу господарської діяльності. Залежно від цілей економічного аналізу розрізняють такі економіко-математичні моделі: у детермінованих моделях – логарифмування, пайова участь, диференціювання; у стохастичних моделях – кореляційно-регресивний метод, лінійне програмування, теорію масового обслуговування, теорію графів та ін.

Стохастичний аналіз – це метод розв'язання широкого класу завдань статистичного оцінювання. Він передбачає вивчення масових емпіричних даних шляхом побудови моделей зміни показників за рахунок факторів, що не перебувають у прямих зв'язках, у прямій взаємозалежності та взаємозумовленості. Стохастичний зв'язок існує між випадковими величинами і проявляється в тому, що при зміні однієї з них змінюється закон розподілу іншої.

В економічному аналізі виділяються такі найбільш типові завдання стохастичного аналізу:

Вивчення наявності та тісноти зв'язку між функцією та факторами, а також між факторами;

Ранжування та класифікація факторів економічних явищ;

Виявлення аналітичної форми зв'язку між явищами, що вивчаються;

Згладжування динаміки зміни рівня показників;

Виявлення параметрів закономірних періодичних коливань рівня показників;

Вивчення розмірності (складності, багатогранності) економічних явищ;

Кількісна зміна інформативних показників;

Кількісна зміна впливу чинників зміну аналізованих показників (економічна інтерпретація отриманих рівнянь).

Стохастичне моделювання та аналіз зв'язків між вивченими показниками починаються з кореляційного аналізу. Кореляція у тому, що середня величина однієї з ознак змінюється залежно від значення іншого. Ознака, від якої залежить інша ознака, прийнято називати факторною. Залежний ознака називають ефективним. У кожному конкретному випадку для встановлення факторної та результативної ознак у неоднакових сукупностях необхідний аналіз природи зв'язку. Так, при аналізі різних ознак в одній сукупності заробітна плата робітників у зв'язку з їх виробничим стажем постає як результативна ознака, а у зв'язку з показниками життєвого рівня або культурними потребами – як факторна. Часто залежності розглядають немає від однієї факторного ознаки, як від кількох. Для цього застосовується сукупність методів та прийомів виявлення та кількісної оцінки взаємозв'язків та взаємозалежностей між ознаками.

При дослідженні масових суспільно-економічних явищ між факторними ознаками проявляється кореляційний зв'язок, при якому на величину результативної ознаки впливає, окрім факторної, безліч інших ознак, що діють у різних напрямках одночасно чи послідовно. Часто кореляційний зв'язок називають неповним статистичним або частковим на відміну від функціонального, який виражається в тому, що при певному значеннізмінної (незалежна змінна – аргумент) інша (залежна змінна – функція) набуває строгого значення.

Кореляційний зв'язок можна виявити лише як загальної тенденції при масовому зіставленні фактів. Кожному значенню факторного ознаки відповідатиме одне значення результативного ознаки, які сукупність. У цьому випадку для розтину зв'язку необхідно знайти середнє значення результативної ознаки для кожного факторного значення.

Якщо залежність прямолінійна:

.

Значення коефіцієнтів а і b знаходиться із системи рівнянь, отриманих за способом найменших квадратівза формулою:

, n – число спостережень.

У разі прямолінійної форми зв'язку між показниками, що вивчаються, коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

.

Якщо коефіцієнт кореляції звести квадрат, то отримаємо коефіцієнт детермінації.

Дисконтування - це процес перерахунку майбутньої вартості капіталу, грошових потоків чи чистого доходу у реальну. Ставка, за якою здійснюється дисконтування, називається ставкою дисконтування (ставкою дисконту). Основна посилка, що лежить в основі поняття дисконтованого потоку реальних грошей, полягає в тому, що гроші мають тимчасову ціну, тобто сума грошей, що є в наявності в даний час, має більшу цінність, ніж така ж сума в майбутньому. Ця різниця може бути виражена як процентна ставка, що характеризує відносні зміни за певний період (зазвичай рівний року).

Багато завдань, із якими доводиться стикатися економісту у повсякденній практиці під час аналізу господарську діяльність підприємств, многовариантны. Так як не всі варіанти однаково хороші, серед безлічі можливих доводиться знаходити оптимальний. Значна частина подібних завдань протягом тривалого часу вирішувалася виходячи зі здорового глузду та досвіду. При цьому не було жодної впевненості, що знайдений варіант є найкращим.

У сучасних умовах навіть незначні помилки можуть призвести до величезних втрат. У зв'язку з цим виникла необхідність залучення до аналізу та синтезу економічних систем оптимізаційних економіко-математичних методів та ЕОМ, що створює основу для ухвалення науково обґрунтованих рішень. Такі методи об'єднуються в одну групу під загальною назвою"Оптимізаційні методи прийняття рішень в економіці". Щоб вирішити економічне завдання математичними методами, передусім необхідно побудувати адекватну їй математичну модель, тобто формалізувати мету та умови завдання у вигляді математичних функцій, рівнянь та (або) нерівностей.

Загалом математична модель оптимізаційної задачі має вигляд:

max (min): Z = Z (x),

при обмеженнях

f i (x) Rb i , i =

,

де R - відношення рівності, менше чи більше.

Якщо цільова функція та функції, що входять до системи обмежень, лінійні щодо невідомих, що входять до завдання, таке завдання називається завданням лінійного програмування. Якщо цільова функція або система обмежень не лінійна, таке завдання називається завданням нелінійного програмування.

Здебільшого, практично, завдання нелінійного програмування шляхом лінеаризації зводяться до завдання лінійного програмування. p align="justify"> Особливий практичний інтерес серед завдань нелінійного програмування представляють завдання динамічного програмування, які через свою багатоетапність не можна лінеаризувати. Тому ми розглянемо лише ці два види оптимізаційних моделей, для яких в даний час є хороше математичне та програмне забезпечення.

Метод динамічного програмування є особливий математичний прийом оптимізації нелінійних завдань математичного програмування, який спеціально пристосований до багатокрокових процесів. Багатокроковим зазвичай вважають процес, що розвивається в часі і розпадається на ряд кроків, або етапів. Проте метод динамічного програмування використовується й у вирішення завдань, у яких час не фігурує. Деякі процеси розпадаються кроки природним чином (наприклад, процес планування господарську діяльність підприємства у період, що з кількох років). Багато процесів можна розчленувати на етапи штучно.

Суть методу динамічного програмування полягає в тому, що замість пошуку оптимального рішення відразу для всієї складної задачі вважають за краще знаходити оптимальні рішення для декількох більш простих задач аналогічного змісту, на які розчленовується вихідне завдання.

p align="justify"> Метод динамічного програмування також характеризується тим, що вибір оптимального рішення на кожному кроці повинен проводитися з урахуванням наслідків у майбутньому. Це означає, що, оптимізуючи процес на кожному окремому кроці, в жодному разі не можна забувати про всі наступні кроки. Отже, динамічне програмування - це далекоглядне планування з урахуванням перспективи.

Принцип вибору рішення в динамічному програмуванні є визначальним і зветься принципом оптимальності Беллмана. Сформулюємо його так: оптимальна стратегія має тим властивістю, що, які б не були початковий стан і рішення, прийняте в початковий момент, наступні рішення повинні вести до поліпшення ситуації щодо стану, що є результатом початкового рішення.

Таким чином, при вирішенні оптимізаційної задачі методом динамічного програмування необхідно на кожному кроці враховувати наслідки, до яких приведе в майбутньому рішення, яке приймається в Наразі. Винятком є ​​останній крок, яким закінчується процес. Тут можна ухвалювати таке рішення, щоб забезпечити максимальний ефект. Спланувавши оптимальним чином останній крок, можна "прилаштовувати" передостанній так, щоб результат цих двох кроків був оптимальним, і т.д. Саме таким чином – від кінця на початок – можна розгорнути процедуру прийняття рішень. Оптимальне рішення, знайдене за умови, що попередній крок закінчився певним чином, називають умовно-оптимальним рішенням.

Економіко-математичні методи (ЕММ)- узагальнюючу назву комплексу економічних та математичних наукових дисциплін, об'єднаних для вивчення економіки. Введено академіком В.С.Немчиновим на початку 60-х років. Зустрічаються висловлювання у тому, що це назва дуже умовно і відповідає сучасного рівнярозвитку економічної науки, оскільки «вони (ЕММ. - Авт.) немає свого предмета дослідження, відмінного від предмета дослідження специфічних економічних дисциплін» .

Проте, хоча тенденція помічена правильно, вона, очевидно, реалізується ще скоро. ЕММ насправді мають загальний об'єктдослідження з іншими економічними дисциплінами- економіку (чи ширше: соціально-економічну систему), але різний предмет науки: тобто. вони вивчають різні сторони цього об'єкта, підходять щодо нього з різних позицій. І головне, у своїй використовуються особливі методи дослідження, розвинені настільки, що вони стають окремими науковими дисциплінами особливого методологічного характеру. На відміну від дисциплін, у яких переважають онтологічні аспекти, а методи дослідження виступають лише більшою чи меншою мірою як допоміжні засоби, у «методологічних» дисциплінах, що становлять значну частину комплексу ЕММ, методи самі виявляються об'єктом дослідження. Крім того, дійсний синтез економіки та математики ще попереду, знадобиться чимало часу, доки він здійсниться повною мірою.

Загальноприйнята класифікація економіко-математичних дисциплін, які стали сплавом економіки, математики та кібернетики, поки що не вироблена. З певною часткою умовності її можна як наступної схеми .

0. Принципи економіко-математичних методів:

теорія економіко-математичного моделювання, включаючи економіко-статистичне моделювання;

теорія оптимізація економічних процесів.

1. Математична статистика (її економічні додатки):

вибірковий метод;

дисперсійний аналіз;

кореляційний аналіз;

регресійний аналіз;

багатовимірний статистичний аналіз;

факторний аналіз;

теорія індексів та ін.

2. Математична економія та економетрія:

теорія економічного зростання (моделі макроекономічної динаміки);

теорія виробничих функцій;

міжгалузеві баланси (статичні та динамічні);

національні рахунки, інтегровані матеріально-фінансові баланси;

аналіз попиту та споживання;

регіональний та просторовий аналіз;

глобальне моделювання та ін.

3. Методи прийняття оптимальних рішень, включаючи дослідження операцій:

оптимальне (математичне) програмування;

лінійне програмування;

нелінійне програмування;

динамічне програмування;

дискретне (цілочисленне) програмування;

блочне програмування;

дробово-лінійне програмування;

параметричне програмування;

сепарабельне програмування;

стохастичне програмування;

геометричне програмування;

методи гілок та кордонів;

мережеві методи планування та управління;

програмно-цільові методи планування та управління;

теорія та методи управління запасами;

теорія масового обслуговування;

теорія ігор;

теорія рішень;

теорія розкладів.

4. ЕММ та дисципліни, специфічні для централізовано планованої економіки:

теорія раціонального функціонування соціалістичної економіки (СОФЕ);

оптимальне планування:

народногосподарське;

перспективне та поточне;

галузеве та регіональне;

теорія оптимального ціноутворення;

5. ЕММ, специфічні для конкурентної економіки:

моделі ринку та вільної конкуренції;

моделі ділового циклу;

моделі монополії, дуополії, олігополії;

моделі індикативного планування;

моделі міжнародних економічних відносин;

моделі теорії фірми

6. Економічна кібернетика:

системний аналіз економіки;

теорія економічної інформації,включаючи економічну семіотику;

теорія керуючих систем,включаючи теорію автоматизованих системуправління.

7. Методи експериментального вивченняекономічних явищ ( експериментальна економіка):

математичні методи планування та аналізу економічних експериментів;

методи машинної імітаціїі стендового експериментування;

"ділові ігри".

В ЕММ застосовуються різні розділи математики, математичної статистики і математичної логіки; велику роль у машинному рішенні економіко-математичних завданьграють обчислювальна математика, теорія алгоритмівта інші суміжні дисципліни.

Практичне застосування ЕММ у деяких країнах набуло масового, у певному сенсі рутинного характеру. У тисячах компанійвирішуються завдання планування виробництва, розподілу ресурсівза допомогою відпрацьованого та часто стандартизованого програмного забезпеченняна комп'ютерах. Ведеться вивчення цієї практики на місцях-опитування, обстеження.. У навіть видається спеціальний журнал “Interfaces”, регулярно публікує інформацію про практичному використанні ЕММ у різних галузях економіки. Наприклад, наведемо резюме однієї зі статей цього журналу: «У 2005 і 2006 роках, компанія Coca-Cola Enterprises (CCE), найбільший виробник і дистриб'ютор напою Кока-Кола, запровадила програмне забезпечення ORTEC для маршрутизації транспорту. В даний час понад триста диспетчерів використовують цей софтвер, щодня плануючи маршрути приблизно 10 000 фур. На додаток до подолання деяких нестандартних обмежень, використання цієї технології є примітним прогресивним (безперебійним) переходом від колишньої господарської практики. РЄ зуміла скоротити річні витрати на 45 млн доларів та покращити обслуговування клієнтів. Цей досвід виявився настільки вдалим, що (головна транснаціональна компанія) Кока Кола розширила його за межі РСЕ, інші компанії з виробництва та розповсюдження цього напою, а також пива».

При побудові економічних моделей виявляються суттєві чинники та відкидаються деталі несуттєві на вирішення поставленого завдання.

До економічних моделей можуть належати моделі:

• економічного зростання
• споживчого вибору
• рівноваги на фінансовому та товарному ринку та багато інших.

Модель— це логічний або математичний опис компонентів і функцій, що відображають суттєві властивості об'єкта або процесу, що моделюються.

Модель використовується як умовний образ, сконструйований спрощення дослідження об'єкта чи процесу.

Природа моделей може бути різною. Моделі поділяються на: речові, знакові, словесний та табличний опис та ін.

Економіко-математична модель

В управлінні господарськими процесами найбільше значеннямають насамперед економіко-математичні моделі, що часто об'єднуються в системи моделей.

Економіко-математична модель(ЕММ) - це математичний опис економічного об'єкта або процесу з метою їх дослідження та управління ними. Це математичний запис вирішуваного економічного завдання.

Основні типи моделей

• Екстраполяційні моделі
• Факторні економетричні моделі
• Оптимізаційні моделі
• Балансові моделі, модель Міжгалузевого Балансу (МОБ)
• Експертні оцінки
• Теорія ігор
• Мережеві моделі
• Моделі систем масового обслуговування

Економіко-математичні моделі та методи, що застосовуються в економічному аналізі

R a = ПП / ВА + ОА,

В узагальненому вигляді змішана модель може бути представлена ​​такою формулою:

Отже, спочатку слід збудувати економіко-математичну модель, що описує вплив окремих чинників на узагальнюючі економічні показники діяльності організації. Велике поширенняв аналізі господарської діяльності отримали багатофакторні мультиплікативні моделіТак як вони дозволяють вивчити вплив значної кількості факторів на узагальнюючі показники і тим самим досягти більшої глибини та точності аналізу.

Після цього потрібно вибрати спосіб розв'язання цієї моделі. Традиційні способи: спосіб ланцюгових підстановок, способи абсолютних і відносних різниць, балансовий спосіб, індексний метод, а також методи кореляційно-регресійного, кластерного, дисперсійного аналізу та ін. Поряд з цими способами та методами в економічному аналізі використовуються і специфічно математичні методита методи.

Інтегральний метод економічного аналізу

Одним із таких способів (методів) є інтегральний. Він знаходить застосування щодо впливу окремих чинників з використанням мультиплікативних, кратних, і змішаних (кратно-адитивних) моделей.

В умовах застосування інтегрального методу є можливість отримання більш обґрунтованих результатів обчислення впливу окремих факторів, ніж при використанні методу ланцюгових підстановок та його варіантів. Метод ланцюгових підстановок та її варіанти, і навіть індексний метод мають істотні недоліки: 1) результати розрахунків впливу чинників залежить від прийнятої послідовності заміни базисних величин окремих чинників на фактичні; 2) додатковий приріст узагальнюючого показника, викликаний взаємодією чинників, як нерозкладного залишку приєднується до суми впливу останнього чинника. При використанні інтегрального методу цей приріст ділиться порівну між усіма факторами.

Інтегральний метод встановлює загальний підхід до вирішення моделей різних видів, причому незалежно від числа елементів, що входять до цієї моделі, а також незалежно від форми зв'язку між цими елементами.

Інтегральний метод факторного економічного аналізу має у своїй основі підсумовування прирощень функції, визначеної як приватна похідна, помножена на збільшення аргументу на нескінченно малих проміжках.

У процесі застосування інтегрального методу необхідне дотримання кількох умов. По-перше, має дотримуватися умова безперервної диференційованості функції, де як аргумент береться якийсь економічний показник. По-друге, функція між початковою та кінцевою точками елементарного періоду повинна змінюватися по прямій Г е. Нарешті, по-третє, повинне мати місце сталість співвідношення швидкостей зміни величин факторів

d y / d x = const

При використанні інтегрального методу обчислення певного інтегралуза заданою підінтегральною функцією та заданим інтервалом інтегрування здійснюється за наявною стандартною програмою із застосуванням сучасних засобів обчислювальної техніки.

Якщо ми здійснюємо рішення мультиплікативної моделі, то розрахунку впливу окремих чинників на узагальнюючий економічний показник можна використовувати такі формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2Δ x *Δ y

Z(y)=x 0 * Δ y +1/2 Δ x* Δ y

При вирішенні кратної моделі для розрахунку впливу факторів скористаємося такими формулами:

Z = x / y;

Δ Z(x)= Δ x/Δ y Lny1/y0

Δ Z(y)=Δ Z- Δ Z(x)

Існує два основних типи завдань, які вирішуються за допомогою інтегрального методу: статичний та динамічний. При першому типі відсутня інформація про зміну факторів, що аналізуються, протягом даного періоду. Прикладами таких завдань можуть бути аналіз виконання бізнес-планів чи аналіз зміни економічних показників проти попереднім періодом. Динамічний тип завдань має місце за наявності інформації про зміну аналізованих чинників протягом цього періоду. До цього типу завдань належать обчислення, пов'язані з вивченням часових рядів економічних показників.

Такими є найважливіші риси інтегрального методу факторного економічного аналізу.

Метод логарифмування

Крім цього, в аналізі знаходить застосування також метод (спосіб) логарифмування. Він використовується під час проведення факторного аналізу, коли вирішуються мультиплікативні моделі. Сутність методу, що розглядається, полягає в тому, що при його використанні має місце логарифмічно пропорційний розподіл величини. спільної діїфакторів між останніми, тобто ця величина розподіляється між факторами пропорційно частці впливу кожного окремого фактора на суму узагальнюючого показника. При інтегральному методі згадана величина розподіляється між чинниками однаковою мірою. Тому метод логарифмування робить розрахунки впливу факторів обґрунтованішими порівняно з інтегральним методом.

У процесі логарифмування знаходять застосування не абсолютні величини приросту економічних показників, як і при інтегральному методі, а відносні, тобто індекси зміни цих показників. Наприклад, узагальнюючий економічний показник визначається у вигляді добутку трьох факторів - співмножників f = x y z.

Знайдемо вплив кожного із цих чинників на узагальнюючий економічний показник. Так, вплив першого фактора може бути визначений за такою формулою:

Δf x = Δf · lg (x 1 / x 0) / lg (f 1 / f 0)

Яким же був вплив наступного фактора? Для знаходження його впливу скористаємося такою формулою:

Δf y = Δf · lg (y 1 / y 0) / lg (f 1 / f 0)

Нарешті, щоб обчислити вплив третього чинника, застосуємо формулу:

Δf z = Δf · lg (z 1 / z 0) / lg (f 1 / f 0)

Таким чином, загальна сума зміни узагальнюючого показника розчленовується між окремими факторами відповідно до пропорцій відносин логарифмів окремих факторних індексів до логарифму узагальнюючого показника.

При застосуванні даного методу можуть бути використані будь-які види логарифмів - як натуральні, так і десяткові.

Метод диференціального обчислення

При проведенні факторного аналізу знаходить застосування також метод диференціального обчислення. Останній припускає, що загальна змінафункції, тобто узагальнюючого показника, поділяється на окремі доданки, значення кожного з яких обчислюється як добуток певної приватної похідної на збільшення змінної, за якою визначена ця похідна. Визначимо вплив окремих чинників на узагальнюючий показник, використовуючи як приклад функцію двох змінних.

Задано функцію Z = f(x, y). Якщо ця функція є диференційованою, то її зміна може бути виражена такою формулою:

Пояснимо окремі елементи цієї формули:

ΔZ = (Z 1 - Z 0)- величина зміни функції;

Δx = (x 1 - x 0)- Величина зміни одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0)-величина зміни іншого чинника;

- нескінченно мала величина вищого порядку, ніж

У даному прикладівплив окремих факторів xі yна зміну функції Z(узагальнюючого показника) обчислюється так:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сума впливу обох цих факторів - це головна, лінійна щодо збільшення даного фактора частина збільшення диференційованої функції, тобто узагальнюючого показника.

Спосіб пайової участі

В умовах рішення адитивних, а також кратно-адитивних моделей для обчислення впливу окремих факторів на зміну узагальнюючого показника використовується також спосіб пайової участі. Його сутність у тому, що спочатку визначається частка кожного чинника у сумі їх змін. Потім ця частка множиться на загальну величинузміни узагальнюючого показника.

Припустимо, що ми визначаємо вплив трьох факторів. а,bі зна узагальнюючий показник y. Тоді для фактора, а визначення його частки та множення її на загальну величину зміни узагальнюючого показника можна здійснити за такою формулою:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в аналізована формула матиме такий вигляд:

Δy b = Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Нарешті, для фактора маємо:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Така сутність способу пайової участі, що використовується для цілей факторного аналізу.

Метод лінійного програмування

далі:

Теорія масового обслуговування

далі:

Теорія ігор

Знаходить застосування також теорія ігор. Так само, як і теорія масового обслуговування, теорія ігор є одним із розділів прикладної математики. Теорія ігор вивчає оптимальні варіанти рішень, можливі ситуаціях ігрового характеру. Сюди належать такі ситуації, пов'язані з вибором оптимальних управлінських рішень, із вибором найбільш доцільних варіантів взаємовідносин коїться з іншими організаціями, тощо.

Для вирішення подібних завдань у теорії ігор використовуються методи алгебри, які базуються на системі лінійних рівняньі нерівностей, ітераційні методи, а також методи зведення даного завдання до певній системідиференціальних рівнянь.

Одним із економіко-математичних методів, що застосовуються в аналізі господарської діяльності організацій, є так званий аналіз чутливості. Цей методнайчастіше застосовується у процесі аналізу інвестиційних проектів, і навіть у цілях прогнозування суми прибутку, що залишається у розпорядженні цієї організації.

З метою оптимального планування та прогнозування діяльності організації необхідно заздалегідь передбачати зміни, які у майбутньому можуть статися з аналізованими економічними показниками.

Наприклад, слід заздалегідь прогнозувати зміна величин тих чинників, які впливають розмір прибутку: рівень покупних ціни покупні матеріальні ресурси, рівень продажних ціни продукцію цієї організації, зміна попиту покупців цієї продукції.

Аналіз чутливості полягає у визначенні майбутнього значення узагальнюючого економічного показника за умови, що величина одного або кількох факторів, що впливають на цей показник, зміниться.

Так, наприклад, встановлюють, на яку величину зміниться прибуток у перспективі за умови зміни кількості продукції, що продається на одиницю. Цим самим ми аналізуємо чутливість чистого прибутку до зміни одного з факторів, що впливають на неї, тобто в даному випадку обсягу продажів. Інші чинники, які впливають величину прибутку, є у своїй незмінними. Можна визначити величину прибутку також і за одночасної зміни у майбутньому впливу кількох чинників. Таким чином, аналіз чутливості дає можливість встановити силу реагування узагальнюючого економічного показника на зміну окремих факторів, що впливають на цей показник.

Матричний метод

Поряд із вищевикладеними економіко-математичними методами в аналізі господарської діяльності знаходять застосування також. Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі.

Метод мережного планування

далі:

Екстраполяційний аналіз

Крім розглянутих методів, використовується також екстраполяційний аналіз. Він включає розгляд змін стану аналізованої системи та екстраполяцію, тобто продовження наявних характеристик цієї системи на майбутні періоди. У процесі здійснення цього виду аналізу можна виділити такі основні етапи: первинна обробка та перетворення вихідного ряду наявних даних; вибір типу емпіричних функцій; визначення основних властивостей цих функцій; екстраполяція; встановлення рівня достовірності проведеного аналізу.

У економічному аналізі використовується також спосіб основних компонент. Вони застосовується з метою порівняльного аналізуокремих складових частин, тобто параметри проведеного аналізу діяльності організації. Головні компоненти є найважливішими характеристиками лінійних комбінацій складових частин, тобто параметрів проведеного аналізу, які мають найзначніші величини дисперсії, а саме, найбільші абсолютні відхилення від середніх величин.

Економіко-математичні методи та моделі

Методично вказівки та контрольні завданнядля студентів

очної та заочної форми навчання.

м. Ставрополь 2007р.

Цей посібник призначений для студентів економічних спеціальностей. Навчальний план вивчення курсу розрахований на 75 годин та передбачає виконання контрольної роботи для заочної форми навчання.

У посібнику наведено розв'язання задач з тем, що відповідають навчальному плану, надано необхідні методичні вказівки та наведено завдання для контрольної роботи. Цей посібник може бути використаний студентами очного та заочного відділеннядля самостійної роботи та підготовки до заліку.

Вступ

В даний час процеси прийняття рішень в економіці спираються на досить широке коло економіко-математичних методів та моделей. Жодне серйозне рішення, що стосується управління діяльністю галузей та підприємств, розподілу ресурсів, вивчення ринкової кон'юнктури, прогнозування, планування тощо, не здійснюється без попереднього математичного дослідження конкретного процесучи його частин.

У зв'язку з цим вивчення дисципліни «Економіко-математичні методи та моделі» спрямоване як на формування у студентів розуміння ролі сучасної математики в економіці, так і на вивчення найважливіших економіко-математичних методів дослідження моделей та завдань оптимізації.

Завдання даної дисципліни полягають у вивченні математичних методів СЕП, застосування базових методів математичного моделювання СЕП при вирішенні оптимізаційних завдань та виробленні навичок вирішення трудомістких прикладних економіко-математичних завдань за допомогою комп'ютерних технологій.

Мета вивчення цієї дисципліни – підготовка спеціаліста економічного профілю до свідомого використання математичних методів дослідження СЕП на основі відповідних базових моделей.

Вивчення дисципліни передбачає поєднання лекцій, практичних занять та самостійну роботу студентів. На лекціях викладається зміст дисципліни, проводиться аналіз основних математичних понятьта методів. Практичні заняття орієнтовані на вироблення у студентів уміння та навичок вирішення типових економічних завдань. Керуючись принципом підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки студентів з посиленням її прикладної економічної спрямованості, автором пропонуються найбільш економічно значущі завдання, що становлять самостійний інтерес і дають змогу щодо продуктивно освоїти алгоритм їх вирішення за відсутності підручника.

Після вивчення дисципліни «Економіко-математичні методи та моделі» студент має:

Мати уявлення про методи системного аналізу та управління СЕП;

Знати основні поняття, визначення та базові математичні методи, що використовуються для побудови моделей СЕП;

Вміти проводити розрахунки та оцінювати параметри для базових математичних моделей СЕП;

Вміти вирішувати прикладні економіко-математичні завдання, спираючись на базові знанняз математики, що відповідають Державному освітньому стандарту.

Загальні методичні вказівки

Для повнішого, впевненого освоєння студентами навичок розв'язання задач з дисципліни «Економіко-математичні методи та моделі» пропонуються дані методичні вказівки. Автор керувався загальними принципами вивчення даної дисципліни, а також принципом підвищення рівня фундаментальної математичної підготовки студентів для розуміння значущості побудови та дослідження математичних моделей в економіці.

Наведені методичні вказівки можна використовувати під час проведення самостійних і контрольних робіт, співбесід під час здачі заліку.

Під час виконання контрольної роботи студентам заочного відділення необхідно керуватися такими вказівками:

На обкладинці зазначаються прізвище та ініціали студента, повний шифр спеціальності, група, дата реєстрації, прізвище та ініціали викладача-рецензента;

Розв'язання всіх завдань та пояснення до них мають бути достатньо докладними; обчислення та креслення – повними та акуратними.

Номер контрольної роботи відповідає останній цифрі навчального шифру.

Контрольна робота надається до деканату не пізніше 10 днів до початку сесії. При складанні заліку студент повинен дати пояснення до вирішених завдань.

1. Дослідження операцій на економіці: Учеб. посіб. / За ред. Н.Ш.Кремера. / - М.: ЮНІТІ, 2000. - 407 с.

2. Практикум з вищої математики для економістів: Навч. посібник для вузів/Кремер Н.Ш. та ін.; за ред. проф. Н.Ш.Кремера - М.: ЮНІТІ - ДАНА, 2005. - 423 с.

3. Акуліч І.Л. Математичне програмування в прикладах та задачах: Навч. посіб. М.: Вища школа, 1986. – 319 с.

4. Морозов В.В., Сухарєв А.Т., Федоров В.В. Дослідження операцій на прикладах і задачах.: Навч. допомога. М.: Вища школа, 1986. - 287 с.

5. Вентцель Є.С. Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія. Навч. посібник для студентів втузів. - М.: Вища школа, 2001. - 208 с.

6. Замков О.О., Толстоп'ятенко О.В., Черемних Ю.М. Математичні методи економіки: Підручник.2-е вид. - М.: МДУ ім. М.В. Ломоносова, Видавництво «Справа та Сервіс», 1999. - 368 с.

7. Монахов А.В. Математичні методи аналізу економіки. - Спб: Пітер, 2002. - 176 с.

8. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навч. посібник для вузів/В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін., під ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНІТІ, 1999. -391 с.

Глосарій термінів.

Адитивність- властивість величин, що полягає в тому, що значення величини, що відповідає цілому об'єкту, дорівнює сумі значень величин, що відповідають його частинам за будь-якого розбиття об'єкта на частини. Характеристика системи адитивна, якщо вона дорівнює сумі тих самих характеристик всім складових систему підсистем і елементів.

Адекватність моделі- її відповідність моделюваному об'єкту або процесу. При моделюванні мається на увазі адекватність не взагалі, а за тими властивостями моделі, які для дослідження вважаються суттєвими.

Апроксимація- наближений вираз складної функціїза допомогою більш простих, що часто значно спрощує розв'язання задачі.

Варіантні прогнози- прогнози, засновані на зіставленні різних варіантів можливого розвиткуекономіки за різних припущень щодо того, як розвиватиметься техніка, які вживатимуться економічні заходи тощо.

Векторна оптимізаціярозв'язання задач математичного програмування, в яких критерій оптимальності є вектором, компонентами якого є в свою чергу різні незведені один до одного критерії оптимальності підсистем, що входять в цю систему, Наприклад критерії різних соціальних груп у соціально-економічному плануванні.

Верифікація імітаційної моделі- перевірка відповідності її поведінки припущенням експериментатора.

Вірогідна модель -модель, яка на відміну детермінованої моделі містить випадкові елементи. Таким чином, при завданні на вході моделі деякої сукупності значень, на її виході можуть виходити результати, що різняться між собою, залежно від дії випадкового фактора.

Взаємозамінність ресурсів- Можливість використання різних ресурсів для досягнення оптимуму. Саме цим обумовлена ​​проблема вибору: там, де немає замінності, немає і вибору, і тоді фундаментальне поняття оптимальності втрачає сенс.

Генетичний прогноз(«Пошуковий») - прогноз, що показує, яких станів прийде прогнозований об'єкт у заданий час за певних початкових умов.

Глобальне моделюванняабо моделювання глобального розвитку - область досліджень, присвячена розробці моделей найбільш масштабних соціальних, економічних та екологічних процесів, що охоплюють земну кулю.

Градієнтні методиВирішення задач математичного програмування - методи, засновані на пошуку екстремуму (максимуму або мінімуму) функції шляхом послідовного переходу до нього за допомогою градієнта цієї функції.

Декомпозиційні методи вирішення оптимальних завдань- засновані на раціональному розчленуванні складного завдання та вирішенні окремих підзадач з подальшим узгодженням частих рішень для отримання загального оптимального рішення.

Дескриптивна модель- Модель, призначена для опису і пояснення фактів, що спостерігаються, або прогнозу поведінки об'єктів - на відміну від нормативних моделей, призначених для знаходження бажаного стану об'єкта (наприклад, оптимального).

Детермінована модель- аналітичне уявлення закономірності, операції тощо., коли для даної сукупності вхідних значень на виході системи може бути отриманий єдиний результат. Така модель може відображати як ймовірну систему (тоді вона є деяким її спрощенням), так і детерміновану систему.

Детермінована система- така система, виходи якої (результати дії, кінцеві стани тощо) однозначно визначаються наданими на неї керуючими впливами.

Динамічна система- будь-яка система, яка змінюється у часі (на відміну статичної системи). Математично це прийнято висловлювати через змінні (координати), що змінюються у часі. Процес зміни характеризується траєкторією (тобто наборами координат, кожна з яких є функцією часу).

Динамічні моделі міжгалузевого балансуокремий випадок динамічних моделей економіки, засновані на принципі міжгалузевого балансу, який додатково вводяться рівняння, що характеризують зміни галузевих зв'язків у часі.

Ітеративні (ітераційні) методи розв'язання задач- полягають у тому, що обчислювальний процес починають із деякого пробного (довільного) допустимого рішення, а потім застосовують алгоритм, що забезпечує послідовне покращення цього рішення.

Ітерація -повторне застосування математичної операції (зі зміненими даними) під час вирішення обчислювальних завдань для поступового наближення до необхідного результату. Ітеративні розрахунки на ЕОМ характерні на вирішення економічних (особливо оптимізаційних і балансових) завдань. Що менше потрібно перерахунків, то швидше сходиться алгоритм.

Коефіцієнти прямих витрат(технологічні коефіцієнти)у міжгалузевому балансі – середні величини безпосередніх витрат продукції однієї галузі (як засоби виробництва) на випуск одиниці продукції іншої галузі. Вони можуть бути виражені в натуральній формі (кВт/год тощо) або вартісної (руб.).

Критерій оптимальності -показник, що виражає міру економічного ефекту прийнятого господарського рішення для порівняльної оцінки можливих рішень(альтернатив) та вибору найкращого з них (наприклад, максимум прибутку, мінімум трудових витрат, найкоротший часдосягнення мети і т. д.)

Коефіцієнти повних матеріальних витрату міжгалузевому балансі - середні витрати i-го продукту виробництва кінцевого продукту j у всій ланцюга сполучених виробництв. Таким чином, вони складаються з прямих витрат кожної галузі на даний продукт та непрямих витрат.

Коефіцієнти прямих витрат(технологічні коефіцієнти) у міжгалузевому балансі - середні величини безпосередніх витрат продукції однієї галузі (як засоби виробництва) на випуск одиниці продукції іншої галузі. Вони можуть бути виражені в натуральній формі (кВт/год тощо) або вартісної (руб.).

Математичне програмування(Оптимальне програмування) - область математики, що поєднує різні математичні методи та дисципліни: лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, опукле програмування та ін. Загальне завданняматематичного програмування полягає у знаходженні оптимального (максимального чи мінімального) значення цільової функції, причому значення змінних повинні належати певній області допустимих значень.

Матричні моделі- Модель, побудовані у вигляді таблиць (матриць). Вони відображають співвідношення між витратами на виробництво та його результатами, нормативи витрат, виробничу та економічну структуру господарства. Застосовуються у міжгалузевому балансі, матричному плані підприємства та ін.

Машинна імітація - експериментальний методВивчаючи об'єкт за допомогою електронних обчислювальних машин, процес імітації полягає в наступному: спочатку будується математична модель об'єкта, що вивчається (імітаційна модель), потім ця модель перетворюється на програму роботи ЕОМ.

Міжгалузевий баланс (МОБ) - каркасна модель економіки, таблиця, у якій показуються різноманітні натуральні та вартісні зв'язки у народному господарстві. Аналіз МОБ дає комплексну характеристику процесу формування та використання сукупного суспільного продукту у галузевому розрізі.

Об'єктивно зумовлені (оптимальні) оцінки -одне з основних понять лінійного програмування. Це оцінки товарів, ресурсів, робіт, які з умов вирішуваної оптимізаційної завдання. Їх називають також двоїстими оцінками, що дозволяють множниками, множниками Лагранжа та цілим рядом інших термінів.

Обмеження моделі- запис умов, у яких дійсні розрахунки, які використовують цю модель. Зазвичай уявляючи собою систему рівнянь і нерівностей, вони разом визначають область допустимих рішень (допустима безліч). Поширені лінійні та нелінійні обмеження (на графіку перші зображуються прямими, другі – кривими лініями).

Визначеністьу системі - ситуація, коли є точна інформація про можливі стани системи у разі прийняття тих чи інших рішень.

Оптимальне планування- Комплекс методів, що дозволяють вибрати з багатьох можливих (альтернативних) варіантів плану або програми один оптимальний варіант, тобто найкращий з точки зору заданого критерію оптимальності та певних обмежень.

Оптимальне програмування -застосування економіки методів математичного програмування.

Оптимальне керування- основне поняття математичної теорії оптимальних процесів (що належить розділу математики під тією самою назвою: оптимальне керування); означає вибір таких керуючих параметрів, які б забезпечували найкраще, з погляду заданого критерію, перебіг процесу, чи, інакше, найкраще поведінка системи, її розвиток до мети оптимальної траєкторії.

Оптимізаційне завдання -економіко-математична задача, мета якої полягає у знаходженні найкращого (з погляду якогось критерію) розподілу готівкових ресурсів. Вирішується за допомогою оптимізаційної моделі методами математичного програмування.

Оптимізація- 1) процес перебування екстремуму функції, т. е. вибір найкращого варіанта з безлічі можливих; 2) процес приведення системи у найкращий (оптимальний) стан. Черга - теоретично масового обслуговування - послідовність вимог чи заявок, які, заставляючи систему обслуговування зайнятої, не вибувають, а очікують її звільнення (потім вони обслуговуються у тому чи іншому порядку). Чергою можна назвати також і сукупність каналів, що чекають (простують), або засобів обслуговування.

Пасивний (безумовний) статистичний прогноз- прогноз розвитку, заснований на вивченні статистичних даних за минулий період та перенесенні виявлених закономірностей на майбутнє. При цьому зовнішні фактори, що впливають на систему, приймаються незмінними і вважається, що її розвиток ґрунтується лише на власних внутрішніх тенденціях.

Граничні та приростні величини в економіці. Гранична величина характеризує не стан (як сумарна чи середня величини), а процес, зміна. Оскільки в економіці більшість процесів (наприклад, зростання виробництва або зміна його ефективності) є функціями низки аргументів (факторів), то граничні величини тут зазвичай виступають як похідні приватні процесу по кожному з факторів.

Прогнозування- система наукових досліджень якісного та кількісного характеру, спрямованих на з'ясування тенденцій розвитку народного господарствата пошук оптимальнихшляхів досягнення цілейцього розвитку.

Прогнозування попиту- Вивчення майбутнього (можливого) попиту на товари та послуги з метою кращого обґрунтування відповідних виробничих планів. Прогнозування поділяється на короткострокове (кон'юнктурне), середньострокове та довгострокове.

Виробнича функція- економіко-математичне рівняння, що пов'язує змінні величини витрат (ресурсів) із величинами продукції (випуску). p align="justify"> Математично виробничі функції (ПФ) можуть бути представлені в різних формах - від настільки простих, як лінійна залежність результату виробництва від одного досліджуваного фактора, до дуже складних систем рівнянь, що включають рекурентні співвідношення, якими зв'язуються стану об'єкта, що вивчається, в різні періоди часу. Широко поширені мультиплікативні форми ПФ.

рівновагу -стан економічної системи, що характеризується рівністю попиту та пропозиції всіх ресурсів.

Регресія- залежність середнього значення будь-якої випадкової величини від деякої іншої або кількох величин . Розподіл цих значень називається умовним розподілом упри цьому х.Множинна регресія за певних умов дозволяє досліджувати вплив причинних чинників.

Рекурсія- У загальному сенсі обчислення функції за певним алгоритмом. Прикладами таких алгоритмів є рекурентні формули, що виводять обчислення заданого члена послідовності (найчастіше числової) з обчислення кількох попередніх її членів.

Статистичне моделювання- спосіб дослідження процесів наказу ймовірнісних систем в умовах, коли невідомі внутрішні взаємодії у цих системах.

Стохастична імітація- вид машинної імітації, що відрізняється від детермінованої тим, що включає в модель в тому чи іншому вигляді випадкові обурення, що відображають імовірнісний характер системи, що моделюється.

Стійкість рішення- зазвичай, говорячи про стійкість вирішення завдання, мають на увазі, що малі зміни будь-яких характеристик, наприклад, початкових умов, обмежень або цільового функціоналу, не призводять до якісній змінірішення.

Цільова функціяв екстремальних завданнях - функція, мінімум чи максимум якої потрібно знайти. Це ключове поняттяоптимальне програмування. Знайшовши екстремум цільової функції і, отже, визначивши значення керованих змінних, які приводять до нього, ми тим самим знаходимо оптимальне рішення задачі.

Шкали- Системи чисел або інших елементів, прийнятих для оцінки або вимірювання будь-яких величин. Шкали використовуються для оцінки та виявлення зв'язків та відносин між елементами систем. Особливо широко їх застосування з метою оцінки величин, які у ролі критеріїв якості функціонування систем, зокрема, критеріїв оптимальності під час вирішення економіко-математичних завдань.

Практичне заняття.

Тема. Методи лінійної алгебри у економічному аналізі.

Ціль. Вирішення економічних завдань з елементами моделювання, що спираються на базову основу лінійної алгебри.

1. Довідковий матеріал.

Поняття матриці часто використовується у практичній діяльності, наприклад, дані про випуск продукції кількох видів у кожному кварталі року або норми витрат кількох видів ресурсів на виробництво продукції кількох типів тощо. зручно записувати як матриці.

Завдання 1.У деякій галузі m заводів випускають n видів продукції. Матриця задає обсяги продукції кожному заводі у першому кварталі, матриця - відповідно у другому; (а ij, в ij) – обсяги продукції j-го типу на i-му заводі в 1-му та 2-му кварталах відповідно:

; .

а) обсяги продукції;

б) приріст обсягів виробництва у другому кварталі порівняно з першим за видами продукції та заводами;

в) вартісне вираження випущеної продукції за півроку (у доларах), якщо λ - курс долара по відношенню до рубля.

Рішення:

а) Обсяги продукції протягом півріччя визначаються сумою матриць, тобто. З = А + В =, де з ij - обсяг продукції j-го типу, вироблений за півріччя i-м заводом.

б) Приріст у другому кварталі проти першим визначається різницею матриць, тобто.

Д=В-А= . Негативні елементи показують, що у цьому заводі обсяг виробництва зменшився, позитивні – збільшився, нульові – не змінився.

в) Твір λC= λ(А+В) дає вираження вартості обсягів виробництва за квартал у доларах по кожному заводу та кожному підприємству.

Завдання 2.Підприємство виробляє n типів продукції, використовуючи m видів ресурсів. Норми витрат ресурсу i-го товару виробництва одиниці виробленої продукції j-го типу задані матрицею витрат . Нехай за певний відрізок часу підприємство випустило кількість продукції кожного типу, записану матрицею.

Визначити S – матрицю повних витрат ресурсів кожного виду виробництва всієї продукції за даний періодчасу, якщо

, . Рішення. Матриця повних витрат ресурсів визначається як добуток матриць, тобто. S = AX.

, тобто за цей період часу буде витрачено 930 од. ресурсу 1-го виду, 960 од. ресурсу 2-го виду, 450 од. ресурсу 3-го виду, 630 од. ресурсу 4-го виду.

Завдання 3.Завод виробляє двигуни, які можуть відразу потребувати додаткового регулювання (у 40% випадків), або відразу можуть бути використані (у 60% випадків). Як свідчать статистичні дослідження, ті двигуни, які спочатку вимагали регулювання, вимагатимуть додаткового регулювання за місяць у 65% випадків, а 35% випадків за місяць працюватимуть добре. Ті ж двигуни, які не вимагали початкового регулювання, вимагатимуть її через місяць у 20% випадків і продовжать добре працювати у 80% випадків. Яка частка двигунів, які працюватимуть добре або вимагатимуть регулювання через 2 місяці після випуску? Через 3 місяці?

Рішення.

У момент після випуску частка хороших двигунів становить 0,6, а частка, що вимагають регулювання, – 0,4. Через місяць частка добрих складе: 0,6. 0,8 +0,4. 0,35 = 0,62. Частка що вимагають регулювання: 0,6. 0,2 +0,4. 0,65 = 0,38. введемо рядок стану Xt у момент t; X t = (x 1 t; x 2 t), де x 1 t - частка хороших двигунів, x 2 t - частка двигунів, що вимагають регулювання в момент t.

Матриця переходу , де - частка двигунів, які у час перебувають у стані (1- «хороший», 2- «вимагає регулювання»), а ще через місяць – може .

Вочевидь, що з матриці переходу сума елементів кожного рядка дорівнює 1, все елементи неотрицательны.

Очевидно, = (0,6 0,4), .

Тоді за місяць ,

через 2 місяці ; через 3 місяці .

Знайдемо матриці;

Зазначимо, що якщо - матриця переходу, то - теж матриця переходу за будь-якого натурального t. Тепер

,

Вочевидь, .

Завдання 3.Фірма складається з двох відділень, сумарна величина прибутку яких у минулого рокустановила 12 млн. ум. од. Цього року заплановано збільшення прибутку першого відділення на 70%, другого – на 40%. В результаті сумарний прибуток має зрости в 1,5 рази. Яка величина прибутку кожного з відділень: а) минулого року; б) у поточному році?

Рішення.

Нехай і – прибули першого та другого відділень минулого року. тоді умову завдання можна записати у вигляді системи: Вирішивши систему, отримаємо Слідчий, а) прибуток минулого року першого відділення -4 млн. ум. од., а другого – 8 млн. ум. од.; б) прибуток цього року першого відділення 1,7. 4 = 6,8 млн. ум. од., другого 1,4. 8 = 11,2 млн. ум. од.

2.1. Три заводи випускають чотири види продукції. Необхідно: а) знайти матрицю випуску продукції за квартал, якщо задані матриці помісячних випусків А1, А2, А3; б) знайти матриці приростів випуску продукції за кожен місяць В 1 та В 2 та проаналізувати результати:

; ; .

2.2. Підприємство виробляє меблі трьох видівта продає її в чотирьох регіонах. Матриця задає ціну реалізації одиниці меблів i-го типу j-му регіоні. Визначити виручку підприємства у кожному регіоні, якщо реалізація меблів протягом місяця задана матрицею .

2.3 . За умовою завдання 2 визначити: 1) повні витрати ресурсів 3-х видів виробництва місячної продукції, якщо задані норми витрат матрицею та обсяг випуску кожного з двох типів продукції;

2) вартість всіх витрачених ресурсів, якщо задана вартість одиниць кожного ресурсу .

2.4 . До ремонтної майстерні надходять телефонні апарати, 70% яких потребують малого ремонту, 20% – середнього ремонту, 10% – складного ремонту. Статистично встановлено, що 10% апаратів, що пройшли малий ремонт, через рік вимагають малого ремонту, 60% - середнього, 30% -складного ремонту. З апаратів, що пройшли середній ремонт, 20% вимагають за рік малого ремонту, 50% – середнього, 30% – складного ремонту. З апаратів, що пройшли складний ремонт, за рік 60% вимагають малого ремонту, 40% - середнього. Знайти частки із відремонтованих на початку року апаратів, які вимагатимуть ремонту того чи іншого виду: через 1 рік; 2 роки; 3 роки.

Практичне заняття.

Тема. Методи математичного аналізу побудови моделей СЕП.

Ціль. Вирішення економічних завдань з елементами моделювання, у яких застосовуються методи математичного аналізу.

1. Довідковий матеріал.

Функції знаходять широке застосування економічної теоріїта практиці. Спектр функцій, що використовуються в економіці, дуже широкий: від найпростіших лінійних до функцій, одержуваних по певному алгоритмуза допомогою рекурентних співвідношень, що пов'язують стану об'єктів, що вивчаються в різні періоди часу.

Найчастіше використовувані економіки такі функції:

1. Функція корисності (функція переваги) – залежність результату, ефекту деякої дії від рівня (інтенсивності) цієї дії.

2. Виробнича функція – залежність результату виробничої діяльності від чинників, що його зумовили.

3. Функція випуску – залежність обсягу виробництва від наявності чи споживання ресурсів.

4. Функція витрат – залежність витрат виробництва від обсягу продукції.

5. Функції попиту, споживання та пропозиції – залежність обсягу попиту, споживання чи пропозиції на окремі товари чи послуги від різних факторів (наприклад, ціни, доходу тощо).

Враховуючи, що економічні явища та процеси обумовлюються дією різних факторів, для їх досліджень широко використовуються функції кількох змінних. Серед цих функцій виділяють мультиплікативні функції, що дозволяють уявити залежну змінну у вигляді добутку факторних змінних, що обертають його в нуль за відсутності дії хоча б одного фактора.

Використовуються також сепарабельні функції, які дають можливість виділити вплив різних факторів змінних на залежну змінну, і, зокрема, адитивні функції, що представляють ту саму залежну змінну як при сумарному, але роздільному впливі декількох факторів, так і при одночасному їх впливу.

Крім геометричного та механічного існує ще й економічний зміст похідної. По-перше, похідна обсягу виробленої продукції в часі є продуктивність праці момент . По-друге, є ще одне поняття, що характеризує економічний сенс похідної. Якщо витрати виробництва yрозглядати як функцію кількості продукції, що випускається x , - приріст продукції, - збільшення витрат виробництва, а - середнє збільшення витрат виробництва на одиницю продукції, тоді похідна дорівнює виражає граничні витрати виробництва та характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежить від рівня виробництва (кількості своєї продукції) xі визначаються не постійними виробничими витратами, лише змінними (на сировину, паливо тощо.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний дохід, граничний продукт, гранична корисність та ін.

Граничні величини характеризують не стан, а процес, тобто зміна економічного об'єкта. Таким чином, похідна постає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або щодо іншого досліджуваного фактора. Слід врахувати, що економіка який завжди дозволяє використовувати граничні величини з неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків і перервності (дискретності) економічних показників у часі (наприклад, річних, квартальних, місячних тощо.). Разом з тим у ряді випадків можна відволіктися від дискретності показників та ефективно граничні величини.

Для дослідження економічних процесів та розв'язання прикладних завдань часто використовується поняття еластичності функції.

Еластичність функції називається межа відношення відносного збільшення функції yдо відносного збільшення змінної xпри:

. (1)

Еластичність функції показує приблизно, на скільки відсотків зміниться функція y = f ( x ) при зміні незалежної змінної xна 1%. Це міра реагування однієї змінної величини зміну інший.

Зазначимо властивості еластичності функції.

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної xна темп зміни функції , тобто. .

2. Еластичність твору (приватного) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичності цих функцій: , .

Еластичність функцій застосовується під час аналізу попиту та споживання. Наприклад, еластичність попиту yщодо ціни x- Коефіцієнт, що визначається за формулою (1) і показує приблизно, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг споживання) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною), то попит вважають еластичним, якщо – нейтральним, якщо – нееластичним щодо ціни (або доходу).

У практичній діяльності часто доводиться стикатися з такими завданнями, які раціонально вирішувати методами математичного аналізу. Це завдання на знаходження обсягу продукції при відомому значенніприбутку, визначенні рівня споживання товарів за відомого доходу, визначення часу рентабельності виробництва, визначення розмірів вкладу при відомих початкових вкладеннях тощо.

Завдання 1.Витрати y (у руб.) виготовлення партії деталей визначаються за формулою , де - обсяг партії. Для першого варіанта технологічного процесу. Для другого варіанта відомо, що (руб.) при (дет.) та (руб.) при (дет.). Провести оцінку двох варіантів технологічного процесу та знайти собівартість продукції для обох варіантів при (дет.)

Рішення .

Для другого варіанта визначаємо параметри та із системи рівнянь:

звідки і, тобто. .

Точка (х 0 , y 0) перетину двох прямих перебуває із системи їх рівнянь:

звідки, .Очевидно, при обсязі партії вигідніше другий варіант технологічного процесу, при - перший варіант. Собівартість продукції (руб.) при першому варіанті становить , а, по другому - .

Завдання 2.Постійні витрати становлять 125 тис.руб. на місяць, а змінні витрати – 700 руб. за кожну одиницю продукції. Ціна одиниці виробленої продукції 1200 крб. Знайти обсяг продукції , у якому прибуток дорівнює: а) нулю (точка беззбитковості); б) 105 тис. руб. в місяць.

Рішення:

а) Витрати виробництва одиниць продукції становитимуть: (тис.руб.). Сукупний дохід (виручка) від цієї продукції , а прибуток (тыс.руб.). Крапка беззбитковості, у якій , дорівнює (од.).

б) Прибуток (тис.руб.), тобто. при (од.).

Завдання 3.Тривалість виконання (хв.) при повторних операціях пов'язані з числом цих операцій залежністю . Обчислити скільки хвилин виконується робота при 50 операціях, якщо відомо, що при , а при .

Рішення. Знайдемо параметри і , враховуючи, що , . Отримуємо систему: вирішуючи яку знайдемо, .

Отже, при , (мін.)

Завдання 4.Обсяг продукції u, вироблений бригадою робітників, може бути описаний рівнянням (од.), , де t– робочий час у годиннику. Обчислити продуктивність праці, швидкість і темп її зміни за годину після початку роботи і за годину до закінчення.

Рішення.Продуктивність праці виражається похідною (од./год), а швидкість і темп зміни продуктивності – відповідно похідної та логарифмічної похідної : (од./год 2),

(од./год).

У задані моменти часу та відповідно маємо: z(t)=112,5 (од./год), z'(t)=-20(од./год 2), T z (7)=-0,24 ( од./год).

Отже, до кінця роботи продуктивність праці суттєво знижується; при цьому зміна знака z'(t) і T z (t) з плюсу на мінус свідчить про те, що збільшення продуктивності праці в першу годину робочого дня змінюється її зниженням в останні години.

Завдання 5.Досвідченим шляхом встановлені функції попиту та пропозиції, де qі s – кількість товару, що відповідно купується і пропонується на продаж в одиницю часу, p- ціна товару.

Знайти: а) рівноважну ціну, тобто. ціну при якій попит дорівнює пропозиції;

б) еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни;

в) зміна доходу зі збільшенням ціни на 5% від рівноважної.

Рішення.а) Рівноважна ціна перебуває з умови q = sтоді , звідки p = 2, тобто рівноважна ціна 2 ден.

б) Знайдемо еластичність за попитом та пропозицією за формулою (1)

; . Для рівноважної ціни p =2 маємо ; . Так як отримані значення еластичності за абсолютною величиною менше 1, то і попит і пропозиція даного товару при рівноважній (ринковій) ціні нееластичні щодо ціни. Це означає, що зміна ціни не призведе до різкої зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни pна 1% попит зменшиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни pна 5% від рівноважного попит зменшиться на 5 . 0,3 = 1,5%, отже, прибуток зросте на 3,5%.

Завдання 6.Залежність між витратами виробництва yта обсягом продукції, що випускається xвиражається функцією (Ден.од.). Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції 10 од.

Рішення.Функція середніх витрат виражається співвідношенням ; при x = 10 середні витрати (на одиницю продукції) рівні (Ден. од.). Функція граничних витрат виражається похідною ; при x = 10 граничні витрати становитимуть (ден.од.). Отже, якщо середні витрати виробництва одиниці виробленої продукції становлять 45 ден.од., то граничні витрати, тобто. додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції при даному рівнівиробництва (обсязі продукції 10 од.), складають 35 ден.

Завдання 7.З'ясувати, чому рівні граничні та середні повні витрати підприємства, якщо еластичність повних витрат дорівнює 1?

Рішення. Нехай повні витрати підприємства yвиражаються функцією , де x- Обсяг продукції, що випускається. Тоді середні витрати y 1 на виробництво одиниці продукції. Еластичність частки двох функції дорівнює різниці їх еластичностей, тобто. .

За умовою , отже, . Це означає, що зі зміною обсягу продукції середні витрати на одиницю продукції не змінюються, тобто звідки .

граничні витрати підприємства визначаються похідною. Отже, тобто граничні витрати дорівнюють середнім витратам (отримане твердження справедливе тільки для лінійних функційвитрат).

2. Завдання для самостійної роботи.

2.1. Недоліки перевезення двома видами транспорту виражаються рівняннями: і , де - відстані сотнях кілометрів, - транспортні витрати. Починаючи з якої відстані економічніший другий вид транспорту?

2.2. Знаючи, що зміна обсягу виробництва зі зміною продуктивності праці відбувається по прямій лінії, скласти її рівняння, якщо за =3 =185, а за =5 =305. Визначити обсяги виробництва при =20.

2.3 . Підприємство купило автомобіль вартістю 150 тис. руб. Щорічна норма амортизації складає 9%. Вважаючи залежність вартості автомобіля від часу лінійною, знайти вартість автомобіля через 4,5 роки.

2.4. Залежність рівня споживання певного виду товарів рівня доходу сім'ї виражається формулой: . Знайти рівень споживання товарів за рівня доходу сім'ї 158 ден. Відомо, що за =50 =0; = 74 = 0,8; = 326 = 2,3.

2.5. Банк виплачує щорічно 5% річних ( складний відсоток). Визначити: а) розмір вкладу через 3 роки, якщо початковий вклад становив 10 тис. крб.; б) розмір початкового вкладу, у якому через 4 роки вклад (разом із відсотковими грошима) становитиме 10 000 крб.

Вказівка. Розмір вкладу через t років визначається за формулою , де p -процентна ставка за рік, Q 0 -Початковий внесок.

2.6. Витрати виробництва продукції (тыс.руб.) виражаються рівнянням , де -кількість місяців. Дохід від реалізації продукції виражається рівнянням. З якого місяця виробництво буде рентабельним?

2.7. Залежність між собівартістю одиниці виробленої продукції y(тис. руб.) та випуском продукції x(млрд.руб.) виражається функцією . Знайти еластичність собівартості під час випуску продукції, що дорівнює 60 млрд.руб.

Практичне заняття.

Тема.Граничний аналіз економічних процесів.

Ціль.Розглянути застосування математичних методів знаходження граничних величин в оптимізаційних задачах.

1.Довідковий матеріал.

Функція витрат З(х)визначає витрати, необхідні для виробництва xодиниць цього товару. Прибуток, де D ( x ) - Дохід від виробництва xодиниць товару.

Середні витрати A ( x ) при виробництві xодиниць товару є. Граничні витрати.

Оптимальним значеннямвипуску для виробника є значення xодиниць продукту, у якому прибуток P ( x ) виявляється найбільшою.

Завдання 1.Функція витрат має вигляд . На початковому етапі фірма організує виробництво те щоб мінімізувати середні витрати A ( x ) . Надалі товар встановлюється ціна, що дорівнює 4 ум.од. за одиницю. На скільки одиниць товару фірмі слід збільшити випуск?

Рішення.Середні витрати приймають мінімальне значення при x=10. Граничні витрати. При ціні оптимальне значення P ( x ) випуску задається умовою максимізації прибутку: , тобто. 4= M ( x ) звідки. Таким чином виробництво слід збільшити на 10 одиниць.

Завдання 2.Визначити оптимальне для виробника значення випуску x 0 p =14 якщо відомий вид функції витрат .

Рішення. За формулою прибутку отримуємо, .

Знаходимо похідний прибуток за обсягом: тоді х опт = 2.

Завдання 3.Знайти максимальний прибуток, який може отримати фірма-виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю р=10,5 і функція витрат має вигляд .

Рішення. Знаходимо значення прибутку.

Похідна прибутку за обсягом має вигляд: . Тоді, . .

2. Завдання для самостійної роботи .

2.1 Визначити оптимальне для виробника значення випуску x 0 , за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю p=8 і відомий вид функції витрат .

2.2 Знайти максимальний прибуток, який може отримати фірма-виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною за одиницю p=40 і відомий вид функції витрат .

2.3 Під час виробництва монополією xодиниць товару за одиницю . Визначити оптимальне для монополії значення випуску x 0 (передбачається, що весь вироблений товар реалізується), якщо витрати мають вигляд .

2.4 Функція витрат має вигляд . Дохід від одиниці виробленої продукції дорівнює 50. Знайти максимальне значення прибутку, яке може отримати виробник.

2.5 На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, причому функція витрат має вигляд . Надалі ціна на одиницю товару встановлюється рівною р=37. На скільки одиниць товару фірмі слід збільшити випуск? Наскільки у своїй зміняться середні витрати?

Завдання для контрольної роботи.

Завдання 1.

Дано залежності попиту D(p) та пропозиції S(p) від ціни.

Знайдіть: 1) рівноважну ціну та виручку при рівноважній ціні;

2) ціну, за якої виручка максимальна і саму цю

максимальний виторг.

Побудувати графік залежностей.

Завдання 2.

Розглядається ринок із трьома учасниками, у кожного з яких та сама функція корисності . Нехай початкове майно 1-го, 2-го та 3-го учасників задані векторами, а ціни на ринку такі р=1, р=2, р=3.

Перевірити: 1) чи рівноважне положення;

2) чи виконується закон Вальраса про надмірний попит:

Завдання 3.

Нехай модель Леонтьєва задана матрицею А.

Знайти обсяги виробництва, що забезпечує вектор споживання У.

№ варіанта	1 завдання	2 завдання	3 завдання
1		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
2		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
3		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
4		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
5		(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)
6		(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)
7		(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
8		(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)
9		(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
10		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
11		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
12		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
13		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
14		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
15		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
16		(4,2,3), (4,3,4),
17		(3,2,3), (4,3,4),
18		(3,2,3), (2,4,6),
19

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державне освітня установавищого професійної освіти

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГІВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСЬКА ФІЛІЯ

(ТФ ГОУ ВПО РДТЕУ)

Реферат з математики на тему:

"Економіко-математичні моделі"

Виконали:

Студентки 2 курсу

"Фінанси і кредит"

денне відділення

Максимова Христина

Вітка Наталія

Перевірив:

Лікар технічних наук,

професор С.В. Юдін _____________

Вступ

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

1.2 Економіко-математичні методи

Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Висновок

Список літератури

Вступ

Актуальність.Моделювання в наукових дослідженняхстало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові області наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію та, нарешті, громадські науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної наукиприніс методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина системапонять, єдина термінологія Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Економіко-математичне моделювання є невід'ємною частиною будь-якого дослідження в галузі економіки. Бурхливий розвиток математичного аналізу, дослідження операцій, теорії ймовірностей та математичної статистики сприяло формуванню різноманітних моделей економіки.

Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики ефективного рішеннязавдань, що виникають у сфері економіки, з використанням, як правило, сучасної обчислювальної техніки.

Чому можна говорити про ефективність застосування методів моделювання у цій галузі? По-перше, економічні об'єкти різного рівня (починаючи з рівня простого підприємства і закінчуючи макрорівнем - економікою країни або навіть світовою економікою) можна розглядати з системного підходу. По-друге, такі характеристики поведінки економічних систем як:

-мінливість (динамічність);

-суперечливість поведінки;

-тенденція до погіршення показників;

-схильність до впливу навколишнього середовища

визначають вибір методу їх дослідження.

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими засобами дослідження.

Мета цієї роботи- розкрити поняття економіко-математичних моделей та вивчити їх класифікацію та методи, на яких вони базуються, а також розглянути їх застосування в економіці.

Завдання даної роботи:систематизація, накопичення та закріплення знань про економіко-математичні моделі.

1.Економіко-математичне моделювання

1.1 Основні поняття та типи моделей. Їхня класифікація

У процесі дослідження об'єкта часто буває недоцільним або навіть неможливо мати справу безпосередньо з цим об'єктом. Зручніше буває замінити його іншим об'єктом, подібним до цього в тих аспектах, які важливі в даному дослідженні. У загальному вигляді Модельможна визначити як умовний образ реального об'єкта (процесів), що створюється для глибшого вивчення дійсності. Метод дослідження, що базується на розробці та використанні моделей, називається моделюванням. Необхідність моделювання обумовлена ​​складністю, а часом і неможливістю прямого вивчення реального об'єкта (процесів). Значно доступніше створювати та вивчати прообрази реальних об'єктів (процесів), тобто. моделі. Можна сказати, що теоретичне знання про щось, як правило, є сукупністю різних моделей. Ці моделі відображають суттєві властивості реального об'єкта (процесів), хоча насправді дійсність значно змістовніша і багатша.

Модель- це уявна чи матеріально реалізована система, яка, відображаючи або відтворюючи об'єкт дослідження, здатна замінювати його так, що її вивчення дає нову інформацію про цей об'єкт.

На сьогоднішній день загальновизнаної єдиної класифікації моделей немає. Однак з багатьох моделей можна виділити словесні, графічні, фізичні, економіко-математичні та деякі інші типи моделей.

Економіко-математичні моделі- це моделі економічних об'єктів чи процесів, під час опису яких використовуються математичні засоби. Цілі їх створення різноманітні: вони будуються для аналізу тих чи інших передумов та положень економічної теорії, логічного обґрунтування економічних закономірностей, обробки та приведення до системи емпіричних даних. У практичному плані економіко-математичні моделі використовуються як інструмент прогнозу, планування, управління та вдосконалення різних сторін економічної діяльності суспільства.

Економіко-математичні моделі відбивають найбільш суттєві властивості реального об'єкта чи процесу з допомогою системи рівнянь. Єдиної класифікації економіко-математичних моделей немає, хоча можна назвати найбільш значні їх групи залежно від ознаки класифікації.

За цільовим призначенняммоделі діляться на:

· Теоретико-аналітичні (використовуються у дослідженні загальних властивостей та закономірностей економічних процесів);

· Прикладні (застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань, таких як завдання економічного аналізу, прогнозування, управління).

З урахуванням фактора часумоделі поділяються на:

· Динамічні (описують економічну систему у розвитку);

· Статистичні (економічна система описана в статистиці, стосовно одного певного моменту часу; це як би знімок, зріз, фрагмент динамічної системи в якийсь момент часу).

За тривалістю аналізованого періоду часурозрізняють моделі:

· Короткострокового прогнозування чи планування (до року);

· Середньострокового прогнозування чи планування (до 5 років);

· Довгострокового прогнозування чи планування (понад 5 років).

За метою створення та застосуваннярозрізняють моделі:

В· Балансові;

· Економетричні;

· Оптимізаційні;

·Мережеві;

· систем масового обслуговування;

· Імітаційні (експертні).

У балансовихмоделях відображається вимога відповідності наявності ресурсів та їх використання.

Параметри економетричнихмоделей оцінюються за допомогою методів математичної статистики Найбільш поширені моделі, що являють собою системи регресійних рівнянь. У цих рівняннях відбивається залежність ендогенних (залежних) змінних від екзогенних (незалежних) змінних. Ця залежність в основному виражається через тренд (тривалу тенденцію) основних показників економічної системи, що моделюється. Економетричні моделі використовуються для аналізу та прогнозування конкретних економічних процесів з використанням реальної статистичної інформації.

Оптимізаційнімоделі дозволяють знайти з безлічі можливих (альтернативних) варіантів найкращий варіант виробництва, розподілу чи споживання. Обмежені ресурси при цьому будуть використані якнайкраще для досягнення поставленої мети.

Мережевімоделі найбільше широко використовуються в управлінні проектами. Мережева модель відображає комплекс робіт (операцій) та подій, та їх взаємозв'язок у часі. Зазвичай мережева модель призначена для виконання робіт у такій послідовності, щоб терміни виконання проекту були мінімальними. І тут ставиться завдання перебування критичного шляху. Однак існують і такі мережеві моделі, які орієнтовані не на критерій часу, а, наприклад, мінімізацію вартості робіт.

Моделі систем масового обслуговуваннястворюються для мінімізації витрат часу на очікування у черзі та часу простоїв каналів обслуговування.

Імітаційнамодель, поруч із машинними рішеннями, містить блоки, де рішення приймаються людиною (експертом). Замість безпосередньої участі людини у прийнятті рішень може бути база знань. І тут персональний комп'ютер, спеціалізоване програмне забезпечення, база даних, і база знань утворюють експертну систему. Експертнасистема призначена на вирішення однієї чи низки завдань шляхом імітації дій людини, експерта у цій галузі.

З урахуванням фактора невизначеностімоделі поділяються на:

· Детерміновані (з однозначно певними результатами);

· Стохастичні (імовірнісні; з різними, імовірнісними результатами).

За типом математичного апарату розрізняють моделі:

· Лінійне програмування (оптимальний план досягається в крайній точці області зміни змінних величинсистеми обмежень);

· Нелінійне програмування (оптимальних значень цільової функції може бути декілька);

· Кореляційно-регресійні;

·Матричні;

·Мережеві;

В· Теорії ігор;

· Теорії масового обслуговування тощо.

З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у більш складні модельні конструкції.

моделювання математичний стохастичний

1.2 Економіко-математичні методи

Як і всяке моделювання, економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів, по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників, по-третє, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях управління.

Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем та процесів у вигляді економіко-математичних моделей, які слід розуміти як продукт процесу економіко-математичного моделювання, а економіко-математичні методи – як інструмент.

Розглянемо питання класифікації економіко-математичних методів. Ці методи є комплексом економіко-математичних дисциплін, які є сплавом економіки, математики та кібернетики. Тому класифікація економіко-математичних методів зводиться до класифікації наукових дисциплін, що входять до їхнього складу.

З певною часткою умовності класифікацію цих методів можна так.

· Економічна кібернетика: системний аналіз економіки, теорія економічної інформації та теорія керуючих систем.

· Математична статистика: економічні програми цієї дисципліни - вибірковий метод, дисперсійний аналіз, кореляційний аналіз, регресійний аналіз, багатовимірний статистичний аналіз, теорія індексів та ін.

· Математична економія та вивчає ті ж питання з кількісної сторони економетрію: теорія економічного зростання, теорія виробничих функцій, міжгалузеві баланси, національні рахунки, аналіз попиту та споживання, регіональний та просторовий аналіз, глобальне моделювання.

· Методи прийняття оптимальних рішень, зокрема дослідження операцій економіки. Це найбільш об'ємний розділ, що включає наступні дисципліни та методи: оптимальне (математичне) програмування, мережеві методи планування та управління, теорію та методи управління запасами, теорію масового обслуговування, теорію ігор, теорію та методи прийняття рішень.

У оптимальне програмування своєю чергою входять лінійне і нелінійне програмування, динамічне програмування, дискретне (цілочисленне) програмування, стохастичне програмування та інших.

· Методи та дисципліни, специфічні окремо як для централізовано запланованої економіки, так і для ринкової (конкурентної) економіки. До перших можна віднести теорію оптимального ціноутворення функціонування економіки, оптимальне планування, теорію оптимального ціноутворення, моделі матеріально-технічного постачання та ін. . Багато з методів, розроблених для централізовано планованої економіки, можуть бути корисними і при економіко-математичному моделюванні в умовах ринкової економіки.

· Методи експериментального вивчення економічних явищ. До них відносять, як правило, математичні методи аналізу та планування економічних експериментів, методи машинної імітації (імітаційне моделювання), ділові ігри. Сюди можна віднести і методи експертних оцінок, розроблені з метою оцінки явищ, які піддаються безпосередньому виміру.

В економіко-математичних методах застосовуються різноманітні розділи математики, математичної статистики, математичної логіки. Велику роль вирішенні економіко-математичних завдань грають обчислювальна математика, теорія алгоритмів та інші дисципліни. Використання математичного апарату принесло відчутні результати під час вирішення завдань аналізу процесів розширеного виробництва, визначення оптимальних темпів зростання капіталовкладень, оптимального розміщення, спеціалізації та концентрації виробництва, завдань вибору оптимальних способіввиробництва, визначення оптимальної послідовності запуску у виробництво, завдання підготовки виробництва методами мережевого планування та багатьох інших.

Для вирішення стандартних проблем характерна чіткість мети, можливість заздалегідь виробити процедури та правила ведення розрахунків.

Існують такі передумови використання методів економіко-математичного моделювання, найважливішими з яких є високий рівень знання економічної теорії, економічних процесів та явищ, методологія їх якісного аналізу, а також високий рівень математичної підготовки, володіння економіко-математичними методами.

Перш ніж приступити до розробки моделей, необхідно ретельно проаналізувати ситуацію, виявити цілі та взаємозв'язки, проблеми, які потребують вирішення, та вихідні дані для їх вирішення, вести систему позначень і лише тоді описати ситуацію у вигляді математичних співвідношень.

2. Розробка та застосування економіко-математичних моделей

2.1 Етапи економіко-математичного моделювання

Процес економіко-математичного моделювання - це опис економічних та соціальних системта процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваним апаратом та засобами моделювання. Тому доцільно детальніше проаналізувати послідовність та зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів:

.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

2.Побудова математичної моделі;

.Математичний аналізмоделі;

.Підготовка вихідної інформації;

.Чисельне рішення;

Розглянемо кожен із етапів докладніше.

1.Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2.Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще «працює» і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо.

Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не лише реальні можливостіінформаційного та математичного забезпечення, а й зіставляти витрати на моделювання з одержуваним ефектом.

Одна з важливий особливостейматематичних моделей – потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути «винаходити» модель; Спершу необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

.Математичний аналіз моделі.Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найбільш важливий момент- доказ існування рішень у сформульованій моделі. Якщо вдається довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає і слід скоригувати або постановку економічного завдання, або способи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (незвісні) можуть входити в рішення, які будуть співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і т.д. буд. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

4.Підготовка вихідної інформації.Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той же час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. При цьому береться до уваги не лише важлива можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів.

Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5.Чисельне рішення.Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного рішеннязавдання, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені, передусім, великий розмірністю економічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Дослідження, яке проводиться чисельними методамиможе істотно доповнити результати аналітичного дослідження, а для багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6.Аналіз чисельних результатів та їх застосування.На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичного застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявити некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

2.2 Застосування стохастичних моделей економіки.

Основу ефективності банківського менеджменту становить планомірний контроль за оптимальністю, збалансованістю та стійкістю функціонування у розрізі всіх елементів, що формують ресурсний потенціалта визначальних перспективи динамічного розвитку кредитної установи. Його методи та інструменти вимагають модернізації з урахуванням економічних умов, що змінюються. Водночас необхідність удосконалення механізму реалізації нових банківських технологій зумовлює доцільність наукового пошуку.

Використовувані в існуючих методикІнтегральні коефіцієнти фінансової стійкості (КФУ) комерційних банків найчастіше характеризують збалансованість їхнього стану, але не дозволяють дати повну характеристику тенденції розвитку. Слід враховувати, що результат (КФУ) залежить від багатьох випадкових причин (ендогенного та екзогенного характеру), які не можуть бути повністю враховані.

У зв'язку з цим виправдано розглядати можливі результати дослідження сталого стану банків як випадкових величин, що мають однаковий розподіл ймовірностей, оскільки дослідження проводяться за однією і тією самою методикою з використанням однакового підходу. З іншого боку, вони взаємно незалежні, тобто. Результат кожного окремого коефіцієнта залежить від значень інших.

Зваживши на те, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що події x1 , x2 , …, xnутворюють повну групу, отже, сума їх ймовірностей дорівнюватиме 1: p1 +p2 +…+pn=1 .

Дискретна випадкова величина X- Коефіцієнт фінансової стійкості банку «А», Y- Банку «В», Z- Банку "С" за заданий період. З метою отримання результату, що дає підстави зробити висновок про стійкість розвитку банків, оцінка була здійснена на базі 12-річного ретроспективного періоду (табл.1).

Таблиця 1

Порядковий номеррокуБанк "А"Банк "В"Банк "С"11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,113 2451,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3280,4

Для кожної вибірки за певним банком значення розбиті на Nінтервалів, визначено мінімальне та максимальне значення. Процедура визначення оптимальної кількості груп полягає в застосуванні формули Стерджесса:

N= 1 +3,322 * ln N;

N= 1 +3,322 * ln12 = 9,525?10,

Де n- Число груп;

N- Число сукупності.

h=(КФУmax- КФУmin) / 10.

Таблиця 2

Межі інтервалів значень дискретних випадкових величин X, Y, Z (коефіцієнтів фінансової стійкості) та частоти появи даних значень у зазначених межах

Номер інтервалуМежі інтервалівЧастота появи (n )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Виходячи зі знайденого кроку інтервалу, було розраховано межі інтервалів шляхом додавання до мінімального значення знайденого кроку. Отримане значення – це межа першого інтервалу (ліва межа – LG). Для знаходження другого значення (правої межі PG) до знайденої першої межі знову додає я крок і т.д. Кордон останнього інтервалу збігається з максимальним значенням:

LG1 = КФУmin;

PG1 = КФУmin+h;

LG2 =PG1;

PG2 =LG2 +h;

PG10 = КФУmax.

Дані за частотою влучення коефіцієнтів фінансової стійкості (дискретних випадкових величин X, Y, Z) згруповані в інтервали, і визначена ймовірність влучення їх значень у задані межі. У цьому ліве значення кордону входить у інтервал, а праве - немає (табл.3).

Таблиця 3

Розподіл дискретних випадкових величин X, Y, Z

ПоказникЗначення показникаБанк «А»X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Банк «В»Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Банк «С»Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

По частоті появи значень nзнайдено їх ймовірності (частота появи ділиться на 12, виходячи з одиниць сукупності), а також як значення дискретних випадкових величин були використані середини інтервалів. Закони їх розподілу:

Pi= ni /12;

Xi= (LGi+PGi)/2.

З розподілу можна будувати висновки про ймовірність нестійкого розвитку кожного банка:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Так із ймовірністю 0,083 банк «А» може досягти значення коефіцієнта фінансової стійкості, що дорівнює 0,853. Інакше кажучи, ймовірність те, що його витрати перевищать доходи, становить 8,3 %. По банку «В» ймовірність падіння коефіцієнта нижче одиниці також склала 0,083, проте з урахуванням динамічного розвитку організації це зниження все ж таки виявиться незначним - до 0,926. Нарешті, висока ймовірність (16,7%), що діяльність банку «С» за інших рівних умов охарактеризується значенням фінансової стійкості, рівним 0,835.

У той самий час у таблицях розподілів можна побачити ймовірність сталого розвитку банків, тобто. суму ймовірностей, де варіанти коефіцієнтів мають значення, більше 1:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

Можна спостерігати, що найменш сталий розвиток очікується у банку «С».

У цілому нині закон розподілу задає випадкову величину, проте частіше доцільніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно. Їх називають числовими характеристиками випадкової величини, до них належать математичне очікування. Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини і воно тим більше наближається до середнього значення, чим більше було проведено випробувань.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів усіх можливих величин з її ймовірності:

M(X) = x1 p1 +x2 p2 +…+xnpn

Результати розрахунків значень математичних очікувань випадкових величин наведено в табл.4.

Таблиця 4

Числові характеристики дискретних випадкових величин X, Y, Z

БанкМатематичне очікуванняДисперсіяСереднє квадратичне відхилення"А" M(X) = 1,187D(X) = 0,027 ?(x) = 0,164«В»M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 ?(y) = 0,101«С»M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012? (z) = 0,112

Отримані математичні очікування дозволяють оцінити середні значення ймовірних значень коефіцієнта фінансової стійкості в майбутньому.

Так, за розрахунками, можна судити, що математичне очікування сталого розвитку банку «А» становить 1,187. Математичне очікування банків «В» та «С» складає 1,124 та 1,037 відповідно, що відображає передбачувану дохідність їх роботи.

Однак, знаючи лише математичне очікування, що показує «центр» передбачуваних можливих значень випадкової величини - КФУ, ще не можна судити ні про його можливі рівні, ні про ступінь їх розсіяності навколо отриманого математичного очікування.

Інакше кажучи, математичне очікування через свою природу повністю стійкості розвитку банку не характеризує. З цієї причини виникає необхідність обчислення інших числових характеристик: дисперсії та середньоквадратичного відхилення. Які дозволяють оцінити рівень розсіяності можливих значень коефіцієнта фінансової стійкості. Математичні очікування та середні квадратичні відхилення дозволяють оцінити інтервал, в якому будуть знаходитись можливі значення коефіцієнтів фінансової стійкості кредитних організацій.

При порівняно високому характерному значенні математичного очікування стійкості банку «А» середнє квадратичне відхилення становило 0,164, що свідчить, що стійкість банку може або підвищитися цю величину, або знизитися. При негативній зміні стійкості (що все ж таки малоймовірно, враховуючи отриману ймовірність збиткової діяльності, рівну 0,083) коефіцієнт фінансової стійкості банку залишиться позитивним - 1,023 (див. табл. 3)

Діяльність банку «В» при математичному очікуванні 1,124, характеризується меншим розмахом значень коефіцієнта. Так, навіть за несприятливого збігу обставин банк залишиться стійким, оскільки середнє квадратичне відхилення від прогнозованого значення склало 0, 101, що дозволить йому залишитися в позитивній зоні доходності. Отже, можна дійти невтішного висновку про стійкість розвитку цього банку.

Банк «С», навпаки, за невисокого математичного очікування своєї надійності (1, 037) зіткнеться за інших рівних умов з неприпустимим йому відхиленням, рівним 0,112. За несприятливої ​​ситуації, а також з огляду на високий відсоток ймовірності збиткової діяльності (16,7%), дана кредитна організація, швидше за все, знизить свою фінансову стійкість до 0,925.

Важливо зауважити, що, зробивши висновки про стійкість розвитку банків, не можна заздалегідь впевнено передбачити, яке з можливих значень прийме коефіцієнт фінансової стійкості в результаті випробування; це залежить від багатьох причин, врахувати які неможливо. З цієї позиції про кожну випадкову величину ми маємо дуже скромні відомості. У зв'язку з чим навряд чи можна встановити закономірності поведінки та суми досить великої кількості випадкових величин.

Однак виявляється, що за деяких порівняно широких умов сумарна поведінка досить великої кількості випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.

Оцінюючи стійкість розвитку банків, залишається оцінити ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищує абсолютної величини позитивного числа ?.Дати цікаву для нас оцінку дозволяє нерівність П.Л. Чебишева. Імовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного очікування за абсолютною величиною менше позитивного числа ? не менше як :

або у випадку зворотної ймовірності:

Враховуючи ризик, пов'язаний із втратою стійкості, проведемо оцінку ймовірності відхилення дискретної випадкової величини від математичного очікування в меншу сторону і, вважаючи рівноймовірними відхилення від центрального значення як меншу, так і більшу сторону, перепишемо нерівність ще раз:

Далі, виходячи з поставленого завдання необхідно оцінити ймовірність того, що майбутнє значення коефіцієнта фінансової стійкості не виявиться нижчим за 1 від пропонованого математичного очікування (для банку «А» значення ?приймемо рівне 0,187, для банку "В" - 0,124, для "С" - 0.037) і зробимо розрахунок даної ймовірності:

банк «А»:

банк «С»:

Відповідно до нерівності П.Л. Чебишева, найстійкішим у розвитку є банк «В», оскільки ймовірність відхилення очікуваних значень випадкової величини від її математичного очікування невисока (0,325), у своїй порівняно менше, ніж у іншим банкам. На другому місці за порівняльною стійкістю розвитку розташовується банк «А», де коефіцієнт цього відхилення дещо вищий, ніж у першому випадку (0,386). У третьому банку ймовірність того, що значення коефіцієнта фінансової стійкості відхилитися в ліву сторону від математичного очікування більше ніж на 0,037 є практично достовірною подією. Тим більше, якщо врахувати, що ймовірність не може бути більшою за 1, що перевищують значення, згідно з доказом Л.П. Чебишева, необхідно приймати за 1. Іншими словами, факт того, що розвиток банку може перейти в нестійку зону, що характеризується коефіцієнтом фінансової стійкості менше 1, є достовірною подією.

Таким чином, характеризуючи фінансовий розвиток комерційних банків, можна зробити такі висновки: математичне очікування дискретної випадкової величини (середнє очікуване значення коефіцієнта фінансової стійкості) банку А дорівнює 1,187. Середнє відхилення цієї дискретної величини становить 0,164, що об'єктивно характеризує невеликий розкид значень коефіцієнта від середнього числа. Однак ступінь нестійкості цього ряду підтверджується досить високою ймовірністю негативного відхилення коефіцієнта фінансової стійкості від 1, що дорівнює 0,386.

Аналіз діяльності другого банку показав, що математичне очікування КФУ дорівнює 1,124 за середнього квадратичного відхилення 0,101. Отже, діяльність кредитної організації характеризується невеликим розкидом значень коефіцієнта фінансової стійкості, тобто. є більш концентрованою та стабільною, що підтверджується порівняно низькою ймовірністю (0,325) переходу банку до зони збитковості.

Стійкість банку «С» характеризується невисоким значенням математичного очікування (1,037) і навіть невеликим розкидом значень (середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,112). Нерівність Л.П. Чебишева доводить те що, що можливість отримання негативного значення коефіцієнта фінансової стійкості дорівнює 1, тобто. очікування позитивної динаміки його розвитку за інших рівних умов буде дуже необгрунтованим. Таким чином, запропонована модель, що базується на визначенні існуючого розподілу дискретних випадкових величин (значень коефіцієнтів фінансової стійкості комерційних банків) і підтверджується оцінкою їхнього рівноймовірнісного позитивного або негативного відхилення від отриманого математичного очікування, дозволяє визначити її поточний та перспективний рівень.

Висновок

Застосування математики в економічній науці дало поштовх у розвитку як самої економічної науці, так і прикладної математики в частині методів економіко-математичної моделі. Прислів'я каже: «Сім разів відміряй – Один раз відріж». Використання моделей є час, сили, матеріальні засоби. Крім того, розрахунки за моделями протистоять вольовим рішенням, оскільки дозволяють заздалегідь оцінити наслідки кожного рішення, відкинути неприпустимі варіанти та рекомендувати найбільш вдалі. Економіко-математичне моделювання полягає в принципі аналогії, тобто. можливості вивчення об'єкта за допомогою побудови та розгляду іншого, подібного до нього, але більш простого та доступного об'єкта, його моделі.

Практичним завданням економіко-математичного моделювання є, по-перше, аналіз економічних об'єктів; по-друге, економічне прогнозування, передбачення розвитку господарських процесів та поведінки окремих показників; по-третє, вироблення управлінських рішень всіх рівнях управління.

У роботі було з'ясовано, що економіко-математичні моделі можна поділити за ознаками:

· цільового призначення;

· урахування фактора часу;

· тривалості аналізованого періоду;

· мети створення та застосування;

· урахування фактора невизначеності;

· типу математичного апарату;

Опис економічних процесів та явищ як економіко-математичних моделей базується на використанні одного з економіко-математичних методів, які застосовуються на всіх рівнях управління.

Особливо велику роль набувають економіко-математичних методів у міру впровадження інформаційних технологій у всіх галузях практики. Також було розглянуто основні етапи процесу моделювання, а саме:

· постановка економічної проблеми та її якісний аналіз;

· побудова математичної моделі;

· математичний аналіз моделі;

· підготовка вихідної інформації;

· чисельне рішення;

· аналіз чисельних результатів та їх застосування.

У роботі було представлено статтю кандидата економічних наук, доцента кафедри фінансів та кредиту С.В. Бойко, в якій наголошується, що перед вітчизняними кредитними організаціями, що піддаються впливу зовнішнього середовища, стоїть завдання пошуку управлінських інструментів, що передбачають реалізацію раціональних антикризових заходів, спрямованих на стабілізацію темпів зростання базових показників їхньої діяльності. У зв'язку з цим підвищується важливість адекватного визначення фінансової стійкості за допомогою різних методик і моделей, одним із різновидів яких є стохастичні (імовірнісні) моделі, що дозволяють не тільки виявити передбачувані фактори зростання або зниження стійкості, але й сформувати комплекс превентивних заходів щодо її збереження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди існуватимуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

Список літератури

1)Красс М.С. Математика для економічних спеціальностей: Підручник. -4-е вид., Випр. - М.: Справа, 2003.

)Іванілов Ю.П., Лотов А.В. Математичні моделі економіки. - М: Наука, 2007.

)Ашманов С.А. Введення у математичну економіку. - М: Наука, 1984.

)Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.М. та ін Математичне моделювання економічних процесів. - М: Агропромиздат, 1990.

)За ред. Федосєєва В.В. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для ВНЗ. - М: ЮНІТІ, 2001.

)Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник. - 10-те вид., Випр. - М: Нове знання, 2004.

)Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. М: Вища школа, 2002

)Дослідження операцій. Завдання, принципи, методологія: навч. посібник для вузів/Є.С. Вентцель. - 4-те вид., стереотип. - М.: Дроф, 2006. - 206, с. : іл.

)Математика економіки: навчальний посібник/ С.В.Юдин. - М: Вид-во РГТЕУ, 2009.-228 с.

)Кочетигів А.А. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. Посібник/Тул. Держ. Ун-т. Тула, 1998. 200с.

)Бойко С.В, ймовірні моделі в оцінці фінансової стійкості кредитних організацій / С.В. Бойко// Фінанси та кредит. – 2011. N 39. –

Репетиторство

Потрібна допомога з вивчення якоїсь теми?

Наші фахівці проконсультують або нададуть репетиторські послуги з цікавої для вас тематики.
Надішліть заявкуіз зазначенням теми прямо зараз, щоб дізнатися про можливість отримання консультації.