Фрактали у простих числах. Основне питання роботи

Фрактали відомі вже майже століття, добре вивчені та мають численні додатки у житті. В основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченна за красою та різноманітністю безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій - копіювання та масштабування

Це поняття немає суворого визначення. Тому слово "фрактал" не є математичним терміном. Зазвичай так називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з таких властивостей:

• має складну структуру при будь-якому збільшенні;
• є (наближено) самоподібною;
• має дробову хаусдорфову (фрактальну) розмірність, яка більше топологічної;
• може бути побудована рекурсивними процедурами.

На рубежі XIX і XX століть вивчення фракталів мало швидше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методів і теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейєрштрас побудував приклад безперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова була цілком абстрактною і важкою для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох вигадав безперервну криву, яка ніде не має дотичної, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фракталу. Один з варіантів цієї кривої зветься «сніжинка Коха».

Ідеї ​​самоподібності постатей підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бенуа Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого», в якій описаний ще один фрактал - С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.

Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження у цьому напрямі відносяться до початку XX століття та пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жюліа та П'єра Фату. У 1918 році вийшла майже двохсотсторінкова праця Жюліа, присвячена ітераціям комплексних раціональних функцій, в якій описано безліч Жюліа - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця була удостоєна призу Французької академії, проте в ньому не було жодної ілюстрації, так що оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те, що ця робота прославила Жюліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули.

Знову увагу до робіт Жюліа і Фату звернулося лише через півстоліття, з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів. Адже Фату ніколи не міг подивитися на зображення, які ми зараз знаємо як зображення множини Мандельброта, тому що необхідну кількість обчислень неможливо провести вручну. Першим, хто використав для цього комп'ютер, був Бенуа Мандельброт.

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю інформацію про фрактали, що була на той момент, і в легкій і доступній манері виклав її. Основний наголос у своєму викладі Мандельброт зробив не так на важкі формули та математичні конструкції, але в геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, та історичним байкам, якими автор вправно розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематиків багато в чому обумовлений тим, що за допомогою вельми простих конструкцій та формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю та красою зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними, то з'явився навіть цілий напрямок у мистецтві - фрактальний живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.

Що спільного біля дерева, берега моря, хмари чи кровоносних судин у нас у руці? На перший погляд може здатися, що ці об'єкти ніщо не об'єднує. Однак насправді існує одна властивість структури, притаманна всім перерахованим предметам: вони є самоподібними. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять менші відростки, від них — ще менші, і т. д., тобто гілка подібна до всього дерева. Подібним чином влаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, а від них - дрібні капіляри, за якими кисень надходить в органи і тканини. Подивимося на космічні знімки морського узбережжя: ми побачимо затоки та півострова; глянемо на нього ж, але з висоти пташиного польоту: нам будуть видно бухти та миси; тепер уявімо, що ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги: завжди знайдуться камінці, які далі видаються у воду, ніж інші. Тобто берегова лінія зі збільшенням масштабу залишається схожою саму себе. Цю властивість об'єктів американський (щоправда, що виріс у Франції) математик Бенуа Мандельброт назвав фрактальністю, а самі такі об'єкти – фракталами (від латинського fractus – зламаний).

Це поняття немає суворого визначення. Тому слово "фрактал" не є математичним терміном. Зазвичай фрактал називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з наступних властивостей: Має складну структуру при будь-якому збільшенні масштабу (на відміну від, наприклад, прямий, будь-яка частина якої є найпростішою геометричною фігурою - відрізком). Є (приблизно) самоподібною. Має дробову хаусдорфову (фрактальну) розмірність, яка більше топологічної. Може бути збудована рекурсивними процедурами.

Геометрія та алгебра

Вивчення фракталів межі XIX і XX століть мало швидше епізодичний, ніж систематичний характер, оскільки раніше математики переважно вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню з допомогою загальних методів і теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейєрштрас будує приклад безперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова була цілком абстрактною і важкою для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох вигадав безперервну криву, яка ніде не має дотичної, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фракталу. Один із варіантів цієї кривої зветься «сніжинка Коха».

Ідеї ​​самоподібності постатей підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бенуа Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого», в якій описаний ще один фрактал — С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.

Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження у цьому напрямі розпочалися на початку XX століття та пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жуліа та П'єра Фату. В 1918 вийшов майже двохсотсторінковий мемуар Жуліа, присвячений ітераціям комплексних раціональних функцій, в якому описані безлічі Жулі - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця була удостоєна призу Французької академії, проте в ньому не було жодної ілюстрації, так що оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те, що ця робота прославила Жуліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули. Знову увагу до неї звернулося лише через півстоліття з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів.

Фрактальні розмірності

Як відомо, розмірність (кількість вимірів) геометричної фігури — це число координат, необхідних для визначення положення точки, що лежить на цій фігурі.
Наприклад, положення точки на кривій визначається однією координатою, на поверхні (не обов'язково площині) двома координатами, у тривимірному просторі трьома координатами.
З більш загальної математичної точки зору можна визначити розмірність таким чином: збільшення лінійних розмірів, скажімо, вдвічі, для одномірних (з топологічної точки зору) об'єктів (відрізок) призводить до збільшення розміру (довжини) вдвічі, для двовимірних (квадрат) ) таке ж збільшення лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (площі) у 4 рази, для тривимірних (куб) - у 8 разів. Тобто «реальну» (т.зв. Хаусдорфову) розмірність можна підрахувати як ставлення логарифму збільшення «розміру» об'єкта до логарифму збільшення його лінійного розміру. Тобто для відрізка D=log(2)/log(2)=1, для площини D=log(4)/log(2)=2, обсягу D=log(8)/log(2)=3.
Підрахуємо тепер розмірність кривої Коха, для побудови якої одиничний відрізок ділять на три рівні частини та замінюють середній інтервал рівностороннім трикутником без цього сегмента. При збільшенні лінійних розмірів мінімального відрізка втричі довжина кривої Коха зростає у log(4)/log(3)~1,26. Тобто розмірність кривої Коха – дробова!

Наука та мистецтво

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю інформацію про фрактали, що була на той момент, і в легкій і доступній манері виклав її. Основний наголос у своєму викладі Мандельброт зробив не так на важкі формули та математичні конструкції, але в геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, та історичним байкам, якими автор вправно розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематиків багато в чому обумовлений тим, що за допомогою вельми простих конструкцій та формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю та красою зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними, з'явився навіть цілий напрямок у мистецтві - фрактальний живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.

Схема отримання кривої Коха

Війна і мир

Як зазначалося вище, одне із природних об'єктів, мають фрактальні властивості, — це берегова лінія. З ним, а точніше, зі спробою виміряти його довжину, пов'язана одна цікава історія, яка лягла в основу наукової статті Мандельброта, а також описана у його книзі "Фрактальна геометрія природи". Йдеться про експеримент, який поставив Льюїс Річардсон — дуже талановитий та ексцентричний математик, фізик та метеоролог. Одним із напрямів його досліджень була спроба знайти математичний опис причин та ймовірності виникнення збройного конфлікту між двома країнами. Серед параметрів, які він враховував, була протяжність загального кордону двох ворогуючих країн. Коли він збирав дані для чисельних експериментів, то виявив, що у різних джерелах дані про спільний кордон Іспанії та Португалії дуже відрізняються. Це наштовхнуло його на таке відкриття: довжина кордонів країни залежить від лінійки, якою ми їх вимірюємо. Чим менший масштаб, тим довшим виходить кордон. Це відбувається через те, що при більшому збільшенні стає можливим враховувати нові і нові вигини берега, які раніше ігнорувалися через грубість вимірювань. І якщо при кожному збільшенні масштабу відкриватимуться раніше не враховані вигини ліній, то вийде, що довжина меж нескінченна! Щоправда, насправді цього не відбувається — точність наших вимірювань має кінцеву межу. Цей феномен називається ефектом Річардсона.

Конструктивні (геометричні) фрактали

Алгоритм побудови конструктивного фракталу у випадку такий. Насамперед нам потрібні дві відповідні геометричні фігури, назвемо їх основою та фрагментом. На першому етапі зображується основа майбутнього фракталу. Потім деякі її частини замінюються фрагментом, взятим у відповідному масштабі, це перша ітерація побудови. Потім у отриманої фігури знову деякі частини змінюються на фігури, подібні до фрагмента, і т. д. Якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в межі вийде фрактал.

Розглянемо цей процес на прикладі кривої Коха (див. врізання на попередній сторінці). За основу кривої Коха можна взяти будь-яку криву (для «сніжинки Коха» це трикутник). Але ми обмежимося найпростішим випадком – відрізком. Фрагмент - ламана, зображена зверху малюнку. Після першої ітерації алгоритму у разі вихідний відрізок збігається з фрагментом, потім кожен із його відрізків сам заміниться на ламану, подібну фрагменту, тощо. буд. На малюнку показані перші чотири кроки цього процесу.

Мовою математики: динамічні (алгебраїчні) фрактали

Фрактали цього виникають щодо нелінійних динамічних систем (звідси й назва). Поведінка такої системи можна описати комплексною нелінійною функцією (багаточленом) f(z). Візьмемо якусь початкову точку z0 на комплексній площині (див. врізання). Тепер розглянемо таку нескінченну послідовність чисел на комплексній площині, кожне наступне з яких виходить із попереднього: z0, z1=f(z0), z2=f(z1), … zn+1=f(zn). Залежно від початкової точки z0 така послідовність може поводитися по-різному: прагнути нескінченності при n -> ∞; сходитися до якоїсь кінцевої точки; циклічно приймати низку фіксованих значень; можливі і складніші варіанти.

Комплексні числа

Комплексне число - це число, що складається з двох частин - дійсною і уявною, тобто формальна сума x + iy (x і y тут - речові числа). i - це т.зв. уявна одиниця, тобто тобто число, що задовольняє рівняння i^ 2 = -1. Над комплексними числами визначено основні математичні операції — додавання, множення, розподіл, віднімання (не визначено лише операцію порівняння). Для відображення комплексних чисел часто використовується геометричне уявлення - на площині (її називають комплексною) по осі абсцис відкладають дійсну частину, а по осі ординат - уявну, при цьому комплексному числу відповідатиме точка з декартовими координатами x і y.

Таким чином, будь-яка точка z комплексної площини має характер поведінки при ітераціях функції f (z), а вся площина ділиться на частини. При цьому точки, що лежать на межах цих частин, мають таку властивість: при будь-якому малому зміщенні характер їх поведінки різко змінюється (такі точки називають точками біфуркації). Так ось, виявляється, що безліч точок, що мають один конкретний тип поведінки, а також безліч біфуркаційних точок часто мають фрактальні властивості. Це і є безліч Жулі для функції f (z).

Сімейство драконів

Варіюючи основу та фрагмент, можна отримати приголомшливу різноманітність конструктивних фракталів.
Більше того, подібні операції можна робити і в тривимірному просторі. Прикладами об'ємних фракталів можуть бути «губка Менгера», «піраміда Серпінського» та інші.
До конструктивних фракталів відносять і сімейство драконів. Іноді їх називають на ім'я першовідкривачів "драконами Хейвея-Хартера" (своєю формою вони нагадують китайських драконів). Існує кілька способів побудови цієї кривої. Найпростіший і наочний з них такий: потрібно взяти досить довгу смужку паперу (чим тонше папір, тим краще), і зігнути її навпіл. Потім знову зігнути її вдвічі у тому напрямі, як і вперше. Після кількох повторень (зазвичай через п'ять-шість складання смужка стає занадто товстою, щоб її можна було акуратно гнути далі) потрібно розігнути смужку назад, причому намагатися, щоб у місцях згинів утворилися кути в 90˚. Тоді у профіль вийде крива дракона. Зрозуміло, це лише наближення, як і всі наші спроби зобразити фрактальні об'єкти. Комп'ютер дозволяє зобразити набагато більше кроків цього процесу, і в результаті виходить дуже гарна фігура.

Безліч Мандельброта будується трохи інакше. Розглянемо функцію fc(z) = z 2 +с, де c - Комплексне число. Побудуємо послідовність цієї функції з z0=0, залежно від параметра вона може розходитися до нескінченності або залишатися обмеженою. При цьому всі значення с, при яких ця послідовність обмежена, таки утворюють безліч Мандельброта. Воно було детально вивчене самим Мандельбротом та іншими математиками, які відкрили чимало цікавих властивостей цієї множини.

Видно, що визначення множин Жуліа та Мандельброта схожі один на одного. Насправді ці дві множини тісно пов'язані. А саме, безліч Мандельброта - це все значення комплексного параметра c, при яких безліч Жуліа fc (z) складно (множина називається зв'язковим, якщо його не можна розбити на дві частини, що не перетинаються, з деякими додатковими умовами).

Фрактали та життя

У наші дні теорія фракталів знаходить широке застосування у різних галузях людської діяльності. Крім чисто наукового об'єкта для досліджень і вже згадуваного фрактального живопису, фрактали використовуються в теорії інформації для стиснення графічних даних (тут в основному застосовується властивість самоподібності фракталів - адже щоб запам'ятати невеликий фрагмент малюнка і перетворення, за допомогою яких можна отримати інші частини, потрібно набагато менше пам'яті, ніж зберігання всього файла). Додаючи до формул, що задають фрактал, випадкові обурення, можна отримати стохастичні фрактали, які дуже правдоподібно передають деякі реальні об'єкти — елементи рельєфу, поверхню водойм, деякі рослини, що з успіхом застосовується у фізиці, географії та комп'ютерній графіці для досягнення більшої подібності предметів, що моделюються. справжніми. У радіоелектроніці протягом останнього десятиліття почали випускати антени, що мають фрактальну форму. Займаючи мало місця, вони забезпечують цілком якісний прийом сигналу. Економісти використовують фрактали для опису кривих коливання курсів валют (ця властивість була відкрита Мандельбротом понад 30 років тому). На цьому ми завершимо цю невелику екскурсію в дивовижний за красою та різноманітністю світ фракталів.

Коли я не все розумію в прочитаному, я особливо не засмучуюсь. Якщо тема мені пізніше не зустрінеться, значить вона не є особою важливою (принаймні, для мене). Якщо ж тема зустрінеться повторно, втретє, у мене з'являться нові шанси краще розібратися. До таких тем належать і фрактали. Вперше я дізнався про них із книги Нассима Талеба, а потім докладніше з книги Бенуа Мандельброта. Сьогодні на запит «фрактал» на сайті можна отримати 20 нотаток.

Частина I. ПОДОРОЖ ДО ВИТОКІВ

НАЗВАТИ ЗНАЧИТЬ ДІЗНАТИСЯ.Ще на початку XX століття Анрі Пуанкаре зауважив: «Дивуєшся силі, яку може мати одне слово. Ось об'єкт, про який нічого не можна було сказати, доки він не був охрещений. Достатньо було дати йому ім'я, щоб сталося диво» (див. також). Так і сталося, коли 1975 року французький математик польського походження Бенуа Мандельброт зібрав Слово. З латинських слів frangere(ламати) та fractus(Розривний, дискретний, дробовий) склався фрактал. Мандельброт майстерно просував і пропагував фрактал як бренд із опорою на емоційну привабливість та раціональну корисність. Він видає кілька монографій, у тому числі Фрактальна геометрія природи (1982).

ФРАКТАЛИ У ПРИРОДІ ТА МИСТЕЦТВІ.Мандельброт позначив контури фрактальної геометрії, яка відрізняється від Евклідової. Відмінність не належала до аксіоми про паралельність, як у геометріях Лобачевського чи Рімана. Відмінність полягала у відмові прийнятого Евклідом за умовчанням вимоги гладкості. Деяким об'єктам притаманні шорсткість, пористість або роздробленість, причому багато хто з них мають зазначені властивості «в однаковій мірі в будь-якому масштабі». У природі не бракує подібних форм: соняшник і броколі, морські раковини, папороть, сніжинки, гірські розколини, берегові лінії, фіорди, сталагміти і сталактити, блискавки.

Люди уважні і спостережливі здавна помічали, що деякі форми демонструють структуру, що повторюється при розгляді їх «поблизу або здалеку». Наближаючись до таких об'єктів, помічаємо, що змінюються лише незначні деталі, але форма загалом залишається майже незмінною. Виходячи з цього, фрактал найпростіше визначити, як геометричну форму, що містить у собі повторювані елементи в будь-якому масштабі.

МІФИ І МІСТИФІКАЦІЇ.Відкритий Мандельбротом новий пласт форм став золотою жилою для дизайнерів, архітекторів, інженерів. Нечисленна кількість фракталів будується за одним і тим самим принципам багаторазового повторення. Звідси фрактал найпростіше визначити, як геометричну форму, що містить у собі повторювані елементи у будь-якому масштабі. Ця геометрична форма локально незмінна (інваріантна), масштабно самоподібна і цілісна у своїй обмеженості справжня сингулярність, складність якої розкривається принаймні наближення, але в видаленні сама тривіальність.

Диявольські сходи.Для передачі між комп'ютерами використовуються надзвичайно сильні електричні сигнали. Такий сигнал є дискретним. Перешкоди або шуми випадково виникають в електричних мережах внаслідок багатьох причин і призводять до втрати даних під час передачі між комп'ютерами. Виключити вплив шумів на передачу даних на початку шістдесятих років минулого століття було доручено групі інженерів IBM, у роботі якої брав участь Мандельброт.

Грубий аналіз показав наявність періодів, під час яких не реєструвалося жодної помилки. Виділивши періоди тривалістю на годину, інженери помітили, що між ними періоди проходження сигналу без помилок також переривчасті тут виникають коротші паузи тривалістю близько двадцяти хвилин. Таким чином, передача даних без помилок характеризується пакетами даних різної довжини і паузами шумів, протягом яких сигнал передається без помилок. У пакетах вищого рангу вбудовані пакети нижчого. Подібний опис передбачає існування такого поняття, як відносне розташування пакетів нижчого рангу в пакеті вищого рангу. Досвід показав, що розподіл ймовірностей цих відносних розташування пакетів не залежить від їхнього рангу. Така інваріантність говорить про самоподібність процесу спотворення даних під впливом електричних шумів. Сама процедура вирізування вільних від помилок пауз у сигналі під час передачі даних не могла спасти на думку інженерам-електрикам з тієї причини, що для них таке було нове.

Але Мандельброт, який вивчав чисту математику, добре знав безліч Кантора, описане ще в 1883 році і є пилом з точок, отриманих відповідно до суворого алгоритму. Суть алгоритму побудови «пилу Кантора» зводиться до такого. Візьміть відрізок прямої. Видаліть із нього серединну третину відрізка, зберігши дві кінцевих. Тепер повторимо ту ж саму операцію з кінцевими відрізками і так далі. Мандельброт виявив, що саме такою є геометрія пакетів і пауз при передачі сигналів між комп'ютерами. Помилка накопичується. Її нагромадження можна моделювати так. На першому кроці всім точкам з інтервалу надамо значення 1/2, на другому кроці з інтервалу значення 1/4, значення 3/4 точкам з інтервалу і т.д. Покрокове підсумовування цих величин дозволяє побудувати так звані «диявольські сходи» (рис. 1). Мірою «пилу Кантора» є ірраціональне число, що дорівнює 0,618 ..., відоме як «золотий перетин» або «Божественна пропорція».

Частина ІІ. ФРАКТАЛИ СУТЬ СПРАВИ

Посмішка без кота: ФРАКТАЛЬНА РОЗМІРНІСТЬ.Розмірність - одне з фундаментальних понять, що виходить далеко за межі математики. Евклід у першій книзі "Початок" визначив основні поняття геометрії - точка, лінія, площина. Засноване на цих визначеннях поняття тривимірного евклідового простору залишалося незмінним майже дві з половиною тисячі років. Численні загравання з просторами чотирьох, п'яти і більше вимірів нічого по суті не додають, але стикаються з тим, що уявити людську уяву не може. З відкриттям фрактальної геометрії уявлення про розмірності стався радикальний переворот. Розмірностей з'явилося безліч і серед них не тільки цілі, а й дрібні, і навіть ірраціональні. І ці розмірності доступні для наочного та чуттєвого уявлення. Насправді, ми легко представляємо сир з дірками модель середовища, розмірність якої більше двох, але не дотягує до трьох через сирні дірки, що знижує розмірність сирної маси.

Щоб зрозуміти дрібну або фрактальну розмірність, звернімося до парадоксу Річардсона, який стверджував, що довжина порізаної берегової лінії Британії нескінченна! Луїс Фрай Річардсон запитав про вплив масштабу вимірювання на величину вимірюваної довжини берегової лінії Британії. При переході від масштабу контурних карт до масштабу «берегових камінців» він приходив до дивного і несподіваного висновку: довжина берегової лінії необмежено зростає, причому це не має межі. Гладкі вигнуті лінії так не поводяться. Емпіричні дані Річардсона, отримані на картах все більших масштабів, свідчили про статечне зростання довжини берегової лінії при зменшенні кроку виміру:

У цій простій формулі Річардсона Lє виміряна довжина узбережжя, ε – величина кроку виміру, а β ≈ 3/2 – знайдена їм ступінь зростання довжини узбережжя зі зменшенням кроку виміру. На відміну від довжини кола, довжина берегової лінії Великобританії зростає, не маючи 55 меж. Вона нескінченна! Доводиться змиритися з тим, що криві зламані, негладкі не мають граничної довжини.

Проте дослідження Річардсона наводили на думку, що вони мають деяку характерну міру ступінь зростання довжини із зменшенням масштабу виміру. Виявилося, що ця величина містичним чином ідентифікує ламану лінію як відбиток пальців особистість людини. Мандельброт інтерпретував берегову лінію як фрактальний об'єкт – об'єкт, розмірність якого збігається із показником ступеня β.

Наприклад, розмірності прибережних прикордонних кривих західного узбережжя Норвегії – 1,52; для Великобританії – 1,25; для Німеччини – 1,15; для Австралії – 1,13; для порівняно гладкого узбережжя Південної Африки – 1,02 і, нарешті, для ідеально гладкого кола – 1,0.

Поглянувши на фрагмент фракталу, ви не зможете сказати, яка його розмірність. І причина над геометричної складності фрагмента фрагмент може бути дуже простим, але у цьому, що фрактальная розмірність відбиває як форму фрагмента, а й формат трансформації фрагмента у процесі побудови фрактала. Фрактальна розмірність відсторонена від форми. І завдяки цьому величина фрактальної розмірності залишається інваріантною вона однакова для будь-якого фрагмента фрактала за будь-якого масштабу огляду. Її не можна "вхопити пальцями", але можна розрахувати.

ФРАКТАЛЬНИЙ ПОВТОР.Повторення можна моделювати за допомогою нелінійних рівнянь. Лінійні рівняння характеризуються однозначною відповідністю змінних: кожному значенню хвідповідає одне і лише одне значення уі навпаки. Наприклад, рівняння х + у = 1 лінійно. Поведінка лінійних функцій повністю детермінована, однозначно визначена початковими умовами. Поведінка нелінійних функцій не настільки однозначна, адже дві різні початкові умови можуть призвести до одного результату. На цій підставі ітерація повторення операції проявляється у двох різних форматах. Вона може мати характер лінійної референції, коли кожному етапі обчислень йде повернення до початковому умові. Це свого роду «ітерація за шаблоном». Серійне виробництво на конвеєрі є "ітерація за шаблоном". Ітерація у форматі лінійної референції залежить від проміжних станів еволюції системи. Тут кожна нова ітерація стартує «від грубки». Зовсім інша річ, коли ітерація має формат рекурсії, т. е. результат попереднього кроку ітерації стає початковою умовою наступного.

Рекурсію можна проілюструвати поруч Фібоначчі, представленим у формі послідовності Жирара:

u n +2 = u n +1 + u n

Результат – числа Фібоначчі:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

У цьому прикладі цілком очевидно, що функція застосовується сама себе, не відсилаючи до початкового значення. Вона ніби ковзає рядом Фібоначчі, і кожен результат попередньої ітерації стає початковим значенням для наступної. Саме таке повторення реалізується під час побудови фрактальних форм.

Покажемо, як фрактальний повтор реалізується в алгоритмах побудови серветки Серпінського (методом вирізування і методом CIF).

Метод вирізування.Беремо рівносторонній трикутник зі стороною r. На першому кроці вирізаємо в центрі нього перевернутий вершиною вниз рівносторонній трикутник із довжиною сторони r 1 = r 0/2. В результаті цього кроку у нас виходять три рівносторонні трикутники з довжинами сторін r 1 = r 0 /2, що у вершинах вихідного трикутника (рис. 2).

На другому кроці в кожному з трьох трикутників, що утворилися, вирізаємо перевернуті вписані трикутники з довжиною сторони r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Результат – 9 трикутників із довжиною сторони r 2 = r 0/4. У результаті форма «серветки Серпінського» поступово стає дедалі більш певною. Фіксація відбувається на кожному кроці. Усі попередні фіксації хіба що «стираються».

Метод SIF або Метод систем ітерованих функцій Барнслі.Дано: рівносторонній трикутник з координатами кутів А (0,0), (1,0), С (1/2, √3/2). Z 0 - Довільна точка всередині цього трикутника (рис. 3). Беремо гральну кістку, на гранях якої є по дві літери А, В та С.

Крок 1. Кидаємо кістку. Імовірність випадання кожної літери становить 2/6 = 1/3.

• Якщо випала літера А, будуємо відрізок z 0 –A, на середині якого ставимо точку z 1
• Якщо випала буква В будуємо відрізок z 0 -B, на середині якого ставимо крапку z 1
• Якщо випала буква С, будуємо відрізок z 0 –C, на середині якого ставимо точку z 1

Крок 2. Кидаємо кістку ще раз.

• Якщо випала літера А, будуємо відрізок z 1 –A, на середині якого ставимо точку z 2
• Якщо випала буква В будуємо відрізок z 1 -B, на середині якого ставимо крапку z 2
• Якщо випала буква С, будуємо відрізок z 1 –C, на середині якого ставимо точку z 2

Повторюючи операцію багато разів, ми отримаємо точки z3, z4, …, zn. Особливість кожної з них у тому, що точка знаходиться точно на півдорозі від попередньої до довільно обраної вершини. Тепер, якщо відкинути початкові точки, наприклад, від z 0 до z 100 , інші при досить велику їх кількість утворюють структуру «серветки Серпинського». Чим більше точок, що більше ітерацій, то виразніше є спостерігачеві фрактал Серпінського. І це при тому, що процес іде, здавалося б, випадковим шляхом (завдяки гральній кістці). «Серветка Серпінського» є свого роду атрактором процесу, тобто фігурою, до якої прагнуть усі траєкторії, побудовані в цьому процесі при досить великій кількості ітерацій. Фіксація образу при цьому є кумулятивним, накопичувальним процесом. Кожна окрема точка, можливо, ніколи й не збігається з точкою фрактала Серпінського, але кожна наступна точка цього організованого «з нагоди» процесу притягується ближче і ближче до точок «серветки Серпінського».

ПЕТЛЯ ЗВОРОТНОГО ЗВ'ЯЗКУ.Основоположник кібернетики Норберт Вінер для опису петлі зворотного зв'язку як приклад навів рульового на човні. Рульовий повинен дотримуватися заданого курсу і проводить оцінку того, наскільки човен його дотримується. Якщо кермовий бачить, що човен відхиляється, він поворотом керма повертає його на заданий курс. Через деякий час він знову проводить оцінку і знову коригує напрямок руху за допомогою керма. Таким чином, навігація здійснюється за допомогою ітерацій, повтору та послідовного наближення руху човна до заданого курсу.

Типова схема петлі зворотного зв'язку показано на рис. 4 Вона зводиться до зміни змінного параметрів (напрямок човна) і контрольованого параметра С (курс човна).

Розглянемо відображення "зсув Бернуллі". Нехай як початковий стан вибрано деяке число, що належить інтервалу від 0 до 1. Запишемо це число в двійковій системі числення:

х 0 = 0,01011010001010011001010 ...

Тепер один крок еволюції в часі полягає в тому, що послідовність нулів і одиниць зрушується вліво на одну позицію, і цифра, що опинилася ліворуч від коми, відкидається:

х 1 = 0,1011010001010011001010 ...

х 2 = 0,011010001010011001010 …

х 3 = 0,11010001010011001010 …

Зауважимо, що якщо вихідні числа х 0раціональні, то в процесі ітерації значення хnвиходять на періодичну орбіту. Наприклад, для початкового числа 11/24 у процесі ітерації отримаємо ряд значень:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Якщо вихідні значення x 0ірраціональні, відображення ніколи не вийде на періодичний режим. В інтервалі вихідних значень x 0 ∈ міститься безліч точок раціональних і безліч точок ірраціональних. Таким чином, густина періодичних орбіт дорівнює густині орбіт, які ніколи не виходять на періодичний режим. У будь-якій околиці раціонального значення x 0знайдеться ірраціональне значення вихідного параметра х’ 0За такого стану справ неминуче виникає тонка чутливість до початкових умов. Це є характерною ознакою того, що система перебуває у стані динамічного хаосу.

ЕЛЕМЕНТАРНІ ПЕТЛІ ЗВОРОТНОГО ЗВ'ЯЗКУ.Реверс є необхідною умовою і наслідком будь-якого бічного погляду, що самого себе зненацька застигає. Іконою реверсивної петлі може бути стрічка Мёбиуса, коли нижня її сторона з кожним колом перетворюється на верхню, внутрішнє стає зовнішнім і навпаки. Накопичення відмінностей у процесі реверсу спочатку веде образ від вихідного, та був до нього повертає. У логіці реверсивну петлю ілюструє феномен Епіменіда: «всі критяни – брехуни». Але й сам Епіменід критянин.

ДИВНА ПЕТЛЯ.Динамічна суть феномена дивної петлі зводиться до того, що образ, трансформуючись і дедалі більше відрізняючись від вихідного, у процесі численних деформацій повертається до вихідного образу, але ніколи не повторює його точно. Описуючи цей феномен, Хофштадтер у книзі вводить термін «дивна петля». Він робить висновок, що і Ешер, і Бах, і Гедель виявили або, точніше, використовували дивні петлі у своїх роботах і творчості в образотворчому мистецтві, музиці та математиці відповідно. Ешер у «Метаморфозах» відкрив собі дивну зв'язність різних планів дійсності. Форми однієї з художніх перспектив пластично перетворюються на форми іншої художньої перспективи (рис. 5).

Рис. 5. Мауріц Ешер. Малювання руки. 1948

Подібна дивина химерним чином виявилася в музиці. Один із канонів «Музичного приношення» Баха ( Canon per Tonos- Тональний канон) сконструйований таким чином, що його фінал несподівано плавно переходить у початок, але зі зрушенням тональності. Ці послідовні модуляції ведуть слухача дедалі вище від початкової тональності. Однак, чудово, після шести модуляцій ми майже повертаємося. Всі голоси тепер звучать рівно на октаву вище, ніж на початку. Дивність у тому тільки, що піднімаючись рівнями якоїсь ієрархії, ми несподівано виявляємо себе майже на тому ж місці, звідки почали свій шлях. повернення без повтору.

Курт Гедель відкрив дивні петлі в одній із найдавніших і освоєних галузей математики – теоретично чисел. Теорема Ґеделя вперше побачила світ як Теорема VI у його статті 1931 року «Про формально нерозв'язні судження» у «Principle Mathematica». Теорема стверджує наступне: всі несуперечливі аксіоматичні формулювання теорії чисел містять нерозв'язні судження. Судження теорії чисел нічого не говорять про судження теорії чисел; вони не більше як міркування теорії чисел. Тут є петля, але нема дива. Дивна петля схована у доказі.

Дивний атрактор.Атрактор (від англ. attractточка або замкнута лінія, що притягує до себе всі можливі траєкторії поведінки системи. Атрактор стійкий, тобто у довгостроковій перспективі єдина можлива модель поведінки атрактора, все інше тимчасово. Атрактор просторово-часового об'єкта, що охоплює весь процес, не будучи ні його причиною, ні наслідком. Він формується лише системами з обмеженою кількістю ступенів свободи. Атрактори можуть являти собою точку, коло, тор і фрактал. У разі атрактор називається «дивним» (рис. 6).

Точковий атрактор визначає будь-який стійкий стан системи. У фазовому просторі він є крапкою, навколо якої формуються локальні траєкторії «вузла», «фокусу» або «сідла». Так веде себе маятник: при будь-якій початковій швидкості і будь-якому початковому положенні після достатнього часу під дією тертя маятник зупиняється в стан стійкої рівноваги. Круговий (циклічний) атрактор – це рух туди-сюди, подібно до ідеального маятника (без тертя), по колу.

Дивні атрактори ( strange attractors)здаються дивними тільки з боку, але термін «дивний атрактор» поширився відразу після появи в 1971 статті Давида Рюеля і голландця Флоріса Такенса «Природа турбулентності» (див. також ). Рюель і Такенс задалися питанням, чи має який-небудь атрактор відповідний набір характеристик: стійкість, обмежена кількість ступенів свободи і неперіодичність. З геометричного погляду питання здавалося чистою головоломкою. Який вигляд повинна мати нескінченно протяжна траєкторія, що зображується в обмеженому просторі, щоб ніколи не повторювати і не перетинати себе? Щоб відтворити кожен ритм, орбіта повинна являти собою нескінченно довгу лінію на обмеженій площі, тобто бути самозаковтувальною (рис. 7).

До 1971 року в науковій літературі вже був один малюнок такого атрактора. Едуард Лоренц зробив його додатком до своєї статті про детерміністський хаос, що вийшла 1963 року. Цей атрактор був стійким, неперіодичним, мав невелику кількість ступенів свободи і ніколи не перетинав сам себе. Якби таке трапилося, і він повернувся в точку, яку минув, рух надалі повторювався б, утворюючи тороїдальний атрактор, але такого не відбувалося.

Дивина атрактора полягає, як вважав Рюель, у трьох нееквівалентних, але на практиці існуючих разом ознаках:

• фрактал'ності (вкладеність, подібність, узгодженість);
• детермінованості (залежність від початкових умов);
• сингулярності (кінцева кількість визначальних параметрів).

Частина ІІІ. УВАГА ЛЕГКІСТЬ ФРАКТАЛЬНИХ ФОРМ

Уявні числа, фазові портрети і імовірність.Фрактальна геометрія спочиває на теорії уявних чисел, динамічних фазових портретах та теорії ймовірностей. Теорія уявних чисел припускає, що є квадратний корінь з мінус одиниці. Джероламо Кардано у своїй праці "Велике мистецтво" ("Ars Magna", 1545) представив загальне рішення кубічного рівняння z 3 + pz + q = 0. Кардано використовує уявні числа як засіб технічного формалізму для вираження коренів рівняння. Він помічає дивина, яку ілюструє простим рівнянням х 3 = 15х + 4. Це рівняння має одне очевидне рішення: х = 4. Однак узагальнююча формула дає дивний результат. Він містить корінь із негативного числа:

Рафаель Бомбеллі у своїй книзі з алгебри (L'Algebra, 1560) вказав на те, що = 2 ± i, і це відразу дозволило йому отримати речовий корінь х = 4. У подібних випадках, коли комплексні числа пов'язані, виходить речовий корінь , А комплексні числа є технічною підмогою в процесі отримання рішення кубічного рівняння.

Ньютон вважав, що рішення, що містять корінь з мінус одиниці, слід вважати "не мають фізичного сенсу" і відкидати. У XVII–XVIII століттях формувалося розуміння те, що щось уявне, духовне, уявне щонайменше реально, ніж усе дійсне, разом узяте. Ми можемо навіть назвати точну дату 10 листопада 1619 року, коли Декарт сформулював маніфест нового мислення «cogito ergo sum». З цього моменту думка є абсолютна та безперечна реальність: «якщо я мислю, то, значить, я існую»! Точніше думка тепер сприймається як реальність. Ідея Декарта про ортогональну систему координат, завдяки уявним числам, набуває своєї завершеності. Тепер з'явилася можливість наповнювати ці уявні числа смислами.

У ХІХ столітті працями Ейлера, Аргана, Коші, Гамільтона розробляється арифметичний апарат роботи з комплексними числами. Будь-яке комплексне число може бути представлене як сума X+iY, де X та Y – звичні нам речові числа, а iуявна одиниця (по суті це √-1). Кожному комплексному числу відповідає точка з координатами (X, Y) так званої комплексної площини.

Друге важливе поняття - фазовий портрет динамічної системи сформувалося у XX столітті. Після того, як Ейнштейн показав, що по відношенню до світла все рухається з однаковою швидкістю, ідея про можливість висловити динамічну поведінку системи у форматі застиглих геометричних ліній так званому фазовому портреті динамічної системи набула ясного фізичного змісту.

Проілюструємо її з прикладу маятника. Перші досліди з маятником Жан Фуко проводив у 1851 році у льоху, потім у Паризькій обсерваторії, потім під куполом Пантеону. Нарешті, в 1855 маятник Фуко був підвішений під куполом паризької церкви Сен-Мартен-де-Шан. Довжина каната маятника Фуко 67 м, вага гирі 28 кг. З величезної відстані маятник виглядає як крапка. Крапка завжди нерухома. Наближаючись, ми помітимо систему з трьома типовими траєкторіями: гармонійний осцилятор (sinϕ ≈ ϕ), маятник (коливання взад-вперед), пропелер (обертання).

Там, де локальний спостерігач бачить одну з трьох можливих конфігурацій руху кулі, відсторонений від процесу аналітик може припустити, що куля здійснює один із трьох типових рухів. Це можна зобразити однією плані. Необхідно домовитися, що ми перемістимо «кулю на нитки» в абстрактний фазовий простір, що має стільки координат, скільки ступенів волі має система, що розглядається. У цьому випадку ми говоримо про два ступеня свободи швидкість vта кут нахилу нитки з кулею до вертикалі ϕ. У координатах ϕ і v траєкторія гармонійного осцилятора є системою концентричних кіл, у міру збільшення кута ϕ ці кола стають овальними, а при ϕ = ± π губиться замикання овалу. Це означає, що маятник перейшов у режим пропелера: v = const(Рис. 8).

Рис. 8. Маятник: а) траєкторія у фазовому просторі ідеального маятника; б) траєкторія у фазовому просторі маятника, що гойдається з загасанням; в) фазовий портрет

У фазовому просторі може бути довжин, тривалостей, рухів. Тут будь-яка дія надано, але не всяке дійсно. Від геометрії залишається лише топологія, замість мір параметри, замість розмірів розмірності. Тут будь-яка динамічна система має унікальний відбиток фазовий портрет. І серед них зустрічаються фазові портрети досить дивні: будучи складними, вони визначені одним-єдиним параметром; будучи сумірними, вони непорівнянні; будучи безперервними, вони дискретні. Такі дивні фазові портрети характерні для систем із фрактальною конфігурацією атракторів. Дискретність центрів тяжіння (атракторів) створює ефект кванта дії, ефект розриву чи стрибка у тому, що траєкторії зберігають безперервність і справляють єдину пов'язану форму дивний атрактор.

КЛАСИФІКАЦІЯ ФРАКТАЛІВ.Фрактал має три іпостасі: формальну, операційну та символічну, які ортогональні один одному. І це означає, що одна й та сама форма фрактала може бути отримана за допомогою різних алгоритмів, а те саме число фрактальна розмірність може з'явитися у абсолютно різних за формою фракталів. З урахуванням цих зауважень класифікуємо фрактали за символічною, формальною та операційною ознаками:

• у символічному плані характерна для фракталу розмірність може бути цілою чи дробовою;
• за формальною ознакою фрактали можуть бути зв'язкові, як лист або хмара, і незв'язні, як пил;
• за операційною ознакою фрактали можуть бути поділені на регулярні та стохастичні.

Регулярні фрактали будуються за строго певним алгоритмом. Процес побудови при цьому оборотний. Ви можете повторити всі операції у зворотному порядку, стираючи будь-який створений у процесі детермінованого алгоритму образ, точка за точкою. Детермінований алгоритм може бути лінійним чи нелінійним.

Стохастичні фрактали, подібні до стохастичного сенсу, виникають, коли в алгоритмі їх побудови, у процесі ітерацій будь-які параметри змінюються випадковим чином. Термін «стохастичність» походить від грецького слова stochasis– здогад, припущення. Стохастичний процес – процес, характер зміни якого точно передбачити неможливо. Фрактали виробляються за примхою природи (поверхні розлому гірських порід, хмари, турбулентні потоки, піна, гелі, контури частинок сажі, зміни біржових цін та рівня річок та інші), позбавлені геометричної подоби, але завзято відтворюють у кожному фрагменті статистичні властивості цілого в середньому. Комп'ютер дозволяє генерувати послідовності псевдовипадкових чисел і одразу моделювати стохастичні алгоритми та форми.

ЛІНІЙНІ ФРАКТАЛИ.Лінійні фрактали названі так з тієї причини, що вони будуються за певним лінійним алгоритмом. Ці фрактали самоподібні, не спотворюються за будь-якої зміни масштабу і не диференційовані в будь-якій своїй точці. Для побудови таких фракталів достатньо задати основу та фрагмент. Ці елементи багаторазово повторюватимуться зі зменшенням масштабу до нескінченності.

Пил Кантора.У ХІХ столітті німецький математик Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор (1845–1918) запропонував математичному співтоваристві дивне безліч чисел в інтервалі від 0 до 1. Безліч містило нескінченну кількість елементів у зазначеному проміжку і до того ж мало нульову розмірність. Пущена навмання стріла навряд чи вразила б хоч один елемент цієї множини.

Для початку необхідно вибрати відрізок одиничної довжини (перший крок: n = 0), потім розділимо його на три частини та вилучимо середню третину (n = 1). Далі будемо робити так само з кожним із утворених відрізків. В результаті нескінченної кількості повторень операції отримуємо шукане безліч «пил Кантора». Тепер між розривним і нескінченно ділимим не існує протиставлення «пил Кантора» є і тим, і іншим (див. рис. 1). «Пил Кантора» – фрактал. Його фрактальна розмірність дорівнює 0,6304.

Один із двомірних аналогів одномірної множини Кантора був описаний польським математиком Вацлавом Серпінським. Його називають «канторів килим» або частіше «килим Серпінського». Він суворо самоподібний. Ми можемо розрахувати його фрактальну розмірність як ln8/lnЗ = 1,89… (рис. 9).

ЛІНІЇ, що заповнюють ПЛОЩИНІ.Розглянемо ціле сімейство регулярних фракталів, які є криві, здатні заповнити площину. Ще Лейбніц стверджував: «Якщо припустити, що хтось ставить на папері безліч точок з волі нагоди,<… >я кажу, що можна виявити постійну і цілісну, яка підпорядковується певному правилу геометричну лінію, яка пройде всі точки». Це твердження Лейбніца суперечило Евклідову розумінню розмірності, як найменшої кількості параметрів, з яких однозначно визначається положення точки у просторі. Через брак суворого доказу ці ідеї Лейбніца залишалися на периферії математичної думки.

Крива Пеано.Але ось в 1890 математик з Італії Джузеппе Пеано сконструював лінію, яка повністю покриває плоску поверхню, проходячи через всі її точки. Побудова "кривий Пеано" показано на рис. 10.

У тому, що топологічна розмірність кривої Пеано дорівнює одиниці, її фрактальна розмірність дорівнює d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. У межах фрактальної геометрії феномен вирішився природним чином. Лінією, як павутиною, можна покрити площину. При цьому встановлюється однозначна відповідність: кожній точці лінії відповідає точка на площині. Але ця відповідність не взаємно однозначна, адже кожній точці на площині відповідає одна або більше точок на лінії.

Крива Гільберта.Роком пізніше, в 1891 році з'явилася стаття німецького математика Девіда Гільберта (1862-1943), в якій він представив криву площину, що покриває без перетинів і дотиків. Побудова "кривої Гільберта" показано на рис. 11.

Крива Гільберта стала першим прикладом FASS-кривих (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar, що заповнюють простір самих уникальних, простих і самоподібних ліній). Фрактальна розмірність лінії Гілберта, як і кривій Пеано, дорівнює двом.

Стрічка Мінковського.Герман Мінковський, близький друг Гільберта зі студентських часів, збудував криву, яка не покриває всю площину, але формує щось на кшталт стрічки. При побудові «стрічки Мінковського» на кожному кроці кожен відрізок замінюється на ламану лінію, що складається з 8 відрізків. На наступному етапі з кожним відрізком операція повторюється в масштабі 1:4. Фрактальна розмірність стрічки Мінковського d=ln(l/8)/ln(1/4)=1,5.

НЕЛІНІЙНІ ФРАКТАЛИ.Найпростішим нелінійним відображенням комплексної площини на себе є розглянуте в першій частині відображення Жюліа z g z 2 + С. Воно являє собою розрахунок по замкнутому циклу, в якому результат попереднього циклу множиться сам на себе з приплюсування до нього якоїсь константи, тобто являє собою квадратичну петлю зворотного зв'язку (рис. 13).

У процесі ітерацій при фіксованій величині константи, залежно від довільної початкової точки Z 0 точка Z n при n-> ∞ може бути або кінцевою, або нескінченною. Усе залежить від положення Z 0 щодо початку відліку z = 0. Якщо розрахункова величина кінцева, то вона включається до множини Жюліа; якщо йде на нескінченність, то відсікається від багатьох Жюліа.

Форма, яка виходить після застосування відображення Жюліа до точок деякої поверхні, однозначно визначається параметром С. При малих С - це нескладні зв'язкові петлі, при великих С - кластери незв'язкових, але суворо впорядкованих точок. За великим рахунком, всі форми Жюлія можуть бути розбиті на два великі сімейства - зв'язкових та незв'язних відображень. Перші нагадують «сніжинку Коха», другі «пил Кантора».

Різноманітність форм Жюлія збентежило математиків, коли вони вперше змогли спостерігати ці форми на моніторах комп'ютерів. Спроби ранжувати це різноманіття мали дуже умовний характер і звелися до того, що за основу класифікації відображень Жюлія було взято безліч Мандельброта, межі якого, як виявилося, асимптотично подібні до відображень Жюліа.

При З = 0 повторення відображення Жюліа дає послідовність чисел z 0 , z 0 2 , z 0 4 , z 0 8 , z 0 16 … У результаті можливі три варіанти:

• за |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• за |z 0 | > 1 під час ітерацій числа z n по модулю збільшуються, прагнучи нескінченності. У цьому випадку атрактором є нескінченно віддалена точка, і такі значення ми виключаємо з багатьох Жюліа;
• за |z 0 | = 1 всі точки послідовності продовжують залишатися на цьому одиничному колі. У цьому випадку атрактором є коло.

Таким чином, при С = 0 межа між вихідними точками, що притягають і відштовхують, є коло. У цьому випадку відображення має дві нерухомі точки: z = 0 і z = 1. Перша з них притягує, оскільки похідна квадратичної функції в нулі є 0, а друга відштовхує, так як похідна квадратичної функції при значенні параметра одиниця дорівнює двом.

Розглянемо ситуацію, коли стала С є дійсним числом, тобто. ми хіба що переміщаємося по осі безлічі Мандельброта (рис. 14). При С = -0,75 відбувається самоперетин кордону множини Жюліа і з'являється другий атрактор. Фрактал у цій точці носить ім'я фракталу Сан-Марко, дане йому Мандельбротом на вшанування відомого венеціанського собору. Дивлячись на малюнок, неважко зрозуміти, чому Мандельброту прийшла ідея назвати фрактал саме на честь цієї будови: схожість приголомшлива.

Рис. 14. Зміна форми множини Жюліа при зменшенні дійсної величини від 0 до -1

Зменшуючи далі до –1,25, ми отримаємо нову типову форму з чотирма нерухомими точками, які зберігаються до значень С< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Рис. 15. Поява нових форм множини Жюліа при зменшенні дійсної величини С< –1

Отже, навіть залишаючись на осі фрактала Мандельброта (постійна З дійсне число), ми «захопили» в полі уваги і деяким чином ранжували досить велику різноманітність форм Жюлі від кола до пилу. Тепер розглянемо знакові області фракталу Мандельброта та відповідні форми фракталів Жюліа. Насамперед опишемо фрактал Мандельброта в термінах «кардіоїд», «нирок» і «цибулин» (рис. 16).

Головна кардіоїда і коло, що примикає до неї, формують основну форму фракталу Мандельброта. До них примикає нескінченне число її копій, які прийнято називати нирками. Кожна з цих нирок обліплена нескінченно більшою кількістю менших нирок, схожих одна на одну. Дві найбільші нирки зверху та знизу від основної кардіоїди назвали цибулинками.

Які досліджували типовий фрактал цієї множини (С = -0,12 + 0,74i) француз Адрієн Дауді та американець Білл Хаббард назвали його «фракталом кролика» (рис. 17).

При переході кордону фрактала Мандельброта фрактали Жюліа завжди втрачають зв'язність і перетворюються на пил, який прийнято називати «пилом Фату» на честь П'єра Фату, який доказав, що для певних значень С нескінченно віддалена точка притягує всю комплексну площину, крім дуже тонкого множини. 18).

СТОХАСТИЧНІ ФРАКТАЛИ.Є суттєва відмінність між строго самоподібною кривою фону Коха і, наприклад, узбережжям Норвегії. Остання, не будучи суворо самоподібною, виявляє подібність у статистичному сенсі. Обидві криві при цьому зламані настільки, що до жодної з їх точок ви не зможете провести дотичну, або, іншими словами, не зможете її диференціювати. Такі криві свого роду "монстри" серед нормальних евклідових ліній. Першим, хто побудував безперервну функцію, що не має дотичної в жодній своїй точці, був Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрас. Його робота була представлена ​​Королівської Прусської Академії 18 липня 1872 і опублікована в 1875 році. Функції, описані Вейєрштрассом, виглядають подібно до шумів (рис. 19).

Подивіться на графіки біржових бюлетенів, зведення коливань температури чи тиску повітря та виявіть якусь регулярну порізаність. Причому за збільшення масштабу характер порізаності зберігається. І це посилає нас до фрактальної геометрії.

Броунівський рух – один із найвідоміших прикладів стохастичного процесу. 1926 року Жан Перрен отримав Нобелівську премію за дослідження характеру броунівського руху. Саме він звернув увагу на самоподібність та недиференційність броунівської траєкторії.

Отже, фрактал – це математична множина, що складається з подібних до цієї множини об'єктів. Іншими словами, якщо ми розглянемо під збільшенням невеликий фрагмент фрактальної фігури, то він буде схожий на масштабнішу частину цієї фігури або навіть на фігуру в цілому. Для фракталу притому збільшення масштабу не означає спрощення структури. Тому на всіх рівнях ми побачимо однаково складну картину.

Властивості фракталу

Виходячи з озвученого вище визначення, фрактал зазвичай представляється у вигляді геометричної фігури, що задовольняє одному або декільком з наведених нижче властивостей:

Має складну структуру за будь-якого збільшення;

Приблизно є самоподібною (частини схожі на ціле);

Має дробову розмірність, яка більша за топологічну;

Можливо побудована рекурсивним способом.

Фрактали в навколишньому світі

Незважаючи на те, що поняття «фрактал» здається гранично абстрактним, у житті можна зіткнутися з безліччю прикладів даного явища, що реально існують і навіть приносять практичну користь. Більше того, з навколишнього світу неодмінно мають бути розглянуті, бо дадуть краще розуміння фракталу та його особливостей.

Наприклад, антени для різних пристроїв, конструкції яких виконані фрактальним способом, демонструють ефективність своєї роботи на 20% більшу, ніж антени традиційної конструкції. Крім того, фрактальна антена може працювати з відмінною продуктивністю одночасно на різних частотах. Саме тому сучасні мобільні телефони вже практично не мають у своїй конструкції зовнішніх антен класичного пристрою – останні замінені на внутрішні фрактальні, які монтуються прямо на друкованій платі телефону.

Велику увагу фрактали здобули з розвитком інформаційних технологій. В даний час розроблено алгоритми стиснення різних зображень за допомогою фракталів, є способи побудови об'єктів комп'ютерної графіки (дерева, гірські та морські поверхні) фрактальним способом, а також фрактальна система призначення IP-адрес у деяких мережах.

В економіці існує спосіб використання фракталів при аналізі котирувань акцій та валют. Можливо, читач, який торгує на ринку Forex, бачив фрактальний аналіз у дії у торговому терміналі або навіть застосовував його на практиці.

Також, крім штучно створених людиною об'єктів з фрактальними властивостями, в природній природі також можна чимало подібних об'єктів. Хорошими прикладами фракталу є корали, морські раковини, деякі квіти та рослини (броколі, цвітна капуста), кровоносна система та бронхи людей і тварин, що утворюються на склі візерунки, природні кристали. Ці та багато інших об'єктів мають яскраво виражену фрактальну форму.

Найчастіше геніальні відкриття, здійснені в науці, здатні кардинально змінювати наше життя. Так, наприклад, винахід вакцини може врятувати велику кількість людей, а створення нового озброєння призводить до вбивства. Буквально вчора (в масштабі історії) людина «приборкала» електрику, а сьогодні вже не може уявити своє життя без неї. Однак існують і такі відкриття, які, як то кажуть, залишаються в тіні, причому незважаючи на те, що вони також чинять той чи інший вплив на наше життя. Одним із таких відкриттів став фрактал. Більшість людей навіть не чули про таке поняття і не зможуть пояснити його значення. У цій статті ми спробуємо розібратися з питанням про те, що таке фрактал, розглянемо значення цього терміну з позиції науки та природи.

Порядок у хаосі

Для того щоб зрозуміти, що таке фрактал, слід було б почати розбір польотів з позиції математики, проте перш ніж заглиблюватися в ми трохи пофілософствуємо. Кожній людині притаманна природна допитливість, завдяки якій і пізнає навколишній світ. Найчастіше у своєму прагненні пізнання він намагається оперувати логікою у судженнях. Так, аналізуючи процеси, що відбуваються навколо, він намагається обчислити взаємозв'язки та вивести певні закономірності. Найбільші уми планети зайняті вирішенням цих завдань. Грубо кажучи, наші вчені шукають закономірності там, де їх немає, та й не повинно бути. Проте навіть у хаосі є зв'язок між тими чи іншими подіями. Ось цим зв'язком і виступає фрактал. Як приклад розглянемо зламану гілку, що валяється на дорозі. Якщо уважно до неї придивитися, то ми побачимо, що вона з усіма своїми відгалуженнями та сучками сама схожа на дерево. Ось ця схожість окремої частини з єдиним цілим свідчить про так званий принцип рекурсивної самоподібності. Фрактали в природі можна знайти часто-густо, адже багато неорганічних і органічних форм формуються аналогічно. Це і хмари, і морські раковини, і равликів, і крони дерев, і навіть кровоносна система. Цей список можна продовжувати до безкінечності. Всі ці випадкові форми легко описує фрактальний алгоритм. Ось ми підійшли до того, щоб розглянути, що таке фрактал із позиції точних наук.

Трохи сухих фактів

Саме слово «фрактал» з латини перекладається як "частковий", "розділений", "роздроблений", а щодо змісту цього терміну, то формулювання як такої не існує. Зазвичай його трактують як самоподібну множину частину цілого, яка повторюється своєю структурою на мікрорівні. Цей термін вигадав у сімдесятих роках ХХ століття Бенуа Мандельброт, який визнаний батьком Сьогодні під поняттям фракталу мають на увазі графічне зображення певної структури, яка за збільшеного масштабу буде подібна сама собі. Однак математична база для створення цієї теорії була закладена ще до народження самого Мандельброта, а ось розвиватися вона не могла, доки не з'явилися електронні обчислювальні машини.

Історична довідка, або Як все починалося

На рубежі 19-20 століть вивчення природи фракталів мало епізодичний характер. Це тим, що математики воліли вивчати об'єкти, піддаються дослідженню, з урахуванням загальних теорій і методів. У 1872 році німецьким математиком К. Вейєрштрассом був побудований приклад безперервної функції, яка ніде не диференціюється. Однак ця побудова виявилася цілком абстрактною і важкою для сприйняття. Далі пішов швед Хельге фон Кох, який у 1904 році збудував безперервну криву, яка не має ніде дотичної. Її досить легко намалювати, і, як виявилось, вона характеризується фрактальними властивостями. Один із варіантів даної кривої назвали на честь її автора – «сніжинка Коха». Далі ідею самоподібності постатей розвивав майбутній наставник Б. Мандельброта француз Поль Леві. У 1938 році він опублікував статтю «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого». У ній він описав новий вигляд – С-криву Леві. Всі перелічені фігури умовно ставляться до такого виду, як геометричні фрактали.

Динамічні, або фракції алгебри

До цього класу належить безліч Мандельброта. Першими дослідниками цього напряму стали французькі математики П'єр Фату та Гастон Жюліа. В 1918 Жюліа опублікував роботу, в основі якої лежало вивчення ітерацій раціональних комплексних функцій. Тут він описав сімейство фракталів, які близько пов'язані з безліччю Мандельброту. Незважаючи на те, що ця робота прославила автора серед математиків, про неї швидко забули. І лише через півстоліття завдяки комп'ютерам працю Жюлія одержав друге життя. ЕОМ дозволили зробити видимим кожному за людини ту красу і багатство світу фракталів, які б «бачити» математики, відображаючи їх через функції. Мандельброт став першим, хто використовував комп'ютер для проведення обчислень (вручну такий обсяг неможливо провести), що дозволило побудувати зображення цих фігур.

Людина з просторовою уявою

Мандельброт розпочинав свою наукову кар'єру у дослідному центрі IBM. Вивчаючи можливості передачі на великі відстані, вчені зіштовхнулися з фактом великих втрат, що виникали через шумових перешкод. Бенуа шукав шляхи вирішення цієї проблеми. Переглядаючи результати вимірів, він звернув увагу на дивну закономірність, а саме: графіки шумів виглядали однаково в різному масштабі часу.

Аналогічна картина спостерігалася як періоду в один день, так сім днів чи години. Сам Бенуа Мандельброт часто повторював, що працює не з формулами, а грає з картинками. Цей вчений відрізнявся образним мисленням, будь-яке завдання алгебри він переводив у геометричну область, де правильна відповідь очевидна. Так що не дивно, що відрізняється багатим і став батьком фрактальної геометрії. Адже усвідомлення цієї постаті може прийти лише тоді, коли вивчаєш малюнки і вдумуєшся у зміст цих дивних завихрень, що утворюють візерунок. Фрактальні малюнки не мають ідентичних елементів, проте мають схожість за будь-якого масштабу.

Жюліа - Мандельброт

Одним із перших малюнків цієї постаті була графічна інтерпретація множини, яка народилася завдяки роботам Гастона Жюліа та була доопрацьована Мандельбротом. Гастон намагався уявити, як виглядає безліч, побудована на базі простої формули, яка проітерована циклом зворотного зв'язку. Спробуємо сказане пояснити людською мовою, так би мовити, на пальцях. Для конкретного числового значення з допомогою формули знаходимо нове значення. Підставляємо його у формулу та знаходимо наступне. В результаті виходить велика Для представлення такої множини потрібно зробити цю операцію величезну кількість разів: сотні, тисячі, мільйони. Це й зробив Бенуа. Він обробив послідовність і переніс результати у графічну форму. Згодом він розфарбував отриману фігуру (кожен колір відповідає певному числу ітерацій). Дане графічне зображення отримало ім'я «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: мистецтво, створене природою

Теорія фракталів досить швидко знайшла практичне застосування. Оскільки вона тісно пов'язана з візуалізацією самоподібних образів, то першими, хто взяв на озброєння принципи та алгоритми побудови цих незвичайних форм, стали художники. Першим став майбутній засновник студії Pixar Лорен Карпентер. Працюючи над презентацією прототипів літаків, йому на думку прийшла ідея як фон використовувати зображення гір. Сьогодні з таким завданням зможе впоратися практично кожен користувач комп'ютера, а в сімдесятих роках минулого століття ЕОМ були не в змозі виконувати такі процеси, адже графічних редакторів та додатків для тривимірної графіки на той момент ще не було. І ось Лорену попалася книга Мандельброта "Фрактали: форма, випадковість і розмірність". У ній Бенуа наводив безліч прикладів, показуючи, що існують фрактали в природі (фива), він описував їхню різноманітну форму і доводив, що вони легко описуються математичними висловлюваннями. Дану аналогію математик приводив як аргумент корисності розроблюваної ним теорії у відповідь на шквал критики від своїх колег. Вони стверджували, що фрактал - це лише красива картинка, яка не має жодної цінності, що є побічним результатом роботи електронних машин. Карпентер вирішив випробувати цей метод практично. Уважно вивчивши книгу, майбутній аніматор почав шукати спосіб реалізації фрактальної геометрії у комп'ютерній графіці. Йому знадобилося лише три дні, щоб візуалізувати цілком реалістичне зображення гірського ландшафту на своєму комп'ютері. І сьогодні цей принцип широко використовується. Як виявилося, створення фракталів не займає багато часу та сил.

Рішення Карпентера

Принцип, використаний Лореном, виявився простим. Він полягає в тому, щоб розділити великі на дрібні елементи, а ті - на аналогічні меншого розміру, і так далі. Карпентер, використовуючи великі трикутники, дробив їх на 4 дрібні, і так далі, доки у нього не вийшов реалістичний гірський краєвид. Таким чином він став першим художником, який застосував фрактальний алгоритм у комп'ютерній графіці для побудови необхідного зображення. Сьогодні цей принцип використовується для імітації різноманітних реалістичних природних форм.

Перша 3D-візуалізація на фрактальному алгоритмі

Вже за кілька років Лорен застосував свої напрацювання у масштабному проекті - анімаційному ролику Vol Libre, показаному на Siggraph у 1980 році. Це відео вразило багатьох, і його творця було запрошено працювати в Lucasfilm. Тут аніматор зміг реалізуватися повною мірою, він створив тривимірні ландшафти (цілу планету) для повнометражного фільму Star Trek. Будь-яка сучасна програма («Фрактали») або додаток для створення тривимірної графіки (Terragen, Vue, Bryce) використовує той самий алгоритм для моделювання текстур і поверхонь.

Том Беддард

У минулому лазерний фізик, а нині цифрових справ майстер і художник, Беддард створив ряд геометричних фігур, що дуже інтригують, які назвав фрактали Фаберже. Зовні вони нагадують декоративні яйця російського ювеліра, на них такий самий блискучий хитромудрий візерунок. Беддард використовував шаблонний метод створення своїх цифрових візуалізацій моделей. Отримані вироби вражають своєю красою. Хоча багато хто відмовляється порівнювати продукт ручної роботи з комп'ютерною програмою, проте слід визнати, що отримані форми надзвичайно красиві. Родзинка полягає в тому, що побудувати такий фрактал зможе будь-який бажаючий, скориставшись програмною бібліотекою WebGL. Вона дозволяє досліджувати у реальному часі різні фрактальні структури.

Фрактали у природі

Мало хто звертає увагу, але ці дивовижні постаті присутні всюди. Природа створена із самоподібних постатей, просто ми цього не помічаємо. Достатньо подивитися через збільшувальне скло на нашу шкіру або листок дерева, і ми побачимо фрактали. Або взяти, наприклад, ананас чи навіть хвіст павича – вони складаються з подібних фігур. А сорт капусти броколі Романеску взагалі вражає своїм виглядом, адже це справді можна назвати дивом природи.

Музикальна пауза

Виявляється, фрактали – це не лише геометричні фігури, вони можуть бути і звуками. Так, музикант Джонатан Колтон пише музику за допомогою фрактальних алгоритмів. Він стверджує, що відповідає природній гармонії. Композитор публікує всі свої твори під ліцензією CreativeCommons Attribution-Noncommercial, яка передбачає вільне поширення, копіювання, передачу творів іншими особами.

Індикатор-фрактал

Ця методика знайшла дуже несподіване застосування. На її основі створено інструмент для аналізу ринку фондової біржі і, як наслідок, його почали застосовувати на ринку «Форекс». Наразі індикатор-фрактал знаходиться на всіх торгових платформах і застосовується у торговій техніці, яку називають ціновим проривом. Розробив цю методику Білл Вільямс. Як коментує свій винахід автор, даний алгоритм є поєднанням кількох свічок, в якому центральна відображає максимальну або, навпаки, мінімальну екстремальну точку.

На закінчення

Ось ми й розглянули, що таке фрактал. Виявляється, у хаосі, що оточує нас, насправді існують ідеальні форми. Природа є найкращим архітектором, ідеальним будівельником та інженером. Вона влаштована дуже логічно, і якщо ми не можемо знайти закономірність, це не означає, що її нема. Можливо, потрібно шукати в іншому масштабі. З упевненістю можна сказати, що фрактали зберігають ще чимало секретів, які нам тільки належить відкрити.