Античність

В античний період з'явилися деякі ідеї, які в подальшому призвели до інтегрального числення, але в ту епоху ці ідеї не були розвинені суворим, систематичним чином. Розрахунки обсягів і площ, які є однією з цілей інтегрального обчислення, можна знайти в московському математичному папірусі з Єгипту (бл. 1820 до н. Е..), Але формули є скоріше інструкціями, без будь-яких вказівок на метод, а деякі просто помилкові. В епоху грецької математики Євдокс (бл. 408-355 до н. е.) для обчислення площ та обсягів використовував метод вичерпування, який передбачає поняття межі, а пізніше цю ідею далі розвинув Архімед (бл. 287-212 до н. е.) , Винайшовши евристики, які нагадують методи інтегрального обчислення. Метод вичерпування пізніше винайшов у Китаї Лю Хуей у III столітті нашої ери, який він використав для обчислення площі кола. У V нашої ери Цзу Чунчжі розробив метод обчислення об'єму кулі, яку пізніше назвуть принципом Кавальєрі.

Середньовіччя

У XIV столітті індійський математик Мадхава Сангамаграма і астрономо-математична школа Керала ввели багато компонентів обчислення, такі як ряди Тейлора , апроксимацію нескінченних рядів , інтегральна ознака збіжності , ранні форми диференціювання, почленное інтегрування, ітераційні методи під кривою є її інтегралом. Дехто вважає, що «Юктибхаза» (Yuktibhāṣā) є першою працею з математичного аналізу.

Сучасна епоха

У Європі основною працею став трактат Бонавентура Кавальєрі, в якому він стверджував, що обсяги та площі можуть бути розраховані як суми обсягів та площ нескінченно тонкого перетину. Ідеї ​​були схожі на те, що виклав Архімед у роботі «Метод», але цей трактат Архімеда було втрачено до першої половини ХХ століття. Робота Кавальєрі була визнана, оскільки його методи могли призвести до помилковим результатам, і нескінченно малим величинам він створив сумнівну репутацію.

Формальне дослідження літочислення нескінченно малих, яке Кавальєрі поєднав з літочисленням кінцевих різниць, проводилося в Європі приблизно в цей же час. П'єр Ферма, стверджуючи, що він запозичив це з Діофанта, ввів поняття «квазі-рівності» (англ. adequality), яке являло собою рівність з точністю до нескінченно малої помилки. Великий внесок зробили також Джон Валліс, Ісаак Барроу та Джеймс Грегорі. Останні два близько 1675 року довели другу фундаментальну теорему обчислення.

Підстави

У математиці підстави ставляться до строго визначення предмета, відштовхуючись від точних аксіом і термінів. На початковому етапі розвитку обчислення використання нескінченно малих величин вважалося нестрогим, воно піддалося жорсткій критиці рядом авторів, насамперед Мішелем Роллем та єпископом Берклі. Берклі чудово описав нескінченно малі як "привиди померлих кількостей" у своїй книзі "The Analyst" у 1734 році. Розробка суворих основ для обчислення зайняла математиків протягом більше століття після Ньютона і Лейбніца, і досі сьогодні певною мірою є активною областю досліджень.

Декілька математиків, у тому числі Маклорен, намагалися довести обґрунтованість використання нескінченно малих, але це вдалося зробити лише 150 років через працями Коші та Вейєрштрасса, які нарешті знайшли засоби, як ухилитися від простих «дрібничок» нескінченно малих величин, і були покладені початку диференціального та інтегрального обчислення. У працях Коші ми знаходимо універсальний спектр основних підходів, у тому числі визначення безперервності в термінах нескінченно малих і (дещо неточний) прототип (ε, δ)-визначення межі у визначенні диференціювання. У своїй праці Вейєрштрас формалізує поняття межі і усуває нескінченно малі величини. Після цього праці Вейерштрасса загальною основою обчислення стали межі, а чи не нескінченно малі величини. Бернхард Ріман використав ці ідеї, щоб дати точне визначення інтегралу. Крім того, в цей період ідеї обчислення були узагальнені на евклідове простір і на комплексну площину.

У сучасній математиці основи обчислення включаються до розділу речового аналізу, який містить повні визначення та докази теорем обчислення. Сфера досліджень обчислення стала значно ширшою. Анрі Лебег розробив теорію заходів безлічі і використовував її визначення інтегралів від усіх функцій, крім самих екзотичних. Лоран Шварц ввів у розгляд узагальнені функції, які можна використовуватиме обчислення похідних будь-якої функції взагалі.

Введення меж визначило єдиний суворий підхід до підставі обчислення. Альтернативою може бути, наприклад, нестандартний аналіз Абрахама Робінсона. Підхід Робінсона, розроблений у 1960-і роки, використовує технічні засоби з математичної логіки для розширення системи речових чисел нескінченно малими та нескінченно великими числами, як це було у вихідній концепції Ньютона-Лейбніца. Ці числа, звані гіпердійсними, можна використовувати у звичайних правилах обчислення, подібно до того, як це робив Лейбніц.

Важливість

Хоча деякі ідеї обчислення раніше були розроблені в Єгипті, Греції, Китаї, Індії, Іраку, Персії та Японії, сучасне використання обчислення почалося в Європі в XVII столітті, коли Ісаак Ньютон і Готфрід Вільгельм Лейбніц побудували на базі робіт попередніх математиків його основні принципи. Розвиток обчислення було засноване на ранніх концепціях миттєвого руху та площі під кривою.

Диференціальне обчислення застосовується в розрахунках, пов'язаних зі швидкістю та прискоренням, кутом нахилу кривої та оптимізацією. Застосування інтегрального обчислення включає розрахунки за участю площ, об'ємів, довжин дуг, центрів мас, роботи та тиску. Більш складні програми включають розрахунки статечних рядів і рядів Фур'є.

Обчислення [ ] також використовується для отримання більш точного уявлення про природу простору, часу та руху. Повіками математики та філософи боролися з парадоксами, пов'язаними з розподілом на нуль або знаходженням суми нескінченного ряду чисел. Ці питання виникають щодо руху і обчисленні площ. Давньогрецький філософ Зенон Елейський дав кілька відомих прикладів таких парадоксів. Обчислення надає інструменти для вирішення цих парадоксів, зокрема межі та нескінченні ряди.

Межі та нескінченно малі величини

Примітки

1. Morris Kline, Mathematical thought from ancient to modern times, Vol. I
2. Archimedes, Method, in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné. A comparison of Archimdes" і Liu Hui"s studies of circles (англ.): journal. – Springer, 1966. – Vol. 130 . - P. 279. - ISBN 0-792-33463-9., Chapter, p. 279
4. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calculus: Early Transcendentals (неопр.) . - 3. - Jones & Bartlett Learning (англ.)російська., 2009. – С. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3., Extract of page 27
5. Indian mathematics
6. von Neumann, J., "The Mathematician", в Heywood, R. B., ed., The Works of the Mind, University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Reprinted в Броди, Ф., Вамос, Т., eds., The Neumann Compedium, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, pp. 618-626.
7. André Weil: Кількість теорій. An approach через історію. З Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, p. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Page 228. Copy
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (неопр.) . Agnes Scott College (April 1995). Архівовано 5 вересня 2012 року.

Посилання

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Calculus: Early Transcendentals 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning.

Вступ

Л. Ейлер - найпродуктивніший математик в історії, автор більш ніж 800 робіт з математичного аналізу, диференціальної геометрії, теорії чисел, наближених обчислень, небесної механіки, математичної фізики, оптики, балістики, кораблебудування, теорії музики та ін. впливом геть розвиток науки.

Майже півжиття Ейлер провів у Росії, де енергійно допомагав створювати російську науку. В 1726 він був запрошений працювати в Санкт-Петербург. У 1731-1741 і починаючи з 1766 був академіком Петербурзької Академії Наук (у 1741-1766 роках працював у Берліні, залишаючись почесним членом Петербурзької Академії). Добре знав російську мову, частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською. Перші російські академіки з математики (С. К. Котельников), і з астрономії (С. Я. Румовський) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків досі живуть у Росії.

Л.Ейлер зробив дуже великий внесок у розвиток математичного аналізу.

Мета реферату – вивчити історію розвитку математичного аналізу у XVIII столітті.

Поняття математичного аналізу. Історичний нарис

Математичний аналіз - сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій та їх узагальнень методами диференціального та інтегрального обчислень. При такому загальному трактуванні до аналізу слід зарахувати і функціональний аналіз разом із теорією інтеграла Лебега, комплексний аналіз (ТФКП), вивчає функції, задані комплексної площині, нестандартний аналіз, вивчає нескінченно малі і нескінченно великі числа, і навіть варіаційне обчислення.

У навчальному процесі до аналізу відносять

· Диференційне та інтегральне числення

· Теорію рядів (функціональних, статечних і Фур'є) та багатовимірних інтегралів

· Векторний аналіз.

У цьому елементи функціонального аналізу та теорії інтеграла Лебега даються факультативно, а ТФКП, варіаційне обчислення, теорія диференціальних рівнянь читаються окремими курсами. Суворість викладу слід зразкам кінця XIX століття і, зокрема, використовує наївну теорію множин.

Попередниками математичного аналізу були античний метод вичерпування та метод неподільних. Усі три напрями, включаючи аналіз, ріднить загальна вихідна ідея: розкладання на нескінченно малі елементи, природа яких, втім, представлялася авторам ідеї досить туманно. Алгебраїчний підхід (числення нескінченно малих) починає з'являтися у Валліса, Джеймса Грегорі та Барроу. Повною мірою нове літочислення як систему створив Ньютон, який, проте, довгий час не публікував свої відкриття. Ньютон І. Математичні роботи. M, 1937.

Офіційною датою народження диференціального обчислення вважатимуться травень 1684, коли Лейбніц опублікував першу статтю «Новий метод максимумів і мінімумів…» Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220-226. Рос. пров.: Успіхи Мат. наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166-173. Ця стаття в стислій і малодоступній формі викладала принципи нового методу, названого диференціальним обчисленням.

Наприкінці XVII століття навколо Лейбніца виникає гурток, найвизначнішими представниками якого були брати Бернуллі, Якоб та Йоганн та Лопіталь. У 1696 р., використовуючи лекції І. Бернуллі, Лопіталь написав перший підручник Лопіталь. Аналіз нескінченно малих. М.-Л.: ГТТІ, 1935., що викладав новий метод у застосуванні до теорії плоских кривих. Він назвав його «Аналіз нескінченно малих», давши цим і одну з назв новому розділу математики. В основу викладу покладено поняття змінних величин, між якими є деякий зв'язок, через який зміна однієї тягне за собою зміну іншої. У Лопіталя цей зв'язок дається за допомогою плоских кривих: якщо M - рухома точка плоскої кривої, то її декартові координати x і y, іменовані діаметром і ординатою кривої, суть змінні, причому зміна x спричиняє зміну y. Поняття функції відсутня: бажаючи сказати, що залежність змінних задана, Лопіталь каже, що «відома природа кривою». Поняття диференціала вводиться так:

«Безкінечно мала частина, на яку безперервно збільшується або зменшується змінна величина, називається її диференціалом… Для позначення диференціала змінної величини, яка сама виражається однією літерою, ми будемо користуватися знаком або символом d. Там же. Гол.1, опр.2http://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9C %D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - cite_note -4#cite_note-4 … Нескінченно мала частина, яку безупинно збільшується чи зменшується диференціал змінної величини, називається … другим диференціалом». Там же. гл.4, опр.1.

Ці визначення пояснюються геометрично, у своїй малюнку нескінченно малі збільшення зображені кінцевими. Розгляд спирається на дві вимоги (аксіоми). Перше:

Потрібно, щоб дві величини, що відрізняються один від одного лише на нескінченно малу величину, можна було брати байдуже одну замість іншої. Лопіталь. Аналіз нескінченно малих. М.-Л.: ГТТІ, 1935. гл.1, вимога 1.

dxy = (x + dx) (y + dy)? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

та ін. правила диференціювання. Друга вимога говорить:

Потрібно, щоб можна було розглядати криву лінію як сукупність нескінченної множини нескінченно малих прямих ліній.

Продовження кожної такої лінії називається дотичною до кривої. Там же. гл.2. опр. Досліджуючи дотичну, що проходить через точку M = (x, y), Лопіталь надає великого значення величині

досягає екстремальних значень у точках перегину кривої, а відношенню dy до dx не надається ніякого особливого значення.

Примітно знаходження точок екстремуму. Якщо при безперервному збільшенні діаметра x ордината y спочатку зростає, а потім зменшується, то диференціал dy спочатку позитивний порівняно з dx, а потім негативний.

Але будь-яка безперервно зростаюча чи спадна величина неспроможна перетворитися з позитивної на негативну, не проходячи через нескінченність чи нуль… Звідси випливає, що диференціал найбільшої і найменшої величини має дорівнювати нулю чи нескінченності.

Ймовірно, це формулювання не бездоганне, якщо згадати про першу вимогу: нехай, скажімо, y = x2, тоді через першу вимогу

2xdx + dx2 = 2xdx;

у нулі права частина дорівнює нулю, а ліва немає. Мабуть слід сказати, що dy можна перетворити відповідно до першим вимогою те щоб у точці максимуму dy = 0. У прикладах усе зрозуміло, і лише теорії течок перегину Лопиталь пише, що dy дорівнює нулю у точці максимуму, будучи розділений на dx Лопіталь. Аналіз нескінченно малих. М.-Л.: ГТТІ, 1935 § 46.

Далі, за допомогою одних диференціалів формулюються умови екстремуму та розглянуто велику кількість складних завдань, що належать в основному до диференціальної геометрії на площині. Наприкінці книги, у гол. 10, викладено те, що тепер називають правилом Лопіталя, хоч і в не зовсім звичайній формі. Нехай величина ординати y кривою виражена дробом, чисельник і знаменник якого перетворюються на нуль при x = a. Тоді точка кривої з x = a має ординату y, що дорівнює відношенню диференціала чисельника до диференціала знаменника, взятому при x = a.

За задумом Лопіталя написане ним становило першу частину «Аналізу», друга ж мала містити інтегральне числення, тобто спосіб відшукання зв'язку змінних за відомою зв'язку їх диференціалів. Перший його виклад дано Йоганном Бернуллі у його «Математичних лекціях про метод інтеграла» Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Тут дано спосіб взяття більшості елементарних інтегралів та вказані методи вирішення багатьох диференціальних рівнянь першого порядку.

Історія математичного аналізу

XVIII століття часто називають століттям наукової революції, що визначила розвиток суспільства до наших днів. Базувалася ця революція на чудових математичних відкриттях, скоєних XVII столітті і заснованих у наступне століття. «Немає жодного об'єкта в матеріальному світі і жодної думки в галузі духу, на яких не вплинув би вплив наукової революції XVIII століття. Жоден із елементів сучасної цивілізації було б існувати без принципів механіки, без аналітичної геометрії і диференціального обчислення. Немає жодної галузі в діяльності людини, яка не зазнала б на собі сильного впливу генія Галілея, Декарта, Ньютона та Лейбніца». Ці слова французького математика Еге. Бореля (1871 – 1956), сказані ним 1914 року, залишаються актуальними й у час. У розвиток математичного аналізу зробили свій внесок багато великих учених: І. Кеплер (1571 -1630), Р. Декарт (1596 -1650), П. Ферма (1601 -1665), Б. Паскаль (1623 -1662), Х. Гюйгенс (1629 -1695), І.Барроу (1630 -1677), брати Я.Бернуллі (1654 -1705) та І.Бернуллі (1667 -1748) та інші.

Нововведення цих знаменитостей у розумінні та описі навколишнього нас світу:

рух, зміна та варіативність (увійшло життя з її динамікою та розвитком);

статистичні зліпки та одномоментні фотографії її станів.

Математичні відкриття XVII – XVII століть були визначені за допомогою таких понять, як змінна, та функція, координати, графік, вектор, похідна, інтеграл, ряд та диференціальне рівняння.

Паскаль, Декарт і Лейбніц були не так математики, як філософами. Саме загальнолюдський та філософський зміст їх математичних відкриттів становить зараз головну цінність і є необхідним елементом загальної культури.

Як серйозну філософію, і серйозну математику не можна зрозуміти, не оволодівши відповідним мовою. Ньютон у листі до Лейбніцу про розв'язання диференціальних рівнянь викладає свій метод так: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu.

Засновники сучасної науки – Коперник, Кеплер, Галілей та Ньютон – підходили до дослідження природи як математики. Досліджуючи рух, математики виробили таке фундаментальне поняття, як функція, чи відношення між змінними, наприклад d = kt 2 , де d- відстань, пройдена вільно падаючим тілом, а t- Число секунд, яке тіло знаходиться у вільному падінні. Поняття функції відразу ж стало центральним у визначенні швидкості в даний момент часу і прискорення тіла, що рухається. Математична складність цієї проблеми полягала в тому, що будь-якої миті тіло проходить нульову відстань за нульовий проміжок часу. Тому визначаючи значення швидкості в момент часу розподілом шляху на якийсь час, ми прийдемо до математично безглуздого виразу 0/0.

Завдання визначення та обчислення миттєвих швидкостей зміни різних величин привертало увагу майже всіх математиків 17 ст, включаючи Барроу, Ферма, Декарта та Валліса. Запропоновані ними розрізнені ідеї та методи були об'єднані у систематичний, універсально застосовуваний формальний метод Ньютоном та Г. Лейбніцем (1646-1716), творцями диференціального обчислення. З питання пріоритет у розробці цього обчислення між ними точилися гарячі суперечки, причому Ньютон звинувачував Лейбніца в плагіаті. Однак, як показали дослідження істориків науки, Лейбніц створив математичний аналіз незалежно від Ньютона. Внаслідок конфлікту обмін ідеями між математиками континентальної Європи та Англії на довгі роки виявився перерваним зі шкодою для англійської сторони. Англійські математики продовжували розвивати ідеї аналізу у геометричному напрямі, тоді як математики континентальної Європи, зокрема І.Бернуллі (1667-1748), Ейлер і Лагранж досягли незрівнянно більших успіхів, слідуючи алгебраїчному, чи аналітичному, підходу.

Основою всього математичного аналізу є поняття межі. Швидкість у час визначається як межа, якого прагне середня швидкість d/t, коли значення tвсе ближче підходить до нуля. Диференціальне обчислення дає зручний у обчисленнях загальний метод знаходження швидкості зміни функції f (x) за будь-якого значення х. Ця швидкість отримала назву похідної. Із спільності запису f (x) видно, що поняття похідної застосовується у завданнях, що з необхідністю знайти швидкість чи прискорення, а й стосовно будь-якої функціональної залежності, наприклад, до якогось співвідношенню з економічної теорії. Однією з основних додатків диференціального обчислення є т.зв. завдання на максимум та мінімум; інше важливе коло завдань - знаходження дотичної до даної кривої.

Виявилося, що за допомогою похідної, спеціально винайденої для робіт із завданнями руху, можна також знаходити площі та обсяги, обмежені відповідно кривими та поверхнями. Методи евклідової геометрії не мали належної спільності і не дозволяли отримувати необхідні кількісні результати. Зусиллями математиків 17 в. було створено численні приватні методи, що дозволяли знаходити площі фігур, обмежених кривими тієї чи іншої виду, й у деяких випадках було відзначено зв'язок цих завдань із завданнями перебування швидкості зміни функцій. Але, як і у разі диференціального обчислення, саме Ньютон та Лейбніц усвідомили спільність методу і тим самим заклали основи інтегрального обчислення.

Метод Ньютона - Лейбніца починається із заміни кривої, що обмежує площу, яку потрібно визначити, що наближається до неї послідовністю ламаних, аналогічно тому, як це робилося у винайденому греками методі вичерпування. Точна площа дорівнює межі суми площ nпрямокутників, коли nзвертається до нескінченності. Ньютон показав, що цю межу можна знайти, звертаючи процес знаходження швидкості зміни функції. Операція, обернена диференціювання, називається інтегруванням. Твердження у тому, що підсумовування можна здійснити, звертаючи диференціювання, називається основний теоремою математичного аналізу. Подібно до того, як диференціювання застосовується до набагато ширшого класу завдань, ніж пошук швидкостей і прискорень, інтегрування застосовується до будь-якої задачі, пов'язаної з підсумовуванням, наприклад, до фізичних завдань на складання сил.

XIX століття є початком нового, четвертого періоду історія математики – періоду сучасної математики.

Ми вже знаємо, що одним із головних напрямів розвитку математики в четвертому періоді є посилення суворості доказів у всій математиці, особливо перебудова математичного аналізу на логічній основі. У другій половині XVIII ст. робилися багаторазові спроби перебудови математичного аналізу: введення визначення межі (Даламбер та інших.), визначення похідної як межі відносини (Ейлер та інших.), результати Лагранжа і Карно тощо. буд., але цим роботам бракувало системи, інколи ж вони були невдалі. Однак вони готували ґрунт, на якому перебудова у XIX ст. змогла бути здійснена. У ХІХ ст. цей напрямок розвитку математичного аналізу став провідним. Ним зайнялися О.Коші, Б. Больцано, К. Вейєрштрас та ін.

1. Огюстен Луї Коші (1789-1857) закінчив у Парижі Політехнічну школу та Інститут шляхів сполучення. З 1816 р. член Паризької академії та професор Політехнічної школи. У 1830-1838 pp. у роки республіки він був на еміграції через свої монархістські переконання. З 1848 р. Коші став професором Сорбонни - Паризького університету. Він опублікував понад 800 робіт з математичного аналізу, диференціальних рівнянь, теорії функцій комплексної змінної, алгебри, теорії чисел, геометрії, механіки, оптики та ін. Головними областями його наукових інтересів були математичний аналіз та теорія функцій комплексної змінної.

Свої лекції з аналізу, прочитані в Політехнічній школі, Коші видав у трьох творах: "Курс аналізу" (1821), "Резюме лекцій з обчислення нескінченно малих" (1823), "Лекція з додатків аналізу до геометрії", 2 томи (1826, 1828). у цих книгах вперше математичний аналіз будується на основі теорії меж. вони означали початок докорінної перебудови математичного аналізу.

Коші дає таке визначення межі змінної: « Якщо значення, послідовно приписувані однієї й тієї ж змінної, необмежено наближаються до фіксованого значення, отже зрештою від нього як завгодно мало, то останнє називають межею всіх інших». Суть справи тут виражена добре, але слова «як завгодно мало» самі потребують визначення, крім того, тут формулюється визначення межі змінної, а чи не межі функції. Далі автор доводить різні властивості меж.

Потім Коші наводить таке визначення безперервності функції: функція називається безперервною (у точці), якщо нескінченно мале збільшення аргументу породжує нескінченно мале збільшення функції, тобто, сучасною мовою

Потім у нього йдуть різні характеристики безперервних функцій.

У першій книзі розглядає також теорію рядів: дає визначення суми числового ряду як межі його часткової суми, вводить ряд достатніх ознак збіжності числових рядів, а також статечні ряди та область їх збіжності – все це як у дійсній, так і в комплексній галузі.

Диференційне та інтегральне обчислення він викладає у другій книзі.

Коші дає визначення похідної функції як межі відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу прагне до нуля, і диференціал, як межі відносини Звідси випливає, що. Далі розглядаються нормальні формули похідних; при цьому автор часто використовує теорему Лагранжа про середні значення.

В інтегральному обчисленні Коші вперше висуває як основне поняття певний інтеграл. Він запроваджує його також уперше, як межа інтегральних сум. Тут доводиться важлива теорема про інтегрованість безперервної функції. Невизначений інтеграл у нього визначається як така функція аргументу крім того, тут розглядаються розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена.

У другій половині ХІХ ст. ряд вчених: Б. Ріман, Г. Дарбу та ін. знайшли нові умови інтегрованості функції і навіть змінили саме визначення певного інтеграла таким чином, щоб його можна було застосувати до інтегрування деяких розривних функцій.

Теоретично диференціальних рівнянь Коші займався, головним чином, доказами принципово важливих теорем існування: існування рішення звичайного диференціального рівняння спочатку першого, та був -го порядку; існування рішення для лінійної системи рівнянь із приватними похідними.

Теоретично функцій комплексної змінної Коші є основоположником; їй присвячено багато його статей. У XVIII ст. Ейлер і Даламбер започаткували лише початок цієї теорії. У курсі вузів теорії функцій комплексної змінної ми постійно зустрічаємо ім'я Коші: умови Коші - Рімана існування похідної, інтеграл Коші, інтегральна формула Коші і т.д.; багато теореми про відрахування функції також належать Коші. У цій галузі отримали дуже важливі результати також Б. Ріман, К. Вейєрштрас, П. Лоран та ін.

Повернемося до основних понять математичного аналізу. У другій половині століття з'ясувалося, що в області обґрунтування аналізу багато зробив до Коші та Вейєрщтрасса чеський учений Бернард Больцано (1781 – 1848). Він до Коші дав визначення межі, безперервності функції та збіжності числового ряду, довів критерій збіжності числової послідовності, а також, задовго до того, як вона з'явилася у Вейєрштрасса, теорему: якщо числова множина обмежена зверху (знизу), то вона має точну верхню ( точну нижню) грань. Він розглянув низку властивостей безперервних функцій; Згадаймо, що у вузівському курсі математичного аналізу є теореми Больцано – Коші та Больцано – Вейєрштрасса про функції, безперервні на відрізку. Больцано досліджував і деякі питання математичного аналізу, наприклад, побудував перший приклад функції, безперервної на відрізку, але не має похідної в жодній точці відрізка. За життя Больцано зміг опублікувати лише п'ять невеликих робіт, тому його результати стали відомі надто пізно.

2.В математичному аналізі все виразніше відчувалося відсутність чіткого визначення функції. Значний внесок у вирішення спору про те, що розуміти під функцією, зробив французький учений Жан Фур'є. Він займався математичною теорією теплопровідності у твердому тілі і у зв'язку з цим використовував тригонометричні ряди (ряди Фур'є)

ці ряди пізніше стали широко застосовуватися в математичній фізиці - науці, яка займається математичними методами дослідження диференціальних рівнянь, що зустрічаються у фізиці, у приватних похідних. Фур'є довів, що будь-яку безперервну криву, незалежно від того, з яких різнорідних частин вона складена, можна задати єдиним аналітичним виразом – тригонометричним рядом, і що це можна зробити і для деяких кривих із розривами. Дослідження таких рядів, проведене Фур'є, знову порушило питання, що ж розуміти під функцією. Чи можна вважати, що така крива задає функцію? (Це відновлення старого спору XVIII у співвідношенні між функцією та формулою на новому рівні.)

У 1837 р. німецький математик П. Дірехле вперше дав сучасне визначення функції: «є функція змінної(на відрізкуякщо кожному значенню(на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення, причому байдуже, яким чином встановлена ​​ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами". Привертає на себе увагу додавання: "байдуже, яким чином встановлена ​​ця відповідність". Визначення Дирехле отримало загальне визнання досить швидко. Правда, зараз прийнято функцією називати саму відповідність.

3. Сучасний стандарт суворості в математичному аналізі вперше з'явився в роботах Вейєрштраса (1815-1897) довгий час працював учителем математики в гімназіях, а в 1856 став професором Берлінського університету. Слухачі його лекцій поступово видавали їх у вигляді окремих книг, завдяки чому зміст лекцій Вейєрштраса став добре відомим у Європі. Саме Вейєрштрасс став систематично вживати в математичному аналізі мову Він дав визначення межі послідовності, визначення межі функції на мові (яке часто неправильно називають визначенням Коші), суворо довів теореми про межі і так звану теорему Вейєрштрасса про межу монотонної послідовності: зростаюча обмежена зверху (знизу), має кінцеву межу. Він став використовувати поняття точної верхньої та точної нижньої грані числової множини, поняття граничної точки множини, довів теорему (у якої є й інший автор – Больцано): обмежена числова множина має граничну точку, розглянув деякі властивості безперервних функцій. Багато робіт Вейєрштрас присвятив теорії функцій комплексної змінної, обґрунтувавши її за допомогою статечних рядів. Він займався також варіаційним обчисленням, диференціальною геометрією та лінійною алгеброю.

4. Зупинимося ще на теорії нескінченних множин. Її творцем був німецький математик Кантор. Георг Кантор (1845-1918) багато років працював професором університету в Галлі. Роботи з теорії множин опублікував, починаючи з 1870р. Він довів незліченність безлічі дійсних чисел, встановивши таким чином існування нееквівалентних нескінченних множин, ввів загальне поняття потужності множини, з'ясував принципи порівняння потужностей. Кантор побудував теорію трансфінітних, «невласних» чисел, приписавши нижчу, найменшу трансфінітну кількість потужності лічильної множини (зокрема, множини натуральних чисел), потужності безлічі дійсних чисел – вищу, більшу трансфінітну кількість, і т.д.; це дало можливість побудувати арифметику трансфінітних чисел, схожу на звичайну арифметику натуральних чисел. Кантор систематично застосовував актуальну нескінченність, наприклад, можливість повністю «вичерпати» натуральний ряд чисел, тоді як до нього в математиці XIX ст. використовувалася лише потенційна нескінченність.

Теорія множин Кантора у своїй появі викликала заперечення багатьох математиків, але поступово прийшло визнання тоді, коли стало зрозумілим її велике значення для обгрунтування топології та теорії функцій дійсної змінної. Але залишалися логічні прогалини у самій теорії, зокрема, виявили парадокси теорії множин. Ось один із найвідоміших парадоксів. Позначимо через безліч всіх таких множин, які є елементами себе. Чи виконується включення також і не є елементом так як за умовою входять як елементи тільки такі множини, які не є елементами самих себе; якщо жето за умовою виконується включення протиріччя в обох випадках.

Ці парадокси пов'язані з внутрішньої суперечливістю деяких множин. Ставало ясним, що в математиці можна користуватися не будь-якими множинами. Існування парадоксів було подолано створенням на початку XX в. аксіоматичної теорії множин (Е. Цермело, а. Френкелем, Д. Нейманом та ін), яка, зокрема, відповідала на запитання: якими множинами можна користуватися в математиці? Виявляється, можна користуватися порожньою множиною, об'єднанням даних множин, множиною всіх підмножин даної множини та ін.