Як знайти найбільшу медіану трикутника. Медіана

Медіана і висота трикутника - це одна з найцікавіших і цікавих темгеометрії. Термін "Медіана" означає пряму або відрізок, який з'єднує вершину трикутника з його протилежною стороною. Іншими словами, медіана – це лінія, яка проходить із середини однієї сторони трикутника в протилежну вершину цього трикутника. Оскільки трикутник має лише три вершини і три сторони, значить і медіани може бути лише три.

Властивості медіани трикутника

1. Всі медіани трикутника перетинаються в одній точці та поділяються цією точкою у співвідношенні 2:1, рахуючи від вершини. Таким чином, якщо намалювати у трикутнику всі три медіани, то точка їхнього перетину ділитиме їх на дві частини. Частина, яка розташовується ближче у вершині, становитиме 2/3 всієї лінії, а частина, яка розташовується ближче до сторони трикутника – 1/3 лінії. Перетинаються медіани в одній точці.
2. Три медіани, проведені в одному трикутнику, ділять цей трикутник на 6 маленьких трикутників, чия площа дорівнюватиме.
3. Чим більша сторона трикутника, від якої походить медіана, тим менша ця медіана. І навпаки, сама коротка сторонамає найдовшу медіану.
4. Медіана в прямокутному трикутникумає низку власних характеристик. Наприклад, якщо навколо такого трикутника описати коло, яке проходитиме через усі вершини, то медіана прямого кута, Проведена до гіпотенузи, стане радіусом описаного кола (тобто її довжина становитиме відстань від будь-якої точки кола до її центру).

Рівняння довжини медіани трикутника

Формула медіани виходить із теореми Стюарта і свідчить, що медіана – це квадратний коріньз відношення квадратів суми сторін трикутника, які утворюють вершину, за вирахуванням квадрата сторони, до якої проведено медіану до чотирьох. Іншими словами, щоб дізнатися довжину медіани, потрібно звести в квадрат показники довжини кожної сторони трикутника, а потім записати це у вигляді дробу, в чисельнику якого буде сума квадратів сторін, які утворюють кут, звідки виходить медіана, мінус квадрат третьої сторони. Як знаменник тут виступає цифра 4. Потім з даного дробу потрібно витягти корінь квадратний, і тоді ми отримаємо довжину медіани.

Точка перетину медіан трикутника

Як ми писали вище, всі медіани одного трикутника перетинаються в одній точці. Цю точку називають центром трикутника. Він ділить кожну медіану на частини, довжина яким співвідноситься як 2:1. При цьому центр трикутника є і центром описаного навколо нього кола. А інші геометричні фігуримають власні центри.

Координати точки перетину медіан трикутника

Щоб знайти координати перетину медіан одного трикутника, скористаємось властивістю центроїду, згідно з яким він ділить кожну медіану на відрізки 2:1. Позначаємо вершини як A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

та обчислюємо координати центру трикутника за формулою: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Площа трикутника через медіану

Усі медіани одного трикутника ділять цей трикутник на 6 рівних трикутниківа центр трикутника ділить кожну медіану у співвідношенні 2:1. Тому якщо відомі параметри кожної медіани, можна обчислити площу трикутника через площу одного з маленьких трикутників, а потім збільшити цей показник у 6 разів.

Інструкція

Щоб вивести формулудля медіаниу довільному , необхідно звернутися до слідства з теореми косінусів для паралелограма, що виходить шляхом добудовування трикутника. Формулу можна довести на цьому, вона дуже зручна при вирішенні, якщо відомі всі довжини сторін або їх легко можна знайти з інших початкових даних завдання.

Фактично теорема косінусів є узагальнення теореми Піфагора. Вона звучить так: для двовимірного трикутниказ довжинами сторін a, b і c і кутом α, що протилежить a, справедлива наступна рівність: a² = b² + c² – 2 b c cos α.

Узагальнююче слідство з теореми косінусів визначає одне з найважливіших властивостейчотирикутника: сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Добудуйте трикутник до паралелограма ABCD додаванням ліній, паралельних a та c. таким чином, зі сторонами a та c і ​​діагоналлю b. Найзручніше будувати так: відкладіть на прямій, якій належить медіана, відрізок MD тієї ж довжини, з'єднайте його вершину з вершинами A і C, що залишилися.

За властивістю паралелограм діагоналі діляться точкою перетину на рівні частини. Застосуйте слідство з теореми косінусів, згідно з яким сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі подвоєних квадратів його сторін: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Оскільки BK = 2 BM, а BM – це медіана m, то:(2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², звідки:m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

Ви вивели формулуодною з трикутникадля сторони b: mb = m. Аналогічно перебувають медіанидвох інших його сторін: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Джерела:

• формула медіани
• Формули для медіани трикутника [відео]

Медіаною трикутниканазивається відрізок, що з'єднує будь-яку вершину трикутникаіз серединою протилежної сторони. Три медіани перетинаються в одній точці завжди всередині трикутника. Ця точка ділить кожну медіанущодо 2:1.

Інструкція

Завдання щодо знаходження медіани може бути вирішено додатковими побудовами. трикутникадо паралелограма і через теорему про діагоналі паралелограма. трикутникаі медіанудобудувавши їх до паралелограма. Таким чином, медіана трикутникабуде половині діагоналі паралелограма, що вийшов, дві сторони трикутника- його бічним (a, b), а третя сторона трикутника, До якої була проведена медіана, є другою діагоналлю паралелограма, що вийшов. Відповідно до теореми, сума квадратів паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його сторін.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
де
d1, d2 - діагоналі паралелограма, що вийшов;
звідси:
d1 = 0.5 * v (2 * (a 2 + b 2) - d2 2)

Медіана – це відрізок, що з'єднує вершину трикутникаі середину протилежної сторони. Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутникаможна знайти його медіани. У окремих випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника, очевидно, достатньо знання, відповідно, двох (не рівних один одному) та однієї сторони трикутника.

Вам знадобиться

• Лінійка

Інструкція

Розглянемо загальний випадок трикутника ABC з не рівними друг сторонами. Довжину медіани AE цього трикутникаможна обчислити за такою формулою: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Інші медіани абсолютно аналогічно. Ця виводиться через теорему Стюарта або через добудову трикутникадо паралелограма.

Якщо ABC - рівнобедрений і AB = AC, то медіана AE буде одночасно і цього трикутника. Отже, трикутник BEA буде прямокутним. За теоремою Піфагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Із загальної довжини медіани трикутника, для медіан BO та CP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Джерела:

• Медіани та безсектриси трикутника

Медіана - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони. Знаючи довжину всіх трьох сторін трикутника, можна знайти його медіани. У окремих випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника, очевидно, достатньо знання, відповідно, двох (не рівних один одному) та однієї сторони трикутника. Медіану також можна знайти і за іншими даними.

Вам знадобиться

• Довжини сторін трикутника, кути між сторонами трикутника

Інструкція

Розглянемо найзагальніший випадок трикутника ABCз трьома не рівними одна сторонами. Довжину медіани AE цього трикутника можна обчислити за такою формулою: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Інші медіаниє абсолютно аналогічно. Ця виводиться через теорему Стюарта, або через добудову трикутника до паралелограма.

Якщо ABC - рівнобедрений і AB = AC, то AE буде одночасно і цього трикутника. Отже, трикутник BEA буде прямокутним. За теоремою Піфагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Із загальної довжини медіанитрикутника, для BO і CP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Медіану трикутника можна знайти і за іншими даними. Наприклад, якщо задані довжини двох сторін, до однієї проведена медіана, наприклад, довжини сторін AB і BC, а також кут x між ними. Тоді довжину медіаниможна знайти через теорему косінусів: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Джерела:

• Медіани та бісектриси трикутника
• як знаходити довжину медіани

1. Що таке медіана?

Це дуже просто!

Візьми трикутник:

Відзнач на якомусь його боці середину.

І з'єднай із протилежною вершиною!

Лінія, що вийшла і є медіана.

2. Властивості медіани.

Які ж добрі властивості є у медіани?

1) Ось уявімо, що трикутник - прямокутний.Бувають такі, правда?

Чому? До чого тут прямий кут?

Давай дивитись уважно. Тільки не на трикутник, а на прямокутник. Навіщо спитаєш?

А ось ти ходиш по землі - ти бачиш, що вона кругла? Ні, звичайно, для цього на Землю треба дивитися із космосу. Ось і ми подивимося на наш прямокутний трикутник із космосу.

Проведемо діагональ:

Чи пам'ятаєш ти, що діагоналі прямокутника рівніі ділятьсяточкою перетину навпіл? (Якщо не пам'ятаєш, заглянь у тему)

Значить, половина другої діагоналі – наша медіана. Діагоналі рівні, їхні половинки, звісно, ​​теж. Ось і отримаємо

Доводити це твердження ми не будемо, а щоб у нього повірити, подумай сам: хіба буває якийсь інший паралелограм із рівними діагоналями, окрім прямокутника? Ні звичайно! Ну от, отже, і медіана може дорівнювати половині сторони лише у прямокутному трикутнику.

Давай подивимося, як це властивість допомагає вирішувати завдання.

Ось, завдання:
У сторони; . З вершини проведено медіана. Знайти, якщо.

Ура! Можна застосувати теорему Піфагора! Бачиш, як чудово? Якби ми не знали, що медіанадорівнює половині сторони

Застосовуємо теорему Піфагора:

2) А тепер нехай у нас буде не одна, а цілих три медіани! Як же вони поводяться?

Запам'ятай дуже важливий факт:

Важко? Дивись на малюнок:

Медіани і перетинаються в одній точці.

І .... (Доводимо це в , а поки що запам'ятай!):

• - удвічі більше, ніж;
• - удвічі більше, ніж;
• - удвічі більше, ніж.

Чи не втомився ще? На наступний приклад сил вистачить? Зараз ми застосуємо все, що говорили!

Завдання: У трикутнику проведені медіани та, які перетинаються у точці. Знайти, якщо

Знайдемо за теоремою Піфагора:

А тепер застосуємо знання про точку перетину медіан.

Давай позначимо. Відрізок, а. Якщо не все зрозуміло – подивися на малюнок.

Ми вже знайшли що.

Значить, ; .

У задачі нас запитують про відрізок.

У наших позначеннях.

Відповідь: .

Сподобалось? Намагайся тепер сам застосовувати знання про медіану!

МЕДІАНА. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

1. Медіана ділить сторону навпіл.

І все? А може, вона ще щось ділить навпіл? Уяви собі, що це так!

2. Теорема: медіана ділить площу навпіл.

Чому? А давай згадаємо саму просту формуплощі трикутника.

І застосуємо цю формулу аж двічі!

Подивися, медіана розділила на два трикутники: і. Але! Висота в них одна і та ж -! Тільки ця висота опускається набік , а в - на продовження сторони. Дивно, але буває і так: трикутники різні, а висота одна. І ось, тепер і застосуємо двічі формулу.

Що б це означало? Подивися на малюнок. Насправді тверджень у цій теоремі аж два. Ти це помітив?

Перше твердження:медіани перетинаються в одній точці.

Друге твердження:точкою перетину медіани діляться щодо, рахуючи від вершини.

Давай спробуємо розгадати секрет цієї теореми:

З'єднаємо точки в. Що вийшло?

А тепер проведемо ще одну середню лінію: відзначимо середину – поставимо крапку, відзначимо середину – поставимо крапку.

Тепер – середня лінія. Тобто

1. паралельна;

Помітив збіги? І, і – паралельні. І, в.

Що з цього випливає?

1. паралельна;

Звичайно ж, тільки паралелограма!

Значить, - паралелограм. Ну і що? А давай згадаємо властивості паралелограма. Наприклад, що тобі відомо про діагоналі паралелограма? Правильно, вони діляться точкою перетину навпіл.

Знову дивимось на малюнок.

Тобто медіана розділена точками і на три рівні частини. І так само.

Отже, точкою обидві медіани розділилися саме щодо, тобто і.

Що ж відбуватиметься із третьою медіаною? Давай повернемося на початок. О жах?! Ні, зараз буде все набагато коротшим. Давай викинемо медіану та проведемо медіани в.

А тепер уявімо, що ми провели такі самі міркування, як для медіан і. Що тоді?

Вийде, що медіана розділить медіану так само: у відношенні, вважаючи від точки.

Але скільки може бути точок на відрізку, які ділять його щодо, рахуючи від точки?

Звичайно ж, лише одна! І ми її вже бачили – це точка.

Що ж сталося у результаті?

Медіана точно пройшла через! Усі три медіани через неї пройшли. І всі розділилися щодо, рахуючи від вершини.

От і розгадали (довели) теорему. Розгадкою виявився паралелограм, що сидить усередині трикутника.

4. Формула довжини медіани

Як знайти довжину медіани, якщо відомі сторони? А ти певен, що тобі це потрібно? Відкриємо страшну таємницю: ця формула не дуже корисна Але все-таки ми її напишемо, а доводити не будемо (якщо цікавим є доказ - дивись наступний рівень).

Як би зрозуміти, чому так виходить?

Давай дивитись уважно. Тільки не на трикутник, а прямокутник.

Отже, розглянемо прямокутник.

Ти помітив, що наш трикутник – рівно половина цього прямокутника?

Проведемо діагональ

Чи пам'ятаєш ти, що діагоналі прямокутника рівні і діляться точкою перетину навпіл? (Якщо не пам'ятаєш, заглянь у тему)
Але одна з діагоналей – наша гіпотенуза! Значить, точка перетину діагоналей – середина гіпотенузи. Вона називалася у нас.

Значить, половина другої діагоналі – наша медіана. Діагоналі рівні, їхні половинки, звісно, ​​теж. Ось і отримаємо

Більше того, так буває лише у прямокутному трикутнику!

Доводити це твердження ми не будемо, а щоб у нього повірити подумай сам: хіба буває якийсь інший паралелограм з рівними діагоналями, крім прямокутника? Ні звичайно! Ну от, отже, і медіана може дорівнювати половині сторони лише у прямокутному трикутнику. Давай подивимося, як це властивість допомагає вирішувати завдання.

Ось, завдання:

У сторони; . З вершини проведено медіану. Знайти, якщо.

Ура! Можна застосувати теорему Піфагора! Бачиш, як чудово? Якби ми не знали, що медіана дорівнює половині сторони тільки у прямокутному трикутнику, ми не могли б вирішити це завдання. А тепер можемо!

Застосовуємо теорему Піфагора:

МЕДІАНА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Медіана ділить сторону навпіл.

2. Теорема: медіана ділить площу навпіл

4. Формула довжини медіани

Зворотна теорема:якщо медіана дорівнює половині сторони, то трикутник прямокутний, і ця медіана проведена до гіпотенузи.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Медіаною називається відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежної сторони, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Крапка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, бік, називається основою. Через одну точку, яку називають точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.

Формули для вираження довжини медіани

• Найчастіше в задачах геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:

де a, b та c - сторони. Причому є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає проста формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.

• Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут α, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.

Основні властивості

• Усі медіани мають одну загальну точкуперетину O і нею ж діляться щодо два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка називається центру тяжкості трикутника.
• Медіана поділяє трикутник на два інших площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
• Якщо провести всі медіани, то трикутник буде поділено на 6 рівновеликих фігур, які також будуть трикутниками.
• Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і бісектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і поділяє кут, з якого вона виходить.
• У рівнобедреному трикутникумедіана, опущена з вершини, що знаходиться навпроти сторони, яка не дорівнює жодній іншій, буде також висотою та бісектрисою. Медіани, опущені інших вершин, рівні. Це також є необхідним і достатньою умовоюрівнобедреності.
• Якщо трикутник є основою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується на точку перетину всіх медіан.

• У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшої сторони, дорівнює половині її довжини.
• Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірною для будь-якої точки M.

• Ще однією властивістю має медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена ​​нижче.

Властивості сторін, до яких проведено медіану

• Якщо з'єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінієютрикутника та складати одну другу від сторони трикутника, з якою вона не має спільних точок.
• Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному колі.

На закінчення логічно сказати, що одним із найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших сторін.