Як визначити висловлювання. Встановлення істинності складних висловлювань

Значення істинності

Ця стаття або розділ – грубий переклад статті іншою мовою (див. Перевірка перекладів). Він міг бути згенерований програмою-перекладачем або зроблений людиною зі слабкими знаннями у мові оригіналу. ¬( Шаблон:Mvar∧Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∨ ¬Шаблон:Mvar ¬( Шаблон:Mvar∨Шаблон:Mvar) ⇔ ¬Шаблон:Mvar ∧ ¬Шаблон:Mvar Багатозначна логіка Багатозначна логіка (наприклад, нечітка логіка дозволяє більше двох значень істинності, які, можливо, містять деякі внутрішні структури. Алгебраїчна семантика Не всі логічні системи істинно-ціннісні у цьому сенсі, що логічні зв'язки може бути інтерпретовані як істина функцій. Наприклад, в інтуїціоністській логіці відсутня повний набір значень істинності, тому що його семантика визначається в термінах доказовості умови, а не безпосередньо в термінах обов'язкової вірності формул. В інших теоріях Інтуїціоністська теорія типів використовує типи замість значень істинності. Топос теорії використовує значення істинності в особливому значенні: істина значення топос є глобальним елементом х подоб'єктом класифікатором. Маючи значення істинності у сенсі немає ціннісної логіки істини. Див. також Посилання Wikimedia Foundation. 2010 . Дивитись що таке "Значення істинності" в інших словниках: Зміст, позначений тим чи іншим мовним словом, пропозицією, знаком тощо. Питання про З. мовних виразів досліджується лінгвістикою, семіотикою та логічною семантикою. Розрізняють предметне, смислове та експресивне З. мовних … Філософська енциклопедія Значення істинності (у логіці), значення, яке набуває Висловлювання (пропозиція, судження), що розглядається стосовно змісту, що в ньому відображається. У звичайній (класичній) логіці використовуються два І. з. "істинно", "хибно"; в… … Велика Радянська Енциклопедія Таблиця істинності таблиця, що описує логічну функцію. Під «логічною функцією» в даному випадку розуміється функція, у якої значення змінних (параметрів функції) та значення самої функції виражають логічну істинність. Таблиця, за допомогою якої встановлюється істиннісне значення складного висловлювання при даних значеннях простих висловлювань, що входять до нього. У класичній математичній логіці передбачається, що кожне просте (що не містить логічних… Словник термінів логіки Денотат (від лат. denotatum позначене), термін лінгвістики та екстенсіональної логіки, що означає 1) екстенсіонал, 2) десігнат, 3) референт та 4) семантичне ядро ​​значення. Зміст 1 Денотат як екстенсіонал 2 Денотат як десігнат … Вікіпедія Однією з можливих характеристик висловлювання з погляду відповідності його описуваному фрагменту дійсності. Якщо допускається, що кожне висловлювання є або істинним, або хибним (тобто воно відповідає дійсності …). Словник термінів логіки Сукупність логічних систем, що спираються на принцип багатозначності. У класичній двозначній логіці висловлювання при інтерпретації набувають лише двох значень «істинно» і «хибно», в М.Л. розглядаються та ін значення, напр. «невизначено», … Філософська енциклопедія - (Від лат. factum зроблене, що відбулося) 1) синонім понять «істина», «подія», «результат»; щось реальне на противагу вигаданому; конкретне, одиничне на відміну абстрактного та загального; 2) у філософії науки особливого роду п... Філософська енциклопедія - (В л о г і к е) - істинність пропозиції (судження, висловлювання), обумовлена, на відміну від т.зв. логіч. істинності, змістом цієї пропозиції. Інакше кажучи, пропозиція є фактично істинною, коли її істинність залежить від значень. Філософська енциклопедія Стереометрична семантика- трактування логіки як науки отримання справжніх наслідків з справжніх посилок дедалі більше поступається місцем ширшої концепції, пов'язаної чи з узагальненням поняття слідування, заснованого на традиційної істиннісної оцінці і практичних… … Проектний філософський словник Книги Як щиро повірити в Бога, або Єдине, що має значення для розвитку віри, Враджев В.. Перш ніж зробити перші кроки в духовне життя, кожна людина завжди ставить питання: Чи існує Бог насправді? навколишній світ за допомогою…

Серед можливих значень істинності лінгвістичної змінної Істинністьдва значення привертають особливу увагу, а саме порожню множину та одиничний інтервал, які відповідають найменшому та найбільшому елементам (по відношенню включення) решітки нечітких підмножин інтервалу. Важливість саме цих значень істинності обумовлена ​​тим, що їх можна інтерпретувати як значення істинності не визначенеі невідомовідповідно. Для зручності будемо позначати ці значення істинності символами і , розуміючи при цьому, що визначаються виразами

Значення невідомоі не визначене, інтерпретовані як ступеня належності, використовуються також у поданні нечітких множин типу 1. У цьому випадку є три можливості вираження ступеня належності точки в: 1) число з інтервалу; 2) ( не визначене); 3) (невідомо).

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай

Візьмемо нечітке підмножина безлічі виду

У цьому випадку ступінь приналежності елемента безлічі є невідомо, а ступінь власності є не визначене. У загальному випадку можливо

де мають на увазі, що ступінь приналежності елемента безлічі частково невідома, причому член інтерпретується так:

. (6.56)

Важливо чітко розуміти різницю між і . Коли говоримо, що ступінь належності точки безлічі є , ми маємо у вигляді, що функція власності не визначена у точці. Припустимо, наприклад, що - безліч дійсних чисел, а - функція, визначена на безлічі цілих чисел, причому якщо - парне, і якщо - непарне. Тоді ступінь приналежності числа множині є , а чи не 0. З іншого боку, якби було визначено на безлічі дійсних чисел і тоді й лише тоді, коли - парне число, то ступінь приналежності числа множини дорівнювала 0.

Оскільки ми вміємо обчислювати значення істинності висловлювань і, абоі неза заданими лінгвістичними значеннями істинності висловлювань і , неважко обчислити і значення , , коли . Припустимо, наприклад, що

, (6.57)

. (6.58)

Застосовуючи принцип узагальнення, як (6.25), отримаємо

, (6.59)

Після спрощення (6.59) зводиться до виразу

. (6.61)

Іншими словами, значення істинності висловлювання і, де , є нечітке підмножина інтервалу, ступінь належності якому точки дорівнює (функції належності) на інтервалі.

Рис. 6.4. Кон'юнкція та диз'юнкція значень істинності висловлювання зі значенням істинності невідомо ().

Аналогічно вважаємо, що значення істинності висловлювання абовиражається у вигляді

. (6.62)

Слід зазначити, що вирази (6.61) та (6.62) легко одержати за допомогою описаної вище графічної процедури (див. (6.38) і далі). Приклад, що ілюструє це, показано на рис. 6.4.

Звертаючись до випадку, знаходимо

(6.63)

та аналогічно для .

Повчально простежити, що відбувається з наведеними вище співвідношеннями, коли ми застосовуємо їх до окремого випадку двозначної логіки, тобто до випадку, коли універсальна множина має вигляд

або у більш звичному вигляді

де означає істинний, а - хибний. Оскільки є , ми можемо ототожнити значення істинності невідомозі значенням істиннийабо хибний, тобто.

Результуюча логіка має чотири значення істинності , , і є узагальненням двозначної логіки в сенсі зауваження 6.5.

Оскільки універсальне безліч значень істинності складається з двох елементів, доцільно побудувати таблиці істинності для операцій , й у цій чотиризначної логіці безпосередньо, т. е. без використання загальних формул (6.25), (6.29) і (6.31). Так, застосовуючи принцип узагальнення до операції, одразу отримуємо

звідки з необхідністю випливає, що

На цьому шляху ми приходимо до звичайного визначення зв'язки у двозначній логіці у вигляді наступної таблиці істинності:

Як показує розглянутий вище приклад, поняття значення істинності невідомоу поєднанні з принципом узагальнення допомагає усвідомити деякі з понять та співвідношень звичайних двозначної та тризначної логік. Ці логіки, звісно, ​​можна як вироджені випадки нечіткої логіки, у якій значенням істинності невідомоє весь одиничний інтервал, а не безліч 0+1.

Хибне і справжнє висловлювання найчастіше вживається у мовної практиці. Перша оцінка сприймається як заперечення істинності (неістинності). Насправді використовують та інші види оцінки: невизначеність, недоказовість (доказовість), нерозв'язність. Розмірковуючи з того, якого числа x істинно висловлювання, необхідно розглянути закони логіки.

Виникнення «багатозначної логіки» призвело до використання необмежену кількість показників істинності. Ситуація з елементами істинності заплутана, ускладнена, тому важливо внести до неї ясність.

Принципи теорії

Справжнє висловлювання - це значення властивості (ознака), що розглядається завжди для певної дії. Що таке правда? Схема наступна: «Висловлювання Х має значення істинності Y у разі, коли істинно висловлювання Z».

Давайте розглянемо приклад. Потрібно зрозуміти, для якого з наведених істинно висловлювання: «Предмета має ознаку». Це висловлювання невірно у цьому, що з предмета є ознака, і невірно у цьому, що має ознакою в». Термін «неправильно» у разі використовується як зовнішнього заперечення.

Визначення істинності

Як визначається справжнє висловлювання? Незалежно від структури висловлювання Х допускається лише таке визначення: «Висловлювання Х істинно тоді, коли є Х, тільки Х».

Це визначення дає можливість ввести в мову термін «істинно». Воно визначає акт прийняття згоди чи висловлювання про те, що йдеться у ньому.

Прості висловлювання

Вони справжнє висловлювання без визначення. Можна обмежитися під час висловлювання «Не-Х» загальним визначенням, якщо це висловлювання перестав бути істинним. Істинна кон'юнкція "X та Y", якщо будуть істинними X і Y.

Приклад висловлювання

Як зрозуміти, для яких х істинно висловлювання? Щоб відповісти на це питання, використовуємо вираз: "Частина а знаходиться в області простору b". Розглянемо для цього висловлювання такі випадки:

• неможливо спостерігати частку;
• можна спостерігати частинку.

Другий варіант передбачає певні можливості:

• частка реально перебуває у певній області простору;
• її немає у передбачуваній частині простору;
• частка рухається так, що складно визначити область її розташування.

У цьому випадку можна використовувати чотири терміни значень істинності, які відповідають наведеним можливостям.

Для складних структур доречним є використання більшої кількості термінів. Це свідчить про необмеженість значень істинності. Для якого числа істинно висловлювання залежить від практичної доцільності.

Двозначності принцип

Відповідно до нього, будь-яке висловлювання або хибно, або істинно, тобто, характеризується однією з двох можливих істиннісних значень - «хибно» і «істинно».

Цей принцип є основою класичної логіки, яку називають двозначною теорією. Двозначність принцип використовувався Аристотелем. Цей філософ, розмірковуючи над тим, для якого числа х істинно висловлювання, вважав його невідповідним до тих висловлювань, які стосуються майбутніх випадкових подій.

Він встановлював логічний взаємозв'язок між фаталізмом та принципом двозначності, положенням про зумовленість будь-яких дій людини.

У наступні історичні епохи обмеження, які накладалися на цей принцип, пояснювалися тим, що він суттєво ускладнює аналіз висловлювань про заплановані події, а також про неіснуючі (неспостерігаються) об'єкти.

Замислюючись у тому, які висловлювання істинні, цим способом який завжди можна було знайти однозначний відповідь.

сумніви, що з'являються в логічних системах, були розвіяні тільки після того, як була розроблена сучасна логіка.

Щоб зрозуміти, для якого з наведених чисел є істинним висловлювання, підходить двозначна логіка.

Принцип багатозначності

Якщо переформулювати варіант двозначного висловлювання виявлення істинності, можна перетворити їх у окремий випадок багатозначності: будь-яке висловлювання матиме одне п значення істинності, якщо п одно або більше 2, чи менше нескінченності.

Як виняток додаткових значень істинності (вище «хибно» і «істинно») виступають багато логічних систем, що базуються на принципі багатозначності. Двозначна класична логіка характеризує типові варіанти використання деяких логічних знаків: "або", "і", "не".

Багатозначна логіка, що претендує на їхню конкретизацію, не повинна суперечити результатам двозначної системи.

Помилковим вважають те переконання, згідно з яким принцип двозначності завжди призводить до констатації фаталізму та детермінізму. Також невірна і думка, згідно з якою, багаторазову логіку розглядають як необхідний засіб здійснення індетерміністичних міркувань, що прийняття її відповідає відмові від використання суворого детермінізму.

Семантика логічних знаків

Щоб зрозуміти, якого числа Х істинно висловлювання, можна озброїтися таблицями істинності. Семантика логічна представляє розділ металогіки, який досліджує ставлення до об'єктів, що позначаються, їх змісту різноманітних мовних виразів.

Ця проблема розглядалася вже в античному світі, але у вигляді повноцінної самостійної дисципліни вона була сформульована лише на рубежі XIX-XX століть. Роботи Г. Фреге, Ч. Пірса, Р. Карнапа, С. Крипке дозволили виявити суть цієї теорії, її реалістичність та доцільність.

Протягом тривалого періоду семантична логіка спиралася в основному на аналіз формалізованих мов. Тільки останнім часом більшість досліджень стала присвячуватися природній мові.

У цій методиці виділяють дві основні області:

• теорію позначення (референції);
• теорію сенсу.

Перша передбачає дослідження відношення різноманітних мовних виразів до об'єктів, що позначаються. Як її основні категорії можна уявити: «позначення», «ім'я», «модель», «інтерпретація». Ця теорія є основою доказів у сучасної логіці.

Теорія сенсу займається пошуком відповіді питання стосовно того, що є сенс мовного висловлювання. Вона пояснює їхню тотожність за змістом.

Істотну роль теорія сенсу має під час обговорення семантичних парадоксів, під час вирішення яких будь-який критерій прийнятності вважається важливим і актуальним.

Логічне рівняння

Цей термін використовується в метамові. Під логічним рівнянням можна представити запис F1=F2, у якому F1і F2 є формулами розширеної мови логічних висловлювань. Вирішити таке рівняння означає, визначити ті набори істинних значень змінних, які входитимуть до однієї з формул F1 чи F2, у яких дотримуватися запропоноване рівність.

Знак рівності в математиці деяких ситуаціях свідчить про рівність вихідних об'єктів, а деяких випадках він ставиться для демонстрації рівності їх значень. Запис F1=F2 може свідчити про те, що йдеться про одну й ту саму формулу.

У літературі часто під формальною логікою мають на увазі такий синонім, як «мова логічних висловлювань». Як «правильні слова» виступають формули, що служать семантичними одиницями, використовуваними для побудови міркувань у неформальній (філософській) логіці.

Висловлювання виступає як речення, що виражає конкретне судження. Іншими словами, воно висловлює думку про присутність певного стану справ.

Цей факт став основою пропозиційної логіки. Існує підрозділ висловлювань на прості та складні групи.

При формалізації найпростіших варіантів висловлювань застосовують елементарні формули мови нульового порядку. Опис складних висловлювань можливе лише із застосуванням формул мови.

Логічні зв'язки необхідні позначення спілок. При їх застосуванні прості висловлювання перетворюються на складні види:

• «ні»,
• «невірно, що…»,
• "або".

Висновок

Формальна логіка допомагає з'ясовувати, для якого імені істинно висловлювання, передбачає конструювання та аналіз правил перетворення певних виразів, які зберігають їхнє справжнє значення незалежно від змісту. Як окремий розділ філософської науки вона з'явилася лише наприкінці дев'ятнадцятого століття. Другим напрямом є неформальна логіка.

Основне завдання цієї науки є систематизація правил, які дозволяють виводити нові твердження з урахуванням доведених тверджень.

Фундаментом логіки є можливість отримання якихось ідей як логічний наслідок інших тверджень.

Такий факт дозволяє адекватно описувати як певну проблему в математичної науці, а й переносити логіку в художню творчість.

Логічне дослідження передбачає відношення, яке існує між посилками та висновками, що виводяться з них.

Його можна віднести до вихідних, фундаментальних понять сучасної логіки, яку часто називають наукою «що з нього випливає».

Важко уявити без подібних міркувань доказ теорем у геометрії, пояснення фізичних явищ, пояснення механізмів перебігу реакцій у хімії.

Логіка висловлювань , звана також пропозиціональної логікою - розділ математики та логіки, що вивчає логічні форми складних висловлювань, побудованих з простих чи елементарних висловлювань за допомогою логічних операцій.

Логіка висловлювань відволікається від змістовного навантаження висловлювань і вивчає їх істинне значення, тобто висловлювання істинним чи хибним.

Малюнок зверху - ілюстрація явища, відомого як "Парадокс брехуна". При цьому, на думку автора проекту, такі парадокси можливі лише в середовищах, невільних від політичних проблем, де на комусь можуть апріорі поставити тавро брехуна. У природному багатошаровому світі на предмет "істини" або "брехні" оцінюються лише окремо взяті висловлювання . І далі на цьому уроці вам представиться можливість самим оцінити цей предмет чимало висловлювань (А потім подивитися правильні відповіді). У тому числі складних висловлювань, у яких простіші пов'язані між собою знаками логічних операцій. Але насамперед розглянемо самі ці операції над висловлюваннями.

Логіка висловлювань застосовується в інформатиці та програмуванні у вигляді оголошення логічних змінних та присвоєння їм логічних значень "брехня" чи "істина", від яких залежить хід подальшого виконання програми. У невеликих програмах, де задіяна лише одна логічна змінна, цій логічній змінній часто дається ім'я, наприклад, "прапор" ("flag") і мається на увазі, що "прапор піднятий", коли значення цієї змінної - "істина" та "прапор опущений" коли значення цієї змінної - "брехня". У програмах великого обсягу, у яких кілька або навіть дуже багато логічних змінних, від професіоналів потрібно вигадувати імена логічних змінних, що мають форму висловлювань і смислове навантаження, яке відрізняє їх від інших логічних змінних і зрозумілих іншим професіоналам, які читатимуть текст цієї програми.

Так, може бути оголошена логічна змінна з ім'ям "КористувачЗареєстрований" (або його англомовний аналог), що має форму висловлювання, якій може бути присвоєно логічне значення "істина" при виконанні умов, що дані для реєстрації надіслані користувачем і ці програми визнані придатними. У подальших обчисленнях значення змінних можуть змінюватись в залежності від того, яке логічне значення ("істина" або "брехня") має змінна "КористувачЗареєстрований". В інших випадках змінної, наприклад, з ім'ям "ДоДняХЗалишилосяБільшеТрьохДнів", може бути присвоєно значення "Істина" до деякого блоку обчислень, а в ході подальшого виконання програми це значення може зберігатися або змінюватися на "брехню" і від значення цієї змінної залежить хід подальшого виконання програми.

Якщо у програмі використовуються кілька логічних змінних, імена яких мають форму висловлювань, і з них будуються складніші висловлювання, то набагато простіше розробляти програму, якщо перед її розробкою записати всі операції з висловлювань у вигляді формул, що застосовуються у логіці висловлювань, ніж ми під час цього уроку і займемося.

Логічні операції над висловлюваннями

Для математичних висловлювань завжди можна зробити вибір між двома різними альтернативами "істина" і "брехня", а для висловлювань, зроблених "словесною" мовою, поняття "істинності" і "хибності" дещо більш розпливчасті. Однак, наприклад, такі словесні форми, як "Йди додому" та "Чи йде дощ?", не є висловлюваннями. Тому зрозуміло, що висловлюваннями є такі словесні форми, у яких щось стверджується . Не є висловлюваннями запитання чи оклику пропозиції, звернення, а також побажання чи вимоги. Їх неможливо оцінити значеннями "істина" та "брехня".

Висловлювання ж, навпаки, можна як величину, яка може набувати два значення: " істина " і " брехня " .

Наприклад, дані міркування: "собака - тварина", "Париж - столиця Італії", "3

Перше з цих висловлювань може бути оцінено символом "істина", друге - "брехня", третє - "істина" та четверте - "брехня". Таке трактування висловлювань становить предмет алгебри висловлювань. Позначатимемо висловлювання великими латинськими літерами A, B, ..., а їх значення, тобто істину та брехню, відповідно Іі Л. У звичайній мові використовуються зв'язки між висловлюваннями "і", "або" та інші.

Ці зв'язки дозволяють, поєднуючи між собою різні висловлювання, утворювати нові висловлювання. складні висловлювання . Наприклад, зв'язування "і". Нехай дано висловлювання: " π більше 3" та висловлювання " π менше 4". Можна організовувати нове - складне висловлювання" π більше 3 і π менше 4". Висловлювання "якщо π ірраціонально, то π ² теж ірраціонально" виходить зв'язуванням двох висловлювань зв'язкою "якщо - то". Нарешті, ми можемо отримати з будь-якого висловлювання нове - складне висловлювання - заперечуючи первісне висловлювання.

Розглядаючи висловлювання як величини, що приймають значення Іі Л, ми визначимо далі логічні операції над висловлюваннями , які дозволяють з цих висловлювань отримувати нові - складні висловлювання.

Нехай дано два довільні висловлювання Aі B.

1 . Перша логічна операція над цими висловлюваннями - кон'юнкція - є утворенням нового висловлювання, яке будемо позначати A ∧ Bі яке істинно тоді і тільки тоді, коли Aі Bістинні. У звичайній промові цієї операції відповідає з'єднання висловлювань зв'язкою "і".

Таблиця істинності для кон'юнкції:

A	B	A ∧ B
І	І	І
І	Л	Л
Л	І	Л
Л	Л	Л

2 . Друга логічна операція над висловлюваннями Aі B- диз'юнкція, що виражається у вигляді A ∨ B, визначається так: воно істинно тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з первісних висловлювань істинно. У звичайній мові ця операція відповідає поєднанню висловлювань зв'язкою "або". Однак тут ми маємо не роздільне "або", яке розуміється в сенсі "або", коли Aі Bне можуть бути обидва істинні. У визначенні логіки висловлювань A ∨ Bістинно і за істинності лише одного з висловлювань, і за істинності обох висловлювань Aі B.

Таблиця істинності для диз'юнкції:

A	B	A ∨ B
І	І	І
І	Л	І
Л	І	І
Л	Л	Л

3 . Третя логічна операція над висловлюваннями Aі B, що виражається у вигляді A → B; отримане таким чином висловлювання хибне тоді і лише тоді, коли Aістинно, а Bпомилково. Aназивається посилкою , B - наслідком , а висловлювання A → B - слідуванням , що називається також імплікацією. У звичайній промові ця операція відповідає зв'язці "якщо - то": "якщо A, то BАле у визначенні логіки висловлювань цей вислів завжди істинно незалежно від того, істинно чи хибно висловлювання B. Цю обставину можна коротко сформулювати так: "з хибного випливає все, що завгодно". У свою чергу, якщо Aістинно, а Bхибно, то все висловлювання A → Bпомилково. Воно буде істинним тоді і лише тоді, коли і A, і Bістинні. Коротко це можна сформулювати так: "із істинного не може слідувати хибне".

Таблиця істинності для слідування (імплікації):

A	B	A → B
І	І	І
І	Л	Л
Л	І	І
Л	Л	І

4 . Четверта логічна операція над висловлюваннями, точніше над одним висловлюванням, називається запереченням висловлювання Aі позначається ~ A(можна зустріти також вживання не символу ~, а символу ¬, а також верхнього надкреслення над A). ~ Aє висловлювання, яке хибно, коли Aістинно, і істинно, коли Aпомилково.

Таблиця істинності для заперечення:

A	~ A
Л	І
І	Л

5 . І, нарешті, п'ята логічна операція над висловлюваннями називається еквівалентністю та позначається A ↔ B. Отримане таким чином висловлювання A ↔ Bє вислів правдивий тоді і тільки тоді, коли Aі Bобидва істинні або обидва помилкові.

Таблиця істинності для еквівалентності:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
І	І	І	І	І
І	Л	Л	І	Л
Л	І	І	Л	Л
Л	Л	І	І	І

У більшості мов програмування є спеціальні символи для позначення логічних значень висловлювань, записуються майже у всіх мовах як true (істина) і false (брехня).

Підсумуємо вищесказане. Логіка висловлювань вивчає зв'язки, які повністю визначаються тим, як одні висловлювання будуються з інших, званих елементарними. Елементарні висловлювання у своїй розглядаються як цілі, не розкладені частини.

Систематизуємо в таблиці нижче назви, позначення та зміст логічних операцій над висловлюваннями (вони нам незабаром знову знадобляться для вирішення прикладів).

Зв'язування	Позначення	Назва операції
не		заперечення
і		кон'юнкція
або		диз'юнкція
якщо то...		імплікація
тоді і тільки тоді		еквівалентність

Для логічних операцій вірні закони алгебри логікиякі можна використовувати для спрощення логічних виразів. При цьому слід зазначити, що в логіці висловлювань відволікаються від змістового висловлювання і обмежуються розглядом його з тієї позиції, що воно або істинно, чи хибно.

приклад 1.

1) (2 = 2) І (7 = 7);

2) Не (15;

3) ("Сосна" = "Дуб") АБО ("Вишня" = "Клен");

4) Не ("Сосна" = "Дуб");

5) (Не (15 20);

6) ("Очі дано, щоб бачити") І ("Під третім поверхом знаходиться другий поверх");

7) (6/2 = 3) АБО (7 * 5 = 20) .

1) Значення висловлювання у перших дужках дорівнює "істина", значення висловлювання у других дужках - також істина. Обидва висловлювання з'єднані логічної операцією " І " (дивимося правила цієї операції вище), тому логічне значення всього цього висловлювання - " істина " .

2) Значення висловлювання у дужках - "брехня". Перед цим цим висловлюванням стоїть логічна операція заперечення, тому логічне значення всього цього висловлювання - "істина".

3) Значення висловлювання у перших дужках - "брехня", значення висловлювання у других дужках - також "брехня". Висловлювання з'єднані логічною операцією "АБО" і жодне з висловлювань не має значення "істина". Тому логічне значення всього цього висловлювання - "брехня".

4) Значення висловлювання у дужках - "брехня". Перед цим висловлюванням стоїть логічна операція заперечення. Тому логічне значення всього цього висловлювання - "істина".

5) У перших дужках заперечується висловлювання у внутрішніх дужках. Цей вислів у внутрішніх дужках має значення "брехня", отже, його заперечення матиме логічне значення "істина". Висловлювання у других дужках має значення "брехня". Два цих висловлювання з'єднані логічною операцією "І", тобто виходить "істина І брехня". Отже, логічне значення всього цього висловлювання - "брехня".

6) Значення висловлювання у перших дужках - "істина", значення висловлювання у других дужках - також "істина". Два цих висловлювання з'єднані логічною операцією "І", тобто виходить "істина І істина". Отже, логічне значення всього цього висловлювання - "істина".

7) Значення висловлювання у перших дужках - "істина". Значення висловлювання у других дужках - "брехня". Два цих висловлювання з'єднані логічною операцією "АБО", тобто виходить "істина АБО брехня". Отже, логічне значення всього цього висловлювання - "істина".

приклад 2.Запишіть за допомогою логічних операцій такі складні висловлювання:

1) "Користувач не зареєстрований";

2) "Сьогодні неділя та деякі співробітники перебувають на роботі";

3) "Користувач зареєстрований тоді і лише тоді, коли надіслані користувачем дані визнані придатними".

1) p- одиночний вислів "Користувач зареєстрований", логічна операція: ;

2) p- одиночний вислів "Сегодня неділя", q- "Деякі співробітники перебувають у роботі", логічна операція: ;

3) p- одиночний вислів "Користувач зареєстрований", q- "Надіслані користувачем дані визнані придатними", логічна операція: .

Вирішити приклади на логіку висловлювань самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 3.Обчисліть логічні значення таких висловлювань:

1) ("У хвилині 70 секунд") АБО ("Годинник годинника показує час");

2) (28> 7) І (300/5 = 60);

3) ("Телевізор - електричний прилад") І ("Скло - дерево");

4) Не((300 > 100) АБО ("Спрагу можна вгамувати водою"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

приклад 4.Запишіть за допомогою логічних операцій такі складні висловлювання та обчисліть їх логічні значення:

1) "Якщо годинник неправильно показує час, то можна невчасно прийти на заняття";

2) "У дзеркалі можна побачити своє відображення і Париж – столиця США";

Приклад 5.Визначте логічне значення виразу

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Яблуко = Апельсин",

p = "0 = 9" ,

s= "Шапка покриває голову".

Формули логіки висловлювань

Поняття логічної форми складного висловлювання уточнюється з допомогою поняття формули логіки висловлювань .

У прикладах 1 та 2 ми вчилися записувати за допомогою логічних операцій складні висловлювання. Взагалі вони називаються формулами логіки висловлювань.

Для позначення висловлювань, як і згаданому прикладі, продовжуватимемо використовувати літери

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Ці літери відіграватимуть роль змінних, що приймають як значення істинні значення "істина" і "брехня". Ці змінні називаються також пропозиційними змінними. Ми будемо далі називати їх елементарними формулами або атомами .

Для побудови формул логіки висловлювань, крім зазначених вище літер, використовуються знаки логічних операцій.

~, ∧, ∨, →, ↔,

а також символи, що забезпечують можливість однозначного прочитання формул - ліва та права дужки.

Концепція формули логіки висловлювань визначимо так:

1) елементарні формули (атоми) є формулами логіки висловлювань;

2) якщо Aі B- формули логіки висловлювань, то ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) теж є формулами логіки висловлювань;

3) тільки ті вирази є формулами логіки висловлювань, для яких це випливає з 1) та 2).

Визначення формули логіки висловлювань містить перелік правил утворення цих формул. Відповідно до визначення, будь-яка формула логіки висловлювань або є атом, або утворюється з атомів у результаті послідовного застосування правила 2).

Приклад 6.Нехай p- одиночний вислів (атом) "Всі раціональні числа є дійсними", q- "Деякі дійсні числа - раціональні числа", r- "деякі раціональні числа є дійсними". Перекладіть у форму словесних висловлювань наступні формули логіки висловлювань:

6) .

1) "немає дійсних чисел, які є раціональними";

2) "якщо не всі раціональні числа є дійсними, то немає раціональних чисел, які є дійсними";

3) "якщо всі раціональні числа є дійсними, то деякі дійсні числа - раціональні числа та деякі раціональні числа є дійсними";

4) "всі дійсні числа - раціональні числа та деякі дійсні числа - раціональні числа та деякі раціональні числа є дійсними числами";

5) "всі раціональні числа є дійсними тоді і лише тоді, коли немає місце бути, що не всі раціональні числа є дійсними";

6) "не має місця бути, що не має місце бути, що не всі раціональні числа є дійсними і немає дійсних чисел, які є раціональними чи ні раціональних чисел, які є дійсними".

Приклад 7.Складіть таблицю істинності для формули логіки висловлювань , яку в таблиці можна позначити f .

Рішення. Складання таблиці істинності починаємо із запису значень ("істина" або "брехня") для одиночних висловлювань (атомів) p , qі r. Усі можливі значення записуються у вісім рядків таблиці. Далі, визначаючи значення операції імплікації, і просуваючись праворуч по таблиці, пам'ятаємо, що значення дорівнює "брехні" тоді, коли з "істини" випливає "брехня".

p	q	r					f
І	І	І	І	І	І	І	І
І	І	Л	І	І	І	Л	І
І	Л	І	І	Л	Л	Л	Л
І	Л	Л	І	Л	Л	І	І
Л	І	І	Л	І	Л	І	І
Л	І	Л	Л	І	Л	І	Л
Л	Л	І	І	І	І	І	І
Л	Л	Л	І	І	І	Л	І

Зауважимо, що жодний атом не має вигляду ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Такий вигляд мають складні формули.

Число дужок у формулах логіки висловлювань можна зменшити, якщо прийняти, що

1) у складній формулі опускатимемо зовнішню пару дужок;

2) упорядкуємо знаки логічних операцій "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

У цьому списку знак ↔ має найбільшу область дії, а знак ~ - найменшу. Під областю дії знака операції розуміються частини формули логіки висловлювань, яких застосовується (що діє) аналізоване входження цього знака. Таким чином, можна опускати у будь-якій формулі ті пари дужок, які можна відновити з огляду на "порядок старшинства". А при відновленні дужок спочатку розставляються всі дужки, що відносяться до всіх входжень знака ~ (при цьому ми просуваємося зліва направо), потім до всіх входжень ∧ і так далі.

Приклад 8.Відновіть дужки у формулі логіки висловлювань B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Рішення. Дужки відновлюються покроково наступним чином:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Не всяка формула логіки висловлювань може бути записана без дужок. Наприклад, у формулах А → (B → C) і ~ ( A → B) подальше виключення дужок неможливе.

Тавтології та протиріччя

Логічні тавтології (чи просто тавтології) - це такі формули логіки висловлювань, що й букви довільним чином замінити висловлюваннями (справжніми чи хибними), то результаті завжди вийде справжнє висловлювання.

Оскільки істинність чи хибність складних висловлювань залежить лише від значень, а чи не від змісту висловлювань, кожному у тому числі відповідає певна літера, то перевірку те, чи є це висловлювання тавтологією, можна підставити в такий спосіб. У досліджуваному вираженні місце літер підставляються значення 1 і 0 (відповідно " істина " і " брехня " ) всіма можливими способами і з використанням логічних операцій обчислюються логічні значення виразів. Якщо ці значення рівні 1, то досліджуване вираз є тавтологія, і якщо хоча б одна підстановка дає 0, це не тавтологія.

Таким чином, формула логіки висловлювань, яка набуває значення "істина" при будь-якому розподілі значень атомів, що входять до цієї формули, називається тотожно істинною формулою або тавтологією .

Протилежний сенс має логічну суперечність. Якщо всі значення висловлювань дорівнюють 0, то вираз є логічним протиріччям.

Таким чином, формула логіки висловлювань, яка набуває значення "брехня" при будь-якому розподілі значень атомів, що входять до цієї формули, називається тотожно хибною формулою або протиріччям .

Крім тавтологій і логічних протиріч існують такі формули логіки висловлювань, які є ні тавтологіями, ні протиріччями.

Приклад 9.Складіть таблицю істинності для формули логіки висловлювань і визначте, є вона тавтологією, протиріччям чи ні тим, ні іншим.

Рішення. Складаємо таблицю істинності:

І	І	І	І	І
І	Л	Л	Л	І
Л	І	Л	І	І
Л	Л	Л	Л	І

У значеннях імплікації не зустрічаємо рядок, у якому з "істини" випливає "брехня". Усі значення вихідного висловлювання дорівнюють "істині". Отже, ця формула логіки висловлювань є тавтологією.

Логіка, створена як наука Аристотелем (384-322 р. е.), протягом століть використовувалася у розвиток багатьох галузей знання, включаючи теологію, філософію, математику.

Вона - той фундамент, на якому збудовано всю будівлю математики. По суті, логіка — це наука про міркування, яка дозволяє визначити істинність чи хибність того чи іншого математичного твердження, виходячи із сукупності первинних припущень, які називають аксіомами. Логіка застосовується також в інформатиці для побудови комп'ютерних програм та доказів їх коректності. Поняття, методи та засоби логіки лежать в основі сучасних інформаційних технологій. Однією з основних цілей цієї роботи є викласти основи математичної логіки, показати, як вона використовується в інформатиці, і розробити методи аналізу та доказу математичних тверджень.

Логічні уявлення -опис досліджуваної системи, процесу, явища у вигляді сукупності складних висловлювань,складених з простих (елементарних) висловлюваньі логічних зв'язокміж ними. Логічні уявлення та їх складові характеризуються певними властивостями і набором допустимих перетворень над ними (операцій, правил виведення тощо), що реалізують розроблені у формальній (математичній) логіці правильні методи міркувань - закони логіки.

Поняття висловлювання

Висловлювання— це твердження чи оповідна пропозиція, про яку можна сказати, що вона істинна чи хибна. Іншими словами, твердження про істинність чи хибність висловлювання має мати сенс. Істинність чи хибність, що приписуються деякому твердженню, називаються його значенням істинності, або істинним значенням.

Наприклад, висловлювання Два на два чотириі Місто Челябінськ знаходиться в азіатській частині Росіїістинні, а висловлювання Три більше п'ятиі Річка Дон нині впадає у Каспійське морехибні, тому що не відповідають дійсності. Справжні висловлювання прийнято позначати T (true) або І (істина), а помилкові, відповідно, F (false) або Л (брехня). В інформатиці істинність прийнято позначати 1 (двійкова одиниця), а хибність - 0 (двійковий нуль).

Ось приклади речень, які не є висловлюваннями:

Хто ви?(Питання),

Прочитайте цей розділ до наступного заняття(наказ чи вигук),

Це твердження хибне(Внутрішньо суперечливе твердження),

Площа відрізка менша за довжину куба(Не можна сказати істинно цю пропозицію або хибно, тому що немає сенсу).

Ми позначатимемо висловлювання літерами латинського алфавіту р, q, r, Наприклад, рможе означати затвердження Завтра буде дощ, а q- Затвердження Квадрат цілого числа є позитивним..

Логічні зв'язки

У повсякденної промови освіти складного пропозиції з найпростіших застосовуються зв'язки — спеціальні частини промови, що з'єднують окремі пропозиції. Найчастіше використовуються зв'язки і, або, не, якщо ... то, тільки якщо, і тоді і тільки тоді. На відміну від повсякденного мовлення, у логіці зміст таких зв'язок має бути визначено однозначно. Істинність складного висловлювання однозначно визначається істинністю чи хибністю складових його частин. Висловлювання, що не містить зв'язок, називається простим. Висловлювання, що містить зв'язки, називається складним. Логічні зв'язки також називають логічними операціями над висловлюваннями.

Нехай рі qпозначають висловлювання

р: Джейн водить автомобіль,

q: У Боба русяве волосся.

Складне висловлювання

Джейн водить автомобіль і у Боба русяве волоссяскладається з двох частин, об'єднаних зв'язкою і. Цей вислів може бути символічно записаний у вигляді

де символ означає слово імовою символічних виразів. Вираз називається кон'юнкцією висловлювань рі q.

Зустрічаються також такі варіанти запису кон'юнкції:

Так само висловлювання

Джейн водить автомобіль або у Боба русяве волосся.

символічно виражається як

де означає слово абоу перекладі символічною мовою. Вираз називається диз'юнкцією висловлювань рі q.

Спростування, або заперечення висловлювання pпозначається через

Таким чином, якщо рє висловлювання Джейн водить автомобіль, то - це твердження Джейн не водить автомобіль.

Якщо rє висловлювання Джо подобається інформатика, то Джейн не водить автомобіль і у Боба русяве волосся або Джо любить інформатикусимволічно запишеться як

.

І навпаки, вираз

це символічна форма запису висловлювання Джейн водить автомобіль, у Боба волосся не русяве і Джо подобається інформатика.

Розглянемо вираз. Якщо хтось каже: " Джейн водить автомобіль і у Боба русяве волосся, то ми, природно, уявляємо собі Джейн за кермом автомобіля та русявого Боба. У будь-якій іншій ситуації (наприклад, якщо Боб не русоволосий або Джейн не водить автомобіль) ми скажемо, що той, хто говорить, не правий.

Можливі чотири випадки, які нам потрібно розглянути. Висловлювання рможе бути істинним ( Т) або хибним ( F) і незалежно від того, яке істинне значення набуває р, висловлювання qможе також бути істинним ( Т) або хибним ( F). Таблиця істинностіперераховує всі можливі комбінації істинності та хибності складних висловлювань.

Отже, кон'юнкція істинна тоді і тільки тоді, коли істинно обидва висловлювання pі q, тобто у випадку 1.

Так само розглянемо висловлювання Джейн водить автомобіль або у Боба русяве волосся, що символічно виражається як . Якщо хтось скаже: "Джейн водить автомобіль або у Боба русяве волосся", то він буде не правий тільки тоді, коли Джейн не зможе керувати автомобілем, а Боб не буде русявим. Для того щоб усі висловлювання були істинними, достатньо, щоб одна з двох складових його компонент була істинною. Тому має таблицю істинності

Диз'юнкція хибна тільки у випадку 4, коли обидва рі qхибні.

Таблиця істинності для заперечення має вигляд

Істиннісне значення завжди протилежне істинному значенню р. У таблицях істинності заперечення завжди оцінюється першим, якщо тільки за знаком заперечення не слідує висловлювання, укладене у дужки. Тому інтерпретується як , так що заперечення застосовується тільки до р. Якщо хочемо заперечувати всі висловлювання, це записується як .

Символи і називають бінарнимизв'язками, оскільки вони пов'язують два висловлювання. Символ ~ є унарноїзв'язкою, оскільки застосовується лише одного висловлюванню.

Ще одна бінарна зв'язка - це виключне або позначається через . Вислів істинний, коли істинний pабо qале не обидва одночасно. Ця зв'язка має таблицю істинності

Використовуючи слово або, ми можемо мати на увазі виключне або. Наприклад, коли ми говоримо, що р- або істина, або брехня, то, природно, припускаємо, що це не виконується одночасно. У логіці виключне абовикористовується досить рідко, і надалі ми, як правило, обходимося без нього.

Розглянемо висловлювання

,

де дужки використані, щоб показати, які саме висловлювання є компонентами кожного зв'язування.

Таблиця істинності дає можливість однозначно вказати ті ситуації, коли висловлювання є істинним; при цьому ми маємо бути впевнені, що враховано всі випадки. Оскільки складне висловлювання містить три основні висловлювання р, qі r, то можливі вісім випадків

Випадок	p	q	r
	T	T	T	F	F	T
	T	T	F	F	F	T
	T	F	T	T	T	T
	T	F	F	T	F	T
	F	T	T	F	F	F
	F	T	F	F	F	F
	F	F	T	T	T	T
	F	F	F	T	F	F

При знаходженні значень істинності для стовпця ми використовуємо стовпці для і r, і навіть таблицю істинності для . Таблиця істинності для показує, що висловлювання істинне лише в тому випадку, коли істинні обидва висловлювання і r. Це має місце лише у випадках 3 та 7.

Зауважимо, що при визначенні значень істинності для стовпця грає роль лише істинність висловлювань pта . Таблиця істинності для показує, що єдиний випадок, коли висловлювання, утворене за допомогою зв'язки або, Помилково, - це випадок, коли хибні обидві частини цього висловлювання. Така ситуація має місце лише у випадках 5, 6 та 8.

Інший, еквівалентний спосіб побудови таблиці істинності полягає в тому, щоб записувати істинні значення виразу під зв'язкою. Знову розглянемо вираз . Спочатку ми записуємо істинні значення під змінними р, qі r. Одиниці під стовпцями істиннісних значень вказують на те, що цим стовпцям істинні значення присвоюються в першу чергу. У випадку число під стовпцем буде показувати номер кроку, у якому проводяться обчислення відповідних істиннісних значень. Потім ми записуємо під символом ~ істинні значення висловлювання. Далі записуємо істинні значення під символом . Зрештою, записуємо значення висловлювання під символом.

Випадок	p	q	r	p		((~	q)		r
	T	T	T	T	T	F	T	F	T
	T	T	F	T	T	F	T	F	F
	T	F	T	T	T	T	F	T	T
	T	F	F	T	T	F	F	F	F
	F	T	T	F	F	F	T	F	T
	F	T	F	F	F	F	T	F	F
	F	F	T	F	T	T	F	T	T
	F	F	F	F	F	F	F	F	F

1.1.3. Умовні висловлювання

Припустимо, хтось стверджує, що й станеться одна подія, то станеться й інше. Припустимо, батько каже синові: " Якщо в цьому семестрі ти сдаси всі іспити на «відмінно», я куплю тобі машинуЗауважте, що вислів має вигляд: якщо р, то q, де р- Висловлювання У цьому семестрі ти складеш всі іспити на «відмінно», а q- Висловлювання Я куплю тобі машину. Складне висловлювання ми позначимо символічно через . Постає питання, за яких умов батько говорить правду? Припустимо, висловлювання рі qістинні. У цьому випадку щасливий студент отримує чудові оцінки з усіх предметів, і приємно здивований батько купує машину. Звичайно, ні в кого не викликає сумніву той факт, що висловлювання батька було справжнім. Однак є ще три інші випадки, які необхідно розглянути. Припустимо, студент справді домігся відмінних результатів, а батько не купив йому машину.

Найм'якше, що можна сказати про батька в такому разі, — те, що він збрехав. Отже, якщо рістинно, а qхибно, то хибно. Допустимо тепер, що студент не отримав позитивних оцінок, але батько купив йому машину. В цьому випадку батько постає дуже щедрим, але його ніяк не можна назвати брехуном. Отже, якщо рхибно і qістинно, то висловлювання якщо р, то q(Тобто) істинно. Нарешті, припустимо, що студент не досяг хороших результатів, і батько не купив йому машину.

Оскільки студент не виконав своєї частини угоди, батько теж вільний від зобов'язань. Таким чином, якщо рі qхибні, то вважається істинним. Отже, єдиний випадок, коли батько збрехав, це коли він дав обіцянку і не виконав її.

Таким чином, таблиця істинності для висловлювання має вигляд

Символ називається імплікацією, або умовним зв'язуванням.

Може здатися, що носить характер причинно-наслідкового зв'язку, але це не є необхідним. Щоб побачити відсутність причини та наслідки в імплікації, повернемося до прикладу, в якому рє висловлювання Джейн керує автомобілем, а q- Затвердження У Боба русяве волосся. Тоді висловлювання Якщо Джейн керує автомобілем, то у Боба русяве волоссязапишеться як

якщо p, то qабо як .

Те, що Джейн керує автомобілем, ніяк не пов'язано з тим, що Боб русявий. Однак слід пам'ятати, що істинність чи хибність бінарного складного висловлювання залежить лише від істинності складових його частин і не залежить від наявності чи відсутності між ними будь-якого зв'язку.

Розглянемо наступний приклад. Потрібно знайти таблицю істинності для вираження

.

Використовуючи таблицю істинності для наведену вище, побудуємо спочатку таблиці істинності для і , враховуючи, що імплікація хибна тільки у випадку, коли .

Тепер використовуємо таблицю для отримання для висловлювання

таблицю істинності

Випадок	p	q	r	(p		q)		(q		r)
	T	T	T	T	T	T	T	T	T	T
	T	T	F	T	T	T	F	T	F	F
	T	F	T	T	F	F	F	F	T	T
	T	F	F	T	F	F	F	F	T	F
	F	T	T	F	T	T	T	T	T	T
	F	T	F	F	T	T	F	T	T	F
	F	F	T	F	T	F	T	F	F	T
	F	F	F	F	T	F	T	F	T	F
							*

Вислів виду позначається через . Символ називається еквівалентністю. Еквіваленція також іноді позначається як (не слід плутати з унарною операцією заперечення).