Квадратні рівняння історія. Рівняння у Стародавньому Вавилоні

З історії виникнення квадратних рівнянь

Алгебра виникла у зв'язку з розв'язанням різноманітних завдань за допомогою рівнянь. Зазвичай у завданнях потрібно знайти одну чи кілька невідомих, знаючи у своїй результати деяких дій, зроблених над шуканими і цими величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. У алгебрі вивчаються загальні властивості процесів над величинами.

Деякі алгебраїчні прийоми розв'язування лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому Стародавньому Вавилоні.

Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й другого ступеня ще давнини була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок і із земляними роботами військового характеру, і навіть з недостатнім розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до нашої ери вавилоняни. Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівеньрозвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методирозв'язання квадратних рівнянь.

В «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, проте в ній міститься систематизований ряд завдань, що супроводжуються поясненнями та вирішуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одне з його завдань.

Завдання 2. «Знайти два числа, знаючи, що їхня сума дорівнює 20, а твір - 96».

Діофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що шукані числа не рівні, оскільки якби вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х. Інше ж менше, тобто 10 – х. Різниця з-поміж них 2х. Звідси рівняння:

(10+x)(10-x) =96,

Звідси х = 2. Одне з чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = - 2 для Діофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо вирішити це завдання, вибираючи як невідоме одне з шуканих чисел, можна дійти вирішення рівняння:

Зрозуміло, що, вибираючи як невідомий напіврізність шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання вирішення неповного квадратного рівняння.

Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком та астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений Брахмагупта (VII ст.) виклав загальне правилорозв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ax2 + bх = с, а>

У рівнянні (1) коефіцієнти можуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань таке: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людиназатьмарить славу в народних зборах, пропонуючи та вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскар.

Рішення Бхаскари свідчить про те, що автор знав про двозначність коренів квадратних рівнянь.

Відповідне завдання 3 рівняння:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 322, отримуючи потім:

x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі

В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:

1) «Квадрати дорівнюють корінням», тобто ах2 = bх.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах = с.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах2 + с = bх.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезмі, який уникав вживання негативних чиселчлени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на приватних числових прикладіввикладає правила рішення, та був їх геометричні докази.

Наведемо приклад.

Завдання 4. «Квадрат та число 21 дорівнюють 10 корінням. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х2 + 21 = 10х).

Рішення: розділи навпіл число коренів, отримаєш 5, помнож 5 саме на себе, від твору забери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат Аль-Хорезмі є першою книгою, що дійшла до нас, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

Квадратні рівняння у ЄвропіXII- XVIIв.

Форми розв'язання квадратних рівнянь на зразок Аль-Хорезмі у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебривирішення завдань і перший у Європі підійшов до запровадження негативних чисел.

Ця книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із цієї книги переходили майже до всіх європейських підручників XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків і коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі 1544 М. Штифелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння в загальному виглядіє у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, та негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосібрішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Витоки алгебраїчних методіввирішення практичних завдань пов'язані з наукою стародавнього світу. Як відомо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, що вирішуються єгипетськими, шумерськими, вавилонськими переписувачами-обчислювачами (XX-VI ст. до н. е.), мала розрахунковий характер. Проте вже тоді час від часу виникали завдання, в яких значення величини, що шукалося, задавалися деякими непрямими умовами, що вимагають, з нашої сучасної точкизору, складання рівняння чи системи рівнянь. Спочатку на вирішення таких завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавилонські обчислювачі вміли вирішувати завдання, що зводяться з погляду сучасної класифікаціїдо рівнянь другого ступеня. Було створено метод рішення текстових завдань, що послужив надалі основою виділення алгебраїчного компонента та її незалежного вивчення.

Це вивчення здійснювалося вже в іншу епоху спочатку арабськими математиками (VI-Х ст. н. е..), які виділили характерні дії, за допомогою яких рівняння наводилися до стандартного виглядуприведення подібних членів, перенесення членів з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. А потім європейськими математиками Відродження, в результаті тривалого пошуку створили мову сучасної алгебри, використання букв, введення символів арифметичних операцій, дужок і т. д. На рубежі XVI-XVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що має своїм предметом, методом, областями додатка, була сформована. Подальший її розвиток, аж до нашого часу, полягав у вдосконаленні методів, розширенні області додатків, уточненні понять та зв'язків їх із поняттями інших розділів математики.

Отже, зважаючи на важливість і широкість матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасною методикоюМатематика пов'язана з трьома головними областями свого виникнення та функціонування.

Для того, щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння, треба знати:

· Формулу знаходження дискримінанта;

· Формулу знаходження коренів квадратного рівняння;

· Алгоритми розв'язання рівнянь даного виду.

· Вирішувати неповні квадратні рівняння;

· Вирішувати повні квадратні рівняння;

· Вирішувати наведені квадратні рівняння;

· Знаходити помилки у вирішених рівняннях і виправляти їх;

· Робити перевірку.

Розв'язання кожного рівняння складається з двох основних частин:

· Перетворення даного рівняння до найпростіших;

· Розв'язання рівнянь з відомим правилам, формул або алгоритмів.

Узагальнення способів діяльності учнів під час вирішення квадратних рівнянь відбувається поступово. Можна виділити такі етапи щодо теми «Квадратні рівняння»:

І етап – «Рішення неповних квадратних рівнянь».

ІІ етап – «Рішення повних квадратних рівнянь».

III етап - "Рішення наведених квадратних рівнянь".

У першому етапі розглядаються неповні квадратні рівняння. Оскільки спочатку математики навчилися вирішувати неповні квадратні рівняння, оскільки цього не довелося, як кажуть, нічого винаходити. Це рівняння виду: ах2 = 0, ах2 + с = 0, де с≠ 0, ах2 + bх = 0, де b ≠ 0. Розглянемо розв'язання кількох таких рівнянь:

1. Якщо ах2 = 0. Рівняння такого виду вирішуються за алгоритмом:

1) знайти х2;

2) знайти х.

Наприклад, 5х2 = 0. Розділивши обидві частини рівняння на 5, виходить: х2 = 0, звідки х = 0.

2. Якщо ах2 + с = 0, с≠ 0 Рівняння цього виду вирішуються за алгоритмом:

1) перенести доданки в праву частину;

2) знайти всі числа, квадрати яких дорівнюють числу с.

Наприклад, х2 - 5 = 0,Це рівняння рівносильне рівнянню х2 = 5. Отже, треба знайти всі числа, квадрати яких дорівнюють числу 5..gif" width="16" height="19">..gif" width=" 16" height="19 src="> та інших коренів не має.

3. Якщо ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Рівняння такого виду вирішуються за алгоритмом:

1) перенести загальний множник за дужки;

2) знайти x1, x2.

Наприклад, х2 - 3х = 0. Перепишемо рівняння х2 - 3х = 0 у вигляді х (х - 3) = 0. Це рівняння має, очевидно, коріння x1 = 0, x2 = 3. Інших коренів воно не має, бо якщо в його підставити замість х будь-яке число, відмінне від нуля і 3, то в лівій частині рівняння х (х - 3) = 0 вийде число, що не дорівнює нулю.

Отже, ці приклади показують, як вирішуються неповні квадратні рівняння:

1) якщо рівняння має вигляд ах2 = 0, воно має один корінь х = 0;

2) якщо рівняння має вигляд ах2 + bх = 0, то використовується метод розкладання на множники: х(ах + b) = 0; значить, або х = 0, або ах + b = 0. gif width = "16" У випадку, коли -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, тобто - = m, де m>0, рівняння х2 = m має два корені

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (У цьому випадку допускається більш короткий запис = .

Таким чином, неповне квадратне рівняння може мати два корені, один корінь, жодного кореня.

З другого краю етапі здійснюється перехід до розв'язання повного квадратного рівняння. Це рівняння виду ах2 + bx + c = 0, де a, b, c – задані числа, а ≠ 0, х – невідоме.

Будь-яке повне квадратне рівняння можна перетворити на вигляд , для того, щоб визначати число коренів квадратного рівняння і знаходити це коріння. Розглядаються наступні випадкирозв'язання повних квадратних рівнянь: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Якщо D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Наприклад, 2х2 + 4х + 7 = 0. Рішення: тут а = 2, b = 4, с = 7.

D = b2 - 4ас = 42 - 4 * 2 * 7 = 16 - 56 = - 40.

Так як D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Якщо D = 0, квадратне рівняння ах2 + bx + c = 0 має один корінь, який знаходиться за формулою .

Наприклад, 4х - 20х + 25 = 0. Рішення: а = 4, b = - 20, с = 25.

D = b2 - 4ас = (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 = 0.

Оскільки D = 0, то дане рівняннямає один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою ..gif" width="100". width="445"

Складається алгоритм розв'язання рівняння виду ах2 + bx + c = 0.

1. Обчислити дискримінант D за такою формулою D = b2 – 4ас.

2. Якщо D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь, що знаходиться за формулою

4..gif" width="101" height="45">.

Це алгоритм універсальний, він застосовується як до неповних, так і до повних квадратних рівнянь. Однак неповні квадратні рівняння зазвичай за цим алгоритмом не вирішують.

Математики - люди практичні, економні, тому користуються формулою: (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, що має той же знак, що і D..gif" width="89" height="49"> то рівняння (3) має два корені ;

2) якщо те рівняння має два збігаються корені;

3) якщо то рівняння не має коріння.

Важливим моментом у вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта, яка затверджує наявність залежності між корінням та коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння.

Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, А добуток коренів дорівнює вільному члену.

Інакше висловлюючись, якщо x1 і x2 - коріння рівняння х2 +px + q = 0, то

Дані формули називають формулами Вієта на честь французького математика Ф. Вієта (), який ввів систему символів алгебри, розробив основи елементарної алгебри. Він був одним із перших, хто числа став позначати літерами, що суттєво розвинуло теорію рівнянь.

Наприклад, наведене рівняння х2 - 7х +10 = 0 має коріння 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Видно, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Справедлива також теорема, зворотна теоремаВієта.

Теорема, обернена до теореми Вієта. Якщо чисел x1, x2, p, q справедливі формули (5), то x1 і x2 - коріння рівняння х2 +px + q = 0 .

Теорема Вієта і теорема, обернена до неї, часто застосовуються при вирішенні різних завдань.

Наприклад. Напишемо наведене квадратне рівняння, корінням якого є числа 1 та -3.

За формулами Вієта

- p = x1 + x2 = - 2,

Отже, шукане рівняння має вигляд х2 + 2х - 3 = 0.

Складність освоєння теореми Вієта пов'язані з кількома обставинами. Насамперед, потрібно враховувати відмінність прямої та зворотної теореми. У прямій теоремі Вієта дано квадратне рівняння та його коріння; у зворотній - лише два числа, а квадратне рівняння з'являється у висновку теореми. Учні часто роблять помилку, обґрунтовуючи свої міркування невірним посиланням на пряму чи зворотну теорему Вієта.

Наприклад, при знаходженні коренів квадратного рівняння підбиранням посилатися потрібно на зворотну теорему Вієта, а не на пряму, як часто роблять учні. Для того, щоб поширити теореми Вієта на випадок нульового дискримінанта, доводиться домовитися, що в цьому випадку квадратне рівняння має два рівних кореня. Зручність такої угоди проявляється при розкладанні квадратного тричленана множники.

Головна > Доповідь

МОУ ЗОШ імені Героїв Радянського Союзу
Сотнікова А.Т. та Шепелєва Н. Г. с.Урицьке

Доповідь на тему:

"Історія виникнення

квадратних рівнянь»

Підготували:Ізотова Юлія,
Амплеєва Олена,
Шепелєв Микола,

Дяченко Юрій.

Про математику. У віках овіяна ти славою,

Світило всіх земних світил.

Тебе царицею величною

Недарма Гаус охрестив.

Сувора, логічна, велична,

Струнка в польоті, як стріла,

Твоя тьмяна слава

У століттях безсмертя набула.

Ми славимо розум людини,

Справи його чарівних рук,

Надію нинішнього століття,

Царицю всіх земних наук.

Розповісти ми сьогодні вам хочемо

Історію виникнення

Того, що кожен школяр має знати –

Історію квадратних рівнянь.

Евклід, у III століття до зв. е. відвів геометричній алгебріу «Початках» усю другу книгу, де зібрано весь необхідний матеріал на вирішення квадратних рівнянь.

Евклід (Eνκλειδηζ), давньогрецький математик, автор першого теоретичних трактатів з математики, що дійшли до нас.

Ведення про Евкліда вкрай убогі. Достовірним можна вважати лише те, що його наукова діяльністьпротікала в Олександрії III столітті до зв. е. Евклід – перший математик олександрійської школи. Його головна робота«Початки» (у латинізованій формі – «Елементи») містить виклад планіметрії, стереометрії та низки питань теорії чисел; в ній він підбив підсумок попереднього розвитку грецької математики і створив фундамент подальшого розвиткуматематики. Герон - Грецький математик та інженер вперше в Греції в I століття н.е. дає суто алгебраїчний спосіб розв'язання квадратного рівняння.

Герон Олександрійський; Heron, I ст. н. е., грецький механік та математик. Час його життя невизначений, відомо лише, що він цитував Архімеда (який помер у 212 р. до н. е.), його самого цитував Папп (бл. 300 р. н. е.). В даний час переважає думка, що він жив у І ст. н. е. Займався геометрією, механікою, гідростатикою, оптикою; винайшов прототип парової машини та точні нівелювальні інструменти. Найбільшою популярністю користувалися такі автомати Р., як автоматизований театр, фонтани та ін. Р. описав теодоліт, спираючись на закони статики та кінетики, навів опис важеля, блоку, гвинта, військових машин. В оптиці сформулював закони відображення світла, в математиці – способи вимірювання найважливіших геометричних фігур. Основні твориГ. - це Ієтрика, Пневматика, Автоматопоетика, Механіка (фр.; твір зберігся цілком арабською), Катоптика (наука про дзеркала; збереглася тільки в латинському перекладі) та ін Г. використовував досягнення своїх попередників: Евкліда, Архімеда, Стратона з Лампсака. Його стиль простий і ясний, хоча подекуди буває надто лаконічний чи небудований. Інтерес до творів Р. виник III в. н. е. Грецькі, а потім візантійські та арабські учні коментували та перекладали його твори.

Діофант- грецький вчений у III століття н.е., не вдаючись до геометрії, суто алгебраїчним шляхом вирішував деякі квадратні рівняння, причому саме рівняння та його рішення записував у символічній формі

«Я розповім вам, як складав і вирішував квадратні рівняння грецький математик Діофант. Ось, наприклад, одне з його завдань:«Знайти два числа, знаючи, що й сума дорівнює 20, які твір 96».

1. З умови завдання випливає, що числа не рівні, т.к. якби вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100.

2. Т.о. одне їх буде більше половини їх суми, тобто. 10 + x, інше менше, тобто. 10 - х.

3. Різниця між ними 2х.

4. Звідси рівняння (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - х 2 = 96 х 2 - 4 = 0

5. Відповідь x = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12,
інше – 8. Рішення x = - 2 для Діофанта немає, т.к. грецька математика знала лише позитивні числа. Діофант умів вирішувати дуже складні рівняння, застосовував для невідомих буквене позначення, ввів спеціальний символ для обчислення, використовував скорочення слів. Бхаскаре - Акаріа- Індійський математик у XII століття н.е. відкрив загальний метод розв'язання квадратних рівнянь.

Розберемо одне із завдань індійських математиків, наприклад, завдання Бхаскари:

«Зграя мавп бавиться: восьма частина всього числа їх у квадраті грається в лісі, решта дванадцять кричать на вершині пагорба. Скажіть мені, скільки всіх мавп?

Коментуючи задачу, хочеться сказати, що задачі відповідає рівняння (х/8) 2 + 12 = x. Бхаскар пише під виглядом x 2 - 64х = - 768. Додаючи до обох частин квадрат 32, рівняння набуде вигляду:

x 2 - 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Після вилучення квадратного кореняотримуємо: x - 32 = 16.

«В даному випадку, каже Бхаскара, - негативні одиниці першої частини такі, що одиниці другої частини менше їх, тому останні можна вважати і позитивними і негативними, і отримуємо подвійне значенняневідомого: 48 та 16».

Необхідно зробити висновок: рішення Бхаскар свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь.

Пропонується вирішити старовинне індійське завдання Бхаскари:

«Квадрат п'ятої частини мавп, зменшений на три, сховався у гроті, одна мавпа влізла на дерево, було видно. Скільки було мавп? Слід зауважити, що дане завданнявирішується елементарно, зводячи до квадратного рівняння.

Аль – Хорезмі - арабський вчений, який у 825 р. написав книгу «Книга про відновлення та протиставлення». Це був перший у світі підручник алгебри. Він також дав шість видів квадратних рівнянь і для кожного з шести рівнянь у словесній формісформулював особливе правило його рішення. У трактаті Хорезмі налічує 6 видів рівнянь, виражаючи їх так:

1. «Квадрати рівні коріння», тобто. ах 2 = вх.

2. «Квадрати дорівнюють числу», тобто. ах 2 = с.

3.«Коріння рівні числу», тобто. ах = с.

4. «Квадрати та числа рівні коріння», тобто. ах 2 + с = вх.

5. «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто. ах 2 + вх = с.

6.«Коріння і числа дорівнюють квадратам», тобто. вх + с = ах 2 .

Розберемо задачу аль – Хорезмі, яка зводиться до розв'язання квадратного рівняння. «Квадрат і число дорівнюють корінням.» Наприклад, один квадрат і число 21 дорівнюють 10 коріння того ж квадрата, тобто. питається, з чого утворюється квадрат, який після додавання до нього 21 стає рівним 10 коріння того ж квадрата?»

І використовуючи 4-у формулу аль - Хорезмі, учні повинні записати: х 2 + 21 = 10х

Франсуа Вієт - французький мате-матик, сформулював та довів теорему про суму та добуток коренів наведеного квадратного рівняння.

Мистецтво, яке я викладаю, нове чи принаймні було настільки зіпсоване часом спотворене впливом варварів, що я вважав за потрібне надати йому зовсім нового вигляду.

Франсуа Вієт

Ієт Франсуа (1540-13.12. 1603) народився у місті Фонтене ле-Конт провінції Пуату, недалеко від знаменитої фортеціЛа-Ро-шель. Отримавши юридична освіта, він з дев'ятнадцяти років успішно займався адвокатською практикою в рідному місті. Як адвокат Вієт користувався у населення авторитетом та повагою. Він був широко освіченою людиною. Знав астрономію та математику і все вільний часвіддавав цим наукам.

Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори класиків Архімеда та Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомбеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не тільки захоплювали, в них він бачив велику ваду, що полягає в труднощі розуміння через словесну символіку: Майже всі дії та знаки записувалися словами, не було натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємося. Не можна було записувати і, отже, розпочати у загальному вигляді алгебраїчні порівняння чи якісь інші алгебраїчні вирази. Кожен вид рівняння з числовими коефіцієнтами вирішувався за особливому правилу. Тому необхідно було довести, що існують такі спільні діїнад усіма числами, які від цих чисел не залежать. Вієт і його послідовники встанови, що не має значення, чи буде кількість кількості предметів, що розглядається, або довжиною відрізка. Головне, що з цими числами можна робити алгебраїчні дії і в результаті знову отримувати числа того ж таки роду. Отже, їх можна позначати будь-якими абстрактними знаками. Вієт це і зробив. Він лише ввів своє буквене числення, але зробив принципово нове відкриттів, поставивши собі за мету вивчати не числа, а події з них. Такий спосіб запису дозволив Вієту зробити важливі відкриттяпри вивченні загальних властивостей алгебраїчних рівнянь. Невипадково за це Вієта називають "батьком" алгебри, основоположником буквеної символіки.

Інформаційні ресурси:

http :// som. fio. ru/ Resources/ Karpuhina/2003/12/ Complited%20 work/ Concert/ index1. htm

http :// pages. marsu. ru/ iac/ school/ s4/ page74. html

З історії квадратних рівнянь Автор: 9 «А», що навчається, класу Радченко Світлана Керівник: Алабугіна І.А. вчитель математики МБОУ “ЗОШ №5 м.Гур'євська” Кемеровської області Предметна область презентації: математика Виконана на допомогу вчителю Всього 20 слайдів Зміст Вступ…………………………………………………………… ……………3 З виникнення квадратних рівнянь Квадратні рівняння в Стародавньому Вавилоні………………………………….4 Квадратні рівняння в Індії……………………………………… ………...5 Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі…………………………………………6 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння……………………..... 7 Квадратні рівняння в Європі Xll – XVll ст.………………………………...8 3. Квадратні рівняння в наші дні…………………………………………… .10 Методика вивчення квадратних рівнянь……………………………………11 10 способів розв'язання квадратних рівнянь………………………………….12 Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь………… ………………13 Алгоритм розв'язання повного квадратного рівняння…………………………..14 Рішення наведених квадратних рівнянь…………………………………15 4.Практичні застосування квадратних рівнянь для розв'язання прикладних завдань…………………………………………………………………………………….16 5.Укладання. …………………………………………………………………………18 1. 2. 6.Список використовуваної литературы……………………………… …………….19 2 Вступ Вважати нещасним той день чи ту годину, коли ти не засвоїв нічого нового, нічого не додав до своєї освіти. Ян Амос Коменський 3 Квадратні рівняння - це фундамент, на якому лежить велична будівля алгебри. Вони широко застосовуються при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних та трансцендентних рівнянь та нерівностей. Квадратні рівняння у шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На вивчення відводиться багато часу шкільного курсу математики. В основному квадратні рівняння служать конкретним практичним цілям. Більшість завдань про просторові форми та кількісні відносиниреального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь, зокрема квадратних. Оволодіваючи способами їх вирішення, люди знаходять відповіді різні питання з науки і техніки. З історії виникнення квадратних рівнянь Стародавній Вавилон: вже приблизно за 2000 років до нашої ери вавилоняни знали, як вирішувати квадратні рівняння. Були відомі способи розв'язання як повних, і неповних квадратних рівнянь. Наприклад, у Стародавньому Вавилоні, вирішували такі квадратні рівняння: 4 Індія Завдання, що вирішуються за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії "Аріабхаттіам", написаному індійським астрономом та математиком Аріабхатою в 499 році нашої ери. Іншим індійським вченим, Брахмагуптою, було викладено універсальне правило розв'язання квадратного рівняння, приведеного до канонічного виду: ax2 + bx = c; до того ж передбачалося, що у ньому всі коефіцієнти, крім «a» може бути негативними. Сформульоване вченим правило за своєю суттю збігається із сучасним. 5 Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі: В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так: «Квадрати рівні корінням», тобто. ах2 = bх.; «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с; «Коріння рівні числу», тобто ах = с; «Квадрати та числа рівні коріння», тобто. ах2 + с = bх; «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с; «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с = ах2. 6 Як складав і вирішував Діофант квадратні рівняння: Одним із своєрідних давньогрецьких математиків був Діофант Олександрійський. До цього часу не з'ясовано ні рік народження, ні дата смерті Діофанта; вважають, що він жив у ІІІ ст. н.е. З робіт Діофанта найважливішою є “Арифметика”, з 13 книжок якої лише 6 збереглися донині. В “Арифметиці” Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься ряд завдань, що супроводжуються поясненнями та розв'язуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів. При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі. 7 Квадратні рівняння в Європі XII-XVII ст.: Італійський математик Леонард Фібоначчі розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків і коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі в 1544 Міхаелем Штіфелем. 8 Франсуа Вієт Французький математик Ф. Вієт (1540-1603), ввів систему алгебраїчних символів, розробив основи елементарної алгебри. Він був одним із перших, хто числа став позначати літерами, що суттєво розвинуло теорію рівнянь. Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. 9 Квадратні рівняння в наші дні Вміння розв'язувати квадратні рівняння є базою для вирішення інших рівнянь та їх систем. Навчання вирішення рівнянь починається з найпростіших їх видів, і програма зумовлює поступове накопичення як їх видів, так і «фонду» тотожних і рівносильних перетворень, за допомогою яких можна навести довільне рівняння до найпростіших. У цьому напрямку слід будувати і процес формування узагальнених прийомів розв'язування рівнянь шкільному курсіалгебри. У курсі математики старших класів учні стикаються з новими класами рівнянь, систем або поглибленим вивченнямвже відомих рівнянь 10 Методика вивчення квадратних рівнянь З початком вивчення систематичного курсу алгебри основна увага приділяється способам розв'язання квадратних рівнянь, які стають спеціальним об'єктом вивчення. Для цієї теми характерна велика глибина викладу та багатство встановлюваних за її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обґрунтованість викладу. Тому вона займає виняткове становище у лінії рівнянь та нерівностей. Важливим моментом у вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта, яка затверджує наявність залежності між корінням та коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння. Складність освоєння теореми Вієта пов'язані з кількома обставинами. Насамперед, потрібно враховувати відмінність прямої та зворотної теореми. 11 10 способів розв'язання квадратних рівнянь: Розкладання лівої частини рівняння на множники. Метод виділення повного квадрата. Розв'язання квадратних рівнянь за формулою. Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта. Розв'язання рівнянь способом «перекидання» Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння. Графічний розв'язок квадратного рівняння. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою циркуля та лінійки. 12 Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми. Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь 1) якщо рівняння має вигляд ах2 = 0, воно має один корінь х = 0; 2) якщо рівняння має вигляд ах2 + bх = 0, то використовується метод розкладання на множники: х(ах + b) = 0; отже, або х = 0, або ах + b = 0. У результаті виходить два корені: x1 = 0; x2 = 3) якщо рівняння має вигляд ах2 + с = 0, його перетворять до виду ах2 = - з і далі х2.= У разі, коли -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, тобто. - = m де m>0, рівняння х2 = m має два корені Таким чином, неповне квадратне рівняння може мати два корені, один корінь, жодного кореня. 13 Алгоритм розв'язання повного квадратного рівняння. Це рівняння виду ах2 + bx + c = 0 де a, b, c – задані числа, а ≠ 0, х – невідоме. Будь-яке повне квадратне рівняння можна перетворити на вигляд, щоб визначати число коренів квадратного рівняння і знаходити це коріння. Розглядаються такі випадки розв'язання повних квадратних рівнянь: D< 0, D = 0, D >0. 1. Якщо D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, то квадратне рівняння ах2 + bx + c = 0 має два корені, що знаходяться за формулами: ; 14 Рішення наведених квадратних рівнянь Теорема Ф.Вієта: Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. Інакше висловлюючись, якщо x1 і x2 - коріння рівняння х2 +px + q = 0, то x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Теорема обернена до теореми Вієта: Якщо для чисел x1, x2, p, q справедливі формули (*), то x1 і x2 - корені рівняння х2 +px + q = 0. 15 Практичні застосування квадратних рівнянь для вирішення прикладних завдань Бхаскара ( 1114-1185) - найбільший індійський математик та астроном XII століття. Очолював астрономічну обсерваторію в Удджайні. Бхаскара написав трактат «Сіддханта-широмані» («Венок вчення»), що складається з чотирьох частин: «Лілаваті» присвячена арифметиці, «Біждаганіта» – алгебрі, «Голадхайя» – сфериці, «Гранхаганіта» – теорії планетних рухів. Бхаскара отримував негативне коріння рівнянь, хоча й сумнівався у тому значимості. Йому належить один із найраніших проектів вічного двигуна. 16 Одне із завдань знаменитого індійського математика XIIв. Рішення Бхаскари свідчить про те, що автор знав про двозначність коренів квадратних рівнянь. 17 Висновок Розвиток науки про розв'язання квадратних рівнянь пройшов довгий і тернистий шлях. Тільки після праць Штифеля, Вієта, Тартальї, Кардано, Бомбеллі, Жірара, Декарта, Ньютона наука про розв'язання квадратних рівнянь набула сучасного вигляду. Значення квадратних рівнянь полягає у витонченості і стислості розв'язання завдань, хоча це дуже істотно. Не менш важливо і те, що в результаті застосування квадратних рівнянь при вирішенні завдань нерідко виявляються нові деталі, вдається зробити цікаві узагальнення та внести уточнення, які підказуються аналізом отриманих формул та співвідношень. Вивчаючи літературу та Інтернет ресурси, пов'язані з історією розвитку квадратних рівнянь, я запитувала себе: «Що ж рухало вчених, які жили в такий непростий час, займатися наукою навіть під загрозою смерті?». Напевно, насамперед це – допитливість людського розуму, яка є ключем до розвитку науки. Питання про сутність Миру, про місце людини в цьому світі не дають спокою в усі часи людям мислячим, допитливим, розумним. Зрозуміти себе, своє місце у світі люди прагнули за всіх часів. Загляньте і Ви в себе, може, страждає Ваша природна допитливість, тому що Ви поступилися повсякденністю, лінощами? Долі багатьох учених – 18 прикладів для наслідування. Не всі імена добре відомі та популярні. Подумайте: який я для оточуючих мене близьких людей? Але найголовніше - як я сам до себе ставлюся, чи гідний поваги? Подумайте звідси… Список литературы 1. Звавич Л.І. "Алгебра 8 клас", М., 2002. 2. Савін Ю.П. “ Енциклопедичний словникюного математика”, М., 1985. 3. Ю.Н.Макаричів “Алгебра 8 клас”, М, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Дякую за увагу 20

З історії квадратних рівнянь.

а) Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з знаходженням площ земельних ділянокі з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н. вавилоняни. Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

х 2 + х = , х 2 - х = 14

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

В «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, проте в ній міститься систематизований ряд завдань, що супроводжуються поясненнями та розв'язуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одне з його завдань.

Завдання 2. «Знайти два числа, знаючи, що їхня сума дорівнює 20, а твір - 96».

Діофант міркує так: з умови завдання випливає, що шукані числа не рівні, оскільки якби вони були рівні , то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х. Інше ж менше, тобто 10 – х. Різниця з-поміж них 2х. Звідси рівняння:

(10+x)(10-x) =96,

або ж

100 -x2 = 96.

Якщо розв'язати це завдання, вибираючи як невідоме одне з шуканих чисел , можна дійти вирішення рівняння:

Зрозуміло, що, вибираючи як невідомий напіврізність шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання вирішення неповного квадратного рівняння.
б) Квадратні рівняння Індії.

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком та астрономом Аріабахаттою. Інший індійський вчений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми

ах 2 + bх = с, а > 0

У рівнянні коефіцієнти, крім аможуть бути негативними. Правило Брахмагупта сутнісно збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людина затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскар.

Завдання 3.

Рішення Бхаскари свідчить про те, що автор знав про двозначність коренів квадратних рівнянь.

Відповідне завдання 3 рівняння:

Бхаскар пише під виглядом:

x 2 - 64x = - 768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:

x 2 - б4х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

x1=16, x2=48.

в) Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі

"Квадрати рівні корінням", тобто ах 2 = bх.
«Квадрати дорівнюють числу», тобто ах 2 = с.
«Коріння рівні числу», тобто ах = с.
«Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах 2 + с = bх.
«Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах 2 + bх = с.
«Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах 2 .

Для Аль-Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.

Наведемо приклад.

г) Квадратні рівняння в Європі XIII-XVIIст.

Формули розв'язання квадратних рівнянь на зразок ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. Італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Ця об'ємна праця, в якій відображено вплив математики як країн ісламу, так і Стародавню Грецію, Відзначається і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із «Книги абака» переходили майже до всіх європейських підручників XVI-XVII ст. та частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду

х 2 + bх = с,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b, збуло сформульовано у Європі лише 1544 р. М.Штифелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. Враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. завдяки працям Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Витоки методів алгебри вирішення практичних завдань пов'язані з наукою древнього світу. Як відомо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, вирішуваних єгипетськими, шумерськими, вавилонськими переписувачами-обчислювачами (XX-VI ст. до н.е.), мала розрахунковий характер. Проте вже тоді іноді виникали завдання, у яких шукане значення величини ставилося деякими непрямими умовами, що вимагають, з нашого сучасного погляду , складання рівняння чи системи рівнянь. Спочатку на вирішення таких завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавилонські обчислювачі вміли вирішувати завдання, що зводяться з погляду сучасної класифікації до рівнянь другого ступеня. Було створено метод розв'язання текстових завдань, який послужив надалі основою виділення алгебраїчного компонента та її незалежного вивчення.

Це вивчення здійснювалося вже в іншу епоху спочатку арабськими математиками (VI-Х ст. н. е.), які виділили характерні дії, за допомогою яких рівняння приводилися до стандартного виду приведення подібних членів, перенесення членів з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. А потім європейськими математиками Відродження, в результаті тривалого пошуку створили мову сучасної алгебри, використання букв, введення символів арифметичних операцій, дужок і т. д. На рубежі XVI-XVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що має своїм предметом, методом, областями докладання, була сформована. Подальший її розвиток, аж до нашого часу, полягав у вдосконаленні методів, розширенні області додатків, уточненні понять та зв'язків їх із поняттями інших розділів математики.

Отже, зважаючи на важливість та широкість матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики пов'язане з трьома головними областями свого виникнення та функціонування.

Історія розвитку розв'язків квадратних рівнянь

Арістотель

Д.І.Менделєєв

Знайти сторони поля, що має форму прямокутника, якщо його площа 12 , а

Розглянемо це завдання.

Нехай х – довжина поля, тоді – його ширина,
- Його площа.
Складемо квадратне рівняння:
У папірусі дано правило його рішення: «Розділимо 12 на».
12: .
Отже, .
"Довжина поля дорівнює 4", - зазначено в папірусі.

Наведене квадратне рівняння
де – будь-які дійсні числа.

В одному з вавилонських завдань так само потрібно було визначити довжину прямокутного поля (позначимо її) та його ширину ().

Склавши довжину та дві ширини прямокутного поля, отримаєш 14, а площа поля 24. Знайти його сторони.

Складемо систему рівнянь:

Звідси одержуємо квадратне рівняння.

Для його вирішення додамо до виразу кілька,

Щоб отримати повний квадрат:

Отже, .

Взагалі ж квадратне рівняння

Має два корені:

ДІОФАНТ
Давньогрецький математик, який жив приблизно в III столітті до н. е. Автор «Арифметики» - книги, присвяченої вирішенню рівнянь алгебри.
Нині під «діофантовими рівняннями» зазвичай розуміють рівняння з цілими коефіцієнтами, розв'язання яких потрібно знайти серед цілих чисел. Діофант також одним із перших розвивав математичні позначення.

«Знайдіть два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток 96».

Одне з чисел буде більше половини їх суми, тобто 10+, інше менше, тобто 10-.

Звідси рівняння () () = 96

Наведемо одне із завдань знаменитого

індійського математика XII століття Бхаскари:

Мавп швидких зграя

Насолоду поївши, розважалася.

Їх у квадраті частина восьма

На галявині бавилася.

А дванадцять по ліанах.

Стали стрибати, повисаючи.

Скільки ж було мавп,

Ти скажи мені в цій зграї?

Рішення Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь.
Відповідне рішення рівняння

Бхаскар записує у вигляді і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додаємо до обох частин 32 2 , отримуючи

«АЛЬ-ДЖЕБР» - ВІДНОВЛЕННЯМ - АЛЬ-ХОРЕЗМІ НАЗИВАВ ОПЕРАЦІЮ ВИКЛЮЧЕННЯ З ОБИХ ЧАСТИН РІВНЯННЯ НЕГАТИВНИХ ЧЛЕНІВ ШЛЯХОМ ДОДАВАННЯ РІВНИХ ЧЛЕНІВ, АЛЕ ПРО.

«АЛЬ-МУКАБАЛА» – ПРОТИПОСТАЧАННЯ – СКОРОЧЕННЯ У ЧАСТИНАХ РІВНЯННЯ ОДИННИХ ЧЛЕНІВ.

ПРАВИЛО «АЛЬ-ДЖЕБР»

ПРИ РІШЕННІ РІВНЯННЯ

ЯКЩО В ЧАСТИНІ ОДНІЙ,

байдуже ЯКИЙ,

ЗУСТРІЧАТЬСЯ ЧЛЕН НЕГАТИВНИЙ,

Ми до обох частин

РІВНИЙ ЧЛЕН ПРИДАДИМО,

ТІЛЬКИ З ЗНАКОМ ІНШИМ,

І ЗНАЙДЕМО РЕЗУЛЬТАТ ПОЗИТИВНИЙ.

1) квадрати дорівнюють корінням, тобто;

2) квадрати дорівнюють числу, тобто;

3) коріння дорівнюють числу, тобто;

4) квадрати і числа рівні коріння, тобто;

5) квадрати і коріння дорівнюють числу, тобто;

6) коріння та числа дорівнюють квадратам, тобто .

Завдання . Квадрат і число 21 дорівнюють 10 корінням. Знайти коріння.

Рішення. Розділимо навпіл число коренів – отримаєш 5, помнож 5 на себе,

від твору забери 21, залишиться 4.

Витягни корінь із 4 – отримаєш 2.

Забери 2 від 5 - отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або додай до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Фібоначчі народився в італійському торговому центрімісті Піза, імовірно у 1170-ті роки. . У 1192 році він був призначений представляти пізанську торгову колонію Північній Африці. За бажанням батька, він переїхав до Алжиру і вивчав там математику. В 1200 Леонардо повернувся в Пізу і взявся за написання своєї першої праці «Книги абака» [ . За словами історика математики А. П. Юшкевича Книга абака“ різко височить над європейською арифметико-алгебраїчною літературою XII-XIV століть різноманітністю та силою методів, багатством завдань, доказовістю викладу… Наступні математики широко черпали з неї як завдання, так і прийоми їх вирішення ».

Побудуємо графік функції

Графіком є парабола, гілки якої спрямовані вгору, оскільки

2) Координати вершини параболи

У. Соейр говорив :

«Людині, яка вивчає алгебру, часто корисніше вирішувати одне і те ж завдання трьома у різний спосіб, чим вирішувати три-чотири різні завдання. Вирішуючи одне завдання різними методами, можна шляхом порівнянь з'ясувати, який із них коротший і ефективніший. Так виробляється досвід».

«Місто – єдність не схожих»

Арістотель

«Число виражене десятковим знаком, прочитає і німець, і російська, і араб, і янкі однаково»