Метод елементарних перетворень знаходження рангу. Теореми про базисний мінор і ранг матриці

Для роботи з поняттям рангу матриці нам знадобляться відомості з теми "Алгебраїчні доповнення та мінори. Види мінорів та алгебраїчних доповнень". Насамперед це стосується терміна "мінор матриці", так як ранг матриці визначатимемо саме через мінори.

Рангом матриціназивають максимальний порядок її мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю.

Еквівалентні матриці- матриці, ранги яких рівні між собою.

Пояснимо докладніше. Допустимо, серед мінорів другого порядку є хоча б один, відмінний від нуля. А всі мінори, порядок яких вищий за два, дорівнюють нулю. Висновок: ранг матриці дорівнює 2. Або, наприклад, серед мінорів десятого порядку є хоч один, не рівний нулю. А всі мінори, порядок яких вищий за 10, дорівнюють нулю. Висновок: ранг матриці дорівнює 10.

Позначається ранг матриці $A$ так: $\rang A$ або $r(A)$. Ранг нульової матриці $ O $ вважають рівним нулю, $ R O = 0 $. Нагадаю, що для утворення мінора матриці потрібно викреслювати рядки та стовпці, проте викреслити рядків і стовпців більше, ніж містить сама матриця, неможливо. Наприклад, якщо матриця $ F $ має розмір $ 5 \ times 4 $ (тобто містить 5 рядків і 4 стовпці), то максимальний порядок її мінорів дорівнює чотирьом. Мінори п'ятого порядку утворити вже не вдасться, тому що для них буде потрібно 5 стовпців (а у нас всього 4). Це означає, що ранг матриці $F$ може бути більше чотирьох, тобто. $\rang F≤4$.

У більш загальної формивищевикладене означає, що й матриця містить $m$ рядків і $n$ стовпців, її ранг неспроможна перевищувати найменшого з чисел $m$ і $n$, тобто. $\rang A≤\min(m,n)$.

У принципі, із самого визначення рангу випливає метод його знаходження. Процес знаходження рангу матриці за визначенням можна схематично уявити так:

Поясню цю схему докладніше. Почнемо міркувати від початку, тобто. із мінорів першого порядку деякої матриці $A$.

1. Якщо всі мінори першого порядку (тобто елементи матриці $A$) дорівнюють нулю, то $rang A=0$. Якщо серед мінорів першого порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 1 $. Переходимо до перевірки мінорів другого порядку.
2. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 1 $. Якщо серед мінорів другого порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 2 $. Переходимо до перевірки мінорів третього порядку.
3. Якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 2 $. Якщо серед мінорів третього порядку є хоча б один, не рівний нулю, то $ Rang A ≥ 3 $. Переходимо до перевірки мінорів четвертого порядку.
4. Якщо всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то $ Rang A = 3 $. Якщо серед мінорів четвертого порядку є хоч один, не рівний нулю, то $rang A≥ 4$. Переходимо до перевірки мінорів п'ятого порядку і таке інше.

Що чекає на нас наприкінці цієї процедури? Можливо, що серед мінорів k-го порядку знайдеться хоч один, відмінний від нуля, а всі мінори (k+1)-го порядку дорівнюватимуть нулю. Це означає, що k - максимальний порядок мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю, тобто. ранг дорівнюватиме k. Можливо, інша ситуація: серед мінорів k-го порядку буде хоч один не рівний нулю, а мінори (k+1)-го порядку утворити вже не вдасться. І тут ранг матриці також дорівнює k. Коротше кажучи, порядок останнього складеного ненульового мінору і дорівнюватиме рангу матриці.

Перейдемо до прикладів, у яких процес перебування рангу матриці за визначенням буде проілюстровано наочно. Ще раз підкреслю, що у прикладах цієї теми ми знаходимо ранг матриць, використовуючи лише визначення рангу. Інші методи (обчислення рангу матриці методом обрамляють мінорів, обчислення рангу матриці методом елементарних перетворень) розглянуті в наступних темах.

До речі, зовсім не обов'язково розпочинати процедуру знаходження рангу з мінорів найменшого порядку, як це зроблено у прикладах №1 та №2. Можна відразу перейти до мінорів вищих порядків (див. приклад №3).

Приклад №1

Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Ця матриця має розмір $3\times 5$, тобто. містить три рядки та п'ять стовпців. З чисел 3 та 5 мінімальним є 3, тому ранг матриці $A$ не більше 3, тобто. $\rang A≤3$. І ця нерівність очевидна, тому що мінори четвертого порядку утворити ми вже не зможемо, – для них потрібно 4 рядки, а у нас всього 3. Перейдемо безпосередньо до процесу знаходження рангу заданої матриці.

Серед мінорів першого порядку (тобто серед елементів матриці $A$) є ненульові. Наприклад, 5, -3, 2, 7. Взагалі нас не цікавить Загальна кількістьненульових елементів. Є хоча б один не рівний нулю елемент – і цього достатньо. Так як серед мінорів першого порядку є хоча б один, відмінний від нуля, то робимо висновок, що $ Rang A ≥ 1 $ і переходимо до перевірки мінорів другого порядку.

Почнемо досліджувати мінори другого порядку. Наприклад, на перетині рядків №1, №2 та стовпців №1, №4 розташовані елементи такого мінору: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right| $. У цього визначника всі елементи другого стовпця дорівнюють нулю, тому сам визначник дорівнює нулю, тобто. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \7 & 0 \end(array) \right|=0$ (див. властивість №3 у темі властивості визначників). Або ж можна банально обчислити цей визначник, використовуючи формулу №1 з розділу з обчислення визначників другого та третього порядків:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Перший перевірений нами мінор другого порядку дорівнював нулю. Що це говорить? Про те, що треба далі перевіряти мінори другого порядку. Або вони всі виявляться нульовими (і тоді ранг дорівнюватиме 1), або серед них знайдеться хоча б один мінор, відмінний від нуля. Спробуємо здійснити більш вдалий вибір, записавши мінор другого порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №2 та стовпців №1 та №5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 7 & 3 \end(array) \right|$. Знайдемо значення цього мінору другого порядку:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Цей мінор не дорівнює нулю. Висновок: серед мінорів другого порядку є хоча б один, відмінний від нуля. Отже $ rang A≥ 2 $. Потрібно переходити до вивчення мінорів третього порядку.

Якщо для формування мінорів третього порядку ми вибиратимемо стовпець №2 або стовпець №4, то такі мінори будуть рівними нулю (бо вони будуть містити нульовий стовпець). Залишається перевірити лише один мінор третього порядку, елементи якого розташовані на перетині стовпців №1, №3, №5 та рядків №1, №2, №3. Запишемо цей мінор і знайдемо його значення:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Отже, всі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Останній складений нами ненульовий мінор був другого порядку. Висновок: максимальний порядок мінорів, серед яких є хоча б один, відмінний від нуля, дорівнює 2. Отже, $ Rang A = 2 $.

Відповідь: $ Rang A = 2 $.

Приклад №2

Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Маємо квадратну матрицю четвертого порядку. Відразу відзначимо, що ранг цієї матриці вбирається у 4, тобто. $\rang A≤ 4$. Приступимо до знаходження рангу матриці.

Серед мінорів першого порядку (тобто серед елементів матриці $A$) є хоча б один, не рівний нулю, тому $Rang A≥ 1$. Переходимо до перевірки мінорів другого порядку. Наприклад, на перетині рядків №2, №3 та стовпців №1 та №2 отримаємо такий мінор другого порядку: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. Обчислимо його:

$$ \left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

Серед мінорів другого порядку є хоча б один, не рівний нулю, тому $ Rang A ≥ 2 $.

Перейдемо до мінорів третього порядку. Знайдемо, наприклад, мінор, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №3, №4 та стовпців №1, №2, №4:

$$ \left | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3 \ -5 & 0 & 0 \\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

Оскільки цей мінор третього порядку виявився рівним нулю, необхідно досліджувати інший мінор третього порядку. Або всі вони виявляться рівними нулю (тоді ранг дорівнюватиме 2), або серед них знайдеться хоч один, не рівний нулю (тоді будемо досліджувати мінори четвертого порядку). Розглянемо мінор третього порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №2, №3, №4 та стовпців №2, №3, №4:

$$ \left| \begin(array) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

Серед мінорів третього порядку є хоча б один, відмінний від нуля, тому $ Rang A ≥ 3 $. Переходимо до перевірки мінорів четвертого порядку.

Будь-який мінор четвертого порядку знаходиться на перетині чотирьох рядків і чотирьох стовпців матриці $A$. Інакше кажучи, мінор четвертого порядку - це визначник матриці $A$, оскільки дана матрицяякраз і містить 4 рядки та 4 стовпці. Визначник цієї матриці був обчислений у прикладі №2 теми "Зниження порядку визначника. Розкладання визначника по рядку (стовпцю)", тому просто візьмемо готовий результат:

$$ \left| \begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3 \\ 4 & -2 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (array) \ right | = 86. $$

Отже, мінор четвертого порядку не дорівнює нулю. Мінорів п'ятого порядку утворити ми не можемо. Висновок: найвищий порядокмінорів, серед яких є хоча б один відмінний від нуля, дорівнює 4. Підсумок: $ Rang A = 4 $.

Відповідь: $ Rang A = 4 $.

Приклад №3

Знайти ранг матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( array) \right)$.

Відразу відзначимо, що дана матриця містить 3 рядки та 4 стовпці, тому $rang A≤3$. У попередніх прикладах ми розпочинали процес знаходження рангу з розгляду мінорів найменшого (першого) порядку. Тут спробуємо відразу перевірити мінори максимально можливого порядку. Для матриці $A$ такими є мінори третього порядку. Розглянемо мінор третього порядку, елементи якого лежать на перетині рядків №1, №2, №3 та стовпців №2, №3, №4:

$$ \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2 & -3\ -2 & 5 & 1 \\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

Отже, найвищий порядок мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю, дорівнює 3. Тому ранг матриці дорівнює 3, тобто. $ Rang A = 3 $.

Відповідь: $ Rang A = 3 $.

Взагалі, знаходження рангу матриці за визначенням - загальному випадкузавдання досить трудомістка. Наприклад, у матриці порівняно невеликого розміру $5\times 4$ є 60 мінорів другого порядку. І якщо навіть 59 з них дорівнюватимуть нулю, то 60-й мінор може виявитися ненульовим. Тоді доведеться досліджувати мінори третього порядку, яких у цієї матриці 40 штук. Зазвичай намагаються використовувати менш громіздкі способи, такі як метод обрамляють мінорів або метод еквівалентних перетворень.

Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, rA або r.
З визначення випливає, що r – ціле додатне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.

Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.

Виберіть розмірність матриці 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базисними рядками та стовпцями.
Згідно з цим визначенням, матриця A може мати кілька базисних мінорів.

Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).

приклад 1 . Дано дві матриці , та їхні мінори , . Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, отже його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .

Теорема (про базисному мінорі). Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.

1. Будь-які (r+1) стовпців (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
2. Якщо ранг матриці менше числаїї рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числуїї рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
3. Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
4. Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножений на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
5. Якщо в матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
6. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
7. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальним числом лінійно незалежних стовпців.

Приклад 2 . Знайти ранг матриці .
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простому вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.

Ранг матриці є важливим числову характеристику. Найбільш характерним завданням, що вимагає знаходження рангу матриці, є перевірка сумісності системи лінійних рівнянь алгебри. У цій статті ми дамо поняття рангу матриці та розглянемо методи його знаходження. Для кращого засвоєння матеріалу докладно розберемо розв'язання кількох прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення рангу матриці та необхідні додаткові поняття.

Перед тим, як озвучити визначення рангу матриці, слід добре розібратися з поняттям мінора, а знаходження мінорів матриці має на увазі вміння обчислення визначника. Отже, рекомендуємо при необхідності згадати теорію статті методи знаходження визначника матриці, властивості визначника.

Візьмемо матрицю А порядку. Нехай k – деяке натуральне число, що не перевищує найменшого з чисел m і n , тобто, .

Визначення.

Мінором k-ого порядкуматриці А називається визначник квадратної матриціпорядку , складеної з елементів матриці А , які знаходяться в заздалегідь вибраних k рядках і стовпцях k, причому розташування елементів матриці А зберігається.

Іншими словами, якщо в матриці А викреслити (p-k) рядків і (n-k) стовпців, а з елементів, що залишилися, скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А , то визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А .

Розберемося з визначенням мінору матриці на прикладі.

Розглянемо матрицю .

Запишемо кілька мінорів першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо ми виберемо третій рядок і другий стовпець матриці А, то нашому вибору відповідає мінор першого порядку . Іншими словами, для отримання цього мінору ми викреслили перший і другий рядки, а також перший, третій і четвертий стовпці з матриці А, а з елемента, що залишився, склали визначник. Якщо ж вибрати перший рядок і третій стовпець матриці А, ми отримаємо мінор .

Проілюструємо процедуру отримання розглянутих мінорів першого порядку
і .

Таким чином, мінорами першого порядку матриці є елементи матриці.

Покажемо кілька мінорів другого порядку. Вибираємо два рядки та два стовпці. Наприклад, візьмемо перший і другий рядки і третій і четвертий стовпець. За такого вибору маємо мінор другого порядку . Цей мінор також можна було скласти викресленням з матриці третього рядка А, першого і другого стовпців.

Іншим мінором другого порядку матриці є .

Проілюструємо побудову цих мінорів другого порядку
і .

Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А. Оскільки в матриці всього три рядки, то вибираємо їх усі. Якщо до цих рядків вибрати три перші стовпці, то отримаємо мінор третього порядку

Він може бути побудований викреслюванням останнього стовпця матриці А .

Іншим мінором третього порядку є

виходить викресленням третього стовпця матриці А .

Ось малюнок, що показує побудову цих мінорів третього порядку
і .

Для цієї матриці А мінорів порядку вище третього немає, оскільки .

Скільки існує мінорів k-ого порядку матриці А порядку ?

Число мінорів порядку k може бути розраховане як , де і - Число поєднань з p по k і з n по k відповідно.

Як же побудувати всі мінори порядку k матриці А порядку p на n?

Нам знадобиться безліч номерів рядків матриці та безліч номерів стовпців. Записуємо все поєднання з p елементів по k(вони відповідатимуть рядкам матриці А, що вибираються, при побудові мінору порядку k ). До кожного поєднання номерів рядків послідовно додаємо всі поєднання з n елементів до номерів стовпців. Ці набори поєднань номерів рядків і номерів стовпців матриці А допоможуть скласти всі мінори порядку k .

Розберемо з прикладу.

приклад.

Знайдіть усі мінори другого порядку матриці.

Рішення.

Так як порядок вихідної матриці дорівнює 3 на 3 то всього мінорів другого порядку буде .

Запишемо всі поєднання з 3 по 2 номерів рядків матриці А: 1, 2; 1, 3 та 2, 3 . Всі поєднання з 3 по 2 номерів стовпців є 1, 2; 1, 3 та 2, 3 .

Візьмемо перший і другий рядки матриці А . Вибравши до цих рядків перший і другий стовпці, перший і третій стовпці, другий і третій стовпці, отримаємо відповідно мінори

Для першого та третього рядків при аналогічному виборі стовпців маємо

Залишилося до другого і третього рядків додати перший і другий, перший і третій, другий і третій стовпці:

Отже, всі дев'ять мінорів другого порядку матриці знайдено.

Тепер можна переходити до визначення рангу матриці.

Визначення.

Ранг матриці- Це найвищий порядок мінору матриці, відмінного від нуля.

Ранг матриці А позначають як Rank(A). Можна також зустріти позначення Rg(A) або Rang(A).

З визначень рангу матриці і мінору матриці можна зробити висновок, що ранг нульової матриці дорівнює нулю, а ранг ненульової матриці не менше одиниці.

Знаходження рангу матриці за визначенням.

Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору мінорів. Цей спосіб ґрунтується на визначенні рангу матриці.

Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку.

Коротко опишемо алгоритмрозв'язання цього завдання способом перебору мінорів.

Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці(оскільки є мінор першого порядку, не рівний нулю).

Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, переходимо до перебору мінорів третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.

Аналогічно, якщо всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору мінорів четвертого порядку.

Зазначимо, що ранг матриці не може перевищувати найменшого чисел p і n .

приклад.

Знайдіть ранг матриці .

Рішення.

Так як матриця ненульова, її ранг не менше одиниці.

Мінор другого порядку відмінний від нуля, отже, ранг матриці не менше двох. Переходимо до перебору мінорів третього порядку. Усього їх штук.

Усі мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому ранг матриці дорівнює двом.

Відповідь:

Rank(A) = 2 .

Знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів.

Існують інші методи знаходження рангу матриці, які дозволяють отримати результат за меншої обчислювальної роботи.

Одним із таких методів є метод облямівних мінорів.

Розберемося з поняттям мінера, що облямовує.

Кажуть, що мінор М ок (k+1)-ого ​​порядку матриці А облямовує мінор M порядку k матриці А якщо матриця, відповідна мінору М ок, «містить» матрицю, відповідну мінору M .

Інакше кажучи, матриця, відповідна облямовуваному мінору М , виходить з матриці, що відповідає мінеру M ок , що облямовує , викреслюванням елементів одного рядка і одного стовпця.

Наприклад розглянемо матрицю і візьмемо мінор другого порядку. Запишемо всі мінори, що облямовують:

Метод облямівних мінорів обґрунтовується наступною теоремою (наведемо її формулювання без доказу).

Теорема.

Якщо всі мінори, що оздоблюють мінор k-ого порядку матриці А порядку p на n, дорівнюють нулю, то всі мінори порядку (k+1) матриці А дорівнюють нулю.

Таким чином, для знаходження рангу матриці не обов'язково перебирати всі мінори, що досить облямовують. Кількість мінорів, що обрамляють мінор k-ого порядку матриці А порядку, знаходиться за формулою . Зазначимо, що мінорів, що обрамляють мінор k-ого порядку матриці А , не більше, ніж мінорів (k + 1)-ого ​​порядку матриці А . Тому, в більшості випадків використання методу обрамляють мінорів вигідніше простого перебору всіх мінорів.

Перейдемо до знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів. Коротко опишемо алгоритмцього методу.

Якщо матриця А ненульова, то як мінор першого порядку беремо будь-який елемент матриці А відмінний від нуля. Розглядаємо його обрамляючі мінори. Якщо вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо ж є хоча б один ненульовий мінер, що облямовує (його порядок дорівнює двом), то переходимо до розгляду його обрамляючих мінорів. Якщо вони рівні нулю, то Rank(A) = 2 . Якщо хоча б один оздоблювальний мінор відмінний від нуля (його порядок дорівнює трьом), то розглядаємо його мінори. І так далі. У результаті Rank(A) = k , якщо всі обрамляють мінори (k + 1)-ого ​​порядку матриці А дорівнюють нулю, або Rank(A) = min(p, n) , якщо існує ненульовий мінор, що облямовує мінор порядку (min( p, n) - 1) .

Розберемо метод облямівних мінорів для знаходження рангу матриці на прикладі.

приклад.

Знайдіть ранг матриці методом обрамляють мінорів.

Рішення.

Так як елемент a 1 1 матриці А відмінний від нуля, то візьмемо його як мінор першого порядку. Почнемо пошук мінера, що оточує, відмінного від нуля:

Знайдений мінор другого порядку, що оточує, відмінний від нуля . Переберемо його обрамляючі мінори (їх штук):

Усі мінори, що оздоблюють мінор другого порядку , дорівнюють нулю, отже, ранг матриці А дорівнює двом.

Відповідь:

Rank(A) = 2 .

приклад.

Знайдіть ранг матриці за допомогою обрамляють мінорів.

Рішення.

Як відмінний від нуля мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 1 матриці А . Мінор другого порядку, який його облямовує не дорівнює нулю. Цей мінор оздоблюється мінором третього порядку
. Так як він не дорівнює нулю і для нього не існує жодного мінера, що облямовує, то ранг матриці А дорівнює трьом.

Відповідь:

Rank(A) = 3 .

Знаходження рангу з допомогою елементарних перетворень матриці (методом Гауса).

Розглянемо ще один спосіб знаходження рангу матриці.

Наступні перетворення матриці називають елементарними:

• перестановка місцями рядків (або шпальт) матриці;
• множення всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на довільне число k відмінне від нуля;
• додавання до елементів будь-якого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на довільне число k .

Матриця називається еквівалентної матриці Аякщо В отримана з А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень. Еквівалентність матриць позначається символом "~", тобто записується A~B.

Знаходження рангу матриці за допомогою елементарних перетворень матриці засноване на затвердженні: якщо матриця отримана з матриці А за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то Rank(A) = Rank(B) .

Справедливість цього твердження випливає із властивостей визначника матриці:

• При перестановці рядків (або шпальт) матриці її визначник змінює знак. Якщо він дорівнює нулю, то при перестановці рядків (стовпців) він залишається нульовим.
• При множенні всіх елементів якогось рядка (стовпця) матриці на довільне число k відмінне від нуля, визначник отриманої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці, помноженого на k . Якщо визначник вихідної матриці дорівнює нулю, то після множення всіх елементів будь-якого рядка або стовпця на число k визначник отриманої матриці також дорівнюватиме нулю.
• Додавання до елементів деякого рядка (стовпця) матриці відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, помножених на деяке число k не змінює її визначника.

Суть методу елементарних перетвореньполягає у приведенні матриці, ранг якої нам потрібно знайти, до трапецієподібної (в окремому випадку до верхньої трикутної) за допомогою елементарних перетворень.

Навіщо це робиться? Ранг матриць такого виду легко знайти. Він дорівнює кількості рядків, що містять хоча б один ненульовий елемент. Оскільки ранг матриці під час проведення елементарних перетворень не змінюється, то отримане значення буде рангом вихідної матриці.

Наведемо ілюстрації матриць, одна з яких має вийти після перетворень. Їхній вигляд залежить від порядку матриці.

Ці ілюстрації є шаблонами, яких будемо перетворювати матрицю А .

Опишемо алгоритм методу.

Нехай нам потрібно знайти ранг ненульової матриці А порядку (p може дорівнювати n).

Отже, . Помножимо всі елементи першого рядка матриці А на . При цьому отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (1):

До елементів другого рядка отриманої матриці А (1) додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на . До елементів третього рядка додамо відповідні елементи першого рядка, помножені на . І так далі до p-го рядка. Отримаємо еквівалентну матрицю, позначимо її А (2):

Якщо всі елементи отриманої матриці, що знаходяться в рядках з другої по p-у , дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці дорівнює одиниці, а отже, і ранг вихідної матриці дорівнює одиниці.

Якщо ж у рядках з другого по p-ий є хоча б один ненульовий елемент, то продовжуємо проводити перетворення. Причому діємо абсолютно аналогічно, але лише із зазначеною на малюнку частиною матриці А (2)

Якщо , то переставляємо рядки та (або) стовпці матриці А (2) так, щоб «новий» елемент став ненульовим.

Елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) іншого рядка (або стовпця), помноженого на деяке число.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A ~ B.

Канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,

За допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць її головної діагоналі.

Приклад 2Знайти ранг матриці

А =

та привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки:

.

Тепер з другого та третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо перший; отримаємо матрицю

В = ,

яка еквівалентна матриці А, оскільки отримана з неї за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці дорівнює 2, а отже, і r(A)=2. Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:

.

Теорема Кронекера - Капелі- критерій сумісності системи лінійних рівнянь алгебри:

Для того щоб лінійна системабула спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці цієї системи дорівнював рангу її основної матриці.

Доказ (умови спільності системи)

Необхідність

Нехай системаспільна. Тоді існують числа такіщо . Отже, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці. З того, що ранг матриці не зміниться, якщо із системи його рядків (стовпців) викреслити або приписати рядок (стовпець), який є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців) випливає, що .

Достатність

Нехай. Візьмемо в матриці якийсь базовий мінор. Так як, то він і буде базисним мінором і матриці. Тоді, відповідно до теореми про базисне міноре, Останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базових стовпців, тобто стовпців матриці . Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці.

Наслідки

Кількість основних змінних системиі рангу системи.

Спільна системабуде визначено (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

Однорідна система рівнянь

Пропозиція15 . 2 Однорідна система рівнянь

завжди є спільною.

Доведення. Для цієї системи набір чисел , , є рішенням.

У цьому розділі ми будемо використовувати матричний запис системи: .

Пропозиція15 . 3 Сума розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь є розв'язком цієї системи. Рішення, помножене на число, є рішенням.

Доведення. Нехай і є рішеннями системи . Тоді і . Нехай. Тоді

Так як, то - рішення.

Нехай - довільне число, . Тоді

Так як, то - рішення.

Слідство15 . 1 Якщо однорідна система лінійних рівняньмає ненульове рішення, вона має нескінченно багато різних рішень.

Справді, помножуючи ненульове рішення на різні числа, отримуватимемо різні рішення.

Визначення15 . 5 Говоритимемо, що рішення системи утворюють фундаментальну систему рішень, якщо стовпці утворюють лінійно незалежну системута будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих стовпців.

Для того щоб обчислити ранг матриці можна застосувати метод обрамляють мінорів або метод Гаусса. Розглянемо метод Гаусса чи метод елементарних перетворень.

Рангом матриці називають максимальний порядок її мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю.

Рангом системи рядків (стовпців) називається максимальна кількістьлінійно незалежних рядків (стовпців) цієї системи.

Алгоритм знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів:

1. Мінор M k-тогопорядку не дорівнює нулю.
2. Якщо обрамляють мінори для мінору M (k+1)-гопорядку, скласти неможливо (тобто матриця містить kрядків або kстовпців), то ранг матриці дорівнює k. Якщо мінори, що облямовують, існують і всі рівні нулю, то ранг дорівнює k. Якщо серед обрамляючих мінорів є хоча б один, не рівний нулю, то пробуємо скласти новий мінор k+2і т.д.

Розберемо алгоритм докладніше. Спочатку розглянемо мінори першого (елементи матриці) порядку матриці A. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то rangA = 0. Якщо є мінори першого порядку (елементи матриці) не рівні нулю M 1 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 1.

M 1. Якщо такі мінори є, то вони будуть мінорами другого порядку. Якщо всі мінори обрамляють мінор M 1рівні нулю, то rangA = 1. Якщо є хоч один мінор другого порядку, не рівні нулю M 2 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 2.

Перевіримо, чи є мінори для мінору. M 2. Якщо такі мінори є, то вони будуть мінорами третього порядку. Якщо всі мінори обрамляють мінор M 2рівні нулю, то rangA = 2. Якщо є хоч один мінор третього порядку не дорівнює нулю M 3 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 3.

Перевіримо, чи є мінори для мінору. M 3. Якщо такі мінори є, то вони будуть мінорами четвертого порядку. Якщо всі мінори обрамляють мінор M 3рівні нулю, то rangA = 3. Якщо є хоч один мінор четвертого порядку не дорівнює нулю M 4 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 4.

Перевіряємо чи є мінор для мінору, що облямовує M 4, і так далі. Алгоритм припиняється, якщо на якомусь етапі мінори, що облямовують, дорівнюють нулю або облямовуючий мінор не можна отримати (у матриці "закінчилися" рядки або стовпці). Порядок не нульового мінору, який вдалося скласти буде рангом матриці.

приклад

Розглянемо даний методна прикладі. Дана матриці 4х5:

У даній матриці ранг не може бути більше 4. Також у цій матриці є не нульові елементи (мінор першого порядку), значить ранг матриці ≥ 1.

Складемо мінор Другогопорядку. Почнемо з кута.

Так визначник дорівнює нулю, складемо інший мінор.

Знайдемо визначник цього мінору.

Визначити даного мінору дорівнює -2 . Значить ранг матриці ≥ 2 .

Якщо даний мінор дорівнював 0, то склали б інші мінори. До кінця склали б усі мінори по 1 і другому рядку. Потім по 1 і 3 рядку, по 2 і 3 рядку, по 2 і 4 рядку, доки не знайшли б мінор не рівний 0, наприклад:

Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють 0, то ранг матриці дорівнював 1. Рішення можна було б зупинити.

3-гопорядку.

Мінор вийшов не нульовим. значить ранг матриці ≥ 3 .

Якби цей мінор був нульовим, то треба було б скласти інші мінори. Наприклад:

Якщо всі мінори третього порядку дорівнюють 0, то ранг матриці дорівнював би 2. Рішення можна було б зупинити.

Продовжимо пошук рангу матриці. Складемо мінор 4-гопорядку.

Знайдемо визначник цього мінору.

Визначник мінору вийшов рівний 0 . Побудуємо інший мінор.

Знайдемо визначник цього мінору.

Мінор вийшов рівним 0 .

Побудувати мінор 5-гопорядку не вийде, для цього немає рядка в цій матриці. Останній мінор не рівний нулю був 3-гопорядку, значить ранг матриці дорівнює 3 .