Найбільше та найменше значення функції двох змінних у замкнутій області. Найбільше та найменше значення функції

Нехай функція $z=f(x,y)$ визначена і безперервна у певній обмеженій замкнутій області $D$. Нехай у цій галузі задана функція має кінцеві приватні похідні першого порядку (крім, можливо, кінцевої кількості точок). Щоб знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних у цій замкнутій області потрібно виконати три кроки простого алгоритму.

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значень функції $z=f(x,y)$ у замкнутій області $D$.

1. Знайти критичні точки функції $ z = f (x, y) $, що належать області $ D $. Обчислити значення функції у критичних точках.
2. Дослідити поведінку функції $z=f(x,y)$ на межі області $D$, знайшовши точки можливого найбільшого та найменшого значень. Обчислити значення функції отриманих точках.
3. Зі значень функції, отриманих у попередніх двох пунктах, вибрати найбільше та найменше.

Що таке критичні точки? показати\сховати

Під критичними точкамимають на увазі такі точки, в яких обидві приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю (тобто $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ і $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) чи хоча б одна приватна похідна немає.

Часто точки, у яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, називають стаціонарними точками. Таким чином, стаціонарні точки є підмножина критичних точок.

Приклад №1

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+2xy-y^2-4x$ у замкнутій області, обмеженій лініями $x=3$, $y=0$ та $y=x+1$.

Наслідуватимемо вище, але для початку розберемося з кресленням заданої області, яку позначимо буквою $ D $. Нам задані рівняння трьох прямих, які цю область обмежують. Пряма $x=3$ проходить через точку $(3;0)$ паралельно осі ординат (осі Oy). Пряма $y=0$ - це рівняння осі абсцис (осі Ox). Ну, а для побудови прямої $ y = x + 1 $ знайдемо дві точки, через які і проведемо цю пряму. Можна, звичайно, замість $x$ підставити парочку довільних значень. Наприклад, підставляючи $x=10$, отримаємо: $y=x+1=10+1=11$. Ми знайшли точку $(10;11)$, що лежить на прямій $y=x+1$. Однак краще знайдемо ті точки, в яких пряма $ y = x + 1 $ перетинається з лініями $ x = 3 $ і $ y = 0 $. Чому це краще? Тому що ми одним пострілом укладемо пару зайців: отримаємо дві точки для побудови прямої $ y = x + 1 $ і заразом з'ясуємо, в яких точках ця пряма перетинає інші лінії, що обмежують задану область. Пряма $y=x+1$ перетинає пряму $x=3$ у точці $(3;4)$, а пряму $y=0$ - у точці $(-1;0)$. Щоб не захаращувати хід рішення допоміжними поясненнями, то питання про отримання цих двох точок винесу до примітки.

Як було отримано точки $(3;4)$ і $(-1;0)$? показати\сховати

Почнемо з точки перетину прямих $y=x+1$ та $x=3$. Координати точки, що шукається, належать і першій, і другій прямій, тому для знаходження невідомих координат потрібно вирішити систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Рішення такої системи тривіальне: підставляючи $x=3$ у перше рівняння матимемо: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $x=3$.

Тепер знайдемо точку перетину прямих $ y = x + 1 $ і $ y = 0 $. Знову складемо і вирішимо систему рівнянь:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Підставляючи $y=0$ у перше рівняння, отримаємо: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ і є шукана точка перетину прямих $y=x+1$ і $y=0$ (осі абсцис).

Все готове для побудови креслення, який матиме такий вигляд:

Питання примітки здається очевидним, адже все видно на малюнку. Однак варто пам'ятати, що малюнок не може бути доказом. Малюнок – лише ілюстрація для наочності.

Наша область була задана за допомогою прямих рівнянь, які її обмежують. Очевидно, що ці прямі визначають трикутник, чи не так? Чи не зовсім очевидно? А може, нам задана інша область, обмежена тими самими прямими:

Звісно, ​​за умови сказано, що область замкнута, тому показаний малюнок неправильний. Але щоб уникати подібних двозначностей, області краще задавати нерівності. Нас цікавить частина площини, розташована під прямою $y=x+1$? Ок, отже, $y ≤ x+1$. Наша область повинна розташовуватись над прямою $y=0$? Відмінно, означає $ y ≥ 0 $. До речі, дві останні нерівності легко поєднуються в одну: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Ці нерівності і задають область $ D $, причому задають її однозначно, не допускаючи жодних двозначностей. Але як це допоможе нам у тому питанні, що вказано на початку примітки? Ще як допоможе:) Нам потрібно перевірити, чи належить точка $M_1(1;1)$ області $D$. Підставимо $x=1$ і $y=1$ у систему нерівностей, які цю область визначають. Якщо обидві нерівності будуть виконані, то точка лежить усередині області. Якщо хоча б одна з нерівностей буде не виконана, то точка області не належить. Отже:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Обидві нерівності справедливі. Крапка $M_1(1;1)$ належить області $D$.

Тепер настала черга досліджувати поведінку функції межі області, тобто. переходимо до. Почнемо із прямої $y=0$.

Пряма $y=0$ (вісь абсцис) обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставимо $y=0$ у задану функцію $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Отриману в результаті підстановки функцію однієї змінної $x$ позначимо як $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Тепер для функції $f_1(x)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \;x=2. $$

Значення $x=2$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$, тому до списку точок додамо ще $M_2(2;0)$. З іншого боку, обчислимо значення функції $z$ кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. у точках $M_3(-1;0)$ і $M_4(3;0)$. До речі, якби точка $M_2$ не належала розглянутому відрізку, то, очевидно, значення функції $z$ у ній обчислювати був потреби.

Отже, обчислимо значення функції $z$ у точках $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можна, звичайно, підставляти координати даних точок у вихідний вираз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Наприклад, для точки $M_2$ отримаємо:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Однак обчислення можна трохи спростити. І тому варто згадати, що у відрізку $M_3M_4$ маємо $z(x,y)=f_1(x)$. Розпишу це докладно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0) = f_1 (-1) = (-1) ^ 2-4 \ cdot (-1) = 5; \ \ & z_4 = z (M_4) = z (3,0) = f_1 (3) = 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aligned)

Зрозуміло, що в докладних записах зазвичай немає потреби, і всі обчислення в подальшому будемо записувати коротше:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Тепер звернемося до прямої $x=3$. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $0 ≤ y ≤ 4$. Підставимо $x=3$ у задану функцію $z$. В результаті такої підстановки ми отримаємо функцію $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2cdot 3cdot y-y^2-4cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Для функції $f_2(y)$ потрібно знайти найбільше та найменше значення на відрізку $0 ≤ y ≤ 4$. Знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Значення $y=3$ належить відрізку $0 ≤ y ≤ 4$, тому до знайдених раніше точок додамо ще $M_5(3;3)$. З іншого боку, необхідно обчислити значення функції $z$ у точках кінцях відрізка $0 ≤ y ≤ 4$, тобто. у точках $M_4(3;0)$ і $M_6(3;4)$. У точці $M_4(3;0)$ ми вже обчислювали значення $z$. Обчислимо значення функції $z$ у точках $M_5$ та $M_6$. Нагадаю, що на відрізку $M_4M_6$ маємо $z(x,y)=f_2(y)$, тому:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aligned)

І, нарешті, розглянемо останню межу області $D$, тобто. пряму $ y = x + 1 $. Ця пряма обмежує область $D$ за умови $-1 ≤ x ≤ 3$. Підставляючи $y=x+1$ у функцію $z$, матимемо:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Знов ми отримали функцію однієї змінної $x$. І знову потрібно знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Знайдемо похідну функції $f_(3)(x)$ і прирівняємо її до нуля:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Значення $x=1$ належить відрізку $-1 ≤ x ≤ 3$. Якщо $x=1$, то $y=x+1=2$. Додамо до списку точок ще й $M_7(1;2)$ і з'ясуємо, чому значення функції $z$ в цій точці. Крапки кінцях відрізка $-1 ≤ x ≤ 3$, тобто. точки $M_3(-1;0)$ і $M_6(3;4)$, було розглянуто раніше, значення функції у яких ми вже знаходили.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Другий крок рішення закінчено. Ми отримали сім значень:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Звернемося до . Вибираючи найбільше та найменше значення з тих чисел, що були отримані у третьому пункті, матимемо:

$ $ z_ (min) = -4; \; z_(max)=6.$$

Завдання вирішене, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Приклад №2

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=x^2+y^2-12x+16y$ в області $x^2+y^2 ≤ 25$.

Спочатку збудуємо креслення. Рівняння $x^2+y^2=25$ (це гранична лінія заданої області) визначає коло з центром на початку координат (тобто в точці $(0;0)$) і радіусом 5. Нерівності $x^2 +y^2 ≤ 25$ задовольняють усі точки всередині та на згаданому колі.

Діятимемо по . Знайдемо приватні похідні та з'ясуємо критичні точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Точок, у яких знайдені приватні похідні немає, немає. З'ясуємо, у яких точках обидві похідні одночасно рівні нулю, тобто. знайдемо стаціонарні точки.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\&y=-8.\end(aligned) \right.$$

Ми отримали стаціонарну точку $(6;-8)$. Проте знайдена точка не належить до області $D$. Це легко показати, навіть не вдаючись до допомоги малюнку. Перевіримо, чи виконується нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$, яка визначає нашу область $D$. Якщо $x=6$, $y=-8$, то $x^2+y^2=36+64=100$, тобто. нерівність $x^2+y^2 ≤ 25$ не виконано. Висновок: точка $(6;-8)$ не належить області $D$.

Отже, всередині області $D$ немає критичних точок. Переходимо далі, до . Нам слід дослідити поведінку функції межі заданої області, тобто. на колі $x^2+y^2=25$. Можна, звичайно, висловити $y$ через $x$, а потім підставити отриманий вираз у нашу функцію $z$. З рівняння кола отримаємо: $y=\sqrt(25-x^2)$ або $y=-sqrt(25-x^2)$. Підставляючи, наприклад, $y=\sqrt(25-x^2)$ в задану функцію, матимемо:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Подальше рішення буде повністю ідентичне дослідженню поведінки функції на межі області у попередньому прикладі №1. Однак мені здається розумнішим у цій ситуації застосувати метод Лагранжа. Нас цікавитиме лише перша частина цього методу. Після застосування першої частини методу Лагранжа ми отримаємо точки, в яких досліджуємо функцію $z$ на предмет мінімального та максимального значень.

Складаємо функцію Лагранжа:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Знаходимо приватні похідні функції Лагранжа та складаємо відповідну систему рівнянь:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aligned) & 2x-12+2 \ lambda x = 0; \ \ & 2y + 16 +2 \ lambda y = 0; \ \ & x ^ 2 + y ^2-25 = 0. \end (aligned) \ right. \;\; aligned) \right.$$

Для вирішення цієї системи давайте відразу вкажемо, що $ lambda neq -1 $. Чому $\lambda\neq -1$? Спробуємо підставити $\lambda=-1$ у перше рівняння:

$ $ x + (-1) \ cdot x = 6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$

Отримана суперечність $0=6$ свідчить, що значення $\lambda=-1$ неприпустимо. Висновок: $ \ lambda \ neq -1 $. Виразимо $x$ і $y$ через $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y = frac (-8) (1 + lambda). \end(aligned)

Вважаю, що тут стає очевидним, навіщо ми спеціально обговорювали умову $lambda\neq -1$. Це було зроблено, щоб безперешкодно помістити вираз $1+\lambda$ у знаменники. Тобто, щоб бути впевненим, що знаменник $1+lambda\neq 0$.

Підставимо отримані висловлювання для $x$ і $y$ на третє рівняння системи, тобто. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+lambda)^2)+frac(64)((1+lambda)^2)=25;\frac(100)((1+lambda)^2)=25 ; \; (1 + \ lambda) ^ 2 = 4. $$

З отриманої рівності випливає, що $1+lambda=2$ або $1+lambda=-2$. Звідси маємо два значення параметра $ lambda $, а саме: $ lambda_1 = 1 $, $ lambda_2 = -3 $. Відповідно, отримаємо і дві пари значень $x$ і $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=frac(-8)(1+lambda_1)=frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=frac(-8)(1+lambda_2)=frac(-8)(-2)=4. \end(aligned)

Отже, отримали дві точки можливого умовного екстремуму, тобто. $M_1(3;-4)$ і $M_2(-3;4)$. Знайдемо значення функції $z$ у точках $M_1$ і $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \ & z_2 = z (M_2) = (-3) ^ 2 + 4 ^ 2-12 \ cdot (-3) + 16 \ cdot 4 = 125. \end(aligned)

На слід вибрати найбільше та найменше значення з тих, що ми отримали на першому та другому кроках. Але в даному випадку вибір невеликий :) Маємо:

$ $ z_ (min) = -75; \; z_(max)=125. $$

Відповідь: $ Z_ (min) = -75; \; z_(max) = 125 $.

Урок на тему: "Знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі

Що вивчатимемо:

1. Знаходження найбільшого та найменшого значення за графіком функції.
2. Знаходження найбільшого та найменшого значення за допомогою похідної.
3. Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значення безперервної функції y = f (x) на відрізку .
4. Найбільше та найменше значення функції на незамкненому інтервалі.
5. Приклади.

Знаходження найбільшого та найменшого значення за графіком функції

Хлопці, ми з вами знаходили найбільше та найменше значення функції і раніше. Ми дивилися графік функції і робили висновок, де функція сягає найбільшого значення, а де - найменшого.
Давайте повторимо:

За графіком нашої функції видно, що найбільше значення досягається в точці x = 1, воно дорівнює 2. Найменше значення досягається в точці x = -1 і воно дорівнює -2. Даним способом досить просто знаходити найбільші та найменші значення, але не завжди існує можливість побудувати графік функції.

Знаходження найбільшого та найменшого значення за допомогою похідної

Хлопці, а як ви вважаєте, як за допомогою похідної можна знайти найбільше і найменше значення?

Відповідь можна знайти у темі екстремуми функції. Там ми з вами знаходили точки максимуму і мінімуму, чи не правда терміни схожі. Однак, плутати найбільше та найменше значення з максимум і мінімум функції не можна, це різні поняття.

Отже, давайте введемо правила:
а) Якщо функція безперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого та найменшого значення на цьому відрізку.
б) Найбільшого та найменшого значення функція може досягати як на кінцях відрізках, так і всередині нього. Давайте розглянемо цей пункт докладніше.

На малюнку а функція досягає свого найбільшого та найменшого значення на кінцях відрізках.
На малюнку б функція досягає свого найбільшого та найменшого значення всередині відрізка. На малюнку точка мінімуму знаходиться всередині відрізка, а точка максимуму - на кінці відрізка, в точці b.
в) Якщо найбільше та найменше значення досягається всередині відрізка, то лише у стаціонарних чи критичних точках.

Алгоритм пошуку найбільшого та найменшого значення безперервної функції y=f(x) на відрізку

• Знайти похідну f"(x).
• Знайти стаціонарні та критичні точки всередині відрізка.
• Обчислити значення функції в стаціонарних і критичних точках, а також у f(a) та f(b). Вибрати найменше та найбільше значення, це і будуть точки найменшого та найбільшого значення функції.

Найбільше та найменше значення функції на незамкненому інтервалі

Хлопці, а як шукати найбільше і найменше значення функції на незамкненому інтервалі? Для цього скористаємось важливою теоремою, яка доводиться в курсі вищої математики.

Теорема. Нехай функція y= f(x) безперервна на проміжку x і має всередині цього проміжку єдину стаціонарну або критичну точку x= x0, тоді:
а) якщо x = x0 - точка максимуму, то y наиб. = f(x0).
б) якщо x = x0 - точка мінімуму, то y найм. = f(x0).

приклад

Знайти найбільше та найменше значення функції y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 на відрізку
а) [-9;-1]; б) [-3;3]; в) .
Рішення: Знайдемо похідну: y" = x 2 + 4x + 4.
Похідна існує на всій області визначення, тоді нам треба знайти стаціонарні точки.
y"=0, при x=-2.
Подальші розрахунки проведемо для потрібних відрізків.
а) Знайдемо значення функції на кінцях відрізка та в стаціонарній точці.
Тоді y найм. = -122 при x = -9; y наиб. = y = -7 $ \ frac (1) (3) $, при x = -1.
б) Знайдемо значення функції на кінцях відрізка та у стаціонарній точці. Найбільше та найменше значення досягається на кінцях відрізка.
Тоді y найм. = -8, при x = -3, y наиб. = 34 при x = 3.
в) Стаціонарна точка не потрапляє на наш відрізок, знайдемо значення кінцях відрізка.
Тоді y найм. = 34, при x = 3, y наиб. = 436 при x = 9.

приклад

Знайти найбільше та найменше значення функції y = x 2 - 3x + 5 + | 1-x | на відрізку.
Рішення: Розкриємо модуль та перетворимо нашу функцію:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x при x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x при x ≥ 1.

Тоді наша функція набуде вигляду:
\begin(equation*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad при\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad при\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Знайдемо критичні точки: \begin(equation*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad при\quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad при\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) \begin(equation*)f"(x)=0,\quad при\quad x= \begin(cases) 2,\quad при \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad при\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(equation*) Отже, ми маємо дві стаціонарні точки і не будемо забувати, що наша функція складається як би з двох функцій при різних x.
Знайдемо найбільше та найменше значення функції, для цього обчислимо значення функції у стаціонарних точках і на кінцях відрізка:
Відповідь: Функція досягає найменшого значення в стаціонарній точці x = 1, y найм. = 3. Функція досягає максимального значення кінці відрізка у точці x= 4, y наиб. = 12.

приклад

Знайти найбільше значення функції y = $ frac (3x) (x ^ 2 + 3) $ на промені: , б), в) [-4; 7].
б) Знайти найбільше та найменше значення функції y = x 2 - 6x + 8 + | x - 2 | на відрізку [-1; 5].
в) Знайти найбільше та найменше значення функції y=$-2x-\frac(1)(2x)$ на промені (0;+∞).

З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.

У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функції однієї змінної y=f(x) .

Навігація на сторінці.

Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.

Стисло зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.

Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.

Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.

Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.

Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.

На відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].

Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.

На нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) у стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.

На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функцій з дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4;-1].

Рішення.

Областью визначення функції є безліч дійсних чисел, крім нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1] .

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :

Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 , а найменше значення - При x = 2 .

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):

Нехай функція у =f(х)безперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого та найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або у внутрішній точці відрізка [ a, b], або межі відрізка.

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку [ a, b] необхідно:

1)знайти критичні точки функції в інтервалі ( a, b);

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x=аі х = b;

4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше та найменше.

приклад.Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку.

Знаходимо критичні точки:

Ці точки лежать усередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

у точці x= 3 і в точці x= 0.

Дослідження функції на опуклість та точку перегину.

Функція y = f (x) називається опуклою вгоруна проміжку (a, b) , якщо її графік лежить під дотичною, проведеною в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою)якщо її графік лежить над дотичною.

Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю чи навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм дослідження на опуклість та точку перегину:

1. Знайди критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю чи немає.

2. Завдати критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної кожному проміжку; якщо , то функція опукла вгору, якщо функція опукла вниз.

3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка абсцесу точки перегину. Знайти її ординату.

Асимптоти графіка функції. Дослідження функції асимптоти.

Визначення.Асимптотою графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Існують три види асимптоту: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Визначення.Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)якщо хоча б одна з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто

де - точка розриву функції, тобтоне належить області визначення.

приклад.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – точка розриву.

Визначення.Пряма у =Aназивається горизонтальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , якщо

приклад.

x
y

Визначення.Пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилою асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , де

Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків.

Алгоритм дослідження функціїу = f(х) :

1. Знайти область визначення функції D (y).

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).

3. Дослідити на парність та непарність функції( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти інтервали опуклості (увігнутості) та точки перегину графіка функції.

8. З проведених досліджень побудувати графік функції.

приклад.Дослідити функцію та побудувати її графік.

1) D (y) =

x= 4 ‒ точка розриву.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка перетину з oy.

При y = 0,

3) y(‒ x)= функція загального виду (ні парна, ні непарна).

4) Досліджуємо на асимптоти.

а) вертикальні

б) горизонтальні

в) знайдемо похилі асимптоти де

‒рівняння похилої асимптоти

5) У цьому рівнянні не потрібно знайти інтервали монотонності функції.

6)

Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)і (10; +∞). Отримані результати зручно подати у вигляді наступної таблиці.