Нормальний вектор площини, координати нормального векторного площині. Що таке вектор нормалі?

Для того щоб використовувати метод координат, треба добре знати формули. Їх три:

На перший погляд, виглядає загрозливо, але досить небагато практики - і все працюватиме чудово.

Завдання. Знайти косинус кута між векторами a = (4; 3; 0) та b = (0; 12; 5).

Рішення. Оскільки координати векторів нам дано, підставляємо їх у першу формулу:

Завдання. Скласти рівняння площини, що проходить через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) та K = (2; 1; 0), якщо відомо, що вона не проходить через початок координат.

Рішення. Загальне рівняння площини: Ax + By + Cz + D = 0, але оскільки шукана площина не проходить через початок координат - точку (0; 0; 0) - то покладемо D = 1. Оскільки ця площина проходить через точки M, N і K, то координати цих точок повинні звертати рівняння у правильну числову рівність.

Підставимо замість x, y та z координати точки M = (2; 0; 1). Маємо:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогічно, для точок N = (0; 1; 1) та K = (2; 1; 0) отримаємо рівняння:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Отже, у нас є три рівняння та три невідомі. Складемо і розв'яжемо систему рівнянь:

Отримали, що рівняння площини має вигляд: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Завдання. Площина задана рівнянням 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Знайти координати вектора перпендикулярного даній площині.

Рішення. Використовуючи третю формулу, отримуємо n = (7; − 2; 4) – от і все!

Обчислення координат векторів

А що, якщо в задачі немає векторів – є лише точки, що лежать на прямих, і потрібно обчислити кут між цими прямими? Все просто: знаючи координати точок – початку та кінця вектора – можна обчислити координати самого вектора.

Щоб знайти координати вектора, треба з координат кінця відняти координати початку.

Ця теорема однаково працює і на площині, і просторі. Вираз «відняти координати» означає, що з координати x однієї точки віднімається координата x інший, потім те саме треба зробити з координатами y і z. Ось кілька прикладів:

Завдання. У просторі розташовані три точки, задані своїми координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) та C = (− 4; 3; − 2). Знайти координати векторів AB, AC та BC.

Розглянемо вектор AB: його початок знаходиться в точці A, а кінець - у точці B. Отже, щоб знайти його координати, треба від координат точки B відняти координати точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогічно, початок вектора AC – все та ж точка A, зате кінець – точка C. Тому маємо:
AC = (−4−1; 3−6; −2−3) = (−5; −3; −5).

Нарешті, щоб знайти координати вектора BC, треба від координат точки C відняти координати точки B:
BC = (−4−3; 3−(−1); −2−7) = (−7; 4; −9).

Відповідь: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Зверніть увагу на обчислення координат останнього вектора BC: багато хто помиляється, коли працюють з негативними числами. Це стосується змінної y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Отримуємо саме 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, як багато хто вважає. Не допускайте таких безглуздих помилок!

Обчислення напрямних векторів для прямих

Якщо ви уважно прочитаєте завдання C2, то з подивом виявите, що ніяких векторів немає. Там тільки прямі та площини.

Для початку розберемося із прямими. Тут все просто: на будь-якій прямій знайдуться хоча б дві різні точки і, навпаки, будь-які дві різні точки задають єдину пряму...

Хтось зрозумів, що написано у попередньому абзаці? Я і сам не зрозумів, тому поясню простіше: у задачі C2 прямі завжди задаються парою крапок. Якщо ввести систему координат і розглянути вектор з початком та кінцем у цих точках, отримаємо так званий напрямний вектор для прямої:

Навіщо потрібний цей вектор? Справа в тому, що кут між двома прямими - це кут між їхніми напрямними векторами. Таким чином ми переходимо від незрозумілих прямих до конкретних векторів, координати яких легко вважаються. Наскільки легко? Погляньте на приклади:

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено прямі AC та BD 1 . Знайдіть координати напрямних векторів цих прямих.

Оскільки довжина ребер куба в умові не вказана, покладемо AB = 1. Введемо систему координат з початком у точці A та осями x, y, z, спрямованими вздовж прямих AB, AD та AA 1 відповідно. Поодинокий відрізок дорівнює AB = 1.

Тепер знайдемо координати напрямного вектора прямої AC. Нам знадобляться дві точки: A = (0; 0; 0) та C = (1; 1; 0). Звідси отримуємо координати вектора AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - це і є напрямний вектор.

Тепер розберемося із прямою BD 1 . На ній також є дві точки: B = (1; 0; 0) та D 1 = (0; 1; 1). Отримуємо напрямний вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Відповідь: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (−1; 1; 1)

Завдання. У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1 проведені прямі AB 1 і AC 1 . Знайдіть координати напрямних векторів цих прямих.

Введемо систему координат: початок у точці A, вісь x збігається з AB, вісь z збігається з AA 1 , вісь y утворює з віссю x площину OXY, яка збігається з площиною ABC.

Для початку розберемося із прямою AB 1 . Тут все просто: у нас є точки A = (0; 0; 0) та B 1 = (1; 0; 1). Отримуємо напрямний вектор AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Тепер знайдемо напрямний вектор AC 1 . Все те саме - єдина відмінність у тому, що у точки C 1 ірраціональні координати. Отже, A = (0; 0; 0), тому маємо:

Відповідь: AB 1 = (1; 0; 1);

Невелике, але дуже важливе зауваження щодо останнього прикладу. Якщо початок вектора збігається з початком координат, обчислення різко спрощуються: координати вектора просто дорівнюють координатам кінця. На жаль, це правильно лише для векторів. Наприклад, під час роботи з площинами присутність ними початку координат лише ускладнює викладки.

Обчислення нормальних векторів для площин

Нормальні вектори - це не ті вектори, у яких все гаразд, або які почуваються добре. За визначенням, нормальний вектор (нормаль) до площини - це вектор перпендикулярний даній площині.

Інакше кажучи, нормаль - це вектор, перпендикулярний будь-якому вектору у цій площині. Напевно, ви зустрічали таке визначення - правда, замість векторів йшлося про прямі. Однак трохи вище було показано, що в задачі C2 можна оперувати будь-яким зручним об'єктом – хоч прямим, хоч вектором.

Ще раз нагадаю, що всяка площина задається у просторі рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, де A, B, C та D – деякі коефіцієнти. Не применшуючи спільності рішення, можна вважати D = 1, якщо площина не проходить через початок координат, або D = 0, якщо проходить. У будь-якому випадку координати нормального вектора до цієї площини дорівнюють n = (A; B; C).

Отже, площину теж можна успішно замінити вектором – тією самою нормаллю. Будь-яка площина задається у просторі трьома точками. Як знайти рівняння площини (а отже – і нормалі), ми вже обговорювали на самому початку статті. Однак цей процес у багатьох викликає проблеми, тому наведу ще кілька прикладів:

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено переріз A 1 BC 1 . Знайти нормальний вектор для площини цього перерізу, якщо початок координат знаходиться у точці A, а осі x, y та z збігаються з ребрами AB, AD та AA 1 відповідно.

Оскільки площина не проходить через початок координат, її рівняння має такий вигляд: Ax + By + Cz + 1 = 0, тобто. коефіцієнт D = 1. Оскільки ця площина проходить через точки A 1 , B і C 1 то координати цих точок звертають рівняння площини в правильну числову рівність.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогічно, для точок B = (1; 0; 0) та C 1 = (1; 1; 1) отримаємо рівняння:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Але коефіцієнти A = − 1 та C = − 1 нам уже відомі, тому залишається знайти коефіцієнт B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Отримуємо рівняння площини: − A + B − C + 1 = 0, Отже, координати нормального вектора дорівнюють n = (− 1; 1; − 1).

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено переріз AA 1 C 1 C. Знайти нормальний вектор для площини цього перерізу, якщо початок координат знаходиться у точці A, а осі x, y та z збігаються з ребрами AB, AD та AA 1 відповідно.

В даному випадку площина проходить через початок координат, тому коефіцієнт D = 0, а рівняння площини виглядає так: Ax + By + Cz = 0. Оскільки площина проходить через точки A 1 і C, координати цих точок звертають рівняння площини у правильну числову рівність.

Підставимо замість x, y та z координати точки A 1 = (0; 0; 1). Маємо:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогічно, для точки C = (1; 1; 0) отримаємо рівняння:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Покладемо B = 1. Тоді A = − B = − 1, і рівняння всієї площини має вигляд: − A + B = 0, Отже, координати нормального вектора дорівнюють n = (− 1; 1; 0).

Взагалі кажучи, у наведених завданнях треба складати систему рівнянь та вирішувати її. Вийде три рівняння і три змінних, але у другий випадок одне з них буде вільної, тобто. набувати довільних значень. Саме тому ми маємо право покласти B = 1 - без шкоди для спільності рішення та правильності відповіді.

Дуже часто завдання C2 потрібно працювати з точками, які ділять відрізок навпіл. Координати таких точок легко вважаються, якщо відомі координати кінців відрізка.

Отже, нехай відрізок заданий своїми кінцями - точками A = (x a; y a; z a) і B = (x b; y b; z b). Тоді координати середини відрізка – позначимо її точкою H – можна знайти за формулою:

Інакше кажучи, координати середини відрізка - це середнє арифметичне координат його кінців.

Завдання. Одиничний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 поміщений в систему координат так, що осі x, y і z спрямовані вздовж ребер AB, AD і AA 1 відповідно, а початок координат збігається з точкою A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Знайдіть координати цієї точки.

Оскільки точка K - середина відрізка A 1 B 1 її координати рівних середньому арифметичному координат кінців. Запишемо координати кінців: A 1 = (0; 0; 1) та B 1 = (1; 0; 1). Тепер знайдемо координати точки K:

Завдання. Одиничний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 поміщений у систему координат так, що осі x, y та z спрямовані вздовж ребер AB, AD та AA 1 відповідно, а початок координат збігається з точкою A. Знайдіть координати точки L, в якій перетинаються діагоналі квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

З курсу планіметрії відомо, що точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин. Зокрема, A 1 L = C 1 L, тобто. точка L – це середина відрізка A 1 C 1 . Але A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), тому маємо:

Відповідь: L = (0,5; 0,5; 1)

· Завдання . У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено переріз A 1 BC 1 . Знайти нормальний вектор для площини цього перерізу, якщо початок координат знаходиться у точці A, а осі x, y та z збігаються з ребрами AB, AD та AA 1 відповідно.

Рішення. Оскільки площина не проходить через початок координат, її рівняння має такий вигляд: Ax + By + Cz + 1 = 0, тобто. коефіцієнт D = 1. Оскільки ця площина проходить через точки A 1 , B і C 1 то координати цих точок звертають рівняння площини в правильну числову рівність.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Але коефіцієнти A = − 1 та C = − 1 нам уже відомі, тому залишається знайти коефіцієнт B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Отримуємо рівняння площини: − A + B − C + 1 = 0, Отже, координати нормального вектора дорівнюють n = (− 1; 1; − 1).

Відповідь: n = (− 1; 1; − 1)

· Завдання . У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено переріз AA 1 C 1 C. Знайти нормальний вектор для площини цього перерізу, якщо початок координат знаходиться у точці A, а осі x, y та z збігаються з ребрами AB, AD та AA 1 відповідно.

Рішення. В даному випадку площина проходить через початок координат, тому коефіцієнт D = 0, а рівняння площини виглядає так: Ax + By + Cz = 0. Оскільки площина проходить через точки A 1 і C, координати цих точок звертають рівняння площини у правильну числову рівність.

Підставимо замість x, y та z координати точки A 1 = (0; 0; 1). Маємо:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогічно, для точки C = (1; 1; 0) отримаємо рівняння:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Відповідь: n = (−1; 1; 0)

Вектор нормалі

Плоска поверхня з двома нормалями

У диференціальній геометрії нормаль- це пряма, ортогональна (перпендикулярна) дотичної прямої до деякої кривої або дотичної площини до деякої поверхні. Також говорять про нормальному напрямку.

Вектор нормалідо поверхні у цій точці - це одиничний вектор , прикладений до цієї точки і паралельний напрямку нормалі. Для кожної точки гладкої поверхні можна задати два нормальні вектори, що відрізняються напрямом. Якщо на поверхні можна встановити безперервне поле нормальних векторів, то кажуть, що це поле задає орієнтаціюповерхні (тобто виділяє одну із сторін). Якщо цього зробити не можна, поверхня називається неорієнтованої.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Вектор нормалі" в інших словниках:

вектор нормалі- Normales vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vector vok. Normalenvektor, m rus. вектор нормалі, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Ця стаття чи розділ потребує переробки. Будь ласка, покращіть статтю відповідно до правил написання статей. Вектор Дарбу спрямовуючий вектор миттєвої осі обертання, навколо якої супровідний тріедр кривої L повертається при… Вікіпедія

Електродинаміка суцільних середовищ Електродинаміка суцільних середовищ … Вікіпедія

Вектор Дарбу спрямовує вектор миттєвої осі обертання, навколо якої супровідний тріедр кривої L повертається при рівномірному русі точки M по кривій L. Вектор Дарбу лежить у прямій площині кривої L і виражається через поодинокі… Вікіпедія

Градієнт (від латів. gradiens, рід. відмінок gradientis крокуючий), вектор, що показує напрямок якнайшвидшої зміни деякої величини, значення якої змінюється від однієї точки простору до іншої (див. Поля теорія). Якщо величина виражається.

Напрямний вектор d миттєвої осі обертання навколо до рій супроводжує тріедр кривої Lповертається при рівномірному русі точки Мпо кривої L. Д. в. лежить у прямій площині кривої Lі виражається через поодинокі вектори головної нормалі. Математична енциклопедія

Ця стаття чи розділ потребує переробки. Будь ласка, покращіть статтю відповідно до правил написання статей. Гіперповерх … Вікіпедія

Графічний конвеєр апаратно-програмний комплекс візуалізації тривимірної графіки. 1 Елементи тривимірної сцени 1.1 Апаратні засоби 1.2 Програмні інтерфейси … Вікіпедія

Математична дисципліна, в якій вивчають властивості операцій над векторами евклідового простору. При цьому поняття вектора є математичною абстракцією величин, що характеризуються не тільки чисельним значенням, а й… Велика Радянська Енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Площина. Сюди перенаправляється запит «Площинність». На цю тему потрібна окрема стаття.

Вектор нормалі площини – це вектор, який перпендикулярний даній площині. Очевидно, що в будь-якій площині безліч нормальних векторів. Але для вирішення завдань нам вистачатиме й одного.

Якщо площина задана загальним рівнянням , то вектор є вектором нормалі даної площини. Просто до неподобства. Все, що потрібно зробити – це зняти коефіцієнти з рівняння площини.

Обіцяного три екрани чекають, повернемося до Прімера №1 і виконаємо його перевірку. Нагадую, що там потрібно було побудувати рівняння площини за точкою та двома векторами . В результаті рішення ми отримали рівняння. Перевіряємо:

По-перше, підставимо координати точки в отримане рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, точка дійсно лежить у цій площині.

По-друге, із рівняння площини знімаємо вектор нормалі: . Оскільки вектори паралельні площині, а вектор перпендикулярний до площини, то повинні мати місце такі факти: . Перпендикулярність векторів легко перевірити за допомогою скалярного твору:

Висновок: рівняння площини знайдено правильно.

У ході перевірки я фактично процитував таке твердження теорії: вектор паралельний площині у тому й лише тому випадку, коли .

Вирішимо важливе завдання, яке має відношення і до уроку:

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо цей вектор через . Принципово краєвид виглядає так:

Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні.

Спочатку з рівняння площині знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того, щоб знайти одиничний вектор , потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора .

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку Скалярний добуток векторів, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора :

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (останні завдання уроку Скалярний добуток векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному.

Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання.