Пояснення теми перетворення виразів, що містять квадратне коріння. Використання властивостей коренів при перетворенні ірраціональних виразів, приклади, рішення

Відеоурок «Перетворення виразів, що містять операцію отримання квадратного кореня» - наочний посібник, за допомогою якого вчителю легше сформувати вміння та навички у вирішенні завдань, що містять вирази з квадратним коренем. У ході уроку нагадуються теоретичні основи, що служать основою для проведення операцій над числами і змінними, що є в підкореному вираженні, описується рішення безлічі видів завдань, які можуть вимагати вміння користуватися формулами перетворення виразів, що містять квадратний корінь, даються методи позбавлення від ірраціональності в знамені.

Відеоурок починається з демонстрації назви теми. Зазначається, що раніше під час уроків виконувались перетворення раціональних выражений. При цьому використовувалися теоретичні відомості про одночлени і багаточлени, методи роботи з багаточленами, дробами алгебри, а також формули скороченого множення. У даному відеоуроці розглядається введення операції із вилучення квадратного кореня для перетворення виразів. Учням нагадуються властивості операції із вилучення квадратного кореня. Серед таких властивостей зазначено, що після вилучення квадратного кореня з квадрата числа виходить саме число, корінь добутку двох чисел дорівнює добутку двох коренів від цих чисел, корінь два окремих чисел дорівнює приватному коренів від членів приватного. Остання розглянута властивість - витяг квадратного кореня з числа, зведеного в парний ступінь √a 2 n, яке в результаті утворює число ступеня a n . Розглянуті властивості дійсні будь-яких неотрицательных чисел.

Розглядаються приклади, у яких потрібні перетворення виразів, що містять квадратний корінь. Вказано, що в прикладах передбачено, що aі b є невід'ємними числами. У першому прикладі необхідно спростити вирази √16a 4 /9b 4 і √a 2 b 4 . У першому випадку застосовується властивість, що визначає, що корінь квадратний добутку двох чисел дорівнює добутку коріння з них. В результаті перетворення виходить вираз ab2. У другому виразі використовується формула перетворення квадратного кореня в приватне коріння. Підсумком перетворення є вираз 4a2/3b3.

У другому прикладі необхідно винести з-під знака квадратного кореня множник. Розглядається рішення виразів √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 . Приклад перетворення чотирьох виразів показує, як застосовується формула перетворення кореня добутку кількох чисел на вирішення подібних завдань. При цьому окремо відзначаються випадки, коли вирази містять числові коефіцієнти, параметри парної, непарної міри. В результаті перетворення виходять вирази √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

У третьому прикладі необхідно зробити операцію, протилежну тій, що у попередній задачі. Для внесення множника під знак квадратного кореня необхідно вміти користуватися вивченими формулами. Пропонується у виразах 2√2 та 3a√b/√3a внести множник перед дужками під знак кореня. Використовуючи відомі формули, множник, що стоїть перед знаком кореня, зводиться у квадрат і поміщається у вигляді множника у твір під знаком кореня. У першому виразі в результаті перетворення виходить вираз √8. У другому виразі спочатку застосовується формула коня твори для перетворення чисельника, а потім формула приватного кореня - для перетворення всього виразу. Після скорочення чисельника та знаменника у підкореному вираженні, виходить √3ab.

У прикладі 4 необхідно виконати дії у виразах (√a+√b)(√a-√b). Для вирішення цього виразу вводяться нові змінні, що замінюють одночлени, що містять знак кореня √a=х та √b=у. після підстановки нових змінних, очевидна можливість використання формули скороченого множення, після чого вираз набуває вигляду х 2 -у 2 . Повертаючись до вихідних змінних, отримуємо a-b. Другий вираз (√a+√b) 2 також можна перетворити за допомогою формули скороченого множення. Після розкриття дужок отримуємо результат a+2√ab+b.

У прикладі 5 проводиться розкладання на множники виразів 4a-4√ab+b та х√х+1. Для вирішення цього завдання необхідно виконати перетворення, виділити загальні множники. Після застосування властивостей квадратного кореня на вирішення першого виразу сума перетворюється на квадрат різниці (2√а-√b) 2 . Для вирішення другого виразу необхідно занести під корінь множник перед знаком кореня, потім застосувати формулу для суми кубів. Результатом перетворення стає вираз (х + 1) (х 2 -х + 1).

Приклад 6 демонструє розв'язання задачі, де потрібно спростити вираз (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Рішення завдання виконується чотири дії. У першій дії чисельник перетворюється на добуток за допомогою формули скороченого множення – суми кубів двох чисел. У другій дії перетворюється знаменник виразу, який набуває вигляду а-√3а+3. Після перетворення стає можливим скорочення дробу. В останній дії застосовується формула скороченого множення, яка допомагає отримати остаточний результат а-3.

У сьомому прикладі необхідно позбавитися квадратного кореня в знаменниках дробів 1/√2 та 1/(√3-√2). Під час вирішення завдання використовується основна властивість дробу. Щоб позбавитися кореня в знаменнику, чисельник і знаменник множаться на однакове число, за допомогою якого підкорене вираз зводиться в квадрат. В результаті обчислень отримуємо 1/√2=√2/2 та 1/(√3-√2)=√3+√2.

Вказуються особливості математичної мови під час роботи з висловлюваннями, що містять корінь. Зазначається, що вміст квадратного кореня у знаменнику дробу означає зміст ірраціональності. А про звільнення від знака кореня в такому знаменнику говорять як про звільнення від ірраціональності у знаменнику. Описуються методи, як можна позбавитися ірраціональності - для перетворення знаменника виду √а необхідно помножити чисельник одночасно зі знаменником на число √а, а для усунення ірраціональності для знаменника виду √а-√b, чисельник і знаменник множаться на сполучене вираз √а+√ b. Зазначається, що звільнення від ірраціональності в такому знаменнику дуже часто полегшує вирішення завдання.

Наприкінці відеоуроку розглядається спрощення виразу 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Щоб спростити вираз, застосовуються розглянуті вище способи позбавлення ірраціональності в знаменнику дробів. Отримані вирази складаються, після чого спрощений вид виразу має вигляд √5-2√3.

Відеоурок «Перетворення виразів, що містять операцію отримання квадратного кореня» рекомендується застосовувати на традиційному шкільному уроці для формування навичок вирішення завдань, в яких міститься квадратний корінь. З цією ж метою відео може бути використане вчителем під час дистанційного навчання. Також матеріал може бути рекомендований учням для самостійної роботи вдома.

Розділи: Математика

Цілі уроку:

Повторити визначення арифметичного квадратного кореня властивості арифметичного квадратного кореня.
Узагальнити та систематизувати знання учнів з цієї теми.
Закріпити навички та вміння розв'язання прикладів на тотожні перетворення виразів, що містять арифметичні квадратні корені.
Дати можливість кожному учневі якомога повніше розкрити свої можливості.
Розширювати кругозір і познайомити учнів із математиками середньовіччя.

Тип уроку:урок-практикум.

Обладнання уроку:матеріал, кольорова крейда, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакати з формулами.

Хід уроку

I.Організаційний момент.

Тема нашого уроку «Перетворення виразів, що містять арифметичні квадратні корені». Сьогодні на уроці ми повторюватимемо правила перетворення виразів, що містять квадратне коріння. Це і перетворення коренів з твору, дробу та ступеня, множення та розподіл коренів, винесення множника за знак кореня, внесення множника під знак кореня, приведення подібних доданків та звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

ІІ. Усне опитування з теорії.

Дайте визначення арифметичного квадратного кореня. ( Арифметичним квадратним коренем із числа а називається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а).
Перелічіть властивості арифметичного квадратного кореня. ( Арифметичний квадратний корінь із твору невід'ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників. Арифметичний квадратний корінь із дробу, чисельник якого невід'ємний, а знаменник позитивний, дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника).
Чому дорівнює значення арифметичного квадратного кореня з х 2? ( |х| ).
Чому дорівнює значення арифметичного квадратного кореня з х 2 якщо х≥0? х<0? (х. -х).

ІІІ. Усна робота. (Записано на дошці).

Знайдіть значення кореня:

Знайдіть значення виразу:

Внесіть множник під знак кореня:

Порівняйте:

IV. Відпрацювання знань з цієї теми. (На партах у кожного листок із завданнями).

1. Виконайте кроки.

Як вирішуватимемо приклади а і б? ( Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки).
Як вирішуватимемо приклади в і г? ( Застосуємо формулу різниці квадратів).
Як вирішуватимемо приклади д і е? ( Винесемо множник за знак кореня і наведемо подібні доданки).






	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Учні за варіантами виконують приклади у зошитах, 6 учнів за 1 прикладом вирішують біля задньої дошки).

– Перевірка через графопроектор. Кожній відповіді відповідає певна літера. В результаті виходять слово Декарт.

V. Історична довідка.

Учень виступає із невеликим повідомленням.

У 1626 році нідерландський математик А.Ширар ввів близьке до сучасного позначення кореня V. Якщо над цим знаком стояла цифра 2, це означало корінь квадратний, якщо 3 – кубічний. Це позначення почало витісняти знак Rx. Однак довгий час писали Vа + з горизонтальною рисою над сумою. Лише 1637 року Рене Декарт поєднав знак кореня з горизонтальною межею, застосувавши у своїй «Геометрії» сучасний знак кореня. Цей знак увійшов у загальне вживання лише на початку XVIII ст. ( На дошці – портрет Рене Декарта, малюнок).

VI. Відпрацювання знань на тему.

2. Розкладіть на множники.

а і б – розкладемо за формулою різниці квадратів, в і г – використовуючи визначення арифметичного квадратного кореня, замінимо 7 та 13 квадратами з квадратного коріння, а потім винесемо за дужки загальний множник).

а) а – 9, а≥0
б) 16 – в, в≥0

Учні вирішують у зошитах за варіантами, 2 особи (по одному від кожного варіанта) вирішують біля дошки.

- Перевірка.

3. Скоротіть дріб.

– Як виконуватимемо це завдання? ( Розкладемо на множники чи чисельник, чи знаменник, а потім скоротимо).

Учні вирішують у зошитах за варіантами, 4 особи вирішують біля дошки. Приклади дію вирішують додатково, хто встигне.

- Перевірка.

4. Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу.

– Що робитимемо в цьому завданні? ( Перетворимо дріб так, щоб знаменник не містив квадратного кореня: а і будемо домножувати і чисельник, і знаменник на квадратний корінь, записаний у знаменнику; в і г будемо домножувати на суму або різницю виразу, записаного в знаменнику для того, щоб вийшла різниця квадратів).

Учні вирішують за варіантами, 2 особи вирішують по 2 приклади біля дошки.

- Перевірка.

VII. Написання тесту.

У кожного на парті листок із завданнями тесту ( Додаток 1). Підписали листок та виконали завдання у цьому ж листку. Після написання роботи здали, перевірили відповіді та розібрали, чому так, через графопроектор.

VIII. Домашнє завдання.с. 109 № 503 (а-г), 504.

Матеріал цієї статті слід розглядати як частину теми перетворення ірраціональних виразів. Тут ми на прикладах розберемо всі тонкощі та нюанси (яких чимало), що виникають при проведенні перетворень на основі властивостей коренів.

Навігація на сторінці.

Згадаймо властивості коренів

Коли ми зібралися розбиратися з перетворенням виразів з використанням властивостей коренів, то не завадить згадати основні , а ще краще записати їх на папір і розташувати перед собою.

Спочатку вивчаються квадратні коріння і такі властивості (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - дійсні числа):

А пізніше уявлення про корені розширюється, вводиться визначення кореня n-ого ступеня, і розглядаються такі властивості (a, b, a 1, a 2, …, ak - дійсні числа, m, n, n 1, n 2, ... , n k - натуральні числа):

Перетворення виразів із числами під знаками коренів

Зазвичай спочатку вчаться працювати з числовими виразами, а вже після цього переходять до виразів зі змінними. Так зробимо і ми, і спочатку розберемося з перетворенням ірраціональних виразів, що містять під знаками коренів лише числові вирази, а вже далі в наступному пункті будемо вводити під знаки коріння та змінні.

Як це може бути використане для перетворення виразів? Дуже просто: наприклад, ірраціональний вираз ми можемо замінити виразом чи навпаки. Тобто, якщо в складі перетворюваного виразу міститься вираз, що збігається з вигляду з виразом з лівої (правої) частини будь-якої з перерахованих властивостей коренів, то його можна замінити відповідним виразом з правої (лівої) частини. У цьому полягає перетворення висловів з використанням властивостей коренів.

Наведемо ще кілька прикладів.

Спростимо вираз . Числа 3, 5 та 7 позитивні, тому ми можемо спокійно застосовувати властивості коренів. Тут можна діяти по-різному. Наприклад, корінь з урахуванням властивості можна як , а корінь з використанням властивості при k=3 - як , за такого підходу рішення матиме такий вид:

Можна було вчинити інакше, замінивши на , і далі на , в цьому випадку рішення виглядало б так:

Можливі інші варіанти рішення, наприклад, такий:

Розберемо рішення ще одного прикладу. Перетворимо вираз. Поглянувши на список властивостей коріння, вибираємо з нього потрібні нам властивості для вирішення прикладу, зрозуміло, що тут стануть у нагоді два з них і , які справедливі для будь-яких a . Маємо:

Як варіант, спочатку можна було перетворити вирази під знаками коріння з використанням

а вже далі застосовувати властивості коренів

До цього моменту ми перетворювали вирази, які містять лише квадратне коріння. Настав час попрацювати з корінням, яке має інші показники.

приклад.

Перетворіть ірраціональний вираз .

Рішення.

За якістю перший множник заданого твору можна замінити числом −2:

Йдемо далі. Другий множник у силу властивості можна уявити як , а 81 не завадить замінити четверним ступенем трійки, так як в інших множниках під знаками коріння фігурує число 3:

Корінь із дробу доцільно замінити ставленням коренів виду, яке можна перетворити й надалі: . Маємо

Отриманий вираз після виконання дій з двійками набуде вигляду , і залишається перетворити твір коренів.

Для перетворення творів коренів їх зазвичай призводять до одного показника, як доцільно брати показників всіх коренів. У нашому випадку НОК (12, 6, 12) = 12, і до цього показника доведеться наводити лише корінь, тому що інші два корені вже мають такий показник. Впоратися з цим завданням дозволяє рівність, яку застосовують праворуч наліво. Так . Враховуючи цей результат, маємо

Тепер твір коренів можна замінити коренем твору і виконати інші, очевидні, перетворення:

Оформимо короткий варіант рішення:

Відповідь:

Окремо наголосимо, що для застосування властивостей коренів необхідно враховувати обмеження, накладені на числа під знаками коренів (a≥0 тощо). Їхнє ігнорування може спровокувати виникнення невірних результатів. Наприклад, знаємо, що властивість має місце для неотрицательных a . На його основі ми можемо перейти, наприклад, від до , оскільки 8 – позитивне число. А ось якщо взяти корінь, що має сенс, з негативного числа, наприклад, , і на базі зазначеної вище властивості замінити його на , то ми фактично замінимо −2 на 2 . Справді, , а . Тобто, при негативних рівність може бути і неправильним, як можуть бути невірними та інші властивості коренів без урахування обумовлених для них умов.

Але сказане у попередньому пункті зовсім не означає, що вирази з негативними числами під знаками коренів неможливо перетворювати з використанням властивостей коренів. Їх просто попередньо потрібно «підготувати», застосувавши правила дій з числами або скориставшись визначенням кореня непарного ступеня з негативного числа, якому відповідає рівність , де a - негативне число (при цьому a - позитивне). Наприклад, не можна відразу замінити на , тому що −2 і −3 – негативні числа, але дозволяє нам від кореня перейти до , і вже далі застосовувати властивість кореня з твору: . А в одному з попередніх прикладів переходити від кореня до кореня вісімнадцятого ступеня потрібно було не так. , а так .

Отже, для перетворення виразів з використанням властивостей коренів треба

вибрати відповідну властивість зі списку,
переконатися, що числа під коренем задовольняють умовам для обраного властивості (інакше потрібно виконати попередні перетворення),
та провести задумане перетворення.

Перетворення виразів зі змінними під знаками коріння

Для перетворення ірраціональних виразів, які містять під знаком кореня як числа, а й змінні, властивості коренів, перелічені у першому пункті цієї статті, доводиться застосовувати акуратно. Це пов'язано здебільшого з умовами, яким повинні задовольняти числа, що беруть участь у формулах. Наприклад, спираючись на формулу , вираз можна замінити виразом лише для таких значень x , які задовольняють умовам x≥0 та x+1≥0 , оскільки зазначена формула задана для a≥0 та b≥0 .

Чим небезпечне ігнорування цих умов? Відповідь це питання наочно демонструє такий приклад. Припустимо, нам необхідно обчислити значення виразу при x=−2 . Якщо відразу підставити замість змінної x число −2 , то отримаємо потрібне значення . А тепер уявімо, що ми, виходячи з якихось міркувань, перетворили заданий вираз на вигляд, і тільки після цього вирішили обчислити значення. Підставляємо замість x число −2 і приходимо до виразу , яке немає сенсу.

Давайте простежимо, що відбувається з областю допустимих значень (ОДЗ) змінної x при переході від виразу до виразу . ОДЗ ми згадали невипадково, оскільки це серйозний інструмент контролю допустимості виконаних перетворень, і зміна ОДЗ після перетворення висловлювання має як мінімум насторожити. Знайти ОДЗ для зазначених виразів не складно. Для вираження ОДЗ визначається з нерівності x·(x+1)≥0 його рішення дає числове безліч (−∞, −1]∪∪)