Негативні числа на числовому колі. Урок "числове коло"

Якщо ви вже знайомі з тригонометричним колом , і хочете лише освіжити в пам'яті окремі елементи, або ви зовсім нетерплячі, - то він, :

Ми ж тут все докладно розбиратимемо крок за кроком.

Тригонометричне коло – не розкіш, а необхідність

Тригонометрія у багатьох асоціюється з непрохідною часткою. Раптом навалюється стільки значень тригонометричних функцій, стільки формул… А адже воно, як, – незалагодилося спочатку, і… пішло-поїхало… суцільне нерозуміння…

Дуже важливо не махати рукою на значення тригонометричних функцій, - Мовляв, завжди можна подивитися в шпору з таблицею значень.

Якщо ви постійно дивитеся в таблицю зі значеннями тригонометричних формул, давайте позбавлятися цієї звички!

Нас виручить! Ви кілька разів попрацюєте з ним, і далі він у вас сам спливатиме в голові. Чим він кращий за таблицю? Та в таблиці ви знайдете обмежену кількість значень, а на колі - ВСЕ!

Наприклад, скажіть, дивлячись у стандартну таблицю значень тригонометричних формул , Чому дорівнює синус, скажімо, 300 градусів, або -45.

Ніяк?.. можна, звичайно, підключити формули приведення… А дивлячись на тригонометричне коло, легко можна відповісти на такі запитання. І ви скоро знатимете як!

А при розв'язанні тригонометричних рівнянь і нерівностей без тригонометричного кола взагалі нікуди.

Знайомство з тригонометричним колом

Давайте по порядку.

Спочатку випишемо ось такий ряд чисел:

А тепер такий:

І, нарешті, такий:

Звісно, ​​зрозуміло, що, насправді, першому місці стоїть , другою місці стоїть , але в останньому – . Тобто нас буде більше цікавити ланцюжок.

Але як гарно вона вийшла! У разі чого – відновимо цю «драбинку-чуденечку».

І навіщо воно нам?

Цей ланцюжок – і є основні значення синуса та косинуса у першій чверті.

Накреслимо в прямокутній системі координат коло одиничного радіусу (тобто радіус по довжині беремо будь-який, а його довжину оголошуємо одиничною).

Від променя «0-Старт» відкладаємо у напрямку стрілки (див. мал.) кути.

Отримуємо відповідні точки на колі. Так от якщо спроектувати крапки на кожну з осей, то ми вийдемо якраз на значення із зазначеного вище ланцюжка.

То чому ж, запитаєте ви?

Не розбиратимемо все. Розглянемо принципщо дозволить впоратися і з іншими аналогічними ситуаціями.

Трикутник АОВ – прямокутний, у ньому. А ми знаємо, що проти кута лежить катет вдвічі менший гіпотенузи (гіпотенуза у нас = радіусу кола, тобто 1).

Значить, АВ = (а отже, і ЗМ =). А за теоремою Піфагора

Сподіваюся, що вже щось стає зрозуміло?

Так ось точка В і відповідатиме значенню , а точка М – значенню

Аналогічно з іншими значеннями першої чверті.

Як ви розумієте, звична нам вісь (ox) буде віссю косинусів, а вісь (oy) - віссю синусів . пізніше.

Зліва від нуля по осі косинусів (нижче від нуля по осі синусів) будуть, звичайно, негативні значення.

Отже, ось він, ВСІМНИЙ, без якого нікуди в тригонометрії.

А ось як користуватися тригонометричним колом, ми поговоримо у .

Розділ 2
3) числу

поставимо у відповідність крапку.

Одиничне коло із встановленою відповідністю назвемо

числовим колом.

Це друга геометрична модель для безлічі дійсних

чисел. Першу модель – числову пряму – учні знають. Є

аналогія: для числової прямої правила відповідності (від числа до точки)

майже дослівно таке саме. Але є й принципова відмінність – джерело

основних труднощів у роботі з числовим колом: на прямий кожна

точка відповідає єдиномучислу, на колі це негаразд. Якщо

кола відповідає числу, то вона відповідає і всім

числам виду

Де – довжина одиничного кола, а – ціле

Рис. 1

число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу

бік.

Цей момент важкий учнів. Слід запропонувати їм для

розуміння суті справи реальне завдання:

Бігова доріжка стадіону має довжину 400 м, бігун знаходиться за 100 м

від місця старту. Який шлях він пробіг? Якщо він тільки почав біг, то

пробіг 100 м; якщо встиг пробігти одне коло, то – (

Два кола - (); якщо встиг пробігти

кіл, то шлях складе (

). Ось тепер можна порівняти

отриманий результат із виразом

приклад 1.Яким числам відповідає точка

числового кола

Рішення. Оскільки довжина всього кола

То довжина її чверті

А тому – усім числам виду

Аналогічно встановлюється, яким числам відповідають точки

називають відповідно першою, другою, третьою,

четвертою чвертями числового кола.

Вся шкільна тригонометрія будується на моделі числової

кола. Досвід показує, що недоробки з цією моделлю занадто

поспішне введення тригонометричних функцій не дозволяють створити

надійний фундамент для успішного засвоєння матеріалу. Отже, не

потрібно поспішати, а відвести деякий час на розгляд наступних

п'яти різних типів завдань із числовим колом.

Перший тип завдань. Знаходження на числовому колі точок,

відповідних заданим числам, вираженим у частках числа

приклад 2.

числам

Рішення. Розділимо дугу

навпіл крапкою на три рівні частини –

точками

(Рис.2). Тоді

Значить, числу

Відповідає точка

Число
приклад

3.
на

числовий

кола

точки,

відповідні числам:

Рішення. Будівлі будемо проводити

а) Відклавши дугу

(її довжина

) п'ять раз

від крапки

у негативному напрямку,

отримаємо точку

б) Відклавши дугу

(її довжина

) сім разів від

у позитивному напрямку, отримаємо точку, що відокремлює

третину дуги

Вона і буде відповідати числу

в) Відклавши дугу

(її довжина

) п'ять разів від точки

у позитивному

напрямку, отримаємо точку

Відокремлює третину дуги. Вона і

буде відповідати числу

(досвід показує, що краще відкладати не

п'ять разів за

А 10 разів за

Після цього прикладу доречно навести два головні макети числової

кола: першому їх (рис.3) все чверті розділені навпіл, на

другому (рис.4) – на три рівні частини. Ці макети корисно мати у кабінеті

математики.

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Обов'язково слід обговорити з учнями питання: що буде, якщо за

кожному з макетів рухатися над позитивному, а негативному

напрямку? На першому макеті виділеним точкам доведеться присвоїти

інші «імена»: відповідно

і т.д.; на другому макеті:

Другий тип завдань. Знаходження на числовому колі точок,

відповідних заданим числам, не вираженим у частках числа

приклад 4.Знайти на числовому колі точки, відповідні

числам 1; 2; 3; -5.

Рішення.

Тут доведеться спиратися на те, що

Тому точка 1

розташовується на дузі

ближче до точки

Точки 2 та 3 – на дузі, перша –

Друга - ближче до (рис.5).

Дещо докладніше зупинимося

на знайденні точки, що відповідає числу - 5.

Рухатися треба з точки

у негативному напрямі, тобто. за годинниковою

Рис. 5

стрілки. Якщо пройти в цьому напрямку до точки

Отримаємо

Значить, точка, що відповідає числу - 5, розташована

трохи правіше точки

(Див. рис.5).

Третій тип завдань. Складання аналітичних записів (подвійних

нерівностей) для дуг числового кола.

Фактично ми діємо з того

ж плану, який використовувався в 5-8

класах для вивчення числової прямої:

спочатку за кількістю знаходять точку, потім за

точці – число, потім використовують подвійні

нерівності для запису проміжків на

числовий прямий.

Розглянемо для прикладу відкриту

Де – середина першої

чверті числового кола, а

– середина її

другий чверті (рис.6).

Нерівності, що характеризують дугу, тобто. являють собою

аналітичну модель дуги, пропонується складати у два етапи. На першому

етапі складають ядро аналітичного запису(це головне, чого слід

навчити школярів); для заданої дуги

На другому

На етапі складають загальний запис:

Якщо ж йдеться про дугу

То при записі ядра треба врахувати, що

() лежить усередині дуги, а тому до початку дуги доводиться рухатись

у негативному напрямку. Значить, ядро ​​аналітичного запису дуги

має вигляд

Рис. 6

Терміни «ядро аналітичної

записи дуги», «аналітичний запис

дуги» не є загальноприйнятими,

міркувань.

Четвертий

задач.

Знаходження

декартових

координат

точок числового кола, центр

якої поєднаний з початком системи

координат.

Спочатку розглянемо один досить тонкий момент, досі

практично не згадується в шкільних підручниках, що діють.

Приступаючи до вивчення моделі «числове коло на координатній

площині», вчителі повинні чітко усвідомлювати, які труднощі чекають

тут учнів. Ці труднощі пов'язані з тим, що з вивчення зазначеної

моделі від школярів потрібний досить високий рівень

математичної культури, адже їм доводиться працювати одночасно в

двох системах координат – у «криволінійній», коли інформація про

положенні точки знімається по колу (числу

відповідає на

кола точка

(); – «криволінійна координата» точки), і в

декартової прямокутної системи координат (у точки

Як у будь-якої точки

координатної площини, є абсциса та ордината). Завдання вчителя – допомогти

школярам у подоланні цих природних труднощів. На жаль,

зазвичай у шкільних підручниках на це не звертають уваги і з самих

перших уроків використовують записи

Не враховуючи, що буква в

свідомості школяра чітко асоціюється з абсцисою в декартовій

прямокутної системи координат, а не з довжиною пройденого по числовій

кола шляху. Тому при роботі з числовим колом не слід

використовувати символи

Рис. 7

Повернемося до четвертого типу завдань. Йдеться про перехід від запису

записи

(), тобто. від криволінійних координат до декартових.

Сумісний числове коло з декартовою прямокутною системою

координат, як показано на рис. 7. Тоді точки

будуть мати

наступні координати:

() () () (). Дуже важливо

навчити школярів визначати координати всіх точок, які

відзначені на двох основних макетах (див. рис.3,4). Для точки

Все зводиться до

розгляду рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою

Його катети рівні

Отже, координати

). Аналогічно справи з точками

Але різниця лише в тому, що треба враховувати

знаки абсциси та ординати. Саме:

Що слід запам'ятати учням? Тільки те, що модулі абсциси та

ординати у середин всіх чвертей рівні

А знаки вони мають уміти

визначати кожної точки безпосередньо за кресленням.

Для точки

Все зводиться до розгляду прямокутного

трикутника з гіпотенузою 1 та кутом

(Рис.9). Тоді катет,

протилежний куту

Дорівнюватиме

прилеглий

√

Значить,

координати точки

Аналогічно справи з точкою

тільки катети «змінюються місцями», а тому

Рис. 8

Рис. 9

отримуємо

). Саме значення

(з точністю до знаків) і будуть

"обслуговувати" всі точки другого макета (див. рис.4), крім точок

як абсцис і ординат. Пропонований спосіб запам'ятовування: «де коротше,

; де довше, там

Приклад 5.Знайти координати точки

(Див. рис.4).

Рішення. Крапка

Розташована ближче до вертикальної осі, ніж до

горизонтальною, тобто. модуль її абсциси менший, ніж модуль її ординати.

Значить, модуль абсциси дорівнює

Модуль ординати дорівнює

Знаки в обох

випадках негативні (третя чверть). Висновок: точка

Має координати

У четвертому типі завдань знаходяться декартові координати всіх

точок, представлених на першому та другому макетах, про які згадувалося

Фактично в курсі даного типу завдань ми готуємо учнів до

обчислення значень тригонометричних функцій. Якщо все тут буде

відпрацьовано достатньо надійно, то перехід на новий ступінь абстракції

(ордината – синус, абсциса – косинус) виявиться менш болючим, ніж

Четвертий тип включає завдання такого типу: для точки

знайти знаки декартових координат

Рішення не повинно викликати труднощі у учнів: числу

відповідає точка

Четвертої чверті, отже, .

П'ятий тип завдань.Знаходження на числовому колі точок по

заданим координатам.

Приклад 6.Знайти на числовому колі точки з ординатою

записати, яким числам вони відповідають.

Рішення. Пряма

Перетинає числове коло в точках
(Рис.11). За допомогою другого макету (див. рис.4) встановлюємо, що точка

відповідає числу

Значить, вона

відповідає всім числам виду
відповідає числу

Отже, і

всім числам виду

Відповідь:

Приклад 7.Знайти на числовій

кола точки з абсцисою

записати, яким числам вони відповідають.

Рішення. Пряма
√

перетинає числове коло в точках

– середини другої та третьої чвертей (рис.10). За допомогою першого

макета встановлюємо, що точка

відповідає числу

Отже, всім

числам виду

відповідає числу

Отже, всім

числам виду

Відповідь:

Потрібно обов'язково показати другий варіант

запису відповіді наприклад 7. Адже точка

відповідає і числу

Тобто. всім числам виду

отримуємо:

Рис. 10

Рис.11

Підкреслимо незаперечну важливість

п'ятого типу завдань. Фактично ми привчаємо

школярів

рішенню

найпростіших

тригонометричних рівнянь: у прикладі 6

йдеться про рівняння

А в прикладі

– про рівняння

розуміння суті справи важливо навчити

школярів вирішувати рівняння видів

по числовому колу,

не поспішаючи переходити до формул

Досвід показує, що якщо перша стадія (робота на

числового кола) не відпрацьована досить надійно, то друга стадія

(робота за формулами) сприймається школярами формально, що,

Звичайно, треба долати.

Аналогічно прикладам 6 і 7 слід знайти на числовому колі

крапки з усіма «головними» ординатами та абсцисами

як особливі сюжети доречно виділити такі:

Зауваження 1.У пропедевтичному плані корисна підготовча

робота до теми "Довжина кола" в курсі геометрії 9-го класу. Важливий

порада: у систему вправ слід включити завдання запропонованого типу

нижче. Одиничне коло поділено на чотири рівні частини крапками

дуга розділена крапкою навпіл, а дуга розділена крапками

на три рівні частини (рис.12). Чому рівні довжини дуг

(вважається, що обхід кола здійснюється в позитивному

напрямі)?

Рис. 12

П'ятий тип завдань включає і роботу з умовами типу

означає,
до

рішенню

найпростіших

тригонометричних нерівностей ми також «підбираємось» поступово.

п'яти уроків і лише на шостому уроці слід запровадити визначення синуса та

косинуса як координат точки числового кола. При цьому

доцільно знову вирішувати всі типи завдань зі школярами, але вже з

використанням введених позначень, пропонуючи виконати такі,

наприклад, завдання: обчислити

Вирішити рівняння

нерівність

і т.д. Підкреслимо, що на перших уроках

тригонометрії найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності

є не метоюнавчання, а використовуються як засобидля

засвоєння головного – визначень синуса та косинуса як координат точок

числового кола.

Нехай числу

відповідає точка

числового кола. Тоді її абсциса

називається косінусом числа

і позначається

А її ордината називається синусом числа

та позначається. (Рис.13).

З цього визначення відразу можна

встановити знаки синуса та косинуса по

чвертям: для синусу

Для косинуса

Присвячувати цьому цілий урок (як це

прийнято) навряд чи доцільно. Не слід

змушувати школярів запам'ятовувати ці знаки: будь-яке механічне

запам'ятовування, заучування - це насильницький прийом, якому учні,

>> Числове коло

Вивчаючи курс алгебри 7-9-го класів, досі мали справу з алгебраїчними функціями, тобто. функціями, заданими аналітично виразами, в записі яких використовувалися алгебраїчні операції над числами та змінною (додавання, віднімання, множення, поділ, зведення у ступінь, витяг квадратного кореня). Але математичні моделі реальних ситуацій часто бувають пов'язані з функціями іншого типу, не алгебраїчними. З першими представниками класу неалгебраїчних функцій – тригонометричними функціями – ми познайомимося у цьому розділі. Більш детально вивчати тригонометричні функції та інші види неалгебраїчних функцій (показові та логарифмічні) вам належить у старших класах.
Для введення тригонометричних функцій нам знадобиться нова математична модель- Чисельне коло, з яким ви досі не зустрічалися, зате добре знайомі з числовою прямою. Нагадаємо, що числова пряма - це пряма, на якій задані початкова точка О, масштаб (поодинокий відрізок) та позитивний напрямок. Будь-яке дійсне число ми можемо зіставити з точкою на прямій та назад.

Як за кількістю х знайти на прямій відповідну точку М? Число 0 відповідає початкова точка О. Якщо х > 0, то, рухаючись по прямій з точки 0 в позитивному напрямку, потрібно пройти п'ять довжиною х; кінець цього шляху буде шуканою точкою М(х). Якщо х< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Як ми вирішували зворотне завдання, тобто. як шукали координату х заданої точки М на числовій прямій? Знаходили довжину відрізка ОМ і брали її зі знаком «+» або * - » залежно від того, з якого боку від точки розташована на прямій точка М.

Але в реальному житті рухатися доводиться не тільки прямою. Досить часто розглядається рух по кола. Ось конкретний приклад. Вважатимемо бігову доріжку стадіону колом (насправді це, звичайно, не коло, але згадайте, як зазвичай кажуть спортивні коментатори: «бігун пробіг коло», «до фінішу залишилося пробігти півкола» і т.д.), її довжина дорівнює 400 м. Відзначено старт - точка А (рис. 97). Бігун із точки А рухається по колу проти годинникової стрілки. Де він буде за 200 м? через 400 м? через 800 м? через 1500 м? А де провести фінішну межу, якщо він біжить марафонську дистанцію 42 км 195 м?

Через 200 м він перебуватиме в точці С, діаметрально протилежній точці А (200 м - це довжина половини бігової доріжки, тобто довжина половини кола). Пробігши 400 м (тобто «одне коло», як кажуть спортсмени), він повернеться до точки А. Пробігши 800 м (тобто «два кола»), він знову опиниться в точці А. А що таке 1500 м ? Це «три кола» (1200 м) плюс 300 м, тобто. 3

Бігова доріжка - фініш цієї дистанції буде в точці 2) (рис. 97).

Нам лишилося розібратися з марафоном. Пробігши 105 кіл, спортсмен подолає шлях 105-400 = 42 000 м, тобто. 42 км. До фінішу залишається 195 м, це на 5 м менше від половини довжини кола. Отже, фініш марафонської дистанції буде у точці М, розташованій біля точки С (рис. 97).

Зауваження. Ви, ясна річ, розумієте умовність останнього прикладу. Марафонську дистанцію стадіону ніхто не бігає, максимум становить 10 000 м, тобто. 25 кіл.

По біговій доріжці стадіону можна пробігти чи пройти шлях будь-якої довжини. Отже, будь-якому позитивному числу відповідає якась точка – «фініш дистанції». Понад те, можна й будь-якому негативному числу поставити у відповідність точку кола: просто треба змусити спортсмена бігти протилежному напрямі, тобто. стартувати з точки А не в напрямку проти, а в напрямку за годинниковою стрілкою. Тоді бігову доріжку стадіону можна розглядати як числове коло.

В принципі, будь-яке коло можна розглядати як числове, але в математиці умовилися використовувати для цієї мети одиничне коло - коло з радіусом 1. Це буде наша «бігова доріжка». Довжина Ь кола з радіусом К обчислюється за формулою Довжина половини кола дорівнює n, а довжина чверті кола - АВ, ПС, СБ, ДА на рис. 98 - дорівнює Умовимося називати дугу АВ першою чвертю одиничного кола, дугу ВС - другою чвертю, дугу СB - третьою чвертю, дугу DA - четвертою чвертю (рис. 98). У цьому зазвичай йдеться про Відкриту дугу, тобто. про дугу без її кінців (щось на зразок інтервалу на числовій прямій).

Визначення.Дано одиничне коло, на ньому відзначено початкову точку А - правий кінець горизонтального діаметра (рис. 98). Поставимо у відповідність кожному дійсному числу I точку кола за наступним правилом:

1) якщо x > 0, то, рухаючись з точки А в напрямку проти годинникової стрілки (позитивний напрямок обходу кола), опишемо по колу шлях довжиною і кінцева точка М цього шляху і буде точкою: М = М(x);

2) якщо x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 поставимо у відповідність точку А: А = А(0).

Одиничне коло з встановленим відповідністю (між дійсними числами і точками кола) називатимемо числовим колом.
приклад 1.Знайти на числовому колі
Так як перші шість із заданих семи чисел позитивні, то для відшукання відповідних їм точок на колі потрібно пройти колом шлях заданої довжини, рухаючись з точки А в позитивному напрямку. Врахуємо при цьому, що

Число 2 відповідає точка А, оскільки, пройшовши по колу шлях довжиною 2, тобто. рівно одне коло, ми знову потрапимо до початкової точки А Отже, А = А(2).
Що таке Отже, рухаючись з точки А в позитивному напрямку, потрібно пройти ціле коло.

Зауваження.Коли ми у 7-8-му класах працювализ числовою прямою, то умовилися, заради стислості, не говорити «точка прямої, що відповідає числу х», а говорити «точка х». Такої ж домовленості будемо дотримуватися і при роботі з числовим колом: «точка f» - це означає, що йдеться про точку кола, що відповідає числу
приклад 2.
Розділивши першу чверть АВ на три рівні частини точками К і Р, отримаємо:

приклад 3.Знайти на числовому колі точки, що відповідають числам
Побудови робитимемо, користуючись рис. 99. Відклавши дугу АМ (її довжина дорівнює -) від точки А п'ять разів у негативному напрямку, отримаємо точку! - середину дуги ВС. Отже,

Зауваження.Зверніть увагу на деяку вільність, яку дозволяємо собі у використанні математичної мови. Зрозуміло, що дуга АК і довжина дуги АК - різні речі (перше поняття - геометрична фігура, а друге поняття - число). Але позначається і те й інше однаково: АК. Понад те, якщо точки А і До з'єднати відрізком, те й отриманий відрізок, та її довжина позначаються як і: АК. Зазвичай із контексту буває ясно, який сенс вкладається в позначення (дуга, довжина дуги, відрізок чи довжина відрізка).

Тому нам дуже знадобляться два макети числового кола.

ПЕРШИЙ МАКЕТ
Кожна з чотирьох чвертей числового кола розділена на дві рівні частини, і біля кожної з восьми точок записані їх «імена» (рис. 100).

ДРУГИЙ МАКЕТКожна з чотирьох чвертей числового кола розділена на три рівні частини, і біля кожної з наявних дванадцяти точок записані їхні «імена» (рис. 101).

Майте на увазі, що на обох макетах ми могли б заданим точкам привласнити й інші «імена».
Чи помітили ви, що у всіх розібраних прикладах довжини дуг
висловлювалися деякими частками числа п? Це не дивно: адже довжина одиничного кола дорівнює 2п, і якщо ми коло або її чверть ділимо на рівні частини, то виходять дуги, довжини яких виражаються частками числа і. А як ви думаєте, чи можна знайти на одиничному колі таку точку Е, що довжина дуги АЕ дорівнюватиме 1? Давайте прикинемо:

Розмірковуючи аналогічним чином, робимо висновок, що на одиничному колі можна знайти і точку Ег, для якої АЕ = 1, і точку Е2, для якої АЕг = 2, і точку Е3, для якої АЕ3 = 3, і точку Е4, для якої АЕ4 = 4, і точку Еь, на яку АЕЪ = 5, і точку Е6, на яку АЕ6 = 6. На рис. 102 відзначені (приблизно) відповідні точки (причому для орієнтування кожна з чвертей одиничного кола розділена рисками на три рівні частини).

приклад 4.Знайти на числовому колі точку, що відповідає числу -7.

Нам потрібно, вирушаючи з точки А(0) і рухаючись у негативному напрямку (у напрямку за годинниковою стрілкою), пройти колом шлях довжиною 7. Якщо пройти одне коло, то отримаємо (наближено) 6,28, значить, потрібно ще пройти ( у тому напрямі) шлях довжиною 0,72. Що це за дуга? Трохи менше половини чверті кола, тобто. її довжина менше від числа -.

Отже, начислового кола, як і начисловий прямий, кожному дійсному числу відповідає одна точка (тільки, зрозуміло, на прямій її знайти легше, ніж на кола). Але для прямої вірно і зворотне: кожна точка відповідає однині. Для числового кола таке твердження неправильне, ми неодноразово переконувалися в цьому. Для числового кола справедливе таке твердження.
Якщо точка М числової кола відповідає числу I, вона відповідає і числу виду I + 2як, де до - будь-яке ціле число (к е 2).

Справді, 2п - довжина числової (одиничного) кола, а ціле число | й | можна розглядати як кількість повних обходів кола в той чи інший бік. Якщо, наприклад, до = 3, це означає, що ми робимо три обходу кола в позитивному напрямку; якщо до = -7, це означає, що ми робимо сім (| до | = | -71 = 7) обходів кола у негативному напрямі. Але якщо ми у точці М(1), то, виконавши ще | до | повних обходів кола, ми знову опинимося у точці М.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

При вивченні тригонометрії у школі кожен учень стикається з дуже цікавим поняттям «числове коло». Від уміння шкільного вчителя пояснити, що це таке, і навіщо вона потрібна, залежить, наскільки добре учень підемо тригонометрію згодом. На жаль, далеко не кожен вчитель може пояснити цей матеріал. У результаті багато учнів плутаються навіть із тим, як відзначати точки на числовому колі. Якщо ви дочитаєте цю статтю до кінця, навчитеся робити це без проблем.

Отже, почнемо. Намалюємо коло, радіус якого дорівнює 1. Саму «праву» точку цього кола позначимо буквою O:

Вітаю, ви щойно намалювали одиничне коло. Оскільки радіус цього кола дорівнює 1, його довжина дорівнює .

Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність довжину траєкторії вздовж числового кола від точки O. За позитивний напрямок приймається напрямок руху проти годинникової стрілки. За негативне – за годинниковою стрілкою:

Розташування точок на числовому колі

Як ми вже зазначали, довжина числового кола (одиничного кола) дорівнює . Де тоді буде розташовуватися на цьому колі число? Очевидно, від точки Oпроти годинникової стрілки потрібно пройти половину довжини кола, і ми опинимося в потрібній точці. Позначимо її літерою B:

Зверніть увагу, що в ту ж точку можна було б потрапити, пройшовши півколо в негативному напрямку. Тоді б ми відклали на одиничному колі число. Тобто числам і відповідає та сама точка.

Причому цій точці відповідають також числа , , , і, взагалі, нескінченне безліч чисел, які можна записати як , де , тобто належить безлічі цілих чисел. Все це тому, що з точки Bможна здійснити «кругосвітнє» подорож в будь-який бік (додати або відняти довжину кола) і потрапити в ту саму точку. Отримуємо важливий висновок, який потрібно зрозуміти та запам'ятати.

Кожному числу відповідає єдина точка на числовому колі. Але кожній точці на числовому колі відповідає нескінченно багато чисел.

Розіб'ємо тепер верхнє півколо числового кола на дуги рівної довжини крапкою C. Легко бачити, що довжина дуги OCдорівнює. Відкладемо тепер від крапки Cдугу тієї ж довжини у напрямку проти годинникової стрілки. В результаті потрапимо в крапку B. Результат цілком очікуваний, оскільки . Відкладемо цю дугу в тому самому напрямку ще раз, але тепер уже від точки B. В результаті потрапимо в крапку D, яка вже відповідатиме числу :

Зауважимо знову, що ця точка відповідає не тільки числу , але і, наприклад, числу , тому що в цю точку можна потрапити, відклавши від крапки Oчверть кола у напрямку руху годинникової стрілки (у негативному напрямку).

І взагалі, відзначимо знову, що цій точці відповідає нескінченно багато чисел, які можна записати у вигляді . Але їх також можна записати у вигляді. Або, якщо хочете, як . Всі ці записи є абсолютно рівнозначними, і вони можуть бути отримані одна з іншої.

Розіб'ємо тепер дугу на OCнавпіл крапкою M. Зрозумійте тепер, чому дорівнює довжина дуги OM? Правильно, вдвічі менше за дугу OC. Тобто . Яким числам відповідає точка Mна числовому колі? Впевнений, що тепер ви зрозумієте, що ці числа можна записати як .

Але можна й інакше. Давайте у поданій формулі візьмемо. Тоді отримаємо, що . Тобто ці числа можна записати у вигляді . Той самий результат можна було отримати, використовуючи числове коло. Як я вже казав, обидва записи рівнозначні, і вони можуть бути отримані одна з одної.

Тепер ви можете легко навести приклад чисел, яким відповідають точки N, Pі Kна числовому колі. Наприклад, числам , і :

Часто саме мінімальні позитивні числа і беруть для позначення відповідних точок на числовому колі. Хоча це зовсім не обов'язково, і точці NЯк ви вже знаєте, відповідає безліч інших чисел. У тому числі, наприклад, число .

Якщо розбити дугу OCна три рівні дуги крапками Sі L, так що крапка Sлежатиме між точками Oі L, то довжина дуги OSбуде рівна , а довжина дуги OLбуде дорівнює. Використовуючи знання, які ви отримали в попередній частині уроку, ви легко зрозумієте, як вийшли інші точки на числовому колі:

Числа не кратні π на числовому колі

Задамося тепер питанням, де на числовій прямій відзначити точку, що відповідає числу 1? Щоб це зробити, треба від самої «правої» точки одиничного кола Oвідкласти дугу, довжина якої дорівнювала 1. Вказати місце шуканої точки ми можемо лише приблизно. Вчинимо наступним чином.

Числове коло- це одиничне коло, точки якого відповідають певним дійсним числам.

Одиничним колом називають коло радіуса 1.

Загальний вигляд числового кола.

1) Її радіус приймається за одиницю виміру.

2) Горизонтальний і вертикальний діаметри ділять числове коло чотирма чверті. Їх відповідно називають першою, другою, третьою та четвертою чвертю.

3) Горизонтальний діаметр позначають AC, причому А – це крайня правакрапка.
Вертикальний діаметр позначають BD, причому B - крайня верхня точка.
Відповідно:

перша чверть – це дуга AB

друга чверть – дуга BC

третя чверть – дуга CD

четверта чверть – дуга DA

4) Початкова точка числового кола - точка А.

Відлік за числовим колом може вестись як за годинниковою стрілкою, так і проти годинникової стрілки.

Відлік від точки А протигодинникова стрілка називається позитивним напрямом.

Відлік від точки А погодинникова стрілка називається негативним напрямом.

Числове коло на координатній площині.

Центр радіусу числового кола відповідає початку координат (числу 0).

Горизонтальний діаметр відповідає осі x, вертикальний - осі y.

Початкова точка А числовий окружности знаходиться на осіxта має координати (1; 0).

Імена та місцезнаходження основних точок числового кола:

Як запам'ятати імена числового кола.

Є кілька простих закономірностей, які допоможуть вам легко запам'ятати основні імена числового кола.

Перед тим, як почати, нагадаємо: відлік ведеться в позитивному напрямку, тобто від точки А (2π) проти годинникової стрілки.

1) Почнемо з крайніх точок на осях координат.

Початкова точка - це 2π (крайня права точка на осі х, рівна 1).

Як ви знаєте, 2π - це довжина кола. Отже, половина кола - це 1π чи π. Ось хділить коло саме навпіл. Відповідно, крайня ліва точка на осі х, Рівна -1, називається π.

Крайня верхня точка на осі у, рівна 1, ділить верхню півколо навпіл. Значить, якщо півколо - це π, то половина півкола - це π/2.

Одночасно π/2 - це чверть кола. Відрахуємо три таких чверті від першої до третьої - і ми прийдемо до крайньої нижньої точки на осі у, що дорівнює -1. Але якщо вона включає три чверті – означає ім'я їй 3π/2.

2) Тепер перейдемо до решти точок. Зверніть увагу: всі протилежні точки мають однаковий знаменник - причому це протилежні точки щодо осі у, і щодо центру осей, і щодо осі х. Це нам і допоможе знати їх значення точок без зубріння.

Треба запам'ятати лише значення точок першої чверті: π/6, π/4 та π/3. І тоді ми «побачимо» деякі закономірності:

- Щодо осі у у точках другої чверті, протилежних точкам першої чверті, числа в чисельниках на 1 менше за величину знаменників. Наприклад, візьмемо точку π/6. Протилежна їй точка щодо осі утеж у знаменнику має 6, а чисельнику 5 (на 1 менше). Тобто ім'я цієї точки: 5/6. Точка, протилежна π/4 теж має у знаменнику 4, а чисельнику 3 (на 1 менше, ніж 4) - тобто це точка 3π/4.
Точка, протилежна π/3, теж має знаменнику 3, а чисельнику на 1 менше: 2π/3.

- Щодо центру осей координатвсе навпаки: числа в чисельниках протилежних точок (у третій чверті) на 1 більше за значення знаменників. Візьмемо знову точку π/6. Протилежна їй щодо центру точка також має у знаменнику 6, а чисельнику число на 1 більше - тобто це 7π/6.
Точка, протилежна точці π/4, теж має знаменнику 4, а чисельнику число на 1 більше: 5π/4.
Точка, протилежна точці π/3, теж має знаменнику 3, а чисельнику число на 1 більше: 4π/3.

- Щодо осі х(четверта чверть)справа складніша. Тут треба до величини знаменника додати число, яке на 1 менше - ця сума і дорівнюватиме числової частини чисельника протилежної точки. Почнемо знову із π/6. Додамо до величини знаменника, що дорівнює 6, число, яке на 1 менше від цього числа - тобто 5. Отримуємо: 6 + 5 = 11. Значить, протилежна їй щодо осі хточка буде мати в знаменнику 6, а в чисельнику 11 - тобто 11/6.

Крапка π/4. Додаємо до величини знаменника число на 1 менше: 4 + 3 = 7. Отже, протилежна їй щодо осі хточка має в знаменнику 4, а в чисельнику 7 - тобто 7/4.
Крапка π/3. Знаменник дорівнює 3. Додаємо до 3 на одиницю менше число - тобто 2. Отримуємо 5. Отже, протилежна їй точка має у чисельнику 5 - і це точка 5π/3.

3) Ще одна закономірність для точок середин чвертей. Зрозуміло, що їхній знаменник дорівнює 4. Звернімо увагу на чисельники. Чисельник середини першої чверті – це 1π (але 1 не прийнято писати). Чисельник середини другої чверті – це 3π. Чисельник середини третьої чверті – це 5π. Чисельник середини четвертої чверті – це 7π. Виходить, що у чисельниках середин чвертей - чотири перші непарні числа в порядку їх зростання:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Це також дуже просто. Оскільки середини всіх чвертей мають у знаменнику 4, ми вже знаємо їх повні імена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особливості числового кола. Порівняння з числовою прямою.

Як ви знаєте, на числовій прямій кожна точка відповідає однині. Наприклад, якщо точка А на прямій дорівнює 3, вона вже не може дорівнювати ніякому іншому числу.

На числовому колі все інакше, оскільки це коло. Наприклад, щоб з точки А кола дійти точки M, можна зробити це, як на прямий (тільки пройшовши дугу), а можна і обігнути ціле коло, а потім вже прийти до точки M. Висновок:

Нехай точка M дорівнює якомусь числу t. Як ми знаємо, довжина кола дорівнює 2π. Отже, точку кола t ми можемо записати подвійно: t чи t + 2π. Це рівнозначні величини.
Тобто t=t+2π. Різниця лише в тому, що в першому випадку ви дійшли точки M відразу, не роблячи кола, а в другому випадку ви зробили коло, але в результаті опинилися в тій же точці M. Таких кіл можна зробити і два, і три, і двісті . Якщо позначити кількість кіл буквою n, то отримаємо новий вираз:
t = t + 2π n.

Звідси формула: