Чому виконуються найважливіші властивості тригонометричних операцій. Тригонометрія - це просто і зрозуміло

Синус, косинус, тангенс - при проголошенні цих слів у присутності учнів старших класів можна бути впевненим, що дві третини з них втратить інтерес до подальшої розмови. Причина полягає в тому, що основи тригонометрії у школі викладаються у повному відриві від реальності, а тому учні не бачать сенсу у вивченні формул та теорем.

Насправді дана область знань при найближчому розгляді виявляється дуже цікавою, а також прикладною - тригонометрія знаходить застосування в астрономії, будівництві, фізиці, музиці та багатьох інших областях.

Ознайомимося з основними поняттями та назвемо кілька причин вивчити цей розділ математичної науки.

Історія

Невідомо, коли людство почало створювати майбутню тригонометрію з нуля. Однак документально зафіксовано, що вже у другому тисячолітті до нашої ери єгиптяни були знайомі з азами цієї науки: археологами знайдено папірус із завданням, в якому потрібно знайти кут нахилу піраміди з двох відомих сторін.

Більш серйозних успіхів досягли вчені Стародавнього Вавилону. Протягом століть займаючись астрономією, вони освоїли низку теорем, запровадили особливі способи вимірювання кутів, якими, до речі, ми користуємося сьогодні: градуси, хвилини та секунди були запозичені європейською наукою у греко-римській культурі, до якої ці одиниці потрапили від вавилонян.

Передбачається, що знаменита теорема Піфагора, що відноситься до основ тригонометрії, була відома вавилонянам майже чотири тисячі років тому.

Назва

Дослівно термін «тригонометрія» можна перекласти як «вимір трикутників». Основним об'єктом вивчення в рамках даного розділу науки протягом багатьох століть був прямокутний трикутник, а точніше – взаємозв'язок між величинами кутів та довжинами його сторін (сьогодні з цього розділу починається вивчення тригонометрії з нуля). У житті нерідкі ситуації, коли практично виміряти всі необхідні параметри об'єкта (або відстань до об'єкта) неможливо, і тоді виникає необхідність відсутні дані отримати за допомогою розрахунків.

Наприклад, у минулому людина не могла виміряти відстань до космічних об'єктів, а ось спроби ці відстані розрахувати зустрічаються задовго до настання нашої ери. Найважливішу роль грала тригонометрія і в навігації: маючи деякі знання, капітан завжди міг зорієнтуватися вночі по зірках і скоригувати курс.

Основні поняття

Для освоєння тригонометрії з нуля потрібно зрозуміти та запам'ятати кілька основних термінів.

Синус деякого кута - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Уточнимо, що протилежний катет - це сторона, що лежить навпроти кута, що розглядається нами. Таким чином, якщо кут становить 30 градусів, синус цього кута завжди, за будь-якого розміру трикутника, дорівнюватиме ½. Косинус кута – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс - це ставлення протилежного катета до прилеглого (чи, що те саме, ставлення синуса до косинусу). Котангенс – це одиниця, поділена на тангенс.

Варто згадати і знамените число Пі (3,14 ...), яке є половиною довжини кола з радіусом в одну одиницю.

Етимологія слова «синус»

Історія слова "синус" воістину незвичайна. Справа в тому, що буквальний переклад цього слова з латини означає «впадина». Все тому, що правильне розуміння слова загубилося під час перекладу з однієї мови на іншу.

Назви базових тригонометричних функцій походять з Індії, де поняття синуса позначалося словом «тетива» на санскриті - справа в тому, що відрізок разом з дугою кола, на яке він спирався, був схожий на цибулю. За часів розквіту арабської цивілізації індійські досягнення в галузі тригонометрії були запозичені, і термін перейшов до арабської мови у вигляді транскрипції. Сталося так, що в цій мові вже було схоже слово, що означає западину, і якщо араби розуміли фонетичну різницю між рідним і запозиченим словом, то європейці, які перекладають наукові трактати латиною, помилково буквально переклали арабське слово, яке ніякого відношення до поняття синуса не має . Ним ми і користуємося досі.

Таблиці значень

Існують таблиці, в які занесені числові значення для синусів, косінусів та тангенсів усіх можливих кутів. Нижче подаємо дані для кутів 0, 30, 45, 60 і 90 градусів, які необхідно вивчити як обов'язковий розділ тригонометрії для «чайників», добре запам'ятати їх досить легко.

Якщо сталося так, що числове значення синуса чи косинуса кута «вилетіло з голови», є спосіб вивести його самостійно.

Геометрична вистава

Накреслимо коло, через його центр проведемо осі абсцис та ординат. Вісь абсцис розташовується горизонтально, вісь ординат – вертикально. Зазвичай вони підписуються як «X» та «Y» відповідно. Тепер з центру кола проведемо пряму таким чином, щоб між нею та віссю X вийшов потрібний нам кут. Нарешті, з тієї точки, де пряма перетинає коло, опустимо перпендикуляр на вісь X. Довжина відрізка, що вийшов, дорівнюватиме чисельному значенню синуса нашого кута.

Цей спосіб дуже актуальний, якщо ви забули потрібне значення, наприклад, на іспиті, і підручника з тригонометрії під рукою немає. Точної цифри ви таким чином не отримаєте, але різницю між ½ і 1,73/2 (синус та косинус кута 30 градусів) ви точно побачите.

Застосування

Одними з перших фахівців, які використовують тригонометрію, були моряки, які не мали жодного іншого орієнтиру у відкритому морі, крім неба над головою. Сьогодні капітани кораблів (літаків та інших видів транспорту) не шукають найкоротшого шляху зірками, зате активно вдаються до допомоги GPS-навігації, яка без використання тригонометрії була б неможлива.

Практично в кожному розділі фізики на вас чекають розрахунки з використанням синусів і косинусів: будь то додаток сили в механіці, розрахунки шляху об'єктів у кінематиці, коливання, поширення хвиль, заломлення світла - без базової тригонометрії у формулах просто не обійтися.

Ще одна професія, яка немислима без тригонометрії – це геодезист. Використовуючи теодоліт і нівелір чи складніший прилад - тахіометр, ці люди вимірюють різницю у висоті між різними точками на земній поверхні.

Повторюваність

Тригонометрія має справу не лише з кутами та сторонами трикутника, хоча саме з цього вона починала своє існування. У всіх областях, де є циклічність (біології, медицини, фізики, музики і т. д.) ви зустрінетеся з графіком, назва якого напевно вам знайома - це синусоїда.

Такий графік є розгорнутою вздовж осі часу коло і зовні схожий на хвилю. Якщо ви коли-небудь працювали з осцилографом на заняттях з фізики, ви розумієте, про що йдеться. Як музичний еквалайзер, і прилад, що відображає серцеві ритми, використовують формули тригонометрії у роботі.

На закінчення

Замислюючись про те, як вивчити тригонометрію, більшість учнів середньої та старшої школи починають вважати її складною та непрактичною наукою, оскільки знайомляться лише із нудною інформацією з підручника.

Що стосується непрактичності - ми вже побачили, що тією чи іншою мірою вміння поводитися з синусами та тангенсами потрібно практично у будь-якій сфері діяльності. А щодо складності… Подумайте: якщо люди користувалися цими знаннями більше двох тисяч років тому, коли доросла людина мала менше знань, ніж сьогоднішній старшокласник, чи реально вивчити цю галузь науки на базовому рівні особисто вам? Кілька годин вдумливих занять із вирішенням завдань – і ви досягнете своєї мети, вивчивши базовий курс, так звану тригонометрію для «чайників».

При виконанні тригонометричних перетворень дотримуйтесь наступних порад:

Не намагайтеся одразу придумати схему рішення прикладу від початку до кінця.
Не намагайтеся перетворювати одразу весь приклад. Просувайтеся вперед маленькими кроками.
Пам'ятайте, що крім тригонометричних формул у тригонометрії можна застосовувати всі справедливі алгебраїчні перетворення (винесення за дужку, скорочення дробів, формули скороченого множення і так далі).
Вірте, що все буде гаразд.

Основні тригонометричні формули

Більшість формул у тригонометрії часто застосовується як праворуч, так і ліворуч, тому вивчати ці формули потрібно так добре, щоб Ви легко змогли застосувати деяку формулу в обох напрямках. Запишемо для початку визначення тригонометричних функцій. Нехай є прямокутний трикутник:

Тоді визначення синуса:

Визначення косинуса:

Визначення тангенсу:

Визначення котангенсу:

Основне тригонометричне тотожність:

Найпростіші наслідки з основної тригонометричної тотожності:

Формули подвійного кута.Синус подвійного кута:

Косинус подвійного кута:

Тангенс подвійного кута:

Котангенс подвійного кута:

Додаткові тригонометричні формули

Тригонометричні формули складання.Синус суми:

Синус різниці:

Косинус суми:

Косинус різниці:

Тангенс суми:

Тангенс різниці:

Котангенс суми:

Котангенс різниці:

Тригонометричні формули перетворення суми на твір.Сума синусів:

Різниця синусів:

Сума косінусів:

Різниця косінусів:

Сума тангенсів:

Різниця тангенсів:

Сума котангенсів:

Різниця котангенсів:

Тригонометричні формули перетворення твору на суму.Твір синусів:

Твір синуса та косинуса:

Добуток косінусів:

Формули зниження ступеня.

Формули половинного кута.

Тригонометричні формули приведення

Функцію косинус називають кофункцієюфункції синус та навпаки. Аналогічно функції тангенс та котангенс є кофункціями. Формули наведення можна сформулювати у вигляді наступного правила:

Якщо у формулі приведення кут віднімається (додається) з 90 градусів або 270 градусів, то функція, що наводиться, змінюється на кофункцію;
Якщо ж у формулі приведення кут віднімається (додається) з 180 градусів або 360 градусів, то назва функції зберігається;
При цьому перед наведеною функцією ставиться той знак, який має функція, що наводиться (тобто вихідна) у відповідній чверті, якщо вважати віднімається (додається) кут гострим.

Формули наведеннязадаються у вигляді таблиці:

за тригонометричного колалегко визначати табличні значення тригонометричних функцій:

Тригонометричні рівняння

Для вирішення деякого тригонометричного рівняння його потрібно звести до одного з найпростіших тригонометричних рівнянь, які будуть розглянуті нижче. Для цього:

Можна застосовувати тригонометричні формули, наведені вище. При цьому не потрібно намагатись перетворити відразу весь приклад, а треба рухатися вперед маленькими кроками.
Слід пам'ятати про можливість перетворити деяке вираз і з допомогою алгебраїчних методів, тобто. наприклад, винести щось за дужку або, навпаки, розкрити дужки, скоротити дріб, застосувати формулу скороченого множення, привести дроби до спільного знаменника і таке інше.
При розв'язанні тригонометричних рівнянь можна застосовувати метод угруповання. При цьому потрібно пам'ятати, що для того, щоб добуток декількох множників дорівнював нулю, достатньо щоб будь-який з них дорівнював нулю, а інші існували.
Застосовуючи метод заміни змінної, Як завжди, рівняння після введення заміни має стати простіше і не містити початкової змінної. Також потрібно не забути виконати зворотну заміну.
Пам'ятайте, що однорідні рівняння часто трапляються й у тригонометрії.
Розкриваючи модулі або вирішуючи ірраціональні рівняння з тригонометричними функціями, потрібно пам'ятати і враховувати всі тонкощі розв'язання відповідних рівнянь із звичайними функціями.
Пам'ятайте про ОДЗ (у тригонометричних рівняннях обмеження на ОДЗ в основному зводяться до того, що ділити на нуль не можна, але не забуваємо і про інші обмеження, особливо про позитивність виразів у раціональних ступенях та під корінням парних ступенів). Також пам'ятайте, що значення синуса та косинуса можуть лежати лише в межах від мінус одиниці до плюс одиниці включно.

Головне, якщо не знаєте, що робити, робіть хоч щось, при цьому головне правильно використовувати тригонометричні формули. Якщо те, що Ви при цьому отримуєте ставати все краще і краще, значить продовжуйте рішення, а якщо ставати гірше, значить поверніться до початку і спробуйте застосувати інші формули, так чиніть, поки не натрапите на правильний хід рішення.

Формули розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь.Для синуса існує дві рівнозначні форми запису рішення:

Для решти тригонометричних функцій запис однозначний. Для косинуса:

Для тангенсу:

Для котангенсу:

Розв'язання тригонометричних рівнянь у окремих випадках:

Вивчити всі формули та закони у фізиці, і формули та методи в математиці . Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул із фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без труднощів вирішити в потрібний момент більшу частину ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати лише над найскладнішими завданнями.

Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб вирішувати обидва варіанти. Знову ж таки на ЦТ, крім уміння швидко і якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, не переплутавши ні номера відповідей і завдань, ні власне прізвище. Також у ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань у завданнях, що на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.

Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результат, максимальний з того, на що Ви здатні.

Знайшли помилку?

Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку в навчальних матеріалах, напишіть, будь ласка, про неї на пошту. Написати про помилку можна також у соціальній мережі (). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.

Ще 1905 р. російські читачі могли прочитати у книзі Вільяма Джеймса “Психологія” його міркування у тому, “чому зубрение представляє такий поганий спосіб вчення?”

“Знання, набуті шляхом простого зубріння, майже неминуче забуваються абсолютно безвісти. Навпаки, розумовий матеріал, що набирається пам'яттю поступово, день за днем, у зв'язку з різними контекстами, пов'язаний асоціативно з іншими зовнішніми подіями і неодноразово обговорений, утворює таку систему, вступає в такий зв'язок з іншими сторонами нашого інтелекту, легко відновлюється в пам'яті масою зовнішніх приводів, що надовго залишається міцним придбанням”.

З того часу минуло понад 100 років, а ці слова вражаюче залишаються злободенними. У цьому щодня переконуєшся, займаючись зі школярами. Масові прогалини у знаннях настільки великі, що можна стверджувати: шкільний курс математики в дидактичному та психологічному відносинах – не система, а такий собі пристрій, що заохочує короткочасну пам'ять і анітрохи не піклується про довготривалу пам'ять.

Знати шкільний курс математики – отже володіти матеріалом кожного з напрямів математики, бути в змозі актуалізувати будь-яке їх у час. Щоб досягти цього, потрібно систематично звертатися до кожного з них, що часом не завжди можливо через сильну завантаженість на уроці.

Є інший шлях довготривалого запам'ятовування фактів та формул – це опорні сигнали.

Тригонометрія – один із великих розділів шкільної математики, що вивчається в курсі геометрії 8, 9 класів та в курсі алгебри 9 класу, алгебри та почав аналізу у 10 класі.

Найбільший обсяг матеріалу, що вивчається по тригонометрії припадає на частку 10 класу. Більшість цього матеріалу з тригонометрії можна вивчити і запам'ятати на тригонометричному колі(Окружність одиничного радіусу з центром на початку прямокутної системи координат). Додаток1.ppt

Це такі поняття тригонометрії:

визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута;
радіальний вимір кутів;
область визначення та область значень тригонометричних функцій
значення тригонометричних функцій для деяких значень числового та кутового аргументу;
періодичність тригонометричних функцій;
парність та непарність тригонометричних функцій;
зростання та зменшення тригонометричних функцій;
формули наведення;
значення обернених тригонометричних функцій;
вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь;
вирішення найпростіших нерівностей;
основні формули тригонометрії

Розглянемо вивчення цих понять на тригонометричному колі.

1) Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Після введення поняття тригонометричного кола (коло одиничного радіусу з центром на початку координат), початкового радіусу (радіус кола у напрямку осі Ох), кута повороту, учні самостійно отримують визначення для синуса, косинуса, тангенса і котангенса на тригонометричному колі, використовуючи визначення з курсу геометрії, тобто, розглядаючи прямокутний трикутник із гіпотенузою, що дорівнює 1.

Косинусом кута називається абсцис точки на колі при повороті початкового радіусу на даний кут.

Синусом кута називається ордината точки на колі при повороті початкового радіусу на даний кут.

2) Радіанний вимір кутів на тригонометричному колі.

Після введення радіанної міри кута (1 радіан – це центральний кут, якому відповідає довжина дуги, рівна довжині радіуса кола), учні роблять висновок, що радіанне вимір кута – це числове значення кута повороту на колі, що дорівнює довжині відповідної дуги при повороті початкового радіуса на заданий кут. .

Тригонометричне коло поділено на 12 рівних частин діаметрами кола. Знаючи, що кут радіанам, можна визначити радіальний вимір для кратних кутів .

А радіальні виміри кутів, кратних, виходять аналогічно:

3) Область визначення та область значень тригонометричних функцій.

Чи буде відповідність кутів повороту та значень координат точки на колі функцією?

Кожному куту повороту відповідає єдина точка на колі, отже це відповідність – функція.

Отримуємо функції

На тригонометричному колі видно, область визначення функцій – безліч всіх дійсних чисел, а область значень - .

Введемо поняття ліній тангенсів та котангенсів на тригонометричному колі.

1) Нехай Введемо допоміжну пряму, паралельну осі Оу, де визначаються тангенси для будь-якого числового аргументу.

2) Аналогічно отримуємо лінію котангенсів. Нехай у = 1, тоді. Значить значення котангенса визначаються на прямій, паралельній осі Ох.

На тригонометричному колі легко можна визначити область визначення і область значень тригонометричних функцій:

для тангенсу -

для котангенсу -

4) Значення тригонометричних функцій на тригонометричному колі.

Катет, протилежний куту дорівнює половині гіпотенузи, тобто Інший катет по теоремі Піфагора:

Значить за визначенням синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу можна визначити значення для кратних кутів або радіанам. Значення синуса визначаються по осі Оу, косинуса по осі Ох, а значення тангенсу та котангенсу можна визначити за додатковими осями, паралельними осям Оу та Ох відповідно.

Табличні значення синуса та косинуса розташовані на відповідних осях наступним чином:

Табличні значення тангенсу та котангенсу -

5) Періодичність тригонометричних функцій.

На тригонометричному колі видно, що значення синуса, косинуса повторюються через кожні радіана, а тангенсу та котангенсу – через радіан.

6)парність і непарність тригонометричних функцій.

Цю властивість можна отримати, порівнюючи значення позитивних та протилежних кутів повороту тригонометричних функцій. Отримуємо, що

Отже, косинус – парна функція, й інші функції – непарні.

7) Зростання та спадання тригонометричних функцій.

По тригонометричному колу видно, що функція синус зростає і зменшується

Аналогічно розмірковуючи, отримуємо проміжки зростання та зменшення функцій косинуса, тангенсу та котангенсу.

8) Формули наведення.

За кут беремо менше значення кута на тригонометричному колі. Усі формули виходять порівняно значень тригонометричних функцій на катетах виділених прямокутних трикутників.

Алгоритм застосування формул приведення:

1) Визначити знак функції під час повороту на заданий кут.

При повороті на кут функція зберігається, при повороті на кут - ціле, непарне число, виходить кофункція (

9) Значення зворотних тригонометричних функцій.

Введемо зворотні функції для тригонометричних функцій, використовуючи визначення функції.

Кожному значенню синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу на тригонометричному колі відповідає лише одне значення кута повороту. Значить для функції область визначення , область значень - Для функції область визначення - , область значень - . Аналогічно отримуємо область визначення та область значень зворотних функцій для косинуса та котангенсу.

Алгоритм знаходження значень зворотних тригонометричних функцій:

1) знаходження на відповідній осі значення аргументу зворотної тригонометричної функції;

2) знаходження кута повороту початкового радіусу з урахуванням області значень зворотної тригонометричної функції.

Наприклад:

10) Вирішення найпростіших рівнянь на тригонометричному колі.

Щоб розв'язати рівняння виду, знайдемо точки на колі, ординати яких рівні і запишемо відповідні кути з урахуванням періоду функції.

Для рівняння знайдемо точки на колі, абсциси яких рівні і запишемо відповідні кути з урахуванням періоду функції.

Аналогічно для рівнянь виду Значення визначаються лініях тангенсів і котангенсів і записуються відповідні кути повороту.

Усі поняття та формули тригонометрії одержують самі учні під чітким керівництвом вчителя за допомогою тригонометричного кола. Надалі це “коло” служитиме їм опорним сигналом чи зовнішнім чинником відтворення у пам'яті понять і формул тригонометрії.

Вивчення тригонометрії на тригонометричному колі сприяє:

вибору оптимального для цього уроку стиль спілкування, організації навчального співробітництва;
цільові орієнтири уроку стають особистісно значущими кожного учня;
новий матеріал спирається на особистий досвід дії, мислення, відчуття учня;
урок включає різні форми роботи та способи отримання і засвоєння знань; присутні елементи взаємо- та самонавчання; само- та взаємоконтролю;
має місце швидке реагування на нерозуміння та помилку (спільне обговорення, опори-підказки, взаємоконсультації).

На цьому уроці ми поговоримо, як виникає потреба у введенні тригонометричних функцій і чому їх вивчають, що треба розуміти в цій темі, а де просто необхідно набити руку (що є технікою). Зауважимо, що техніка та розуміння – це різні речі. Погодьтеся, є різниця: навчитися кататися на велосипеді, тобто розуміти, як це робити, або стати професійним велогонником. Ми говоритимемо саме про розуміння, про те, навіщо потрібні тригонометричні функції.

Існує чотири тригонометричні функції, але їх можна виразити через одну використовуючи тотожності (рівності, які їх пов'язують).

Формальні визначення тригонометричних функцій для гострих кутів у прямокутних трикутниках (рис. 1).

Синусомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенсомгострого кута прямокутного трикутника називають відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Рис. 1. Визначення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника

Ці визначення є формальними. Правильніше сказати, що є лише одна функція, наприклад, синус. Якби вони не були такі потрібні (не так часто використовувалися) в техніці, не вводили б і стільки різних тригонометричних функцій.

Наприклад, косинус кута дорівнює синусу цього ж кута з додаванням (). Крім того, косинус кута завжди можна виразити через синус цього ж кута з точністю до знака, використовуючи основне тригонометричне тотожність (). Тангенс кута - це відношення синуса до косинус або перевернутий котангенс (Рис. 2). Деякі не використовують котангенс взагалі, замінюючи його на . Тому важливо розуміти та вміти працювати з однією тригонометричною функцією.

Рис. 2. Зв'язок різних тригонометричних функцій

Але навіщо взагалі потрібні такі функції? Аби вирішити яких практичних завдань їх використовують? Давайте розглянемо кілька прикладів.

Дві людини ( Аі У) виштовхують машину з калюжі (Рис. 3). Людина Уможе штовхати машину вбік, при цьому він навряд чи допоможе А. З іншого боку, спрямування його зусиль може поступово зрушуватися (Рис. 4).

Рис. 3. Уштовхає машину вбік

Рис. 4. Упочинає змінювати напрямок своїх зусиль

Зрозуміло, що найефективніше їхні зусилля складуться тоді, коли вони штовхатимуть машину однією сторону (Мал. 5).

Рис. 5. Найбільш ефективний спільний напрямок зусиль

Те, наскільки Удопомагає виштовхуванню машини, наскільки напрямок його сили близький до напрямку сили, з якою діє А, є функцією кута та виражається через його косинус (Рис. 6).

Рис. 6. Косинус як характеристика ефективності зусиль У

Якщо помножити величину сили, з якою діє У, на косинус кута, отримаємо проекцію його сили на напрям сили, з якою діє А. Чим ближче кут між напрямками сил до , тим ефективнішим буде результат спільних дій. Аі У(Мал. 7). Якщо вони штовхатимуть машину з однаковою силою у протилежних напрямках, то машина залишиться на місці (Мал. 8).

Рис. 7. Ефективність спільних зусиль Аі У

Рис. 8. Протилежний напрямок дії сил Аі У

Важливо розуміти, чому ми можемо замінити кут (внесок його в кінцевий результат) на косинус (або іншу тригонометричну функцію кута). Насправді це випливає з такої якості таких трикутників. Тому що фактично ми говоримо наступне: кут можна замінити на відношення двох чисел (катет-гіпотенуза чи катет-катет). Це було б неможливо, якби, наприклад, для одного й того самого кута різних прямокутних трикутників ці стосунки були б різні (Мал. 9).

Рис. 9. Рівні відносини сторін у подібних трикутниках

Наприклад, якби відношення і відношення було б різним, то ми б не змогли ввести функцію тангенса, тому що для одного й того самого кута в різних прямокутних трикутниках тангенс виявився б різним. Але завдяки тому, що відносини довжин катетів подібних прямокутних трикутників однакові, значення функції не залежатиме від трикутника, а значить, гострий кут і його тригонометричних функцій взаємно однозначні.

Припустимо, ми знаємо висоту якогось дерева (Рис. 10). Як виміряти висоту будівлі, розташованої поряд?

Рис. 10. Ілюстрація умови прикладу 2

Знаходимо точку, таку, що лінія, проведена через цю точку та вершину будинку, пройде через вершину дерева (Мал. 11).

Рис. 11. Ілюстрація розв'язання задачі прикладу 2

Ми можемо виміряти відстань від цієї точки до дерева, відстань від неї до будинку та знаємо висоту дерева. З пропорції можна визначити висоту будинку: .

Пропорція- це рівність відношення двох чисел. У цьому випадку рівність відношення довжин катетів подібних до прямокутних трикутників. Причому ці відносини до певної міри рівні кута, яка виражається через тригонометричну функцію (за визначенням, це тангенс). Отримуємо, що з кожного гострого кута значення його тригонометричної функції однозначно. Тобто синус, косинус, тангенс, котангенс - це дійсно функції, тому що кожному гострому кутку відповідає одне значення кожної з них. Отже, їх можна далі досліджувати та користуватися їхніми властивостями. Значення тригонометричних функцій для всіх кутів вже обчислені, ними можна користуватися (їх можна дізнатися з таблиць Брадіса або за допомогою будь-якого інженерного калькулятора). А ось вирішити обернену задачу (наприклад, за значенням синуса відновити міру кута, який йому відповідає) ми можемо не завжди.

Нехай синус деякого кута дорівнює або приблизно (Мал. 12). Який кут відповідатиме цьому значенню синуса? Звичайно, ми можемо знову скористатися таблицею Брадіса і знайти якесь значення, але виявляється, що воно не буде єдиним (Рис. 13).

Рис. 12. Знаходження кута за значенням його синусу

Рис. 13. Багатозначність зворотних тригонометричних функцій

Отже, при відновленні за значенням тригонометричної функції кута виникає багатозначність зворотних тригонометричних функцій. Це може здатися складним, але насправді ми стикаємося зі схожими ситуаціями щодня.

Якщо зашторити вікна і не знати, світло чи темно на вулиці, або опинитися в печері, то, прокинувшись, важко сказати, зараз година дня, ночі або наступного дня (Мал. 14). Насправді, якщо запитати у нас «Котра година?», ми повинні чесно відповісти: «Годину плюс помножити на , де »

Рис. 14. Ілюстрація багатозначності на прикладі з годинником

Можна зробити висновок, що - це період (проміжок, через який годинник показуватиме той самий час, що і зараз). Періоди є і тригонометричних функцій: синуса, косинуса тощо. Тобто, їх значення через деяку зміну аргументу повторюються.

Якби на планеті не було зміни дня та ночі чи зміни сезонів, то ми не могли б користуватися періодичним часом. Адже у нас тільки нумерація років триває зростаючою, а в добу години, і кожну нову добу рахунок починається заново. З місяцями та сама ситуація: якщо зараз січень, то за місяці знову настане січень тощо. Використовувати періодичний рахунок часу (години, місяців) нам допомагають зовнішні орієнтири – наприклад, обертання Землі навколо своєї осі та зміна положення Сонця та Місяця на небі. Якби Сонце завжди висіло в тому самому положенні, то для підрахунку часу нам би вважати кількість секунд (хвилин) з моменту виникнення цього самого підрахунку. Дата і час могли б звучати так: мільярд секунд.

Висновок: жодних складнощів щодо багатозначності зворотних функцій немає. Справді можуть бути варіанти, коли для одного синуса існують різні значення кута (Рис. 15).

Рис. 15. Відновлення кута за значенням його синусу

Зазвичай під час вирішення практичних завдань ми завжди працюємо у стандартному діапазоні від до . У цьому діапазоні для кожного значення тригонометричної функції є лише два відповідні значення міри кута.

Розглянемо стрічку, що рухається, і маятник у вигляді відра з отвором, з якого висипається пісок. Маятник хитається, стрічка рухається (Рис. 16). В результаті пісок залишить слід у вигляді графіка функції синус (або косинус), який називають синусоїда.

Насправді графіки синуса і косинуса відрізняються один від одного тільки точкою відліку (якщо намалювати один з них, а потім стерти осі координат, то визначити, який графік був намальований, не вийде). Тому називати графік косінусоїда немає сенсу (навіщо вигадувати окрему назву для того ж самого графіка)?

Рис. 16. Ілюстрація постановки завдання на прикладі 4

За графіком функції можна зрозуміти, чому зворотні функції матимуть багато значень. Якщо значення синуса зафіксувати, тобто. провести пряму паралельно осі абсцис, то на перетині отримаємо всі точки, в яких синус кута дорівнює цьому. Зрозуміло, що таких точок буде дуже багато. Як у прикладі з годинником, де було значення часу відрізнялося на , тільки тут значення кута буде відрізнятися на величину (Рис. 17).

Рис. 17. Ілюстрація багатозначності для синусу

Якщо розглянути приклад із годинником, то точка (кінець годинникової стрілки) рухається по колу. Так само можна визначити і тригонометричні функції - розглядати не кути в прямокутному трикутнику, а кут між радіусом кола і позитивним напрямом осі. Кількість кіл, що пройде точка (домовлялися вважати рух за годинниковою стрілкою зі знаком мінус, а проти - зі знаком плюс), це період (Мал. 18).

Рис. 18. Значення синуса на колі

Отже, зворотна функція однозначно визначена певному інтервалі. І тому інтервалу можемо порахувати її значення, проте інші отримати знайдених значень, додаючи і віднімаючи період функції.

Розглянемо ще один приклад періоду. Машина рухається дорогою. Припустимо, що її колесо в'їхало в фарбу або в калюжу. Можна побачити періодичні мітки від фарби чи калюжі на дорозі (Мал. 19).

Рис. 19. Ілюстрація періоду

Тригонометричних формул у шкільному курсі досить багато, але за великим рахунком досить пам'ятати лише одну (рис. 20).

Рис. 20. Тригонометричні формули

Формулу подвійного кута так само легко вивести із синуса суми, підставивши (аналогічно для косинуса). Також можна вивести формули твору.

Насправді пам'ятати треба дуже мало, тому що з розв'язанням задач ці формули самі запам'ятаються. Звичайно, хтось багато вирішувати полінується, але йому тоді ця техніка, а отже, і самі формули, потрібні й не будуть.

А якщо формули не знадобляться, то не треба їх запам'ятовувати. Потрібно легко розуміти ідею, що тригонометричні функції - це функції, з яких розраховуються, наприклад, мости. Без їх використання та розрахунку не обходиться практично жоден механізм.

1. Часто виникає питання, чи можуть дроти бути абсолютно паралельними землі. Відповідь: ні, не можуть, тому що одна сила діє вниз, а інші паралельно – вони ніколи не врівноважуються (Рис. 21).

2. Лебідь, рак та щука тягнуть віз в одній площині. Лебідь летить в один бік, рак тягне в інший, а щука – в третій (Рис. 22). Їхні сили можуть врівноважуватися. Порахувати це врівноваження можна за допомогою тригонометричних функцій.