Повна енергія математичного маятника формули. Гармонічні коливання

Визначення

Математичний маятник- це окремий випадок фізичного маятника, маса якого знаходиться в одній точці.

Зазвичай математичним маятником вважають маленьку кульку (матеріальну точку), що має велику масу, підвішений на довгій нитці (підвісі). Це ідеалізована система, яка здійснює коливання під впливом сили тяжіння. Тільки для кутів порядку 50-100 математичний маятник є гармонічним осцилятором, тобто робить гармонійні коливання.

Вивчаючи гойдання панікадила на довгому ланцюгу Галілей вивчав властивості математичного маятника. Він зрозумів, що період коливань даної системи залежить від амплітуди при малих кутах відхилення.

Формула для періоду коливань математичного маятника

Нехай точка підвісу маятника нерухома. Вантаж, підвішений до нитки маятника, рухається дугою кола (рис.1(a)) з прискоренням, на нього діє деяка сила, що повертає ($\overline(F)$). Ця сила змінюється під час руху вантажу. Внаслідок чого розрахунок руху стає складним. Введемо деякі спрощення. Нехай маятник здійснює коливання над площині, а описує конус (рис.1 (b)). Вантаж у разі переміщається по окружности. Період цікавих для нас коливань співпадатиме з періодом конічного руху вантажу. Період обігу конічного маятника по колу дорівнює часу, який витрачає вантаж на один виток по колу:

де $ L $ - Довжина кола; $v$ - швидкість руху вантажу. Якщо кути відхилення нитки від вертикалі малі (невеликі амплітуди коливань) то вважають, що сила, що повертає ($F_1$) спрямована по радіусу кола, який описує вантаж. Тоді ця сила дорівнює доцентровій силі:

Розглянемо такі трикутники: AOB і DBC (рис.1 (b)).

Прирівнюємо праві частини виразів (2) і (3), виражаємо швидкість руху вантажу:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]

Отриману швидкість підставимо у формулу (1), маємо:

\ \

З формули (5) бачимо, що період математичного маятника залежить від довжини його підвісу (відстань від точки підвісу до центру тяжкості вантажу) і прискорення вільного падіння. Формулу (5) для періоду математичного маятника називають формулою Гюйгенса, вона виконується, коли точка підвісу маятника не рухається.

Використовуючи залежність періоду коливань математичного маятника від прискорення вільного падіння визначають величину даного прискорення. Для цього вимірюють довжину маятника, розглядаючи велику кількість коливань, знаходять період T $, потім обчислюють прискорення вільного падіння.

Приклади завдань із розв'язанням

Приклад 1

Завдання.Як відомо, величина прискорення вільного падіння залежить від широти. Яке прискорення вільного падіння на широті Москви, якщо період коливань математичного маятника завдовжки $l=2,485\cdot (10)^(-1)$м дорівнює T=1 c?\textit()

Рішення.За основу розв'язання задачі приймемо формулу періоду математичного маятника:

Виразимо з (1.1) прискорення вільного падіння:

Обчислимо шукане прискорення:

Відповідь.$g=9,81\frac(м)(с^2)$

Приклад 2

Завдання.Яким буде період коливань математичного маятника, якщо точка його підвісу рухається вертикально донизу 1) із постійною швидкістю? 2) із прискоренням $a$? Довжина нитки цього маятника дорівнює $l.$

Рішення.Зробимо малюнок.

1) Період математичного маятника, точка підвісу якого рухається рівномірно, дорівнює періоду маятника з нерухомою точкою підвісу:

2) Прискорення точки підвісу маятника можна як поява додаткової сили, що дорівнює $F=ma$, яка спрямована проти прискорення. Тобто якщо прискорення спрямоване вгору, то додаткова сила спрямована вниз, отже, вона складається із силою тяжіння ($mg$). Якщо точка підвісу рухається з прискоренням, спрямованим донизу, то додаткова сила віднімається від сили тяжіння.

Період математичного маятника, що здійснює коливання і у якого точка підвісу рухається з прискоренням, знайдемо як:

Відповідь. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

Як конкретний приклад тіла, що обертається навколо осі, розглянемо рух маятників.

Фізичним маятником називається тверде тіло, що має горизонтальну віссю обертання, навколо якої воно здійснює коливальні рухи під дією своєї ваги (рис. 119).

Положення маятника повністю визначається кутом його відхилення від положення рівноваги, і тому визначення закону руху маятника досить визначити залежність цього кута від часу.

Рівняння виду:

називається рівнянням (законом) руху маятника. Він залежить від початкових умов, тобто від кута та кутової швидкості.

Граничним випадком фізичного Маятника є математичний маятник, що представляє (як указувалося раніше - глава 2, § 3) матеріальну точку, з'єднану з горизонтальною віссю, навколо якої вона обертається, жорстким невагомим стрижнем (рис. 120). Відстань матеріальної точки від осі обертання називається довжиною математичного маятника.

Рівняння руху фізичного та математичного маятників

Виберемо систему осей координат так, щоб площина ху проходила через центр ваги тіла С і збігалася з площиною хитання маятника, як це показано на кресленні (рис. 119). Вісь направимо перпендикулярно до площини креслення на нас. Тоді на підставі результатів попереднього параграфа рівняння руху фізичного маятника запишемо у вигляді:

де через позначений момент інерції маятника щодо його осі обертання та

Тому можна написати:

Активною силою, що діє на маятник, є його вага, момент якого щодо осі приросту ваги буде:

де - відстань від осі обертання маятника до його центру мас.

Отже, приходимо до наступного рівняння руху фізичного маятника:

Так як математичний маятник є окремим випадком фізичного, то записане вище диференціальне рівняння справедливе і для математичного маятника. Якщо довжина математичного маятника дорівнює а вага його, то момент інерції його щодо осі обертання дорівнює

Оскільки відстань центру тяжкості математичного маятника від осі одно остаточно диференціальне рівняння руху математичного маятника можна написати як:

Наведена довжина фізичного маятника

Порівнюючи рівняння (16.8) і (16.9), можна зробити висновок, що якщо параметри фізичного та математичного маятників пов'язані співвідношенням

то закони руху фізичного та математичного маятників однакові (за однакових початкових умов).

Останнє співвідношення вказує на ту довжину, яку повинен мати математичний маятник, щоб рухатись так само, як відповідний фізичний маятник. Ця довжина називається наведеною довжиною фізичного маятника. Сенс цього поняття полягає в тому, що вивчення руху фізичного маятника можна замінити вивченням руху математичного маятника, що є найпростішою механічною схемою.

Перший інтеграл рівняння руху маятника

Рівняння руху фізичного та математичного маятників мають один і той же вид, отже, рівняння їх руху

Оскільки єдиною силою, яка враховується у цьому рівнянні, буде сила тяжіння, що належить потенційному силовому полю, має місце закон збереження механічної енергії.

Останній можна отримати простим прийомом, саме помножимо рівняння (16.10) на тоді

Інтегруючи це рівняння, отримаємо

Визначаючи постійну інтеграцію Сі з початкових умов знайдемо

Вирішивши останнє рівняння щодо отримаємо

Це співвідношення є першим інтегралом диференціального рівняння (16.10).

Визначення опорних реакцій фізичного та математичного маятників

Перший інтеграл рівнянь руху дозволяє визначити опорні реакції маятників. Як зазначалося у попередньому параграфі, реакції опор визначаються з рівнянь (16.5). У разі фізичного маятника складові активної сили по осях координат та моменти її щодо осей будуть:

Координати центру мас визначаються формулами:

Тоді рівняння визначення реакцій опор набувають вигляду:

Відцентрові моменти інерції тіла та відстані між опорами повинні бути відомі за умовами завдання. Кутове прискорення і кутова швидкість з визначаються з рівнянь (16.9) і (16.4) у вигляді:

Таким чином, рівняння (16.12) повністю визначають складові опорних реакцій фізичного маятника.

Рівняння (16.12) ще спрощуються, якщо розглядати математичний маятник. Дійсно, так як матеріальна точка математичного маятника розташована в площині то. Крім того, оскільки закріплена одна точка, то отже, рівняння (16.12) звертаються до рівняння виду:

З рівнянь (16.13) з використанням рівняння (16.9) випливає, що реакція опори спрямована вздовж нитки I (рис. 120). Останнє є очевидним результатом. Отже, проектуючи складові рівностей (16.13) на напрямок нитки, знайдемо рівняння для визначення реакції опори виду (рис. 120):

Підставляючи сюди значення та враховуючи, що запишемо:

Останнє співвідношення визначає динамічну реакцію математичного маятника. Зауважимо, що статична реакція його буде

Якісне дослідження характеру руху маятника

Перший інтеграл рівняння руху маятника дозволяє провести якісне дослідження характеру руху його. Саме, запишемо цей інтеграл (16.11) у вигляді:

У процесі руху підкорене вираз має бути позитивним, або звертатися в деяких точках в нуль. Припустимо, що початкові умови такі, що

У цьому випадку підкорене вираз ніде не звертається в нуль. Отже, при русі маятник буде пробігати всі значення кута і кутова швидкість з маятника має один і той же знак, який визначається напрямом початкової кутової швидкості, або кут буде весь час зростати, або весь час зменшуватися, тобто маятник буде обертатися в один бік.

Напрями руху відповідатимуть тому чи іншому знаку у виразі (16.11). Необхідною умовою реалізації такого руху є наявність початкової кутової швидкості, тому що з нерівності (16.14) видно, що якщо ні за якого початкового вугілля відхилення отримати такий рух маятника неможливо.

Нехай тепер початкові умови такі, що

У цьому випадку знайдуться два таких значення кута, при яких підкорене вираз перетворюється на нуль. Нехай вони відповідають кутам, що визначаються рівністю

Причому буде десь у діапазоні зміни від 0 до . Далі, очевидно, що за

підкорене вираз (16.11) буде позитивним і при будь-якому мало перевищує воно буде негативним.

Отже, під час руху маятника його кут змінюється в діапазоні:

При кутова швидкість маятника перетворюється на нуль і кут починає зменшуватися до значення . При цьому зміниться знак кутової швидкості або перед радикалом у виразі (16.11). Коли досягає значення кутова швидкість маятника знову перетворюється на нуль і кут знову починає збільшуватися до значення

Таким чином, маятник буде здійснювати коливальні рухи.

Амплітуда коливань маятника

При коливальних рухах маятника максимальна величина його відхилення від вертикалі називається амплітудою коливання. Вона дорівнює яка визначається з рівності

Як випливає з останньої формули, амплітуда коливання залежить від початкових даних основних характеристик маятника або його довжини.

У окремому випадку, коли маятник відхилений від рівноважного становища і відпущений без початкової швидкості то буде рівно , отже, амплітуда залежить від наведеної довжини.

Рівняння руху маятника у кінцевій формі

Нехай початкова швидкість маятника дорівнює нулю, тоді перший інтеграл рівняння руху його буде:

Інтегруючи це рівняння, знаходимо

Будемо вести відлік часу від положення маятника, що відповідає тоді

Перетворимо підінтегральний вираз за допомогою формули:

Тоді отримаємо:

Отриманий інтеграл називається еліптичним інтегралом першого роду. Він може бути виражений з допомогою кінцевого числа елементарних функцій.

Звернення еліптичного інтегралу (16.15) щодо його верхньої межі представляє рівняння руху маятника:

Це буде добре вивчена еліптична функція Якобі.

Період коливання маятника

Час одного повного коливання маятника називається періодом його коливання. Позначимо його Т. Так як час руху маятника від положення до положення такий самий, як час руху від то Т визначиться формулою:

Зробимо заміну змінних, поклавши

При мінливих межах від 0 до буде змінюватися від 0 до . Далі,

і, отже,

Останній інтеграл називається повним еліптичним інтегралом першого роду (значення його надаються спеціальними таблицями).

Підінтегральна функція прагне одиниці і .

Наближені формули малих коливань маятника

Якщо коливання маятника мають невелику амплітуду (практично не повинно перевищувати 20°), можна покласти

Тоді диференціальне рівняння руху маятника набуває вигляду:

Що таке період коливань? Що це за величина, який фізичний зміст вона має та як її розрахувати? У цій статті ми розберемося з цими питаннями, розглянемо різні формули, якими можна розрахувати період коливань, а також з'ясуємо, який зв'язок є між такими фізичними величинами, як період і частота коливань тіла/системи.

Визначення та фізичний зміст

Періодом коливань називається такий проміжок часу, коли тіло чи система здійснюють одне коливання (обов'язково повне). Паралельно можна відзначити параметр, під час якого коливання може вважатися повним. У ролі такої умови виступає повернення тіла у його початковий стан (до початкової координати). Дуже добре проводиться аналогія із періодом функції. Помилково, до речі, думати, що вона має місце виключно у звичайній та вищій математиці. Як відомо, ці дві науки нерозривно пов'язані. І з періодом функцій можна зіткнутися не тільки при вирішенні тригонометричних рівнянь, але і в різних розділах фізики, а саме йдеться про механіку, оптику та інші. При перенесенні періоду коливань з математики у фізику під ним треба розуміти просто фізичну величину (а не функцію), яка має пряму залежність від часу, що минає.

Які бувають коливання?

Коливання поділяються на гармонійні та ангармонічні, а також на періодичні та неперіодичні. Логічно було б припустити, що у разі гармонійних коливань вони відбуваються відповідно до певної гармонійної функції. Це може бути як синус, і косинус. При цьому у справі можуть виявитися і коефіцієнти стиснення-розтягнення та збільшення-зменшення. Також коливання бувають загасаючими. Тобто коли на систему діє певна сила, яка поступово “гальмує” самі коливання. При цьому період стає меншим, тоді як частота коливань незмінно збільшується. Дуже добре демонструє таку ось фізичну аксіому найпростіший досвід з використанням маятника. Він може бути пружинного вигляду, а також математичного. Це не важливо. До речі, період коливань у таких системах визначатиметься різними формулами. Але про це трохи пізніше. Зараз наведемо приклади.

Досвід із маятниками

Взяти першим можна будь-який маятник, різниці ніякої не буде. Закони фізики те що і закони фізики, що вони дотримуються у разі. Але чомусь більше до вподоби математичний маятник. Якщо хтось не знає, що він являє собою: це кулька на нерозтяжній нитці, яка кріпиться до горизонтальної планки, прикріпленої до ніжок (або елементів, які грають їхню роль - тримати систему в рівноважному стані). Кульку найкраще брати з металу, щоб досвід був наочнішим.

Отже, якщо вивести таку систему з рівноваги, прикласти до кулі якусь силу (простіше кажучи, штовхнути її), то кулька почне розгойдуватися на нитки, дотримуючись певної траєкторії. Згодом можна помітити, що траєкторія, якою проходить куля, скорочується. У той же час кулька починає все швидше снувати туди-сюди. Це свідчить, що частота коливань збільшується. А ось час, за який кулька повертається у початкове положення, зменшується. Адже час одного повного коливання, як ми з'ясували раніше, і називається періодом. Якщо одна величина зменшується, а інша збільшується, то говорять про зворотну пропорційність. Ось ми й дісталися першого моменту, на підставі якого будуються формули для визначення періоду коливань. Якщо ж ми візьмемо для проведення пружинний маятник, то там закон спостерігатиметься трохи інакше. Для того щоб він був найбільш наочно представлений, наведемо систему руху у вертикальній площині. Щоб було зрозуміліше, спочатку варто було сказати, що являє собою пружинний маятник. З назви зрозуміло, що в його конструкції має бути пружина. І це справді так. Знову ж таки, ми маємо горизонтальну площину на опорах, до якої підвішується пружина певної довжини і жорсткості. До неї, у свою чергу, підвішується грузик. Це може бути циліндр, куб чи інша фігурка. Це може бути навіть якась стороння річ. У будь-якому випадку, при виведенні системи з положення рівноваги, вона почне здійснювати загасання коливання. Найбільш чітко проглядається збільшення частоти саме у вертикальній площині, без жодного відхилення. На цьому із дослідами можна закінчити.

Отже, у ході ми з'ясували, що період і частота коливань це дві фізичні величини, які мають зворотну залежність.

Позначення величин та розмірності

Зазвичай період коливань позначається латинської літерою T. Набагато рідше може позначатися інакше. Частота позначається буквою µ (“Мю”). Як ми говорили на початку, період це не що інше, як час, за який в системі відбувається повне коливання. Тоді розмірністю періоду буде секунда. Оскільки період і частота обернено пропорційні, то розмірністю частоти буде одиниця, поділена на секунду. У записі завдань все буде виглядати таким чином: T(с), µ(1/с).

Формула для математичного маятника. Завдання №1

Як і у випадку з дослідами, я вирішив насамперед розібратися з математичним маятником. Детально вдаватися до висновку формули ми не будемо, оскільки таке завдання спочатку не було. Та й висновок сам по собі громіздкий. Але з самими формулами ознайомимося, з'ясуємо, що за величини до них входять. Отже, формула періоду коливань для математичного маятника має такий вигляд:

Де l – довжина нитки, п = 3,14, а g – прискорення вільного падіння (9,8 м/с^2). Жодних труднощів формула викликати не повинна. Тому без додаткових питань перейдемо одразу до вирішення задачі на визначення періоду коливання математичного маятника. Металева куля масою 10 грам підвішена на нерозтяжній нитці довжиною 20 сантиметрів. Розрахуйте період коливання системи, взявши її за математичний маятник. Рішення дуже просте. Як і у всіх завданнях з фізики, необхідно максимально спростити її за рахунок відкидання непотрібних слів. Вони включаються в контекст для того, щоб заплутати вирішального, але насправді ніякої ваги абсолютно не мають. Найчастіше, зрозуміло. Тут можна виключити момент із “нерозтяжною ниткою”. Це словосполучення не повинно вводити у ступор. Оскільки маятник у нас математичний, маса вантажу нас цікавити не повинна. Тобто слова про 10 грамів теж просто покликані заплутати учня. Але ж ми знаємо, що у формулі маса відсутня, тому зі спокійною совістю можемо приступати до вирішення. Отже, беремо формулу і просто підставляємо в неї величини, оскільки необхідно визначити період системи. Оскільки додаткових умов не було задано, округлятимемо значення до 3-го знака після коми, як і прийнято. Перемноживши та поділивши величини, отримаємо, що період коливань дорівнює 0,886 секунд. Завдання вирішено.

Формула для пружинного маятника. Завдання №2

Формули маятників мають загальну частину, саме 2п. Ця величина присутня відразу у двох формулах, але вони відрізняються підкореним виразом. Якщо задачі, що стосується періоду пружинного маятника, зазначена маса вантажу, то уникнути обчислень з її застосування неможливо, як це було у випадку з математичним маятником. Але лякатися не варто. Ось так виглядає формула періоду для пружинного маятника:

У ній m – маса підвішеного до пружини вантажу, k – коефіцієнт жорсткості пружини. У завдані значення коефіцієнта може бути наведено. Але якщо у формулі математичного маятника особливо не розгуляєшся - таки 2 величини з 4 є константами - то тут додається 3 параметр, який може змінюватися. І на виході ми маємо 3 змінні: період (частота) коливань, коефіцієнт жорсткості пружини, маса підвішеного вантажу. Завдання може бути зорієнтоване перебування будь-якого з цих параметрів. Знову шукати період було б надто легко, тому ми трохи змінимо умову. Знайдіть коефіцієнт жорсткості пружини, якщо час повного коливання становить 4 секунди, а маса вантажу пружинного маятника дорівнює 200 грамів.

Для вирішення будь-якого фізичного завдання добре було б спочатку зробити малюнок і написати формули. Вони тут – половина справи. Записавши формулу, необхідно виразити коефіцієнт жорсткості. Він у нас під коренем, тому обидві частини рівняння зведемо в квадрат. Щоб позбавитися дробу, помножимо частини на k. Тепер залишимо у лівій частині рівняння лише коефіцієнт, тобто розділимо частини на T^2. У принципі, завдання можна було б ще трохи ускладнити, поставивши не період у числах, а частоту. У будь-якому випадку, за підрахунками та округленнями (ми домовилися округлювати до 3-го знака після коми), вийде, що k = 0, 157 Н/м.

Період вільних вагань. Формула періоду вільних коливань

Під формулою періоду вільних коливань розуміють формули, які ми розібрали у двох раніше наведених завданнях. Складають також рівняння вільних коливань, але там йдеться вже про усунення та координати, а це питання стосується вже іншої статті.

1) Перш ніж братися за завдання, запишіть формулу, яка з нею пов'язана.

2) Найпростіші завдання не потребують малюнків, але у виняткових випадках їх потрібно буде зробити.

3) Намагайтеся позбавлятися коренів і знаменників, якщо це можливо. Записане в рядок рівняння, що не має знаменника, вирішувати набагато зручніше та простіше.

Період коливань фізичного маятника залежить від багатьох обставин: від розмірів та форми тіла, від відстані між центром ваги та точкою підвісу та від розподілу маси тіла щодо цієї точки; тому обчислення періоду підвішеного тіла - досить складне завдання. Простіша справа для математичного маятника. Зі спостережень над подібними маятниками можна встановити такі прості закони.

1. Якщо, зберігаючи ту саму довжину маятника (відстань від точки підвісу до центру тяжкості вантажу), підвішувати різні вантажі, то період коливань вийде той самий, хоча маси вантажів сильно різняться. Період математичного маятника залежить від маси вантажу.

2. Якщо при пуску маятника відхиляти його на різні (але не надто великі) кути, то він коливатиметься з тим самим періодом, хоча і з різними амплітудами. Поки не надто великі амплітуди, коливання досить близькі за своєю формою до гармонійного (§ 5) і період математичного маятника не залежить від амплітуди коливань. Ця властивість називається ізохронізмом (від грецьких слів «ізос» – рівний, «хронос» – час).

Вперше цей факт було встановлено у 1655 р. Галілеєм нібито за наступних обставин. Галілей спостерігав у Пізанському соборі гойдання панікадила на довгому ланцюзі, яке штовхнули під час запалювання. Протягом богослужіння розмахи коливань поступово згасали (§ 11), тобто амплітуда коливань зменшувалася, але період залишався одним і тим же. Як покажчик часу Галілей користувався власним пульсом.

Виведемо тепер формулу для періоду коливань математичного маятника.

Рис. 16. Коливання маятника в площині (а) та рух по конусу (б)

При коливаннях маятника вантаж рухається прискорено по дузі (рис. 16, а) під дією сили, що повертає, яка змінюється при русі. Розрахунок руху тіла під впливом непостійної сили досить складний. Тому ми для спрощення вчинимо так.

Змусимо маятник робити не коливання в одній площині, а описувати конус так, щоб вантаж рухався по колу (рис. 16, б). Цей рух може бути отримано в результаті складання двох незалежних коливань: одного - як і раніше, у площині малюнка та іншого - у перпендикулярній площині. Очевидно, періоди обох цих плоских коливань однакові, оскільки будь-яка площина коливань нічим не відрізняється від будь-якої іншої. Отже, і період складного руху – обігу маятника по конусу – буде той самий, що й період гойдання водної площини. Цей висновок можна легко ілюструвати безпосереднім досвідом, взявши два однакові маятники і повідомивши одному з них хитання в площині, а іншому - обертання по конусу.

Але період звернення «конічного» маятника дорівнює довжині описуваного вантажем кола, поділеного на швидкість:

Якщо кут відхилення від вертикалі невеликий (малі амплітуди), можна вважати, що сила, що повертає, спрямована по радіусу кола , тобто, дорівнює доцентровій силі:

З іншого боку, з подоби трикутників і випливає, що . Так як, то звідси

Прирівнявши обидва вирази один одному, ми отримуємо для швидкості звернення

Нарешті, підставивши це у вираз періоду, знаходимо

Отже, період математичного маятника залежить від прискорення вільного падіння і зажадав від довжини маятника , т. е. відстані від точки підвісу до центру тяжкості вантажу. З отриманої формули випливає, що період маятника не залежить від його маси та від амплітуди (за умови, що вона досить мала). Іншими словами, ми отримали шляхом розрахунку основні закони, які були встановлені раніше зі спостережень.

Але наш теоретичний висновок дає нам більше: він дозволяє встановити кількісну залежність між періодом маятника, його довжиною та прискоренням вільного падіння. Період математичного маятника пропорційний до кореня квадратного з відношення довжини маятника до прискорення вільного падіння. Коефіцієнт пропорційності дорівнює.

Залежно від періоду маятника від прискорення вільного падіння заснований дуже точний спосіб визначення цього прискорення. Вимірявши довжину маятника і визначивши з великої кількості коливань період, ми можемо обчислити за допомогою отриманої формули. Цей спосіб широко використовується практично.

Відомо (див. том I, §53), що прискорення вільного падіння залежить від географічної широти місця (на полюсі, а на екваторі). Спостереження над періодом коливань деякого еталонного маятника дозволяють вивчити розподіл прискорення вільного падіння широтою. Метод цей настільки точний, що з його допомогою можна виявити більш тонкі відмінності у значенні на земній поверхні. Виявляється, що навіть на одній паралелі значення у різних точках земної поверхні по-різному. Ці аномалії у розподілі прискорення вільного падіння пов'язані з нерівномірною щільністю земної кори. Вони використовуються для вивчення розподілу густини, зокрема для виявлення залягання в товщі земної кори будь-яких корисних копалин. Великі гравіметричні зміни, що дозволили судити про залягання щільних мас, було виконано у СРСР області так званої Курської магнітної аномалії (див. том II, § 130) під керівництвом радянського фізика Петра Петровича Лазарєва. У поєднанні з даними про аномалію земного магнітного поля ці гравіметричні дані дозволили встановити розподіл залягання залізних мас, що зумовлюють Курську магнітну та гравітаційну аномалії.