Векторна діаграма - це спосіб графічного завдання коливального руху як вектора.

Вздовж горизонтальної осі відкладається величина ξ, що коливається (будь-якої фізичної природи). Вектор, відкладений з точки 0 дорівнює модулю амплітуді коливання A і спрямований під кутом α, рівним початковій фазі коливання, до осі ξ. Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю ω , що дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція цього вектора на вісь дає значення коливається величини в довільний момент часу.

Складання коливань однакової частоти та однакового напрямку

Нехай складається два коливання: будуємо векторні діаграми та складаємо вектори:

За теоремою косінусів

Так як то

Очевидно (див. діаграму), що початкова фаза результуючого коливання визначається співвідношенням:

Складання коливань близьких частот

П усть складається з двох коливань з майже однаковими частотами, тобто.

З тригонометрії:

Застосовуючи до нашої нагоди, отримаємо:

Графік результуючого коливання – графік биття, тобто. майже гармонійних коливань частоти ω, амплітуда яких повільно змінюється із частотою Δω .

Амплітуда через наявність знака модуля (амплітуда завжди > 0) частота з якою змінюється амплітуда, дорівнює не Δω / 2 , а удвічі вище - Δω.

Складання взаємно-перпендикулярних коливань

Нехай маленьке тіло коливається на взаємно перпендикулярних пружинках однакової жорсткості. За якою траєкторією рухатиметься це тіло?

Це рівняння траєкторії у параметричному вигляді. Для отримання явної залежності між координатами x та y треба з рівнянь виключити параметр t.

З першого рівняння: ,

З другого

Після підстановки

Позбавимося кореня:

- це рівняння еліпса

Ч
астні випадки:

27. Загасні коливання. Вимушені коливання. Резонанс.

Згасання вільних коливань

Внаслідок опору вільні коливання завжди рано чи пізно згасають. Розглянемо процес згасання коливань. Припустимо, що сила опору пропорційна швидкості тіла. (Коефіцієнт пропорційності позначений через 2mg з міркувань зручності, яке виявиться пізніше). Будемо мати на увазі випадок, коли за період коливання його загасання невелике. Тоді можна вважати, що згасання слабо позначиться на частоті, але позначиться на амплітуді коливань. Тоді рівняння загасаючих коливань можна уявити у вигляді Тут А(t) представляє деяку спадну функцію, яку потрібно визначити. Будемо виходити із закону збереження та перетворення енергії. Зміна енергії коливань рівно середньої за період роботі сили опору, тобто. Розділимо обидві частини рівняння на dt. Справа матимемо dx/dt, тобто. швидкість v, а зліва вийде виробнича від енергії за часом. Отже, з урахуванням Але середня кінетична енергія дорівнює половині повної енергії. Тому можна записати, що Розділимо обидві його частини на E і помножимо на dt. Отримаємо, що Проінтегруємо обидві частини отриманого рівняння: Після потенцірування отримаємо Постійна інтегрування З знаходиться з початкових умов. Нехай при t = 0 Е = Е0, тоді Е0 = С. Отже, Але Е ~А^2. Тому й амплітуда загасаючих коливань убуває за показовим законом:

І так, внаслідок сопротивлення амплітуда коливань убуває і вони в цілому виглядають так, як представлено на рис. 4.2. Коефіцієнт називається коефіцієнтом згасання. Однак він не цілком характеризує згасання. Зазвичай згасання коливань характеризується декрементом згасання. Останній показує, у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час, рівний період коливань. Тобто декpемент згасання визначається так: Логарифм декрету згасання називається логарифмічним декрементом, він, очевидно, рівний

Вимушені коливання

Якщо коливальна система піддається впливу зовнішньої періодичної сили, то виникають так звані вимушені коливання, що мають незагасаючий характер. Вимушені коливання слід відрізняти від автоколивань. У разі автоколивань у системі передбачається спеціальний механізм, який у такт із власними коливаннями "постачає" в систему невеликі порції енергії з деякого резервуара енергії. Тим самим підтримуються власні коливання, які не згасають. У разі автоколивань система як би сама себе підштовхує. Прикладом коливальної системи можуть служити годинник. Годинник забезпечений храповим механізмом, за допомогою якого маятник отримує невеликі поштовхи (від стиснутої пружини) в такт власним коливанням. У разі вимушених коливань система підштовхується сторонньою силою. Нижче ми зупинимося на цьому випадку, припускаючи, що сопротивлення в системі невелике і їм можна нехтувати. Як модель вимушених коливань будемо мати на увазі те ж тіло, підвішене на пружині, на яке діє зовнішня періодична сила (наприклад, сила, що має електромагнітну природу). Без урахування сопротивлення рівняння руху такого тіла в проекції на вісь х має вигляд: де w * - циклічна частота, - амплітуда зовнішньої сили. Відомо, що коливання існують. Тому шукатимемо приватне рішення рівняння у вигляді синусоїдальної функції Підставимо функцію рівняння, навіщо двічі продиференціюємо за часом . Підстановка призводить до співвідношення

Рівняння обертається в тотожність при дотриманні трьох умов: . Тоді і рівняння вимушених коливань можна уявити як Вони відбуваються з частотою, що збігається з частотою зовнішньої сили, і їх амплітуда задається не довільно, як у разі вільних коливань, а сама собою встановлюється. Це значення залежить від співвідношення власної частоти коливань системи і частоти зовнішньої сили згідно з формулою

Н а рис. 4.3 виявлено графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти зовнішньої сили. Видно, що амплітуда коливань істотно зростає в міру наближення частоти зовнішньої сили до частоти власних коливань. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при збігу власної частоти і частоти зовнішньої сили називається резонансом.

При резонансі амплітуда коливань має бути нескінченно великою. Насправді ж при резонансі амплітуда вимушених коливань завжди кінцева. Це пояснюється тим, що в резонансі і поблизу нього наше припущення про пренебрежимо малому опорі стає невірним. Якщо навіть сопротивлення в системі і мало, то в резонансі воно суттєво. Його наявність робить амплітуду коливань у резонансі кінцевою величиною. Таким чином, реальний графік залежності амплітуди коливань від частоти має вигляд, представлений на рис. 4.4. Чим більше опір в системі, тим нижче максимум амплітуди в точці резонансу.

Як правило, резонанс в механічних системах - явище небажане, і його намагаються уникнути: механічні споруди, схильні до коливань і вібрацій, намагаються сконструювати таким чином, щоб власна частота коливань була далека від можливих значень частот зовнішніх впливів. Але в ряді пристроїв резонанс використовується як явище позитивне. Наприклад, резонанс електромагнітних коливань широко використовується в радіозв'язку, резонанс g-променів - в прецезійних приладах.

Стан термодинамічної системи. Процеси

Термодинамічні стани та термодинамічні процеси

Коли, крім законів механіки, потрібне застосування законів термодинаміки, систему називають термодинамічної системою. Необхідність використання цього поняття виникає, якщо число елементів системи (наприклад, число молекул газу) дуже велике, і рух окремих її елементів є мікроскопічним порівняно з рухом самої системи або її складових частин макроскопічних. У цьому термодинаміка визначає макроскопічні руху (зміни макроскопічних станів) термодинамічної системи.

Параметри, що описують такий рух (зміни) термодинамічної системи, прийнято розділяти на зовнішні та внутрішні. Цей поділ дуже умовний і залежить від конкретного завдання. Так, наприклад, газ у повітряній кулі з еластичною оболонкою як зовнішній параметр має тиск навколишнього повітря, а для газу в посудині з жорсткою оболонкою зовнішнім параметром є об'єм, обмежений цією оболонкою. У термодинамічній системі обсяг та тиск можуть змінюватися незалежно один від одного. Для теоретичного опису їх зміни необхідне введення щонайменше ще одного параметра – температури.

У більшості термодинамічних завдань трьох параметрів достатньо опису стану термодинамічної системи. У цьому випадку зміни в системі описуються за допомогою трьох термодинамічних координат, пов'язаних із відповідними термодинамічних параметрів.

Рівноважним станом- станом термодинамічної рівноваги - називається такий стан термодинамічної системи, в якому відсутні всякі потоки (енергії, речовини, імпульсу і т.д.), а макроскопічні параметри системи встановлюються і не змінюються в часі.

Класична термодинаміка стверджує, що ізольована термодинамічна система (надана собі самій) прагне стану термодинамічного рівноваги і після його досягнення не може мимоволі з нього вийти. Це твердження часто називаю нульовим початком термодинаміки.

Системи, що перебувають у стані термодинамічної рівноваги, мають наступні властивостіми:

Якщо дві термодинамічні системи, мають тепловий контакт, перебувають у стані термодинамічного рівноваги, те й сукупна термодинамічна система перебуває у стані термодинамічного рівноваги.

Якщо якась термодинамічна система знаходиться в термодинамічній рівновазі з двома іншими системами, то і ці дві системи знаходяться в термодинамічній рівновазі один з одним.

Розглянемо термодинамічні системи, що у стані термодинамічного рівноваги. Опис систем, що у нерівноважному стані, тобто у стані, коли мають місце макроскопічні потоки, займається нерівноважна термодинаміка. Перехід з одного термодинамічного стану до іншого називається термодинамічний процес. Нижче розглядатимуться лише квазістатичні процеси або, що те саме, квазірівноважні процеси. Граничним випадком квазірівноважного процесу є нескінченно повільно рівноважний процес, що складається з безперервно наступних один за одним станів термодинамічної рівноваги. Реально такий процес протікати не може, проте якщо макроскопічні зміни в системі відбуваються досить повільно (за проміжки часу, які значно перевищують час встановлення термодинамічної рівноваги), з'являється можливість апроксимувати реальний процес квазістатичним (квазірівноважним). Така апроксимація дозволяє проводити обчислення з досить високою точністю для великого класу практичних завдань. Рівноважний процес є оборотним, тобто таким, при якому повернення до значень параметрів стану, що мали місце в попередній момент часу, має наводити термодинамічну систему в попередній стан без будь-яких змін в оточуючих системах тілах.

Практичне застосування квазірівноважних процесів у будь-яких технічних пристроях малоефективне. Так, використання в тепловій машині квазірівноважного процесу, наприклад, що відбувається при практично постійній температурі (див. опис циклу Карно в третьому розділі), неминуче призводить до того, що така машина буде працювати дуже повільно (у межі - нескінченно повільно) і мати дуже малу потужність. Тому практично квазиравновесные процеси у технічних пристроях не використовуються. Тим не менш, так як передбачення рівноважної термодинаміки для реальних систем з досить високою точністю збігаються з експериментально отриманими для таких систем даними, вона широко застосовується для розрахунку термодинамічних процесів в різних технічних пристроях.

Якщо під час термодинамічного процесу система повертається у вихідний стан, такий процес називається круговим чи циклічним. Кругові процеси, як і будь-які інші термодинамічні процеси, може бути як рівноважними (отже - оборотними), і нерівноважними (необоротними). При оборотному круговому процесі після повернення термодинамічної системи у вихідний стан в оточуючих її тілах немає ніяких термодинамічних збурень, та його стану залишаються рівноважними. В цьому випадку зовнішні параметри системи після здійснення циклічного процесу повертаються до своїх вихідних значень. При незворотному круговому процесі після завершення його оточуючі тіла переходять у нерівноважні стану і зовнішні параметри термодинамічної системи змінюються.

Може статися так, що осцилятор бере участь у двох однаково спрямованих коливаннях з різними амплітудами, частотами та початковими фазами. Розглянемо додавання таких коливань.

Складання коливань з однаковими частотами

Для простоти розглянемо спочатку випадок, коли частоти коливань, що складаються, однакові. Загальні рішення гармонійних коливань, що складаються, мають вигляд:

де x 1 , x 2- Змінні, що описують коливання, A 1 , A 2- їх амплітуди, а , - Початкові фази. Результуюче коливання

зручно знайти за допомогою векторної діаграми. Цей метод використовує аналогію між обертанням та коливальним процесом.

Візьмемо загальне рішення (1.23) для гармонійного вагання. Виберемо вісь 0x. З точки 0 відкладемо вектор довжиною A, що утворює з віссю 0xкут. Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю, то проекція кінця цього вектора переміщатиметься по осі 0xвід +Aдо -A, причому величина проекції змінюватиметься згідно із законом

Таким чином, проекція кінця вектора на вісь 0xбуде здійснювати гармонійні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Векторна діаграма для загального рішення (1.23)

Застосуємо тепер цю техніку до складання коливань (1.34). Представимо обидва коливання за допомогою векторів А 1 і А 2 Візьмемо їхню векторну суму (рис. 1.13)

Рис. 1.13. Векторна діаграма для складання однаково спрямованих коливань однакової частоти

Вектор проекції А 1 на вісь 0xдорівнює сумі проекцій відповідних векторів

Таким чином, вектор А є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю, тому результуючий рух буде гармонійним коливанням із частотою , амплітудою Aта початковою фазою a.Відповідно до теореми косінусів:

Зокрема, якщо фази коливань, що складаються, рівні або відрізняються на величину, кратну (тобто ), то амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд

Якщо ж коливання, що складаються, знаходяться в протифазі (тобто ), то

Биття

У цьому розділі ми розглянемо випадок складання однакових гармонійних коливань з різними частотами. На практиці особливий інтерес представляє випадок, коли коливання, що складаються, мало відрізняються за частотою. Як ми побачимо, в результаті складання цих коливань виходять коливання з амплітудою, що періодично змінюється, звані биттями.

Для простоти розглянемо випадок, коли амплітуди коливань, що складаються, рівні A, А початкові фази обох коливань дорівнюють нулю. Частоти коливань, що складаються, рівні, відповідно, і . Отже,

Складаємо ці вирази та враховуємо відому формулу тригонометрії:

Якщо в аргументі другого косинуса ми можемо знехтувати зрушенням частоти:

Крім того, множник у дужках змінюється повільно порівняно з . Тому результуюче коливання xможна розглядати як модульованегармонійне коливання із частотою w, ефективна амплітуда якого змінюється згодом згідно із законом (1.40) (рис. 1.14):

Підкреслимо, що в строгому сенсі таке коливання не є гармонічним, і ще раз нагадаємо, що, згідно з визначенням, коливання гармонійне, якщо воно відбувається за законом , причому всі три його параметри: суворо постійні у часі.

Рис. 1.14. Биття при складанні коливань із близькими частотами

Частота пульсацій амплітуди (її називають частотою биття) дорівнює різниці частот коливань, що складаються. Період биття дорівнює

Коливання двох пов'язаних осциляторів Наведемо повчальний приклад системи, у якій виникають биття. Розглянемо два вантажі масою m, які можуть коливатися під дією двох однакових пружин з коефіцієнтами жорсткості k. Нехай вантажі з'єднані також м'якою пружиною з коефіцієнтом жорсткості K<. Вважатимемо довжини всіх пружин у нерозтягнутому стані однаковими і рівними 2L(Рис. 1.15). Рис. 1.15. Приклад пов'язаних осциляторів. Коливання відбуваються вздовж осі 0х, сила тяжіння не враховується Тоді положення рівноваги координати вантажів рівні При коливаннях координати рівні відповідно, x 1 (t), x 2 (t). Подовження пружин записуються як Ми маємо справу з системою з двома ступенями свободи. Складемо рівняння руху. На перший вантаж діють сила з боку пружини k,рівна та сила з боку пружини K, рівна На другий вантаж діють аналогічні сили Відповідно, рівняння руху мають вигляд Ці рівняння не надто схожі на перший погляд на рівняння гармонійних коливань, тому що на коливання x 1впливають коливання x 2і навпаки. Тому перетворимо рівняння до нових змінних, рівняння для яких були б незалежними (такі змінні називають нормальними координатами,а відповідні їм коливання - нормальними коливаннями (модами)). Саме, введемо нові змінні x 1і x 2: Як легко переконатися, положенням рівноваги відповідають нульові значення цих координат У цих змінних рівняння (1.42) набувають вигляду: Складаючи та віднімаючи ці рівняння, приходимо до пари незалежних рівнянь для введених нормальних координат: Перше рівняння описує гармонійні коливання із частотою збігається з частотою коливань пружинних маятників без сполучної пружини До.Друге рівняння визначає коливання зі зрушеною частотою Так як K<, маємо Відповідно, ми отримуємо загальне рішення системи рівнянь: Загальне рішення для координат х 1і х 2коливальних точок випливають з (1.47) і (1.43): Наприклад розглянемо випадок, коли перша маса зміщується на відстань від положення рівноваги і відпускається з початковою нульовою швидкістю, а друга маса залишається в положенні рівноваги: Цьому відповідають наступні початкові значення нормальних координат: Графіки функцій x 1 (t), x 2 (t)показано на рис. 1.16. Видно характерна картина биття. Рис. 1.16. Биття в системі двох пов'язаних осциляторів У початковий момент часу коливається лише перший вантаж. Потім починає коливатися другий, а амплітуда коливань першого зменшується. Через час перший вантаж зупиняється, а другий вагається з максимально можливою амплітудою. Відбулася «перекачування» енергії від першого маятника до другого. Потім процес «перекачування» енергії йде у зворотному напрямку і до моменту перший маятник коливається з максимальною амплітудою, а другий спочиває. На рис. 1.17 демонструються биття у системі двох пов'язаних математичних маятників. Рис. 1.17. Биття в системі пов'язаних маятників З'ясуємо тепер фізичний зміст нормальних мод, які відповідають суто гармонійним коливанням системи. Якщо порушені коливання лише першою з них ( x 1), то A 2 = 0 і, як випливає із загального рішення (1.48), З (1.53) видно, що перша нормальна мода відповідає такому коливанню, коли обидва вантажі зміщуються на однакові відстані від їх положень рівноваги, але в протилежні сторони, тобто - коливаються в протифазі. Швидкості руху вантажів також рівні за величиною і протилежні за напрямом, отже центр мас вантажів залишається нерухомим. Коливання відбуваються під дією пружин із жорсткістю k,до яких додається сполучна пружина з жорсткістю До.Як наслідок, частота таких коливань більша за частоту коливань незв'язаних осциляторів. Порушення тільки другий ( x 2) нормальної моди означає, що A 1 = 0: У цьому випадку вантажі зміщуються з положення рівноваги в один бік на однакові відстані, тобто - вони коливаються синфазно. Швидкості їх також однакові за величиною та напрямом. Сполучна пружина коливається разом із вантажами, але залишається не розтягнутою і тому не впливає, так що частота коливань збігається з частотою коливань незв'язаних маятників. У розібраному випадку ми познайомилися з нормальними модами та з'ясували, що їх частоти зсуваються порівняно з частотами коливань незв'язаних маятників. Будь-який інший коливальний рух системи можна як суперпозицію нормальних мод. Аналогічним чином можна розглянути ланцюжок із безлічі пов'язаних один з одним осциляторів та вивчити їх нормальні коливання. Така система є модель кристалічної решітки. додаткова інформація http://allphysics.ru/feynman/bieniya - Фейнманівські лекції з фізики. Биття.

Виберемо вісь. З точки, взятої на цій осі, відкладемо вектор довжини , що утворює з віссю кут . Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю, то проекція кінця вектора на вісь змінюватиметься згодом згідно із законом . Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора; з круговою частотою, що дорівнює кутовій швидкості обертання, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю Xу початковий час.

Векторна діаграма дає можливість звести додавання коливань до геометричного підсумовування векторів. Розглянемо складання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти, які мають такий вигляд:

Представимо обидва коливання за допомогою векторів та (рис. 7.5). Побудуємо за правилом складання векторів результуючий вектор. Легко побачити, що проекція цього вектора на вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів . Отже, вектор є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю, що і вектори, так що результуючий рух буде гармонійним коливанням із частотою, амплітудою та початковою фазою. За теоремою косінусів квадрат амплітуди результуючого коливання дорівнюватиме

Отже, уявлення гармонійних коливань у вигляді векторів дає можливість звести додавання кількох коливань до операції складання векторів. Формули (7.3) і (7.4) можна, звичайно, отримати, склавши вирази для аналітично, але метод векторної діаграми відрізняється більшою простотою і наочністю.

ЗАТУХАЛЬНІ КОЛИВАННЯ

У будь-якій реальній коливальній системі є сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії системи. Якщо спад енергії не поповнюється за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання загасатимуть. У найпростішому, і водночас найбільш часто зустрічається, випадку сила опору пропорційна величині швидкості:

,

де r- Постійна величина, звана коефіцієнтом опору. Знак мінус обумовлений тим, що сила та швидкість мають протилежні напрямки; отже, їх проекції на вісь Xмають різні знаки. Рівняння другого закону Ньютона за наявності сил опору має вигляд:

.

Застосувавши позначення , , перепишемо рівняння руху так:

.

Це рівняння описує загасаючіколивання системи. Коефіцієнт називається коефіцієнтом згасання.

Експериментальний графік загасаючих коливань при малому коефіцієнті згасання представлений на рис. 7.6. З рис. 7.6 видно, що графік залежності виглядає як косинус, помножений на деяку функцію, що зменшується з часом. Ця функція представлена ​​малюнку штриховими лініями. Простою функцією, яка веде себе подібним чином, є експонентна функція . Тому рішення можна записати у вигляді:

,

де - Частота загасаючих коливань.

Величина xперіодично проходить через нуль і нескінченну кількість разів досягає максимуму та мінімуму. Проміжок часу між двома послідовними проходженнями через нуль дорівнює. Подвоєне його значення називається періодом коливань.

Множник, що стоїть перед періодичною функцією, називається амплітудою загасаючих коливань. Вона експоненційно зменшується з часом. Швидкість загасання визначається величиною. Час, після якого амплітуда коливань зменшується в раз, називається часом згасання . За цей час система здійснює вагань. Згасання коливань прийнято характеризувати логарифмічним декрементом згасання.Логарифмічним декрементом згасання називається логарифм відношення амплітуд в моменти послідовних проходів величини, що коливається, через максимум або мінімум:

.

Він пов'язаний із числом коливань співвідношенням:

Величина називається добротністю коливальної системи. Добротність тим вище, що більше коливань встигає зробити система до, ніж амплітуда зменшиться у раз.

Постійні величини і, як й у разі гармонійних коливань, можна з початкових умов.

ЗМІШЕНІ КОЛИВАННЯ

Коливання, які відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними. Зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає вагань загасати, незважаючи на дію сил опору.

Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою ω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою ω 0 . Наприклад, якщо смикати вантаж, підвішений на пружині з частотою , він буде здійснювати гармонійні коливання із частотою зовнішньої сили , навіть якщо ця частота не збігається з частотою власних коливань пружини.

Нехай на систему діє періодична зовнішня сила. В цьому випадку можна отримати наступне рівняння, що описує рух такої системи:

,

(7.5)

де. При вимушених коливаннях амплітуда коливань, отже, і енергія, передана коливальної системі, залежить від співвідношення між частотами і , і навіть від коефіцієнта згасання .

Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему необхідно деякий час для встановлення вимушених коливань. У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті і вільні коливання на власній частоті 0 . Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час в коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої сили, що змушує. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу загасання вільних коливань в коливальній системі. Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються за гармонічним законом з частотою, що дорівнює частоті зовнішнього впливу. Можна показати, що в режимі, що встановився, рішення рівняння (7.6) записується у вигляді:

,

,
.

Таким чином, вимушені коливання є гармонічними коливаннями з частотою, що дорівнює частоті змушує сили. Амплітуда вимушених коливань пропорційна амплітуді сили, що змушує. Для даної коливальної системи (тобто системи з певними значеннями і) амплітуда залежить від частоти сили, що змушує. Вимушені коливання відрізняються по фазі від сили, що змушує. Зсув по фазі залежить від частоти сили, що змушує.

РЕЗОНАНС

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти примушує приводить до того, що при певній визначеній для даної системи частоті амплітуда коливань досягає максимального значення. Коливальна система виявляється особливо чуйною на дію сили, що змушує при цій частоті. Це явище називається резонансом, а відповідна частота – резонансною частотою.Графічно залежність амплітуди x m вимушених коливань від частоти вимушальної сили описується резонансною кривою (рис. 7.9).

Досліджуємо поведінку амплітуди вимушених коливань залежно від частоти. Залишаючи амплітуду сили, що змушує незмінною, змінюватимемо її частоту. При отримуємо статичне відхиленняпід дією постійної сили:

При зростанні частоти амплітуда зміщення спочатку також зростає, потім проходить через максимум і, нарешті, прагне асимптотично до нуля. З рис. 7.9 видно також, що менше , тим вище і правіше лежить максимум цієї кривої. Крім того, чим менше, тим сильніше змінюється з частотою амплітуда поблизу резонансу, тим гостріше виходить максимум.

Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою зовнішньої сили, що періодично діє. З явищем резонансу доводиться рахуватися при конструюванні машин та різноманітних споруд. Власна частота цих пристроїв у жодному разі має бути близька до частоті можливих зовнішніх впливів.

Приклади

У січні 1905р. у Петербурзі обрушився Єгипетський міст. Винні в цьому були 9 перехожих, 2 візники та 3-й ескадрон Петергофського конногвардійського полку. Сталося таке. Усі солдати ритмічно крокували мостом. Міст від цього почав розгойдуватися – вагатися. По випадковому збігу обставин власна частота коливань мосту збіглася із частотою кроку солдатів. Ритмічний крок ладу повідомляв місту дедалі нові порції енергії. Внаслідок резонансу міст настільки розхитався, що обвалився. Якби резонансу власної частоти коливань моста з частотою кроку солдатів не було, з мостом нічого не сталося б. Тому при проходженні солдатів слабкими мостами прийнято подавати команду «збити ногу».

Кажуть, що великий тенор Енріко Карузо міг змусити скляний келих розлетітися вщент, співаючи на повний голос ноту належної висоти. У цьому випадку звук викликає вимушені коливання стінок келиха. При резонансі коливання стінок можуть досягти такої амплітуди, що скло розбивається.

Зробіть досліди

Підійдіть до якогось струнного музичного інструменту і голосно крикніть «а»: якась із струн відгукнеться – зазвучить. Та з них, яка опиниться в резонансі з частотою цього звуку, вагатиметься сильніше за інші струни – вона-то і відгукнеться на звук.

Натягніть горизонтально тонку мотузку. Закріпіть на ній маятник із нитки та пластиліну. Перекиньте через мотузку ще один такий же маятник, але з довшою ниткою. Довжину підвіски цього маятника можна змінювати, підтягуючи рукою вільний кінець нитки. Приведіть цей маятник у коливальний рух. При цьому перший маятник теж вагатиметься, але з меншою амплітудою. Не зупиняючи коливань другого маятника, поступово зменшуйте довжину його підвіски – амплітуда коливань першого маятника збільшуватиметься. У цьому досвіді, що ілюструє резонанс механічних коливань, перший маятник є приймачем коливань, що збуджуються другим маятником. Причиною, яка змушує перший маятник коливатися, є періодичні коливання мотузки з частотою, що дорівнює частоті коливань другого маятника. Вимушені коливання першого маятника матимуть максимальну амплітуду лише тоді, коли його власна частота збігається із частотою коливань другого маятника.

АВТОКОЛИВАННЯ

Численні та різноманітні створення рук людських, у яких виникають і використовуються автоколивання. Насамперед, це різні музичні інструменти. Вже в давнину – роги і ріжки, дудки, свистульки, примітивні флейти. Пізніше – скрипки, у яких збудження звуку використовується сила тертя між смычком і струною; різні духові інструменти; гармонії, у яких звук виробляють металеві язички, що коливаються під дією постійного потоку повітря; органи, із труб яких вириваються через вузькі щілини резонуючі стовпи повітря.

Рис. 7.12

Добре відомо, що сила тертя ковзання практично залежить від швидкості. Однак саме завдяки дуже слабкій залежності сили тертя від швидкості звучить скрипкова струна. Якісний вид залежності сили тертя смичка про струну показано на рис. 7.12. Завдяки силі тертя спокою струна захоплюється смичком і зміщується з рівноваги. Коли сила пружності перевищить силу тертя, струна відірветься від змичка і спрямує до положення рівноваги з швидкістю, що все зростає. Швидкість струни щодо змичка, що рухається, буде зростати, сила тертя збільшиться і в певний момент стане достатньою для захоплення струни. Потім процес знову повториться. Таким чином, смичок, що рухається з постійною швидкістю, викличе незагасні коливання струни.

У струнних смичкових інструментах автоколивання підтримуються силою тертя, що діє між смичком та струною, а в духових інструментах продування струменя повітря підтримує автоколивання стовпа повітря в трубі інструменту.

Більш ніж у ста грецьких і латинських документах різних часів згадується спів знаменитого «мемнонського колоса» – величної статуї одного з фараонів, що правив у XIV столітті до нашої ери, встановленого поблизу єгипетського міста Луксора. Висота статуї близько 20 метрів, маса сягає тисячі тонн. У нижній частині колоса виявлено ряд щілин та отворів з розташованими за ними камерами складної форми. «Мемнонський колос» є гігантським органом, що звучить під впливом природних потоків повітря. Статуя імітує голос людини.

Природні автоколивання дещо екзотичної властивості є співаючими пісками. Ще в XIV столітті великий мандрівник Марко Поло згадував про «звучні береги» таємничого озера Лоб-Нор в Азії. За шість століть піски, що співають, були виявлені в різних місцях усіх континентів. У місцевого населення вони здебільшого викликають страх, є предметом легенд та переказів. Джек Лондон так описує зустріч із співаючими пісками персонажів роману «Серця трьох», які вирушили з провідником на пошуки скарбів стародавніх майя.

«"Коли боги сміються, стережися!" – застережливо крикнув старий. Він накреслив пальцем коло на піску і, поки він креслив, пісок вив і верещав; потім старий опустився на коліна, пісок заревів і засурмив».

Є співаючі піски і навіть ціла піщана гора, що співає неподалік річки Або в Казахстані. Майже на 300 метрів здійнялася гора Калкан – гігантський природний орган. По-різному називають її люди: «співаючий бархан», «гора, що співає». Складена вона з піску світлих тонів і на тлі темних відрогів Джунгарського Алатау Великого та Малого Калканів є надзвичайним видовищем завдяки кольоровому контрасту. За вітру і навіть при спуску з неї людини гора видає мелодійні звуки. Після дощу і під час штилю гора мовчить. Туристи люблять відвідувати Співаючий бархан і, піднявшись на одну з трьох його вершин, милуватися панорамою Або і хребта Заілійського Алатау. Якщо гора мовчить, нетерплячі відвідувачі змушують її співати. Для цього треба швидко втекти по нахилу гори, піщані цівки побіжать з-під ніг, і з надр бархана виникне гудіння.

Багато століть минуло з часу виявлення співаючих пісків, а задовільного пояснення цьому разючому феномену не було запропоновано. Останніми роками за справу взялися англійські акустики, і навіть радянський вчений В.І. Арабаджі. Арабаджи припустив, що випромінюючий звук верхній шар піску рухається при будь-якому постійному обуренні по нижньому, твердішому шарі, що має хвилястий профіль поверхні. Внаслідок сил тертя при взаємному переміщенні шарів і збуджується звук.

Вимушені коливання – це коливання. Неминучі втрати енергії на тертя при вимушених коливаннях компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерела сили, що періодично діє. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаючих коливань у таких системах – автоколиваннями. . Схематично автоколивальну систему можна подати у вигляді джерела енергії, осцилятора із загасанням та пристрою зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом (рис. 7.10).

Як коливальної системи може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника). Джерелом енергії може бути деформована пружина або вантаж у полі тяжіння. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела.

Прикладом механічної автоколивальної системи може бути годинниковий механізм з анкерним ходом (рис. 7.11). У годиннику з анкерним ходом ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер із двома пластинками із твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник – балансиром, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир, джерелом енергії - піднята вгору гиря або заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотний зв'язок здійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергія гирі (або закрученої пружини) поступово окремими порціями передається маятнику.

У повсякденному житті ми, можливо, самі того не помічаючи, зустрічаємося з автоколиваннями частіше, ніж коливаннями, викликаними періодичними силами. Автоколивання оточують нас усюди в природі і техніці: парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, годинник, скрипкова струна або органна труба, що б'ється серце, голосові зв'язки при розмові або співі - всі ці системи здійснюють автоколивання.

Зробіть досвід!

Рис. 7.13

Коливальний рух зазвичай вивчають, розглядаючи поведінку якогось маятника: пружинного, математичного чи фізичного. Всі вони є твердими тілами. Можна створити пристрій, який демонструє коливання рідких або газоподібних тіл. Для цього скористайтеся ідеєю, закладеною в конструкцію водяного годинника. Дві півторалітрові пластикові пляшки з'єднують так само, як і у водяному годиннику, скріпивши кришки. Порожнина пляшок з'єднують скляною трубкою довжиною 15 сантиметрів, внутрішнім діаметром 4-5 міліметрів. Бічні стінки пляшок повинні бути рівними та нежорсткими, легко змінюватись при здавлюванні (див. рис. 7.13).

Для запуску коливань пляшку з водою розташовують зверху. Вода з неї починає відразу витікати через трубку в нижню пляшку. Приблизно через секунду струмінь мимоволі перестає текти і поступається прохід у трубці для зустрічного просування порції повітря з нижньої пляшки у верхню. Порядок проходження зустрічних потоків води та повітря через сполучну трубку визначається різницею тисків у верхній та нижній пляшках та регулюється автоматично.

Про коливання тиску в системі свідчить поведінка бічних стінок верхньої пляшки, які в такт з випуском води та впуском повітря періодично здавлюються та розширюються. Оскільки

ОСВІТА ХВИЛЬ

Як відбувається поширення коливань? Чи потрібне середовище для передачі коливань або вони можуть передаватися без нього? Як звук від камертону доходить до слухача? Як швидко змінний струм в антені радіопередавача викликає появу струму в антені приймача? Як світло від далеких зірок сягає нашого ока? Для розгляду таких явищ необхідно запровадити нове фізичне поняття – хвиля. Хвильові процеси становлять загальний клас явищ, незважаючи на їхню різну природу.

Джерелами хвиль, чи то морські хвилі, хвилі в струні, хвилі землетрусів чи звукові хвилі в повітрі, є коливання. Процес поширення коливань у просторі називається хвилею. Наприклад, у разі звуку коливальний рух здійснює не тільки джерело звуку (струна, камертон), але також і приймач звуку - барабанна перетинка вуха або мембрана мікрофона. Вагається і саме середовище, через яке поширюється хвиля.

Хвильовий процес обумовлений наявністю зв'язків між окремими частинами системи, залежно від яких маємо пружну хвилю тієї чи іншої природи. Процес, що протікає в будь-якій частині простору, викликає зміни в сусідніх точках системи, передаючи їм деяку кількість енергії. Від цих точок обурення переходить до суміжних з ними тощо, поширюючись від точки до точки, тобто створюючи хвилю.

Пружні сили, що діють між елементами будь-якого твердого, рідкого або газоподібного тіла, призводять до пружних хвиль. Прикладом пружних хвиль є хвиля, що поширюється шнуром. Якщо рухом руки вгору-вниз збудити коливання кінця шнура, то сусідні ділянки шнура, за рахунок дії пружних сил зв'язку, також почнуть рухатися, і вздовж шнура буде поширюватися хвиля. Загальним властивістю хвиль і те, що можуть поширюватися великі відстані, а частки середовища роблять коливання лише у обмеженої області простору. Частинки середовища, у якій поширюється хвиля, не залучаються хвилею в поступальний рух, вони лише коливання біля своїх положень рівноваги. Залежно від напрямку коливань частинок середовища стосовно напрямку поширення хвилі розрізняють поздовжні та поперечні хвилі. У поздовжній хвилі частки середовища коливаються вздовж напряму поширення хвилі; у поперечній – перпендикулярно напряму поширення хвилі. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що має опір зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можливе виникнення лише поздовжніх хвиль. У твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, і поперечних хвиль.

На рис. 8.1 показано рух частинок при поширенні в середовищі поперечної хвилі та розташування частинок у хвилі в чотири фіксовані моменти часу. Номери 1, 2 і т.д. позначені частинки, що віддаляються один від одного на відстань, що проходить хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частинками. У момент часу, прийнятий за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі зліва направо, досягла частки 1 , внаслідок чого частка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою наступні частинки. Через чверть періоду частка 1 досягає крайнього верхнього положення; одночасно починає зміщуватися із положення рівноваги частка 2 . Після ще чверті періоду перша частка проходитиме положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частка досягне крайнього верхнього положення, а третя частка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу, рівний , перша частка закінчить повне коливання і перебуватиме в такому стані руху, як і в початковий момент. Хвиля на момент часу досягне частки 5 .

На рис. 8.2 показано рух частинок при поширенні в середовищі поздовжньої хвилі. Всі міркування щодо поведінки частинок у поперечній хвилі можуть бути віднесені і до цього випадку із заміною зсувів вгору і вниз зсувами вправо і вліво. З рис. 8.2 видно, що при поширенні поздовжньої хвилі в середовищі створюються згущення і розрідження частинок, що чергуються, що переміщаються в напрямку поширення хвилі зі швидкістю .

Тіла, що впливають на середу, викликаючи коливання, називають джерелами хвиль. Поширення пружних хвиль пов'язані з перенесенням речовини, але хвилі переносять енергію, якої забезпечує хвильової процес джерело коливань.

Геометричне місце точок, яких доходять обурення на даний час, називається фронтом хвилі. Тобто фронт хвилі є ту поверхню, яка відокремлює частину простору, вже залученого до хвильового процесу, від області, якої обурення ще не досягли.

Геометричне місце точок, що коливаються в однакових фазах, називається хвильовою поверхнею. Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Хвильові поверхні можуть мати будь-яку форму. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери. Відповідно хвиля у цих випадках називається плоскою чи сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні є безліч паралельних один одному площин; у сферичній хвилі – безліч концентричних сфер.

Відстань, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Вочевидь, що , де – швидкість поширення хвилі.

На рис. 8.3, виконаним за допомогою комп'ютерної графіки, наведено модель поширення поперечної хвилі на воді від точкового джерела. Кожна частка робить гармонійні коливання біля положення рівноваги.

Рис. 8.3. Поширення поперечної хвилі від точкового джерела коливань

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2016-02-16

Векторні діаграми. Складання коливань.

Вирішення низки завдань теорії коливань значно полегшується і стає наочнішим, якщо зображати коливання графічно, використовуючи метод векторні діаграми.Виберемо деяку вісь х. З точки 0 на осі відкладемо вектор довжини, що утворює спочатку з віссю кут (рис.2.14.1). Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю, то проекція кінця вектора на вісь хбуде змінюватися з часом за законом

.

Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійне коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, який утворює вектор з віссю в початковий момент часу. Кут, утворений вектором з віссю, в даний момент часу визначає фазу коливання в цей момент - .

Зі сказаного слід, що гармонійне коливання можна представити за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям його утворює з деякою віссю кут, рівний фазі коливання. У цьому полягає суть методу векторних діаграм.

Складання коливань однакового напряму.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань, напрями яких паралельні:

. (2.14.1)

Результуюче зміщення хбуде сумою та . Це буде коливання з амплітудою.

Скористаємося методом векторних діаграм (рис.2.14.2). На малюнку , і - фази результуючого і коливань, що складаються відповідно. Легко бачити, що можна знайти додаванням векторів і . Однак, якщо частоти коливань, що складаються, різні, то результуюча амплітуда змінюється з часом за величиною і вектор обертається з непостійною швидкістю, тобто. коливання не буде гармонійним, а представлятиме деякий складний коливальний процес. Щоб результуюче коливання було гармонічним, частоти коливань, що складаються, повинні бути однакові

і результуюче коливання відбувається з тією самою частотою

.

З побудови видно, що

Проаналізуємо вираз (2.14.2) для амплітуди результуючого коливання. Якщо різниця фаз коливань, що складаються, дорівнює нулю(Коливання синфазни), амплітуда дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються., тобто. має максимальне із можливих значення . Якщо різниця фаз складає(Коливання знаходяться в протифазі), то результуюча амплітуда дорівнює різниці амплітуд, тобто. має мінімальне з усіх можливих значення .

Складання взаємно перпендикулярних коливань.

Нехай частка робить два гармонійні коливання з однією і тією ж частотою: одне вздовж напрямку, яке позначимо х, інше – у перпендикулярному напрямку y. У цьому випадку частка буде рухатися деякою, в загальному випадку, криволінійної траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз коливань.

Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза одного коливання дорівнювала нулю:

. (2.14.3)

Щоб отримати рівняння траєкторії частинки, потрібно виключити з (2.14.3) t. З першого рівняння, а. значить, . Друге рівняння перепишемо

або

.

Перенісши перший доданок з правої частини рівняння в ліву, звівши отримане рівняння квадрат і провівши перетворення, отримаємо

. (2.14.4)

Це рівняння є рівнянням еліпса, осі якого повернені щодо осей хі yна якийсь кут. Але в окремих випадках отримують більш прості результати.

1. Різниця фаз дорівнює нулю. Тоді з (2.14.4) отримаємо

або . (2.14.5)

Це рівняння прямої (рис.2.14.3). Таким чином, частка робить коливання вздовж цієї прямої з частотою і амплітудою, що дорівнює .

Метод комплексних амплітуд

Положення точки на площині можна однозначно задати комплексним числом:

Якщо точка ($А$) обертається, то координати цієї точки змінюються відповідно до закону:

запишемо $z$ у вигляді:

де $ Re (z) = x $, тобто фізична величина x дорівнює речовій частині комплексного виразу (4). У цьому модуль комплексного висловлювання дорівнює амплітуді коливань -- $a$, його аргумент дорівнює фазі ($(\omega )_0t+\delta $). Іноді при взятті реальної частини від $z$ знак операції Re опускають і набувають символічного виразу:

Вираз (5) не слід приймати буквально. Часто формально спрощують (5):

де $ A = ae ^ (i \ delta) $ - комплексна амплітуда коливання. Комплексний характер амплітуди $А$ означає, що коливання має початкову фазу нерівну нулю.

Для того щоб розкрити фізичний зміст виразу типу (6), припустимо, що частота коливань ($(\omega )_0$) має речовинну та уявну частини, і її можна уявити як:

Тоді вираз (6) можна записати як:

У тому випадку, якщо $(\omega )2>0,$ то вираз (8) описує затухаючі гармонічні коливання з круговою частотою $\omega1$ і показником загасання $(\omega )_2$. Якщо $(\omega )_2

Зауваження

Над комплексними величинами можна проводити багато математичних операцій так, ніби величини є речовими. Операції можливі, якщо вони самі лінійні та речові (такими є додавання, множення, диференціювання за речовою змінною та інші, але не всі). Треба пам'ятати, що комплексні величини власними силами не відповідають жодним фізичним величинам.

Метод векторних діаграм

Нехай точка $A$ рівномірно обертається по колу радіуса $r$ (рис.1) швидкість її обертання $(\omega )_0$.

Малюнок 1.

Положення точки $А$ на колі можна встановити за допомогою кута $\varphi $. Цей кут дорівнює:

де $ \ delta = \ Varphi (t = 0) $ величина кута повороту радіус-вектора $ \ overrightarrow (r) $ в початковий момент часу. Якщо точка $М$ обертається, її проекція на $вісь X$ рухається по діаметру кола, здійснюючи гармонійні коливання між точками $М$ $N$. Абсцис точки $А$ можна записати як:

Подібним способом можна подавати коливання будь-яких величин.

Необхідно лише прийняти зображення величини, яка здійснює коливання абсцисою точки $А$, яка рівномірно обертається по колу. Можна, звичайно, використовувати і ординату:

Зауваження 1

Для того щоб представляти загасаючі коливання, треба брати не коло, а логарифмічну спіраль, яка наближається до фокусу. Якщо швидкість наближення точки, що рухається по спіралі, постійна і окуляри рухаються до фокусу, то проекція цієї точки на $вісь X$ дасть формули загасаючих коливань.

Зауваження 2

Замість точки можна використовувати радіус-вектор, який рівномірно обертатиметься навколо початку координат. Тоді величина, яка здійснює гармонійні коливання, буде зображуватись як проекція цього вектора на вісь X$. У цьому математичні операції над величиною $x$ замінюють операціями над вектором.

Так операцію підсумовування двох величин:

зручніше замінити підсумовуванням двох векторів (використовуючи правило паралелограма). Вектори вибрати так, що їх проекції на обрану $вісь X$ є виразами $x_1 і x_2 $. Тоді результат операції підсумовування векторів у проекції на вісь абсцис дорівнюватиме $x_1+\ x_2$.

Приклад 1

Продемонструємо застосування методу векторних діаграм.

Отже, уявимо комплексні числа векторами на комплексній площині. Величина, що змінюється за гармонійним законом, зображена вектором, що обертається з частотою $(\omega )0$ навколо свого початку проти годинникової стрілки. Довжина вектора дорівнює амплітуді коливань.

Графічний метод розв'язання, наприклад, рівняння:

де $ Z = R + i (omega L-frac (1) (omega C)) $ - Імпеданс, представимо за допомогою рис.2. На цьому малюнку зображено векторну діаграму напруг у ланцюзі змінного струму.

Малюнок 2.

Врахуємо, що множення комплексної величини на комплексну одиницю означає її поворот на кут $90^0$ проти годинникової стрілки, а множення ($-i$) на той же кут за годинниковою стрілкою. З рис.2 лідирує, що:

де $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Зміна кута $\varphi $ залежить від співвідношення між імпедансами елементів ланцюга і частотами. Зовнішня напруга може змінюватися по фазі, від збігається з напругою на індуктивності до збігається з напругою на ємності. Виражається це зазвичай у вигляді відношення між фазами напруг на елементах ланцюга та фазою зовнішньої напруги:

Фаза напруги на індуктивності $((U)L=i\omega LI)$ завжди випереджає фазу зовнішньої напруги на кут від $0$ до $\pi.$

Фаза напруги на ємності $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) завжди відстає від фази зовнішньої напруги на кут між $0$ і --$\ \pi .$

При цьому фаза на опорі може як випереджати, так і відставати від фази зовнішньої напруги на кут між $/frac(\pi)(2)$ і $\frac(\pi)(2)$.

Векторна діаграма (рис.2) дозволяє сформулювати наступне:

Фаза напруги на індуктивності випереджає фазу сили струму $\frac(\pi )(2)$.

Фаза напруги на ємності відстає на $ frac ( \ eth ) (2) $ від фази сили струму.

Фаза напруги на опорі збігається із фазою сили струму.

Приклад 2

Завдання:Продемонструйте те, що операцію зведення в квадрат не можна застосовувати до комплексних величин як до речових чисел.

Рішення:

Припустимо, що треба звести в квадрат речове число $x$. Правильна відповідь: $x^2$. Формально застосуємо комплексний метод. Зробимо заміну:

$x\to x+iy$. Зведемо отриманий вираз у квадрат, отримаємо:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Речовина виразу (2.1) дорівнює:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Причина помилки в тому, що операція зведення квадрата не є лінійною.