Причини втрати коріння під час вирішення рівнянь. Стороннє коріння рівняння, відсівання стороннього коріння

Основні методи вирішення рівнянь

Що таке рішення рівняння?

Тотожне перетворення. Основні

види тотожних перетворень.

Стороннє коріння. Втрата кореня.

Вирішення рівняння - це процес, що полягає в основному в заміні заданого рівняння іншим рівнянням, йому рівносильним . Така заміна називаєтьсятотожним перетворенням . Основні тотожні перетворення такі:

1.

Заміна одного виразу іншим, тотожно рівним йому. Наприклад, рівняння (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 можна замінити наступним рівносильним:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

Перенесення членів рівняння з одного боку до іншого зі зворотними знаками. Так, у попередньому рівнянні ми можемо перенести всі його члени з правої частини до лівої зі знаком «-»: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x – 10 = 0, після чого отримаємо:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

3.

Множення або розподіл обох частин рівняння на те саме вираз (число), відмінне від нуля. Це дуже важливо, оскількинове рівняння може бути рівносильним попередньому, якщо вираз, яку ми множимо чи ділимо, то, можливо дорівнює нулю.

П р і м е р. Рівнянняx – 1 = 0 має єдиний коріньx = 1.

Помноживши обидві його частини наx – 3 , ми отримаємо рівняння

( x – 1)( x – 3) = 0, у якого два корені:x = 1 таx = 3.

Останнє значення не є коренем заданого рівняння

x – 1 = 0. Це так званийсторонній корінь .

І навпаки, поділ може призвести довтрати кореня . Так

у нашому випадку, якщо (x – 1 )( x – 3 ) = 0 є вихідним

рівнянням, то коріньx = 3 буде втрачено при розподілі

обох частин рівняння наx – 3 .

В останньому рівнянні (п.2) ми можемо розділити всі його члени на 3 (не нуль!) і одержимо остаточно:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Це рівняння рівносильне вихідному:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

Можна, можливозвести обидві частини рівняння на непарний ступінь абовитягти з обох частин рівняння корінь непарного ступеня . Необхідно пам'ятати, що:

а) зведення впарний ступінь може призвестидо придбання стороннього коріння ;

б)неправильне вилученнякореня парного ступеня може привести довтрати коренів .

Приміри. Рівняння 7x = 35 має єдиний коріньx = 5 .

Звівши обидві частини цього рівняння у квадрат, отримаємо

рівняння:

49 x 2 = 1225 .

що має два корені:x = 5 іx = – 5. Останнє значення

є стороннім коренем.

Неправильне вилучення квадратного кореня з обох

частин рівняння 49x 2 = 1225 дає в результаті 7x = 35,

і ми втрачаємо коріньx = – 5.

Правильне вилучення квадратного кореня призводить до

рівняння: | 7x | = 35, а отже, до двох випадків:

1) 7 x = 35, тодіx = 5 ; 2) – 7 x = 35, тодіx = – 5 .

Отже, приправильному вилучення квадратного

кореня ми не втрачаємо коріння рівняння.

Що означаєправильно витягти корінь? Тут ми зустрічаємось

з дуже важливим поняттямарифметичного кореня

(Див. ).

ЗУБИ. Зуби хребетних за своєю будовою та розвитком абсолютно подібні до плакоїдних лусок, що покривають усю шкіру акулових риб. Оскільки вся ротова порожнина, а частиною і порожнина глотки, вистелена ектодермальним епітелієм, типова пла коїдна ...

ТУБЕРКУЛЬОЗ ЛЕГКИХ- ТУБЕРКУЛЬОЗ ЛЕГКИХ. Зміст: I. Патологічна анатомія 110 II. Класифікація легеневого туберкульозу. 124 III. Клініка.......................128 IV. Діагностика..................160 V. Прогноз..................... 190 VІ. Лікування … Велика медична енциклопедія

ОТРУЄННЯ- ОТРУЄННЯ. Під отруєнням розуміють «розлади функцій тварин. організму, що викликаються екзогенними або ендогенними, хімічно або фізико-хімічно діючими речовинами, які відносно якості, кількості або концентрації чужі ... ... Велика медична енциклопедія

Бульбякові бактерії бобових- Дані палеонтології свідчать про те, що найдавнішими бобовими культурами, що мали бульбашки, були деякі рослини, що належать до групи Eucaesalpinioideae. У сучасних видів бобових рослин клубеньки виявлені … Біологічна енциклопедія

Список серій мультсеріалу «Лунтик»- У цій статті не вистачає посилань на джерела інформації. Інформація має бути перевіряється, інакше вона може бути поставлена ​​під сумнів та видалена. Ви можете … Вікіпедія

РОСЛИНА ТА СЕРЕДОВИЩЕ- життя рослини, як і будь-якого іншого живого організму, представляє складну сукупність взаємопов'язаних процесів; найбільш істотний їх, як відомо, обмін речовин із довкіллям. Середовище є джерелом, звідки… … Біологічна енциклопедія

Список серій серіалу «Лунтик»- Основна стаття: Пригоди Лунтіка та його друзів Зміст 1 Кількість серій 2 Список серій мультсеріалу Лунтік та його друзі … Вікіпедія

Хвороби плодових дерев- Плодові дерева завдяки постійним турботам про них людину повинні досягати набагато старшого віку, ніж некультурні родичі їх, якби не протидіють впливу багатьох умов самої культури, а саме вимоги, що висуваються нами… …

Валка лісу- В. лісу, або вилучення лісового доходу у вигляді деревини та кори, може бути виконана двояким чином: викопуванням або викорчовуванням цілих дерев, тобто стовбурів разом з корінням, або ж окремо, частинами спершу валяться, або знімаються з ... Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Грош- (польськ. grosz, від ньому. Groschen, від лат. grossus (dēnārius) "товстий денарій") монета різних країн і часів. Зміст 1 Поява гроша … Вікіпедія

Монети США- 20 доларів Сент Годенса найкрасивіша і найдорожча монета США Монети США монети, що карбуються на Монетному дворі США. Випускаються з 1792 року.

Книги

• Основні причини випадання волосся у жінок, Олексій Мічман, Проблемою випадання волосся в якийсь момент життя страждає шість із десяти жінок. Втрата волосся може відбуватися з ряду причин, таких як спадковість, гормональні зміни в...

§ 1. ВТРАЧЕНІ І ПОБОРОНІ КОРОНІ ПРИ РІШЕННІ РІВНЯНЬ (НА ПРИКЛАДАХ)

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ

1. У двох теоремах § 3 глави VII йшлося про те, які дії над рівняннями не порушують їх рівносильності.

2. Розглянемо тепер такі операції над рівняннями, які можуть призвести до нового рівняння, нерівносильного вихідного рівняння. Замість загальних міркувань обмежимося розглядом лише конкретних прикладів.

3. Приклад 1. Дане рівняння Розкриємо дужки в даному рівнянні, перенесемо всі члени в ліву частину і розв'яжемо квадратне рівняння. Його корінням є

Якщо скоротити обидві частини рівняння на загальний множник, то вийде рівняння, яке нерівносильне початковому, тому що має всього один корінь.

Таким чином, скорочення обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, може призвести до втрати коренів рівняння.

4. Приклад 2. Дане рівняння Дане рівняння має єдиний корінь Зведемо обидві частини цього рівняння квадрат, отримаємо Розв'язуючи це рівняння, знайдемо два корені:

Вбачаємо, що нове рівняння нерівносильне вихідному рівнянню Корінь є коренем рівняння, яке після зведення в квадрат обох частин призводить до рівняння

5. Стороннє коріння може з'явитися також при множенні обох частин рівняння на множник, що містить невідоме, якщо цей множник при дійсних значеннях звертається в нуль.

Приклад 3. Якщо обидві частини рівняння помножимо на те отримаємо нове рівняння, яке після перенесення члена з правої частини в ліву і розкладання на множники дає рівняння звідки або

Корінь не задовольняє рівняння, яке має єдиний корінь

Звідси робимо висновок: при зведенні обох частин рівняння квадрат (взагалі в парний ступінь), а також при множенні на множник, що містить невідоме і звертається в нуль при дійсних значеннях невідомого, можуть з'являтися сторонні корені.

Всі міркування, висловлені тут з питання про втрату і появу сторонніх коренів рівняння, однаково ставляться до будь-яких рівнянь (алгебраїчним, тригонометричним та ін.).

6. Рівняння називається алгебраїчним, якщо в ньому над невідомим виконуються тільки алгебраїчні операції - додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь та вилучення кореня з натуральним показником (причому кількість таких операцій кінцева).

Так, наприклад, рівняння

є алгебраїчними, а рівняння

Тема тригонометричних рівнянь починається зі шкільної лекції, яка будується у вигляді евристичної розмови. На лекції розглядається теоретичний матеріал та зразки вирішення всіх типових завдань за планом:

• Найпростіші тригонометричні рівняння.
• Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
• Однорідні рівняння.

На наступних уроках починається самостійне відпрацювання навичок, засноване на застосуванні принципу спільної діяльності вчителя та учня. Спочатку встановлюються мети учнів, тобто. визначається, хто хоче знати не більше того, що вимагається державним стандартом, а хто готовий займатися більше.

Підсумкова діагностика створюється з урахуванням рівневої диференціації, що дозволяє учням усвідомлено визначати той мінімум знань, необхідний отримання оцінки “3”. Виходячи з цього, відбираються різнорівневі матеріали для діагностики знань учнів. Така робота дозволяє здійснити індивідуальний підхід до учнів, включити кожного до усвідомленої навчальної діяльності, формувати навички самоорганізованості та самонавчання, забезпечувати перехід до активного, самостійного мислення.

Семінар проводиться після відпрацювання основних навичок розв'язання тригонометричних рівнянь. За кілька уроків до семінару учням подаються питання, які розглядатимуться на ньому.

Семінар складається із трьох частин.

1. У вступній частині розглядається весь теоретичний матеріал, включаючи знайомство з проблемами, які виникнуть при вирішенні складних рівнянь.

2. У другій частині розглядаються рішення рівнянь виду:

• а cosx + bsinx = c.
• a(sinx+cosx)+bsin2x+c=0.
• рівняння, розв'язувані через зниження ступеня.

У цих рівняннях застосовуються універсальна підстановка, формули зниження ступеня, спосіб допоміжного аргументу.

3. У третій частині розглядаються проблеми втрати коренів та придбання сторонніх коренів. З'являється, як треба відбирати коріння.

Учні працюють у групах. Для вирішення прикладів викликаються добре підготовлені хлопці, які можуть показати та пояснити матеріал.

Семінар розрахований добре підготовленого учня, т.к. на ньому розглядаються питання дещо виходять за рамки програмного матеріалу. У нього включені рівняння складнішого виду, і особливо розглядаються проблеми, що виникають під час вирішення складних тригонометричних рівнянь.

Семінар проводився для учнів 10 – 11 класів. Кожен учень отримав можливість розширити і поглибити свої знання з цієї теми, порівняти рівень своїх знань не лише з вимогами, що висуваються до випускника школи, але й з вимогами, що пред'являються вступникам В.У.З.

СЕМІНАР

Тема:"Рішення тригонометричних рівнянь"

Цілі:

• Узагальнити знання у вирішенні тригонометричних рівнянь всіх типів.
• Загострити увагу до проблемах: втрата коріння; стороннє коріння; відбір коренів.

ХІД УРОКУ.

I. Вступна частина

1. Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

• Розкладання на множники.
• Введення нової змінної.
• Функціонально-графічний метод.

2. Деякі типи тригонометричних рівнянь.

• Рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь, щодо cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Вирішуються шляхом введення нової змінної.

• Однорідні рівняння першого та другого ступеня

Рівняння першого ступеня: Asinx + Bcosx = 0 розділимо на cos x, отримаємо Atg x + B = 0

Рівняння другого ступеня: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 розділимо на cos 2 x, отримаємо Atg 2 x + Btgx + C = 0

Вирішуються методом розкладання на множники та методом введення нової змінної.

Застосовні усі методи.

• Зниження ступеня:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Вирішуються шляхом розкладання на множники.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Рівняння виду: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Зводяться до квадратних щодо t = sinx + cosx; sin2x = t 2 - 1.

3. Формули.

х + 2 n; Перевірка є обов'язковою!

• Зниження ступеня: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Метод допоміжного аргументу.

Acosx + Bsinx замінимо Csin (x + ), де sin = а/С; cos = в/З;

- Допоміжний аргумент.

4. Правила.

• Побачив квадрат – знижуй рівень.
• Побачив твір – роби суму.
• Побачив суму – роби твір.

5. Втрата коріння, зайве коріння.

• Втрата коріння: ділимо на g(х); небезпечні формули (універсальна підстановка). Цими операціями звужуємо область визначення.

• Зайві коріння: зводимо в парний ступінь; множимо на g(х) (позбавляємося від знаменника). Цими операціями розширюємо область визначення.

ІІ. Приклади тригонометричних рівнянь

1. Рівняння виду Asinx + Bcosx = C

1) Універсальна подстановка.О.Д.З. х – будь-яке.

3 sin 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = u. х /2 + n;

u = - 1/3.

tg x = -1/3, x = arctg (-1/3) + k, k Z.

Перевірка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1 = 3 sin + cos + 1 = 0 - 1 + 1 = 0.

х = /2 + n, n е Z. Є коренем рівняння.

Відповідь: x = arctg(-1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Функціонально-графічний метод. О.Д.З. х – будь-яке.

Sinx - cosx = 1
Sinx=cosx+1.

Побудуємо графіки функцій: y = sinx, y = cosx +1.

Відповідь:х = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Запровадження допоміжного аргументу. О.Д.З.: х – будь-яке.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx=1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то існує таке, що sin = 8/17,

cos = 15/17, отже sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Відповідь: x = / 2 + 2n -, x = / 2 + 2n - arcsin 8/17, n Z.

2. Зниження порядку: Acos2x+Bsin2x=C. Acos2x+Bcos2x=C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – будь-яке.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x=0, cos3x=0, cosx=0.

Відповідь: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

При

k = 1 та m = 0 k = 4 та m = 1.

серії збігаються.

3. Зведення до однорідного. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – будь-яке.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) ділити на cos 2 х не можна, оскільки втрачаємо коріння.
cos 2 х = 0 задовольняє рівняння.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = -1/3 x = -/6 + n, n Z.

Відповідь: x = /2 + k, k Z., x = -/6 + n, n Z

4. Рівняння виду: А(sinx + cosx) + sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x - 5 (sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х - будь-яке.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 - 1.
4 + 2t 2 - 2 - 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 - 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = Ѕ.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin (x + / 2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (-1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Відповідь: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Розкладання на множники.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx - 2) (cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, коріння немає.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Відповідь: x = arctg(1/2) + n, n Z.

ІІІ. Проблеми, що виникають при вирішенні тригонометричних рівнянь

1. Втрата коріння: ділимо на g(х); застосовуємо небезпечні формули.

1) Знайдіть помилку.

1 - сosx = sinx * sinx / 2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 розділимо на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х / 2 = 2 n, x = 4n, n "Z.
Втратили коріння sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Правильне рішення: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0 x=2k, kZ.

1 - сosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Стороннє коріння: звільняємося від знаменника; зводимо у парний ступінь.

1). (sin4x - sin2x - сos3x + 2sinx - 1) : (2sin2x - 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx - сos3x + 2sinx - 1 = 0
(Сos3x + 1) (2sinx - 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0 x = (-1) k / 6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 sin 2/3 = 3/2 не задовольняють. О.Д.З. 2. n = 1 sin 2 = 0 задовольняють О.Д.З. 3. n = 2 sin 2/3 = –3/2 задовольняють О.Д.З.

ІІ. x = (-1) k /6 + k, k Z 1. k = 0 sin 2/6 = 3/2 не задовольняють О.Д.З. 2. k = 1 sin 2 * 5/6 = -3 / 2 задовольняють О.Д.З.

Відповідь: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0