Похідна дорівнює коефіцієнту дотичної. Урок "рівняння щодо графіку функції"

На сучасному етапі розвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знань та умінь з кожної теми шкільного курсу математики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння повинні бути дидактичною метою не окремих завдань, а ретельно продуманої системи. У найширшому розумінні під системою розуміється сукупність взаємозалежних елементів, що володіє цілісністю і стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінність від вже відомих полягає в тому, що абсцис точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f"(a) у загальне рівняння дотичної y = f(a) = f "(a)(x – a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішення кожної з ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхід відповідає теорії поетапного формування розумових дій, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою дотику, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a – кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 у загальному вигляді, складання системи рівнянь та подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання під час вирішення складніших завдань, потребують певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо. буд.). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на знаходження функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Нехай t – абсцису точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

У цій статті ми розберемо всі типи завдань на перебування

Згадаймо геометричний зміст похідної: якщо до графіка функції в точці проведена дотична, то коефіцієнт нахилу дотичної (рівний тангенсу кута між дотичною і позитивним напрямом осі) дорівнює похідній функції в точці.

Візьмемо на дотичній довільну точку з координатами:

І розглянемо прямокутний трикутник:

У цьому трикутнику

Звідси

Це і є рівняння дотичної, проведеної графіку функції у точці .

Щоб написати рівняння дотичної, нам достатньо знати рівняння функції та точку, в якій проведено дотичну. Тоді ми зможемо знайти і .

Є три основних типи завдань на складання рівняння дотичної.

1. Дана точка торкання

2. Даний коефіцієнт нахилу дотичної, тобто значення похідної функції у точці .

3. Дано координати точки, через яку проведено дотичну, але яка не є точкою дотику.

Розглянемо кожен тип завдань.

1 . Написати рівняння щодо графіку функції у точці .

б) Знайдемо значення похідної у точці . Спочатку знайдемо похідну функції

Підставимо знайдені значення рівняння дотичної:

Розкриємо дужки у правій частині рівняння. Отримаємо:

Відповідь: .

2 . Знайти абсциси точок, у яких дотичні до графіка функції паралельні осі абсцис.

Якщо дотична паралельна осі абсцис, отже кут між дотичною та позитивним напрямком осі дорівнює нулю, отже тангенс кута нахилу дотичної дорівнює нулю. Значить значення похідної функції у точках дотику дорівнює нулю.

а) Знайдемо похідну функції .

б) Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо значення, в яких дотична паралельна осі:

Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:

Відповідь: 0; 3;

3 . Написати рівняння щодо графіку функції , паралельних прямий .

Дотична паралельна прямий. Коефіцієнт нахилу цієї прямої дорівнює -1. Так як дотична паралельна цій прямій, отже, коефіцієнт нахилу дотичної теж дорівнює -1. Тобто ми знаємо коефіцієнт нахилу дотичної, а, тим самим, значення похідної в точці торкання.

Це другий тип завдань на знаходження рівняння дотичної.

Отже, ми маємо функцію і значення похідної у точці дотику.

а) Знайдемо точки, у яких похідна функції дорівнює -1.

Спочатку знайдемо рівняння похідної.

Прирівняємо похідну до -1.

Знайдемо значення функції у точці.

(за умовою)

б) Знайдемо рівняння щодо графіку функції у точці .

Знайдемо значення функції у точці.

(за умовою).

Підставимо ці значення до рівняння дотичної:

Відповідь:

4 . Написати рівняння щодо кривої , проходить через точку

Спочатку перевіримо, чи точка не є точкою торкання. Якщо точка є точкою торкання, вона належить графіку функції, і її координати повинні задовольняти рівнянню функції. Підставимо координати точки рівняння функції.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} не є точкою торкання.

Це останній тип завдань на знаходження рівняння дотичної. Першим ділом нам потрібно знайти абсцису точки дотику.

Знайдемо значення.

Нехай – точка торкання. Крапка належить дотичну до графіку функції. Якщо ми підставимо координати цієї точки до рівняння дотичної, то отримаємо правильну рівність:

Значення функції у точці дорівнює .

Знайдемо значення похідної функції у точці.

Спочатку знайдемо похідну функції. Це.

Похідна в точці дорівнює .

Підставимо вирази для і рівняння дотичної. Отримаємо рівняння щодо:

Вирішимо це рівняння.

Скоротимо чисельник і знаменник дробу на 2:

Наведемо праву частину рівняння до спільного знаменника. Отримаємо:

Спростимо чисельник дробу і помножимо обидві частини на - це вираз строго більше за нуль.

Отримаємо рівняння

Вирішимо його. Для цього зведемо обидві частини у квадрат і перейдемо до системи.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2)) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Розв'яжемо перше рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння, отримаємо

Другий корінь не задовольняє умову title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Напишемо рівняння дотичної до кривої в точці. Для цього підставимо значення рівняння – ми його вже записували.

Відповідь:
.

Стосовна - це пряма яка стосується графіка функції в одній точці і всі точки якої знаходяться на найменшій відстані від графіка функції. Тому дотична проходить щодо графіка функції під певним кутом і не можуть проходити через точку дотику кілька дотичних під різними кутами. Рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції складаються за допомогою похідної.

Рівняння дотичної виводиться з рівняння прямої .

Виведемо рівняння дотичної, та був - рівняння нормалі до графіку функції.

y = kx + b .

В ньому k- Кутовий коефіцієнт.

Звідси отримуємо наступний запис:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Значення похідної f "(x 0 ) функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту k= tg φ дотичної до графіка функції, проведеної через точку M0 (x 0 , y 0 ) , де y0 = f(x 0 ) . У цьому полягає геометричний зміст похідної .

Таким чином, можемо замінити kна f "(x 0 ) та отримати наступне рівняння дотичної до графіка функції :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

У завданнях на складання рівняння дотичної до графіку функції (а ми вже скоро до них перейдемо) потрібно привести рівняння, що вийшло за вищенаведеною формулою рівняння прямий у загальному вигляді. Для цього потрібно всі літери та числа перенести до лівої частини рівняння, а у правій частині залишити нуль.

Тепер про рівняння нормалі. Нормаль - це пряма, яка проходить через точку торкання графіка функції перпендикулярно дотичної. Рівняння нормалі :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для розминки перший приклад пропонується вирішити самостійно, а потім подивитися рішення. Є всі підстави сподіватися, що для наших читачів це завдання не буде холодним душем.

приклад 0.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції у точці M (1, 1) .

приклад 1.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції , якщо абсцис точки торкання .

Знайдемо похідну функції:

Тепер у нас є все, що потрібно підставити до наведеного в теоретичній довідці запису, щоб отримати рівняння дотичної. Отримуємо

У цьому прикладі нам пощастило: кутовий коефіцієнт дорівнював нулю, тому окремо приводити рівняння до загального вигляду не знадобилося. Тепер можемо скласти і рівняння нормалі:

На малюнку нижче: графік функції бордового кольору, торкається зеленого кольору, нормаль оранжевого кольору.

Наступний приклад - теж не складний: функція, як і в попередньому, також є багаточленом, але кутовий коефіцієнт не дорівнюватиме нулю, тому додасться ще один крок - приведення рівняння до загального вигляду.

приклад 2.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

Підставляємо всі отримані дані у "формулу-болванку" і отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду (всі букви та числа, відмінні від нуля, збираємо в лівій частині, а в правій залишаємо нуль):

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 3.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

Знаходимо рівняння дотичної:

Перед тим, як привести рівняння до загального вигляду, потрібно його трохи "зачесати": помножити почленно на 4. Робимо це і наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 4.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

Отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

Поширена помилка при складанні рівнянь дотичної та нормалі - не помітити, що функція, дана в прикладі, - складна і обчислювати її похідну як похідну простий функції. Наступні приклади - вже зі складними функціями(Відповідний урок відкриється в новому вікні).

Приклад 5.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Увага! Ця функція - складна, оскільки аргумент тангенсу (2 x) сам є функцією. Тому знайдемо похідну функції як похідну складної функції.

приклад 1.Дана функція f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x) у точці графіка з абсцисою x 0 = 1.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Тоді f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Відповідь. y = 10x – 8.

приклад 2.Дана функція f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), паралельної прямої y = 2x – 11.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) '= 3 x 2 – 6x + 2.

Так як до графіка функції f(x) у точці з абсцисою x 0 паралельна прямий y = 2x- 11, то її кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тобто ( x 0) = 2. Знайдемо цю абсцису з умови, що 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ця рівність справедлива лише за x 0 = 0 і при x 0 = 2. Так як у тому та в іншому випадку f(x 0) = 5, то пряма y = 2x + bстосується графіка функції або у точці (0; 5), або у точці (2; 5).

У першому випадку вірна числова рівність 5 = 2×0 + b, звідки b= 5, а у другому випадку вірна числова рівність 5 = 2×2 + b, звідки b = 1.

Отже, існує дві дотичні y = 2x+ 5 та y = 2x+ 1 до графіку функції f(x), паралельні прямий y = 2x – 11.

Відповідь. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

приклад 3.Дана функція f(x) = x 2 – 6x+ 7. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), що проходить через точку A (2; –5).

Рішення.Так як f(2) -5, то точка Aне належить графіку функції f(x). Нехай x 0 - абсцис точки торкання.

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 6x+ 1) '= 2 x – 6.

Тоді f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Бо точка Aналежить дотичній, то справедливо числова рівність

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

звідки x 0 = 0 або x 0 = 4. Це означає, що через точку Aможна провести дві дотичні до графіку функції f(x).

Якщо x 0 = 0, то рівняння дотичної має вигляд y = –6x+ 7. Якщо x 0 = 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 2x – 9.

Відповідь. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

приклад 4.Дано функції f(x) = x 2 – 2x+ 2 та g(x) = –x 2 – 3. Напишемо рівняння загальної щодо графіків цих функції.

Рішення.Нехай x 1 - абсциса точки торкання прямої з графіком функції f(x), а x 2 - абсцис точки торкання тієї ж прямої з графіком функції g(x).

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 2x+ 2) '= 2 x – 2.

Тоді f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Знайдемо похідну функції g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Рівняння щодо графіку функції

П. Романов, Т. Романова,
м. Магнітогорськ,
Челябінська обл.

Рівняння щодо графіку функції

Статтю опубліковано за підтримки Готельного комплексу «ІТАКА+». Зупиняючись у місті суднобудівників в Сєвєродвінську, ви не зіткнетесь з проблемою пошуку тимчасового житла. , на сайті готельного комплексу «ІТАКА+» http://itakaplus.ru, ви зможете легко та швидко зняти квартиру в місті, на будь-який термін, з добовою оплатою.

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f"(a) у загальне рівняння дотичної y = f(a) = f "(a)(x – a).

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою торкання, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

Рішення.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a - Кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Рішення.

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

Завдання для самостійного вирішення

1. Напишіть рівняння дотичних, проведених до графіка функції y = 2x 2 – 4x + 3 у точках перетину графіка із прямою y = x + 3.

Відповідь: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. За яких значень a дотична, проведена до графіка функції y = x 2 – ax у точці графіка з абсцисою x 0 = 1, проходить через точку M(2; 3)?

Відповідь: a = 0,5.

3. За яких значень p пряма y = px – 5 стосується кривої y = 3x 2 – 4x – 2?

Відповідь: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Знайдіть усі загальні точки графіка функції y = 3x – x 3 та дотичної, проведеної до цього графіка через точку P(0; 16).

Відповідь: A(2; - 2), B (- 4; 52).

5. Знайдіть найкоротшу відстань між параболою y = x 2 + 6x + 10 та прямою

Відповідь:

6. На кривій y = x 2 – x + 1 знайдіть точку, в якій дотична до графіка паралельна до прямої y – 3x + 1 = 0.

Відповідь: M(2; 3).

7. Напишіть рівняння щодо графіка функції y = x 2 + 2x – | 4x |, яка стосується його двох точках. Зробіть креслення.

Відповідь: y = 2x - 4.

8. Доведіть, що пряма y = 2x – 1 не перетинає криву y = x 4 + 3x 2 + 2x. Знайдіть відстань між найближчими точками.

Відповідь:

9. На параболі y = x 2 взято дві точки з абсцисами x 1 = 1, x 2 = 3. Через ці точки проведена січна. У якій точці параболи дотична до неї буде паралельна проведеній січній? Напишіть рівняння січної та дотичної.

Відповідь: y = 4x – 3 – рівняння січної; y = 4x – 4 – рівняння дотичної.

10. Знайдіть кут q між дотичними до графіка функції y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведеними у точках з абсцисами 0 та 1.

Відповідь: q = 45 °.

11. У яких точках дотична до графіка функції утворює з віссю Ox кут 135°?

Відповідь: A (0; - 1), B (4; 3).

12. У точці A(1; 8) до кривої проведено дотичну. Знайдіть довжину відрізка дотичної, укладеної між осями координат.

Відповідь:

13. Напишіть рівняння всіх загальних дотичних до графіків функцій y = x 2 – x + 1 та y = 2x 2 – x + 0,5.

Відповідь: y = - 3x та y = x.

14. Знайдіть відстань між дотичними до графіка функції паралельними осі абсцис.

Відповідь:

15. Визначте, під якими кутами парабола y = x 2 + 2x – 8 перетинає вісь абсцис.

Відповідь: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (-6).

16. На графіку функції знайдіть усі точки, що стосуються кожної з яких до цього графіка перетинає позитивні півосі координат, відтинаючи від них рівні відрізки.

Відповідь: A(-3; 11).

17. Пряма y = 2x + 7 і парабола y = x 2 – 1 перетинаються в точках M і N. Знайдіть точку K перетину прямих, що стосуються параболи в точках M і N.

Відповідь: K(1; - 9).

18. За яких значень b пряма y = 9x + b є дотичною до графіка функції y = x 3 – 3x + 15?

Відповідь: - 1; 31.

19. За яких значень k пряма y = kx – 10 має лише одну загальну точку з графіком функції y = 2x 2 + 3x – 2? Для значень k визначте координати точки.

Відповідь: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. За яких значень b дотична, проведена до графіка функції y = bx 3 – 2x 2 – 4 у точці з абсцисою x 0 = 2, проходить через точку M(1; 8)?

Відповідь: b = - 3.

21. Парабола з вершиною на осі Ox стосується прямої, що проходить через точки A(1; 2) і B(2; 4), у точці B. Знайдіть рівняння параболи.

Відповідь:

22. За якого значення коефіцієнта k парабола y = x 2 + kx + 1 стосується осі Ox?

Відповідь: k = д 2.

23. Знайдіть кути між прямою y = x + 2 та кривою y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Знайдіть відстань між дотичними до графіка функції, що утворюють з позитивним напрямком осі Ox кут 45°.

Відповідь:

30. Знайдіть геометричне місце вершин усіх параболу виду y = x 2 + ax + b, що стосуються прямої y = 4x – 1.

Відповідь: пряма y=4x+3.

Література

1. Звавіч Л.І., Капелюшник Л.Я., Чинкіна М.В. Алгебра та початку аналізу: 3600 завдань для школярів та вступників до вузів. - М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семінар четвертий молодих вчителів. Тема «Додатки похідної». - М., "Математика", № 21/94.
3. Формування знань та умінь на основі теорії поетапного засвоєння розумових дій. / За ред. П.Я. Гальперіна, Н.Ф. Тализіна. - М., МДУ, 1968.