Прямокутна система координат на площині та у просторі. Тривимірні координати

Двовимірна система координат

Крапка Pмає координати (5,2).

Сучасна Декартова система координат у двох вимірах (також відома під назвою прямокутна система координат)задається двома осями, розташованими під прямим кутом один до одного. Площина, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площини.Горизонтальна вісь позначається як x(вісь абсцис), вертикальна як y(Вісь ординат). У тривимірному просторі до двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площини- вісь z.Усі точки в системі декартових координат складають так званий Декарт простір.

Точка перетину, де осі зустрічаються, називається початком координаті позначається як O.Відповідно, вісь xможе бути позначена як Ox,а вісь y - як Ой.Прямі, проведені паралельно кожної осі з відривом одиничного відрізка (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Крапка у двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Ой(абсцису або х-координату) та від осі Ох(ордината чи y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують упорядковану пару (кортеж) чисел (x, y).У тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), і формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Літери першої половини використовуються для іменування відомих величин.

Стрілки на осях відбивають те, що вони сягають нескінченності у цьому напрямі.

Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III і IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів – проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординату – позитивні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати у кожному квадранті, можна звести до наступної таблиці:

Квадрант	x	y
I	> 0	> 0
II	<0	> 0
III	<0	<0
IV	> 0	<0

Тривимірна та n-вимірна система координат

У цьому малюнку точка P має координати (5,0,2), а точка Q - координати (-5, -5,10)

Координати у тривимірному просторі формують трійку (x, y, z).

Координати x, y, z для тривимірної декартової системи можна розуміти як відстані від точки до відповідних площин: yz, xz та xy.

Тривимірна Декартова система координат є дуже популярною, оскільки відповідає звичним уявленням про просторові виміри - висоту, ширину та довжину (тобто три виміри). Але залежно від сфери застосування та особливостей матиматичного апарату, сенс цих трьох осей може бути зовсім іншим.

Системи координат вищих розмірностей також застосовуються (наприклад, 4-мірна система для зображення простору-часу у спеціальній теорії відносності).

Система декартових координат в абстрактному n-мірномупросторі є узагальненням викладених вище положень та має nосей (по кожній на вимір), що є взаємоперпендикулярним. Відповідно, положення точки в такому просторі визначатиметься кортежем з nкоординат, або n-кою.

Рівняння прямої (планіметрія) в канонічному

вигляді, параметричному та загальному вигляді.

Ці рівняння називаються канонічними рівняннями прямою в просторі.

можуть дорівнювати нулю, це означає, що чисельник відповідного дробу теж дорівнює нулю.

Якщо ввести параметр (1) t

x − x 0 l y − y 0 m z − z 0 n

то рівняння прямої можна записати у вигляді

При введенні системи координат на площині або тривимірному просторі з'являється унікальна можливість опису геометричних фігур і їх властивостей за допомогою рівнянь і нерівностей. Це має іншу назву – методи алгебри.

Ця стаття допоможе розібратися із завданням прямокутною декартовою системою координат та з визначенням координат точок. Більше наочне і докладне зображення є на графічних ілюстраціях.

Щоб ввести систему координат на площині, необхідно провести дві перпендикулярні прямі. Вибираємо позитивний напрямок, позначаючи стрілкою. Необхідно вибрати масштаб.Точку перетину прямих назвемо літерою O . Вона вважається початком відліку. Це і називається прямокутною системою координатна площині.

Прямі з початком O мають напрям і масштаб, називають координатної прямоїабо координатною віссю.

Прямокутна система координат позначається O x y. Координатними осями називають Ох і Оу, які називаються відповідно вісь абсцисі вісь ординат.

Зображення прямокутної системи координат на площині.

Осі абсцис та ординат мають однакову одиницю зміни та масштаб, що показано у вигляді штриху на початку координатних осей. Стандартний напрямок О х ліворуч, а O y – знизу вгору. Іноді використовують альтернативний поворот під необхідним кутом.

Прямокутна система координат дістала назву декартової на честь її першовідкривача Рене Декарта. Часто можна зустріти назву як прямокутна декартова система координат.

Тривимірне евклідове простір має аналогічну систему, тільки воно складається не з двох, а з трьох О х, О у, О z осей. Це три взаємно перпендикулярні прямі, де Про z має назву вісь аплікат.

У напрямку координатних осей ділять на праву та ліву прямокутні системи координат тривимірного простору.

Осі координат перетинаються в точці O, званої початком. Кожна вісь має позитивний напрямок, який вказується за допомогою стрілок на осях. Якщо при повороті О х проти годинникової стрілки на 90 ° її позитивний напрямок збігається з позитивним О у тоді це застосовно для позитивного напрямку О z . Таку систему вважають правою.Інакше кажучи, якщо порівняти напрямок Х з великим пальцем руки, то вказівний відповідає за Y , а середній за Z .

Аналогічно утворюється ліва система координат. Обидві системи поєднати неможливо, оскільки відповідні осі не співпадуть.

Для початку відкладемо точку М на координатній осі Ох. Будь-яке дійсне число x M дорівнює єдиній точці М, розташованої на цій прямій. Якщо точка розташована на координатній прямій на відстані 2 від початку відліку за позитивним напрямом, то вона дорівнює 2 якщо - 3 то відповідна відстань 3 . Нуль - це початок відліку координатних прямих.

Інакше кажучи, кожна точка М, розташована на O x дорівнює дійсному числу x M . Цим дійсним числом є нуль, якщо точка M розташована на початку координат, тобто на перетині O x і О у. Число довжини відрізка завжди позитивне, якщо точка видалена у позитивному напрямку та навпаки.

Існуюче число x M називають координатоюточки М на заданій координатній прямій.

Візьмемо точку як проекцію точки M x на Ох, а як проекцію точки M y на О у. Значить, через точку М можна провести перпендикулярні до осей О x і О у прямі, де отримаємо відповідні точки перетину M x і M y .

Тоді точка M x на осі Ох має відповідне число x M, а M y на О у - y M. На координатних осях це виглядає так:

Кожна точка M на заданій площині у прямокутній декартовій системі координат має одну відповідну пару чисел (x M , y M) координатами. Абсциса M- Це x M, ордината M- Це y M.

Зворотне твердження також вважається вірним: кожна впорядкована пара (x M , y M) має відповідну задану в площині точку.

Визначення точки М у тривимірному просторі. Нехай є M x , M y , M z , що є проекціями точки М на відповідні осі О х, О у, О z . Тоді значення цих точок на осях Про х, Про у, Про z приймуть значення x M , y M , z M . Зобразимо це координатних прямих.

Щоб отримати проекції точки M необхідно додати перпендикулярні прямі О х, О у, О z продовжити і зобразить у вигляді площин, які проходять через M . Таким чином, площини перетнуться в M x , M y , M z

Кожна точка тривимірного простору має свої дані (x M, y M, z M), які мають назву координати точки M, x M, y M, z M -це числа, звані абсцисою, ординатоюі аплікатизаданої точки M. Для цього судження правильне і зворотне твердження: кожна впорядкована трійка дійсних чисел (x M , y M , z M) у заданій прямокутній системі координат має одну відповідну точку M тривимірного простору.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Якщо площині чи тривимірному просторі запровадити систему координат, ми отримаємо можливість описувати геометричні постаті та його властивості з допомогою рівнянь і нерівностей, тобто, ми зможемо використовувати методи алгебри. Тому поняття системи координат дуже важливе.

У цій статті ми покажемо, як задається прямокутна декартова система координат на площині і в тривимірному просторі і з'ясуємо, як визначаються координати точок. Для наочності наведемо графічні ілюстрації.

Навігація на сторінці.

Прямокутна декартова система координат на площині.

Введемо прямокутну систему координат на площині.

Для цього проведемо на площині дві взаємно перпендикулярні прямі, виберемо на кожній з них позитивний напрямок, вказавши його стрілочкою, і виберемо на кожній з них масштаб(одиницю виміру довжини). Позначимо точку перетину цих прямих буквою О і вважатимемо її початком відліку. Так ми отримали прямокутну систему координатна площині.

Кожну з прямих з обраним початком відліку О , напрямом та масштабом називають координатної прямоїабо координатною віссю.

Прямокутну систему координат на площині зазвичай позначають Oxy де Ox і Oy - її координатні осі. Вісь Ox називають віссю абсцис, а вісь Oy - віссю ординат.

Зараз умовимося із зображенням прямокутної системи координат на площині.

Зазвичай одиниця виміру довжини на осях Ox і Oy вибирається однакова і відкладається від початку координат на кожній координатній осі в позитивному напрямку (відзначається штрихом на координатних осях і поруч записується одиниця), вісь абсцис прямує праворуч, а вісь ординат - вгору. Всі інші варіанти напрямку координатних осей зводяться до озвученого (вісь Ox - вправо, вісь Oy - вгору) за допомогою повороту системи координат на деякий кут щодо початку координат і погляду на неї з іншого боку площини (за потреби).

Прямокутну систему координат часто називають декартовою, оскільки її на площині вперше запровадив Рене Декарт. Ще частіше прямокутну систему координат називають прямокутною декартовою системою координат, збираючи все докупи.

Прямокутна система координат у тривимірному просторі.

Аналогічно задається прямокутна система координат Oxyz у тривимірному евклідовому просторі, тільки береться не дві, а три взаємно перпендикулярні прямі. Іншими словами, до координатних осей Оx та Oy додається координатна вісь Oz , яку називають віссю аплікат.

Залежно від напрямку координатних осей розрізняють праву та ліву прямокутні системи координат у тривимірному просторі.

Якщо дивитися з позитивного напрямку осі Oz та найкоротший поворот від позитивного напрямку осі Ox до позитивного напрямку осі Oy відбувається проти ходу годинної стрілки, то система координат називається правою.

Якщо дивитися з позитивного напрямку осі Oz та найкоротший поворот від позитивного напрямку осі Ox до позитивного напрямку осі Oy відбувається по ходу годинної стрілки, то система координат називається лівий.

Координати точки в системі декарт координат на площині.

Спочатку розглянемо координатну пряму Ox та візьмемо деяку точку M на ній.

Кожному дійсному числу відповідає єдина точка M на цій координатній прямій. Наприклад, точці, розташованої на координатній прямій на відстані від початку відліку в позитивному напрямку, відповідає число , а числу -3 відповідає точка, розташована на відстані 3 від початку відліку в негативному напрямку. Число 0 відповідає початок відліку.

З іншого боку, кожній точці M координатної прямої Ox відповідає дійсне число . Це дійсне число є нуль, якщо точка M збігається з початком відліку (з точкою O). Це дійсне число є позитивним і дорівнює довжині відрізка OM в даному масштабі, якщо точка M віддалена від початку відліку в позитивному напрямку. Це дійсне число є негативним і дорівнює довжині відрізка OM зі знаком мінус, якщо точка M віддалена від початку відліку в негативному напрямку.

Число називається координатоюточки M на координатній прямій.

Тепер розглянемо площину із введеною прямокутною декартовою системою координат. Зазначимо у цій площині довільну точку М .

Нехай - проекція точки M на пряму Ox, а - проекції точки M на координатну пряму Oy (за потреби дивіться статтю). Тобто якщо через точку M провести прямі, перпендикулярні координатним осям Ox і Oy , то точками перетину цих прямих з прямими Ox і Oy є відповідно точки і .

Нехай точці на координатній осі Ox відповідає число, а точці на осі Oy - число.

Кожній точці М площини в заданій прямокутній декартовій системі координат відповідає єдина впорядкована пара дійсних чисел координатами точки Mна площині. Координату називають абсцисою точки М, а - ординатою точки М.

Правильне і зворотне твердження: кожній упорядкованій парі дійсних чисел відповідає точка М площині заданої системі координат.

Координати точки у прямокутній системі координат у тривимірному просторі.

Покажемо, як визначаються координати точки М у прямокутній системі координат, заданій у тривимірному просторі.

Нехай і проекції точки M на координатні осі Ox , Oy і Oz відповідно. Нехай цим точкам на координатних осях Ox, Oy та Oz відповідають дійсні числа і .

У попередніх розділах було розглянуто прийоми побудови креслень у площині XY. Положення будь-якої точки в цій системі координат характеризуються двома значеннями - абсцисою та ординатою. Для виконання побудов у тривимірному просторі до цих координат додається третя величина, що визначає обсяг того чи іншого виробу. Йдеться координаті Z, що надає плоским об'єктам обсяг. Вміння правильно задавати координати тривимірних об'єктів сприяє коректному моделюванню просторових деталей. Для цих цілей AutoCAD має в своєму розпорядженні три типи систем відліку: тривимірні декартові, циліндричні та сферичні координати.

ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ

Для позначення положення точки у тривимірному просторі за допомогою декартових координат необхідно до значень її координат на площині XY додати третє значення – координату Z. Приміром, на рис. 10.4 зображено точку, у якої координати у площині XY дорівнюють 13.19, а по осі Z – 11 одиниць.

При введенні координат у цій системі в першу чергу задається координата X, потім через ком Y і тільки потім Z. Наприклад: 13,19,11. Якщо числове значення координати дробове, то розділяти цілу та дробову частини необхідно точкою. Крім того, прогалини між числами та комами не допускаються.

Примітка. Якщо при введенні координат у тривимірному просторі пропущено значення Z, AutoCAD автоматично надасть йому значення за промовчанням, записане в системній змінній ELEVATION і називається піднесенням.

Під час створення тривимірних об'єктів використовуються поняття піднесення (рівня площини XY) і висоти. Піднесення визначається Z-координатою площини XY, де об'єкт побудований. Зрозуміло, що й піднесення дорівнює нулю (значення за умовчанням), то рівень об'єкта (його площину) збігається з площиною XY. При позитивному піднесенні об'єкт перебуває вище площині XY, а за негативному – нижче. Щодо висоти тривимірних об'єктів, то вона визначає відстань, на яку об'єкт зміщений щодо піднесення.

Зазвичай до редагування параметрів піднесення і висоти вдаються у разі, коли необхідно побудувати кілька точок, у яких координата Z має те саме значення. Спрощення побудов викликане тим, що при цьому достатньо буде вводити для кожної такої точки лише два значення, що визначають її положення у площині XY.

Як було зазначено, поточне значення піднесення зберігається під ім'ям системної змінної ELEVATION, а висоти – змінної THICKNEES. Для того, щоб змінити значення обох параметрів, що присвоюється новоствореним об'єктам, потрібно виконати команду Elev і відповісти на такі запитання:

Command: Elev
Specify new default elevation<0.0000>: <Ввод нового значения возвышения>
Specify new default thickness<0.0000>: <Ввод нового значения высоты>

Також слід зазначити, що значення висоти об'єкта можна змінювати з панелі Properties (Властивості).

ЦИЛІНДРИЧНІ КООРДИНАТИ

Положення точки в циліндричних координатах також визначається трьома величинами, однак одна з них – кутова.

Як відомо, круговий циліндр утворюється шляхом обертання твірної 2-3 (рис. 10.5а) по колу, описуючи кут 360°. Саме цей принцип покладено на концепцію циліндричних координат. Визначаючи положення точки, необхідно встановити спочатку радіус циліндра (0-1), потім кут обертання утворює (1-2) і, нарешті, висоту циліндра (2-3). Приміром, точка, зображена на рис. 10.36 була побудована щодо поточної ПСК після введення в командний рядок 23<55,12. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей, запятая перед этим значком не ставится, а после величины угла – должна вводиться обязательно. Таким образом, в цилиндрической системе координат положение точки определяется в следующем порядке: радиус – угол – образующая.

Слід звернути увагу до правило символів. Що стосується лінійних координат, то тут все просто – напрямок осей визначає позитивні значення відліку. При цьому позитивний напрямок осі Z можна контролювати правилом правої руки. Це правило ось у чому. Якщо великий палець правої руки поєднати з віссю X, а вказівний – з віссю Y, інші пальці в вигнутому положенні вкажуть позитивний напрямок осі Z (рис. 10.56).

Для визначення позитивного напрямку обертання щодо будь-якої осі слід дотримуватися наступного правила. Якщо встановити спостерігача з боку позитивного напрямку осі, то позитивний напрямок відліку кутів збігатиметься з рухом проти годинникової стрілки (рис. 10.4). Таким чином, щоб ввести напрям кута за годинниковою стрілкою значення кута слід вводити зі знаком мінус.

СФЕРИЧНІ КООРДИНАТИ

Положення точки у сферичних координатах визначається також трьома величинами, у тому числі одне лінійне, а два інших – кутові.

Як відомо, сферична поверхня є геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від однієї точки – центру кулі. Тому, щоб визначити положення точки, розташованої на поверхні сфери (рис. 10.7а), достатньо вказати радіус кола, обертанням якого утворюється куля (0-1), потім кут, утворений обертанням кола навколо осі Z (1-2), і нарешті , Кут, утворений обертанням кола щодо осі X (2-3). Приміром, точка, зображена на рис. 10.76 була побудована щодо поточної ПСК після введення в командний рядок 25<55<27. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей. Таким образом, в сферической системе координат положение точки определяется в следующем порядке:

Фільтри крапок

Координатні фільтри точок – це ще один спосіб введення координат у тривимірному просторі, відмінністю якого є залежність від координат раніше введених об'єктів. Іншими словами, щоб призначити координати цим способом, потрібно прив'язатись до вузлів вже існуючих об'єктів для автоматичного вилучення з них замовленої вами координати.

Примітка. Завдання координат у тривимірному просторі способом фільтрації точок може бути ефективним лише при використанні режимів об'єктної прив'язки.

Упорядкована система двох або трьох перпендикулярних один одному осей, що перетинаються, із загальним початком відліку (початком координат) і загальною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат .

Загальна декартова система координат (афінна система координат) може містити і не обов'язково перпендикулярні осі. На честь французького математика Рене Декарта (1596-1662) названо саме таку систему координат, у якій усім осях відраховується загальна одиниця довжини і осі є прямими.

Прямокутна декартова система координат на площині має дві осі, а прямокутна декартова система координат у просторі - Три осі. Кожна точка на площині чи просторі визначається упорядкованим набором координат - чисел відповідно до одиниці довжини системи координат.

Зауважимо, що, як випливає з визначення, існує декартова система координат і на прямій, тобто в одному вимірі. Введення декартових координат на прямий є одним із способів, за допомогою якого будь-якій точці прямий ставиться у відповідність цілком певне речове число, тобто координата.

Метод координат, що у роботах Рене Декарта, ознаменував собою революційну перебудову всієї математики. З'явилася можливість тлумачити рівняння алгебри (або нерівності) у вигляді геометричних образів (графіків) і, навпаки, шукати рішення геометричних завдань за допомогою аналітичних формул, систем рівнянь. Так, нерівність z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyта перебуває вище цієї площини на 3 одиниці.

За допомогою декартової системи координат належність точки заданої кривої відповідає тому, що числа xі yзадовольняють деякому рівнянню. Так, координати точки кола з центром у заданій точці ( a; b) задовольняють рівняння (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Прямокутна декартова система координат на площині

Дві перпендикулярні осі на площині із загальним початком та однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат на площині . Одна з цих осей називається віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат . Ці осі називаються також координатними осями. Позначимо через Mxі Myвідповідно проекції довільної точки Мна осі Oxі Ой. Як отримати проекцію? Проведемо через точку М Ox. Ця пряма перетинає вісь Oxу точці Mx. Проведемо через точку Мпряму, перпендикулярну до осі Ой. Ця пряма перетинає вісь Ойу точці My. Це показано нижче.

xі yкрапки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMxі OMy. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 і y = y0 - 0 . Декартові координати xі yкрапки М абсцисою і ординатою . Той факт, що точка Ммає координати xі y, позначається так: M(x, y) .

Координатні осі розбивають площину на чотири квадранта нумерація яких показана на малюнку нижче. На ньому вказана розстановка знаків координат точок залежно від їх розташування в тому чи іншому квадранті.

Крім декартових прямокутних координат на площині, часто розглядається також полярна система координат. Про спосіб переходу від однієї системи координат до іншої – в уроці полярна система координат .

Прямокутна декартова система координат у просторі

Декартові координати у просторі вводяться у повній аналогії з декартовими координатами на площині.

Три взаємно перпендикулярні осі у просторі (координатні осі) із загальним початком Oі однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат у просторі .

Одну із зазначених осей називають віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат третю - віссю Oz, або віссю аплікат . Нехай Mx, My Mz- Проекції довільної точки Мпростору на осі Ox , Ойі Ozвідповідно.

Проведемо через точку М OxOxу точці Mx. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Ой. Ця площина перетинає вісь Ойу точці My. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Oz. Ця площина перетинає вісь Ozу точці Mz.

Декартові прямокутні координати x , yі zкрапки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMx, OMyі OMz. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 , y = y0 - 0 і z = z0 - 0 .

Декартові координати x , yі zкрапки Мназиваються відповідно до неї абсцисою , ординатою і аплікати .

Попарно взяті координатні осі розташовуються в координатних площинах. xOy , yOzі zOx .

Завдання про точки в декартовій системі координат

приклад 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Знайти координати проекцій цих точок на вісь абсцис.

Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, а отже має абсцису, рівну абсцисі самої точки, і ординату (координату на осі Ой, Яку вісь абсцис перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь абсцис:

Ax (2; 0);

Bx (3; 0);

Cx (-5; 0).

приклад 2.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Знайти координати проекцій цих точок на вісь ординат.

Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь ординат розташована на осі ординат, тобто осі Ой, а отже має ординату, рівну ординаті самої точки, та абсцису (координату на осі Ox, Яку вісь ординат перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь ординат:

Ay (0; 2);

By (0; 1);

Cy (0; -2).

приклад 3.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox, матиме таку ж абсцису, що і дана точка, і ординату, рівну за абсолютною величиною ординаті цієї точки, і протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі. Ox :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Вирішити завдання на декартову систему координат самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Визначити, у яких квадрантах (чвертях, малюнок з квадрантами - наприкінці параграфа "Прямокутна декартова система координат на площині") може бути розташована точка M(x; y) , якщо

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Приклад 5.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .

Продовжуємо вирішувати завдання разом

Приклад 6.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .

Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо осі Ойспрямований відрізок, що йде від осі Ойдо цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Ой, матиме таку ж ординату, що і дана точка, і абсцису, рівну за абсолютною величиною абсцис даної точки, і протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі. Ой :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Приклад 7.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат.

Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо початку координат спрямований відрізок, що йде від початку координат до цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо початку координат, матиме абсцису та ординату, рівні за абсолютною величиною абсцисі та ординаті даної точки, але протилежні їм за знаком. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Приклад 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Знайти координати проекцій цих точок:

1) на площину Oxy ;

2) на площину Oxz ;

3) на площину Oyz ;

4) на вісь абсцис;

5) на вісь ординат;

6) на вісь аплікат.

1) Проекція точки на площину Oxyрозташована на цій площині, а отже має абсцису і ординату, рівні абсцисі і ординаті даної точки, і аплікату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxy :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy (2; -3; 0).

2) Проекція точки на площину Oxzрозташована на цій площині, а отже має абсцису і аплікату, рівні абсцисі і аплікату даної точки, і ординату, що дорівнює нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Проекція точки на площину Oyzрозташована на цій площині, а отже має ординату і аплікату, рівні ординаті і аплікату даної точки, і абсцису, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, а отже має абсцису, рівну абсцисі самої точки, а ордината і апліката проекції дорівнюють нулю (оскільки осі ординат і аплікат перетинають вісь абсцис у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь абсцис:

Ax (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx (2; 0; 0).

5) Проекція точки на вісь ординат розташована на самій осі ординат, тобто осі Ой, а отже має ординату, рівну ординаті самої точки, а абсцису та аплікату проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис і аплікат перетинають вісь ординат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь ординат:

Ay (0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy (0; -3; 0).

6) Проекція точки на вісь аплікат розташована на самій осі аплікат, тобто осі Oz, а отже має аплікату, рівну аплікату самої точки, а абсцису та ординату проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис та ординат перетинають вісь аплікат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь аплікат:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz (0; 0; 0).

Приклад 9.У декартовій системі координат у просторі дані точки

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо:

1) площині Oxy ;

2) площині Oxz ;

3) площині Oyz ;

4) осі абсцис;

5) осі ординат;

6) осі аплікат;

7) початку координат.

1) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxy Oxy, матиме абсцису та ординату, рівні абсцисі та ординаті даної точки, і аплікату, рівну за величиною аплікату даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxzна ту ж відстань. По малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oxz, матиме абсцису та аплікату, рівні абсцисі та аплікату даної точки, і ординату, рівну за величиною ординаті даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oyzна ту ж відстань. По малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oyz, матиме ординату і аплікату, рівні ординаті та аплікату даної точки, і абсцису, рівну за величиною абсцисі даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

За аналогією з симетричними точками на площині та точками простору, симетричними даними щодо площин, зауважуємо, що у разі симетрії щодо деякої осі декартової системи координат у просторі, координата на осі, щодо якої задана симетрія, збереже свій знак, а координати на двох інших осях будуть тими ж за абсолютною величиною, як і координати цієї точки, але протилежними за знаком.

4) Свій знак збереже абсцису, а ордината та апліката поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі абсцис:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Свій знак збереже ордината, а абсцису та аплікату поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі ординат:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Свій знак збереже апліката, а абсциса та ордината поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо осі:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) За аналогією з симетрією у випадку з точками на площині, у разі симетрії щодо початку координат всі координати точки, симетричної даної, будуть рівними за абсолютною величиною координат цієї точки, але протилежними їм за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо початку координат.