Середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену (підсумкову) характеристику масових суспільних явищ, оскільки будуються на основі великої кількості індивідуальних значень ознаки, що варіює. Для з'ясування сутності середньої величини необхідно розглянути особливості формування значень ознак явищ, за даними яких обчислюють середню величину.

Відомо, що одиниці кожного масового явища мають численні ознаки. Яка б із цих ознак ми не взяли, його значення в окремих одиниць будуть різними, вони змінюються, або, як кажуть у статистиці, варіюють від однієї одиниці до іншої. Так, наприклад, заробітна плата працівника визначається його кваліфікацією, характером праці, стажем роботи та цілим рядом інших факторів, тому змінюється у вельми широких межах. Сукупний вплив всіх факторів визначає розмір заробітку кожного працівника, проте можна говорити про середньомісячну заробітну плату працівників різних галузей економіки. Тут ми оперуємо типовим, характерним значенням ознаки, що варіює, віднесеним до одиниці численної сукупності.

Середня величина відображає те загальне,що притаманно всіх одиниць досліджуваної сукупності. У той самий час вона врівноважує вплив всіх чинників, які діють величину ознаки окремих одиниць сукупності, хіба що взаємно погашаючи їх. Рівень (або розмір) будь-якого суспільного явища обумовлений дією двох груп факторів. Одні з них є загальними і головними, постійно діючими, тісно пов'язаними з природою явища, що вивчається, або процесу, і формують те типовавсім одиниць досліджуваної сукупності, що й відбивається у середній величині. Інші є індивідуальними,їхня дія виражена слабше і носить епізодичний, випадковий характер. Вони діють у зворотному напрямі, зумовлюють різницю між кількісними ознаками окремих одиниць сукупності, прагнучи змінити постійну величину досліджуваних ознак. Дія індивідуальних ознак погашається у середній величині. У сукупному впливі типових та індивідуальних факторів, що врівноважується та взаємно погашається в узагальнюючих характеристиках, проявляється у загальному вигляді відомий з математичної статистики фундаментальний закон великих чисел.

У сукупності індивідуальні значення ознак зливаються в загальну масу і розчиняються. Звідси і середня величинавиступає як «знеособлена», яка може відхилятися від індивідуальних значень ознак, не збігаючись кількісно з жодним з них. Середня величина відображає загальне, характерне і типове для всієї сукупності завдяки взаємопогашенню в ній випадкових, нетипових відмінностей між ознаками окремих її одиниць, оскільки її величина визначається як загальної рівнодіючої з усіх причин.

Однак для того, щоб середня величина відображала найбільш типове значення ознаки, вона повинна визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з однорідних одиниць. Ця вимога є основною умовою науково обґрунтованого застосування середніх величин та передбачає тісний зв'язок методу середніх величин та методу угруповань в аналізі соціально-економічних явищ. Отже, середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю однорідної сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Визначаючи таким чином сутність середніх величин, необхідно підкреслити, що правильне обчислення будь-якої середньої величини передбачає виконання наступних вимог:

• якісна однорідність сукупності, якою обчислена середня величина. Це означає, що літочислення середніх величин повинно ґрунтуватися на методі угруповань, що забезпечує виділення однорідних, однотипних явищ;
• виключення впливу на обчислення середньої величини випадкових, суто індивідуальних причин та факторів. Це досягається у тому випадку, коли обчислення середньої ґрунтується на досить масовому матеріалі, в якому проявляється дія закону великих чисел, та всі випадковості взаємно погашаються;
• при обчисленні середньої величини важливо встановити мету її розрахунку та так званий визначальний показ-телъ(Властивість), на який вона має бути орієнтована.

Визначальний показник може виступати у вигляді суми значень середньої ознаки, суми його зворотних значень, добутку його значень тощо. цьому випадку не змінить визначального показника. На основі зв'язку визначального показника із середньою величиною будують вихідне кількісне відношення для безпосереднього розрахунку середньої величини. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальною властивістю.

Середня величина, розрахована загалом за сукупністю, називається загальної середньої;середні величини, розраховані кожної групи, - груповими середніми.Загальна середня відбиває загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику явища, що у конкретних умовах цієї групи.

Способи розрахунку можуть бути різні, тому в статистиці розрізняють кілька видів середньої величини, основними з яких є середня арифметична, середня гармонійна та середня геометрична.

p align="justify"> В економічному аналізі використання середніх величин є основним інструментом для оцінки результатів науково-технічного прогресу, соціальних заходів, пошуку резервів розвитку економіки. У той самий час слід пам'ятати у тому, що надмірне захоплення середніми показниками може призвести до необ'єктивним висновків під час проведення економіко-статистичного аналізу. Це з тим, що середні величини, будучи узагальнюючими показниками, погашають, ігнорують ті розбіжності у кількісних ознаках окремих одиниць сукупності, які реально існують й можуть становити самостійний інтерес.

Види середніх величин

У статистиці використовують різні види середніх величин, які поділяються на два великі класи:

• статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);
• структурні середні (мода, медіана)

Для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому називають структурними, позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.

Найпоширеніший вид середньої величини – середня арифметична. Під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення цієї величини зводиться до підсумовування всіх значень варіює ознаки і поділу отриманої суми на загальну кількість одиниць сукупності. Наприклад, п'ять робочих виконували замовлення виготовлення деталей, у своїй перший виготовив 5 деталей, другий - 7, третій - 4, четвертий - 10, п'ятий- 12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося лише один раз, визначення середньої вироблення одного робітника слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:

тобто в нашому прикладі середнє вироблення одного робітника дорівнює

Поряд із простою середньою арифметичною вивчають середню арифметичну зважену.Наприклад, розрахуємо середній вік студентів у групі з 20 осіб, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- варіанти ознаки, що осредняється, fi- Частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-езначення у сукупності (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Середній вік студентів

Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:

Для вибору середньої арифметичної зваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба вирахувати

середню величину, і при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як добуток цих показників, то середня величина повинна вираховуватися за формулою середньої арифметичної зваженої.

У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може бути тільки інший вид середньої величини - середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним використанням електронно-обчислювальної техніки. Велике практичне значення набула середня гармонійна величина, яка теж буває простою та виваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватне розподілення одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої зваженої гармонійної.

Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км/год, а 150 км зі швидкістю 75 км/год, що залишилися. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Оскільки варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км/год Х2= 75 км/год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів на ваги не матимуть ні фізичного, ні економічного сенсу. В даному випадку сенс набувають приватні від розподілу відрізків колії на відповідні швидкості (варіанти xi), тобто витрати часу на проходження окремих ділянок колії (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, весь шлях висловитися як Σfi, а час, витрачений весь шлях, - як Σ fi / xi , Тоді середня швидкість може бути знайдена як окреме від розподілу всього шляху на загальні витрати часу:

У нашому прикладі отримаємо:

Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, замість виваженої можна використовувати просту (невиважену) середню гармонійну:

де xi – окремі варіанти; n- Число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби дорівнювали відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.

Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта ознаки, що осредняется, не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з середнім показником. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їхньою середньою величиною (середньою швидкістю) не повинна змінитися загальна відстань.

Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з середнім, тому підсумковий показник, величина якого не повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньою величиною, називається визначальним показником.Для висновку середньої формули потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок середнього показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів ознаки (показника) їх середньою величиною.

Крім середньої арифметичної та середньої гармонійної у статистиці використовуються інші види (форми) середньої величини. Усі вони є окремими випадками степеневої середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для тих самих даних, то значення

їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найбільш часто застосовуються в практичних дослідженнях формули обчислення різних видів статечних середніх величин представлені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів зростання, при цьому індивідуальні значення ознаки є, як правило, відносними величинами динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення до попереднього рівня кожного рівня в ряді динаміки. Середня характеризує, в такий спосіб, середній коефіцієнт зростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою

Формула середньої геометричної зваженоїмає такий вигляд:

Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах чи темпах зростання, а друга - за абсолютних значень рівнів ряду.

Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу та обчислюється за формулою

Середня зважена квадратичнарозраховується за іншою формулою:

Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функцій та обчислюється за формулою

середня кубічна зважена:

Усі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:

де – середня величина; - Індивідуальне значення; n- Число одиниць досліджуваної сукупності; k- Показник ступеня, що визначає вид середньої.

При використанні тих самих вихідних даних, чим більше kу загальній формулі статечної середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:

Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про сукупність, що вивчається, і з цієї точки зору їх теоретичне, прикладне і пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається з жодним із реально існуючих варіантів, тому крім розглянутих середніх у статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають упорядкованому (ранжованому) ряду значень ознаки цілком певне становище. Серед таких величин найуживанішими є структурні,або описові, середні- мода (Мо) та медіана (Ме).

Мода- величина ознаки, яка найчастіше зустрічається у цій сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися щодо магазинів, які частіше відвідуються, найпоширенішої ціни на будь-який товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значній частині сукупності, і визначається за формулою

де х0 - нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; fm_ 1 - частота попереднього інтервалу; fm+ 1 – частота наступного інтервалу.

Медіаноюназивається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що з обох боків від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або одно або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявлення про те, де зосереджені значення ознаки, іншими словами, де знаходиться їхній центр.

Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючої ознаки, якими має половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду надати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанта визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 та n / 2 + 1.

При визначенні медіани в інтервальних варіаційних лавах спочатку визначається інтервал, у якому вона перебуває (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує напівсуму всіх частот. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду здійснюється за формулою

де X0- нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; f- Число членів ряду;

∫m-1 - сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поряд з медіаною для більш повної характеристики структури сукупності, що вивчається, застосовують і інші значення варіантів, що займають в ранжированому ряду цілком певне положення. До них відносяться квартувалиі децилі.Квартілі ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децилі – на 10 рівних частин. Квартилів налічується три, а децилів – дев'ять.

Медіана і мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностей у значеннях ознаки, що варіює, і тому є додатковими і дуже важливими характеристиками статистичної сукупності. Насправді вони часто використовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює. Ці не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.

Показники варіації

Метою статистичного дослідження є виявлення основних властивостей та закономірностей досліджуваної статистичної сукупності. У процесі зведеної обробки даних статистичного спостереження будують лави розподілу.Розрізняють два типи рядів розподілу - атрибутивні та варіаційні, залежно від того, чи є ознака, взята за основу угруповання, якісною чи кількісною.

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності не постійні, більш-менш різняться між собою. Така різниця у величині ознаки носить назву варіації.Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в сукупності, що вивчається, називають варіантами значень.Наявність варіації в окремих одиниць сукупності обумовлено впливом значної частини чинників формування рівня ознаки. Вивчення характеру та ступеня варіації ознак в окремих одиниць сукупності є найважливішим питанням будь-якого статистичного дослідження. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Іншим важливим завданням статистичного дослідження є визначення ролі окремих факторів чи їх груп у варіації тих чи інших ознак сукупності. Для вирішення такого завдання у статистиці застосовуються спеціальні методи дослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, за допомогою яких вимірюється варіація. У практиці дослідник стикається з досить великою кількістю варіантів значень ознаки, що не дає уявлення про розподіл одиниць за величиною ознаки в сукупності. Для цього проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому або спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.Ранжований ряд одночасно дає загальне уявлення про значення, які набуває ознаки в сукупності.

Недостатність середньої величини для вичерпної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання ознаки, що вивчається. Використання цих показників варіації дає можливість зробити статистичний аналіз більш повним і змістовним і тим самим глибше зрозуміти сутність суспільних явищ, що вивчаються.

Найпростішими ознаками варіації є мінімумі максимум -це найменше та найбільше значення ознаки в сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення.Позначимо частоту повторення значення ознаки fi,сума частот, що дорівнює обсягу досліджуваної сукупності буде:

де k- Число варіантів значень ознаки. Частоти зручно замінювати частостями wi. Частина- відносний показник частоти - може бути виражений у частках одиниці або відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числом спостережень. Формально маємо:

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться середнє лінійне відхилення, розмах варіації, дисперсія, середнє відхилення квадратичне.

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності: R= Xmax – Xmin. Цей показник дає лише загальне уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Він не пов'язані з частотами в варіаційному ряду, т. е. з характером розподілу, яке залежність може надавати йому нестійкий, випадковий характер лише з крайніх значень ознаки. Розмах варіації не дає жодної інформації про особливості досліджуваних сукупностей і не дозволяє оцінити рівень типовості отриманих середніх величин. Область застосування цього показника обмежена досить однорідними сукупностями, точніше, характеризує варіацію ознаки показник, що ґрунтується на обліку мінливості всіх значень ознаки.

Для характеристики варіації ознаки необхідно узагальнити відхилення всіх значень від будь-якої типової для вивчається сукупності величини. Такі показники

варіації, як середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення, засновані на розгляді відхилень значень ознаки окремих одиниць сукупності від середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної:

Абсолютне значення (модуль) відхилення варіанта від середньої арифметичної; f-частота.

Перша формула застосовується, якщо кожен із варіантів зустрічається в сукупності лише один раз, а друга - у рядах із нерівними частотами.

Існує інший спосіб усереднення відхилень варіантів від середньої арифметичної. Цей дуже поширений у статистиці спосіб зводиться до розрахунку квадратів відхилень варіантів від середньої величини зі своїм наступним усередненням. При цьому ми отримуємо новий показник варіації – дисперсію.

Дисперсія(σ 2) - середня з квадратів відхилень варіантів значень ознаки від їхньої середньої величини:

Друга формула застосовується за наявності варіантів своїх ваг (або частот варіаційного ряду).

В економіко-статистичному аналізі варіацію ознаки прийнято оцінювати найчастіше за допомогою середнього відхилення квадратичного. Середнє квадратичне відхилення(σ) являє собою квадратний корінь з дисперсії:

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення показують, наскільки в середньому коливається величина ознаки у одиниць досліджуваної сукупності, і виражаються в тих самих одиницях виміру, що і варіанти.

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіації різних ознак. Наприклад, великий інтерес представляє порівняння варіацій віку персоналу та його кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати і т. д. Для подібних зіставлень показники абсолютної коливання ознак - середнє лінійне та середнє квадричне відхилення - не придатні. Не можна, насправді, порівнювати коливання стажу роботи, що виражається в роках, з коливанням заробітної плати, що виражається в рублях і копійках.

При порівнянні мінливості різних ознак у сукупності зручно застосовувати відносні показники варіації. Ці показники обчислюються як відношення абсолютних показників до середньої арифметичної (або медіани). Використовуючи як абсолютний показник варіації розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, отримують відносні показники коливання:

Найчастіше застосовуваний показник відносної коливання, що характеризує однорідність сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % для розподілів, близьких до нормального.

У обчисленні середнього значення губиться.

Середнє значеннянабору чисел дорівнює сумі чисел S, поділеної кількість цих чисел. Тобто виходить, що середня значенняодно: 19/4 = 4.75.

Зверніть увагу

Якщо потрібно знайти середнє геометричне всього для двох чисел, то інженерний калькулятор вам не знадобиться: витягти корінь другого ступеня (квадратний корінь) з будь-якого числа можна за допомогою звичайного калькулятора.

Корисна порада

На відміну від середнього арифметичного, на геометричне середнє не так сильно впливають великі відхилення та коливання між окремими значеннями в досліджуваному наборі показників.

Джерела:

• Онлайн-калькулятор, що розраховує середнє геометричне
• середня геометрична формула

СереднєЗначення – це одна з характеристик набору чисел. Є числом, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннями в цьому наборі чисел. Середнєарифметичне значення - найчастіше використовуваний різновид середніх.

Інструкція

Складіть усі числа множини та розділіть їх на кількість доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від конкретних умов обчислення іноді простіше ділити кожне з чисел на кількість значень множини та підсумовувати результат.

Використовуйте, наприклад, Windows, що входить до складу Windows, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі неможливо. Відкрити його можна за допомогою діалогу запуску програм. Для цього натисніть "гарячі клавіші" WIN + R або клацніть кнопку "Пуск" і виберіть у головному меню команду "Виконати". Потім надрукуйте в полі введення calc і натисніть клавішу Enter або клацніть кнопку «OK». Це можна зробити через головне меню - розкрийте його, перейдіть у розділ «Всі програми» і в секції «Стандартні» і виберіть рядок «Калькулятор».

Введіть послідовно всі числа множини, натискаючи після кожного (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа також можна як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

Натисніть клавішу з косою (слеш) або клацніть в інтерфейсі калькулятора після введення останнього значення множини і надрукуйте кількість чисел у послідовності. Потім натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує та покаже середнє арифметичне значення.

Можна з цією ж метою використовувати табличний редактор Microsoft Excel. У цьому випадку запустіть редактор і введіть у сусідні осередки всі значення послідовності чисел. Якщо після введення кожного числа ви натискатимете Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам переміщатиме фокус введення в сусідню комірку.

Клацніть наступну за останнім введеним числом комірку, якщо вам не достатньо лише побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте випадаючий із зображенням грецької сигма (Σ) команд «Редагування» на вкладці «Головна». Виберіть у ньому рядок « Середнєі редактор вставить потрібну формулу для обчислення середньоарифметичного значення у виділену комірку. Натисніть клавішу Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне - один із заходів центральної тенденції, що широко використовується в математиці та статистичних розрахунках. Знайти середнє арифметичне число для кількох значень дуже просто, але у кожного завдання є свої нюанси, знати які для виконання вірних розрахунків просто необхідно.

Що таке середнє арифметичне число

Середнє арифметичне число визначає усереднене значення всього вихідного масиву чисел. Іншими словами, з деякої множини чисел вибирається загальне всім елементів значення, математичне порівняння якого з усіма елементами носить приблизно рівний характер. Середнє арифметичне число використовується переважно при складанні фінансових та статистичних звітів або для розрахунків результатів проведених подібних дослідів.

Як знайти середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числа для масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо у масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При запису середнє арифметичне позначається буквою μ (мю) чи x (ікс з характеристикою). Далі суму алгебри слід розділити на кількість чисел в масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо масиві присутні негативні числа, то перебування середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є тільки при розрахунках у середовищі програмування, або якщо завдання має додаткові умови. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел з різними знаками зводиться до трьох дій:

1. Знаходження загальної середньої арифметичної кількості стандартним методом;
2. Знаходження середнього арифметичного негативного числа.
3. Обчислення середнього арифметичного позитивного числа.

Відповіді кожної з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, рішення відбувається методом обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться у разі вимогам завдання до точності відповіді.

При роботі з натуральними дробами їх слід привести до спільного знаменника, який множиться на кількість чисел у масиві. У чисельнику відповіді буде сума наведених чисельників вихідних дробових елементів.

• Інженерний калькулятор.

Інструкція

Враховуйте, що в загальному випадку середнє геометричне чисел знаходиться шляхом перемноження цих чисел та вилучення з них кореня ступеня, що відповідає кількості чисел. Наприклад, якщо потрібно знайти середнє геометричне п'ять чисел, то з твору потрібно буде видобувати корінь ступеня.

Для знаходження середнього геометричного двох чисел використовуйте головне правило. Знайдіть їх добуток, після чого витягніть із нього квадратний корінь, оскільки числа два, що відповідає ступеню кореня. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне чисел 16 і 4, знайдіть їх добуток 16 4=64. З числа, що вийшло, вийміть квадратний корінь √64=8. Це і буде потрібна величина. Середнє арифметичне цих двох чисел більше 10. Якщо корінь не витягується націло, зробіть округлення результату до потрібного порядку.

Щоб знайти середнє геометричне більше двох чисел, теж використовуйте основне правило. Для цього знайдіть добуток усіх чисел, для яких потрібно знайти середнє геометричне. З отриманого твору витягніть корінь ступеня, який дорівнює кількості чисел. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне чисел 2, 4 та 64, знайдіть їх добуток. 2 4 64 = 512. Оскільки потрібно знайти результат середнього геометричного трьох чисел, що з твору вийміть корінь третього ступеня. Зробити це важко, тому скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка x^y. Наберіть число 512, натисніть кнопку "x^y", після чого наберіть число 3 і натисніть кнопку "1/х", щоб знайти значення 1/3, натисніть кнопку "=". Отримаємо результат зведення 512 ступінь 1/3, що відповідає кореню третього ступеня. Отримайте 512^1/3=8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 та 64.

За допомогою інженерного калькулятора можна знайти середнє геометричне іншим способом. Знайдіть кнопку log на клавіатурі. Після цього візьміть логарифм для кожного з чисел, знайдіть їхню суму та поділіть її на кількість чисел. З отриманої кількості візьміть антилогарифм. Це і буде середнє геометричне чисел. Наприклад, щоб знайти середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі набір операцій. Наберіть число 2, після чого натисніть кнопку log, натисніть кнопку "+", наберіть число 4 і натисніть log і "+", наберіть 64, натисніть log і "=". Результатом буде число, що дорівнює сумі десяткових логарифмів чисел 2, 4 і 64. Отримане число розділіть на 3, оскільки це кількість чисел, якими шукається середня геометрична. З результату візьміть антилогарифм, перемкнувши кнопку регістру, та використовуйте ту ж клавішу log. У результаті вийде число 8, і є шукане середнє геометричне.

Для того, щоб знайти середнє значення в Excel (при тому неважливо числове, текстове, відсоткове або інше значення) існує багато функцій. І кожна з них має свої особливості та переваги. Адже у цій задачі може бути поставлені певні умови.

Наприклад, середні значення ряду чисел у Excel вважають за допомогою статистичних функцій. Можна також вручну ввести власну формулу. Розглянемо різні варіанти.

Як знайти середнє арифметичне чисел?

Щоб знайти середнє арифметичне, необхідно скласти всі числа у наборі та поділити суму на кількість. Наприклад, оцінки школяра з інформатики: 3, 4, 3, 5, 5. Що виходить за чверть: 4. Ми знайшли середнє арифметичне за такою формулою: =(3+4+3+5+5)/5.

Як це швидко зробити за допомогою функції Excel? Візьмемо для прикладу ряд випадкових чисел у рядку:

Або: зробимо активним осередок і просто вручну впишемо формулу: = СРЗНАЧ(A1:A8).

Тепер подивимося, що ще вміє функція СРЗНАЧ.

Знайдемо середнє арифметичне двох перших та трьох останніх чисел. Формула: = СРЗНАЧ (A1: B1; F1: H1). Результат:



Середнє значення за умовою

Умовою перебування середнього арифметичного може бути числової критерій чи текстовий. Будемо використовувати функцію: =ДІЙСНО().

Знайти середнє арифметичне чисел, які більші або рівні 10.

Функція: =ЗНАЧАЛИ(A1:A8;">=10")

Результат використання функції РОЗНАЧАЛИ за умовою ">=10":

Третій аргумент - "Діапазон усереднення" - опущений. По-перше, він не обов'язковий. По-друге, аналізований програмою діапазон містить ТІЛЬКИ числові значення. У осередках, зазначених у першому аргументі, і буде здійснюватися пошук за прописаною умовою в другому аргументі.

Увага! Критерій пошуку можна вказати в осередку. А у формулі зробити на неї посилання.

Знайдемо середнє значення чисел за текстовим критерієм. Наприклад, середній продаж товару «столи».

Функція буде виглядати так: =ЗНАЧАЛЬНІ($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Діапазон – стовпець із найменуваннями товарів. Критерій пошуку - посилання на комірку зі словом "столи" (можна замість посилання A7 вставити саме слово "столи"). Діапазон усереднення – ті осередки, у тому числі братимуться дані до розрахунку середнього значення.

В результаті обчислення функції отримуємо таке значення:

Увага! Для текстового критерію (умови) діапазон усереднення вказувати обов'язково.

Як порахувати середньозважену ціну в Excel?

Як ми дізналися середньозважену ціну?

Формула: = СУМПРОВИЗВ (C2: C12; B2: B12) / СУМ (C2: C12).

З допомогою формули СУММПРОИЗВ ми дізнаємося загальну виручку після реалізації кількості товару. А функція СУММ - сумує кількість товару. Поділивши загальний виторг від реалізації товару на загальну кількість одиниць товару, ми знайшли середньозважену ціну. Цей показник враховує «вага» кожної ціни. Її частку у загальній масі значень.

Середнє квадратичне відхилення: формула в Excel

Розрізняють середньоквадратичне відхилення за генеральною сукупністю та вибіркою. У першому випадку це корінь із генеральної дисперсії. У другому – із вибіркової дисперсії.

Для розрахунку цього статистичного показника складається формула дисперсії. З неї витягується корінь. Але в Excel існує готова функція для знаходження середньоквадратичного відхилення.

Середньоквадратичне відхилення має прив'язку масштабу вихідних даних. Для образного ставлення до варіації аналізованого діапазону цього недостатньо. Щоб отримати відносний рівень розкиду даних, розраховується коефіцієнт варіації:

середньоквадратичне відхилення / середнє арифметичне значення

Формула в Excel виглядає так:

СТАНДОТКЛОНП (діапазон значень)/СРЗНАЧ (діапазон значень).

Коефіцієнт варіації вважається у відсотках. Тому в осередку встановлюємо відсотковий формат.

Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня величина це:

1) найбільш типове для сукупності значення ознаки;

2) обсяг ознаки сукупності, розподілений нарівно між одиницями сукупності.

Ознака, котрій розраховується середня величина, у статистиці називається «осредняемый».

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінності одиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Важливо, що у процесі опосередкування сукупне значення рівнів ознаки чи кінцеве його значення (у разі розрахунку середніх рівнів у ряді динаміки) має залишатися незмінним. Іншими словами, при розрахунку середньої величини обсяг досліджуваного ознаки не повинен бути спотворений, і вирази, що складаються при розрахунках середньої, обов'язково повинні мати сенс.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник заперечує те загальне, що характерно (типово) всім одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і полягає наукова цінність середніх як узагальнюючих показників сукупностей.

Для того, щоб середній показник був дійсно типовим, він повинен розраховуватися з урахуванням певних принципів.

Зупинимося деяких загальних принципах застосування середніх величин.

1. Середня має визначатися для сукупностей, які з якісно однорідних одиниць.

2. Середня має обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць.

3. Середня має розраховуватися для сукупності, одиниці якої перебувають у нормальному, природному стані.

4. Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника.

5.2. Види середніх та способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх обчислення та сфери застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечним середнім відносяться такі найвідоміші і найчастіше застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична.

Як структурні середні розглядаються мода і медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Ступінні середні в залежності від подання вихідних даних можуть бути простими та зваженими. Проста середнявважається за не згрупованими даними і має такий загальний вигляд:

,

де X i - варіанти (значення) ознаки, що осредняется;

n – число варіантів.

Зважена середнявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

,

де X i - варіанта (значення) ознаки, що осредняется, або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта;

m – показник ступеня середнього;

f i - Частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення ознаки, що осредняется.

Якщо розрахувати всі види середніх для тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності середніх: зі збільшенням показника ступеня m збільшується та відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж інші види середніх зважених, використовуються середні арифметичні та середні гармонійні зважені.

Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна
Геометрична
Арифметична
Квадратична
Кубічна

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення у тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; отримане середнє значення має замінити індивідуальні значення ознаки кожного об'єкта без порушення зв'язку індивідуальних і зведених показників. Інакше висловлюючись, середня величина повинна обчислюватися те щоб заміні кожного індивідуального значення осредняемого показника його середньої величиною залишався без зміни деякий підсумковий зведений показник, пов'язаний у тому чи іншим чином з осредняемым. Цей підсумковий показник називається визначальним,оскільки його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної

використовується найчастіше при розрахунку середнього значення за індивідуальними відносними величинами динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, що вказують, наприклад, на зростання обсягу виробництва порівняно з рівнем попереднього року: i 1 i 2 i 3 ... i n . Очевидно, що обсяг виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q 0) та наступним нарощуванням за роками:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n .

Прийнявши q n як визначальний показник і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про обсяги виробництва, і про суму витрат за групами підприємств).

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди –найбільш часто повторюваного значення ознаки - і медіани –величини ознаки, яка поділяє впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті однієї половини одиниць сукупності значення ознаки вбирається у медіанного рівня, а в інший – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди та медіани дещо ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно виявляється в одному з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де X Me – нижня межа медіанного інтервалу;

h Me – його величина;

(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується як зважуючий у формулах розрахунку середньої величини (в абсолютному або відносному вираженні);

S Me-1 – сума спостережень (або обсягу зважуючої ознаки), накопичена на початок медіанного інтервалу;

m Me – кількість спостережень чи обсяг зважуючого ознаки в медіанному інтервалі (також у абсолютному чи відносному вираженні).

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

,

де Х Mo – нижнє значення модального інтервалу;

m Mo - число спостережень або обсяг зважуючого ознаки в модальному інтервалі (в абсолютному або відносному вираженні);

m Mo-1 – те саме для інтервалу, що передує модальному;

m Mo+1 – те саме для інтервалу, наступного за модальним;

h – величина інтервалу зміни ознаки у групах.

ЗАВДАННЯ 1

Є такі дані щодо групи промислових підприємств за звітний рік

№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.		Середньооблікова кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Потрібно виконати угруповання підприємств з обміну продукції, прийнявши такі інтервали:

до 200 млн. руб.


від 200 до 400 млн. руб.


1. від 400 до 600 млн. руб.
   

   По кожній групі та по всіх разом визначити кількість підприємств, обсяг продукції, середньооблікова кількість працівників, середній виробіток продукції на одного працівника. Результати угруповання подати у вигляді статистичної таблиці. Сформулювати висновок.
   

   РІШЕННЯ
   

   Зробимо угруповання підприємств з обміну продукції, розрахунок числа підприємств, обсягу продукції, середньооблікового числа працівників за формулою простої середньої. Результати угруповання та розрахунків зводимо до таблиці.
   

   Групи за обсягом продукції	№ підприємства	Обсяг продукції, млн. руб.	Середньорічна вартість основних засобів, млн. руб.	Середньоспі соковита кількість працівників, чол.	Прибуток, тис. руб.	Середнє вироблення продукції одного працівника
   1 група до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Середній рівень		198,3			24,9
   2 група від 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Середній рівень		282,3	37,6	1530	64,0
   3 група від 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Середній рівень		512,9	34,4	1421	120,9
   Усього за сукупністю		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   У середньому за сукупністю		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Висновок. Таким чином, у аналізованій сукупності найбільша кількість підприємств за обсягом продукції потрапила до третьої групи – сім, або половина підприємств. Величина середньорічної вартості основних засобів також у цій групі, як і велика величина середньооблікового числа працівників - 9974 осіб, найменш прибуткові підприємства першої групи.
   

   ЗАВДАННЯ 2
   

   Є такі дані на підприємствах фірми
   

   Номер підприємства, що входить у фірму	I квартал		II квартал
   	Випуск продукції, тис. руб.		Відпрацьовано робітниками людино-днів	Середнє вироблення однієї робочого щодня, крб.
   	59390,13

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки сукупностіданих порівну розподіляється між усіма одиницями, які входять у цю сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична- дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Приклад 1. Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Знайти середню заробітну плату Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6=3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Приклад 2. Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць

Заробітна плата одного робітника тис.руб; X	Число робітників F

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної плати на загальну кількість робітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу як напівсуму верхньої і нижньої меж, а потім - середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Приклад 3. Визначити середній вік студентів вечірнього осередку.

Вік у роках!!х??	Число студентів	Середнє значення інтервалу	Добуток середини інтервалу (вік) на кількість студентів
		(18 + 20) / 2 = 19 18 у разі межа нижнього інтервалу. Обчислюється як 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 і більше		(30 + 34) / 2 = 32

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина).