Розв'язання дробово раціональних рівнянь. Алгоритм розв'язання раціональних рівнянь

Сьогодні ми розберемося, як вирішувати дробові раціональні рівняння.

Подивимося: із рівнянь

(1) 2х + 5 = 3(8 – х),

(3)

(4)

дробовими раціональними рівняннями є лише (2) та (4), а (1) та (3) це цілі рівняння.

Пропоную розв'язати рівняння (4), а потім сформулювати правило.

Оскільки рівняння дробове, треба знайти спільний знаменник. У цьому рівнянні вираз 6(х – 12)(х – 6). Потім ми множимо обидві частини рівняння на спільний знаменник:

Після скорочення отримуємо ціле рівняння:

6 (х - 6) 2 - 6 (х - 12) 2 = 5 (х - 12) (х - 6).

Розв'язавши це рівняння треба обов'язково перевірити чи не перетворюють отримане коріння на нуль знаменники дробів у вихідному рівнянні.

Розкриваємо дужки:
6х 2 - 72х + 216 - 6х 2 + 144х - 864 = 5х 2 - 90х + 360, спрощуємо рівняння: 5х 2 - 162х + 1008 = 0.

Знаходимо коріння рівняння
D = 6084, √D = 78,
х 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 і х 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

При х = 8,4 і 24 загальний знаменник 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, отже, ці числа є корінням рівняння (4).

Відповідь: 8,4; 24.

Вирішивши запропоноване рівняння, приходимо до наступних положенням:

1) Знаходимо спільний знаменник.

2) Помножуємо обидві частини рівняння на загальний знаменник.

3) Вирішуємо отримане ціле рівняння.

4) Перевіряємо, які з коренів перетворюють загальний знаменник на нуль і виключаємо їх із рішення.

Подивимося тепер з прикладу, як працюють отримані становища.

Вирішити рівняння:

1) Загальний знаменник: х 2 – 1

2) Примножуємо обидві частини рівняння на загальний знаменник, отримуємо ціле рівняння: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)

3) Вирішуємо рівняння: 6 - 2х - 2 = 2х 2 - 2 - х 2 - 4х + х + 4

х 2 – х – 2 = 0

х 1 = - 1 та х 2 = 2

4) При х = -1, загальний знаменник х 2 - 1 = 0. Число -1 коренем не є.

При х = 2 загальний знаменник х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корінь рівняння.

Відповідь: 2.

Як бачите, наші становища працюють. Не бійтеся, у вас все вийде! Найголовніше правильно знайдіть спільний знаменникі акуратно виконайте перетворення. Сподіваємося, що при вирішенні дробових раціональних рівнянь у вас завжди будуть правильні відповіді. Якщо у вас залишилися питання або ви хочете попрактикуватися у вирішенні подібних рівнянь, записуйтесь на уроки до автора цієї статті, репетитора.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Найменший загальний знаменник використовується для спрощення рівняння.Цей метод застосовується в тому випадку, коли не можна записати дане рівняння з одним раціональним виразом на кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення навхрест). Цей метод використовується, коли дано раціональне рівняння з трьома або більше дробами (у разі двох дробів краще застосувати множення навхрест).

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів (або найменший загальний кратний).НОЗ - це найменше число, яке ділиться націло на кожен знаменник.

• Іноді НОЗ – очевидне число. Наприклад, якщо дано рівняння: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, очевидно, що найменшим загальним кратним для чисел 3, 2 і 6 буде 6.
• Якщо НОЗ не є очевидним, випишіть кратні найбільшого знаменника і знайдіть серед них такий, який буде кратним і для інших знаменників. Найчастіше НОЗ можна знайти, просто перемноживши два знаменники. Наприклад, якщо дано рівняння x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8 * 9 = 72.
• Якщо один або кілька знаменників містять змінну, процес дещо ускладнюється (але не стає неможливим). У цьому випадку НОЗ є виразом (що містить змінну), яке ділиться на кожен знаменник. Наприклад, у рівнянні 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), тому що цей вираз поділяється на кожен знаменник: 3x(х-1)/(х-1 ) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).

Помножте і чисельник, і знаменник кожного дробу на число, що дорівнює результату поділу НОЗ на відповідний знаменник кожного дробу. Так як ви множите і чисельник, і знаменник на те саме число, то фактично ви множите дріб на 1 (наприклад, 2/2 = 1 або 3/3 = 1).

• Таким чином, у нашому прикладі помножте х/3 на 2/2, щоб отримати 2x/6, і 1/2 помножте на 3/3, щоб отримати 3/6 (дрібні 3x +1/6 множити не треба, оскільки її знаменник дорівнює 6).
• Дійте аналогічно у випадку, коли змінна знаходиться у знаменнику. У другому прикладі НОЗ = 3x(x-1), тому 5/(x-1) помножте на (3x)/(3x) і отримайте 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x помножте на 3(x-1)/3(x-1) та отримайте 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) помножте на (x-1)/(x-1) та отримайте 2(x-1)/3x(x-1).

Знайдіть "х".Тепер, коли ви привели дроби до спільного знаменника, ви можете позбавитися знаменника. Для цього помножте кожну сторону рівняння на спільний знаменник. Потім розв'яжіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Для цього відокремте змінну на одній із сторін рівняння.

• У прикладі: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Ви можете скласти два дроби з однаковим знаменником, тож запишіть рівняння як: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Помножте обидві частини рівняння на 6 і позбавтеся знаменників: 2x+3 = 3x +1. Розв'яжіть та отримайте х = 2.
• У другому прикладі (зі змінною в знаменнику) рівняння має вигляд (після приведення до спільного знаменника): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Помноживши обидві сторони рівняння на НОЗ, ви позбавитеся знаменника і отримаєте: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), або 15x = 3x - 3 + 2x -2, або 15х = х - 5 Розв'яжіть та отримайте: х = -5/14.

«Раціональні рівняння з многочленами» - одна з найпоширеніших тем у тестових завданнях ЄДІ з математики. Тому їх повторенню варто приділити особливу увагу. Багато учнів стикаються з проблемою знаходження дискримінанта, перенесення показників із правої частини в ліву та приведення рівняння до спільного знаменника, через що виконання подібних завдань викликає труднощі. Вирішення раціональних рівнянь при підготовці до ЄДІ на нашому сайті допоможе вам швидко справлятися із завданнями будь-якої складності та здати тестування на відмінно.

Вибирайте освітній портал «Школкове» для успішної підготовки до єдиного іспиту з математики!

Щоб знати правила обчислення невідомих та легко отримувати правильні результати, скористайтесь нашим онлайн-сервісом. Портал «Школкове» - це єдиний у своєму роді майданчик, де зібрані необхідні для підготовки до ЄДІ матеріали. Наші викладачі систематизували та виклали у зрозумілій формі всі математичні правила. Крім того, ми пропонуємо школярам спробувати сили у вирішенні типових раціональних рівнянь, база яких постійно оновлюється та доповнюється.

Для більш результативної підготовки до тестування рекомендуємо дотримуватися нашого особливого методу та почати з повторення правил та вирішення простих завдань, поступово переходячи до більш складних. Таким чином, випускник зможе виділити для себе найважчі теми та наголосити на їх вивченні.

Почніть підготовку до підсумкового тестування зі «Школково» вже сьогодні, і результат не забариться! Виберіть найлегший приклад із запропонованих. Якщо ви швидко впоралися з виразом, переходьте до складнішого завдання. Так ви зможете підтягнути свої знання до вирішення завдань ЄДІ з математики профільного рівня.

Навчання доступне не лише випускникам із Москви, а й школярам з інших міст. Приділяйте пару годин на день заняттям на нашому порталі, наприклад, і незабаром ви зможете впоратися з рівняннями будь-якої складності!

Розв'язання дробово-раціональних рівнянь

Якщо ви учень восьмого класу, і раптом сталося так, що ви пропустили урок або пропустили повз вуха те, про що казав вчитель, ця стаття для вас!

Для початку давайте розберемося, що це таке - дробно-раціональні рівняння? У будь-якому підручнику є таке визначення: Дробно-раціональним рівнянням називається рівняння виду\(fxg(x)=0\) .

І, звичайно, це визначення, ні про що вам не говорить. Тоді я наводжу приклади, а ви намагайтеся виявити закономірність, знайти щось спільне.

\(((-2x-4)\over (x^2-4))=((x+5)\over (x-2))\)\(((3x^2-6)\over 2(x+1)) =x-1\)\((x\over x-2) + (8\over(4-x^2)) - (1\over x+2)=0\)

А ці рівняння не є дробово-раціональними:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\over (2))+((3x\over 5))=4\)\(((2x-1)\over 2)+(5x\over6)-(1-x\over 3)=3x-2\)

Два останні рівняння точно не належать до дробово-раціональних, незважаючи на те, що вони складаються з дробів. Але найважливіше, що у знаменнику немає змінної (літери). А ось у дробово-раціональному рівнянні у знаменнику завжди є змінна.

Отже, після того, як ви вірно визначили, яке саме епред вами рівняння, почнемо його вирішувати. Перше, що потрібно зробити, позначається трьома великими літерами,О.Д.З.Що ж означають ці літери?Пробласть Допустимих Знавчання. Що це означає в науці математики, зараз не пояснюватиму, наша мета навчитися вирішувати рівняння, а не повторити тему «Алгебраїчні дроби». А ось для нашої мети це означає наступне: ми беремо знаменник чи знаменники наших дробів, виписуємо їх окремо та відзначаємо, що вони не дорівнюють нулю.

Якщо для прикладу використовувати наші рівняння\(((-2x-4)\over x^2-4)=(x+5\over x-2)\), робимо так:

ОДЗ: \(x^2-4≠0 \)

\(x-2≠0 \)

\((3x^2-6\over 2(x+1)) =x-1 \)

ОДЗ: \(x+1≠0\)

Чому не вказали множник 2? Так ясно, що 2≠0

\((x\over x-2)+(8\over 4-x^2)-(1\over x+2)=0\)

ОДЗ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Начебто поки що все просто. Що далі? Наступний крок буде залежати від того, наскільки ви просунуті в математиці. Якщо ви можете, то розв'яжіть ці рівняння зі знаком, а якщо не можеш, поки залиште так, як є. І йдемо далі.

Далі всі дроби, що входять до рівнянь, потрібно подати у вигляді одного дробу. Для цього необхідно знайти спільний знаменник дробу. І насамкінець виписати те, що вийшло, в чисельнику і прирівняти цей вислів до нуля. А потім розв'язати рівняння.

Повернемося до наших прикладів:\((-2x-4\over x^2-4)=(x+5 \over x-2) \)ОДЗ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\over x^2-4)-(x+5 \over x-2)=0 \)\(x-2≠0 \)

Перенесли дріб ліворуч, у своїй поміняли знак. Зауважуємо, що знаменник\(x^2-4 \) можна розкласти на множники за допомогою формули скороченого множення\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , а чисельнику можна винести загальний множник «-2» за дужку.

\((-2(x+2)\over (x+2)(x-2)) -(x+5\over x-2)=0\)

Ще раз дивимося на ОДЗ, чи є він у нас? Є! Тоді можна скоротити перший дріб на x+2 . Якщо ОДЗ немає, скорочувати не можна! Отримуємо:

\((-2\over x-2)-(x+5 \over x-2)=0\)

Дроби мають спільний знаменник, отже, їх можна забрати:

\((-2-x-5\over x-2)=0\)

Звертаємо увагу, оскільки дроби забираємо, знак «+» у другому дробі міняємо на мінус! Наводимо в чисельнику такі складові:

\((-x-7 \over x-2)=0\)

Згадаймо, що дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник нулю не дорівнює. Те, що знаменник не дорівнює нулю, ми зазначили в ОДЗ. Час вказати, що чисельник дорівнює нулю:

\(-x-7=0\)

Це лінійне рівняння, переносимо "-7" вправо, змінюємо знак:

\ (-x = 7 \)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Згадуємо про ОДЗ:\(x^2-4≠0 \) \(x-2≠0\). Якщо ви змогли вирішити, то вирішили так:\(x^2≠4 \) \(x≠2\)

\(x_1≠2 \) \(x_2≠-2\)

А якщо вирішити не змогли, то підставляємо в ОДЗ замість x те, що вийшло. У нас\(x=-7\)

Тоді: \((-7)^2-4≠0\) ? Чи виконується? Виконується!

Отже, відповідь нашого рівняння:\(x=-7\)

Розглянемо наступне рівняння: \((3x^2-6\over 2(x+1))=(x-1)\)

Вирішуємо тим самим способом. Спочатку вказуємо ОДЗ:\(x+1≠0\)

Потім переносимо x-1 вліво, відразу цьому виразу приписуємо знаменник 1, це можна зробити, тому що знаменник 1 ні на що не впливає.

Отримуємо: \((3x^2-6\over 2(x+1)) -(x-1\over1)=0\)

Шукаємо спільний знаменник, це\(2(x+1)\) . Другий дріб примножуємо на цей вираз.

Отримали: \((3x^2-6\over2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)) =0 \)

Якщо складно, поясню:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) Оскільки перед другим дробом стоїть знак «-», то, об'єднуючи ці дроби в одну, ми знаки змінюємо на протилежні.

Помічаємо, що (x^2-4=(x-2)(x+2)\) і переписуємо так:\(((x-2)(x+2)\over2(x+1)) =0\)

Далі використовуємо визначення дробу, що дорівнює нулю. Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю. Те, що знаменник не дорівнює нулю, ми вказали в ОДЗ, зазначимо, що чисельник дорівнює нулю.\((x-2)(x+2)=0\) . І вирішимо це рівняння. Воно складається з двох множників x-2 та x+2 . Пам'ятаємо, що добуток двох множників дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю.

Значить: x+2=0 або x-2=0

З першого рівняння отримуємо x=-2 з другого x=2 . Переносимо число і знак змінюємо.

На останньому етапі перевіряємо ОДЗ: x+1≠0

Підставляємо замість x числа 2 та -2.

Отримуємо 2+1≠0 . Чи виконується? Так! Значить x=2 – наш корінь. Перевіряємо наступний:-2+1≠0 . Виконується. Так. Значить і x=-2 теж наш корінь. Отже, відповідь: 2 та -2.

Останнє рівняння розв'яжемо без пояснень. Алгоритм той самий:

Щоб користуватися попереднім переглядом, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Попередній перегляд:

Урок на тему "Рішення дробових раціональних рівнянь". 8-й клас

Цілі уроку:

Навчальна:

• закріплення поняття дробового раціонального рівняння;
• розглянути різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь;
• розглянути алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю;
• навчити рішенню дробових раціональних рівнянь за алгоритмом.

Розвиваюча:

• розвиток уміння правильно оперувати здобутими знаннями, логічно мислити;
• розвиток інтелектуальних умінь та розумових операцій - аналіз, синтез, порівняння та узагальнення;
• розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому;
• розвиток критичного мислення;
• розвиток навичок дослідницької роботи.

Виховує:

• виховання пізнавального інтересу до предмета;
• виховання самостійності під час вирішення навчальних завдань;
• виховання волі та завзяття задля досягнення кінцевих результатів.

Тип уроку : урок – закріплення та систематизація знань, умінь та навичок.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Здрастуйте, хлопці! Сьогодні на уроці ми розглянемо різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь. На дошці написано рівняння, подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви можете вирішити?

1. 7 х - 14 = 0

Рівняння, в яких ліва і правяча частина є дробово-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви вважаєте, що ми вивчатимемо сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити та записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».

2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота з класом, розв'язання рівнянь

Дайте відповідь, будь ласка, на такі запитання:

1. Як називається рівняння №1? (Лінійне .) Спосіб розв'язання лінійних рівнянь. (Усі з невідомим перенести до лівої частини рівняння, усі числа - до правої. Навести подібні доданки. Знайти невідомий множник).

Розв'яжемо рівняння №1

1. Як називається рівняння №3? (Квадратне. ) Способи розв'язання квадратних рівнянь. (Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта та її наслідки.)

Розв'яжемо рівняння №3

1. Що таке рівняння №2? (Пропорцію ). Що таке пропорція? (Рівність двох відносин.) Основна властивість пропорції. (Якщо пропорція вірна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)

Розв'яжемо рівняння №2

Рішення:

9 х = 18 ∙ 5

9 х = 90

Х = 90: 9

Х = 10

Відповідь: 10

Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати розв'язати, використовуючи основну властивість пропорції? (№5). Але оскільки це рівняння має знаменник, що містить невідоме, необхідно написати …? ОДЗ.

Рішення:

ОДЗ: х ≠ − 2, х ≠ 4

(х - 2) (х - 4) = (х + 2) (х + 3)

Х 2 - 4 х - 2 х + 8 = х 2 + 3 х + 2 х + 6

х 2 – 6 х – х 2 – 5 х = 6 – 8

11 х = -2

Х = -2: (-11)

Відповідь:

1. Розв'яжемо рівняння №4. Які властивості використовуються при вирішенні цього рівняння? (Якщо обидві частини рівняння помножити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)

Рішення:

| ∙ 6

3 х - 3 + 4 х = 5х

7 х - 5 х = 3

2 х = 3

х = 3: 2

х = 1,5

Відповідь: 1,5

Яке дробово-раціональне рівняння можна вирішити, помножуючи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).

Рішення:

| ∙ (7 – х)

12 = х (7 - х)

12 = 7 х - х 2

х 2 - 7 х + 12 = 0

D = 1> 0, х 1 = 3, х 2 = 4.

Відповідь: 3; 4.

1. Тепер вирішимо рівняння №7 двома способами.

Рішення:

1 спосіб:

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

Коли дріб дорівнює нулю? (Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)

х ² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х 1 = 5, х 2 = − 2

х = 5 не задовольняє ОДЗ. Кажуть, 5 – сторонній корінь.

Відповідь: − 2

Рішення:

2 спосіб:

| ∙ х (х – 5) ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

х (х - 3) + х - 5 = х + 5

х ² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

х ² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х 1 = 5, х 2 = − 2

х = 5 не задовольняє ОДЗ. 5 – сторонній корінь.

Відповідь: − 2

Спробуймо сформулювати алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь даним способом. Діти самі формулюють алгоритм.

1. Перенести все до лівої частини.
2. Привести дроби до спільного знаменника.
3. Розв'язати рівняння, використовуючи правило: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
4. Виключити з його коріння ті, які перетворюють знаменник на нуль (за допомогою ОДЗ або перевіркою)
5. Записати відповідь.

Інший спосіб розв'язання.

Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь:

1. Знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння;

2. Помножити обидві частини рівняння на загальний знаменник; не забувши написати ОДЗ

3. Вирішити ціле рівняння, що вийшло;

4. Виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник (використовуючи ОДЗ або перевіркою)

5. Записати відповідь.

Також можна вирішити рівняння, використовуючи основну властивість пропорції, не забувши виключити з його коріння ті, які перетворюють знаменник на нуль (за допомогою ОДЗ або перевіркою)

8. Підбиття підсумків уроку.

Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дрібними раціональними рівняннями, навчилися розв'язувати ці рівняння різними способами. На наступному уроці вдома у вас буде можливість закріпити отримані знання.

Який метод розв'язання дробових раціональних рівнянь, на вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Незалежно від способу розв'язання дробових раціональних рівнянь, про що потрібно не забувати? У чому «підступність» дробових раціональних рівнянь?

Всім дякую, урок закінчено.