Рішення нерівності має вигляд. Основні види нерівностей та їх властивості

Поняття математичної нерівності виникло в давнину. Це сталося тоді, коли у первісної людини з'явилася потреба при рахунку та діях з різними предметамипорівнювати їх кількість та величину. Починаючи з античних часів нерівностями користувалися у своїх міркуваннях Архімед, Евклід та інші уславлені діячі науки: математики, астрономи, конструктори та філософи.

Але вони зазвичай застосовували у своїх роботах словесну термінологію. Вперше сучасні знакидля позначення понять «більше» і «менше» у тому вигляді, як їх сьогодні знає кожен школяр, придумали і застосували на практиці в Англії. Надав таку послугу нащадкам математик Томас Гарріот. А трапилося це біля чотирьох столітьназад.

Відомо безліч видів нерівностей. Серед них прості, що містять одну, дві і більше змінних, квадратні, дробові, складні співвідношення і навіть представлені системою виразів. А зрозуміти, як вирішувати нерівності, найкраще на різних прикладах.

Чи не запізнитися на поїзд

Для початку уявімо, що мешканець сільської місцевості поспішає на залізничну станцію, що знаходиться на відстані 20 км від його села. Щоб не спізнитися на поїзд, що відходить об 11 годині, він має вчасно вийти з дому. О котрій годині це необхідно зробити, якщо швидкість його руху становить 5 км/год? Вирішення цієї практичної задачі зводиться до виконання умов вираження: 5 (11 - Х) ≥ 20, де Х - час відправлення.

Це зрозуміло, адже відстань, яку необхідно подолати селянинові до станції, дорівнює швидкості руху, помноженої на кількість годин у дорозі. Прийти раніше людинаможе, але от запізнитись йому ніяк не можна. Знаючи, як вирішувати нерівності, і застосувавши свої вміння на практиці, в результаті отримаємо Х ≤ 7, що є відповіддю. Це означає, що селянину слід вирушити на залізничну станцію о сьомій ранку або дещо раніше.

Числові проміжки на координатній прямій

Тепер з'ясуємо, як відобразити описувані співвідношення на Отриману вище нерівність не є суворим. Воно означає, що змінна може набувати значення менше 7, а може дорівнювати цьому числу. Наведемо інші приклади. Для цього уважно розглянемо чотири малюнки, наведені нижче.

На першому з них можна побачити графічне зображенняпроміжок [-7; 7]. Він складається з множини чисел, розміщених на координатній прямій і що знаходяться між -7 і 7, включаючи межі. При цьому точки на графіку зображуються у вигляді зафарбованих кіл, а запис проміжку здійснюється з використанням

Другий малюнок є графічним поданнямсуворої нерівності. У цьому випадку прикордонні числа -7 і 7, показані виколотими (не зафарбованими) точками, не включаються до зазначеної множини. А запис самого проміжку проводиться у круглих дужках так: (-7; 7).

Тобто, з'ясувавши, як вирішувати нерівності такого типу, і отримавши подібну відповідь, можна зробити висновок, що вона складається з чисел, що знаходяться між розглянутими межами, крім -7 і 7. Наступні два випадки необхідно оцінювати аналогічним чином. На третьому малюнку даються зображення проміжків (-∞; -7] U (0) (0) )