Вирішення систем лінійних рівнянь способом складання калькулятора. Розв'язання систем рівнянь способом додавання

Методом складання, рівняння системи почленно складають, у своїй одне чи обидва (кілька) рівнянь можна помножити будь-яке число. В результаті приходять до рівнозначної СЛУ, де в одному з рівнянь є лише одна змінна.

Для вирішення системи способом почленного складання (віднімання)дотримуйтесь наступних кроків:

1. Вибираємо змінну, у якої робитимуться однакові коефіцієнти.

2. Тепер потрібно скласти або відняти рівняння та отримаємо рівняння з однією змінною.

Рішення системи- Це точки перетину графіків функції.

Розглянемо на прикладах.

приклад 1.

Дана система:

Проаналізувавши цю систему, можна помітити, що коефіцієнти при змінній рівні по модулю і різні за знаком (-1 і 1). У такому разі рівняння легко скласти почленно:

Дії, які обведені червоним кольором, виконуємо в умі.

Результатом почленного додавання стало зникнення змінної y. Саме в цьому і В цьому, власне, і полягає сенс методу - позбутися першої зі змінних.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

У вигляді системи рішення виглядає десь так:

Відповідь: x = -4 , y = 1.

приклад 2.

Дана система:

У цьому прикладі можете скористатися «шкільним» способом, але в ньому є великий мінус - коли ви будете виражати будь-яку змінну з будь-якого рівняння, то отримаєте рішення в звичайних дробах. А рішення дробів займає достатньо часу і ймовірність припущення помилок збільшується.

Тому краще користуватися почленним додаванням (відніманням) рівнянь. Проаналізуємо коефіцієнти у відповідних змінних:

Потрібно підібрати число, яке можна поділити і на 3 і на 4 , при цьому потрібно, щоб це число було мінімально можливим. Це найменше загальне кратне. Якщо вам важко підібрати потрібне число, то можете перемножити коефіцієнти: .

Наступний крок:

1-е рівняння множимо на ,

3-е рівняння множимо на ,

Дуже часто учні не можуть вибрати спосіб вирішення систем рівнянь.

У цій статті ми розглянемо один із способів вирішення систем – спосіб підстановки.

Якщо знаходять загальне рішеннядвох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему. У системі рівнянь кожне невідоме означає одне й те число у всіх рівняннях. Щоб показати, що ці рівняння утворюють систему, їх зазвичай записують одне під одним і об'єднують фігурною дужкою, наприклад

Помічаємо, що з х = 15 , а у = 5 обидва рівняння системи правильні. Ця пара чисел є рішення системи рівнянь. Кожна пара значень невідомих, яка одночасно задовольняє обидва рівняння системи, називається рішенням системи.

Система може мати одне рішення (як у нашому прикладі), безліч рішень і не мати рішень.

Як вирішувати системи способом підстановки? Якщо коефіцієнти при якому-небудь невідомому в обох рівняннях рівні абсолютної величини(якщо ж не рівні, то зрівнюємо), то, складаючи обидва рівняння (або віднімаючи одне з іншого), можна отримати рівняння з одним невідомим. Потім розв'язуємо це рівняння. Визначаємо одне невідоме. Підставляємо отримане значення невідомого в одне з рівнянь системи (перше або друге). Знаходимо інше невідоме. Давайте розглянемо приклади застосування цього способу.

приклад 1.Розв'яжіть систему рівнянь

Тут коефіцієнти при у абсолютного значеннярівні між собою, але протилежні за знаком. Спробуємо почленно скласти рівняння системи.

Отримане значення х=4, підставляємо в якесь рівняння системи (наприклад у перше) і знаходимо значення у:

2 * 4 + у = 11, у = 11 - 8, у = 3.

Наша система має рішення х = 4, у = 3. Або відповідь можна записати в круглих дужках, як координати точки, на першому місці х, на другому у.

Відповідь: (4; 3)

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь

Зрівняємо коефіцієнти при змінній х, для цього помножимо перше рівняння на 3, а друге на (-2), отримаємо

Будьте уважні при складанні рівнянь

Тоді у = - 2. Підставимо у перше рівняння замість у число (-2), отримаємо

4х + 3(-2) = - 4. Вирішуємо це рівняння 4х = - 4 + 6, 4х = 2, х = ½.

Відповідь: (1/2; - 2)

приклад 3.Розв'яжіть систему рівнянь

Помножимо перше рівняння на (-2)

Вирішуємо систему

отримуємо 0 = – 13.

Система рішень немає, оскільки 0 не дорівнює (-13).

Відповідь: рішень немає.

приклад 4.Розв'яжіть систему рівнянь

Зауважуємо, що всі коефіцієнти другого рівняння поділяються на 3,

давайте розділимо друге рівняння на три і ми отримуємо систему, що складається з двох однакових рівнянь.

Ця система має безліч рішень, тому що перше і друге рівняння однакові (ми отримали всього одне рівняння з двома змінними). Як же уявити рішення цієї системи? Давайте висловимо змінну у з рівняння х + у = 5. Отримаємо у = 5 – х.

Тоді відповідьзапишеться так: (х; 5-х), х – будь-яке число.

Ми розглянули рішення систем рівнянь способом складання. Якщо залишилися питання чи щось – то незрозуміло запишіться на урок і ми з вами усунемо всі проблеми.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

ОДБОУ «Центр освіти для дітей із особливими освітніми потребамим. Смоленська»

Центр дистанційної освіти

Урок алгебри у 7 класі

Тема уроку: Метод алгебраїчної складання.

1. 1. Тип уроку: Урок первинного пред'явлення нових знань.

Мета уроку: контроль рівня засвоєння знань та умінь розв'язання систем рівнянь способом підстановки; формування умінь та навичок розв'язання систем рівнянь способом складання.

Завдання уроку:

Предметні: навчитися виконувати рішення систем рівнянь із двома змінними методомдодавання.

Метапредметні: Пізнавальні УУД: аналізувати (виділяти головне), визначати поняття, узагальнювати, робити висновки Регулятивні УУД: визначати мету, проблему в навчальної діяльності. Комунікативні УУД: викладати свою думку, аргументуючи її Особистісні УУД: формувати позитивну мотивацію до навчання, створювати позитивне емоційне ставленнящо навчається до уроку та предмету.

Форма роботи: індивідуальна

Етапи уроку:

1) Організаційний етап.

організувати роботу що навчається на тему через створення установки на цілісність мислення та розуміння цієї теми.

2. Опитування учня по заданому додому матеріалу, актуалізація знань.

Мета: перевірити знання учня, отримані під час виконання домашньої роботи, Виявити помилки, зробити роботу над помилками. Повторити матеріал минулого уроку.

3. Вивчення нового матеріалу.

1). формувати вміння вирішувати системи лінійних рівняньспособом додавання;

2). розвивати та вдосконалювати наявні знання у нових ситуаціях;

3). виховувати навички контролю та самоконтролю, розвивати самостійність.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Мета: збереження зору, зняття втоми з очей під час роботи на уроці.

5. Закріплення вивченого матеріалу

Мета: перевірити знання, вміння та навички, отримані на уроці

6. Підсумок уроку, інформація про домашньому завданні, рефлексія.

Хід уроку (робота в електронний документ Google):

1. Сьогодні урок я хотіла почати з філософської загадки Вальтера.

Що найшвидше, але й найповільніше, найбільше, але й найменше, найтриваліше і найкоротше, найдорожче, але й дешево цінується нами?

Час

Згадаймо основні поняття на тему:

Перед нами система двох рівнянь.

Згадаймо, як ми вирішували системи рівнянь на минулому уроці.

Методом підстановки

Ще раз зверни увагу на вирішену систему і скажи, чому ми не можемо вирішити кожне рівняння системи, не вдаючись до методу підстановки?

Тому що це – рівняння системи з двома змінними. Ми вміємо вирішувати рівняння лише з однією змінною.

Лише здобувши рівняння з однією змінною нам вдалося вирішити систему рівнянь.

3. Ми приступаємо до вирішення наступної системи:

Виберемо рівняння, в якому зручно одну змінну виразити через іншу.

Такого рівняння немає.

Тобто. у цій ситуації нам не підходить вивчений раніше метод. Який вихід із цієї ситуації?

Знайти новий спосіб.

Спробуємо сформулювати мету уроку.

Навчитися вирішувати системи новим способом.

Що нам потрібно зробити, щоб навчитися вирішувати системи новим методом?

знати правила (алгоритм) розв'язання системи рівняння, виконати практичні завдання

Приступимо до виведення нового способу.

Зверніть увагу на висновок, який ми зробили після вирішення першої системи. Вирішити систему вдалося лише після того, як ми здобули лінійне рівняння з однією змінною.

Подивіться на систему рівнянь і подумай, як із двох даних рівнянь отримати одне рівняння з однією змінною.

Скласти рівняння.

Що означає скласти рівняння?

Окремо скласти суму лівих частин, суму правих частин рівнянь та отримані суми прирівняти.

Спробуємо. Працюємо разом зі мною.

13x+14x+17y-17y=43+11

Здобули лінійне рівняння з однією змінною.

Вирішили систему рівнянь?

Рішення системи – пара чисел.

Як знайти у?

Знайдене значення х підставити рівняння системи.

Чи має значення, в яке рівняння підставимо значення х?

Значить знайдене значення х можна підставити в...

будь-яке рівняння системи.

Ми познайомилися з новим методом – методом алгебраїчної складання.

Вирішуючи систему, ми проговорили алгоритм розв'язання системи даним методом.

Алгоритм ми розглянули. Тепер застосуємо його до вирішення завдань.

Уміння вирішувати системи рівнянь може стати в нагоді у практиці.

Розглянемо завдання:

У господарстві є кури та вівці. Скільки тих та інших, якщо у них разом 19 голів та 46 ніг?

Знаючи, що всього курей і овець 19, складемо перше рівняння: х + у = 19

4х - кількість ніг у овець

2у - кількість ніг у курей

Знаючи, що всього 46 ніг, складемо друге рівняння: 4х + 2у = 46

Складемо систему рівнянь:

Розв'яжемо систему рівнянь, застосовуючи алгоритм розв'язання методом складання.

Проблема! Коефіцієнти перед х і у – не рівні та не протилежні! Що ж робити?

Розглянемо ще один приклад!

Додамо в наш алгоритм ще один крок і поставимо його на перше місце: Якщо коефіцієнти перед змінними не однакові і не протилежні, то треба зрівняти модулі при якійсь змінній! А далі вже діятимемо за алгоритмом.

4. Електронна фізкультхвилинка для очей: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Вирішуємо задачу методом алгебраїчного складання, закріпивши новий матеріалі дізнаємося, скільки ж курей та овець було в господарстві.

Додаткові завдання:

6.

Рефлексія.

Я за свою роботу на уроці ставлю оцінку...

6. Використані ресурси-інтернет:

сервіси Google для освіти

Вчитель математики Соколова Н.М.

Метод алгебраїчної складання

Вирішити систему рівнянь із двома невідомими можна у різний спосіб- графічним методом чи методом заміни змінної.

У цьому уроці познайомимося з ще одним способом вирішення систем, який Вам, напевно, сподобається - це спосіб алгебраїчного складання.

А звідки взагалі взялася ідея – щось складати у системах? При вирішенні систем головною проблемоює наявність двох змінних, адже вирішувати рівняння із двома змінними ми не вміємо. Отже, треба якимось законним способом виключити одну з них. І такими законними способамиє математичні правилата властивості.

Одна з таких властивостей звучить так: сума протилежних чиселдорівнює нулю. Значить, якщо при одній зі змінних будуть протилежні коефіцієнти, то їх сума дорівнюватиме нулю і нам вдасться виключити цю змінну з рівняння. Зрозуміло, що складати лише доданки з потрібної нам змінної ми маємо право. Складати треба рівняння цілком, тобто. окремо складають подібні доданкиу лівій частині, потім у правій. В результаті ми отримаємо нове рівняння, що містить лише одну змінну. Розгляньмо сказане на конкретних прикладах.

Ми, що у першому рівнянні є змінна у, тоді як у другому протилежне число -у. Отже, це рівняння можна вирішити шляхом додавання.

Одне із рівнянь залишають у тому вигляді, яким воно є. Будь-яке, яке Вам найбільше подобається.

А ось друге рівняння буде отримано додаванням цих двох рівнянь почленно. Тобто. 3х складемо з 2х, у складемо з -у, 8 складемо з 7.

Отримаємо систему рівнянь

Друге рівняння цієї системи є простим рівнянням з однією змінною. З нього знаходимо х = 3. Підставивши знайдене значення перше рівняння, знаходимо у = -1.

Відповідь: (3; - 1).

Зразок оформлення:

Розв'язати методом алгебраїчного складання систему рівнянь

У цій системі немає змінних із протилежними коефіцієнтами. Але ми знаємо, що обидві частини рівняння можна множити на те саме число. Давайте помножимо перше рівняння системи на 2.

Тоді перше рівняння набуде вигляду:

Тепер бачимо, що за змінної х є протилежні коефіцієнти. Отже, зробимо так само, як і в першому прикладі: одне з рівнянь залишимо у незмінному вигляді. Наприклад, 2у + 2х = 10. А друге отримаємо додаванням.

Тепер у нас система рівнянь:

Легко знаходимо з другого рівняння у = 1, та був із першого рівняння х = 4.

Зразок оформлення:

Давайте підіб'ємо підсумки:

Ми навчилися вирішувати системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими методом алгебраїчної складання. Таким чином, нам тепер відомі три основні методи вирішення таких систем: графічний, метод заміни змінної та метод складання. Майже будь-яку систему можна вирішити за допомогою цих методів. У більш складних випадкахзастосовують комбінацію цих прийомів.

Список використаної литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх установ/ А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича - 10-е видання, перероблене - Москва, "Мнемозіна", 2007.
3. Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-те видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботив новій формідля учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, "Мнемозина", 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботидля учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича - 6-е видання, стереотипне, Москва, "Мнемозіна", 2010.

Цим відео я починаю цикл уроків, присвячених системам рівнянь. Сьогодні ми поговоримо про розв'язання систем лінійних рівнянь методом складання— це один із самих простих способів, але водночас і один із найефективніших.

Спосіб складання складається з трьох простих кроків:

1. Подивитися на систему та вибрати змінну, у якої в кожному рівнянні стоять однакові (або протилежні) коефіцієнти;
2. Виконати алгебраїчне віднімання(для протилежних чисел - додавання) рівнянь один з одного, після чого навести подібні доданки;
3. Вирішити нове рівняння, що вийшло після другого кроку.

Якщо все зробити правильно, то на виході ми отримаємо одно-єдине рівняння з однією змінною— вирішити його не важко. Потім залишиться лише підставити знайдений корінь у вихідну систему і отримати остаточну відповідь.

Однак на практиці все не так просто. Причин тому кілька:

• Рішення рівнянь способом додавання передбачає, що у всіх рядках повинні бути присутні змінні з однаковими/протилежними коефіцієнтами. А що робити, якщо ця вимога не виконується?
• Далеко не завжди після складання/віднімання рівнянь вказаним способом ми отримаємо гарну конструкцію, яка легко вирішується. Чи можливо спростити викладки і прискорити обчислення?

Щоб отримати відповідь на ці запитання, а заразом розібратися з кількома додатковими тонкощами, на яких «завалюються» багато учнів, дивіться мій відеоурок:

Цим уроком ми розпочинаємо цикл лекцій, присвячений системам рівнянь. А почнемо ми з найпростіших із них, а саме з тих, що містять два рівняння та дві змінні. Кожна з них буде лінійною.

Системи – це матеріал 7-го класу, але цей урок також буде корисним для старшокласників, які хочуть освіжити свої знання в цій темі.

Взагалі, існує два методи вирішення таких систем:

1. Метод складання;
2. Метод вираження однієї змінної через іншу.

Сьогодні ми займемося першим методом — застосовуватимемо спосіб віднімання і складання. Але для цього потрібно розуміти наступний факт: як тільки у вас є два або більше рівнянь, ви маєте право взяти будь-які два з них і скласти один з одним. Складаються вони почленно, тобто. "ікси" складаються з "іксами" і наводяться подібні, "ігреки" з "ігреками" - знову наводяться подібні, а те, що стоїть праворуч від знака рівності, також складається один з одним, і там теж наводяться подібні.

Результатами подібних махінацій буде нове рівняння, яке, якщо й має коріння, то вони обов'язково будуть серед коренів вихідного рівняння. Тому наше завдання — зробити віднімання чи додавання таким чином, щоб або $x$, або $y$ зник.

Як цього добитися та яким інструментом для цього користуватися — про це ми зараз і поговоримо.

Вирішення легких завдань із застосуванням способу складання

Отже, вчимося застосовувати метод додавання на прикладі двох найпростіших виразів.

Завдання №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\end(align) \right.\]

Зауважимо, що $y$ коефіцієнт у першому рівнянні $-4$, а другому — $+4$. Вони взаємно протилежні, тому логічно припустити, що якщо ми їх складемо, то в отриманій сумі «Ігреки» взаємно знищаться. Складаємо та отримуємо:

Вирішуємо найпростішу конструкцію:

Чудово ми знайшли «ікс». Що тепер із ним робити? Ми маємо право підставити його на будь-яке з рівнянь. Підставимо у перше:

\ -4y = 12 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

Відповідь: $ \ left (2; -3 \ right) $.

Завдання № 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\end(align) \right.\]

Тут цілком аналогічна ситуація, лише з «іксами». Складемо їх:

Ми отримали найпростіше лінійне рівняння, давайте вирішимо його:

Тепер давайте знайдемо $x$:

Відповідь: $ \ left (-3; 3 \ right) $.

Важливі моменти

Отже, щойно ми вирішили дві найпростіші системи лінійних рівнянь шляхом складання. Ще раз ключові моменти:

1. Якщо є протилежні коефіцієнти при одній зі змінних, необхідно скласти всі змінні в рівнянні. І тут одна з них знищиться.
2. Знайдену змінну підставляємо у будь-яке із рівнянь системи, щоб знайти другу.
3. Остаточний запис відповіді можна по-різному. Наприклад, так $x=...,y=...$, або у вигляді координати точок - $\left(...;... \right)$. Другий варіант кращий. Головне пам'ятати, що першою координатою йде $x$, а другою $y$.
4. Правило записувати відповідь у вигляді координат точки застосовується не завжди. Наприклад, його не можна використовувати, коли ролі змінних виступають не $x$ і $y$, а, наприклад, $a$ і $b$.

У наступних завданнях ми розглянемо прийом віднімання, коли коефіцієнти не протилежні.

Вирішення легких завдань із застосуванням методу віднімання

Завдання №1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Зауважимо, що протилежних коефіцієнтів тут немає, проте є однакові. Тому віднімаємо з першого рівняння друге:

Тепер підставляємо значення $x$ у будь-яке рівняння системи. Давайте в перше:

Відповідь: $ \ left (2; 5 \ right) $.

Завдання № 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\end(align) \right.\]

Ми знову бачимо однаковий коефіцієнт $5$ при $x$ у першому та у другому рівнянні. Тому логічно припустити, що потрібно від першого рівняння відняти друге:

Одну змінну ми вирахували. Тепер давайте знайдемо другу, наприклад, підставивши значення $y$ у другу конструкцію:

Відповідь: $ \ left (-3; -2 \ right) $.

Нюанси рішення

Отже, що бачимо? Фактично, схема нічим не відрізняється від вирішення попередніх систем. Відмінність лише в тому, що ми рівняння не складаємо, а віднімаємо. Ми проводимо алгебраїчне віднімання.

Іншими словами, як тільки ви бачите систему, що складається з двох рівнянь із двома невідомими, перше, на що вам необхідно подивитися це на коефіцієнти. Якщо десь однакові, рівняння віднімаються, і якщо вони протилежні — застосовується метод складання. Завжди це робиться для того, щоб одна з них зникла, і в результаті рівняння, що залишилася після віднімання, залишилася б тільки одна змінна.

Зрозуміло, що це ще не все. Зараз ми розглянемо системи, у яких рівняння взагалі не узгоджені. Тобто. немає в них таких змінних, які були або однакові, або протилежні. У цьому випадку для вирішення таких систем застосовується додатковий прийом, А саме домноження кожного з рівнянь на спеціальний коефіцієнт. Як знайти його та як вирішувати взагалі такі системи, зараз ми про це і поговоримо.

Розв'язання задач методом збільшення на коефіцієнт

Приклад №1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Ми бачимо, що ні за $x$, ні за $y$ коефіцієнти не тільки не взаємно протилежні, а й взагалі ніяк не співвідносяться з іншим рівнянням. Ці коефіцієнти ніяк не зникнуть, навіть якщо ми складемо або віднімемо рівняння один з одного. Тому необхідно застосувати домноження. Давайте спробуємо позбутися змінної $y$. Для цього ми домножимо перше рівняння на коефіцієнт при $ y $ з другого рівняння, а друге рівняння – при $ y $ з першого рівняння, при цьому не чіпаючи знак. Примножуємо та отримуємо нову систему:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Дивимося на неї: за $y$ протилежні коефіцієнти. У такій ситуації необхідно застосовувати метод складання. Складемо:

Тепер потрібно знайти $y$. Для цього підставимо $x$ у перший вираз:

\--9y = 18 \ left | :\left(-9 \right) \right.\]

Відповідь: $ \ left (4; -2 \ right) $.

Приклад №2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Знову коефіцієнти за жодної зі змінних не узгоджені. Домножимо на коефіцієнти при $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\end(align) \right.\]

Наша нова системарівносильна попередньої, однак коефіцієнти при $y$ є взаємно протилежними, і тому легко застосувати метод складання:

Тепер знайдемо $y$, підставивши $x$ на перше рівняння:

Відповідь: $ \ left (-2; 1 \ right) $.

Нюанси рішення

Ключове правило тут таке: завжди множимо лише на позитивні числа— це позбавить вас дурних і образливих помилок, пов'язаних із зміною знаків. А взагалі схема рішення досить проста:

1. Дивимося на систему та аналізуємо кожне рівняння.
2. Якщо бачимо, що ні за $y$, ні за $x$ коефіцієнти не узгоджені, тобто. вони не є ні рівними, ні протилежними, то робимо таке: вибираємо змінну, якої потрібно позбутися, а потім дивимося на коефіцієнти при цих рівняннях. Якщо перше рівняння домножимо на коефіцієнт з другого, а друге, відповідне, домножимо на коефіцієнт з першого, то в результаті ми отримаємо систему, яка повністю рівнозначна попередній, і коефіцієнти $y$ будуть узгоджені. Всі наші дії чи перетворення спрямовані лише на те, щоб отримати одну змінну в одному рівнянні.
3. Знаходимо одну змінну.
4. Підставляємо знайдену змінну в одне із двох рівнянь системи та знаходимо другу.
5. Записуємо відповідь у вигляді координати точок, якщо у нас змінні $x$ та $y$.

Але навіть у такому нехитрому алгоритмі є свої тонкощі, наприклад коефіцієнти при $x$ або $y$ можуть бути дробами та іншими «некрасивими» числами. Ці випадки ми зараз розглянемо окремо, тому що в них можна діяти інакше, ніж за стандартним алгоритмом.

Розв'язання задач з дробовими числами

Приклад №1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\end(align) \right.\]

Для початку зауважимо, що у другому рівнянні присутні дроби. Але зауважимо, що можна поділити $4$ на $0,8$. Отримаємо $5$. Давайте друге рівняння домножимо на $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\end(align) \right.\]

Віднімаємо рівняння один з одного:

$n$ ми знайшли, тепер порахуємо $m$:

Відповідь: $ n = -4; m = 5 $

Приклад №2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\end(align ) \right.\]

Тут, як і в попередній системі, присутні дробові коефіцієнти, однак за жодної зі змінних коефіцієнти в ціле число разів один одного не укладаються. Тому використовуємо стандартний алгоритм. Позбудеться $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\end(align) \right.\]

Застосовуємо метод віднімання:

Давайте знайдемо $p$, підставивши $k$ у другу конструкцію:

Відповідь: $ p = -4; k = - 2 $.

Нюанси рішення

Ось і вся оптимізація. У першому рівнянні ми не стали примножувати взагалі ні на що, а друге рівняння примножили на $5$. У результаті ми отримали узгоджене і навіть однакове рівняння за першої змінної. У другій системі ми діяли за стандартним алгоритмом.

Але як знайти числа, куди необхідно домножувати рівняння? Адже якщо примножувати на дробові числа, ми отримаємо нові дроби. Тому дроби необхідно домножити на число, яке дало б нове ціле число, а вже після цього домножувати змінні на коефіцієнти, дотримуючись стандартного алгоритму.

Насамкінець хотів би звернути вашу увагу на формат запису відповіді. Як я вже й казав, оскільки тут у нас тут не $x$ і $y$, а інші значення ми користуємося нестандартним записом виду:

Розв'язання складних систем рівнянь

Як заключний акорд до сьогоднішнього відеоуроку давайте розглянемо пару дійсно складних систем. Їхня складність полягатиме в тому, що в них і ліворуч, і праворуч стоятимуть змінні. Тому для їх вирішення нам доведеться застосовувати попередню обробку.

Система №1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right) )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Кожне рівняння несе у собі певну складність. Тому з кожним виразом давайте поступимо як із звичайною лінійною конструкцією.

Разом ми отримаємо остаточну систему, яка дорівнює вихідній:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\end(align) \right.\]

Подивимося на коефіцієнти при $y$: $3$ вкладається в $6$ двічі, тому домножимо перше рівняння на $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\end(align) \right.\]

Коефіцієнти при $y$ тепер рівні, тому віднімаємо з першого рівняння друге: $$

Тепер знайдемо $y$:

Відповідь: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Система №2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Перетворимо перший вираз:

Розбираємось з другим:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Отже, наша початкова система набуде такого вигляду:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\end(align) \right.\]

Подивившись на коефіцієнти при $a$, бачимо, що перше рівняння потрібно примножити на $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\end(align) \right.\]

Віднімаємо з першої конструкції другу:

Тепер знайдемо $a$:

Відповідь: $ \ left (a = \ frac (1) (2); b = 0 \ right) $.

От і все. Сподіваюся, цей відеоурок допоможе вам розібратися у цій нелегкій темі, а саме у вирішенні систем простих лінійних рівнянь. Далі ще буде багато уроків, присвячених цій темі: ми розберемо більше складні прикладиде змінних буде більше, а самі рівняння вже будуть нелінійними. До нових зустрічей!