Вирішення рівнянь методом простої ітерації excel. Список використаних літературних джерел

У Excel є великий інструментарій на вирішення різних видів рівнянь різними методами.

Розглянемо на прикладах деякі варіанти рішень.

Вирішення рівнянь методом підбору параметрів Excel

Інструмент "Підбір параметра" застосовується у ситуації, коли відомий результат, але невідомі аргументи. Excel підбирає значення до того часу, поки обчислення дасть необхідний результат.

Шлях до команди: "Дані" - "Робота з даними" - "Аналіз "що-якщо"" - "Підбір параметра".

Розглянемо з прикладу рішення квадратного рівняння х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок знаходження кореня засобами Excel:

Для вибору параметра програма використовує циклічний процес. Щоб змінити кількість ітерацій та похибку, потрібно зайти до параметрів Excel. На вкладці Формули встановити граничну кількість ітерацій, відносну похибку. Поставити галочку "включити ітеративні обчислення".

Як вирішити систему рівнянь матричним методом у Excel

Дана система рівнянь:

Отримано коріння рівнянь.

Вирішення системи рівнянь методом Крамера в Excel

Візьмемо систему рівнянь із попереднього прикладу:

Для їх вирішення методом Крамера обчислимо визначники матриць, отриманих заміною одного стовпця в матриці на стовпець-матрицю В.

Для розрахунку визначників використовуємо функцію МОПРЕД. Аргумент – діапазон із відповідною матрицею.

Розрахуємо також визначник матриці А (масив – діапазон матриці А).

Визначник системи більше 0 – рішення можна визначити за формулою Крамера (D x / |A|).

Для розрахунку Х 1: = U2 / $ U $ 1, де U2 - D1. Для розрахунку Х2: =U3/$U$1. І т.д. Отримаємо коріння рівнянь:

Вирішення систем рівнянь методом Гауса в Excel

Наприклад візьмемо найпростішу систему рівнянь:

3а + 2в - 5с = -1
2а - в - 3с = 13
а + 2в - с = 9

Коефіцієнти запишемо до матриці А. Вільні члени – до матриці В.

Для наочності вільні члени виділимо заливкою. Якщо в першому осередку матриці А виявився 0, потрібно поміняти місцями рядки, щоб тут виявилося відмінним від 0 значення.

Приклади розв'язання рівнянь методом ітерацій в Excel

Обчислення у книзі мають бути налаштовані таким чином:

Робиться це на вкладці Формули в Параметрах Excel. Знайдемо корінь рівняння х - х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом ітерації із застосуванням циклічних посилань. Формула:

Х n+1 = X n - F (X n) / M, n = 0, 1, 2, ….

M – максимальне значення похідної за модулем. Щоб знайти М, зробимо обчислення:

f'(1) = -2 * f'(2) = -11.

Отримане значення менше 0. Тому функція буде протилежним знаком: f(х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

У комірку А3 введемо значення: а = 1. Точність – три знаки після коми. Для розрахунку поточного значення х до сусіднього осередку (В3) введемо формулу: =ЯКЩО(B3=0;A3;B3-(-B3+СТУПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

У комірці С3 проконтролюємо значення f(x): за допомогою формули =B3-СТУПЕНЬ(B3;3)+1.

Корінь рівняння – 1,179. Введемо в комірку А3 значення 2. Отримаємо той самий результат:

Корінь на заданому проміжку один.

Знаходження коренів рівнянь

Графічний спосіб знаходження коренів полягає у побудові графіка функції f(x) на відрізку . Крапка перетину графіка функції з віссю абсцис дає наближене значення кореня рівняння.

Знайдені таким чином наближені значення коренів дозволяють виділити відрізки , у яких за необхідності можна виконати уточнення коренів.

При знаходженні коренів розрахунковим шляхом для безперервних функцій f(x) керуються такими міркуваннями:

– якщо кінцях відрізка функція має різні знаки, то між точками a і b осі абсцис є непарне число коренів;

- якщо функція має однакові знаки на кінцях інтервалу, то між a і b є парне число коренів або їх зовсім немає;

– якщо кінцях відрізка функція має різні знаки і перша похідна, або друга похідна не змінюють знаки цьому відрізку, то рівняння має єдиний корінь на отрезке .

Знайдемо все дійсне коріння рівняння x 5 –4x–2=0 на відрізку [–2,2]. Створимо електронну таблицю.

Таблиця 1

У таблиці 2 отримано результати розрахунку.

Таблиця 2

Аналогічно є рішення на інтервалах [-2,-1], [-1,0].

Уточнення коренів рівняння

З використанням режиму «Пошук рішень»

Для цього рівняння слід уточнити з похибкою Е=0,001 все коріння рівняння x 5 –4x–2=0.

Для уточнення коріння на інтервалі [-2,-1] складемо електронну таблицю.

Таблиця 3

Запускаємо режим «Пошук рішення» у меню «Сервіс». Виконуємо команди режиму. Режим показу відображає знайдене коріння. Аналогічно уточнюємо коріння інших інтервалах.

Уточнення коренів рівнянь

З використанням режиму "Ітерації"

Метод простих ітерацій має два режими «Вручну» та «Автоматично». Для запуску режиму "Ітерації" в меню "Сервіс" відкривають вкладку "Параметри". Далі йдуть команди режиму. На вкладці «Обчислення» можна вибрати автоматичний або ручний режим.

Вирішення систем рівнянь

Рішення систем рівнянь в Excel проводиться шляхом зворотних матриць. Розв'язати систему рівнянь:

Створимо електронну таблицю.

Таблиця 4

A	B	C	D	E
Розв'язання системи рівнянь.

	Ax=b

Вихідна матриця А		Права частина b
-8
		-3
		-2		-2

Зворотна матриця (1/А)		Вектор рішення x=(1/A)/b
= МОБР (А6: С8)	= МОБР (А6: С8)	= МОБР (А6: С8)		=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
= МОБР (А6: С8)	= МОБР (А6: С8)	= МОБР (А6: С8)		=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
= МОБР (А6: С8)	= МОБР (А6: С8)	= МОБР (А6: С8)		=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)

Функція МОБР повертає масив значень, який вставляється відразу в стовпець осередків.

У таблиці 5 наведено результати розрахунку.

Таблиця 5

A	B	C	D	E
Розв'язання системи рівнянь.

	Ax=b

Вихідна матриця А		Права частина b
-8
		-3
		-2		-2

Зворотна матриця (1/А)		Вектор рішення x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Список використаних літературних джерел

1. Турчак Л.І. Основи чисельних методів: Навч. посібник для вузів/ред. В.В. Щенніков.-М.: Наука, 1987.-320с.

2. Банді Б. Методи оптимізації. Вступний курс.-М.: Радіо і зв'язок, 1988.-128с.

3. Євсєєв А.М., Ніколаєва Л.С. Математичне моделювання хімічних рівноваг.-М.: Вид-во Моск. ун-ту, 1988.-192с.

4. Безгрошових А.А. Інженерні методи складання рівнянь швидкостей реакцій та розрахунку кінетичних констант.-Л.: Хімія, 1973.-256с.

5. Степанова Н.Ф., Єрликіна М.Є., Філіппов Г.Г. Методи лінійної алгебри у фізичній хімії.-М.: Вид-во Моск. ун-ту, 1976.-359с.

6. Бахвалов Н.С. та ін Чисельні методи у завданнях та вправах: Навч. посібник для вузів/Бахвалов Н.С., Лапін А.В., Чижонков Є.В. - М: Вищ. шк., 2000.-190с. - (Вища математика/Садовничий В.А.)

7. Застосування обчислювальної математики у хімічній та фізичній кінетиці, під ред. Л.С. Полак, М: Наука, 1969, 279 стор.

8. Алгоритмізація розрахунків у хімічній технології Б.А. Жидков, А.Г. Бондар

9. Обчислювальні методи інженерів-хіміків. Х.Розенброк, С.Сторі

10. Орвіс В.Д. Excel для вчених, інженерів та студентів. - Київ: Юніор, 1999.

11. Ю.Ю. Чисельні методи на Mathcade - Астраханський держ.пед.ун-т: Астрахань, 2000.

Приклад 3.1 . Знайти рішення системи лінійних рівнянь алгебри (3.1) методом Якобі.

Ітераційні методи можна використовувати заданої системи, т.к. виконується умова «переважання діагональних коефіцієнтів»,що забезпечує збіжність цих методів.

Розрахункову схему методу Якобі наведено на рис (3.1).

Наведіть систему(3.1). до нормального вигляду:

, (3.2)

або в матричній формі

, (3.3)

Рис.3.1.

Для визначення кількості ітерацій, необхідне досягнення заданої точності e,та наближеного рішення системи корисно у стовпці Нвстановити Умовний формат. Результат такого форматування видно на рис.3.1. Осередки стовпця Н,значення яких задовольняють умові (3.4), тоновані.

(3.4)

Аналізуючи результати, приймаємо за наближене рішення вихідної системи із заданою точністю e=0,1 четверту ітерацію,

тобто. х 1=10216; х 2= 2,0225, х 3= 0,9912

Змінюючи значення eв осередку Н5можна отримати нове наближене рішення вихідної системи з точністю.

Проаналізуйте збіжність ітераційного процесу, збудувавши графіки зміни кожної компоненти рішення СЛАУ залежно від номера ітерації.

Для цього виділіть блок осередків А10: D20і, використовуючи Майстер діаграм, побудуйте графіки, що відбивають збіжність ітераційного процесу, рис.3.2.

Аналогічно вирішується система лінійних рівнянь алгебри методом Зейделя.

Лабораторна робота №4

Тема. Численні способи вирішення лінійних звичайних диференціальних рівнянь із крайовими умовами. Метод кінцевих різниць

Завдання.Вирішити крайову задачу методом кінцевих різниць, побудувавши два наближення (дві ітерації) з кроком h та з кроком h/2.

Проаналізувати отримані результати. Варіанти завдань наведено у додатку 4.

Порядок виконання роботи

1. Побудуйте вручнукінцеву різницеву апроксимацію крайової задачі (кінцеворозносну СЛАУ) з кроком h , заданим варіантом.

2. Використовуючи метод кінцевих різниць, сформуйте в Excelсистему лінійних алгебраїчних кінцево-різницевих рівнянь для кроку h розбивки відрізка . Запишіть цю СЛАУ на робочому аркуші книги Excel. Розрахункова схема наведена на рис.4.1.

3. Отриману СЛАУ вирішіть методом прогонки.

4. Перевірте правильність рішення СЛАУ за допомогою надбудови Excel Пошук рішення.

5. Зменшіть крок сітки в 2 рази і вкотре розв'яжіть завдання. Результати подайте у графічному вигляді.

6. Порівняйте отримані результати. Зробіть висновок про необхідність продовження або припинення рахунку.

Вирішення крайової задачі з використанням електронних таблиць Microsoft Excel.

Приклад 4.1.Методом кінцевих різниць знайти вирішення крайового завдання , y(1)=1, y '(2)=0,5на відрізку xÎз кроком h=0,2 та з кроком h=0,1. Порівняти отримані результати та зробити висновок про необхідність продовження або припинення рахунку.

Розрахункова схема кроку h=0,2 наведено на рис.4.1.

Отримане рішення (сіточну функцію) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, Х (1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8;2) у стовпці L і B можна прийняти за першу ітерацію (перше наближення) вихідного завдання.

Для знаходження другий ітераціїзробіть сітку вдвічі густішу (n=10, крок h=0,1) і повторіть наведений вище алгоритм.

Це можна зробити на тому ж чи іншому аркуші книги Excel. Рішення (друге наближення) наведено на рис.4.2.

Порівняйте отримані наближені рішення. Для наочності можна побудувати графіки цих двох наближень (двох сіткових функцій), рис.4.3.

Порядок побудови графіків наближених розв'язків крайового завдання

1. Побудуйте графік розв'язання задачі для сітки з кроком h=0,2 (n=5).

2. Активізуйте вже побудований графік та виберіть команду меню Діаграма\Додати дані

3. У вікні Нові данівкажіть дані x i , y iдля сітки різної з кроком h/2 (n=10).

4. У вікні Спеціальна вставкавстановіть прапорці у полях:

Ø нові ряди,

Як видно з наведених даних, два наближених рішення крайової задачі (дві сіткові функції) відрізняються один від одного не більше ніж на 5%. Тож за наближене рішення вихідної завдання приймаємо другу ітерацію, тобто.

Y{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Лабораторна робота №5

Міністерство загальної освіти

Російської Федерації

Уральський державний технічний університет-УПІ

філія у м.Краснотур'їнську

Кафедра обчислювальної техніки

Курсова робота

За чисельними методами

Вирішення лінійних рівнянь методом простої ітерації

за допомогою програми Microsoft Excel

Керівник Кузьміна Н.В.

Студент Нігматзянов Т.Р.

Група М-177Т

Тема: «Знаходження із заданою точністю кореня рівняння F(x)=0 на проміжку методом простої ітерації».

Контрольний приклад: 0,25-х + sinx = 0

Умови завдання: для заданої функції F(x) на інтервалі знайти корінь рівняння F(x)=0 методом простої ітерації.

Корінь обчислити двічі (за допомогою автоматичного та ручного розрахунку).

Передбачити побудову графіка функції на заданому інтервалі.

Вступ 4

1.Теоретична частина 5

2.Опис ходу роботи 7

3.Вхідні та вихідні дані 8

Висновок 9

Додаток 10

Бібліографічний список 12

Вступ.

У ході цієї роботи мені необхідно ознайомитися з різними методами розв'язання рівняння і знайти корінь нелінійного рівняння 0,25-х + sin (x) = 0 чисельним методом – методом простої ітерації. Для перевірки правильності знаходження кореня необхідно вирішити рівняння графічно, знайти наближене значення та порівняти його з отриманим результатом.

1.Теоретична частина.

Метод простий ітерації.

Ітераційний процес полягає у послідовному уточненні початкового наближення х0 (кореня рівняння). Кожен такий крок називається ітерацією.

Для цього методу вихідне нелінійне рівняння записується як: х=j(х), тобто. виділяється х; j(х) – безперервна та диференційована на інтервалі (а; в). Зазвичай це можна зробити кількома способами:

Наприклад:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Спосіб 1.

arcsin(2x+1)=x 2

sin(arcsin(2x+1))=sin(x 2)

x=0.5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Спосіб 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Спосіб 3.

x 2 = arcsin(2x+1)

x = (x = j (x)), знак береться в залежності від інтервалу [а; b].

Перетворення має бути таким, щоб ?j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Нехай відомо початкове наближення кореня x = c 0. Підставляючи це значення праву частину рівняння x = j (x), отримуємо нове наближення кореня: c = j (c 0). Далі, підставляючи щоразу нове значення кореня в x = j ( x),отримуємо послідовність значень

c n =j(c n-1) n=1,2,3,...

Процес ітерацій слід продовжувати до тих пір, поки для двох послідовних наближень не буде виконана умова: ? c n -c n -1 ?

Вирішувати рівняння чисельними методами можна за допомогою мов програмування, але Excel дає можливість впоратися з даним завданням більш простим способом.

Програма Excel реалізує метод простої ітерації двома способами за допомогою ручного розрахунку та з автоматичним контролем точності.

у у = х

j (з 0)

з 0 з 2 з 4 з 6 з 8 корінь з 9 з 7 з 5 з 3 з 1

Рис. Графік ітераційного процесу

2.Опис ходу роботи.

1. Запустив МЕ.

2. Побудував графік функції y=x та y=0,25+sin(x) на відрізку з кроком 0,1 назвав аркуш «Графік».

3. Вибрав команду Сервіс ® Параметри.
Відкрив вкладку Обчислення .
Увімкнув режим Вручну .
Вимкнув прапорець Перерахунок перед збереженням . Зробив значення поля Гранична кількість ітерацій рівним 1,відносну похибку 0,001.

4. Ввів у осередок А1 рядок «Рішення рівняння x=0,25+sin(x) методом простої ітерації».

5. Ввів у комірку А3 текст «Початкове значення», в комірку А4 текст «Початковий прапор», в комірку В3 значення 0,5, в комірку В4 слово ІСТИНА.

6. Надав осередкам В3 і В4 ім'я «поч_зн» і «поч».
У осередку В6 буде виконуватися перевірка, чи дорівнює істина значенню осередку «поч». 0,25+синуса х.В осередку В7 віднімається 0,25-синуса осередку В6,і тим організується циклічна посилання.

7. У комірку А6 ввів y=x,і в комірку А7 y=0,25+sin(x).В комірку В6 формулу:
= ЯКЩО (поч; поч_зн; В7).
У комірку В7 формулу: y=0,25+sin(B6).

8. У осередок А9 ввів слово Похибка.

9. У комірку В9 запровадив формулу: =В7-В6.

10. За допомогою команди Формат-осередки (Вкладка Число ) перетворив комірку В9 в експоненційний формат із двома цифрами після коми.

11. Потім організував друге циклічне посилання-для підрахунку кількості ітерацій. В осередок А11 ввів текст «Кількість ітерацій».

12. У комірку В11 запровадив формулу: =ЯКЩО(поч;0;В12+1).

13. У комірку В12 ввів = В11.

14. Для виконання розрахунку встановив табличний курсор у комірку В4 і натиснув клавішу F9 (Обчислити) для запуску розв'язання задачі.

15. Змінив значення початкового прапора на брехню, і знову натиснув F9. При кожному натисканні F9 виконується одна ітерація і обчислюється наступне наближене значення х.

16. Натискав клавішу F9, доки значення х не досягло необхідної точності.
При автоматичному розрахунку:

17. Перейшов на інший аркуш.

18. Повторив пункти з 4 по 7,тільки в комірку В4 ввів значення БРЕХНЯ.

19. Вибрав команду Сервіс ® Параметри (Вкладка Обчислення ).Встановив значення поля Гранична кількість ітерацій рівним 100, відносну похибку рівною 0,0000001.Включив ркжим Автоматично .