МЕХАНІЧНИЙ І МАГНІТНИЙ МОМЕНТИ ЕЛЕКТРОНУ

Орбітальний магнітний момент електрона

Кожен струм, як відомо, породжує магнітне поле. Тому електрон, у якого орбітальний механічний момент відрізняється від нуля, повинен мати магнітний момент.

З класичних уявлень момент кількості руху має вигляд

де – швидкість, – радіус кривизни траєкторії.

Магнітний момент замкнутого струму з площею створює магнітний момент

- Поодинока нормаль до площини, і - заряд і маса електрона.

Порівнявши (3.1) та (3.2), отримаємо

Магнітний момент пов'язаний з механічним моментом множником

який називають магнітомеханічним (гіромагнітним) відношенням для електрона.

Для проекцій моментів маємо такий самий зв'язок

Перехід до квантової механіки здійснюється заміною чисельних рівнянь операторними рівняннями

Формули (3.5) і (3.6) справедливі не тільки для електрона в атомі, але і для будь-яких заряджених частинок, які мають механічний момент.

Власне значення оператора дорівнює

де - магнітне квантове число (див. Розд.2.1)

Постійна називається магнетоном Бора

У одиницях СІ вона становить Дж/Тл.

Так само можна отримати і власні значення магнітного моменту

де – орбітальне квантове число.

Часто використовують запис

де. Знак мінус іноді опускають.

Власний механічний та магнітний моменти електрона (спін)

Електрон має четвертий ступінь свободи, який пов'язаний із власним механічним (а, отже, і магнітним) моментом електрона, – спином. Наявність спина випливає з релятивістського рівняння Дірака

де - Векторна матриця, - чотирирядкові матриці.

Оскільки величини є чотирирядкові матриці, хвильова функція повинна мати чотири компоненти, які зручно записати у вигляді стовпця. Рішення (3.12) ми не будемо проводити, а постулюватимемо наявність спина (власного моменту) у електрона, як деяку емпіричну вимогу, не намагаючись пояснити його походження.

Коротко зупинимося на тих досвідчених фактах, з яких випливає існування спину електрона. Одним із таких прямих доказів є результати досвіду німецьких фізиків Штерна та Герлаха (1922 р.) щодо просторового квантування. У цих дослідах пучки нейтральних атомів пропускалися через область, де створювалося неоднорідне магнітне поле (рис.3.1). У такому полі частка з магнітним моментом набуває енергії і на неї діятиме сила.

яка може розщепити пучок на окремі компоненти.

У перших експериментах досліджувалися пучки атомів срібла. Пучок пропускався вздовж осі, спостерігалося розщеплення вздовж осі. Основна складова сили дорівнює

Якщо атоми срібла не збуджені і знаходяться на нижньому рівні, тобто в стані (), то пучок взагалі не повинен розщеплюватись, оскільки орбітальний магнітний момент таких атомів дорівнює нулю. Для збуджених атомів () пучок мав би розщепитися на непарне число компонентів відповідно до числа можливих значень магнітного квантового числа ().

Насправді спостерігалося розщеплення пучка на два компоненти. Це означає, що магнітний момент, який викликає розщеплення, має дві проекції на напрямок магнітного поля, і відповідне квантове число приймає два значення. Результати експерименту спонукали голландських фізиків Уленбека і Гаудсміта (1925) висунути гіпотезу про наявності у електрона власного механічного та пов'язаного з ним магнітного моментів.

За аналогією з орбітальним числом введемо квантове число, яке характеризує власний механічний момент електрона. Визначимо за кількістю розщеплень. Отже,

Квантове число називають спіновим квантовим числом, і воно характеризує власний чи спіновий момент кількості руху (або просто «спин»). Магнітне квантове число , яке визначає проекції механічного спинового моменту і спинового магнітного моменту спина, має два значення. Оскільки , а , то ніяких інших значень немає, отже,

Термін спинпоходить від англійського слова spinщо означає крутитися.

Спиновий момент імпульсу електрона та його проекція квантуються за звичайними правилами:

Як завжди, при вимірі величини набувають одне з двох можливих значень . До вимірювання можлива будь-яка їхня суперпозиція.

Існування спина не можна пояснити обертанням електрона навколо своєї осі. Максимальну величину механічного моменту можна отримати, якщо електронну масу розподілити по екватору. Тоді для отримання величини моменту порядку лінійна швидкість точок екватора повинна становити м/с (м – класичний радіус електрона), тобто значно більша за швидкість світла. Таким чином, нерелятивістський розгляд спини неможливий.

Повернемося до експериментів Штерна та Герлаха. Знаючи і величину розщеплення (за величиною), можна розрахувати величину проекції спинового магнітного моменту на напрямок магнітного поля. Вона становить один магнетон Бора.

Отримаємо зв'язок між і:

Величина

називається спиновим магнітомеханічним відношенням і вона вдвічі більша за орбітальне магнітомеханічне відношення.

Такий самий зв'язок є між спіновими магнітним і механічним моментами:

Знайдемо тепер величину:

Однак прийнято говорити, що спіновий магнітний момент електрона дорівнює одному магнетону Бора. Така термінологія склалася історично і вона пов'язана з тим, що при вимірі магнітного моменту ми зазвичай вимірюємо його проекцію, а вона якраз і дорівнює 1 .

Електрон має власний механічний момент імпульсу L s , званим спином. Спин є невід'ємною властивістю електрона, подібно до його заряду і маси. Спину електрона відповідає власний магнітний момент P s , пропорційний L s і спрямований у протилежний бік: P s = g s L s , g s - Гіромагнітне відношення спинових моментів. Проекція власного магнітного моменту напрям вектора B: P sB =eh/2m= B , деh=h/2,  B =магнетон Бора. Загальний магнітний момент атома p = векторної сумі магнітних моментів входять в атом електрона: P a = p m + p ms . Досвід Штерна та Герлаха. Проводячи вимірювання магнітних моментів, вони виявили, що вузький пучок атомів водню в неоднорідному магнітному полі розщеплюється на 2 пучки. Хоча в цьому стані (Атоми знаходилися в S стані) момент імпульсу електрона дорівнює 0, а так само магнітний момент атома дорівнює 0, тому магнітне поле не впливає на рух атома водню, тобто розщеплення не повинно бути. Однак, подальші дослідження показали, що спектральні лінії атомів водню виявляють таку структуру навіть у відсутність магнітного поля. Згодом було встановлено, що така структура спектральних ліній пояснюється тим, що електрон має власний незнищенний механічний момент, названий спином.

21.Орбітальний, спиновий та повний кутовий та магнітний момент електрона.

Електрон має власний момент імпульсу M S , який називається спином. Його величина визначається за загальними законами квантової механіки: M S =  h=  h[(1/2)*(3/2)]=(1/2)  h3, M l =  h – орбітальний момент. Проекція може приймати квантові значення, що відрізняються один від одного на h. M Sz = m S  h, (m s =  S), M lz = m l  h. Щоб знайти значення власного магнітного моменту помножимо M s на відношення  s до M s ,  s – власний магнітний момент:

 s =-eM s /m e c=-(е  h/m e c)=- Б 3,  Б – Магнетон Бора.

Знак (-) тому що M s та  s направлені в різні боки. Момент Електрона складається з 2-х: орбітального Ml і спинового Ms. Це додавання здійснюється за тими ж квантовими законами, за якими складаються орбітальні моменти різних електронів: Мj=  h, j – квантове число повного моменту імпульсу.

22. Атом у зовнішньому магнітному полі. Ефект Зеємана .

Ефектом Зеемана називається розщеплення енергетичних рівнів за впливом на атоми магнітного поля. Розщеплення рівнів призводить до розщеплення спектральних ліній на кілька компонентів. Розщеплення спектральних ліній при дії на випромінюючі атоми магнітного поля також називається ефектом Зеемана. Зеемановское розщеплення рівнів пояснюється тим, що атом, що володіє магнітним моментом j , набуває в магнітному полі додаткову енергію E = - jB B, jB - проекція магнітного моменту на напрямок поля.  jB =- B gm j , E =  B gm j , ( j =0, 1,…, J). Енергетичний рівень розщеплюється на підрівні, причому величина розщеплення залежить від квантових чисел L, S, J цього рівня.

Власний механічний та магнітний моменти (спін)

ОБГРУНТУВАННЯ ІСНУВАННЯ СПІНА. Рівняння Шредінгера дозволяє розрахувати енергетичний спектр водню та складніших атомів. Проте експериментальне визначення рівнів енергії атомів показало, що повного збігу теорії з досвідом немає. Точні виміри виявили тонку структуру рівнів. Усі рівні, крім основного, розщеплені на ряд дуже близьких підрівнів. Зокрема, перший збуджений рівень атома водню ( n= 2) розщеплений на два підрівні з різницею енергій всього 4,5 10 -5 еВ. У важких атомів величина тонкого розщеплення значно більша, ніж у легень.

Пояснити цю розбіжність теорії з досвідом вдалося з допомогою припущення (Уленбек, Гаудсміт, 1925 р.), що електрон має ще однією внутрішньою мірою свободи - спином. Згідно з цим припущенням електрон та більшість інших елементарних частинок поряд з орбітальним моментом імпульсу мають ще й власний механічний момент імпульсу. Цей власний момент називається спином.

Наявність спина у мікрочастинки означає, що в деяких відносинах вона подібна маленькому вовчку, що обертається. Однак ця аналогія суто формальна, оскільки квантові закони суттєво змінюють властивості моменту імпульсу. Власний момент згідно з квантовою теорією може бути у точкової мікрочастинки. Важлива і нетривіальна квантова властивість спина полягає в тому, що тільки вона може задавати виділену орієнтацію в частинці.

Наявність власного механічного моменту у електрично заряджених частинок призводить до появи в них власного (спинового) магнітного моменту, спрямованого в залежності від знаку заряду паралельно (позитивний заряд) або антипаралельно (заряд негативний) вектору спина. Власний магнітний момент може бути і в нейтральної частки, наприклад, нейтрону.

На існування у електрона спина вказали досліди Штерна і Герлаха (1922 р.) щодо спостереження розщеплення вузького пучка атомів срібла під дією неоднорідного магнітного поля (в однорідному полі момент лише змінює орієнтацію; тільки в неоднорідному полі він рухається поступально або вздовж поля, або проти залежності від напряму по відношенню до поля). Незбуджені атоми срібла перебувають у сферично симетричному стані, тобто з орбітальним моментом, рівним нулю. Магнітний момент системи, що з орбітальним рухом електрона (як і класичної теорії), прямо пропорційний механічному моменту. Якщо останній дорівнює нулю, то повинен дорівнювати нулю і магнітний момент. Отже, зовнішнє магнітне поле не повинно впливати на рух атомів срібла в основному стані. Досвід показує, що такий вплив є.

На досвіді відбувалося розщеплення пучка атомів срібла, лужних металів та водню, але завждиспостерігалося тільки два пучки, однаково відхилених у протилежні сторони і розташованих симетрично щодо пучка без магнітного поля. Це можна пояснити лише тим, що магнітний момент валентного електрона за наявності поля може набувати двох значень, однакових за модулем і протилежних за знаком.

Результати дослідів приводять до висновку, що розщеплення в магнітному полі пучка атомів першої групи Періодичної системи, які свідомо перебувають у s-стані, на два компоненти пояснюється двома можливими станами спінового магнітного моменту валентного електрона.Величина проекції магнітного моменту на напрямок магнітного поля (саме вона визначає ефект відхилення), знайдена з дослідів Штерна і Герлаха, дорівнювала так званому магнетону Бора

Тонка структура рівнів енергії атомів, що мають один валентний електрон, пояснюється наявністю у електрона спина в такий спосіб. В атомах (за винятком s-Стани) внаслідок орбітального руху існують електричні струми, магнітне поле яких впливає на спиновий магнітний момент (так зване спін-орбітальна взаємодія). Магнітний момент електрона може орієнтуватися або полем, або проти поля. Стани з різними орієнтаціями спина дещо різняться за енергіями, що призводить до розщеплення кожного рівня на два. У атомів із кількома електронами у зовнішній оболонці тонка структура буде складнішою. Так у гелію, що має два електрони, мають місце поодинокі лінії (синглети) у разі антипаралельних спинів електронів (сумарний спин нульовий - парагелій) і потрійні (триплети) у разі паралельних спинів (сумарний спин дорівнює h- ортогелій), які відповідають трьом можливим проекціям на напрямок магнітного поля орбітальних струмів сумарного спина двох електронів (+h, 0, -h).

Таким чином, низка фактів призвела до необхідності приписати електронам новий внутрішній ступінь свободи. Для повного опису стану поряд з трьома координатами або будь-якою іншою трійкою величин, що становлять квантово-механічний набір, треба ще задавати величину проекції спина на обраний напрямок (модуль спина вказувати не потрібно, бо як показує досвід, у жодної частки він не змінюється ні при яких обставин).

Проекція спина, як і проекція орбітального моменту, може змінюватися на кратну величину h. Оскільки спостерігалися лише дві орієнтації спина електрона Уленбек і Гаудсміт припустили, що проекція спина електрона S zна будь-який напрямок може приймати два значення: S z = ±h/2.

У 1928 р. Дірак отримав релятивістське квантове рівняння для електрона, з якого випливає існування та спина електрона h/2без будь-яких спеціальних гіпотез.

Такий як у електрона спин 1/2 мають протон, нейтрон. Спин фотона дорівнює 1. Але оскільки маса фотона дорівнює нулю, то можливі дві, а чи не три його проекції +1 і -1. Цим двом проекціям в електродинаміці Максвелла відповідають дві можливі циркулярні поляризації електромагнітної хвилі і проти годинникової стрілки щодо напрямку поширення.

ВЛАСТИВОСТІ ПОВНОГО МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ.І орбітальний момент М, і спиновий момент S є величини, що приймають лише квантові дискретні значення. Розглянемо тепер повний момент імпульсу, що є векторною сумою згаданих моментів.

Оператор повного моменту імпульсу визначимо у вигляді суми операторів та

Оператори і комутують, оскільки оператор діє координати, а оператор ними не діє. Можна показати, що

тобто проекції повного моменту імпульсу не комутують один з одним так само, як і проекції орбітального моменту. Оператор ж комутує з будь-якою проекцією, звідки слід, що оператор і оператор будь-якої (але однієї) проекції відповідають фізичним величинам і, що належать до одночасно вимірних. Оператор комутує також з операторами та.

Стан електрона у полі центральної сили ми визначали трьома квантовими числами: n,l,m.Квантові рівні Е nзагалом визначалися двома квантовими числами n,l.При цьому не враховували спін електрона. Якщо врахувати ще й спин, то кожен стан виявиться по суті подвійним, тому що можливі дві орієнтації спина S z = hm s ; m s = ±1/2. Таким чином, до трьох квантових чисел приєднується четверте m sтобто хвильова функція з урахуванням спина повинна позначатися.

Для кожного терму Е n,lми маємо (2 l+ 1) станів, що відрізняються орієнтацією орбітального моменту (числом m), кожен з яких у свою чергу розпадається на два стани, що відрізняються спином. Таким чином, очевидно 2(2 l+ 1) -кратне виродження.

Якщо врахувати тепер слабку взаємодію спина з магнітним полем орбітальних струмів, то енергія стану залежатиме ще від орієнтації спина щодо орбітального моменту. Зміна енергії за такої взаємодії мало порівняно з різницею енергій між рівнями з різними n,lі тому нові лінії близькі одна до одної.

Таким чином, відмінністю в орієнтаціях спінового моменту по відношенню до внутрішнього магнітного поля атома можна пояснити походження мультиплетності спектральних ліній. З викладеного слід, що з атомів з одним оптичним електроном можливі лише дублети (подвійні лінії) завдяки двом орієнтаціям спина електрона. Цей висновок підтверджується експериментальними даними. Звернемося тепер до нумерації рівнів атома з урахуванням мультиплетної структури. З урахуванням спін-орбітального взаємодії ні орбітальний момент, ні спиновий немає певного значення може з певної енергією (оператори і комутують з оператором). За класичною механікою ми мали б прецесію векторів та навколо вектора повного моменту, як показано на рис. 20. Повний момент залишається у своїй постійним. Аналогічне становище має місце й у квантовій механіці. При врахуванні спинової взаємодії тільки повний момент має певне значення у стані із заданою енергією (оператор комутує з оператором). Тому з урахуванням спін-орбітального взаємодії стан слід класифікувати за значенням повного моменту. Повний момент квантується за тими самими правилами, як і орбітальний момент. Саме якщо ввести квантове число j, що задає момент J, то

А проекція на деякий напрямок 0 zмає значення J z = hm j, при цьому j= l + l s (l s= Ѕ), якщо спин паралельний моменту орбітальному, і j= | l - l s|, якщо вони антипаралельні. Подібним чином m j = m + m s (m s= ±1/2). Оскільки l,m - цілі числа, а l s , l m- половинки, то

j = 1/2, 3/2, 5/2, … ; m j= ±1/2, ±3/2, … , ± j.

Залежно від орієнтації спина енергія терма буде різною, а саме вона буде j = l+ Ѕ і j = |l- Ѕ|. Тому в такому разі рівні енергії слід характеризувати числами n,l та числом j, що визначає повний момент, тобто Е = Е nlj.

Хвильові функції будуть залежати від спінової змінної S z і будуть різні для різних j: .

Квантові рівні при заданому l, що відрізняються значенням j, близькі один до одного (розрізняються на енергію спін-орбітальної взаємодії). Четверка чисел n, l, j, m jможуть приймати такі значення:

n= 1, 2, 3,…; l= 0, 1, 2,…, n- 1; j = l + l sчи | l - l s |; l s= ±1/2;

-j? m j ? j.

Величину орбітального моменту l позначають у спектроскопії літерами s, p, d, f тощо. Головне квантове число ставлять попереду літери. Справа внизу вказують число j.Тому, наприклад, рівень (терм) з n= 3, l = 1, j= 3/2 позначають так 3 р 3/2. На рис.21 наведено схему рівнів водородоподібного атома з урахуванням мультиплетної структури. Лінії 5890? і 5896? утворюють

відомий дублет натрію: жовті лінії D2 та D1. 2 s-терм далеко відсунутий від 2 р-термів, як і має бути у водневоподібних атомах ( l-виродження знято).

Кожному з розглянутих рівнів E nlналежить (2 j+ 1) станів, що відрізняються числом m j, тобто орієнтацією повного моменту J у просторі. Тільки при накладенні зовнішнього поля ці рівні, що зливаються, можуть розділитися. За відсутності такого поля ми маємо (2 j+ 1)-кратне виродження. Так терм 2 s 1/2 має виродження 2: два стани, що відрізняються орієнтацією спина. Терм 2 р 3/2 має чотириразове виродження відповідно до орієнтацій моменту J, m j= ±1/2, ±3/2.

ЕФЕКТ ЗЕЄМАНУ.П. Зееман, вивчаючи спектр випромінювання парів натрію, поміщеного в зовнішнє магнітне поле, виявив розщеплення спектральних ліній на кілька компонентів. Згодом на основі квантово-механічних уявлень це явище було пояснено розщепленням у магнітному полі енергетичних рівнів атома.

Електрони в атомі можуть бути лише в певних дискретних станах, при зміні яких здійснюється випромінювання або поглинання кванта світла. Енергія атомного рівня залежить від повного орбітального моменту, що характеризується орбітальним квантовим числом L, і повного спина його електронів, що характеризується спіновим квантовим числом S. Число Lможе приймати лише цілі, а число S- цілі та напівцілі (в одиницях h). У напрямку ж вони можуть приймати відповідно (2 L+ 1) та (2 S+ 1) положень у просторі. Тому рівень із даними Lі Sвироджений: він складається з (2 L+ 1) (2S +1) підрівнів, енергії яких (якщо не враховувати спін-орбітальну взаємодію) збігаються.

Спін-орбітальна взаємодія призводить, однак, до того, що енергія рівнів залежить не тільки від величин Lі S,але і від взаємного розташування векторів орбітального моменту та спина. Тому енергія виявляється залежною і від повного моменту М = М L + M S, що визначається квантовим числом J, а рівень із заданими Lі Sрозщеплюється на кілька підрівнів (утворюючих мультиплет) з різними J. Таке розщеплення називають тонкою структурою рівнів. Завдяки тонкій структурі виявляються розщепленими та спектральні лінії. Наприклад, D-лінія натрію відповідає переходу з рівня L = 1 , S= Ѕ на рівень з L = 0, S= Ѕ. Перший (рівнів) - дублет, відповідний можливим значенням J= 3/2 та J= Ѕ ( J =L + S; S= ±1/2), а другий не має тонкої структури. Тому D-лінія складається з двох дуже близьких ліній з довжинами хвиль 5896? і 5890?.

Кожен рівень мультиплету ще залишається виродженим через можливість орієнтації повного механічного моменту в просторі (2 j+ 1) напрямків. У магнітному полі це виродження знімається. Магнітний момент атома взаємодіє із полем, а енергія такої взаємодії залежить від напрямку. Тому залежно від напрямку атом набуває в магнітному полі різної додаткової енергії, і відбувається зееманівське розщеплення рівня на (2) j+ 1) підрівнів.

Розрізняють нормальний (простий) ефект Зеемана при розщепленні кожної лінії на три компоненти і аномальний (складний) при розщепленні кожної лінії на число компонентів більше трьох.

Для розуміння загальних закономірностей ефекту Зеемана розглянемо найпростіший атом – атом водню. Якщо атом водню помістити у зовнішнє однорідне магнітне поле з індукцією В,то за рахунок взаємодії магнітного моменту р mіз зовнішнім полем атом придбає додаткову залежну від модулів та взаємної орієнтації Уі рmенергію

UB= -pmB = -pmBB,

де рmB- Проекція магнітного моменту електрона на напрямок поля.

Враховуючи що р mB = - ehm l /(2m)(магнітне квантове число m l= 0, ±1, ±2, …, ±l), отримаємо

магнетон Бора.

Повна енергія атома водню у магнітному полі

де перший доданок - енергія кулонівської взаємодії між електроном та протоном.

З останньої формули випливає, що відсутність магнітного поля (В = 0) енергетичний рівень визначиться тільки першим доданком. Коли ж? 0, потрібно врахувати різні допустимі значення m l . Оскільки за заданих nі lчисло m l може приймати 2 l+ 1 можливих значень, то початковий рівень розщепиться на 2 l+ 1 підрівень.

На рис. 22,a показані можливі переходи в атомі водню між станами р(l= 1) та s (l= 0). p align="justify"> У магнітному полі р-стан розщеплюється на три підрівні (при l = 1 m = 0, ±1), з кожного з яких можуть відбуватися переходи на рівень s, і кожен перехід характеризується своєю частотою: Отже, у спектрі з'являється триплет (нормальний ефект Зеємана). Зазначимо, що при переходах дотримуються правил відбору квантових чисел:

На рис. 22,б показано розщеплення енергетичних рівнів та спектральних ліній для переходу між станами d(l= 2) та p(l= 1). Стан dу магнітному полі

розщеплюється на п'ять підрівнів, стан р – на три. З урахуванням правил переходу можливі лише переходи, вказані малюнку. Як бачимо, у спектрі з'являється триплет (нормальний ефект Зеемана).

Нормальний ефект Зеемана спостерігається у випадку, якщо вихідні лінії не мають тонкої структури (є синглетами). Якщо вихідні рівні мають тонку структуру, то спектрі з'являється більше компонентів і спостерігається аномальний ефект Зеемана.