Структура загальних розв'язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь. Структура загального рішення Лондона

Для лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),

де y = y(x) - не відома функція, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - відомі, безперервні, справедливо:
1) якщо y 1(x) та y 2(x) - два рішення не однорідного рівняння, то функція
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння;
2) якщо y 1(x) вирішення неоднорідного рівняння, а y 2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння, то функція
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - Вирішення неоднорідного рівняння;
3) якщо y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - nлінійно незалежних рішень однорідного рівняння, а yч(x) - довільне рішеннянеоднорідного рівняння,
то для будь-яких початкових значень
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Вираз
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +yч(x)
називається загальним рішеннямлінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку.

Для пошуку приватних рішень неоднорідних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтамиз правими частинами виду:
Pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)sin( bx),
де Pk(x), Q m(x) - багаточлени ступеня kі mвідповідно, існує простий алгоритм побудови приватного рішення, званий методом підбору.

Метод підбору, або метод невизначених коефіцієнтів, полягає у наступному.
Розв'язання, що шукається, записується у вигляді:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + Qr(x)exp(a x)sin( bx))xs,
де Pr(x), Qr(x) - багаточлени ступеня r= max( k, m) з невідомимикоефіцієнтами
pr , pr- 1, ..., p 1, p 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Таким чином, для відшукання загального рішеннялінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами слідує
знайти загальне рішення відповідного однорідного рівняння (записати характеристичне рівняння, знайти коріння характеристичного рівняння l 1, l 2, ... , ln, записати фундаментальну системурішень y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
знайти будь-яке окреме рішення неоднорідного рівняння yч(x);
записати вираз для загального рішення
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x);

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами правою частиною спеціального виду. Метод невизначених коефіцієнтів.

Диференціальне рівняння виду (1)

де f - відома функція, називається лінійним диференціальним рівнянням n - го порядку з постійними коефіцієнтами. Якщо , то рівняння (1) називається однорідним, інакше - неоднорідним.

Для лінійних неоднорідних рівнянь із постійними коефіцієнтами і з правою частиною спеціального виду, а саме що складається з сум та творів функцій, приватне рішення можна шукати методом невизначених коефіцієнтів. Вигляд приватного рішення залежить від коренів характеристичного рівняння. Нижче представлено таблицю видів приватних рішень лінійного неоднорідного рівняння з правою частиною спеціального виду.

Комплексна площина. Модуль та аргумент комплексного числа. Головне значення аргументу. Геометричний зміст

Комплексні числа записуються як: a+ bi. Тут a і b – дійсні числа, а i – уявна одиниця, тобто. i 2 = -1. Число a називається абсцисою, a b - ординатою комплексного числа a + bi. Два комплексні числа a+ bi та a – bi називаються сполученими комплексними числами.

Геометрична виставакомплексних чисел. Справжні числазображуються точками на числовій прямій:

Тут точка A означає число -3, точка B - число 2 і O - нуль. На відміну від цього комплексні числа зображуються точками на координатної площини. Виберемо при цьому прямокутні (декартові) координати з однаковими масштабами обох осях. Тоді комплексне число a+ bi буде представлено точкою Р з абсцисою а та ординатою b (див. рис.). Ця система координат називається комплексною площиною.

Модулем комплексного числа називається довжина вектора OP, що зображує комплексне число координатної (комплексної) площині. Модуль комплексного числа a+bi позначається | a+ bi | або буквою r і дорівнює:

Сполучені комплексні числа мають однаковий модуль. __

Аргумент комплексного числа - це кут між віссю OX і вектором OP, що зображує це комплексне число. Звідси, tan = b/a.

Д У вищих порядків

Як ми говорили, диференціальні рівняння можуть містити похідні різних порядків.

Такі диференціальні рівняння мають рішення, що містять стільки довільних постійних інтегрування → який порядок диференціального рівняння, тобто. для диференціального рівняння 2го порядку довільних постійних буде дві С1 і С2, для 3го → С1, С2 і С3 і т.д.

Таким чином, загальним рішенням (загальним інтегралом) такого диференціального рівняння буде функція

Для отримання приватного рішення, таких диференціальних рівнянь, необхідно задати стільки початкових умов, якими є порядок диференціального рівняння, або скільки довільних постійних отримано в загальному рішенні.

Д У в повних диференціалах. Інтегруючий множник

Диференціальне рівняння виду називається диференціальним рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякою гладкої функції, тобто. якщо , . Необхідне та достатня умовадля існування такої функції має вигляд:

Щоб вирішити диференціальне рівняння у повних диференціалах необхідно знайти функцію. Тоді загальне рішення диференціального рівняння можна записати у вигляді довільної постійної З.

Інтегруючим множником для диференціального рівняння

називається така функція , після множення яку диференціальне рівняння перетворюється на рівняння в повних диференціалах. Якщо функції M і N у рівнянні мають безперервні похідні приватні і не звертаються в нуль одночасно, то інтегруючий множник існує. Однак, загального методуна його відшукання немає.

Структура загального рішення ЛНДУ

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння

+ (x) + ... + (x) y" + (x) y = f (x).

− якою б не була початкова точка (x0, y0, ) , x0∈ , існують такі значення C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , що функція y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) задовольняє початковим умовам y(x0) = y0, y"(x0) ,..., (x0) = .

Справедливо наступне твердження (теорема про структуру загального рішення лінійного неоднорідного рівняння).

Якщо всі коефіцієнти рівняння лінійного однорідного диференціального рівняння безперервні на відрізку , а функції y1(x), y2(x),..., yn(x) утворюють систему розв'язків відповідного однорідного рівняння, то загальне рішення неоднорідного рівняння має вигляд

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

де C1,...,Cn - довільні постійні, y * (x) - окреме рішення неоднорідного рівняння.

ЛНДУ 2-го порядку

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку.

Рівняння виду y"+py"+qy = f(x), де р і q - речові числа, f(x) - безперервна функціяназивається лінійним неоднорідним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Загальне рішення рівняння є сумою приватного рішення неоднорідного рівняння н загального рішення відповідного однорідного рівняння. Знаходження загального рішення однорідного рівняння вивчено. Для знаходження приватного рішення скористаємося методом невизначених коефіцієнтів, що не містить процесу інтегрування.

Розглянемо різні видиправих частин рівняння y"+py"+qy = f(x).

1) Права частина має вигляд F(x) = Pn(x), де Pn(х) – багаточлен ступеня n. Тоді приватне рішення можна шукати у вигляді, де Qn (x) - многочлен тієї ж ступеня, що і Pn (х), а r - число коренів характеристичного рівняння, рівних нулю.

приклад.Знайти загальне рішення рівняння у "-2у" + у = x +1.

Рішення:Загальне рішення відповідного однорідного рівняння має вигляд У = ех (C1 + C2x). Оскільки жоден із коренів характеристичного рівняння k2 – 2k + 1 = 0 не дорівнює нулю (k1 = k2 = 1), то приватне рішення шукаємо у вигляді, де А та В – невідомі коефіцієнти. Диференціюючи двічі і підставляючи, " і " на дане рівняння, знайдемо -2А + Ах + В = х + 1.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х в обох частинах рівності: А = 1, -2А + В = 1, - знаходимо А = 1, В = 3. Отже, приватне рішення даного рівняннямає вигляд = х + 3, яке загальне рішення у = еx (С1 + C2x) + х + З.

2) Права частина має вигляд f(x) = eax Pn(x), де Рn(х) – багаточлен ступеня n. Тоді приватне рішення слід шукати як, де Qn(x) – многочлен тієї ж ступеня, як і Рn (х), а r - число коренів характеристичного рівняння, рівних а. Якщо а = 0, то f(х) = Рn(х), тобто має місце випадок 1.

ЛОДУ з постійними коеф.

Розглянемо диференціальне рівняння

де - Речові постійні.

Для знаходження загального рішення рівняння (8) чинимо так. Складаємо характеристичне рівняння для рівняння (8): (9)

Нехай коріння рівняння (9), причому серед них можуть бути і кратні. Можливі наступні випадки:

а) - речові та різні. Загальним рішенням однорідного рівняння буде;

б) коріння характеристичного рівняння речові, але є кратні, тобто. , тоді загальне рішення буде

в) якщо коріння характеристичного рівняння комплексне (k=a±bi), то загальне рішення має вигляд .

Структура заг. рішення ЛОДУ 2-го порядку

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

+ (x) + ... + (x) y" + (x) y = 0.

Загальним рішенням цього рівняння на відрізку називається функція y = Φ(x, C1,..., Cn), що залежить від n довільних постійних C1,..., Cn і задовольняє наступним умовам:

− за будь-яких допустимих значенняхпостійних C1,..., Cn функція y = Φ(x, C1,..., Cn) є рішенням рівняння на ;

− якою б не була початкова точка (x0, y0, ) , x0∈ , існують такі значення C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , що функція y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) задовольняє початковим умовам y(x0) = y0, y" (x0) = y1,0, ..., (x0) = .

Знання фундаментальної системи розв'язків рівняння дає змогу побудувати загальне рішення цього рівняння. Нагадаємо визначення загального розв'язання диференціального рівняння п-го порядку

Функція
, визначена в деякій галузі зміни змінних
, у кожній точці якої має місце існування та єдиність розв'язання задачі Коші, і має безперервні приватні похідні по хдо порядку пвключно називається загальним рішенням рівняння (15) у зазначеній області, якщо:

система рівнянь

можна розв'язати у зазначеній області щодо довільних постійних
, так що

(16)

2. функція
є рішенням рівняння (15) при всіх значеннях довільних постійних
, виражених формулами (16), коли точка
належить аналізованої області.

Теорема 1. (Про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння). Якщо функції
,
, …,
утворюють фундаментальну систему розв'язків однорідного лінійного рівняння п-го порядку
в інтервалі
, тобто. в інтервалі безперервності коефіцієнтів, то функція
є загальним рішенням цього рівняння в області D:
,
,
.

Доказ.У кожній точці зазначеної області має місце існування та єдиність розв'язання задачі Коші. Покажемо тепер, що функція
задовольняє визначення загального рішення рівняння п-го порядку.

система рівнянь

можна розв'язати в області Dщодо довільних постійних
оскільки визначник цієї системи є визначником Вронського для фундаментальної системи рішень (12) і, отже, відмінний від нуля.

2. Функція
за якістю рішень однорідного лінійного рівняння є рішенням рівняння
при всіх значеннях довільних постійних
.

Тому функція
є загальним рішенням рівняння
в області D. Теорему доведено.

приклад.

Розв'язаннями цього рівняння, очевидно, є функції
,
. Ці рішення утворюють фундаментальну систему рішень, оскільки

Тому загальним рішенням вихідного рівняння є функція.

Структура загального розв'язання неоднорідного лінійного рівняння п-го порядку.

Розглянемо неоднорідне лінійне рівняння п-го порядку

Покажемо, що, як і у разі лінійного неоднорідного рівняння першого порядку, інтегрування рівняння (1) зводиться до інтегрування однорідного рівняння, якщо відомо одне окреме рішення неоднорідного рівняння (1).

Нехай
- Приватне рішення рівняння (1), тобто.

,
. (2)

Покладемо
, де z– нова невідома функція від х. Тоді рівняння (1) набуде вигляду

або
,

звідки через тотожність (2) отримуємо

. (3)

Це є однорідне лінійне рівняння, ліва частина якого та ж, що й неоднорідного рівняння, що розглядається (1). Тобто. ми отримали однорідне рівняння, що відповідає даному неоднорідному рівнянню (1).

,
, …,
,

є фундаментальна система розв'язків однорідного рівняння (3). Тоді рішення цього рівняння містяться у формулі його загального рішення, тобто.

Підставимо це значення zу формулу
, отримаємо

Отримана функція є загальним рішенням рівняння (1) в області D.

Таким чином, ми показали, що загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння (1) дорівнює сумі якогось окремого рішення цього рівняння та загального рішення відповідного однорідного лінійного рівняння.

приклад.Знайти загальне рішення рівняння