Таблиця статечних функцій властивостей та графіків. Ступінна функція

Функція де Х- Змінна величина, A– задане число, називається Ступіньною функцією .

Якщо це – лінійна функція, її графік – пряма лінія (див. параграф 4.3, рис. 4.7).

Якщо це – квадратична функція, її графік – парабола (див. параграф 4.3, рис. 4.8).

Якщо її графік – кубічна парабола (див. параграф 4.3, рис. 4.9).

Ступінна функція

Це зворотна функція для

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. найбільшого та найменшого значень функція не має.

7.

8. Графік функціїСиметричний графіку кубічної параболи щодо прямої Y =Xта зображений на рис. 5.1.

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція парна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції:єдиний нуль X = 0.

6. Найбільше та найменше значення функції:приймає найменше значення для X= 0, воно дорівнює 0.

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є спадною на проміжку і зростаючою на проміжку

8. Графік функції(для кожного N Î N) «схожий» на графік квадратичної параболи (графіки функцій зображені на рис. 5.2).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення:

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Графік функції(Для кожного) «схожий» на графік кубічної параболи (графіки функцій зображені на рис. 5.3).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції:нулів немає.

6. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є спадною в області визначення.

8. Асимптоти:(вісь Оу) - вертикальна асимптота;

(вісь Ох) – горизонтальна асимптота.

9. Графік функції(для будь-якого N) «схожий» на графік гіперболи (графіки функцій зображені на рис. 5.4).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція парна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

6. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою на і спадаючою на

7. Асимптоти: X= 0 (вісь Оу) - вертикальна асимптота;

Y= 0 (вісь Ох) – горизонтальна асимптота.

8. Графіками функційЄ квадратичні гіперболи (рис. 5.5).

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція не має властивості парності та непарності.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення функції:найменше значення, що дорівнює 0, функція приймає в точці X= 0; найбільшого значення немає.

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Кожна така функція за певного показника є зворотною для функції за умови

9. Графік функції«схожий» на графік функції за будь-якого Nта зображений на рис. 5.6.

Ступінна функція

1. Область визначення:

2. Безліч значень:

3. Парність та непарність:функція непарна.

4. Періодичність функції:неперіодична.

5. Нулі функції: X= 0 – єдиний нуль.

6. Найбільше та найменше значення функції:найбільшого та найменшого значень функція не має за будь-якого

7. Проміжки зростання та зменшення:функція є зростаючою по всій області визначення.

8. Графік функціїЗображено на рис. 5.7.

Ступінна функція, її властивості та графік Демонстраційний матеріал Урок-лекція Поняття функції. Властивості функції. Ступенева функція, її властивості та графік. 10 клас Усі права захищені. Copyright з Copyright з

Хід уроку: Повторення. функція. Властивості функцій. Вивчення нового матеріалу. 1. Визначення статечної функції. Визначення статечної функції. 2. Властивості та графіки статечних функцій. Властивості та графіки статечних функцій. Закріплення дослідженого матеріалу. Усний рахунок. Усний рахунок. Підсумок уроку. Завдання додому.

Область визначення та область значень функції Усі значення незалежної змінної утворюють область визначення функції х y=f(x) f Область визначення функції Область значень функції Усі значення, які приймає залежна змінна, утворюють область значень функції Функція. Властивості функції

Графік функції Нехай задана функція де хУ у х,75 3 0,6 4 0,5 Графік функції – це безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. функція. Властивості функції

У х Область визначення та область значень функції 4 y=f(x) Область визначення функції: Область значень функції: Функція. Властивості функції

Функція у=f(x) називається парною, якщо f(-x) = f(x) для будь-якого х з області визначення функції Функція. Властивості функції

Непарна функція у х y=f(x) Графік непарної функції симетричний щодо початку координат О(0;0) Функція у=f(x) називається непарною, якщо f(-x) = -f(x) для будь-якого х з області Визначення функції Функція. Властивості функції

Визначення статечної функції Функція, де р - задане дійсне число, називається статечною. р у = х р Р = х у 0 Хід уроку

Ступінна функція х у 1.Областью визначення та областю значень статечних функцій виду, де n - натуральне число, є всі дійсні числа. 2. Ці функції – непарні. Графік їх симетричний щодо початку координат. Властивості та графіки статечної функції

Ступінні функції з раціональним позитивним показником Область визначення - всі позитивні числа і число 0. Область значень функцій з таким показником - також всі позитивні числа та число 0. Ці функції не є парними і непарними. у х Властивості та графіки статечної функції

Ступінна функція з раціональним негативним показником. Областю визначення та областю значень таких функцій є всі позитивні числа. Функції є парними ні непарними. Такі функції зменшуються по всій своїй області визначення. у х Властивості та графіки статечної функції Хід уроку

Нагадаємо властивості та графіки статечних функцій з цілим негативним показником.

При парних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; 1). Особливість функцій цього виду - їх парність, графіки симетричні щодо осі ОУ.

Рис. 1. Графік функції

При непарних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; -1). Особливість функцій цього виду - їх непарність, графіки симетричні щодо початку координат.

Рис. 2. Графік функції

Нагадаємо основне визначення.

Ступенем невід'ємного числа з раціональним позитивним показником називається число .

Ступенем позитивного числа з раціональним негативним показником називається число .

Для виконується рівність:

Наприклад: ; - Вираз не існує за визначенням ступеня з негативним раціональним показником; існує, тому що показник ступеня цілий,

Перейдемо до розгляду статечних функцій із раціональним негативним показником.

Наприклад:

Для побудови графіка цієї функції можна скласти таблицю. Ми зробимо інакше: спочатку побудуємо та вивчимо графік знаменника – він нам відомий (рисунок 3).

Рис. 3. Графік функції

Графік функції знаменника проходить через фіксовану точку (1; 1). При побудові графіка вихідної функції ця точка залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 4).

Рис. 4. Графік функції

Розглянемо ще одну функцію із сімейства досліджуваних функцій.

Важливо, що за визначенням

Розглянемо графік функції, що стоїть у знаменнику: , графік цієї функції нам відомий, вона зростає у своїй області визначення і проходить через точку (1;1) (рисунок 5).

Рис. 5. Графік функції

При побудові графіка вихідної функції точка (1;1) залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 6).

Рис. 6. Графік функції

Розглянуті приклади допомагають зрозуміти, яким чином проходить графік і які властивості функції, що вивчається - функції з негативним раціональним показником.

Графіки функцій даного сімейства проходять через точку (1;1), функція зменшується по всій області визначення.

Область визначення функції:

Функція не обмежена згори, але знизу. Функція немає ні найбільшого, ні найменшого значення.

Функція безперервна, набуває всіх позитивних значень від нуля до плюс нескінченності.

Функція опукла вниз (рисунок 15.7)

На кривій взяті точки А і В, через них проведений відрізок, вся крива знаходиться нижче відрізка, дана умова виконується для двох точок на кривій, отже функція випукла вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Випуклість функції

Важливо зрозуміти, що функції даного сімейства обмежені знизу банкрутом, але найменшого значення немає.

Приклад 1 - знайти максимум і мінімум функції на інтервалі \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^(2n)\)=+\infty \]

Графік (рис. 2).

Малюнок 2. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n)$

Властивості статечної функції з натуральним непарним показником

Область визначення - всі дійсні числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення - всі дійсні числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функція зростає по всій області визначення.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функція увігнута, за $x\in (-\infty ,0)$ і опукла, за $x\in (0,+\infty)$.

Графік (рис. 3).

Малюнок 3. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Ступінна функція з цілим показником

Спочатку введемо поняття ступеня з цілим показником.

Визначення 3

Ступінь дійсного числа $a$ з цілим показником $n$ визначається формулою:

Малюнок 4.

Розглянемо тепер статечну функцію з цілим показником, її властивості та графік.

Визначення 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ називається статечною функцією з цілим показником.

Якщо ступінь більший за нуль, то ми приходимо до випадку статечної функції з натуральним показником. Його ми вже розглянули вище. При $n=0$ ми отримаємо лінійну функцію $y=1$. Її розгляд залишимо читачеві. Залишилося розглянути властивості статечної функції із негативним цілим показником

Властивості статечної функції із негативним цілим показником

Область визначення - $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Якщо показник парний, то функція парна, якщо непарна, то функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення:

Якщо показник парний, то $(0,+\infty)$, якщо непарний, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При непарному показнику функція зменшується, за $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При парному показнику функція зменшується за $x\in (0,+\infty)$. і зростає, за $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всій області визначення