Типові помилки школярів під час вирішення квадратних рівнянь. Квадратні нерівності

Розділи: Математика

Клас: 9

Обов'язковим результатом навчання є вміння вирішити нерівність виду:

ax 2 + bx+ c ><0

із опорою на схематичний графік квадратичної функції.

Найчастіше учні припускаються помилок при розв'язанні квадратних нерівностей з негативним першим коефіцієнтом. У підручнику пропонується у разі замінювати нерівність рівносильним йому з позитивним коефіцієнтом при x 2 (приклад №3).Важливо, що учні зрозуміли, що про вихідну нерівність треба “забути”, на вирішення зображати параболу треба з гілками, спрямованими вгору. Можна міркувати інакше.

Допустимо необхідно вирішити нерівність:

-x 2 + 2x -5<0

Спочатку з'ясуємо, чи перетинає графік функції y=-x 2 +2x-5 вісь ОХ. Для цього вирішимо рівняння:

Рівняння коренів немає, отже, графік функції y=-x 2 +2x-5 цілком розташований нижче осі Х і нерівність -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.

Уміння вирішувати відпрацьовується на №111 та №119. Обов'язково треба розглянути такі нерівності x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 >0 і.т.д.

Звичайно, при вирішенні таких нерівностей можна використовувати параболу. Однак сильні учні повинні давати відповіді відразу, не вдаючись до малюнка. При цьому обов'язково треба вимагати пояснень, наприклад: x 2 ≥ 0 і x 2 +7> 0 за будь-яких значень x. Залежно від рівня підготовки класу можна обмежитися цими номерами або використовувати №120. В них необхідно виконати нескладні тотожні перетворення, тому тут пройде повторення пройденого матеріалу. Ці номери розраховані на сильних учнів. Якщо досягнуто хорошого результату і розв'язання квадратних нерівностей немає ніяких проблем, можна запропонувати учням вирішити систему нерівностей у якій одне чи обидві нерівності є квадратними (вправа 193, 194).

Цікаво не тільки розв'язання квадратних нерівностей, а й те, де ще можна застосувати це рішення: для знаходження області визначення функції дослідження квадратного рівняння з параметрами (вправа 122-124).

Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)

Ax 2 +Bx+C<0 (≤0)

Де A,B,C,-вираження залежні від параметрів, A≠0,x- невідомі.

Нерівність Ax 2 +Bx+C>0

Досліджується за такими схемами:

1) Якщо A = 0, то маємо лінійну нерівність Bx + C> 0

2) Якщо A≠0 і дискримінант D>0, то ми можемо квадратний тричлен розкласти на множники і отримати нерівність

A(x-x1) (x-x2)>0

x 1 та x 2 - коріння рівняння Ax 2 +Bx+C=0

3) Якщо A≠0 і D<0 то если A>0 рішенням буде безліч дійсних чисел R; при A<0 решений нет.

Аналогічно можна вивчити інші нерівності.

Можна використовувати при розв'язанні квадратних нерівностей відповідно до властивості квадратного тричлена

1) Якщо A> 0 і D<0 то Ax2+Bx+C>0- при всіх x.

2) Якщо A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.

При розв'язанні квадратної нерівності зручніше використовувати схематичне зображення графіка функції y=Ax2+Bx+C

Приклад: Для всіх параметрів вирішити нерівність

X 2 +2(b+1)x+b 2 >0

D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2

1) D<0 т.е. 2b+1<0

Коефіцієнт перед x 2 дорівнює 1>0 то нерівність виконується всім x, тобто. Х є R

2) D=0 => 2b+1=0

Тоді x 2 +x+¼>0

x є(-∞;-½) U (-½;∞)

3) D>0 =>2b+1>0

Коріння квадратного тричлена має вигляд:

X 1 =-b-1-√2b+1

X 2 =-b-1+√2b+1

Нерівність набуває вигляду

(x-x 1) (x-x 2)>0

Використовуючи метод інтервалів отримаємо

x є(-∞; x 1) U (x 2 ;∞)

Для самостійного рішення дати таку нерівність

В результаті вирішення нерівностей учень повинен розуміти, що для вирішення нерівностей другого ступеня пропонується відмовитися від зайвої деталізації способу побудови графіка, від знаходження координат вершин параболи, дотримання масштабу, можна обмежитися зображенням ескізу графіка квадратичної функції.

У старшій ланці розв'язання квадратних нерівностей практично не є самостійним завданням, а виступає як складова розв'язання іншого рівняння або нерівності (логарифмічної, показової, тригонометричної). Тому потрібно навчити учнів побіжному рішенню квадратних нерівностей. Можна звернутися до трьох теорем, запозичених з підручника А.А. Кисельова.

Теорема 1. Нехай дано квадратний тричлен ax 2 +bx+c,де a>0, що має 2 різних дійсних кореня (D>0).

Тоді:1)При всіх значеннях змінної x,менших меншого кореня і більших більшого кореня, квадратний тричлен позитивний

2) При значеннях x між корінням квадратним тричлен від'ємний.

Теорема 2. Нехай дано квадратний тричлен ax 2 +bx+c, де a>0 має 2 однакові дійсні корені (D=0). Тоді при всіх значеннях x відмінних від коренів квадратного тричлена, квадратний тричлен позитивний.

Теорема3. Нехай дано квадратний тричлен ax 2 +bx+c де a>0 не має дійсних коренів (D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.

Наприклад: слід вирішити нерівність:

D=1+288=289>0

Рішенням є

X≤-4/3 та x≥3/2

Відповідь (-∞; -4/3] U 7. (-∞; 2) U (3; ∞) 7. [-4; 0] 8. [-2; 1] 8. Ø 9. [-2; 0] 9. (-∞; -4) U (-4; ∞)

Відповіді поміщають на звороті, подивитися їх можна після того, як минув відведений час. Найзручніше цю роботу провести на початку уроку за сигналом вчителя. (Увага, приготувалися, почали). За командою "Стоп" робота переривається.

Час роботи визначається залежно від рівня підготовки класу. Зростання швидкості показник роботи учня.

Уміння вирішувати квадратні нерівності стане у нагоді учням і при здачі ЄДІ. У завданнях групи B дедалі частіше зустрічаються завдання пов'язані з умінням розв'язувати квадратні нерівності.

Наприклад:

Камінь кинутий вертикально вгору. Поки камінь не впав, висота, де він знаходиться, описується формулою

(H-висота в метрах, t-час у секундах, що минув з моменту кидка).

Знайдіть скільки секунд камінь знаходився на висоті не менше 9 метрів.

Для вирішення необхідно становити нерівність:

5t 2 +18t-9≥0

Відповідь:2,4 с

Починаючи давати учням, приклади з ЄДІ вже в 9-му класі на етапі вивчення матеріалу, ми вже готуємо до складання іспиту, розв'язання квадратних нерівностей, що містять параметр, дає можливість вирішувати завдання з групи C.

Не формальний підхід до вивчення теми в 9 класі, полегшує засвоєння матеріалу в курсі “Алгебра та початку аналізу” з таких тем як “Застосування похідної” “Розв'язання нерівностей методом інтервалів” “Розв'язання логарифмічних та показових нерівностей” “Розв'язання ірраціональних нерівностей”.

Перш ніж розбиратися, як вирішувати квадратну нерівність, давайте розглянемо, яку нерівність називають квадратною.

Запам'ятайте!

Нерівність називають квадратним, якщо старший (найбільший) ступінь невідомого «x» дорівнює двом.

Потренуємося визначати тип нерівності на прикладах.

Як вирішити квадратну нерівність

У попередніх уроках ми розбирали, як вирішувати лінійні нерівності. Але на відміну від лінійних нерівностей квадратні вирішуються зовсім інакше.

Важливо!

Вирішувати квадратну нерівність так само як і лінійну не можна!

Для вирішення квадратної нерівності використовується спеціальний спосіб, який називається методом інтервалів.

Що таке метод інтервалів

Методом інтервалівназивають спеціальний спосіб розв'язання квадратних нерівностей. Нижче ми пояснимо, як використовувати цей метод і чому він отримав таку назву.

Запам'ятайте!

Щоб розв'язати квадратну нерівність методом інтервалів потрібно:

Ми розуміємо, що правила, описані вище, важко сприймати тільки теоретично, тому відразу розглянемо приклад розв'язання квадратної нерівності за алгоритмом вище.

Потрібно вирішити квадратну нерівність.

Тепер, як сказано, намалюємо «арки» над інтервалами між зазначеними точками.

Проставимо знаки усередині інтервалів. Праворуч ліворуч чергуючи, починаючи з «+», відзначимо знаки.

Нам залишилося лише виконати, тобто вибрати потрібні інтервали та записати їх у відповідь. Повернемося до нашої нерівності.

Бо в нашій нерівності « x 2 + x − 12 » , отже, нам потрібні негативні інтервали. Заштрихуємо всі негативні області на числовій осі та випишемо їх у відповідь.

Негативним інтервалом виявився лише один, який знаходиться між числами «−3» та «4», тому запишемо його у відповідь у вигляді подвійної нерівності
«-3».

Запишемо отриману відповідь квадратної нерівності.

Відповідь: −3

До речі, саме через те, що при розв'язанні квадратної нерівності ми розглядаємо інтервали між числами, метод інтервалів і отримав свою назву.

Після отримання відповіді є сенс зробити її перевірку, щоб переконатися у правильності рішення.

Виберемо будь-яке число, яке знаходиться у заштрихованій області отриманої відповіді. −3» і підставимо його замість «x» у вихідну нерівність. Якщо ми отримаємо правильну нерівність, то ми знайшли відповідь квадратної нерівності правильно.

Візьмемо, наприклад, з інтервалу число "0". Підставимо його у вихідну нерівність «x 2 + x − 12».

X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (вірно)

Ми отримали правильну нерівність при підстановці числа в галузі рішень, отже відповідь знайдено правильно.

Короткий запис рішення методом інтервалів

Скорочено запис розв'язання квадратної нерівності « x 2 + x − 12 » методом інтервалів виглядатиме так:

X 2 + x − 12
x 2 + x − 12 = 0

x 1 =

1+ 7

x 2 =

1 − 7

x 1 =

x 2 =

x 1 =

1+ 1

x 2 =

1 − 1

x 1 =

x 2 =

x 1 =

x 2 = 0

Відповідь: x ≤ 0; x ≥

Розглянемо приклад, де перед «х2» у квадратній нерівності стоїть негативний коефіцієнт.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке "квадратна нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якеквадратне рівняння та замінити в ньому знак "=" (рівно) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), вийде квадратна нерівність. Наприклад:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну ви зрозуміли...)

Я не дарма тут зв'язав рівняння та нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якогоквадратної нерівності - вирішити рівняння, з якого ця нерівність зроблена.З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу та в нерівностях. Натяки зрозумілі?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все докладно розписано. А у цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готова для вирішення нерівність має вигляд: ліворуч - квадратний тричлен ax 2 +bx+c, праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-яким. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

2. Далінгер В.А. Типові помилки з математики на вступних іспитах та як їх не допускати. - Омськ: Вид-во Омського ІУУ, 1991.

3. Далінгер В.А. Все для забезпечення успіху на випускних та вступних іспитах з математики. Випуск 5. Показові, логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи: Навчальний посібник. - Омськ: Вид-во ОмДПУ, 1996.

4. Далінгер В.А. Початки математичного аналізу: Типові помилки, їх причини та шляхи попередження: Навчальний посібник. - Омськ: "Видавець-Поліграфіст", 2002.

5. Далінгер В.А., Зубков О.М. Посібник для складання іспиту з математики: Аналіз помилок абітурієнтів з математики та шляхи їх попередження. - Омськ: Вид-во ОмДПУ, 1991.

6. Кутасов А.Д. Показові та логарифмічні рівняння, нерівності, системи: Навчально-методичний посібник N7. - Вид-во Російського відкритого університету, 1992.

Помилки, які допускаються учнями під час вирішення логарифмічних рівнянь і нерівностей, найрізноманітніші: від неправильного оформлення рішення до помилок логічного характеру. про ці та інші помилки йтиметься у цій статті.

1. Найбільш типова помилка полягає в тому, що учні при вирішенні рівнянь і нерівностей без додаткових пояснень використовують перетворення, що порушують рівносильність, що призводить до втрати коренів та появи сторонніх коней.

Розглянемо на конкретних прикладах подібні помилки, але насамперед звертаємо увагу читача на таку думку: не бійтеся придбати сторонні корені, їх можна відкинути шляхом перевірки, бійтеся втратити коріння.

а) Розв'язати рівняння:

log3(5 – x) = 3 – log3(-1 – x).

Це рівняння учні часто вирішують так.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x) (-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0,

x1 = -4; x2 = 8.

Учні часто, не проводячи додаткових міркувань, записують обидва числа у відповідь. Але як свідчить перевірка, число x = 8 перестав бути коренем вихідного рівняння, оскільки за x = 8 ліва і права частини рівняння втрачають сенс. Перевірка показує, що x = -4 є коренем заданого рівняння.

б) Розв'язати рівняння

Область визначення вихідного рівняння задається системою

Для вирішення заданого рівняння перейдемо до логарифму на підставі x, отримаємо

Ми бачимо, що ліва та права частини цього останнього рівняння при x = 1 не визначені, але це число є коренем вихідного рівняння (переконатися в цьому можна шляхом безпосередньої підстановки). Таким чином, формальний перехід до нової основи призвів до втрати кореня. Щоб уникнути втрати кореня x = 1, слід зазначити, що нова основа має бути позитивним числом, відмінним від одиниці, та розглянути окремо випадок x = 1.

2. Ціла група помилок, точніше сказати недоліків, у тому, що учні не приділяють належної уваги знаходженню області визначення рівнянь, хоча саме вона часом є ключ до решения. Зупинимося у зв'язку з цим на прикладі.

Вирішити рівняння

Знайдемо область визначення цього рівняння, навіщо розв'яжемо систему нерівностей:

Звідки маємо x = 0. Перевіримо безпосередньою підстановкою, чи є число x = 0 коренем вихідного рівняння

Відповідь: x = 0.

3. Типовою помилкою учнів і те, що де вони мають необхідному рівні визначеннями понять, формулами, формулюваннями теорем, алгоритмами. Підтвердимо наведене наступним прикладом.

Вирішити рівняння

Наведемо помилкове вирішення цього рівняння:

Перевірка показує, що х = -2 перестав бути коренем вихідного рівняння.

Напрошується висновок, що задане рівняння коренів немає.

Однак, це не так. Виконавши підстановку х = -4 задане рівняння, ми можемо переконатися, що це корінь.

Проаналізуємо, чому сталася втрата кореня.

У вихідному рівнянні вирази х і х + 3 можуть бути обидва негативними або обидва позитивними, але при переході до рівняння ці ж вирази можуть бути тільки позитивними. Отже, відбулося звуження області визначення, що призвело до втрати коріння.

Щоб уникнути втрати кореня, можна зробити так: перейдемо у вихідному рівнянні від логарифму суми до логарифму твору. Можлива в цьому випадку поява стороннього коріння, але від них, шляхом підстановки, можна звільнитися.

4. Багато помилок, які допускаються при розв'язанні рівнянь і нерівностей, є наслідком того, що учні дуже часто намагаються вирішувати завдання за шаблоном, тобто звичним шляхом. Покажемо на прикладі.

Розв'язати нерівність

Спроба вирішувати цю нерівність звичними алгоритмічними способами не спричинить відповіді. Рішення тут має полягати в оцінці значень кожного складника лівої частини нерівності в області визначення нерівності.

Знайдемо область визначення нерівності:

Для всіх x із проміжку (9;10] вираз має позитивні значення (значення показової функції завжди позитивні).

Для всіх x із проміжку (9;10] вираз x - 9 має позитивні значення, а вираз lg(x - 9) має значення негативні або нуль, тоді вираз (- (x - 9) lg(x - 9) позитивно або одно нулю.

Остаточно маємо x∈ (9; 10]. Зауважимо, що при таких значеннях змінної кожне доданок, що стоїть у лівій частині нерівності, позитивно (друге доданок може дорівнювати нулю), а значить їх сума завжди більша за нуль. Отже, рішенням вихідної нерівності є проміжок (9; 10].

5. Одна з помилок пов'язана з графічним розв'язком рівнянь.

Вирішити рівняння

Наш досвід показує, що учні, вирішуючи це рівняння графічно (зауважимо, що його іншими елементарними способами вирішити не можна), одержують лише один корінь (він є абсцисою точки, що лежить на прямій y = x), бо графіки функцій

це графіки взаємно зворотних функцій.

Насправді вихідне рівняння має три корені: один з них є абсцисою точки, що лежить на бісектрисі першого координатного кута y = x, інший корінь і третій корінь Переконатися у справедливості сказаного можна безпосередньою підстановкою чисел і задане рівняння.

Зауважимо, що рівняння виду logax = ax при 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

Цей приклад успішно ілюструє такий висновок: графічне рішення рівняння f(x) = g(x) “бездоганно”, якщо обидві функції разномонотонны (одна їх зростає, іншу - зменшується), і недостатньо математично коректно у разі одномонотонных функцій (обидві чи одночасно зменшуються, або одночасно зростають).

6. Ряд типових помилок пов'язані з тим, що учні дуже коректно вирішують рівняння і нерівності з урахуванням функціонального підходу. Покажемо типові помилки такого роду.

а) Розв'язати рівняння xx = x.

Функція, що стоїть у лівій частині рівняння, - показово-ступенева і якщо так, то на підставу ступеня слід накласти такі обмеження: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмуємо обидві частини заданого рівняння:

Звідки маємо х = 1.

Логарифмування не призвело до звуження області визначення вихідного рівняння. Проте ми втратили два корені рівняння; Безпосереднім розсудом ми бачимо, що x = 1 і x = -1 є корінням вихідного рівняння.

б) Розв'язати рівняння

Як і в попередньому випадку, ми маємо показово-статечну функцію, а значить x>0, x≠1.

Для вирішення вихідного рівняння прологарифмуємо його обидві частини з будь-якої основи, наприклад, з основи 10:

Враховуючи, що добуток двох множників дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із них дорівнює нулю, а інший при цьому має сенс, ми маємо сукупність двох систем:

Перша система немає рішення; з другої системи ми отримуємо x = 1. Враховуючи накладені раніше обмеження, число x = 1 не повинно бути коренем вихідного рівняння, хоча безпосередньою підстановкою ми переконуємося в тому, що це не так.

7. Розглянемо деякі помилки, пов'язані з поняттям складної функції виду. Помилки покажемо на такому прикладі.

Визначити вид монотонності функції.

Наша практика показує, що абсолютна більшість учнів визначають монотонність у даному випадку лише на підставі логарифму, а так як 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

Ні! Ця функція зростає.

Умовно для функції виду можна записати:

Зростаюча (Знижуюча) = Зменшуюча;

Зростаюча (Зростаюча) = Зростаюча;

Знижуюча (Зменшуюча) = Зростаюча;

Зменшуюча (Зростаюча) = Зменшуюча;

8. Розв'яжіть рівняння

Це завдання взято із третьої частини ЄДІ, яке оцінюється балами (максимальний бал – 4).

Наведемо рішення, яке містить помилки, а отже, за нього не буде виставлено максимальний бал.

Зводимо логарифми до основи 3. Рівняння набуде вигляду

Потенціюючи, отримуємо

х1 = 1, х2 = 3.

Виконаємо перевірку, щоб виявити стороннє коріння

, 1 = 1,

значить х = 1 – корінь вихідного рівняння.

значить х = 3 коренем вихідного рівняння не є.

Пояснимо, чому це рішення містить помилки. Суть помилки в тому, що запис містить дві грубі помилки. Перша помилка: запис взагалі не має сенсу. Друга помилка: не вірно, що добуток двох співмножників, один з яких 0, обов'язково буде банкрутом. Нуль буде в тому і тільки в тому випадку, якщо один множник – 0, а другий множник має сенс. Тут же, якраз, другий множник не має сенсу.

9. Повернемося до вже прокоментованої вище помилки, але при цьому наведемо нові міркування.

При розв'язанні логарифмічних рівнянь переходять до рівняння. Кожен корінь першого рівняння є коренем і другого рівняння. Зворотне, взагалі кажучи, неправильне, тому, переходячи від рівняння до рівняння, необхідно наприкінці перевірити коріння останнього підстановкою у вихідне рівняння. Замість перевірки коренів доцільно замінювати рівняння рівносильною системою

Якщо при вирішенні логарифмічного рівняння виразу

де n - парне число, перетворюються відповідно за формулами , , , то, так як у багатьох випадках при цьому звужується область визначення рівняння, можлива втрата деяких його коренів. Тому зазначені формули доцільно застосовувати у такому вигляді:

n – парне число.

Назад, якщо при вирішенні логарифмічного рівняння вирази , , , де n - парне число, перетворюються відповідно на вирази

то область визначення рівняння може розширитися, через що можливе придбання сторонніх коренів. Пам'ятаючи про це, в подібних ситуаціях необхідно стежити за рівносильністю перетворень і, якщо область визначення рівняння розширюється, робити перевірку коренів, що одержуються.

10. При розв'язанні логарифмічних нерівностей за допомогою підстановки ми завжди спочатку вирішуємо нову нерівність щодо нової змінної, і лише в її вирішенні робимо перехід до старої змінної.

Школярі дуже часто помилково роблять зворотний перехід раніше, на стадії знаходження коріння раціональної функції, що вийшла в лівій частині нерівності. Цього робити не слід.

11. Наведемо приклад ще однієї помилки, пов'язаної з розв'язанням нерівностей.

Розв'яжіть нерівність

Наведемо хибне рішення, яке дуже часто пропонують учні.

Зведемо обидві частини вихідної нерівності квадрат. Матимемо:

звідки отримуємо неправильну числову нерівність, що дозволяє зробити висновок: задана нерівність немає рішень.

Вступ… ………………………………………………………… 3

1. Класифікація помилок з прикладами…………………………… .…… …5

1.1. Класифікація за типами завдань…… ……………………… … ……….5

1.2. Класифікація за типами перетворень………………………………10

2. Тести………………………… …………………….… .…………………….12

3. Протоколи рішень……………… ……….….…………… ………… 18

3.1. Протоколи неправильних рішень……………………………… … 18

3.2. Відповіді (протоколи вірних рішень)………………………………….34

3.3. Помилки, допущені у рішеннях…………………………………… 51

Додаток……………………….…………………………………………… 53

Література……………………………………………………………………….56

ВСТУП

"На помилках вчаться", - говорить народна мудрість. Але для того, щоб отримати урок із негативного досвіду, в першу чергу, необхідно побачити помилку. На жаль, школяр часто не здатний її виявити при вирішенні того чи іншого завдання. Внаслідок чого виникла ідея провести дослідження, мета якого – виявити типові помилки, які здійснюються учнями, а також якнайповніше класифікувати їх.

У рамках цього дослідження було розглянуто та вирішено великий набір завдань з варіантів квітневого тестування, тестів та письмових завдань вступних іспитів до ОмДУ, різних посібників та збірників завдань для вступників до вузів, уважно вивчено матеріали заочної школи при НОФ ОмГУ. Отримані дані зазнали детального аналізу, при цьому велика увага була приділена логіці рішень. На основі цих даних були виділені найбільш часто допускаються помилки, тобто типові.

За результатами цього аналізу була зроблена спроба систематизувати характерні помилки та класифікувати їх за типами перетворень та типами завдань, серед яких були розглянуті такі: квадратні нерівності, системи нерівностей, дробово-раціональні рівняння, рівняння з модулем, ірраціональні рівняння, системи рівнянь, задачі на рух , завдання на роботу та продуктивність праці, тригонометричні рівняння, системи тригонометричних рівнянь, планіметрія

Класифікація супроводжується ілюстрацією у формі неправильних протоколів рішень, що дає можливість допомогти школярам розвинути вміння перевіряти та контролювати себе, критично оцінювати свою діяльність, знаходити помилки та шляхи їх усунення.

Наступним етапом стала робота із тестами. Для кожного завдання було запропоновано п'ять варіантів відповідей, з яких одна вірна, а решта чотирьох невірних, але взята не випадковим чином, а відповідають рішенню, в якому допущена конкретна стандартна для завдань даного типу помилка. Це дає підставу для прогнозування ступеня "грубості" помилки та розвитку основних розумових операцій (аналіз, синтез, порівняння, узагальнення). Тести мають таку структуру:

Коди помилок поділяються на три види: ОК – правильна відповідь, цифровий код – помилка із класифікації за типами завдань, літерний код – помилка із класифікації за типами перетворень. Їх розшифровку можна побачити у розділі 1. Класифікація помилок з прикладами.

Далі було запропоновано завдання знайти помилку у вирішенні. Ці матеріали були використані під час роботи зі слухачами заочної школи при НОФ ОмДУ, а також на курсах підвищення кваліфікації вчителів м. Омська та Омської області, які проводили НОФ ОмДУ.

У перспективі на основі виконаної роботи можна створити систему контролю та оцінки рівня знань та умінь тестованого. З'являється можливість виявити проблемні галузі у роботі, зафіксувати вдалі методи та прийоми, проаналізувати, який зміст навчання доцільно розширити. Для найбільшої ефективності цих методів необхідна зацікавленість учня. З цією метою мною разом із Чубриком О.В. і був розроблений невеликий програмний продукт, що генерує неправильні рішення лінійних і квадратних рівнянь (теоретична база та алгоритми – я та Чуубрик А.В., допомога у реалізації – студент гр. МП-803 Філімонов М.В.). Робота з цією програмою дає школяру можливість у ролі вчителя, учнем якого є комп'ютер.

Отримані результати можуть стати початком більш серйозного дослідження, яке в найближчій і віддаленій перспективі зможе внести необхідні коригування до системи навчання математики.

1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОМИЛОК З ПРИКЛАДАМИ

1.1. Класифікація за типами завдань

1. Алгебраїчні рівняння та нерівності.

1.1. Квадратні нерівності. Системи нерівностей:

1.1.1. Неправильно знайдено коріння квадратного тричлена: неправильно використана теорема Вієта та формула для знаходження коріння;

1.1.2. Неправильно зображено графік квадратного тричлена;

1.1.3. Неправильно визначено значення аргументу, у яких нерівність виконується;

1.1.4. Поділ на вираз, що містить невідому величину;

1.1.5. У системах нерівностей неправильно взято перетин рішень усіх нерівностей;

1.1.6. Неправильно включені або не включені кінці інтервалів до остаточної відповіді;

1.1.7. Округлення.

1.2. Дробно-раціональні рівняння:

1.2.1. Неправильно вказано або не вказано ОДЗ: не враховано, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю;

ОДЗ: .

1.2.2. При отриманні відповіді не враховується ОДЗ;