Тривіальне рішення системи. Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими чинниками пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете

• підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
• вивчити теорію обраного методу,
• вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.

Короткий опис статті.

Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття та введемо позначення.

Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.

Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.

Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.

Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.

Навігація на сторінці.

Визначення, поняття, позначення.

Розглянемо системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n ) виду

Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні чи комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).

Таку форму запису СЛАУ називають координатною.

У матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де - основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого ​​стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,

Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівняння за даних значень невідомих змінних також перетворюється на тотожність .

Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.

Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.

Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю , то система називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.

Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні дорівнюють нулю.

Такі СЛАУ ми починали вивчати у середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, потім брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.

Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри

в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .

Нехай – визначник основної матриці системи, а - визначники матриць, що виходять з А заміною 1-го, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів:

За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як . Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

приклад.

Методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд . Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю):

Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.

Складемо та обчислимо необхідні визначники (визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів):

Знаходимо невідомі змінні за формулами :

Відповідь:

Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли кількість рівнянь системи більше трьох.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).

Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.

Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.

Рішення.

Перепишемо систему рівнянь у матричній формі:

Так як

то СЛАУ можна вирішувати матричним методом. За допомогою зворотної матриці рішення цієї системи може бути знайдено як .

Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю ):

Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю):

Відповідь:

або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно:

Тепер із третього рівняння виключимо x 2 , додавши до його лівої та правої частин ліву та праву частини другого рівняння, помножені на :

На цьому прямий хід методу Гауса закінчено, починаємо зворотний хід.

З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3 :

З другого рівняння отримуємо.

З першого рівняння знаходимо невідому змінну, що залишилася, і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса.

Відповідь:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

У загальному випадку кількість рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:

Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.

Теорема Кронекер - Капеллі.

Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто Rank (A) = Rank (T) .

Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.

приклад.

З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь рішення.

Рішення.

. Скористаємося методом обрамляють мінорів. Мінор другого порядку відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку:

Так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.

У свою чергу ранг розширеної матриці дорівнює трьом, оскільки мінор третього порядку

відмінний від нуля.

Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.

Відповідь:

Система рішень немає.

Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.

А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?

Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.

Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.

З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.

Наприклад розглянемо матрицю .

Всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.

Базисними є такі мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля

Мінори базисними є, оскільки рівні нулю.

Теорема про ранг матриці.

Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.

Що нам дає теорема про ранг матриці?

Якщо з теоремі Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основний матриці системи (його порядок дорівнює r ), і виключаємо з системи всі рівняння, які утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, оскільки відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теоремою про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).

У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.

Якщо кількість рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

приклад.

.

Рішення.

Ранг основної матриці системи дорівнює двом, оскільки мінор другого порядку відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю

а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. З теореми Кронекера – Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank(A)=Rank(T)=2 .

Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь:


Третє рівняння системи не бере участі в освіті базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці:


Так ми отримали елементарну систему лінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера:


Відповідь:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше числа невідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.

Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.

Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.

Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних висловлюватимуться через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти, вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

Розберемо з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь .

Рішення.

Знайдемо ранг основної матриці системи методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує даний мінор:


Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує:


Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.

Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базисний.

Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор:


Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини:


Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду


Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера:


Отже, .

У відповіді не забуваємо зазначити вільні невідомі змінні.

Відповідь:

Де – довільні числа.

Підведемо підсумок.

Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінора.

Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.

Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом чи методом Гаусса.

Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.

З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.

Дивіться його докладний опис та розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .

Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем алгебраїчних ліній за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.

У цьому розділі мова піде про спільні однорідні і неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри, що мають безліч рішень.

Розберемося спочатку з однорідними системами.

Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.

Якщо визначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – це матриці стовпці розмірності n на 1 ) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється як лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами З 1 , З 2 , …, З (n-r) , тобто, .

Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?

Сенс простий: формула задає всі можливі рішення вихідної СЛАУ, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С1, С2, …, С(n-r), за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.

Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, ми зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .

Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.

Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,...,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад, методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.

Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення подається у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.

Розберемо з прикладів.

приклад.

Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри .

Рішення.

Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основний матриці системи. Знайдемо ненульовий мінор другого порядку, що облямовує:

Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового:

Всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють:

Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено:

Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:

Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАУ складається з двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомі змінні, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь
.

Ще у школі кожен із нас вивчав рівняння і, напевно, системи рівнянь. Але не багато хто знає, що існує кілька способів їх вирішення. Сьогодні ми докладно розберемо всі методи розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри, які складаються більш ніж з двох рівностей.

Історія

На сьогоднішній день відомо, що мистецтво вирішувати рівняння та їх системи зародилося ще у Стародавньому Вавилоні та Єгипті. Однак рівності в їхньому звичному для нас вигляді з'явилися після виникнення знака рівності "=", який був введений у 1556 англійським математиком Рекордом. До речі, цей знак був обраний не просто так: він означає два паралельні рівні відрізки. І справді, кращого прикладу рівності не вигадати.

Основоположником сучасних літерних позначень невідомих та знаків ступенів є французький математик. Однак його позначення значно відрізнялися від сьогоднішніх. Наприклад, квадрат невідомого числа він позначав буквою Q (лат. Quadratus), а куб - буквою C (лат Cubus). Ці позначення зараз здаються незручними, але це був найбільш зрозумілий спосіб записати системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Проте недоліком у тодішніх методах рішення було те, що математики розглядали лише позитивне коріння. Можливо, це пов'язано з тим, що негативні значення не мали практичного застосування. Так чи інакше, але першими вважати негативні корені почали саме італійські математики Нікколо Тарталья, Джероламо Кардано та Рафаель Бомбеллі у 16 ​​столітті. А сучасний вигляд, основний метод рішення (через дискримінант) було створено лише у 17 столітті завдяки роботам Декарта та Ньютона.

У середині 18 століття швейцарський математик Габріель Крамер знайшов новий спосіб для того, щоб зробити розв'язання систем лінійних рівнянь простіше. Цей спосіб був згодом названий його ім'ям і досі ми користуємося ним. Але про метод Крамера поговоримо трохи пізніше, а поки що обговоримо лінійні рівняння та методи їх вирішення окремо від системи.

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння - найпростіші рівності зі змінною (змінною). Їх відносять до алгебраїчних. записують у загальному вигляді так: а 1 * x 1 + а 2 * x 2 + ... а n * x n = b. Подання їх у цьому вигляді нам знадобиться при складанні систем та матриць далі.

Системи лінійних рівнянь алгебри

Визначення цього терміна таке: це сукупність рівнянь, які мають загальні невідомі величини та загальне рішення. Як правило, у школі все вирішували системи з двома чи навіть трьома рівняннями. Але бувають системи з чотирма і складовими. Давайте розберемося спочатку, як слід записати їх так, щоб надалі було зручно вирішувати. По-перше, системи лінійних рівнянь алгебри будуть виглядати краще, якщо всі змінні будуть записані як x з відповідним індексом: 1,2,3 і так далі. По-друге, слід привести всі рівняння до канонічного вигляду: а 1 * x 1 + а 2 * x 2 + ... а n * x n = b.

Після всіх цих дій ми можемо почати розповідати, як шукати рішення систем лінійних рівнянь. Дуже сильно для цього нам знадобляться матриці.

Матриці

Матриця - це таблиця, що складається з рядків і стовпців, але в їх перетині перебувають її елементи. Це може бути або конкретні значення, або змінні. Найчастіше, щоб позначити елементи, під ними розставляють нижні індекси (наприклад, 11 або 23). Перший індекс означає номер рядка, а другий – стовпця. Над матрицями, як і будь-яким іншим математичним елементом можна здійснювати різні операції. Таким чином, можна:

2) Помножувати матрицю на якесь число або вектор.

3) Транспонувати: перетворювати рядки матриці на стовпці, а стовпці - на рядки.

4) Помножувати матриці, якщо число рядків одного з них дорівнює кількості стовпців іншого.

Докладніше обговоримо всі ці прийоми, оскільки вони стануть у нагоді нам надалі. Віднімання та складання матриць відбувається дуже просто. Оскільки ми беремо матриці однакового розміру, кожен елемент однієї таблиці співвідноситься з кожним елементом інший. Таким чином складаємо (віднімаємо) два ці елементи (важливо, щоб вони стояли на однакових місцях у своїх матрицях). При множенні матриці число чи вектор необхідно просто помножити кожен елемент матриці цього числа (чи вектор). Транспонування – дуже цікавий процес. Дуже цікаво іноді бачити його у реальному житті, наприклад, при зміні орієнтації планшета чи телефону. Значки на робочому столі є матрицею, а при зміні положення вона транспонується і стає ширшою, але зменшується у висоті.

Розберемо ще такий процес, як Хоч він нам і не стане в нагоді, але знати його буде все одно корисно. Помножити дві матриці можна лише за умови, що число стовпців однієї таблиці дорівнює числу рядків іншого. Тепер візьмемо елементи рядки однієї матриці та елементи відповідного стовпця інший. Перемножимо їх один на одного і потім складемо (тобто, наприклад, добуток елементів a 11 і а 12 на b 12 і b 22 дорівнюватиме: а 11 * b 12 + а 12 * b 22). Таким чином, виходить один елемент таблиці і аналогічним методом вона заповнюється далі.

Тепер можемо розпочати розгляд того, як вирішується система лінійних рівнянь.

Метод Гауса

Цю тему починають проходити ще у школі. Ми добре знаємо поняття "система двох лінійних рівнянь" та вміємо їх вирішувати. Але що робити, якщо число рівнянь більше двох? У цьому нам допоможе

Звичайно, цим методом зручно користуватися, якщо зробити із системи матрицю. Але можна і не перетворювати її і вирішувати у чистому вигляді.

Отже, як вирішується цим способом система лінійних рівнянь Гаусса? До речі, хоч цей спосіб і названо його ім'ям, але відкрили його ще в давнину. Гаус пропонує наступне: проводити операції з рівняннями, щоб зрештою привести всю сукупність до ступінчастого вигляду. Тобто потрібно, щоб зверху вниз (якщо правильно розставити) від першого рівняння до останнього убувало по одному невідомому. Іншими словами, потрібно зробити так, щоб у нас вийшло, скажімо, три рівняння: у першому – три невідомі, у другому – два, у третьому – одне. Тоді з останнього рівняння ми знаходимо перше невідоме, підставляємо його значення у друге або перше рівняння, і далі знаходимо дві змінні, що залишилися.

Метод Крамера

Для освоєння цього життєво необхідно володіти навичками складання, віднімання матриць, і навіть треба вміти знаходити визначники. Тому якщо ви погано все це робите або зовсім не вмієте, доведеться повчитися і потренуватися.

У чому суть цього методу і як зробити так, щоб вийшла система лінійних рівнянь Крамера? Все дуже просто. Ми повинні побудувати матрицю з чисельних (майже завжди) коефіцієнтів системи лінійних рівнянь алгебри. Для цього просто беремо числа перед невідомими і розставляємо таблицю в тому порядку, як вони записані в системі. Якщо перед числом стоїть знак "-", записуємо негативний коефіцієнт. Отже, ми склали першу матрицю з коефіцієнтів при невідомих, не включаючи числа після знаків рівності (звісно, ​​що рівняння має бути приведене до канонічного вигляду, коли справа знаходиться лише число, а ліворуч – усі невідомі з коефіцієнтами). Потім потрібно скласти ще кілька матриць – по одній для кожної змінної. Для цього замінюємо в першій матриці по черзі кожен стовпець із коефіцієнтами стовпцем чисел після знаку рівності. Таким чином отримуємо кілька матриць і далі знаходимо їх визначники.

Після того, як ми знайшли визначники, справа за малим. У нас є початкова матриця, і є кілька отриманих матриць, які відповідають різним змінним. Щоб отримати рішення системи, ми ділимо визначник таблиці на визначник початкової таблиці. Отримане число і є значенням однієї зі змінних. Аналогічно знаходимо усі невідомі.

Інші методи

Існує ще кілька методів для того, щоб отримати розв'язання систем лінійних рівнянь. Наприклад, так званий метод Гаусса-Жордана, який застосовується для знаходження рішень системи квадратних рівнянь і пов'язаний із застосуванням матриць. Існує також метод Якобі для вирішення системи лінійних рівнянь алгебри. Він найлегше адаптується для комп'ютера і застосовується в обчислювальній техніці.

Складні випадки

Складність зазвичай виникає, якщо число рівнянь менше від числа змінних. Тоді можна напевно сказати, що або система несумісна (тобто не має коріння), або кількість її рішень прагне нескінченності. Якщо в нас другий випадок, то потрібно записати загальне рішення системи лінійних рівнянь. Воно міститиме як мінімум одну змінну.

Висновок

Ось ми й добігли кінця. Підіб'ємо підсумки: ми розібрали, що таке система та матриця, навчилися знаходити загальне рішення системи лінійних рівнянь. Крім цього, розглянули інші варіанти. З'ясували, як вирішується система лінійних рівнянь: метод Гаусса та Поговорили про складні випадки та інші способи знаходження рішень.

Насправді ця тема набагато більша, і якщо ви хочете краще в ній розібратися, то радимо почитати більше спеціалізованої літератури.

Метод Гауса має ряд недоліків: не можна дізнатися, спільна система чи ні, доки не будуть проведені всі перетворення, необхідні в методі Гауса; метод Гауса не придатний для систем із літерними коефіцієнтами.

Розглянемо інші методи розв'язання систем лінійних рівнянь. Ці методи використовують поняття рангу матриці і зводять рішення будь-якої спільної системи до вирішення системи, до якої застосовується правило Крамера.

приклад 1.Знайти загальне рішення наступної системи лінійних рівнянь за допомогою фундаментальної системи рішень наведеної однорідної системи та приватного розв'язання неоднорідної системи.

1. Складаємо матрицю Aта розширену матрицю системи (1)

2. Досліджуємо систему (1) на спільність. Для цього знаходимо ранги матриць Aі https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). (1) несумісна. Якщо ж отримаємо, що , то ця система спільна і ми її вирішуватимемо. (Дослідження на спільність засноване на теоремі Кронекера-Капеллі).

a. Знаходимо rA.

Щоб знайти rA, будемо розглядати послідовно відмінні від нуля мінори першого, другого і т. д. порядків матриці Aі мінори, що їх облямують.

М1=1≠0 (1 беремо з лівого верхнього кута матриці А).

Облямовуємо М1другим рядком і другим стовпцем цієї матриці. . Продовжуємо облямовувати М1другим рядком і третім стовпцем..gif" width="37" height="20 src=">. М2′другого порядку.

Маємо: (т. до. два перші стовпці однакові)

(Тобто другий і третій рядки пропорційні).

Ми бачимо, що rA=2, а - базовий мінор матриці A.

b. Знаходимо.

Достатньо базисний мінор М2′матриці Aобрамити стовпцем вільних членів і всіма рядками (у нас тільки останнім рядком).

. Звідси випливає, що й М3′′залишається базовим мінором матриці width="168" (2)

Так як М2′- базисний мінор матриці Aсистеми (2) , то ця система еквівалентна системі (3) , що складається з перших двох рівнянь системи (2) (бо М2′знаходиться у перших двох рядках матриці A).

(3)

Так як базисний мінор width="153" (4)

У цій системі два вільні невідомі ( x2 і x4 ). Тому ФСР системи (4) складається із двох рішень. Щоб їх знайти, надамо вільним невідомим у (4) спочатку значення x2=1 , x4=0 , а потім - x2=0 , x4=1 .

При x2=1 , x4=0 отримаємо:

.

Ця система вже має єдине рішення (його можна знайти за правилом Крамера або будь-яким іншим способом). Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо:

Її рішенням буде x1= -1 , x3=0 . Враховуючи значення x2 і x4 , які ми додали, отримуємо перше фундаментальне рішення системи (2) : .

Тепер гадаємо у (4) x2=0 , x4=1 . Отримаємо:

.

Вирішуємо цю систему за теоремою Крамера:

.

Отримуємо друге фундаментальне рішення системи (2) : .

Рішення β1 , β2 і становлять ФСР системи (2) . Тоді її спільним рішенням буде

γ= З 1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Тут З 1 , С2 - Довільні постійні.

4. Знайдемо одне приватне Рішення неоднорідної системи(1) . Як і у пункті 3 замість системи (1) розглянемо еквівалентну їй систему (5) , що складається з перших двох рівнянь системи (1) .

(5)

Перенесемо у праві частини вільні невідомі x2і x4.

(6)

Надамо вільним невідомим x2 і x4 довільні значення, наприклад, x2=2 , x4=1 і підставимо їх у (6) . Отримаємо систему

Ця система має єдине рішення (бо її визначник М2′0). Вирішуючи її (за теоремою Крамера або методом Гауса), отримаємо x1=3 , x3=3 . Враховуючи значення вільних невідомих x2 і x4 , отримаємо приватне вирішення неоднорідної системи(1)α1=(3,2,3,1).

5. Тепер залишилось записати загальне рішення α неоднорідної системи(1) : воно дорівнює сумі приватного рішенняцієї системи та загального вирішення її наведеної однорідної системи (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Це означає: (7)

6. Перевірка.Щоб перевірити, чи правильно ви вирішили систему (1) , Треба загальне рішення (7) підставити в (1) . Якщо кожне рівняння обернеться в тотожність ( З 1 і С2 повинні знищитися), то рішення знайдено правильно.

Ми підставимо (7) для прикладу лише останнє рівняння системи (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Отримаємо: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Звідки –1=–1. Здобули тотожність. Так чинимо з усіма іншими рівняннями системи (1) .

Зауваження.Перевірка зазвичай досить громіздка. Можна рекомендувати таку «часткову перевірку»: у загальному вирішенні системи (1) довільним постійним надати деякі значення і підставити отримане приватне рішення тільки у відкинуті рівняння (тобто ті рівняння з (1) , які не увійшли до (5) ). Якщо отримаєте тотожності, то, швидше за все, вирішення системи (1) знайдено правильно (але повної гарантії правильності така перевірка не дає!). Наприклад, якщо в (7) покласти С2=- 1 , С1 = 1, Отримаємо: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Підставляючи останнє рівняння системи (1), маємо: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , Т. е. -1 = -1. Здобули тотожність.

приклад 2.Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь (1) висловивши основні невідомі через вільні.

Рішення.як і в приклад 1, складаємо матриці Aі цих матриць. Залишаємо тепер тільки ті рівняння системи (1) , Коефіцієнти з яких входять в цей базисний мінор (тобто у нас - перші два рівняння) і розглядаємо систему, що складається з них, еквівалентну системі (1).

Перенесемо у праві частини цих рівнянь вільні невідомі.

Систему (9) вирішуємо шляхом Гаусса, вважаючи праві частини вільними членами.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Варіант 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Варіант 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Варіант 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Варіант 6

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Системи лінійних рівнянь, у яких усі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :

Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менший за кількість її невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.

При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо загальне рішення цієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.

Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор

.

Тоді залишаючи тільки базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:

Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо

, .

Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що і потрібно було довести.

Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, в теорії лінійних електричних ланцюгів струм у будь-якому контурі може бути отриманий як сума алгебри струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.

Ми продовжимо шліфувати техніку елементарних перетвореньна однорідної системи лінійних рівнянь.
За першими абзацами матеріал може здатися нудним і звичайним, але це враження оманливе. Крім подальшого відпрацювання технічних прийомів, буде багато нової інформації, тому, будь ласка, постарайтеся не нехтувати прикладами цієї статті.

Що таке однорідна система лінійних рівнянь?

Відповідь напрошується сама собою. Система лінійних рівнянь є однорідною, якщо вільний член кожногорівняння системи дорівнює нулю. Наприклад:

Цілком зрозуміло, що однорідна система завжди спільнатобто завжди має рішення. І, перш за все, в очі впадає так зване тривіальнеРішення . Тривіальне, для тих, хто зовсім не зрозумів сенс прикметника, отже безпонтове. Не академічно, звичайно, але зате зрозуміло =) …Чого ходити навколо і навколо, давайте з'ясуємо, чи немає в даної системи якихось інших рішень:

Приклад 1

Рішення: щоб вирішити однорідну систему необхідно записати матрицю системиі за допомогою елементарних перетворень привести її до ступінчастого вигляду. Зверніть увагу, що тут відпадає необхідність записувати вертикальну межу та нульовий стовпець вільних членів – адже що не роби з нулями, вони так і залишаться нулями:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -3.

(2) До третього рядка додали другий рядок, помножений на -1.

Ділити третій рядок на 3 немає особливого сенсу.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну однорідну систему , і, застосовуючи зворотний хід методу Гауса, легко переконатися, що рішення єдине.

Відповідь:

Сформулюємо очевидний критерій: однорідна система лінійних рівнянь має тільки тривіальне рішення, якщо ранг матриці системи(у разі 3) дорівнює кількості змінних (у разі – 3 прим.).

Розігріємося та налаштовуємо свій радіоприймач на хвилю елементарних перетворень:

Приклад 2

Розв'язати однорідну систему лінійних рівнянь

Щоб остаточно закріпити алгоритм, розберемо фінальне завдання:

Приклад 7

Вирішити однорідну систему, відповідь записати у векторній формі.

Рішення: запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) У першому рядку змінили знак. Ще раз загострюю увагу на прийомі, що неодноразово зустрічався, який дозволяє істотно спростити наступну дію.

(1) До 2-го та 3-го рядків додали перший рядок. До 4-го рядка додали перший рядок, помножений на 2.

(3) Останні три рядки пропорційні, два з них видалили.

В результаті отримана стандартна ступінчаста матриця, і рішення продовжується за накатаною колією:

- Базисні змінні;
- Вільні змінні.

Виразимо базисні змінні через вільні змінні. З 2-го рівняння:

- Підставимо в 1-е рівняння:

Таким чином, загальне рішення:

Оскільки в цьому прикладі три вільні змінні, то фундаментальна система містить три вектори.

Підставимо трійку значень у загальне рішення і отримаємо вектор координати якого задовольняють кожному рівнянню однорідної системи. І знову повторюся, що дуже бажано перевіряти кожен отриманий вектор - часу займе не так багато, а від помилок вбереже повністю.

Для трійки значень знаходимо вектор

І, нарешті, для трійки отримуємо третій вектор:

Відповідь: , де

Бажаючі уникнути дробових значень можуть розглянути трійки та отримати відповідь в еквівалентному вигляді:

До речі про дроби. Подивимося на отриману в задачі матрицю і поставимо запитання – чи не можна спростити подальше рішення? Адже тут ми спочатку висловили через дроби базисну змінну, потім через дроби базисну змінну, і, треба сказати, процес це був не найпростіший і не найприємніший.

Другий варіант вирішення:

Ідея полягає в тому, щоб спробувати вибрати інші базисні змінні. Подивимося на матрицю і помітимо дві одиниці у третьому стовпці. То чому б не отримати нуль вгорі? Проведемо ще одне елементарне перетворення: