Урок похідна показової функції число е.

Графік показової функції є криву плавну лінію без зламів, до якої у кожній точці, якою вона проходить, можна провести дотичну. Логічно припустити, що якщо можна провести дотичну, то функція буде диференційована в кожній точці своєї області визначення.

Відобразимо в одних координатних осях кілька графіків функції y = x a Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

У точці з координатами (0; 1). Кути нахилу цих дотичних дорівнюють приблизно 35, 40, 48 і 51 градусів відповідно. Логічно припустити, що на інтервалі від 2 до 3 існує число, при якому кут нахилу дотичної дорівнюватиме 45 градусів.

Дамо точне формулювання цього твердження: існує таке число більше 2 і менше 3, що позначається буквою е, що показова функція y = e x у точці 0 має похідну рівну 1. Тобто: (e ∆x -1) / ∆x прагне 1 при прагненні ∆х до нуля.

Це число eє ірраціональним і записується у вигляді нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

e = 2,7182818284…

Так як число е позитивно і від нуля, то існує логарифм на підставі e. Цей логарифм називається натуральним логарифмом. Позначається ln(x) = log e(x).

Похідна показової функції

Теорема: Функція e x диференційована в кожній точці своєї області визначення, і (e x) = e x .

Показова функція a x диференційована у кожній точці своєї області визначення, причому (a x)' = (a x)*ln(a).
Наслідком з цієї теореми є той факт, що показова функція безперервна у будь-якій точці своєї області визначення.

Приклад: Визначити похідну функції y = 2 x .

За формулою похідної показової функції отримуємо:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Відповідь: (2 x) * ln (2).

Первинна показова функція

Для показової функції a x заданої на множині дійсних чисел первісної буде функція (a x)/(ln(a)).
ln(a) - деяка постійна, тоді (a x / ln(a))'= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для будь-якого х. Ми довели цю теорему.

Розглянемо приклад перебування первісної показової функції.

Приклад: знайти первісну до функції f(x) = 5 x . Скористаємося формулою наведеною вище та правилами знаходження первісних. Отримаємо: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо, де x- будь-яке дійсне число, тобто, x- Будь-яке число з області визначення функції. Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при:

Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз, який не є невизначеністю нуль ділити на нуль, тому що в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю по всій області визначення.

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функції має вигляд де показник ступеня p- Будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …

Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо межу відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона:

Отже,

Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.

Похідна показової функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використали формулу переходу до нової основи логарифму.

Виконаємо підстановку у вихідну межу:

Якщо згадати другу чудову межу, то прийдемо до формули похідної показової функції:

Похідна логарифмічна функція.

Доведемо формулу похідної логарифмічної функції всім xв галузі визначення та всіх допустимих значеннях підстави aлогарифму. За визначенням похідної маємо:

Як Ви помітили, за доказом перетворення проводилися з використанням властивостей логарифму. Рівність справедливо з другого чудової межі.

Похідні тригонометричних функцій.

Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перша чудова межа.

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першої чудової межі:

Таким чином, похідна функції sin xє cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса.

Отже, похідна функції cos xє -sin x.

Виведення формул таблиці похідних для тангенсу та котангенсу проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу).

Похідні гіперболічні функції.

Правила диференціювання та формула похідної показової функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Похідна зворотної функції.

Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто це похідна функції f(x)по x.

Тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.

Нехай функції y = f(x)і x = g(y)взаємно зворотні, визначені на інтервалах та відповідно. Якщо у точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f(x), то в точці існує кінцева похідна зворотної функції g(y), причому . В іншому записі .

Можна це правило переформулювати для будь-кого xз проміжку, тоді отримаємо .

Перевіримо справедливість цих формул.

Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифму (тут y- функція, а x- Аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, отримаємо (тут x- функція, а y- Її аргумент). Тобто, та взаємно зворотні функції.

З таблиці похідних бачимо, що і .

Переконаємося, що формули знаходження похідних зворотної функції призводять нас до цих результатів:

Цілі уроку:сформувати уявлення про число е; довести диференційність функції у будь-якій точці х;розглянути доказ теореми про диференційованість функції; перевірка сформованості умінь і навичок під час вирішення прикладів їх застосування.

Завдання уроку.

Освітня: повторити визначення похідної, правила диференціювання, похідну елементарних функцій, згадати графік та властивості показової функції, сформувати вміння знаходження похідної показової функції, здійснити контроль знань за допомогою перевірочного завдання та тесту.

Розвиваюча: сприяти розвитку уваги, розвитку логічного мислення, математичної інтуїції, уміння аналізувати, застосовувати знання у нестандартних ситуаціях.

Виховна: виховувати інформаційну культуру, виробити навички роботи у групі та індивідуально.

Методи навчання: слівний, наочний, діяльний.

Форми навчання: колективна, індивідуальна, групова.

Устаткування : підручник "Алгебра та початку аналізу" (під редакцією Колмогорова), всі завдання групи В "Закритий сегмент" під редакцією А.Л. Семенова, І.В.Ященко, мультимедійний проектор.

Етапи уроку:

1. Повідомлення теми, мети, завдань уроку (2хв.).
2. Підготовка до вивчення нового матеріалу через повторення раніше вивченого (15 хв.).
3. Ознайомлення з новим матеріалом (10 хв.)
4. Первинне осмислення та закріплення нових знань (15 хв.).
5. Завдання додому (1 хв.).
6. Підбиття підсумків (2 хв.).

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Оголошується тема уроку: “Виробна показова функція. Число е.”, цілі, завдання. Слайд 1. Презентація

2. Активізація опорних знань.

Для цього на I етапі уроку відповімо на запитання та вирішимо завдання на повторення. Слайд 2

Біля дошки два учні працюють за картками, виконуючи завдання типу В8 ЄДІ.

Завдання для першого учня:

Завдання для другого учня:

Інші учні виконують самостійну роботу за варіантами:

Варіант 1		Варіант 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Пари обмінюються рішеннями і перевіряють роботи один в одного, звіряючись зі слайд 3.

Розглядаються рішення та відповіді учнів, які працюють біля дошки.

Перевірка домашнього завдання №1904. Демонструється слайд 4.

3. Актуалізація теми уроку, створення проблемної ситуації.

Вчитель вимагає дати визначення показової функції і перерахувати характеристики функції у = 2 х. Графіки показових функцій зображуються у вигляді гладких ліній, яких у кожній точці можна провести дотичну. Але існування дотичної до графіку функції у точці з абсцисою х 0 рівносильне її диференційованості у х 0.

Для графіків функції у = 2 x і у = 3 x проведемо до них дотичні в точці з абсцисою 0. Кути нахилу цих дотичних до осі абсцис приблизно дорівнюють 35 і 48 відповідно. Слайд 5.

Висновок: якщо основа показової функції азбільшується від 2 до, наприклад, 10, то кут між дотичною до графіка функції точки х=0 і віссю абсцис поступово збільшується від 35° до 66,5°. Логічно припустити, що є підстава а, Для якого відповідний кут дорівнює 45

Доведено, що існує таке число більше 2 і менше 3. Його прийнято позначати буквою е. У математиці встановлено, що число е- Ірраціональне, тобто. є нескінченним десятковим неперіодичним дріб.

е = 2,7182818284590 ...

Зауваження (не дуже серйозне). Слайд 6.

На наступному слайді 7 з'являється портрети великих математиків – Джона Непера, Леонарда Ейлера та коротка довідка про них.

• Розглянути властивості функції у = e x
• Підтвердження теореми 1. Слайд 8.
• Підтвердження теореми 2. Слайд 9.

4. Динамічна пауза чи розрядка для очей.

(Вихідне положення - сидячи, кожна вправа повторюється 3-4 рази):

1. Відкинувшись назад, зробити глибокий вдих, потім, нахилившись уперед, видих.

2. Відкинувшись на спинку стільця, прикрити повіки, міцно заплющити очі, не відкриваючи повік.

3. Руки вздовж тулуба, кругові рухи плечима назад і вперед.

5. Закріплення вивченого матеріалу.

5.1 Рішення вправ №538, №540, №544в.

5.2 Самостійне застосування знань, умінь та навичок. Перевірна робота у формі тесту. Час виконання завдання – 5 хв.

Критерії оцінювання:

“5” – 3 бали

"4" - 2 бали

"3" - 1 бал

6. Підбиття підсумків та результатів роботи на уроці.

1. Рефлексія.
2. Виставлення оцінок.
3. Складання тестових завдань.

7. Завдання додому: п. 41 (1, 2); № 539 (а, б, г); 540 (в, г), 544 (а, б).

"Закритий сегмент" №1950, 2142.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

ВИРОБНИЧА ПОКАЗНОЇ ФУНКЦІЇ Число е 11 клас

Повторення мати навчання!

Визначення показової функції Функція, задана формулою у = а х (де а > 0, а ≠ 1), називається показовою функцією з основою а.

Властивості показової функції у = а х а> 10

Визначення похідної функції у точці х 0 . при Δ → 0. Похідної функції f у точці х 0 називається число, якого прагне різнинне відношення при Δх → 0.

Геометричний зміст похідної x ₀ α A y = f(x) 0 x y к = tg α = f " (x ₀) Кутовий коефіцієнт до дотичної до графіка функції f (x) у точці (х 0 ; f (x 0) дорівнює похідній функції f "(x ₀). f(x 0)

Гра: "Знайди пари" (u + v)" cos x e (u · v)" "u" v +u v" до (C u)" 1 / (cos ² x) т (sin x)" (u" v - u v") / v ² ​​c (cos x)" 0 o (tg x)" u "+ v" е (ctg x) "C u" н

Перевір себе! (u + v) "u" + v" е (u · v)" u" · v + u · v " до (u /v)" (u' · v -u · v") / v² з (x ⁿ)" n · x ⁿ ⁻¹ п C" 0 про (Cu)" C u "н (sin x)" Cos x е (cos x)" - sin x н (tg x)" 1 / (cos² x) т (ctg x)" - 1 / (sin² x) а

Експонента – це статечна функція. Експонента – функція, де e – основа натуральних логарифмів.

1 у= ех 45° Функція у= ех називається «експонента» х ₀ =0; tg 45° = 1 У точці (0;1) кутовий коефіцієнт до дотичної до графіку функції до = tg 45° = 1 - геометричний зміст похідної експоненти Експонента у = е х

Теорема 1. Функція у = е диференційована в кожній точці області визначення, і (е)" = е х х х Натуральним логарифмом (ln) називається логарифм на основі е: ln x = log x е Показова функція диференційована в кожній точці області визначення, та (а)" = а ∙ ln a x x Теорема 2 .

Формули диференціювання показової функції (e) "= e; (e)" = k e; (a)" = a ∙ ln a; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.

"Вправи народжують майстерність." Тацит Публій Корнелій - давньоримський історик

Приклади: Знайти похідні функцій: 1. = 3 е. 2. (е) "= (5х)" е = 5 e . 3. (4)" = 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 х)" 2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2 . 5 х 5 х х (3 е)" 5 х - 7 х х х -7 х -7 х х

Цікаве поруч

Леонард Ейлер 1707 -1783 р.р. Російський учений - математик, фізик, механік, астроном ... Ввів позначення числа е. Доказав, що число ? 2, 718281 ...-ірраціональне. Джон Непер 1550 - 1617 р.р. Шотландський математик, винахідник логарифмів. На його честь число е називають «неперовим числом».

Зростання та зменшення функції зі швидкістю експоненти називається експоненціальним