Види квадратних коренів. Арифметичний квадратний корінь та його властивості

Ця стаття є сукупністю детальної інформації, що стосується теми якості коренів. Розглядаючи тему, ми почнемо з властивостей, вивчимо всі формулювання та наведемо докази. Для закріплення теми ми розглянемо властивості n-го ступеня.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Властивості коренів

Ми поговоримо про властивості.

1. Властивість помножених чисел aі b, яке представляється як рівність a · b = a · b. Його можна представити у вигляді множників, позитивних або рівних нулю a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k;
2. з частки a: b =   a: b , a ≥ 0 , b > 0 , він також може записуватися в такому вигляді a b = a b ;
3. Властивість зі ступеня числа aз парним показником a 2 · m = a m за будь-якого числа aнаприклад, властивість із квадрата числа a 2 = a .

У будь-якому з представлених рівнянь можна поміняти частини до і після знака тире місцями, наприклад, рівність a · b = a · b трансформується як a · b = a · b . Властивості для рівності часто використовуються для спрощення складних рівнянь.

Доказ перших властивостей ґрунтується на визначенні квадратного кореня та властивостях ступенів з натуральним показником. Щоб обґрунтувати третю властивість, необхідно звернутися до визначення модуля числа.

Насамперед, необхідно довести властивості квадратного кореня a · b = a · b. Згідно з визначенням, необхідно розглянути, що a · b - число, позитивне або рівне нулю, яке дорівнює a · bпри зведенні у квадрат. Значення виразу a · b позитивно чи дорівнює нулю як добуток невід'ємних чисел. Властивість ступеня помножених чисел дозволяє уявити рівність у вигляді (a · b) 2 = a 2 · b 2 . За визначенням квадратного кореня a 2 = a і b 2 = b , то a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Аналогічним способом можна довести, що з твору kмножників a 1 , a 2 , … , a kдорівнюватиме добутку квадратного коріння з цих множників. Справді, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · ak .

З цієї рівності випливає, що a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Розглянемо кілька прикладів закріплення теми.

Приклад 1

3 · 5 2 5 = 3 · 5 2 5 , 4 , 2 · 13 1 2 = 4 , 2 · 13 1 2 і 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0 , 2 (1) = 2 , 7 · 4 · 12 17 · 0, 2 (1) .

Необхідно довести властивість арифметичного квадратного кореня із частки: a: b = a: b , a ≥ 0 , b > 0 . Властивість дозволяє записати рівність a: b 2 = a 2: b 2 а 2: b 2 = a: b при цьому a: b є позитивним числом або дорівнює нулю. Цей вираз і стане доказом.

Наприклад, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 і 3 0, 121 = 3 0, 121 .

Розглянемо властивість квадратного кореня із квадрата числа. Його можна записати у вигляді рівності як a 2 = a Щоб довести цю властивість, необхідно докладно розглянути кілька рівностей при a ≥ 0і при a< 0 .

Вочевидь, що з a ≥ 0 справедлива рівність a 2 = a . При a< 0 буде вірна рівність a 2 = - a. Насправді, у цьому випадку − a > 0та (− a) 2 = a 2 . Можна зробити висновок, a 2 = a , a 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 2

5 2 = 5 = 5 і - 0,36 2 = -0, 36 = 0,36.

Доведена властивість допоможе дати обґрунтування a 2 · m = a m, де a- дійсне, а m-натуральне число. Дійсно, властивість зведення ступеня дозволяє замінити ступінь a 2 · mвиразом (a m) 2тоді a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Приклад 3

3 8 = 3 4 = 3 4 і (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Властивості кореня n-ого ступеня

Для початку необхідно розглянути основні властивості коренів n-ого ступеня:

1. Властивість із твору чисел aі b, які позитивні або рівні нулю, можна виразити як рівність a · b n = a n · b n , дана властивість справедлива для твору kчисел a 1 , a 2 , … , a kяк a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n;
2. з дробового числа має властивість a b n = a n b n , де a- будь-яке дійсне число, яке позитивно або дорівнює нулю, а b- Позитивне дійсне число;
3. За будь-якого aта парних показниках n = 2 · mсправедливо a 2 · m 2 · m = a, а при непарних n = 2 · m − 1виконується рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Властивість вилучення з a m n = a n · m, де a- будь-яке число, позитивне або рівне нулю, nі m- Натуральні числа, ця властивість також може бути представлена ​​у вигляді. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · N k;
5. Для будь-якого невід'ємного a і довільних nі m, які є натуральними, також можна визначити справедливу рівність a m n · m = a n;
6. Властивість ступеня nзі ступеня числа a, яке позитивно або дорівнює нулю, в натуральному ступені m, що визначається рівністю a m n = a n m;
7. Властивість порівняння, які мають однакові показники: для будь-яких позитивних чисел aі bтаких, що a< b , виконується нерівність a n< b n ;
8. Властивість порівняння, які мають однакові числа під коренем: якщо mі n –натуральні числа, що m > n, тоді при 0 < a < 1 справедлива нерівність a m > a n , а при a > 1виконується a m< a n .

Рівності, наведені вище, є справедливими, якщо частини до і після знака і поміняти місцями. Вони можуть бути використані й у такому вигляді. Це часто застосовується під час спрощення або перетворення виразів.

Доказ наведених вище властивостей кореня ґрунтується на визначенні, властивостях ступеня та визначенні модуля числа. Ці властивості необхідно довести. Але все гаразд.

1. Насамперед доведемо властивості кореня n-ого ступеня з твору a · b n = a n · b n . Для aі b , якіє позитивними або рівними нулю , значення a n · b n також позитивно чи дорівнює нулю, оскільки є наслідком множення невід'ємних чисел. Властивість твору в натуральній мірі дозволяє записати рівність a n · b n n = a n n · b n n . За визначенням кореня n-ой ступеня a n n = a і b n n = b, отже, a n · b n n = a · b . Отримана рівність – саме те, що потрібно було довести.

Аналогічно доводиться це властивість добутку kмножників: для невід'ємних чисел a 1 , a 2 , … , a n виконується a 1 n · a 2 n · … · ak n ≥ 0 .

Наведемо приклади використання властивості кореня n-ой ступеня з твору: 5 · 2 1 2 7 = 5 7 · 2 1 2 7 і 8, 3 4 · 17, (21) 4 · 3 4 · 5 7 4 = 8, 3 · 17, (21) · 3 · 5 7 4 .

1. Доведемо властивість кореня з частки a b n = a n b n . При a ≥ 0і b > 0виконується умова a n b n ≥ 0, а a n b n n = a n n b n n = a b .

Покажемо приклади:

Приклад 4

8 27 3 = 8 3 27 3 і 2 , 3 10 : 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Для наступного кроку необхідно довести властивості n-ого ступеня з числа ступеня n. Представимо це у вигляді рівності a 2 · m 2 · m = a та a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a для будь-якого дійсного aта натурального m. При a ≥ 0отримуємо a = a і a 2 · m = a 2 · m , що доводить рівність a 2 · m 2 · m = a, а рівність a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a очевидно. При a< 0 отримуємо відповідно a = - a і a 2 · m = (- a) 2 · m = a 2 · m. Остання трансформація числа справедлива згідно з якістю ступеня. Саме це доводить рівність a 2 · m 2 · m = a , а a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a буде справедливо, оскільки за непарною мірою розглядається - c 2 · m - 1 = - c 2 · m - 1 для будь-якого числа c,позитивного чи рівного нулю.

Для того щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька прикладів з використанням властивості:

Приклад 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 і (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Доведемо таку рівність a m n = a n · m. Для цього необхідно поміняти числа до знака і після нього місцями a n · m = a m n . Це означатиме правильний запис. Для a,яке є позитивним або одно нулю , виду a m n є числом позитивним або рівним нулю. Звернемося до якості зведення ступеня до ступеня та визначення. З їхньою допомогою можна перетворити рівності як a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Цим доведено аналізовану властивість кореня з кореня.

Аналогічно доводяться інші властивості. Справді, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · N k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · N k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · N k = . . . = a n k n k = a.

Наприклад, 7 3 5 = 7 5 · 3 та 0, 0009 6 = 0, 0009 2 · 2 · 6 = 0, 0009 24 .

1. Доведемо таку властивість a m n · m = a n . Для цього необхідно показати, що a n - Число, позитивне або рівне нулю. При зведенні в ступінь n · m дорівнює a m. Якщо число aє позитивним або рівним нулю, то n-ого ступеня з числа aє числом позитивним або рівним нулю.

Щоб закріпити отримані знання, розглянемо кілька прикладів

1. Доведемо таку властивість – властивість кореня зі ступеня виду amn = anm. Очевидно, що при a ≥ 0ступінь an є невід'ємним числом. Більше того, її n-а ступінь дорівнює a mдійсно, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Цим і доведено аналізовану властивість ступеня.

Наприклад, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Необхідний доказ, що для будь-яких позитивних чисел aі b виконано умову a< b . Розглянемо нерівність a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Отже, a n< b n при a< b .

Для прикладу наведемо 12 4< 15 2 3 4 .

1. Розглянемо властивість кореня n-ого ступеня. Необхідно спершу розглянути першу частину нерівності. При m > nі 0 < a < 1 справедливо a m > a n. Припустимо, що a m ≤ a n . Властивості дозволять спростити вираз до a n m · n ≤ a m m · n . Тоді, згідно з властивостями ступеня з натуральним показником, виконується нерівність a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n , тобто, a n ≤ a m. Отримане значення при m > nі 0 < a < 1 не відповідає властивостям, наведеним вище.

У такий же спосіб можна довести, що при m > nі a > 1справедлива умова a m< a n .

Щоб закріпити наведені властивості, розглянемо кілька конкретних прикладів. Розглянемо нерівності, використовуючи певні числа.

Приклад 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Формули коріння. Властивості квадратного коріння.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, та...

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Урок та презентація на тему:
"Властивості квадратного кореня. Формули. Приклади рішень, завдання з відповідями"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Інтерактивний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 8 класу
Освітній комплекс "1С: Школа. Геометрія, 8 клас"

Властивості квадратного кореня

Ми продовжуємо вивчати коріння квадратне. Сьогодні розглянемо основні властивості коренів. Усі основні властивості інтуїтивно зрозумілі та узгоджуються з усіма операціями, які ми проводили раніше.

Властивість 1. Квадратний корінь із добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку квадратного коріння з цих чисел: $sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b)$.

Будь-які властивості прийнято доводити, давайте це зробимо.
Нехай $sqrt(a*b)=x$, $sqrt(a)=y$, $sqrt(b)=z$. Тоді нам довести $x=y*z$.
Давайте кожен вираз зведемо у квадрат.
Якщо $\sqrt(a*b)=x$, то $a*b=x^2$.
Якщо $sqrt(a)=y$, $sqrt(b)=z$, то звівши обидва вирази в квадрат, отримаємо: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, тобто $x^2=(y*z)^2$. Якщо квадрати двох невід'ємних чисел рівні, то й самі числа рівні, що потрібно було довести.

З нашої властивості випливає, що, наприклад, $ sqrt (5) * sqrt (3) = sqrt (15) $.

Зауваження 1. Властивість справедлива і для випадку, коли під коренем понад два невід'ємні множники.
Властивість 2. Якщо $а≥0$ і $b>0$, то справедлива наступна рівність: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Тобто корінь із частки дорівнює приватному коріння.
Доведення.
Скористаємося таблицею та коротко доведемо нашу властивість.

Приклади використання властивостей квадратного коріння

приклад 1.
Обчислити: $ \ sqrt (81 * 25 * 121) $.

Рішення.
Звичайно, ми можемо взяти калькулятор, перемножити всі числа під коренем і виконати операцію добування квадратного кореня. А якщо під рукою немає калькулятора, то як бути тоді?
$ \ sqrt (81 * 25 * 121) = \ sqrt (81) * \ sqrt (25) * \ sqrt (121) = 9 * 5 * 11 = 495 $.
Відповідь: 495.

Приклад 2. Обчислити: $ sqrt (11 frac (14) (25)) $.

Рішення.
Підкорене число представимо у вигляді неправильного дробу: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)(25) $.
Скористаємось властивістю 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Відповідь: 3,4.

приклад 3.
Обчислити: $ \ sqrt (40 ^ 2-24 ^ 2) $.

Рішення.
Ми можемо обчислити наш вираз безпосередньо, але завжди його можна спростити. Спробуймо це зробити.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Отже, $ sqrt (40 2-24 2) = sqrt (16 * 64) = sqrt (16) * sqrt (64) = 4 * 8 = 32 $.
Відповідь: 32.

Діти, зверніть увагу, що для операцій складання та віднімання підкорених виразів жодних формул не існує і подані нижче вирази не вірні.
$sqrt(a+b)≠sqrt(a)+sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

приклад 4.
Обчислити: а) $ sqrt (32) * sqrt (8) $; б) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Рішення.
Властивості, подані вище, працюють як і зліва направо, так і в зворотному порядку, тобто:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Використовуючи це, розв'яжемо наш приклад.
а) $ sqrt (32) * sqrt (8) = sqrt (32 * 8) = sqrt (256) = 16. $

Б) $ frac (sqrt (32)) ( sqrt (8)) = sqrt (frac (32) (8)) = sqrt (4) = 2 $.

Відповідь: а) 16; б) 2.

Властивість 3. Якщо $а≥0$ і n – натуральне число, виконується рівність: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Наприклад. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ і так далі.

Приклад 5.
Обчислити: $ \ sqrt (129600) $.

Рішення.
Представлене нам число досить велике, давайте розкладемо його на прості множники.
Ми отримали: $129600=5^2*2^6*3^4$ або $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 = 5 * 8 * 9 = 360 $.
Відповідь: 360.

Завдання для самостійного вирішення

1. Обчислити: $ \ sqrt (144 * 36 * 64) $.
2. Обчислити: $ sqrt (8 frac (1) (36)) $.
3. Обчислити: $ \ sqrt (52 ^ 2-48 ^ 2) $.
4. Обчислити:
а) $ \ sqrt (128 * \ sqrt (8)) $;
б) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і стала позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що оточує тебе, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов'язати числа з їх фізичними висловлюваннями, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (через свою абстрактність), ну а через деякий час, як висловився один учений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли усі числа". Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще тоді, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.

З чого все починалося

Перша згадка кореня, що на даний момент позначається як √, була зафіксована у працях вавилонських математиків, які започаткували сучасну арифметику. Звичайно, на нинішню форму вони були схожі мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але у другому тисячолітті до зв. е. ними було виведено наближену формулу обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображено камінь, на якому вавилонські вчені висіли процес виведення √2 , причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише у десятому знаку після коми.

Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти бік трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від вилучення кореня нікуди не подітися.

Поряд з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а давні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.

Походження цього терміну пов'язують з арабським уявленням числа: давні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно до рослини. Латиною це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневе" смислове навантаження, співзвучно, чи то редис або радикуліт).

Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи як Rx. Наприклад, у XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний з довільного числа a, писали R 2 a. Звична сучасному погляду "галочка" - з'явилася лише XVII столітті завдяки Рене Декарту.

Наші дні

З погляду математики, квадратний корінь із числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Інакше кажучи, z 2 =y рівносильно √y=z. Однак це визначення актуальне лише для арифметичного кореня, оскільки воно має на увазі невід'ємне значення виразу. Іншими словами, √y=z, де z більше або 0.

У випадку, що діє визначення алгебраїчного кореня, значення висловлювання може бути як позитивним, і негативним. Таким чином, через те, що z 2 = y і (-z) 2 = y, маємо: √y=±z або √y=|z|.

Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені у сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавими явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята квадратного кореня. Відзначаються вони дев'ять разів на сто років, і визначаються за таким принципом: числа, які позначають по порядку день і місяць, має бути квадратним коренем з року. Так, наступного разу відзначатиме це свято 4 квітня 2016 року.

Властивості квадратного кореня на полі R

Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і √y, що визначається як сторона квадрата з площею y.

Як знайти корінь числа?

Алгоритмів обчислення є кілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:

1) з числа, корінь якого нам потрібний, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше віднімається або взагалі дорівнюватиме нулю. Кількість ходів і стане в результаті шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:

Наступне непарне число – це 11, залишок у нас наступний: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Для таких випадків існує розкладання до ряду Тейлора:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , де n приймає значення від 0 до

+∞, а |y|≤1.

Графічне зображення функції z=√y

Розглянемо елементарну функцію z=√y на полі дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає так:

Крива росте з початку координат і обов'язково перетинає крапку (1; 1).

Властивості функції z=√y на полі дійсних чисел R

1. Область визначення цієї функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).

2. Область значень розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж таки включений).

3. Мінімальне значення (0) функція набуває лише точці (0; 0). Максимального значення немає.

4. Функція z=√y ні парна, ні непарна.

5. Функція z=√y не є періодичною.

6. Точка перетину графіка функції z=√y з осями координат лише одна: (0; 0).

7. Точка перетину графіка функції z=√y також є нулем цієї функції.

8. Функція z=√y безперервно зростає.

9. Функція z=√y набуває лише позитивних значень, отже, графік її займає перший координатний кут.

Варіанти зображення функції z=√y

У математиці для полегшення обчислень складних виразів іноді використовують статечну форму написання кореня квадратного: √y=y 1/2 . Такий варіант зручний, наприклад, у зведенні функції у ступінь: (√y) 4 = (y 1/2) 4 = y 2 . Цей метод є вдалим уявленням і при диференціюванні з інтегруванням, так як завдяки йому квадратний корінь представляється звичайною статечною функцією.

А в програмуванні заміною символу є комбінація букв sqrt.

Слід зазначити, що у цій галузі квадратний корінь дуже затребуваний, оскільки входить до складу більшості геометричних формул, необхідні обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний та будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).

Корінь квадратний в комплексному полі

За великим рахунком, саме предмет цієї статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, оскільки математикам не давав спокою питання отримання кореня парного ступеня з негативного числа. Так виникла уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння та за негативного дискримінанта отримали рішення. В для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з підкореного виразу.